”Då tog jag 4ans tabell och 7ans tabell och då såg jag att det var två som var likadana.”
En kvalitativ studie om Krutetskiis matematiska förmågor som synliggörs genom elevers lösningar och intervjuer utifrån olika
problemlösningsuppgifter.
Författare: Nathalie Brison Bjelkendal, Jenny Karlsson Setting & Nathalie Sjöstrand
Handledare: Hanna Palmér
Självständigt arbete II
Abstrakt
Syftet med denna studie är att studera vilka av Krutetskiis matematiska förmågor som synliggörs genom olika problemlösningsuppgifter. Utgångspunkten är frågeställningen; vilka av Krutetskiis matematiska förmågor synliggörs genom olika problemlösningsuppgifter? Tidigare forskning lyfter vikten av att anpassa undervisning för begåvade elever. Anpassningar kan göras genom acceleration, differentiering och berikning. Begåvade elever beskrivs besitta specifika förmågor som kan komma i uttryck i matematiska aktiviteter, exempelvis genom problemlösningsuppgifter. Problemlösningsuppgifter som är utmanade och rika beskrivs kunna möjliggöra för elever att utveckla sina matematiska förmågor.
Problemlösningsuppgifter beskrivs också som gynnande för begåvade elever och kan möjliggöra att de upptäcks och identifieras. Ramverket som använts för studien är Krutetskiis teori om matematiska förmågor. Urvalet av förmågor för studien begränsades till sex av Krutetskiis matematiska förmågor. Empirin som samlats in är elevers lösningar på fyra problemlösningsuppgifter och transkriberade intervjuer där elever har resonerat kring sina lösningar. Resultatet visade att utöver Krutetskiis matematiska förmågor som avsågs synliggöras i varje problemlösningsuppgift kunde även andra oförväntade förmågor synliggöras. Resultatet visade också att rika problemlösningsuppgifter kunde möjliggöra för att samtliga av Krutetskiis matematiska förmågor synliggjordes. För att kunna synliggöra fler av Krutetskiis matematiska förmågor kan därför en aspekt vara att implementera rika problemlösningsuppgifter. Vidare diskuteras en elev som är representerad fler gånger än övriga och där samtliga av Krutetskiis matematiska förmågor kunde synliggöras i just den rika problemlösningsuppgiften, vilket också tolkades bekräftas under intervjun med eleven. Avslutningsvis diskuteras att oavsett begåvning eller inte är rika och utmanande problemlösningsuppgifter en viktig aspekt för att möjliggöra för upptäckter av matematiska förmågor i allmänhet men i utvecklandet av matematiska förmågor i synnerhet.
Nyckelord
Krutetskiis matematiska förmågor, problemlösningsuppgifter, rika problemlösningsuppgifter, synliggöra, begåvade elever.
Tack
För det första vill vi rikta vår tacksamhet till vår handledare Hanna Palmér vid Linnéuniversitetet som med stort tålamod svarat på alla våra frågor och funderingar under studiens gång. Vi vill även tacka examinator Jeppe Skott för sina framåtsyftande kommentarer. Vidare vill vi tacka alla medverkande elever, lärare och vårdnadshavare som gjort studiens resultat möjligt. Slutligen vill vi tacka alla som på något vis har varit delaktiga i genomförandet av studien.
Innehållsförteckning
1 Inledning 1
2 Syfte och frågeställning 2
2.1 Syfte 2
2.2 Frågeställning 2
3 Sammanfattning tidigare forskning 3
3.1 Anpassningar för begåvade elever i matematik 3
3.2 Matematiska förmågor och problemlösningsuppgifter 4
4 Teoretiskt ramverk 5
4.1 Krutetskiis matematiska förmågor 5
5 Metod 7
5.1 Datainsamling 7
5.2 Urval av problemlösningsuppgifter 7
5.3 Stödmall 10
5.4 Elevintervjuer 10
5.5 Urval av deltagande 10
5.6 Analysmetoder 11
5.6.1 Analys av skriftliga elevlösningar 11
5.6.2 Analys av elevintervjuer 11
5.7 Etiska aspekter 12
6 Resultat och analys 13
6.1 Krutetskiis matematiska förmågor som synliggjordes genom de olika problemlösningsuppgifterna och eller intervjuerna. 13 6.2 Problemlösningsuppgift 1 – Det osynliga bladet 14
6.3 Problemlösningsuppgift 2 – Trappan 16
6.4 Problemlösningsuppgift 3a – Hur många alternativ har Clara? 18 6.5 Problemlösningsuppgift 3b – Hur många olika sätt? 22 6.6 Problemlösningsuppgift 4 – Kommer lamporna blinka samtidigt? 25
7 Diskussion 29
7.1 Metoddiskussion 29
7.1.1 Problemlösningsuppgifter 29
7.1.2 Urval av deltagare 29
7.1.3 Elevintervjuer 30
7.1.4 Analysmetoder 30
7.2 Tillförlitlighet och trovärdighet 31
7.3 Resultatdiskussion 31
7.4 Sammanfattning 33
7.5 Vidare forskning 34
8 Referenslista 35
Bilagor
Bilaga 1 - Problemlösningsuppgifter Bilaga 2 - Stödmall
Bilaga 3 – Tabell över Krutetskiis matematiska förmågor Bilaga 4 - Samtyckesblankett vårdnadshavare.
Bilaga 5 - Intervjufrågor.
Bilaga 6 - Information till lärare för genomförandet av problemlösningsuppgifter.
1 Inledning
Denna kvalitativa studie bygger vidare på den tidigare systematiska litteraturstudien, Anpassningar för lågstadieelever som är begåvade i matematik (Brison Bjelkendal, Karlsson Setting & Sjöstrand, 2020). Den systematiska litteraturstudien identifierade tre anpassningar som gynnar begåvade elever i matematik och som möjliggör utvecklingen av elevers matematiska förmågor. Dessa var acceleration, berikning och differentiering. Resultatet visade att acceleration är den anpassning som är vanligast i svensk skola genom att elever tilldelas extra blad och repetitionsuppgifter när de är färdiga med ordinarie undervisning (Pettersson, 2008; 2011). Det sättet att anpassa undervisningen visade sig dock oftast inte tillräckligt gynnande eller stimulerande för begåvade elever. Enligt Skollagen (2010:800) ska elever ges den stimulans som de behöver för att utvecklas så långt som möjligt utifrån sina egna förutsättningar.
Dessutom ska de elever som med enkelhet når kunskapskraven ges den stimulans de behöver för att utvecklas så långt som möjligt enligt utbildningens mål. Elever som inte ser skolan som stimulerande riskerar därför att avsluta sin skolgång utan
fullständiga betyg (Henriksson, 2019).
Utifrån tidigare systematiska litteraturstudie kan ses att begåvade elever inte får den undervisning som motsvarar deras kunskaper, eftersom elever som har svårigheter med att nå kunskapskraven prioriteras före begåvade elever (Mattsson & Pettersson, 2015). När begåvade elever inte får den undervisning som motsvarar deras kunskaper riskerar dem att bli understimulerade. För att stimulera begåvade elever i undervisningen lyfts problemlösningsuppgifter som viktiga (Pettersson, 2008).
Problemlösningsuppgifter har också en viktig roll i läroplanen och bör därför implementeras i undervisningen (Skolverket, 2019). Dahl (2012) skriver att det har funnits en svårighet att implementera problemlösningsuppgifter i undervisningen i svensk skola. En anledning till att problemlösningsuppgifter fortfarande inte arbetas med regelbundet är att det kan finnas en tro från lärare att dessa främst intresserar
“duktiga” elever och att det tar tid från övrig undervisning (Dahl, 2012).
