Problemlösningsuppgift 3b avsåg synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor
förmåga att formalisera matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband (F1), förmåga att operera med siffror och andra symboler (F3), förmåga till sekventiellt, logiskt resonerande
(F4), förmåga att förkorta och förenkla matematiska resonemang och operationer (F5) och förmåga till flexibilitet och reversibilitet i matematiska resonemang (F6) genom elevernas skriftliga lösningar. I problemlösningsuppgift 3b synliggjordes F1 i två skriftliga lösningar och vid efterföljande intervju tolkades båda bekräftas. F3 synliggjordes i fem skriftliga lösningar och tolkades bekräftas vid fyra efterföljande intervjuer. F4 kunde synliggöras i två skriftliga lösningar och båda tolkades bekräftas vid efterföljande intervjuer. F5 kunde inte synliggöras vare sig i de skriftliga lösningarna eller vid intervjuerna. F6 kunde synliggöras i en lösning och delvis i en annan. En intervju tolkades bekräfta förmågan.
Elevernas lösningar visade att problemlösningsuppgiften löstes med en liknande metod, addition, som i tidigare problemlösningsuppgift (3a). Analysen av problemlösningsuppgiften visade att eleverna tolkade uppgiften på olika sätt, exempelvis att Armin enbart kunde klä sig på två sätt eftersom det bara fanns två kepsar. F1 tolkades då inte synliggöras i elevernas lösningar eftersom endast en del av informationen hade samlats in, vilket indikerade att förmågan inte kunde ses i sin helhet. F3 tolkades synliggöras hos de elever som hade opererat med siffror och symboler. F4 tolkades synliggöras i de lösningar som indikerade på att eleven hade ett logiskt resonemang (ex elevlösning 10), för att komma fram till sin lösning. F5 tolkades synliggöras i de lösningar där ett svar och eller multiplikation hade använts som metod för att förkorta lösningen. F6 tolkades synliggöras om eleverna kunde hålla fast vid sin lösningsstrategi eller bytte, denna förmåga framkom vid en intervju (elevlösning 10). Nedan visas exempel på hur tre elever löst problemlösningsuppgiften:
Elevlösning 8
I elevlösning 8 kunde F1 inte synliggöras då väsentlig information, på hur många
olika sätt, Armin kunde klä sig inte hade samlats in. Eleven höll fast vid att 3a och 3b
kunde lösas med samma metod och därmed ansågs inte F1 synliggöras. F3 kunde synliggöras genom att hen hade opererat med siffror och symboler för att komma fram till sin lösning. F4 tolkades i efterföljande intervjun synliggöras då eleven resonerade steg för steg hur hen hade kommit fram till sin lösning. F5 och F6 tolkades inte synliggöras i elevens skriftliga lösning eller vid den efterföljande intervjun.
Elevlösning 9
I elevlösning 9 tolkades inte F1 synliggöras då informationen för att kunna lösa problemlösningsuppgiften inte hade samlats in då eleven endast kom fram till två olika sätt för Armin att klä sig. F3 synliggjordes eftersom eleven hade opererat med siffror och symboler i sin lösning. F4 synliggjordes inte eftersom lösningen inte indikerade på ett sekventiellt och eller logiskt resonemang. F5 och F6 kunde inte synliggöras i elevens skriftliga lösning eller vid efterföljande intervjun.
Elevlösning 10
I elevlösning 10 tolkades F1 synliggöras då eleven använde sig av metoden att rita och kom fram till hur många olika sätt Armin kunde klä sig till kalaset, även om svaret inte var korrekt. Informationen hade samlats in för att lösa problemlösningsuppgiften. I elevens lösning synliggjordes också F3 och F4. Lösningen visade att eleven hade opererat med siffror och symboler. Lösningen tolkades också ha en tydlig struktur där eleven visade steg för steg hur hen gått tillväga för att komma fram till sin lösning. Förmågorna tolkades bekräftas under den efterföljande intervjun. Intervju indikerade dessutom på att F6 kunde synliggöras. Nedan finns ett utdrag av intervjun med eleven:
I: för du har skrivit 24 adderat med 6 adderat med 6 adderat med 6. Till vänster, ser du det?
