I denna kvalitativa studie har forskningsprocessen utförts systematiskt och noggrant. För att resultatet skulle vara trovärdigt och tillförlitligt har all datainsamling och analys utförts korrekt och sanningsenligt (Thornberg & Fejes, 2019). Trovärdighet inom forskningen innebär att den insamlade empirin är förankrad i studiens syfte och frågeställning (Denscombe, 2016). I denna studie innebär det att både elevernas insamlade lösningar och de transkriberade intervjuerna som presenteras i texten stämmer överens med verkligheten, dvs det eleverna förmedlat och producerat, är deras och ingen annans. Studiens resultat är förankrad i den insamlade empirin för studien. Metoden som har använts för studien presenteras på ett korrekt sätt och möjliggör därför för andra forskare att kunna upprepa metoden (Denscombe, 2016). Tillförlitligheten avsågs uppnås genom att resultatet för studien var korrekt presenterad i sin helhet (Fejes & Thornberg, 2019). Val av studiens olika delar har motiverats och kritiskt diskuterats vilket styrker tillförlitligheten och trovärdigheten för studien
.
7.3 Resultatdiskussion
Problemlösningsuppgifterna som valdes till studien möjliggjorde i olika hög grad att synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor. Utifrån resultatanalysen kunde problemlösningsuppgift ett, två och tre utformats på andra sätt, exempelvis med följdfrågor och på så vis kunde fler av Krutetskiis matematiska förmågor troligen synliggjorts. Valet av samtliga problemlösningsuppgifter för studien grundade sig i Dahls (2012) beskrivning av goda och rika problem. Problemlösningsuppgifterna ett till tre ansågs uppfylla kriterierna för goda problem, de tolkades vara utmanande, eleverna upplevdes med enkelhet kunna närma sig dem och försök till lösningar fanns i samtlig empiri. Problemlösningsuppgift två tolkades dock vara för enkel för eleverna att lösa, den kunde endast generera ett svar och därför kan ifrågasättas huruvida det faktiskt kunde anses som ett problem för eleverna. För att få kallas ett problem ska den som löser problemet inte direkt veta hur det ska angripas (Dahl, 2012). Tolkningen av den valda problemlösningsuppgiften är att eleverna troligen kunde angripa problemet relativt omgående och komma fram till en lösning. En förutsättning för att kunna synliggöra ytterligare förmågor hade varit att problemet utökats med en följdfråga. Å ena sidan valdes problemlösningsuppgiften för att alla elever skulle få möjlighet att visa sina matematiska förmågor, vilket de också gjorde. Å andra sidan hade en utökning av problemet kunnat synliggöra fler av Krutetskiis matematiska förmågor. Även om eleverna inte uppvisade Krutetskiis matematiska förmågor i sina lösningar eller vid intervjuerna innebär det inte att de inte har dessa förmågor. Valet av uppgifter och fysisk närvaro med möjlighet till stöd och följdfrågor kan ha påverkat i vilken utsträckning som förmågorna kunde synliggöras.
Problemlösningsuppgift fyra var ett rikt problem där samtliga av Krutetskiis matematiska förmågor hade möjlighet att synliggöras (Mellroth, 2018b). Resultatet visade att problemslösningsuppgiften troligen var ett nytt problem för eleverna och endast tre lösningar uppvisade till viss del Krutetskiis matematiska förmågor som avsågs att synliggöras. Pettersson (2011) skriver att rika problem är en viktig aspekt att arbeta med för att utveckla elevers matematiska förmågor. En anledning till att
på att eleverna ställdes inför ett nytt och okänt problem. En annan anledning kunde vara att eleverna inte tidigare arbetat med rika problemlösningsuppgifter. Å ena sidan kan det var vara svårt för elever att arbeta med rika problemlösningsuppgifter utan tidigare erfarenhet. Å andra sidan är det av vikt att implementera arbetet med rika problemlösningsuppgifter för att möjliggöra för att elever ska utveckla sina matematiska förmågor. Därför bör problemlösningsuppgifter i allmänhet och rika problemlösningsuppgifter i synnerhet implementeras i svensk matematikundervisning. Rika problemlösningsuppgifter som Mellroths (2018b), tillika problemlösningsuppgift fyra i denna studie, är ett exempel på en stimulerande och utmanande problemlösningsuppgift som möjliggör för elever att utveckla sina matematiska förmågor.