Matematikundervisning i skolan utgår främst från läromedel och elever arbetar i de flesta fall ensamma (Dahl, 2012: Pettersson, 2008). Det som lyfts i tidigare systematiska litteraturstudie är att problemlösningsuppgifter kan möjliggöra för begåvade elever att utveckla sina matematiska förmågor (Pettersson, 2011; Dahl 2012). Dahl (2012) beskriver enligt Krutetskii att varje individ kan visa matematiska förmågor genom matematiska aktiviteter. Enligt hans forskning finns det goda möjligheter att kunna synliggöra matematiska förmågor hos alla elever genom problemlösningsuppgifter. Enligt Dahl (2012) ville Krutetskii genom sin forskning bidra till kunskap om hur undervisningen för elever med stor utvecklingspotential, likväl som för alla elever, kunde förbättras. Att synliggöra matematiska förmågor genom problemlösningsuppgifter är ett område som är lite beforskat (Dahl, 2012). Vi har därför valt i denna studie att studera vilka av Krutetskiis matematiska förmågor som synliggörs genom olika problemlösningsuppgifter. Genom det avsågs att få kunskap om vilka problemlösningsuppgifter som kan synliggöra alla elevers matematiska förmågor och skapa förutsättningar för alla elever likväl begåvade elever
2 Syfte och frågeställning
2.1 Syfte
I tidigare systematiska litteraturstudie lyfts olika typer av anpassningar för begåvade elever som viktiga för att de ska få möjlighet att utveckla sina matematiska förmågor.
Problemlösningsuppgifter lyfts också som viktiga för att alla elever ska få utveckla sina matematiska förmågor och kan möjliggöra att begåvade elever upptäcks.
Krutetskiis forskning som publicerades 1976 beskrev att matematiska förmågor kunde synliggöras genom problemlösningsuppgifter. Syftet med studien är därför att studera vilka av Krutetskiis matematiska förmågor som kan synliggöras genom olika problemlösningsuppgifter.
2.2 Frågeställning
• Vilka av Krutetskiis matematiska förmågor synliggörs genom olika problemlösningsuppgifter?
3 Sammanfattning tidigare forskning
I avsnittet nedan presenteras först resultatet från den tidigare systematiska litteraturstudien. Därefter presenteras nytillkommen forskning om matematiska förmågor och problemlösningsuppgifter för att kunna besvara studiens syfte och frågeställning.
3.1 Anpassningar för begåvade elever i matematik
Den tidigare systematiska litteraturstudien Anpassningar för lågstadieelever som är begåvade i matematik (Brison Bjelkendal, Karlsson Setting & Sjöstrand, 2020) visade att elever med begåvning i matematik behöver matematikundervisning som anpassas utifrån deras behov och intressen (Pettersson, 2011; Mellroth, 2018a). Det finns olika anpassningar som kan ges för att kunna bemöta begåvade elever (Dimitriadis, 2012;
Gavin et al., 2007; Kim, 2006; Mellroth, 2018a; Pettersson, 2008, 2011; Szabo, 2017).
Acceleration, berikning och differentiering är anpassningar som beskrivs kunna gynna elever som är begåvade i matematik. Acceleration innebär att begåvade elever arbetar snabbare i sin egen takt än övriga klasskamrater, antingen i läromedel eller tillsammans med högre årskurser (Dimitriadis, 2012; Gavin et al., 2007; Kim, 2006;
Mellroth, 2018a; Pettersson, 2008, 2011; Szabo, 2017). Berikning innebär att elever får möjlighet att fördjupa sig i det matematiska innehållet exempelvis genom att lärare introducerar nya områden eller genom att elever får fördjupa sig i problemlösningsuppgifter. Differentiering innebär en individualisering av undervisningen, exempelvis genom differentierade instruktioner och nivågruppering (Pettersson, 2011). Det är inte anpassningarna enskilt som är gynnsamma utan dess kombination (Mellroth, 2018a). De anpassningar som förekommer mest i svensk skola är acceleration, den anses dock minst fördelaktigt eftersom elever får oftast arbeta ensamma (Mellroth, 2018a). De anpassningar som beskrivs som gynnsammast för elever är berikning i kombination med acceleration eller differentiering. Berikning lyfts som den anpassning som har flest fördelar eftersom den möjliggör för elever att fördjupa sig och därmed kunna utveckla sina matematiska förmågor (Pettersson, 2011). Berikade problemlösningsuppgifter lyfts som en viktig matematisk aktivitet för att elever både ska kunna uttrycka och utveckla sina matematiska förmågor. Dahl (2012) och Mellroth (2018a) beskriver att om lärare vill identifiera begåvade elever i matematik bör de involveras i problemlösningsuppgifter. De skriver att begåvade elever kanske inte upptäcks genom traditionella tester eller uppgifter men att det däremot är möjligt genom problemlösningsuppgifter. Problemlösningsuppgifter kan även avslöja matematiska förmågor hos begåvade elever om problemlösningsuppgifter upplevs som intressanta, dvs uppgifter som motsvarar deras intressen och är elevnära.
Den systematiska litteraturstudien visade också att det dels är en svårighet att definiera begåvning eftersom definitionen i forskning är bred, dels att elever med begåvning inte heller behöver vara vare sig högpresterande eller intresserade av den matematikundervisning som bedrivs i klassrummen (Pettersson, 2008; 2011).
Pettersson (2008; 2011) lyfter också att det finns en risk att begåvade elever aldrig upptäcks. Det kan bero på att lärare har svårt att se elevers begåvning eftersom de kan vara lågpresterande om de är understimulerade. Begåvade elever i matematik kan ha
och blir ofta färdiga med tilldelade problemlösningsuppgifter snabbare. De beskrivs också som duktiga och har ofta svaret i huvudet (Pettersson, 2011). Begåvade elever i matematik kan dra slutsatser utifrån olika problem de ställs inför, har en fördjupad förståelse och besitter en matematisk kreativitet. De kan också generalisera problem och därigenom ta sig an problem på flera olika sätt. Begåvade elever utmärker sig ofta genom att de är nyfikna och uthålliga i sitt lärande (Pettersson, 2011).
3.2 Matematiska förmågor och problemlösningsuppgifter
Definitionen av ett matematiskt problem är när elever inte direkt vet hur de ska lösa det problem de ställs inför (Skolverket, 2014). Problem är olika för olika elever därför är det av vikt att problemlösningsuppgifter som ges uppfattas som ett problem (Pettersson, 2008). När elever ges stimulans och utmanande problemlösningsuppgifter där svaren inte är självklara ges de möjlighet att både visa och utveckla sina matematiska förmågor (Pettersson, 2011; Szabo, 2017). Mellroth (2018b) beskriver i sitt skolutvecklingsprojekt att problemlösningsuppgifter kan differentieras så att alla elever blir utmanade. Genom differentierad undervisning kan alla elevers kunskapsutveckling maximeras. För att kunna tillgodose begåvade elevers behov kan problemlösningsuppgifter utökas, på så sätt kan de utmanas och arbeta utifrån egna förutsättningar. Pettersson (2008; 2011) lyfter problemlösning som en viktig aspekt för att elever ska få möjlighet att utveckla sina matematiska förmågor och bibehålla intresset för matematik. Hon skriver också att matematiska förmågor utvecklas i matematiska aktiviteter och att det är också under dessa aktiviteter som elever med begåvning i matematik kan upptäckas. Mellroth (2018b) skriver att begåvade elever kan identifieras när de arbetar med problemlösningsuppgifter. För att kunna identifiera begåvade elever bör de arbeta med problemlösningsuppgifter under flera tillfällen. Problemlöningsuppgifter ska vara rika för att kunna få syn på begåvade elevers karaktärsdrag och därmed identifieras (Mellroth, 2018b). Ett karaktärsdrag för lovande elever i matematik är att de är ihärdiga när de löser svåra matematiska problem. Det som är viktigt i problemlösningsuppgifter är innehållet. Pettersson (2008) skriver att det är viktigt att problemlösningsuppgifter motsvarar elevers intresse och väcker motivation.