E: Mm.
I: Hur tänkte du där?
E: Eee…jag gjorde ju så 6 så här, den tog vi där. 1, 2, 3, 4, 5, 6 sen gick jag upp och gjorde så med kepsen också. Och så fortsätta så. Typ…
I: Mm.
E: Och sen den lilla kepsen.
I: Okej, så du har tagit varje keps med varje tröja. Varje keps med varje tröja, och samma med varje byxa?
E: Mm, men jag tog inte…. lixom… en byxa och sen en tröja och sen en keps. I: Mm.
E: Och sen tog jag med andra byxor, på samma keps och samma tröja. I: Mm.
E: Då blir det fortfarande olika. Och sen tog jag typ keps och gjorde så. Och sen den sista kepsen.
I: Mm, och hur många sätt kom du fram till att han kunde klä sig i? E: 42.
I: 42 sätt. Mm.
E: Men nu såg jag själv att det var lite fel. I: Men det spelar ingen roll. Va tänkte du var fel?
E: Eee…jag hade tre tröjor som var rätt och fem byxor som var sex byxor och 2 kepsar som var 3 kepsar.
När eleven resonerade kring sin lösning indikerade det på att hen började använda reversibilitet och flexibilitet då hen höll fast vid sin strategi men upptäckte att hen hade målat en keps och en byxa för mycket. Därför tolkades att F6 kunde synliggöras. Intervjun synliggjorde dock inte på F5 då eleven inte kunde beskriva en förkortning av sin lösning.
Under en annan intervju diskuterade en elev sin lösning där frågan om det var möjligt att också klä sig utan kepsar:
I: På nästa uppgift, uppgift 3B. Här har du skrivit två sätt. När du såg den hur tänkte du att du skulle lösa den?
E: Att ehhh… att ehh… Ehh, om Arvid har två kepsar då… om dom är slut kan man inte använda kepsarna längre...
annat sätt…?
E: Mm. Att eh, om man tar tre ehm… om man tar bort en tröja så har han på sig den och sen tar man bort en byxa och sen tar han bort en keps så blir det en… sen har han en tröja till och en byxa till och en keps till och sen finns det inte mer kepsar så ehhhm... Måste man ha med keps?
I: Jaa, det kan man ju resonera kring själv…. Hur tänker du själv? E: Ehhhm.
I: Hur hade du själv gjort där….. bara med kepsarna eller? E: Jag hade gjort det med och utan kepsar…
I: Mm…. Hur hade det kunnat se då... utan kepsarna?
E: Ehhm… Då skulle han ha fyra… nej... han skulle ha tre…. Han skulle ha tre alternativ att klä sig på…
Elevens resonemang synliggjorde delvis F1 då enbart en del av informationen för att lösa problemlösningsuppgiften hade samlats in. Därför ansågs inte F1 kunna synliggöras i sin helhet. Efter en stunds funderande kunde eleven delvis också visa en påbörjan till F6, reversibilitet och flexibilitet, eftersom hen ändrade sitt sätt att angripa problemlösningsuppgiften men tolkades ändå inte synliggöra förmågan fullt ut.
6.6 Problemlösningsuppgift 4 – Kommer lamporna blinka samtidigt?
Problemlösningsuppgift 4a, 4b och 4c avsåg att synliggöra Krutetskiis sex matematiska förmågor förmåga att formalisera matematiskt material, att skilja formfrån innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband (F1), förmågan att generalisera matematiskt material, att upptäcka vad som är viktigt, att välja bort det som är irrelevant och att se vad som är gemensamt i det som ytligt sett är lika (F2), förmåga att operera med siffror och andra symboler (F3), förmåga till sekventiellt, logiskt resonerande (F4), förmåga att förkorta och förenkla matematiska resonemang och operationer (F5) och förmåga till flexibilitet och reversibilitet i matematiska resonemang (F6) i elevernas skriftliga lösningar. För att lösa hela
problemlösningsuppgift fyra var det nödvändigt att samla in informationen (F1) redan genom första delfrågan, 4a. I problemlösningsuppgiften tolkades F1 synliggöras i tre skriftliga lösningar medan F2 tolkades synliggöras i en skriftlig lösning och delvis i ytterligare en annan skriftlig lösning. F3 och F4 tolkades synliggöras i fyra skriftliga lösningar, F5 i två samt F6 i en. F3-F6 tolkades synliggöras i elevernas skriftliga lösningar och tolkades bekräftas under intervjuerna. Vi efterföljande intervjuer tolkades att F1 kunde bekräftas i tre lösningar, F2 i en lösning, F3 i två lösningar, F4 i fyra lösningar och F5 och F6 i en lösning vardera.
