Resultatet redovisas utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv. Inledningsvis kartläggs de kritiska aspekterna av att tillämpa problemlösning. En kronologisk beskrivning av de två learning study-cyklerna följer. Redovisningsformen presenteras till strukturen på följande sätt: förtest, lektion 1 och eftertest. Därefter sker redovisning av pedagogernas planering inför lektion 2. Cykel 2 redovisas på samma sätt som cykel 1 men med förändringen att de båda lektionerna jämförs under det att lektion 2 redovisas. Avslutningsvis följer ett avsnitt där resultatets slutsatser diskuteras. 5.2 Kritiska aspekter av det valda lärandeobjektet
Inledningsvis sker ett samtal med pedagogerna då man diskuterar och reflekterar kring egna erfarenheter av problemlösning i matematik samt en kort genomgång av metoden learning study och den valda lärandeteorin variationsteori. Då det en vecka senare är dags att reflektera kring de kritiska aspekterna av lärandeobjektet har pedagogerna några dagar innan tagit del av resultaten från elevernas förtest.
Pedagogerna diskuterar sig fram till att eleverna har behov av att finna en teknik för att läsa och tolka text. Textens syfte är att fungera som ett stöd så att eleven skapar sig en inre verklighetsbild av uppgiften för att på så sätt förstå hur den ska lösas. En viktig förmåga blir här att kunna gestalta. För att kunna gestalta föreslår en pedagog att de ska utgå från öppna frågor. Syftet med detta är att eleven ska berätta om sin inre bild. Pedagogernas förslag blir att eleverna ska rita en bild när de arbetar med problemlösning som en hjälp i att kunna gestalta.
Språkläraren säger att då man inte förstår vad man läser behöver man förmågan att kunna sortera upp delarna av texten tydligare för sig själv. Syftet med att sortera är att eleven stärks av att se att han eller hon lyckas då de successivt arbetar med en del i taget. På så sätt tar de ett steg i taget för att slutligen nå målet, det slutliga svaret. En av pedagogerna kommenterar detta och säger att det är lätt att hänga upp sig på svåra ord vilket gör att eleven inte kommer vidare med sin uppgift. Pedagogen förtydligar att eleven behöver plocka ut de ord som den inte förstår, ta reda på vad de betyder för att sedan sätta in orden så att det skapas en helhet. Pedagogerna konstaterar nu att en textbaserad problemlösningsuppgift handlar om att eleven behöver god förmåga av lässtrategier och problemlösningsstrategi.
Pedagogerna samtalar om att eleverna även behöver öva sig i att våga prova sig fram och se rimlighet även vid textbaserade problemlösningsuppgifter. En pedagog visar på att det är en cirkelprocess som upprepas om man inte når ett rimligt svar. Nås inte det rimliga svaret startar man om sin lösningsstrategi genom att göra en omprövning av sina lösningsmetoder. Men denna elevgrupp är, enligt pedagogerna, otroligt svarsfokuserad. Svaren ska sägas snabbt och om de inte
kan svaret på en gång har eleverna en tendens att fråga innan de själva har tänkt efter. Att ta sig tid att tålmodigt tänka efter och reflektera är något som pedagogerna lyfter att eleverna behöver träna. I pedagogernas resonemang framgår att en kritisk aspekt vid problemlösning är tillgången till strategier. Målet för pedagogerna blir nu att arbeta fram en strikt arbetsgång, en strategi. Strategins delar ska visa betydelsen av läs-, lösnings- och rimlighetsstrategi. Dessutom ska strategin visa exempel på olika användbara lösningsmetoder. Strategin ska kunna användas på ett generellt sätt, på så sätt att den används likadant oberoende vilken problemlösningsuppgift som ska lösas. Metoderna inom strategin ska vara väl valda och inte för många. Målet är att eleverna ska erfara delarna av strategin och dess metoder. Eleverna ska se att delarna har betydelse för helhetsförståelsen av problemlösningsuppgiften, vilket krävs för att eleverna ska nå ett svar. Pedagogerna anser att det är viktigt att de hinner se hur eleverna går tillväga med sin problemlösningsuppgift för att därefter diskutera med eleverna be dem berätta hur de tänker.
5.3 Förtest 1
Test 1 utgick från textbaserade problemlösningsuppgifter som eleverna skulle lösa. Antal elever som deltog var åtta. Vid skrivtillfället hade de tillgång till anteckningspapper. Gruppens rätta svar i procent var 25 %. Eleverna hade vid skrivtillfället endast angett svar. Ingen av eleverna använde sig av anteckningspapper vilket visar att de inte använde sig av någon textbaserad strategi eller metod då de löste uppgifterna.