Problemlösningsuppgifter beskrivs av Dahl (2012) som goda och rika problem som utvecklar och utmanar elevers matematiska förmågor. Enligt Dahl (2012) finns det både goda och dåliga problem. Goda problem ska vara lätt för alla elever att närma sig till, ha utvecklingspotential, leda till nya matematiska upptäckter och kunna generaliseras. För att problemlösningsuppgifter ska leda till att elever ska ha möjlighet att utveckla sina matematiska förmågor krävs det specifika val av problemen som presenteras för elever. Pettersson (2011) beskriver vikten av att begåvade elever arbetar med berikade problemlösningsuppgifter vilket hon benämner som rika problem. Rika och goda problem ger möjlighet för elever att skapa flera lösningar där olika representationsformer kan komma till uttryck (Dahl, 2012).
4 Teoretiskt ramverk
I avsnittet nedan redogörs för vilken teori som valts för att kunna analysera och besvara studiens frågeställning. I denna studie har utgångspunkten varit Krutetskiis teori om matematiska förmågor för att kunna analysera resultatet av elevernas lösningar och besvara frågeställningen. Slutligen presenteras vilka av Krutetskiis matematiska förmågor som valdes ut till studien.
4.1 Krutetskiis matematiska förmågor
Valet av Krutetskiis forskning från 1976 som utgångspunkt för studien är att den, trots sin ålder, än idag är lika aktuell kring matematiska förmågor (Pettersson, 2011; Dahl 2012). Krutetskiis teori om matematiska förmågor bygger på forskning som gjorts under perioden 1955 och 1966 genom observationer och intervjuer med barn mellan 6–17 år. Enligt Dahl (2012) och Pettersson (2011) ville Krutetskii studera elevers matematiska förmågor utifrån problemlösningsuppgifter. Krutetskiis resultat påvisade att matematisk förmåga inte är en enskild förmåga utan innefattar en uppsättning av flera förmågor. Hans teori om den samlade matematiska förmågan kan ses som ett spektrum av sju, möjligen åtta matematiska förmågor och som också har visat sig vara utmärkande för begåvade elever (Dahl, 2012; Pettersson, 2011).
Krutetskii skiljer mellan begreppen förmåga och färdighet (Pettersson, 2011).
Begreppet förmåga, enligt Krutetskii, innefattar en persons egenskaper i en specifik enskild matematisk aktivitet, där förmågan bara kan skapas och utvecklas i just den aktiviteten. Färdighet innefattar istället hur själva utförandet av aktiviteten görs.
Förmåga och färdighet är nära sammanvävda och en persons matematiska förmåga kan upptäckas genom de färdigheter som hen presenterar, exempelvis genom snabba och eller tydliga lösningar etcetera. Krutetskiis teori beskriver att matematisk förmåga i sig inte är medfödd utan påverkas av en persons miljö och omgivning (Dahl, 2012;
Pettersson, 2008; 2011). Matematiska förmågor utvecklas genom övning som möjliggör för kunskap och erfarenhet som sedan “tas med” när personen återigen möter liknande problem (Pettersson, 2011: Dahl, 2012). Däremot kan det finnas en genetisk benägenhet att utveckla en viss förmåga (Pettersson, 2011). Det finns inte heller något som talar för hur långt en eller flera matematiska förmågor kan utvecklas.
Krutetskiis olika förmågor beskrivs enligt följande:
• Förmåga att formalisera matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband.
• Förmåga att generalisera matematiskt material, att upptäcka vad som är viktigt, att välja bort det som är irrelevant och att se vad som är gemensamt i det som ytligt sett är lika.
• Förmåga att operera med siffror och andra symboler.
• Förmåga till sekventiellt, logiskt resonerande.
• Förmåga till flexibilitet och reversibilitet i matematiska resonemang.
• Förmåga att förkorta och förenkla matematiska resonemang och operationer. Förmåga att minnas matematisk information, ett så kallat ”matematiskt minne”, som karakteriseras av minne för relationer, typiska drag i uppgifter och lösningar,
argumentationsscheman, bevis, principer för problemlösning m.m.
• Förmåga att minnas matematisk information, ett så kallat
”matematiskt minne”, som karaktäriseras av minne för relationer, typiska drag i uppgifter och lösningar, argumentationsschema, bevis, principer för problemlösning m.m (Pettersson, 2011, s. 60).
Förmågorna ovan delades av Krutetskii in i tre olika kategorier, (1) samla in matematisk information, (2) bearbeta matematisk information och (3) minnas matematisk information (Dahl 2012: Pettersson, 2008: 2011). I kategori ett hamnar förmåga ett, i kategori två förmågorna två till sex och i tredje kategorin förmåga sju.
Ju fler av förmågorna som elever besatt eller hade utvecklat desto mer begåvade kunde de anses. Förutom matematiska förmågor kunde begåvade elever också besitta en förmåga att vilja matematisera sin omvärld, de hade “ett matematiskt sinnelag” till sin omgivning (Pettersson, 2011, s. 60). Denna förmåga besitter många elever med matematisk talang enligt Krutetskii (Dahl, 2012). Krutetskii skrev också att matematisk kreativitet kan förekomma i elevers förmågor när de upptäcker nya samband (Pettersson, 2011). Matematisk kreativitet är något som sker över tid och kan ”resultera i ovanliga och insiktsfulla lösningar till givna problem” (Pettersson, 2011, s. 25).
I resterande del av studien kommer förmågorna benämnas F1, F2, F3 osv utifrån dess placering i citatet ovan. Av Krutetskiis sju matematiska förmågor valdes de första sex förmågorna till studien (Pettersson, 2011). Den sjunde förmågan, minnas matematisk information, valdes bort i studien då fysisk närvaro i klassrummet var omöjligt på grund av covid-19-pandemin.
5 Metod
I avsnittet nedan presenteras metoden som använts för studien. Först presenteras insamling av empirisk data. Sedan presenteras urval av problemlösningsuppgifterna som eleverna genomförde följt av hur elevintervjuer genomfördes. Vidare beskrivs hur urval av deltagare har genomförts. Därefter presenteras analysmetoden av elevernas skriftliga lösningar samt analysmetoden av elevintervjuerna. Slutligen redogörs för hur studien har förhållit sig till forskningens etiska aspekter.
5.1 Datainsamling
Insamlingen av empirisk data har skett genom att skicka ut problemlösningsuppgifter till tre olika klasser i årskurs två på två olika skolor. Eleverna som fått godkännande av sina vårdnadshavare att delta fick lösa fyra problemlösningsuppgifter. Lösningarna samlades sedan in för att välja ut elever till halvstrukturerade internetbaserade intervjuer. Internetbaserade intervjuer valdes på grund av den rådande Covid-19 pandemin och genomfördes i realtid med visuell kontakt via Zoom. Det valdes till följd av att det är likt intervjuer ansikte mot ansikte, dvs en intervju där intervjupersonen och intervjuaren träffas (Denscombe, 2016). Halvstrukturerade intervjuer möjliggör för elever att utveckla idéer och få utrymme att tala mer utförligt om tankar kring det valda området. Intervjuaren i en halvstrukturerad intervju har färdiga frågor utifrån det valda ämnet som elever ska besvara samtidigt som intervjuaren kan vara flexibel beroende på vad som sägs under intervjun (Denscombe, 2016).
5.2 Urval av problemlösningsuppgifter
För att kunna besvara frågeställningen valdes fyra problemlösningsuppgifter ut. Valet av problemlösningsuppgifter grundade sig i tidigare forskning om vad som utmärker ett bra problem och att dessa problem kan upptäcka och utveckla matematiska förmågor (Dahl, 2012). Utmaningsgraden på problemlösningsuppgifterna var tänkt att öka inför varje problem eleverna ställdes inför. Problemlösningsuppgift ett (se figur 1) och två (se figur 2) valdes ur Kängurumattes test Milou från 2020 (Nationellt Centrum för matematikutbildning, 2020). Problemlösningsuppgift tre är en egenskapad kombinatorikuppgift (se figur 3). Problemlösningsuppgift fyra valdes ut ur Mellroths (2018b) skolutvecklingsprojekt Med rätt att utmanas - i en skola för alla (se figur 4).