Resultatet visade att problemlösningsuppgiften hade lösts genom antingen beräkningar eller genom att besvara frågan. När första frågan hade besvarats med ja eller nej och övriga delfrågor inte hade lösts tolkades det som att F1 inte synliggjordes. Resultatet visade också att delfråga 4c var problematisk för eleverna att lösa. Därför har delfråga 4c inte tagits med som elevlösningsexempel eftersom ingen lösning visade att eleverna kunde angripa problemet. Nedan visas exempel på två elevers lösningar på fråga a och b:
Elevlösning 11
Elevlösning 12
I elevlösning 11 tolkades F1 synliggöras då lösningen visade att eleven såg ett samband mellan lampa A och lampa B. Lösningen visade också att eleven kunde se att lampornas skulle blinka parallellt. Elevens lösning visade också på en förståelse för att lamporna i sig bara var ett verktyg för att komma fram till sin lösning. F2 tolkades synliggöras i elevlösning 12 och tolkades bekräftas vid efterföljande intervju. Det genom att eleven visade förståelse för att lampa A blinkade enligt fyrans multiplikationstabell och lampa B enligt sjuans multiplikationstabell. F3 tolkades synliggöras i lösningen då det fanns en indikation på att eleven hade opererat med multiplikation. F4 kunde synliggöras genom att eleven arbetat steg för steg för att komma fram till 28 och dessutom markerat likheten, 28, mellan de båda tabellerna. F5 kunde synliggöras utifrån att lösningen indikerade på att eleven förkortat och förenklat resonemanget då hen skrivit fyrans och sjuans multiplikationstabell. F6 tolkades inte synliggöras i den skriftliga lösningen.
Elevlösningar 13
Elevlösningar 14
I elevlösning 13 tolkades F1 synliggöras då eleven såg ett samband mellan hur lampa A och lampa B blinkade. Utifrån lösningen tolkades att eleven kunde se att lamporna skulle blinka parallellt där den ena delen av lösningen handlade om lampa A och den andra delen om lampa B. Elevens lösning tydde på att hen var nära att kunna generalisera då hen använde sig av upprepad addition. Om lösningen istället hade redovisats genom fyrans och sjuans multiplikationstabell hade en start på F2, generalisering, kunnat synliggöras. Mönstret i fråga 4b kunde också tolkas att eleven hade en påbörjan till slutsats om att lamporna blinkade enligt fyrans och sjuans multiplikationstabell. F3 kunde synliggöras då eleven hade opererat och arbetat strukturerat med addition för att komma fram till en lösning. F4 tolkades också synliggöras då eleven använde sig av upprepad addition för att steg för steg hitta ett samband. F5 tolkades synliggöras då lösningen hade förkortats genom den upprepade additionen. F6 tolkades inte synliggöras i den skriftliga lösningen.
Nedan visas ett exempel från intervjun med eleven tillhörande elevlösning 11 och 12: E: Och sen kom *namn och hjälpte mig lite faktiskt. Men då kom jag på att jag
kunde använda tabeller. Och då tog jag 4:ans tabell och 7:ans tabell och då såg jag att det var två som var likadana.
/…/
I: Kommer lamporna att blinka samtidigt någon gång förutom den första. Hur tänker du när du hör den frågan?
I: Mm.
E: Och sen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 blinkar.
I: Mm, men när de blinkar, tänker du då att de blinkar samtidigt på 28:e sekunden?
E: Ja.
I: Och då är det första gången? E: Ja.
I: Om vi skulle ta andra gången? När de ska blinka tillsammans, när tror du att det blir då?
E: Eee…. kanske…. 56.