Förmåga att formalisera matematiskt material, att skilja form från innehåll, att operera med formella strukturer av relationer och samband (F1) och förmåga att operera med siffror och andra symboler (F3) var de två av Krutetskiis matematiska
förmågor som synliggjordes i samtliga problemlösningsuppgifter. Därför tolkades F1 vara en av Krutetskiis förmågor som troligen alltid behöver uppnås för att kunna lösa problemlösningsuppgifter. F3 kan synliggöras beroende på en problemlösningsuppgifts utformande, om beräkningar efterfrågas, alternativt om elever vet hur de skriver en beräkning. Det kan också bero på om elever är intresserade av att visa sina lösningar eller om de anser problemet så “enkelt” att det är onödigt. Användandet av siffror och symboler (F3) kan därför vara en förmåga som kan synliggöras oftare än förmågorna F2 och F4-F6 i skriftliga lösningar.
Utifrån resultatet fanns en elev som tolkades uppvisa matematisk kreativitet i problemlösningsuppgift två vid den efterföljande intervjun. Även om elevens lösningar på andra problemlösningsuppgifter inte kunde synliggöra alla av Krutetskiis matematiska förmågor som avsågs att synliggöras var elevens resonemang kring problemlösningsuppgift två intressant. Matematisk kreativitet beskrivs enligt Pettersson (2011) som en förmåga som ofta begåvade elever besitter. Därför kan en frågeställning vara om fler förmågor hade kunnat synliggöras om studien genomförts fysiskt och eleven fått möjlighet till att resonera även kring övriga problemlösningsuppgifter. Två andra elever fanns representerade fler gånger än övriga i vilka av Krutetskiis matematiska förmågor som synliggjordes i skriftliga lösningar och vid intervjuerna. Dessa elever hade kunnat lösa problemlösningsuppgifterna och resonera kring sina lösningar under intervjuerna. Det tolkades tyda påatt dessa elever kunde dra slutsatser och hade en djupare förståelse för problemen de ställdes inför (Pettersson, 2011). En av dessa elever tolkades framförallt visa förmågan att generalisera. Exempelvis när hen valde att rita sin lösning i ena problemlösningsuppgiften, 3b, och hade opererat med siffror och symboler i den andra, 3a. Hens beskrivning var att hen ville visa hur ett problem kunde lösas på olika sätt. Det tolkades tyda på att eleven kunde lösa problemlösningsuppgiften på olika sätt och visade därmed på förmågan att generalisera (Pettersson, 2011). Det var framförallt i problemlösningsuppgift fyra som samma elevs lösning utmärkte sig från övriga elever. Elevens lösning tillsammans med intervjun indikerade att samtliga av Krutetskiis matematiska förmågor kunde synliggöras. En anledning kan ha varit att problemlösningsuppgiften var berikad och möjliggjorde för eleven att fördjupa sig i innehållet och därmed kunde
förmågorna både uttryckas och synliggöras (Pettersson, 2011). En annan anledning kan ha varit att problemlösningsuppgift fyra kunde avslöja de matematiska förmågor eleven besitter. Denna typ av problemlösningsuppgifter beskrivs i tidigare forskning också kunna möjliggöra att elevers matematiska förmågor utmanas vilket är av vikt för att de ska kunna utvecklas (Dahl, 2012). Till skillnad från de andra valda problemlösningsuppgifterna möjliggjorde uppgiften att kunna utveckla och avslöja alla av Krutetskiis matematiska förmågor. Problemlösningsuppgifter är inte enbart viktiga för att utveckla matematiska förmågor hos alla elever, de kan även möjliggöra att begåvade elever upptäcks (Dahl, 2012: Mellroth, 2018a). Det är genom problemlösningsuppgifter såsom problemlösningsuppgift fyra som begåvade elever kan upptäckas eftersom de möjliggör att matematiska förmågor kan komma till uttryck och utvecklas (Mellroth, 2018a). Även om samtliga av Krutetskiis matematiska förmågor kunde synliggöras hos en elev, i problemlösningsuppgift fyra, och matematisk kreativitet hos en annan elev, i problemlösningsuppgift två, är det dock viktigt att ta i beaktning att begåvade elever inte kan identifieras enbart genom en enskild matematisk aktivitet (Mellroth, 2018b). För att identifiera begåvade elever bör elever få möjlighet att delta i flertalet matematiska aktiviteter vid olika tillfällen. Utifrån samtliga lösningar och intervjuer kan en tolkning göras att eleverna också besitter olika matematiska förmågor och att undervisningen därför bör anpassas utifrån deras inhämtade kunskaper för att kunna få möjlighet att kunna utveckla sina matematiska förmågor så långt som möjligt.
Tidigare systematiska litteraturstudie beskrev berikning i kombination med differentiering som en gynnsam anpassning av undervisningen för att utveckla elevers matematiska förmågor (Brison Bjelkendal, Karlsson Setting & Sjöstrand, 2020). Därför hade ett förslag kunnat vara att differentiera och berika problemlösningsuppgifter utifrån varje elevs förutsättningar och behov. Genom det kan elever både utmanas och stimuleras och därigenom utveckla ett intresse för matematiken. Dessutom kan de utifrån individuella förutsättningar få möjlighet att utveckla sina matematiska förmågor.