Problemlösningsuppgift ett och två valdes då de beskrivs som bra problem som kan väcka nyfikenhet och lust att lära och är anpassade för elever från förskoleklass till årskurs två (Nationellt Centrum för Matematikutbildning, u.å.).
Problemlösningsuppgift ett valdes dessutom med motiveringen att problem ska vara enkla att förstå och möjliga för alla elever att arbeta med (Dahl, 2012). Genom det var förhoppningen att elever skulle känna motivation att fortsätta med övriga mer utmanande problemlösningsuppgifter. Problemlösningsuppgift ett avsåg att synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor F1, F2 och F3.
Figur 1: Problemlösningsuppgift 1 som tilldelades elever.
(Nationellt centrum för matematik, 2020).
Problemlösningsuppgift två valdes med motiveringen att den var en utmanande problemlösningsuppgift (Nationellt Centrum för matematik, 2020). Den valdes också då det fanns olika sätt att lösa den genom representationsformer som att måla eller skriva. Problemlösningsuppgift två avsåg att synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor F1, F3 och F4.
Figur 2: Problemlösningsuppgift 2 som tilldelades elever (Nationellt centrum för matematik, 2020).
Problemlösningsuppgift tre bygger på kombinatorik. Problemlösningsuppgiften valdes med motiveringen att kombinatorik är ett sätt för elever att arbeta i sin egen takt och att kombinatorik möjliggör för elever att arbeta med bland annat sitt matematiska resonemang (Mellroth, 2018b). Problemlösningsuppgift 3a avsåg att synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor F1 och F3 medan i problemlösningsuppgift 3b avsåg att synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor F1, F3, F4, F5 och F6.
Figur 3: Problemlösningsuppgift 3 som tilldelades elever (Brison Bjelkendal, Karlsson Setting & Sjöstrand, 2021).
Problemlösningsuppgift fyra är ett rikt problem och valdes med motiveringen att rika problemlösningsuppgifter ska erbjudas då de kan möjliggöra för elever att utveckla matematiska förmågor (Dahl, 2012). Denna problemlösningsuppgift avsåg att synliggöra Krutetskiis samtliga matematiska förmågor (F1-F6). De matematiska förmågorna i problemlösningsuppgiften bedöms tillsammans då de ingår i ett
sammanhang (Mellroth, 2018b).
Figur 4: Problemlösningsuppgift 4 som tilldelades elever (Mellroth, 2018b).
5.3 Stödmall
För att skapa så bra förutsättningar för elever att lösa de olika problemlösningsuppgifterna skickades en egenproducerad mall till skolorna (se figur
Figur 5: Mall eleverna hade tillgång till i samband med att de löste samtliga problemlösningsuppgifter (Brison Bjelkendal, Karlsson Setting & Sjöstrand, 2021).
Valet att använda en mall grundade sig i att det var viktigt för studien att eleverna skulle visa sina lösningar, antingen genom att rita eller skriva. Det för att kunna möjliggöra analysen av elevernas matematiska förmågor i deras lösningar utifrån Krutetskiis teori.
5.4 Elevintervjuer
I studien var intervjuernas syfte dels att bekräfta de av Krutetskiis matematiska förmågor som avsågs att synliggöras i elevernas skriftliga lösningar. Dels synliggöra de förmågor som avsågs synliggöras men som inte kunde synliggöras i elevernas skriftliga lösningar. Det gjordes genom att använda halvstrukturerade intervjuer, dvs att intervjuaren ställer ett mindre antal frågor (Dahlgren & Johansson, 2019). En viktig aspekt vid intervjun var att visa ett tydligt intresse för vad varje elev sa under respektive samtal, syftet var att eleverna skulle känna trygghet samt uppleva att deras tankar var viktiga. För att få rika och uttömmande svar användes probing för att utvidga och fördjupa samtalen med eleverna. Probing innebär att intervjuaren ställer följdfrågor för att informanten ska ges möjlighet att utveckla sina svar. Under samtalen ställdes därför följdfrågor som exempelvis Hur tänker du? Kan du förklara hur du tänker (Dahlgren & Johansson, 2019). Intervjuerna genomfördes via Zoom och spelades in med enbart ljudupptagning och transkriberades sedan i sin helhet.
Under intervjuerna visades lösningarna för eleverna genom delad skärm för att eleverna skulle minnas sina lösningar.
5.5 Urval av deltagande
Deltagare i studien valdes från tre klasser i årskurs två på två olika skolor. Deltagarna valdes utifrån ett bekvämlighetsurval. Det vill säga att urvalet bygger på bekvämlighet utifrån resurser som exempelvis tid och enkelhet (Denscombe, 2016).
Anledningen av urvalets enkelhet grundar sig i god kontakt med de verksamma klasslärare där problemlösningsuppgifterna och intervjuerna genomfördes. 47 elever fick godkännande att delta i genomförandet av problemlösningsuppgifterna varav 38 elever även fick delta vid en eventuell digital intervju. Utgångspunkten för de elever som valdes till intervju var att de hade löst de fyra problemlösningsuppgifterna eller visade på intressanta lösningar på minst tre av problemlösningsuppgifterna.
Intressanta lösningar var exempelvis de som förklarades med en text eller de som endast innehöll ett svar. 13 elever valdes ut till efterföljande digital intervju varav tolv elever hade möjlighet att medverka. Det resulterade i att tolv elever genomförde intervjun för studien för att studera vilka av Krutetskiis matematiska förmågor som synliggörs genom olika problemlösningsuppgifter.
5.6 Analysmetoder
5.6.1 Analys av skriftliga elevlösningar
Denna del av studiens analys byggde på att få syn på vilka av Krutetskiis matematiska förmågor som synliggjordes genom elevernas olika lösningar. Utgångspunkten för analysarbetet var att utgå från Dahl (2012) och Petterssons (2008; 2011) tolkning av Krutetskiis forskning från 1976, The Psychology of mathematical abilities in schoolchildren. Som hjälp för att få förståelse om hur Krutetskiis matematiska förmågor kunde uttrycka sig i matematiska lösningar användes Mellroths skolutvecklingsprojekt Med rätt att utmanas - i en skola för alla (2018b). Som tidigare nämnts samlades elevernas lösningar på problemlösningsuppgifterna in för att analysera om förmågorna som avsågs synliggöras kunde synliggöras. F1 tolkades synliggöras i de lösningar där eleverna hade ett korrekt svar på problemlösningsuppgifterna. Eleverna ansågs då kunnat samla in informationen, skilt form från innehåll och sett samband för att lösa problemlösningsuppgiften. F1 ansågs ändå synliggöras om ett räknefel gjorts. Övriga förmågor, F2-F6, tolkades kunna synliggöras oberoende av korrekt svar. Krutetskiis matematiska förmågor som kunde synliggöras utifrån lösningarna sammanställdes i tabell 1. Varje elev avidentifierades med en bokstav som identitetstecken.
5.6.2 Analys av elevintervjuer
Analysen av elevintervjuerna skedde genom att analysera elevernas resonemang utifrån sina lösningar för att bekräfta eller upptäcka Krutetskiis matematiska förmågor. För att analysera elevernas problemlösningsuppgifter på djupare plan ställdes följdfrågor till elevernas lösningar. Varje intervju transkriberades sedan i sin helhet för att kunna analyseras (Denscombe, 2016: Dahlgren & Johansson, 2020).
Varje intervju analyserades genom att den lästes flera gånger för att bekanta sig med materialet. Sedan kondenserades materialet, dvs att de mest betydelsefulla uttalanden klipptes ut för att kunna svara mot frågeställningen (Dahlgren & Johansson, 2020).
Efter intervjuerna jämfördes sedan elevernas lösningar med deras resonemang för att kunna upptäcka eventuella matematiska förmågor som inte kunde synliggöras i deras skriftliga lösningar.