Under samtalet tolkades F1 bekräftas då eleven hade samlat in information för att kunna lösa problemlösningsuppgiften. Eleven berättade att lamporna blinkade samtidigt när fyrans och sjuans tabell sammanföll vilket tolkades bekräfta F2. När eleven multiplicerade 28 med två för att komma fram till om lamporna skulle blinka samtidigt en andra gång tolkades det som att eleven hade opererat med siffror och därmed tolkades F3 synliggöras. Eleven visade på ett logiskt resonemang under samtalet och beskrev hur hen använt sig av tabellen för att komma fram till sitt svar, vilket tydde på att F4 kunde synliggöras. F5 tolkades synliggöras under samtalet när frågan ställdes om lamporna kommer blinka samtidigt efter första gången. När eleven svarade 56 tolkades det som att hen förkortade sitt resonemang ytterligare. Utifrån elevens resonemang tolkades att hen såg svaret direkt genom att multiplicera 28 med två. Genom det tolkades också att F6 synliggjordes under intervjun då eleven visade på flexibilitet genom att hålla fast vid sin lösningsstrategi.
Nedan presenteras ett exempel från intervjun med eleven tillhörande elevlösning 13 och 14:
E: Eh… jag tog och plussa fyra plus fyra och fyra tills det skulle bli det...jag plussade med och sen typ samtidigt och se om … tills det blev såna… Det var fyra som man ska plussa… fyra sjuor så var det...eh...så var det sju fyror.
Under samtalet tolkades delvis F2 synliggöras då eleven var nära att generalisera. När eleven beskrev att det var fyra sjuor och sju fyror tolkades det som att hen tänkt på multiplikationstabellen. F3 tolkades bekräftas vid den efterföljande intervjun då eleven beskrev hur hen adderat för att komma fram till sitt svar och därmed opererat med siffror och symboler. F5 och F6 tolkades inte synliggöras under intervjun med eleven.
7 Diskussion
I avsnittet diskuteras ramverket och metoden för studien. Vidare diskuteras resultatet utifrån frågeställningen samt tidigare forskning. Avslutningsvis presenteras förslag till vidare forskning.
7.1 Metoddiskussion
I avsnittet nedan diskuteras valet av problemlösningsuppgifter. Därefter följer en diskussion kring urval av deltagare följt av elevintervjuer. Avslutningsvis diskuteras analysmetoder för studien.
7.1.1 Problemlösningsuppgifter
I studien valdes fyra problemlösningsuppgifter ut. Valet av olika problemlösningsuppgifter grundade sig i att synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor. Syftet var att problemlösningsuppgifterna skulle öka i svårighetsgrad och väcka nyfikenhet och intresse hos eleverna för att vilja fortsätta med de mer utmanande problemlösningsuppgifterna. Dahl (2012) skriver att problem ska vara enkla att angripa för alla elever vilket resulterade i att problemlösningsuppgift ett och två valdes ut. Det för att alla elever skulle få möjlighet att visa sina matematiska förmågor. Elevernas lösningar på problemlösningsuppgifterna visade att de kunde ha missuppfattat informationen beroende på frågans utformning eller att eleverna saknade begreppsförmåga. En problematik var problemlösningsuppgifternas textinnehåll, främst vid uppgift ett och tre. En del elever i det första urvalet, men även i det andra, hade inte samlat in information för att lösa problemlösningsuppgift 1, 3a och 3b. Om textinnehållet hade förändrats eller begrepp förklarats för eleverna hade det eventuellt kunnat synliggöra fler av Krutetskiis matematiska förmågor och kunnat påvisa ett annat resultat för studien. En annan problematik var att eleverna uppfattade att problemlösningsuppgift 3a och b skulle lösas genom samma metod. Det ledde till att de förmågorna som avsågs att synliggöras inte kunde synliggöras i lika stor utsträckning som var tänkt. Förslagsvis hade problemlösningsuppgift 3a och b kunnat bygga vidare på varandra, likt problemlösningsuppgift 4, vilket hade kunnat synliggöra fler av Krutetskiis matematiska förmågor. Då hade eventuellt problemlösningsuppgiften kunnat skapa andra förutsättningar vilket kunde ha förändrat resultatet för studien.