Fråga Rätt Fråga Rätt
Fråga 1 kronologisk,(knappar) 3 st Fråga 6 kronologisk, (idrott) 1 st Fråga 2 logisk, (äpplen och persikor) 3 st Fråga 7 logisk, (% och bråk) 2 st Fråga 3 kronologisk, (personer på led) 1 st Fråga 8 kronologisk, (pizza) 3 st Fråga 4 logisk, (flytt in, flytt ut) 1 st Fråga 9 logisk, (fördelning) 2 st Fråga 5 logisk (area) 2 st Fråga 10 kronologisk, (karameller) 2 st 5.4 Lektion 1
Pedagogen inleder med att berätta att man behöver strategier för att kunna arbeta med problemlösning. Pedagogen visar med hjälp av en power point på ett sekvensartat sätt att en strategi består av delar som alla har betydelse för om man ska nå en förståelse av hela uppgiften, en förståelse som ska hjälpa då man vill nå ett svar. Den förevisade strategin bygger på Pólyas (1945) tankar då man arbetar med problemlösning. De valda rubrikerna blir här:
• Läs • Lös • Rimlighet
Pedagogen visar med hjälp av en kontrastering att rimlighetsstrategin har betydelse. Pedagogen visar att då alla strategins delar varit fulländade når man ett svar. Har eleverna inte använt sig av strategins delar på ett korrekt sätt når man inget svar och får i det fallet börja om och arbeta sig igenom strategins delar igen. Med hjälp av kontrastering visar pedagogen på vad en korrekt och en inkorrekt strategi är. Vidare presenterar pedagogen att det inom lösningsstrategin finns fler betydelsefulla delar. De betydelsefulla delarna är lösningsmetoder som ska hjälpa eleverna att nå ett svar.
• Rita
• Gissa och pröva
• Steg för steg
• Göra tabell och diagram
• Mönster
Pedagogen arbetar under denna lektion med separation vilket innebär att en del hålls oförändrad, invarians medan en annan del varieras, varians. I detta fall är strategin konstant, invarians, medan frågorna är olika textbaserade problemlösningsuppgifter, varians. Att möta olika typer av frågor som passar till strategin ska bidra till att eleven upplever att denna strategi kan användas i många situationer. Eleverna får på så sätt uppleva en generalisering.
Vid lektionens första uppgift leder pedagogen eleverna genom strategins olika delar genom att arbeta med följande fråga:
Ett äpple och en chokladbit kostar sammanlagt 10 kr. Ett äpple och en tablettask kostar sammanlagt 9,50 kr. Slutligen kostar en chokladbit och en tablettask 12,50 kr sammanlagt. Hur mycket kostar varje sak för sig? (Forsberg, Olofsson och Undvall, 1996, s. 39, uppgift 25.)
Pedagogen väljer att de ska arbeta med bild som metod. När eleverna har påbörjat sitt arbete med bild som metod frågar en elev om han kan få gissa vad svaret blir. Pedagogen bejakar elevens metod som visar sig vara felaktig. Metoden blev felaktig eftersom eleverna nu försökte lösa uppgiften aritmetiskt utan att ha förståelse för uppgiftens innehåll. Pedagogens syfte är att visa på en kontrastering. Det visar att val av fel metod inte leder fram mot en fulländad strategi som når ett svar.
Pedagogen presenterar uppgift 2 som ser ut på följande sätt:
!"#' (')*'+,-./0123*4'5%,'6%*'"2%*/),%/'6%*40/,71'8''''''9'0643:*%'%:'%")2;3*/,71'8'''''9' "<'1)/';7//';06'+34-,),*%':3;%,='
$ $ $$%&'()$!$ $$%&'()$*$ %&'()$+$
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rimgruppen, 2009, C-delen, uppgift 10.)
När pedagogen och eleverna arbetar med uppgift 2 sker ytterligare en separation som pedagogen lyfter fram för elevgruppen. Det som är oförändrat i denna situation, invarians, är att eleverna arbetar utifrån samma gemensamma fråga. Det som varieras, varians, är lösningsmetoderna. Eleverna arbetar i det här fallet både efter att söka mönster och att rita bilder. Därmed visar pedagogen på hur man kan använda sig av olika metoder för att nå uppgiftens lösning.
Vid lektionens sista uppgift arbetar eleverna två och två. Alla elevpar arbetar med samma uppgift.