5.7
Etiska aspekterDenna studie utgår från forskningsetisk kodex för att de medverkade ska behandlas etiskt riktigt både före, under och efter studien (Vetenskapsrådet, 2017).
Individskyddskravet i studien har noga övervägts. Individskyddskravet är utgångspunkten för forskningsetisk kodex och innefattar att individer ska “skyddas från skador eller kränkningar i samband med att de medverkar i forskning”
(Vetenskapsrådet, 2017, s. 12). Innan studien informerades eleverna om studiens syfte, hur data kommer samlas in och att deltagandet är frivilligt och kan när som helst avbrytas. Eleverna fick skriftlig information på ovan nämnda delar samt information om att när som helst kunna avbryta sin medverkan om så önskades.
Samma information skickades via brev till vårdnadshavare för skriftligt samtycke till medverkan både på problemlösningsuppgifterna och digital intervju vilket är en förutsättning för de elever som är yngre än 16 år (se bilaga 4) (Denscombe, 2016). I och med det uppfylldes också samtycke eftersom vårdnadshavares godkännande är en förutsättning för att eleverna skulle få delta i studien då samtliga är under 16 år (Vetenskapsrådet, 2017).
Konfidentialitet innebär att alla individer som är med i en undersökning inte ska kunna identifieras (Vetenskapsrådet, 2017). Elevernas personuppgifter och övrig information som skulle kunna kopplas till dem har därför hållts konfidentiella för att skydda deras identitet. Skolornas namn har uteslutits i studien och elevernas namn har avidentifierats och ersatts med elev A, B, C osv. Avslutningsvis har studien tagit hänsyn till det som Vetenskapsrådet (2017) beskriver som etiskt riktigt efter forskningens slut. Det genom att all insamlad information och data har raderats efter att ha besvarat studiens syfte och frågeställning.
6 Resultat och analys
I avsnittet nedan presenteras resultatet utifrån studiens frågeställning. Först presenteras resultatet i form av en tabell om vilka av Krutetskiis matematiska förmågor som synliggjordes genom de olika problemlösningsuppgifterna tillsammans med intervjuerna. Därefter följer en sammanfattning om vilka av Krutetskiis matematiska förmågor som synliggjordes i varje problemlösningsuppgift. Slutligen presenteras exempel på elevernas lösningar och elevintervjuer som analyserats utifrån Krutetskiis teori om matematiska förmågor.
6.1 Krutetskiis matematiska förmågor som synliggjordes genom de olika problemlösningsuppgifterna och eller intervjuerna.
Krutetskiis matematiska förmågor
Problem- lösnings- uppgift 1
Problem- lösnings- uppgift 2
Problem- lösnings- uppgift 3a
Problem- lösnings- uppgift 3b
Problem- lösnings- uppgift 4a, b, c F1, Förmåga att
formalisera
matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella
strukturer av relationer och samband.
A, B, C, D, E, H, J, K
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L
B, E, F, G, I, J, L
C, L F, H, I
F2, Förmåga att generalisera matematiskt material, att upptäcka vad som är viktigt, att välja bort det som är irrelevant och att se vad som är gemensamt i det som ytligt sett är lika.
A, B, C, D, E, H, I, J, K
- - - (H), I
F3, Förmåga att operera med siffror och andra symboler.
A, B, C, D, E, G, H, I, J, K
F, G, H I, J
A, B, D, E, F, G, H, I, L
C, G, F, I, L
F, H, I, J
F4, Förmåga till sekventiellt, logiskt resonerande
- A, C, D, E, F, H, I, J, K, L
- I, L E, F, H, I
F5, Förmåga att förkorta och förenkla matematiska resonemang och operationer.
- C, D, E
- C, E, G
- E
H, I
F6, Förmåga till flexibilitet och reversibilitet i matematiska resonemang.
- H, I
- G
- L I
Tabell 1. Krutetskiis matematiska förmågor som synliggjordes utifrån problemlösningsuppgifterna tillsammans med intervjuerna. Krutetskiis matematiska förmågor som upptäcktes men som inte avsågs synliggöras markeras med kursiv versal.
Sammanställningen av tabell 1 visade att det fanns två elever som var representerade fler gånger än övriga. Dessa elever visade de flesta av Krutetskiis matematiska förmågor i alla problemlösningsuppgifterna. I problemlösningsuppgift fyra var det framförallt en elev som utmärkte sig genom lösningarna och intervjun och visade på samtliga av Krutetskiis matematiska förmågor som avsågs synliggöras. Resultatet visade att i problemlösningsuppgift 1, 2 och 3a kunde fler av Krutetskiis matematiska förmågor upptäckas utifrån elevernas skriftliga lösningar och eller vid efterföljande intervjuer.
6.2 Problemlösningsuppgift 1 – Det osynliga bladet
Problemlösningsuppgift 1 avsåg att synliggöra förmågan att samla in information och skilja form från innehåll genom sina lösningar (F1), förmågan att generalisera matematiskt material, att upptäcka vad som är viktigt, att välja bort det som är irrelevant och att se vad som är gemensamt i det som ytligt sett är lika (F2) och förmågan att operera med siffror och andra symboler (F3) genom elevernas skriftliga lösningar. I problemlösningsuppgiften synliggjordes F1 i åtta skriftliga lösningar och samtliga tolkades bekräftas under intervjuerna. I nio skriftliga lösningar synliggjordes F2 varav sex intervjuer tolkades bekräfta förmågan. I tio skriftliga lösningar synliggjordes F3 och tolkades bekräftas i sju intervjuer. Nedan visas exempel på två av elevernas lösningar:
Elevlösning 1
Genom elevlösning 1 tolkades att förmågan att formalisera matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband (F1), synliggjordes. Lösningen visade på en förståelse att blomman i sig inte var relevant utan endast ett verktyg för att lösa problemlösningsuppgiften. Genom lösningen tolkades också att förmågan att generalisera matematiskt material (F2), synliggjordes. Eleven visade i sin lösning att hen hittade ett samband mellan båda blommorna och kunde generalisera genom användandet av en känd metod för att räkna ut summan av talen på varje blomma, det genom tiokompisarna. Förmågan att operera med siffror och andra symboler (F3) tolkades också synliggöras eftersom
eleven hade opererat med både siffror och symboler för att visa hur hen kom fram till
sin lösning.
Elevlösning 2
Genom elevlösning 2 tolkades att förmågan att formalisera matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband (F1) inte synliggjordes. Lösningen visade på att problemlösningsuppgiften löstes med hjälp av två-hopp. Utifrån lösningen tolkades att informationen för att lösa problemlösningsuppgiften inte hade samlats in. Genom lösningen tolkades att förmågan att generalisera matematiskt material (F2) synliggjordes. Lösningen tolkades visa på ett samband mellan båda blommorna eftersom eleven använde sig av en känd metod för att räkna ut summan av talen på varje blomma, det genom att använda sig av två-hopp. Förmågan att operera med siffror och andra symboler (F3) tolkades inte synliggöras genom lösningen eftersom eleven inte hade opererat med siffror och symboler för att visa hur hen kom fram till sin lösning.
Intervjuerna kunde bekräfta Krutetskiis matematiska förmågor som uppvisades i elevernas lösningar. Intervjuerna indikerade att F1, F2 och F3 kunde synliggöras genom den första problemlösningsuppgiften. Dessa förmågor visades även i elevernas skriftliga lösningar. Nedan presenteras två elevers resonemang från respektive intervju:
E: först hittade jag tiokompisarna, sen såg jag att 7 och 3 blir 10 tillsammans och 9 och 1 är också 10 tillsammans och 10 plus 10 är 20 och tillsammans då är det 25...och sen tänkte jag...sen letade jag tiokompisar på den andra också.
Under intervjun med eleven tolkades att F1, F2 och F3 synliggjordes. När eleven beskrev lösningen genom användandet av tiokompisar på båda blommorna tolkades att både F1 och F2 synliggjordes. Utifrån intervjun tolkades även att F3 synliggjordes när eleven beskrev vilka siffror som använts för att komma fram till lösningen.