7.4 Sammanfattning
Studiens fokus har varit vilka av Krutetskiis matematiska förmågor som synliggörs genom olika problemlösningsuppgifter. Det har gjorts genom tolkningen av Krutetskiis teori om matematiska förmågor tolkade av Dahl (2012) och Pettersson (2011). Utifrån fyra problemlösningsuppgifter förväntades olika stora antal matematiska förmågor synliggöras utifrån respektive problemlösningsuppgift. Det som framkom i resultatet var att F1 och F3 var de av Krutetskiis matematiska förmågor som kunde synliggöras i samtliga problemlösningsuppgifter i studien. Resultatet visade att de tre inledande problemlösningsuppgifterna inte i lika stor utsträckning som problemlösningsuppgift fyra kunde synliggöra Krutetskiis matematiska förmågor. Den rika och utmanande problemlösningsuppgiften, problemlösningsuppgift fyra, synliggjorde samtliga förväntade matematiska förmågorna, F1-F6. Det var också i samma problemlösningsuppgift som en elevs lösningar och intervju tydde på att samtliga av Krutetskiis matematiska förmågor kunde synliggöras. Det kunde eventuellt indikera på matematisk begåvning men som i så fall kräver fler matematiska aktiviteter vid flertalet tillfällen. Utifrån det kunde
för att möjliggöra för upptäckter av matematiska förmågor i allmänhet men i utvecklandet av matematiska förmågor i synnerhet. Avslutningsvis kan sägas utifrån studiens resultat med tillhörande diskussion att oberoende av begåvning är det av vikt med en anpassad matematikundervisning utifrån varje enskild elevs förutsättningar och behov. Det bör göras genom en berikad undervisning där elever får möjlighet att fördjupa sig i matematiskt innehåll. Ett sätt att möjliggöra för det är genom matematiska aktiviteter innehållande utmanade och rika problemlösningsuppgifter.
7.5 Vidare forskning
I studiens resultat synliggjordes Krutetskiis matematiska förmågor olika mycket genom de olika problemlösningsuppgifterna. Den rika problemlösningsuppgiften utmärkte sig, dels genom att samtliga av Krutetskiis matematiska förmågor kunde synliggöras, dels för att en elevlösning med tillhörande intervju kunde synliggöra samtliga av Krutetskiis matematiska förmågor. Rika problemlösningsuppgifter lyfts som viktiga för att kunna utmana alla elever, utveckla matematiska förmågor men också kunna upptäcka begåvade elever. Vidare forskning skulle kunna behandla elevers matematiska aktiviteter där enbart utmanade och rika problemlösningsuppgifter är i fokus. Det kan göras genom att forskare är delaktiga under matematiska aktiviteter vilket kan möjliggöra för att utmana och utveckla alla elevers matematiska förmågor samt upptäcka begåvade elever i matematik.
8 Referenslista
Brison Bjelkendal, N., Karlsson Setting, J. & Sjöstrand, N. (2020). Anpassningar för
lågstadieelever som är begåvade i matematik. Diss: Kalmar Linnéuniversitetet.
(2020). Hämtad 2021-02-24 från: Anpassningar för lågstadieelever som är begåvade
i matematik (diva-portal.org)
Dahl, T. (2012). Problemlösning kan avslöja matematiska förmågor: Att upptäcka
matematiska förmågor i en matematisk aktivitet. Diss: Kalmar Linnéuniversitetet.