En snigel börjar en måndagmorgon krypa uppför en 12 m djup brunn. På dagen klättrar den upp 4 m, men på natten glider den ner 2 m. När kommer snigeln upp ur brunnen?
(Forsberg, Olofsson och Undvall, 1996, s. 6, uppgift 5.) 24
När eleverna börjar arbeta visar det sig att varken strategins eller metodernas delar inte är befäst. Detta visar sig på så sätt att eleverna endast vill ge ett svar utan att redovisa utifrån strategi eller metod. Under arbetets gång hjälper pedagogen eleverna att hålla fokus på den kritiska aspekten, strategin, eftersom eleverna väldigt ofta vill lämna den tänkta strategin trots att alla elever vid detta arbetsmoment fått ta del av den manual som är en kopia av power pointens text.
Arbetet med strategin är oförändrad under lektionens gång. Även delarna av strategin presenteras på ett likartat sätt genom hela lektionen. Det jag däremot ser som varians är att arbetsformen, vilken förändras under denna lektion. Variationen sker på så sätt att lektionen inleds med en genomgång av pedagogen. Därefter arbetar pedagog och elever tillsammans med två uppgifter. Som tredje moment arbetar eleverna parvis.
5.5 Eftertest 1
Test 2 var utformat på samma sätt som test 1. Två frågor var gemensamma för de båda testerna, men för övrigt var frågorna nya för eleverna. Antal elever som deltog var sju. Vid skrivtillfället hade de tillgång till anteckningspapper och manual. Vid detta tillfälle använde tre elever anteckningspapperet men ingen använde sig av manualen. Gruppens rätta svar i procent var 50 %. Resultatet visar att eleverna hade förbättrat sin förmåga att arbeta med problemlösning. Knappt hälften av eleverna använde sig av anteckningspapper. De anteckningar jag fick ta del av visade att de kunde använda sig av metoder de lärt från lektion 1.
Fråga Rätt Fråga Rätt
Fråga 1 kronologisk, (medlemsavgift) 5 st Fråga 6 logisk, (skolväg) 5 st Fråga 2 logisk, (snäckor) 1 st Fråga 7 kronologi, (längd) 2 st Fråga 3 kronologi (personer på led) 4 st Fråga 8 kronologi, (fyra orter) 1 st Fråga 4 logisk, (kilo och frukt) 5 st Fråga 9 logisk, (hund och katt) 3 st Fråga 5 kronologi, (veckopeng) 6 st Fråga 10 logisk, (% och bråk) 3 st 5.6 Pedagogernas planering inför lektion 2
Pedagogerna för samtal kring att eleverna har förbättrat sin förmåga att hantera problemlösning. De samtalar kring hur de vill revidera för att resultatet ska bli ännu bättre. Det sker ingen förändring kring variationen av den kritiska aspekten, strategier. Förändring sker på så sätt att man utökar med en kritisk aspekt. Den beskrivs som att en kritisk aspekt vid problemlösning är tillgången till förmågan att reflektera innan man ger sitt svar.
Ytterligare två förändringar sker men de är av formmässig karaktär och något som endast till viss del styrks av variationsteorin. Den första förändringen är att manualen revideras, en förändring av det indirekta lärandeobjektet. Manualen ska vara en hjälp till hur man arbetar med problemlösningsuppgifter. Syftet med revideringen är att göra den till ett tydligare och enklare redskap för eleven.
Den andra förändringen är en revidering av undervisningsformen. Vid lektionens sista arbetsuppgift arbetar eleverna två och två. Vid lektion 2 arbetar de med olika uppgifter som de sedan ska redovisa för varandra. Vid redovisningen ska de visa på vilka metoder de valt. Här sker en variation. Eleven
ska på egen hand pröva sig fram och motivera för strategins metoddelar som han eller hon valt för att nå en lösning på sin uppgift.
Under samtalet lyfter jag frågan om eleverna kan arbeta med problemlösning på ett än mer varierat sätt. Mitt förslag är att eleverna får bygga upp sin egen problemlösningsuppgift och visa strategins betydelse och metoderna som uppgiften har behov av. Här svarar pedagogerna att denna uppgift inte passar deras elever. Deras upplevda erfarenhet av just denna elevgrupp gör att de svarar så, men det visar även på ett förgivettagande som de inte utmanar.