E: Eh… det var för jag testade att plussa vilken … liksom vad som fattades typ.
I: Finns det något annat sätt att lösa den här?
E: Eh… det finns ju.… minus kan man ta.
I: När tänker du att man kan använda minus?
E: Eh...eh...när man ska typ såhär minus fem minus fem… när man ska hitta typ den som inte finns där typ som när man ska typ till minus.
Intervjun med eleven ovan indikerade på att utöver F1, F2 och F3 upptäcktes också F5 och F6. Eleven beskrev först sin lösning för att sedan förkorta den under intervjun genom att hen använde sig av en subtraktion. Lösningen visade också på byte av strategi vilket indikerade flexibilitet i sättet hen angrep problemlösningsuppgiften.
Det som framkom i elevernas lösningar och intervjuerna var hur de tolkade problemlösningsuppgiften. En del elever fick fram sitt svar genom att de använde sig av två-hopp. På första blomman stod talen 1, 3, 5, 7 och 9 och på den andra blomman stod talen 2, 4, 6 och 8. Det som var synligt i problemlösningsuppgiften var att det var två-hopp mellan varje blomblad på båda blommorna. I texten stod att summan är lika på båda blommorna. Frågan som skulle besvaras var vilket tal som stod på blombladet som inte syntes. Tolkningen var att F1 inte synliggjordes i lösningen när problemlösningsuppgiften lösts genom att använda sig av två-hopp eftersom en del av informationen som samlats in för att lösa problemlösningsuppgiften saknades.
6.3 Problemlösningsuppgift 2 – Trappan
Problemlösningsuppgiften 2 avsåg att synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor, förmåga att formalisera matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband (F1), förmåga att operera med siffror och andra symboler (F3) och förmåga till sekventiellt, logiskt resonerande (F4) genom elevernas skriftliga lösningar. I problemlösningsuppgiften synliggjordes F1 i elva skriftliga lösningar. Vid efterföljande intervju kunde tydas att den tolfte lösningen också kunde synliggöra förmågan då eleven startade ”hoppet” på en felaktig siffra på trappan och därför tolkades lösningen som ett räknefel. Två skriftliga lösningar synliggjorde F3. Vid efterföljande intervjuer kunde ytterligare tre lösningar synliggöra F3 då eleverna beskrev hur de kom fram till lösningen vilket tydde på att de hade opererat med siffror och symboler i huvudet. Fem skriftliga lösningar synliggjorde F4 då lösningarna innehöll ritade steg eller hopp på trappan. Ytterligare fem intervjuer tolkades synliggöra F4 då eleverna beskrev steg för steg hur de kom fram till sin lösning, vilket tydde på ett sekventiellt och logiskt resonemang. F5 som inte avsågs synliggöras tolkades upptäckas i tre skriftliga lösningar då eleverna hade förkortat sitt resonemang genom att endast besvara problemlösningsuppgiften med ett svar. F6 som inte avsågs synliggöras tolkades upptäcktes under en intervju när eleven resonerade kring sin lösning. Nedan visas två av elevernas lösningar:
Elevlösning 3
Genom elevlösning 3 tolkades F1, F3 och F4 synliggöras i den skriftliga lösningen.
Förmågan att formalisera matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband (F1) synliggjordes genom att lösningen visade på en förståelse för att kängurun och kaninen skulle mötas på samma trappsteg. Förmågan att operera med siffror och andra symboler (F3) tolkades synliggöras genom att eleven hade opererat med siffror och symboler för att komma fram till sin lösning. Förmåga till sekventiellt, logiskt resonerande (F4) tolkades synliggöras genom de olika steg som eleven har utfört i sin beräkning.
Elevlösning 4
Genom elevlösning 4 tolkades förmågan att formalisera matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband (F1) synliggöras. Eleven visade genom sitt svar och användandet av trappan att hen hade samlat in informationen som behövdes för att komma fram till sin lösning. Förmågan att operera med siffror och andra symboler (F3) tolkades inte synliggöras genom den skriftliga lösningen då eleven inte hade opererat med siffror
synliggöras då det inte fanns något som indikerade på att hen hade arbetat steg för steg för att komma fram till sin lösning. Den skriftliga lösningen ovan indikerade även på F5 som inte avsågs synliggöras upptäcktes i den skriftliga lösningen.
Under intervjuerna tolkades Krutetskiis matematiska förmågor F1, F3 och F4 bekräftas. Intervjuerna indikerade även att F5 som inte avsågs synliggöras kunde bekräftas. I elevlösning 3 med tillhörande intervju beskrev eleven hur hen hade gjort för att komma fram till att kängurun och kaninen hamnade på samma trappsteg:
E: Först tänkte jag att jag skulle räkna att… att kaninen skulle ju hoppa två steg… aaa… och då så skulle ju kängurun hoppa tre… två gånger…
I: Mm…
E: och då blir det ju att ehhm... kaninen också hoppar… då blir ju 2 gånger 2 fyra och sen så plussar man 6 så blir det ju 10 och de är ju 10 trappsteg…
När eleven beskrev hur hen kom fram till svaret att de skulle mötas på trappsteg 6 tolkades F1 bekräftas. F3 och F4 tolkades bekräftas då eleven beskrev hur hen steg för steg hade använt sig av addition och multiplikation för att komma fram till sin lösning.
Under en annan elevintervju tolkades att F5 och F6 kunde upptäckas när hen fick frågan om problemlösningsuppgiften kunde lösas på något annat sätt och svarade följande:
E: Man byter plats på dem. Så hoppar den andra två och den andra tre ner och så möts de på fyran istället.
I: Okej, då tänker du att dom byter plats och hamnar på en annan plats.
E: Mm.
I: Intressant tanke. Möts de inte på samma då?
E: Nä.
I: Hur tänker du?
E: För om man byter plats på dom, då hoppar den andra tre och andra två. Då hamnar ju den andra på sexan och då blir det fyra minus. För det blir en fyra om man tar bort sex.
Utifrån intervjun ovan tolkades att eleven använt trappan och djuren endast som verktyg för att komma fram till en lösning. Elevens omgående svar, att det skulle ske på trappsteg 4, indikerade därför att F5 synliggjordes. När eleven vid intervjun beskrev problemlösningsuppgiften på ett annat sätt än det ursprungliga kunde det tyda på att eleven besatt en matematisk kreativitet. Elevens resonemang tydde på en reversibilitet och därmed tolkades F6 synliggöras.
6.4 Problemlösningsuppgift 3a – Hur många alternativ har Clara?
Problemlösningsuppgift 3a avsåg synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor förmåga att formalisera matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband (F1) och förmåga att operera med siffror och andra symboler (F3) genom elevernas lösningar. I
problemlösningsuppgiften synliggjordes F1 i sju skriftliga lösningar. Vid fem efterföljande intervjuer tolkades F1 bekräftas när eleverna förklarade hur de kom fram till sin lösning. I lösningarna och intervjuerna synliggjordes att eleverna hade samlat in informationen i problemlösningsuppgiften. Två lösningar synliggjorde F1 genom endast ett svar, tre lösningar genom en beräkning med tillhörande svar och två genom en ritad bild med tillhörande svar. I åtta skriftliga lösningar synliggjordes F3 eftersom eleverna hade använt sig av siffror och symboler i sina skriftliga lösningar. Fyra av dessa lösningar visade att eleverna hade använt siffror och symboler. Resterande fyra lösningar visade att eleverna använt siffror, symboler och ritade klädesplagg för att komma fram till sitt svar. I dessa åtta lösningar tolkades synliggörandet av F3 bekräftas vid efterföljande intervjuer. Det utifrån att eleverna beskrev uttryck som addition, plus och summa för hur de kom fram till sin lösning. Förmågan att kunna förkorta resonemang (F5) som inte förväntades synliggöras i problemlösningsuppgiften kunde upptäckas i en elevs skriftliga lösning. Nedan visas exempel på tre elevers lösningar:
Elevlösning 5
I elevlösning 5 tolkades F1 synliggöras då eleven visade att relevant information hade samlats in för att komma fram till en lösning. F3 tolkades synliggöras då eleven hade opererat med siffror och symboler. Lösningen synliggjorde addition och visade koppling till innehållet genom att eleven formulerade 3 klänningar, 2 byxdressar samt 5 klänningar till 3+2+5=10 för att komma fram till sin lösning.