Under arbetet med problemlösningsuppgifterna hade eleverna tillgång till en mall. Syftet med mallen var att eleverna skulle ha stöd under arbetets gång. Det visade dock att mallen var problematisk för att framförallt kunna synliggöra förmågan att operera
med siffror och andra symboler (F3) eftersom vissa elever valde att rita eller måla
sina lösningar istället för att skriva en beräkning. Istället för att ha en punkt i mallen där eleverna bjöds in till att rita eller måla sin lösning hade formuleringen på mallen kunnat uppmuntrat till att rita och skriva. Därigenom hade synliggörandet av F3 varit tydligare.
7.1.2 Urval av deltagare
För att kunna få tillräckligt med underlag för att besvara frågeställningen skickades problemlösningsuppgifterna till tre klasser. Efter att varje klass hade genomfört
studien. De tolv elever som valdes ut för intervju var antingen de elever som hade löst problemlösningsuppgifterna på ett intressant sätt eller hade svarat på minst tre av problemlösningsuppgifterna. Det blev ett stort bortfall av elever i en klass då enbart ett fåtal samtyckesblanketter godkändes innan sluttiden för intervjuerna. Det bidrog därmed till mindre underlag för studien och kan därmed ha påverkat resultatet.
7.1.3 Elevintervjuer
Elevintervjuerna var internetbaserade och genomfördes via Zoom istället för fysiskt möte på grund av rådande pandemi, vilket liknar en intervju ansikte mot ansikte (Denscombe, 2019). Intervjuerna var halvstrukturerade för att möjliggöra för eleverna att utveckla sina tankar kring sina lösningar. En intervjumall med frågor användes för att diskutera varje problemlösningsuppgift, följdfrågor ställdes sedan utifrån elevernas svar. En informationskälla i form av elevernas lösningar delades på skärmen som stöd för att kunna diskutera och förklara deras lösningar. Även om internetbaserade intervjuer liknar fysiska intervjuer kan det ha påverkat utfallet av resultatet. Ett önskemål för att fördjupa analysen och därmed förbättra resultatet hade varit att kunna vara fysiskt närvarande och få eleverna att förtydliga sina svar eller sina lösningar på ett papper. Det som upptäcktes var att det kunde vara svårt för eleverna att enbart resonera muntligt och därför hade både muntliga och skriftliga resonemang kunnat påverka resultatet och eventuellt kunnat synliggöra fler av Krutetskiis matematiska förmågor. Även om följdfrågor användes blev en svårighet att ställa ytterligare följdfrågor utan att eleverna förlorade intresset för samtalet. Uteblivna följdfrågor kan ha lett till att en del av resultatet inte framkom så tydligt som önskat. Under samtalen ställdes några ledande frågor, vilket också kan ha påverkat resultatet och skapat svårigheter att analysera vilka förmågor som synliggjorts.
7.1.4 Analysmetoder
Det teoretiska ramverk som använts för att analysera elevernas lösningar och elevintervjuerna var Krutetskiis teori om matematiska förmågor tolkade av Dahl (2012) och Pettersson (2008; 2011). Ramverket användes till en början för att analysera elevernas lösningar. Eftersom förmågorna kunde vara tolkningsbara och svåra att tyda analyserades lösningarna flertalet gånger. En del förmågor tolkades till en början synliggöras i elevernas lösningar men efter en fördjupad analys förändrades uppfattningen. En svårighet som uppkom under analysarbetet var att kunna få syn på förmågorna i elevernas lösningar om de enbart hade ritat ett svar eller svarat utan att visa sin lösning. När analysarbetet utifrån elevernas lösningar var färdigt påbörjades sedan analysen av intervjuerna utifrån Krutetskiis matematiska förmågor. Varje intervju transkriberades i sin helhet för att kunna analyseras grundligt. För att kunna synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor var det av vikt att läsa varje intervju ett flertal gånger för att inte viktiga delar skulle utelämnas. Intervjun blev till hjälp för att bekräfta de uppvisade matematiska förmågor i elevernas lösningar. Analysen möjliggjorde även i vissa fall att de av Krutetskiis matematiska förmågor som inte synliggjorts i elevernas lösningar kunde upptäckas under intervjuerna.