5.7 Förtest 2
Antal elever som deltog vid förtestet var sex stycken. Pedagogerna använde samma test som tidigare. En förändring var att testen bytte plats på så sätt att test 1 blev test 2 och tvärtom. Vid skrivtillfället hade de tillgång till anteckningspapper. Gruppens rätta svar i procent var 42 %. Fyra elever använde sig av anteckningspapperet de hade tillgång till. Detta visade att drygt hälften av eleverna i gruppen hade förmåga att använda sig av strategier och metoder då de löser problemlösningsuppgifter.
Fråga Rätt Fråga Rätt
Fråga 1 kronologisk, (medlemsavgift)
5 st Fråga 6 logisk, (skolväg) 2 st Fråga 2 logisk, (snäckor) 1 st Fråga 7 kronologi, (längd) 3 st Fråga 3 kronologi (personer på led) 2 st Fråga 8 kronologi, (fyra orter) 2 st Fråga 4 logisk, (kilo och frukt) 3 st Fråga 9 logisk, (hund och katt) 2 st Fråga 5 kronologi, (veckopeng) 4 st Fråga 10 logisk, (% och bråk) 1 st 5.8 Lektion 2
Lektion 2 följer i stort sett samma innehåll och form som lektion 1. Den kritiska aspekten, strategier, följer samma sekvensartade form och varieras inte mycket i förhållande till kontrastering, separation och generalisering. De skillnader som fanns lyfter jag fram här.
Liksom i lektion 1 gjorde pedagogen en genomgång av strategin och metodernas delar med hjälp av en power point. Här sker en förändring av det indirekta lärandeobjektet på så sätt att metoderna revideras. Vid denna lektion presenterades följande lösningsmetoder för hur man ska arbeta med problemlösning:
• rita • gissa och pröva • steg för steg • mönster
Undervisningens innehåll fokuserar mycket på att lyfta fram just delarna som betydelse för att nå en helhetsförståelse av uppgiften. Vid den andra lektionen ser jag att det finns fler öppna frågor som leder till att eleven redogör för de delar av strategin som är betydelsefulla istället för att pedagogen ställer frågor om strategins delar som endast besvaras med ja eller nej. Även pedagogens struktur på tavlan förändras vid lektion 2 på så sätt att det på ett tydligare sätt visar delarnas väg mot helhet. Både i lektion 1 och 2 görs en kontrastering. Vid den första lektionen sker kontrasteringen då eleverna inser att uppgiften inte går att lösa med den valda aritmetiska metoden. Pedagogen och
eleverna gör ett konstaterande och man återgår till att använda den metod som kommer att fungera. Vid lektion 2 sker kontrasteringen då eleven får se konsekvenserna av att inte välja någon förevisad metod utan börjar arbeta med aritmetiska lösningar som ger ett felaktigt svar. Båda dessa lektioner har exempel på likartade kontrasteringar men det visar sig att eleverna gav ett större gensvar vid kontrasteringen på lektion 2. Skillnaden i dessa kontrasteringar är att de vid det andra tillfället mer ingående diskuterade och förtydligade rimlighetsstrategins betydelse.
Till största del är det fokus på variation av lektionens form istället för variation av lektionens kritiska aspekt. Pedagogerna valde att eleverna först arbetade gemensamt hela gruppen tillsammans för att sedan arbeta parvis. Skillnad lektionerna emellan sker när eleverna arbetar parvis. Vid lektion 1 hade eleverna samma uppgift att arbeta med, men vid lektion 2 hade alla elevparen olika problemlösningsuppgifter. Vid lektion 2 läggs betoning vid att de ska redovisa hur de har arbetat med strategin. Pedagogen ville att eleverna vid redovisningstillfället skulle berätta om vilka delar av strategin som var nödvändiga för att nå svaret, helheten. Den kritiska aspekten är att eleverna ska träna sin förmåga i att reflektera innan man ger ett svar. Pedagogen uttrycker det som att eleverna ska ta sig tid att reflektera över sitt svar och inte svara rakt ut så att andra elever hindras och avbryts i sin tankegång. Här sker en variation av lektionsformen och det är den variationen som pedagogerna fokuserar på. Men samtidigt sker en variation av den första kritiska aspekten, strategier, genom att eleverna nu individuellt får redovisa för sitt inre tänkande av val av strategi och metod. Detta kan jämföras med när de tidigare under lektionerna tog emot information eller samtalade tillsammans om strategi och metod. Det jag vill visa på är att det sker en fusion av dessa två kritiska aspekter som visar att strategin och förmågan att redovisa samspelar. Vid redovisningsmomentet föll däremot eleverna tillbaka till sitt gamla mönster. Eleverna höll alla tankar i huvudet då de försökte nå en lösning. De berättade med ord svaret på problemlösningsuppgiften samtidigt som de pekade på frågan och informationen som gavs i uppgiften. Ingen visade på att de använde sig av strategi eller metod.