Elevlösning 6
F1 tolkades synliggöras genom att eleven hade löst problemlösningsuppgiften. F3 tolkades inte synliggöras då eleven inte hade opererat med siffror och symboler. F5 som inte avsågs synliggöras i problemlösningsuppgift 3a tolkades synliggöras genom elevlösning 6. Det genom att eleven förkortade lösningen med endast ett svar.
Elevlösning 7
I elevlösning 7 tolkades att eleven delvis hade samlat in informationen. Det genom att hen endast kunde välja ett plagg från respektive kategori. Därför indikerade lösningen delvis på insamlad information men tolkades inte synliggöra F1 då all information, hur många alternativ, inte hade samlats in för att lösa problemlösningsuppgiften. F3 tolkades synliggöras då eleven hade opererat med siffror och symboler för att komma fram till en lösning.
I intervju nedan tillhörande elevlösning 5 tolkades att F1 och F3 kunde bekräftas:
I: När du såg uppgift 3a, hur tänkte du att du skulle lösa den?
E: Jag tänkte…. att…. ehh… att man skulle räkna ihop alla klänningar. Och då var det tre klänningar och sen var det två klänningar och sen var det typ fem dressar eller nåt.
I: Ja
E: Och då räknade jag ihop alla och då fick jag fram att hon kunde välja på tio stycken.
F1 tolkades bekräftas när eleven beskrev att alla klädesplagg var möjliga och kom fram till summan tio. F3 tolkades bekräftas genom att eleven beskrev att hen hade räknat ihop alla klädesplaggen vilket tolkades som att hen beskrev den addition som fanns i den skriftliga lösningen.
I elevintervjun nedan tillhörande elevlösning 6 tolkade F1 bekräftas. F5 tolkades också bekräftas när eleven i samtalet resonerade på följande sätt:
I: Hur tänkte du att du skulle lösa den när du såg den?
E: Jag tänkte att jag räknar hur många kläder de kunde välja mellan.
I: Mmm, hur tänker du. Kan du förklara för mig?
E: Jag tänkte att han hade ju först tre klänningar från sin garderob och sen kunde han köpa två till och sen kunde han låna fem. Och då tänkte jag att jag kunde lägga ihop….eee…. att jag kunde lägga alla tillsammans. Och då kunde man ha 10 klädesplagg.
F1 tolkades bekräftas under intervjun då eleven resonerade kring hur hen hade samlat in informationen i problemlösningsuppgiften och kommit fram till lösningen tio olika sätt. F3 tolkades synliggöras under intervjun då eleven beskrev sin lösning genom att hen la ihop alla klädesplaggen och då fick summan tio. F5 som inte avsågs synliggöras men framkom i den skriftliga lösningen kunde upptäckas genom elevens förkortade
resonemang hur hen kom fram till sin lösning.
I elevlösning 7 tolkades F1 inte synliggöras utifrån elevens skriftliga lösning men tolkades delvis synliggöras under intervjun:
I: Mhm bra! Då ska vi ta uppgift 3. När du såg den hur tänkte du att du skulle lösa den?
E: Jag tänkte att jag först skulle läsa igenom texten och sen skulle jag klura…
I: ... okej, kan du förklara hur du kom fram till ditt svar?
E: Ehm, att… Clara kunde klä ut sig på tre sätt för att hon hade ehm, hon hade fem…
I: fortsätt du...
E: Hon kan ju ta sina klänningar och köpa… hon kan kan ju ta byxdressarna och köpa dom… ehhh …
I: Mm…
E: (tänker)
I: ... du skrev 1+1+1=3, hur tänkte du när du skrev så?
E: Ehm, jag tänkte…
I: Du kunde ju välja mellan tre klänningar i garderoben, köpa två byxdressar och välja bland klänningarna som hennes kompis har…
E: Mm. Det var ju fel. För hon får ju välja bland sex… olika.
I: Så när du såg uppgiften igen nu så kom du på en annan lösning?
E: Mm.
I: kan du förklara den för mig?
byxdressar då blir det fem och så kan hon välja fem klänningar… ehm, nej en av de fem klänningarna som hennes kompis har och då blir det sex…
I samtalet förklarade eleven hur hen valt en klänning från garderoben, köpt en byxdress samt hade lånat en klänning av sin kompis, vilket resulterade i tre olika sätt att klä sig. När problemlösningsuppgiften lästes upp på nytt resonerade eleven på ett annat sätt och kom istället fram till svaret 6 alternativ. Det tolkades att eleven fortfarande inte hade samlat in samtlig relevant information i
problemlösningsuppgiften då Clara endast kunde låna en klänning av sin kompis medan hon kunde välja mellan alla sina egna klänningar eller köpa de båda byxdressarna. Det tolkades därför som att F1 inte kunde synliggöras även om resonemanget var en påbörjan till synliggörandet av F1.
6.5 Problemlösningsuppgift 3b – Hur många olika sätt?
Problemlösningsuppgift 3b avsåg synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor förmåga att formalisera matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband (F1), förmåga att operera med siffror och andra symboler (F3), förmåga till sekventiellt, logiskt resonerande (F4), förmåga att förkorta och förenkla matematiska resonemang och operationer (F5) och förmåga till flexibilitet och reversibilitet i matematiska resonemang (F6) genom elevernas skriftliga lösningar. I problemlösningsuppgift 3b synliggjordes F1 i två skriftliga lösningar och vid efterföljande intervju tolkades båda bekräftas. F3 synliggjordes i fem skriftliga lösningar och tolkades bekräftas vid fyra efterföljande intervjuer. F4 kunde synliggöras i två skriftliga lösningar och båda tolkades bekräftas vid efterföljande intervjuer. F5 kunde inte synliggöras vare sig i de skriftliga lösningarna eller vid intervjuerna. F6 kunde synliggöras i en lösning och delvis i en annan. En intervju tolkades bekräfta förmågan.
Elevernas lösningar visade att problemlösningsuppgiften löstes med en liknande metod, addition, som i tidigare problemlösningsuppgift (3a). Analysen av problemlösningsuppgiften visade att eleverna tolkade uppgiften på olika sätt, exempelvis att Armin enbart kunde klä sig på två sätt eftersom det bara fanns två kepsar. F1 tolkades då inte synliggöras i elevernas lösningar eftersom endast en del av informationen hade samlats in, vilket indikerade att förmågan inte kunde ses i sin helhet. F3 tolkades synliggöras hos de elever som hade opererat med siffror och symboler. F4 tolkades synliggöras i de lösningar som indikerade på att eleven hade ett logiskt resonemang (ex elevlösning 10), för att komma fram till sin lösning. F5 tolkades synliggöras i de lösningar där ett svar och eller multiplikation hade använts som metod för att förkorta lösningen. F6 tolkades synliggöras om eleverna kunde hålla fast vid sin lösningsstrategi eller bytte, denna förmåga framkom vid en intervju (elevlösning 10). Nedan visas exempel på hur tre elever löst problemlösningsuppgiften:
Elevlösning 8
I elevlösning 8 kunde F1 inte synliggöras då väsentlig information, på hur många olika sätt, Armin kunde klä sig inte hade samlats in. Eleven höll fast vid att 3a och 3b kunde lösas med samma metod och därmed ansågs inte F1 synliggöras. F3 kunde synliggöras genom att hen hade opererat med siffror och symboler för att komma fram till sin lösning. F4 tolkades i efterföljande intervjun synliggöras då eleven resonerade steg för steg hur hen hade kommit fram till sin lösning. F5 och F6 tolkades inte synliggöras i elevens skriftliga lösning eller vid den efterföljande intervjun.
