S TANDARDAVBILDNINGENS EGENSKAPER För att förstå partikelmodellens egenskaper görs en studie

av standardavbildningen. Målet är att introducera begreppet ergodicitet som är en viktig komponent för att radiovågsupp- värmning av plasma ska fungera och att sedan avgöra under vilka omständigheter avbildningen har ergodiskt beteende. A. Definition

Standardavbildningen, även känd som Chirikovs standar- davbildning är ett tvådimensionellt diskret dynamiskt system som avbildar en punkt (Xn, Yn)i kvadraten med sida 2π till en annan punkt (Xn+1, Yn+1)i samma kvadrat enligt:

Xn+1= Xn+ Yn+1 mod 2π Yn+1= Yn+ K sin Xn mod 2π

(82) där K är en positiv konstant. För varje initialvillkor (X0, Y0) definieras en bana i kvadraten genom upprepade iterationer av avbildningen. För partiklar i tokamakplasmat kommer variab- lerna X och Y motsvara den normaliserade gyrofasen ˆφoch den normaliserade energin ˆW.

Observera att variabelbytet X → X + 2π och Y → Y + 2π lämnar (82) oförändrad. Standardavbildningen är alltså invari- ant för translationer i heltalsmultiplar av 2π. Detta innebär att operationen mod 2π inte påverkar avbildningens egenskaper. Variabelbytet X → X + π visas på liknande sätt vara ekvivalent med K → −K. Detta innebär att negativa K skiljer sig från positiva K endast genom en translation av π i X. Undersökningarna kan därför begränsas till K ≥ 0 utan förlust av generalitet.

B. Numerisk undersökning

För att visualisera standardavbildningen väljs M initial- villkor (X0, Y0)m, m = 1, 2, ..., M likformigt slumpmässigt fördelade över 2π-kvadraten. Dessa itereras N gånger genom (82) och den resulterande punktmängden plottas. Exempel visas för k = 0.5, 1 och 2 i Fig. 9, 10 och 11.

Figur 9. Standardavbildningen för K = 0.5. Så gott som alla banor är periodiska.

Figur 10. Standardavbildningen för K = 1. En stor del av XY -rummet är nu ergodiskt, men flera öar finns fortfarande kvar.

1) Periodiska och ergodiska banor: För vissa initialvillkor blir den bildade banan periodisk och sluten i XY -rummet. En mängd av närliggande slutna banor kallas för en ö. Andra banor är periodiska men inte slutna och bildar passerande banor över hela kvadraten i X-led. En mängd närliggande passerande banor kallas för ett band.

Banor som inte är periodiska är till synes slumpmässiga och sprider efter tillräckligt många iterationer ut sig över den area som begränsas av de kringliggande periodiska banorna. Dessa områden kallas för ergodiska. Ergodiska områden är kaotiska vilket innebär att två godtyckligt närliggande initialvillkor definierar helt skilda banor efter tillräckligt många steg.

2) Klassificering av banor: Det är intressant att kunna klas- sa vilka banor i rektangeln som uppvisar ergodiskt beteende. För att skilja en ergodisk bana från en periodisk jämförs två olika banor som ges av närliggande initialvillkor (X0, Y0)och

Figur 11. Standardavbildningen för K = 2. Nästan alla öar har försvunnit och majoriteten av XY -rummet är ergodiskt.

(X

0, Y0) = (X0, Y0) + (∆X0, ∆Y0). Avståndet mellan de två banorna beräknas i varje iteration n = 1, 2, ..., N, genom

d2n= (Xn− Xn)2+ (Yn− Yn)2 (83) Där N är det maximala antalet iterationer. Om dnöverstiger ett förbestämt tal, dmax d0för något n < N, så klassas banan som ergodisk. Annars klassas banan som periodisk. Andelen ergodiska banor uppskattas sedan genom ˆpergo = Mergo/M, där Mergo är antalet banor som klassats som ergodiska.

För att bedöma hur ergodiciteten hos standardavbildningen varierar för olika K genomförs ergordicitetsundersökningen för K = 0, 0.1, 0.2, ..., 8. I varje undersökning användes M = 4× 106_{, (∆X}

0, ∆Y0) = (10−10, 0), dmax= 0.01, N = 5000. ˆ

pergo(K)beräknas för flera värden på K och resultatet visas i Fig. 15. I Fig. 12, 13 och 14 visas de ergodiska och periodiska banorna färgade i rött respektive blått för K = 0.9, 1 och 1.1. Figurerna visar att XY -rummet för låga värden på K är mestadels periodiskt med mindre avskilda ergodiska regioner. Då K ökar växer de ergodiska regionerna och de fyller till slut hela XY -rummet. En viktig övergång sker kring K = 1, där ett periodiskt band som tidigare delat XY -rummet i två regioner försvinner. Denna kallas för barriärövergången och mer detaljerade uträkningar visar att den sker vid K ≈ 0.9716 [8].