5.9 Eftertest 2
Antal elever som deltog i eftertestet var fem. Det var en elev färre än vid förtestet vilket kan ha påverkat att resultatet förbättrades. Gruppens rätta svar i procent var 44 %. Elevgruppen har förbättrat sig med två procentenheter. Vid skrivtillfället hade eleverna tillgång till anteckningspapper och manualen där de kunde ta del av strategin och de givna metoderna. Fyra av eleverna använde sig av anteckningspapperet de hade tillgång till, samma antal elever som vid förtestet, men ingen använde sig av manualen.
Fråga Rätt Fråga Rätt
Fråga 1 kronologisk, (knappar) 2 st Fråga 6 kronologisk, (idrott) 2 st Fråga 2 logisk, (äpplen och
persikor)
3 st Fråga 7 logisk, (% och bråk) 3 st Fråga 3 kronologisk, (personer på
led)
1 st Fråga 8 kronologisk, (pizza) 2 st Fråga 4 logisk, (flytt in, flytt ut) 2 st Fråga 9 logisk, (fördelning) 4 st Fråga 5 logisk, (area) 3 st Fråga 10 kronologisk,
(karameller)
I grupp A skedde en förbättring av resultatet. Elevgruppen visade att de inte behärskade strategier vid förtestet. Vid eftertestet visade eleverna däremot att de hade avancerat i sin problemlösningsförmåga. Grupp B var en grupp som redan vid förtestet visade att flertalet av dem använde sig av strategier och metoder. De elever som saknade strategier och metoder visade att de hade avancerat i sin problemlösningsförmåga vid eftertestet. Elever som redan använde sig av strategier och metoder vid förtestet avancerade inte samma utsträckning. En elev visade ett försämrat resultat. Dagsform och fokusering kan vara exempel på varför detta skedde.
Intressant är att fundera över varför de elever med strategier och metoder inte avancerade mer utifrån den undervisning som gavs. Ett svar kan vara att undervisning som gavs var riktad mot elever som helt saknade strategier och metoder. Undervisningen gav kanske inget utrymme för att utveckla den förmåga de redan hade. I en förlängning hade det varit mycket intressant att se vad variationsteorin kunnat bidra med för dessa elever.
5.10 Slutsatser
Denna undersökning utgår från att ta reda på vilka de kritiska aspekterna är av att elever tillämpar problemlösning. Pedagogerna lyfter fram att strategier och förmåga av att reflektera över sitt tillvägagångssätt innan man ger sitt svar är kritiska aspekter då man tillämpar problemlösning. De lägger upp sin planering på så sätt att eleverna ska få träna dessa kritiska aspekter i syfte av att det ska hjälpa eleverna att arbeta med problemlösningsuppgifter.
Pedagogerna lyfter att det de tilltalas mycket av är samarbetet kring ett specifikt arbetsområde. Samarbetet bidrar till att man pratar mer om innehållet för lektionen, och mindre fokus läggs på att söka problem hos elev eller pedagog. I denna undersökning blev resultatet ett ämnesövergripande samarbete. Svenskläraren upplevde det positivt att ta del av en matematisk frågeställning som även berörde svenskämnet. När svenskläraren nu vet vilka hinder eleverna möter vid textbaserad problemlösning har resultatet blivit att dessa delar medvetandegörs på ett bättre sätt även inom svenskämnet.
Frågeställningarna söker även svar på vilka förändringar i undervisningens upplägg som gör skillnad för elevens lärande samt vad dessa skillnader leder till. Förändringar i undervisningen sker av att metoderna revideras. Syftet är att det ska bli tydligare och mer lätthanterligt för eleverna då de arbetar med problemlösning. Pedagogen använder sig av mer öppna frågor i lektion 2 för att förtydliga betydelsen av att nå en förståelse av vad som leder fram till en lyckad problemlösning och vad som inte resulterar i ett svar. Dessutom visar pedagogen med en bättre struktur på tavlan betydelsen av strategins delar för att eleverna ska nå en helhetsförståelse av problemlösningsuppgiften.
Då pedagogerna planerar sina lektioner sker det i syfte av att eleverna ska lära sig strategier och reflektera innan de ger sitt svar. Till största del sker en variation av lektionens form än variation kring dess kritiska aspekter. Det finns alltså en avsaknad av förändring i hur man varierar kring den