Elevlösning 9
I elevlösning 9 tolkades inte F1 synliggöras då informationen för att kunna lösa problemlösningsuppgiften inte hade samlats in då eleven endast kom fram till två olika sätt för Armin att klä sig. F3 synliggjordes eftersom eleven hade opererat med siffror och symboler i sin lösning. F4 synliggjordes inte eftersom lösningen inte indikerade på ett sekventiellt och eller logiskt resonemang. F5 och F6 kunde inte synliggöras i elevens skriftliga lösning eller vid efterföljande intervjun.
Elevlösning 10
I elevlösning 10 tolkades F1 synliggöras då eleven använde sig av metoden att rita och kom fram till hur många olika sätt Armin kunde klä sig till kalaset, även om svaret inte var korrekt. Informationen hade samlats in för att lösa problemlösningsuppgiften.
I elevens lösning synliggjordes också F3 och F4. Lösningen visade att eleven hade opererat med siffror och symboler. Lösningen tolkades också ha en tydlig struktur där eleven visade steg för steg hur hen gått tillväga för att komma fram till sin lösning.
Förmågorna tolkades bekräftas under den efterföljande intervjun. Intervju indikerade dessutom på att F6 kunde synliggöras. Nedan finns ett utdrag av intervjun med eleven:
I: för du har skrivit 24 adderat med 6 adderat med 6 adderat med 6. Till vänster, ser du det?
E: Mm.
I: Hur tänkte du där?
E: Eee…jag gjorde ju så 6 så här, den tog vi där. 1, 2, 3, 4, 5, 6 sen gick jag upp och gjorde så med kepsen också. Och så fortsätta så. Typ…
I: Mm.
E: Och sen den lilla kepsen.
I: Okej, så du har tagit varje keps med varje tröja. Varje keps med varje tröja, och samma med varje byxa?
E: Mm, men jag tog inte…. lixom… en byxa och sen en tröja och sen en keps.
I: Mm.
E: Och sen tog jag med andra byxor, på samma keps och samma tröja.
I: Mm.
E: Då blir det fortfarande olika. Och sen tog jag typ keps och gjorde så. Och sen den sista kepsen.
I: Mm, och hur många sätt kom du fram till att han kunde klä sig i?
E: 42.
I: 42 sätt. Mm.
E: Men nu såg jag själv att det var lite fel.
I: Men det spelar ingen roll. Va tänkte du var fel?
E: Eee…jag hade tre tröjor som var rätt och fem byxor som var sex byxor och 2 kepsar som var 3 kepsar.
När eleven resonerade kring sin lösning indikerade det på att hen började använda reversibilitet och flexibilitet då hen höll fast vid sin strategi men upptäckte att hen hade målat en keps och en byxa för mycket. Därför tolkades att F6 kunde synliggöras.
Intervjun synliggjorde dock inte på F5 då eleven inte kunde beskriva en förkortning av sin lösning.
Under en annan intervju diskuterade en elev sin lösning där frågan om det var möjligt att också klä sig utan kepsar:
I: På nästa uppgift, uppgift 3B. Här har du skrivit två sätt. När du såg den hur tänkte du att du skulle lösa den?
E: Att ehhh… att ehh… Ehh, om Arvid har två kepsar då… om dom är slut kan man inte använda kepsarna längre...
I: Om du tittar på uppgiften igen nu, skulle… tror du man kan lösa den på ett
annat sätt…?
E: Mm. Att eh, om man tar tre ehm… om man tar bort en tröja så har han på sig den och sen tar man bort en byxa och sen tar han bort en keps så blir det en… sen har han en tröja till och en byxa till och en keps till och sen finns det inte mer kepsar så ehhhm... Måste man ha med keps?
I: Jaa, det kan man ju resonera kring själv…. Hur tänker du själv?
E: Ehhhm.
I: Hur hade du själv gjort där….. bara med kepsarna eller?
E: Jag hade gjort det med och utan kepsar…
I: Mm…. Hur hade det kunnat se då... utan kepsarna?
E: Ehhm… Då skulle han ha fyra… nej... han skulle ha tre…. Han skulle ha tre alternativ att klä sig på…
Elevens resonemang synliggjorde delvis F1 då enbart en del av informationen för att lösa problemlösningsuppgiften hade samlats in. Därför ansågs inte F1 kunna synliggöras i sin helhet. Efter en stunds funderande kunde eleven delvis också visa en påbörjan till F6, reversibilitet och flexibilitet, eftersom hen ändrade sitt sätt att angripa problemlösningsuppgiften men tolkades ändå inte synliggöra förmågan fullt ut.
6.6 Problemlösningsuppgift 4 – Kommer lamporna blinka samtidigt?
Problemlösningsuppgift 4a, 4b och 4c avsåg att synliggöra Krutetskiis sex matematiska förmågor förmåga att formalisera matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband (F1), förmågan att generalisera matematiskt material, att upptäcka vad som är viktigt, att välja bort det som är irrelevant och att se vad som är gemensamt i det som ytligt sett är lika (F2), förmåga att operera med siffror och andra symboler (F3), förmåga till sekventiellt, logiskt resonerande (F4), förmåga att förkorta och förenkla matematiska resonemang och operationer (F5) och förmåga till flexibilitet och reversibilitet i matematiska resonemang (F6) i elevernas skriftliga lösningar. För att lösa hela problemlösningsuppgift fyra var det nödvändigt att samla in informationen (F1) redan genom första delfrågan, 4a. I problemlösningsuppgiften tolkades F1 synliggöras i tre skriftliga lösningar medan F2 tolkades synliggöras i en skriftlig lösning och delvis i ytterligare en annan skriftlig lösning. F3 och F4 tolkades synliggöras i fyra skriftliga lösningar, F5 i två samt F6 i en. F3-F6 tolkades synliggöras i elevernas skriftliga lösningar och tolkades bekräftas under intervjuerna. Vi efterföljande intervjuer tolkades att F1 kunde bekräftas i tre lösningar, F2 i en lösning, F3 i två lösningar, F4 i fyra lösningar och F5 och F6 i en lösning vardera.
Resultatet visade att problemlösningsuppgiften hade lösts genom antingen beräkningar eller genom att besvara frågan. När första frågan hade besvarats med ja eller nej och övriga delfrågor inte hade lösts tolkades det som att F1 inte synliggjordes. Resultatet visade också att delfråga 4c var problematisk för eleverna att lösa. Därför har delfråga 4c inte tagits med som elevlösningsexempel eftersom ingen lösning visade att eleverna kunde angripa problemet. Nedan visas exempel på två elevers lösningar på fråga a och b:
Elevlösning 11
Elevlösning 12
I elevlösning 11 tolkades F1 synliggöras då lösningen visade att eleven såg ett samband mellan lampa A och lampa B. Lösningen visade också att eleven kunde se att lampornas skulle blinka parallellt. Elevens lösning visade också på en förståelse för att lamporna i sig bara var ett verktyg för att komma fram till sin lösning. F2 tolkades synliggöras i elevlösning 12 och tolkades bekräftas vid efterföljande intervju. Det genom att eleven visade förståelse för att lampa A blinkade enligt fyrans multiplikationstabell och lampa B enligt sjuans multiplikationstabell. F3 tolkades synliggöras i lösningen då det fanns en indikation på att eleven hade opererat med multiplikation. F4 kunde synliggöras genom att eleven arbetat steg för steg för att komma fram till 28 och dessutom markerat likheten, 28, mellan de båda tabellerna.
F5 kunde synliggöras utifrån att lösningen indikerade på att eleven förkortat och förenklat resonemanget då hen skrivit fyrans och sjuans multiplikationstabell. F6 tolkades inte synliggöras i den skriftliga lösningen.