C. Felanalys av pergo

För att bedöma hur tillförlitliga resultaten är krävs en upp- skattning av felkällornas påverkan. De fel som kan uppkomma är följande trunkeringsfel:

• En bana blir felklassad

• begynnelsevillkoren är inte fördelade i proportion till det sanna värdet pergo

Det första felet är ett resultat av att ett begynnelsevillkor inte garanterat hinner uppvisa ett kaotiskt beteende under ett ändligt antal iterationer N < ∞. En simulering med k = 1 och N = 105 _{visar att cirka 4 % av banorna uppvisar ett}

Figur 12. Banor i standardavbildningen för K = 0.9 klassade som ergodiska (rött) eller periodiska (blått). XY -rummet delas i två av ett periodiskt band som inte kan passeras av ergodiska banor.

Figur 13. Banor i standardavbildningen för K = 1. Barriärövergången har passerats och det periodiska bandet delar inte längre XY -rummet i två.

ergodiskt beteende först efter 5000 iterationer och hade därför klassats fel av den använda metoden. Detta fel väntas öka för små K-värden då avbildningen endast är svagt ickelinjär.

En annan anledning till att en bana blivit felklassad är att dmaxär för liten, vilket leder till att två periodiska banor som efter tillräckligt många iterationer hamnar ur fas klassas som ergodiska. Simuleringar med olika värden på dmaxvisar dock att parameterns exakta värde inte har någon större betydelse. Detta på grund av att ∆X0 är mycket liten vilket gör att de två undersökta banorna har nästan identiska periodtider och det tar därför många storleksordningar fler iterationer för att detta fel ska uppkomma.

Det andra felet uppkommer eftersom att ett ändligt antal begynnelsevillkor användes, M < ∞. Om man antar att alla banor klassas rätt kan skattningen ˆpergo av pergo ses som ett

Figur 14. Banor i standardavbildningen för K = 1.1. Alla bandstrukturer har upplösts och endast öar finns kvar.

Figur 15. En skattning av andelen periodiska banor pergosom funktion av K. utfall av ˆ pergo= 1 M M−1 m=0 Im(K) (84)

Där den stokastiska variabeln Im(K)är 1 med sannolikheten pergo(K) och 0 med sannolikheten 1 − pergo(K), motsva- rande ett slumpmässigt val av begynnelsevärde (X0, Y0)m någonstans i kvadraten. Im(K) har då standardavvikelsen 

pergo(K)(1− pergo(K)), vilket medför att standardavvikel- sen för skattaren blir:

σpˆergo=

pergo(K)(1− pergo(K))

M (85)

Felet varierar alltså som 1/√M. Till exempel då K=1 är ˆ

pergo = 0.48 och felet i skattningen av pergo blir ca 1% (med 95% konfidensintervall).

Metoden fungerar bra men kräver många iterationer för att med säkerhet kunna skatta ergodiciteten hos fasrummet. Då periodiska banor tar längre tid att klassificera är metoden långsammare för små K och snabbare för stora.

IX. RESULTAT OCH DISKUSSION

RF-uppvärmning av enstaka partiklar i tokamakplasma har undersökts. Uppvärmningsprocessen beskrevs i termer av par- tikelns energi och gyrofas vars interaktion för små ändringar i energi beskrivs av Chirikovs standardavbildning enligt (81). A. Fysikalisk tolkning

Undersökningen av Chirikovs standardavbildning i sektion VIII visade hur upprepad iteration av ett givet initialvillkor (X0, Y0) definierar en bana i XY -planet. En plasmaparti- kels upprepade passager av resonanspunkten definierar på samma sätt för ett initialvillkor ( ˆφ0, ˆW0) en bana i ˆW ˆφ- planet. Banorna visades kunna klassas som antingen ergodiska eller periodiska. En partikel vars bana i energi-fas rummet är periodisk är låst kring sin begynnelseenergi och kan därför inte påverkas av RF-uppvärmningen. Ergodiska partiklar kan däremot både öka och minska sin energi i medeltal givet att de har passerat barriärövergången vid K ≈ 0.97.

Sannolikheten att en slumpvist vald partikel i ˆW ˆφ-planet följer en ergodisk bana ges av pergo som beror på parametern K. En partikel med stort värde på K får i medeltal större energiändring då den passerar en resonanspunkt. Större värden på K leder därför generellt till en större andel ergodiska banor. En uppskattning av pergo som funktion av K redovisas i Fig. 15. Ur den dras slutsatsen att andelen stokastiska banor överstiger 99 % omkring K = 5.