(2012). Hämtad 2021-02-24 från:
https://www.diva- portal.org/smash/get/diva2:544690/FULLTEXT01.pdf?fbclid=IwAR3yDotbL3v-9dm_UmNx4_xtRSar70zXZCdqdZRroKxD7Ck9tyOhKq3WEnM
Dahlgren, L. O. & Johansson, K. (2019). Fenomenografi. I A. Fejes & R. Thornberg (red). Handbok i kvalitativ analys. (s. 179–192). Stockholm: Liber
Denscombe, M. (2016). Forskningshandboken - för småskaliga forskningsprojekt
inom samhällsvetenskaperna. (3:e upplagan). Lund: Studentlitteratur AB
Dimitriadis, C. (2012). How Are Schools in England Addressing the Needs of Mathematically Gifted Children in Primary Classrooms? A Review of Practice. The
Gifted Child Quarterly, 56 (2). doi: 10.1177/0016986211433200
Fejes, A. & Thornberg, R. (2019). Kvalitet och generaliserbarhet i kvalitativa studier. I A. Fejes & R. Thornberg (red). Handbok i kvalitativ analys. (s. 273-295). Stockholm: Liber
Gavin, M. K., & Casa, T. M., & Adelson, J. L., & Carroll, Susan R., & Sheffield, Linda Jensen, et al. (2007). Project M3: Mentoring Mathematical Minds--A Research-Based Curriculum for Talented Elementary Students. Journal of Advanced
Academics, 18 (4), 566-585. Hämtad från 2021-02-24 från:
file:///home/chronos/u4a28907743d015ecf9ad402028e71bc028ea3f7d/MyFiles/Do wnloads/Project_M[superscript_3]_Ment.pdf
Henriksson, A. (Författare), & Quiding, P. (Producent). (2019). Stort behov av kunskap om särskilt begåvade [Poddradio]. Hämtad från https://sverigesradio.se/sida/artikel.aspx?programid=101&artikel=7172203
Kim, S. (2006). Meeting the Needs of Gifted Mathematics Students. Australian
Primary Mathematics Classroom, 11 (3). 27-32. Hämtad 2019-09-30 från:
https://search-proquest-com.proxy.lnu.se/eric/docview/61935467/4440368FD39D42ECPQ/1?accountid=14 827
Mattsson, L. & Pettersson, E., (2015). 1.1 Inledning – att uppmärksamma de särskilt
begåvade eleverna: Hämtad 2021-02-24 från:
https://www.skolverket.se/skolutveckling/inspiration-och-stod-i-arbetet/stod-iarbetet/sarskilt-begavade-elever
Mellroth, E. (2018a). Harnessing teachers’ perspectives: Recognizing mathematically highly able pupils and orchestrating teaching for them in a diverse ability classroom. Doctoral thesis, Karlstad university. 2013. Karlstad. Hämtad
2021-02-24 från: http://kau.diva-portal.org/smash/get/diva2:1253540/FULLTEXT02.pdf
Mellroth, E. (2018b). Med rätt att utmanas - i en skola för alla. Att utveckla
verksamheten kring att inkludera elever med särskild begåvning i lärande. Karlstads
kommun. Hämtad 2021-04-13 från:
https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1255565/FULLTEXT01.pdf?fbclid=IwAR39NDtquMuk U-B6Ran79Rc6Su-4jrgZjAP1ENXtRaS-uu2eCt0NSSTovYg
Nationellt centrum för matematikutbildning (u.å). Vad är Kängurun - Matematikens
Hopp. Hämtad 2021-04-11 från:
http://ncm.gu.se/vad-ar-kangurun-matematikens-hopp
Nationellt centrum för matematikutbildning (2020). Kängurutävlingen –
Matematikens hopp 2020 Milou. Hämtad 2021-04-10 från: http://ncm.gu.se/2664
Pettersson, E. (2008). Hur matematiska förmågor uttrycks och tas om hand i en pedagogisk praktik. Diss: Växjö univers. (2008). Växjö. Hämtad 2021-02-04 från: http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:206499/FULLTEXT01.pdf
Pettersson, E. (2011). Studiesituationen för elever med särskilda matematiska
förmågor. Diss. Växjö Linnéunivers. 2011. Växjö. Hämtad 2021-02-24 från:
Sverige (2010). Skollagen (2010:800): med Lagen om införande av skollagen
(2010:801). Hämtad 2021-04-15 från:
https://www.riksdagen.se/sv/dokument-lagar/dokument/svensk-forfattningssamling/skollag-2010800_sfs-2010-800
Skolverket (2014). Hagland, K. & Åkerstedt, J. Vad är ett problem? Hämtad 2021-06-03 från: https://larportalen.skolverket.se/LarportalenAPI/api- v2/document/path/larportalen/material/inriktningar/1- matematik/Grundskola/425_problemlosning%20%C3%A5k4- 6/1_matematiskaproblem/material/flikmeny/tabA/Artiklar/P4-6_01A_01_vad.docx?fbclid=IwAR0fsSnB14HubiiQxpBUznwth5atgB5hQGLTVo UI1S_ymyKA3WhwzdIibps
Skolverket (2019). Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet
2011 (reviderad 2019). Hämtad 2021-04-12 från:
https://www.skolverket.se/undervisning/grundskolan/laroplan-och-kursplaner-for- grundskolan/laroplan-lgr11-for-grundskolan-samt-for-forskoleklassen-och-fritidshemmet
Szabo, A. (2017). Mathematical abilities and mathematical memory during problem
solving and some aspects of mathematics education for gifted pupils. Diss:
Stockholm. Stockholms universitet. 2017. Stockholm. Hämtad 2021-02-24 från: http://su.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A1143981&dswid=-9356
Vetenskapsrådet (2017). God forskningssed [Elektronisk resurs]. (Reviderad utgåva). Stockholm: Vetenskapsrådet.