För ergodiska partiklar är det viktigt att notera att standar- davbildningen endast beskriver uppvärmningen nära begynnel- seenergin W0. Om energiändringen blir stor måste avbildning- en linjäriseras kring den nya energinivån för att erhålla ett nytt värde på K. Därefter måste en ny bedömning göras av huruvida partikelbanan fortfarande är ergodisk.

B. Beräkning av parametern K

Ett uttryck för parametern K i termer av partikelparamet- rarna i tabell I och reaktorparametrarna i tabell II togs fram i sektion VII. Storleken på K används för att förutsäga hur väl RF-uppvärmning fungerar i tokamak-reaktorerna JET och ITER. Reaktorparametrar har hämtats från [9] och värdet på det elektriska fältet från [10] och [11].

Tabell I PARTIKELPARAMETRAR

Partikelparameter Symbol Storlek

Massa (3_{He) m 3*1.673 ×10}−27_kg Laddning (3_{He) qe 2*1.602 ×10}−19_C Begynnelseenergi W0

Vändpunktsvinkel θ0

Tabell II REAKTORPARAMETRAR

Reaktorparameter Symbol JET ITER

Innerradie r0 1 m 2 m Ytterradie R0 3 m 6 m Toroidal fältstyrka Bϕ0 3.5 T 5.3 T Resonansvinkel θres π/2 π/2 E-fältstyrka E+ 7.1 kV/m 7.1 kV/m Säkerhetsfaktor q 1 1

Figur 16. K som funktion av partikelns energi och vändpunkt i JET för en bana med radien r = 0.5 m. Den streckade linjen visar barriärövergången K = 0.97.

En undersökning görs för partiklar med radien r = r0/2och θ0∈ (π/2, π). Partiklar som vänder vid vinklar mindre än π/2 passerar ingen resonanspunkt och påverkas därför inte av RF- uppvärmningen. En typisk temperatur för ett tokamakplasma är 13 keV. Resultaten visar att så gott som alla partiklar då är ergodiska förutom de med startvinklar nära θ0 = 0.59π där de två termerna i (78) tar ut varandra. För startvinklar utanför θ0 ≈ 0.59π minskar K i absolutbelopp med ökande energier vilket leder till att området där K < 0.97 växer. En noggrannare undersökning gjordes därför av partiklar med mer extrema energier, närmare gränsen mellan ergodiskt och periodiskt beteende.

K visualiseras i absolutbelopp som funktion av en partikels begynnelseenergi och vändpunkt för JET och ITER i Fig. 16 och 17 för energier i intervallet 300-4000 keV. Två typexempel på hur K varierar som funktion av den inre radien r för partiklar med vändpunkt vid vinkeln θ0= 0.51π visas i Fig. 18.

C. Modellens begränsningar

I modellen antas partiklar i plasmat följa pendelbanor med konstant radie i torusens poloidalplan och endast passera en resonanspunkt per period, se Fig. 7. Detta motsvarar använd- ningen av en RF-antenn som kan generera en mycket smal våg. I praktiken används antenner som sprider radiovågor med rumsvarierande fältstyrka [11] och partiklar kan då passera flera resonanspunkter under samma period.

Figur 17. K som funktion av partikelns energi och vändpunkt i ITER för en bana med radien r = 1 m. Den streckade linjen visar barriärövergången K = 0.97.

Figur 18. K som funktion av partikelns avstånd till plasmats centrum r i JET och ITER för θ0 = 0.51π och energierna W0 =4 MeV och 1 MeV. Gränsen K = 0.97 ges av den streckade linjen.

I en modell som tar hänsyn till fyra resonanspunkter har partiklar kortare sträckor att färdas mellan resonanspunkter och fasändringen hade därför varit annorlunda. För att göra mo- dellen mer verklighetstrogen skulle uttrycket för fasändringen mellan resonanspunkter i (64a) behöva modifieras för att ta hänsyn till detta. En sådan modell hade däremot inte kunnat kopplas till standardavbildningen.

X. SLUTSATS

En modell för RF-uppvärmning av enstaka partiklar i ett tokamakplasma har utvecklats baserad på Chirikovs standar- davbildning. Modellen kan användas för förutsäga hur en given partikel växelverkar med RF-vågen och hur den i processen ändrar sin energi och vågpartikelfas. I modellen bestäms effektiviteten hos RF-uppvärmningen av parametern K som

beskriver sannolikheten att en given partikel är ergodisk och kan uppta energi.

Från Fig. 16, 17 och 18 kan slutsatsen dras att K för både JET och ITER antar tillräckligt höga värden för att majoriteten av alla partiklar i plasmat med typiska energier kring 13 keV ska kunna bidra till RF-uppvärmningen. De visar däremot även att det finns ett område i rummet av initialvillkor (θ0, W0, r) där inga partiklar kan uppta energi. Detta område växer med ökande W0men är mindre i ITER än i JET. RF-uppvärmning kan därför väntas fungera bättre i den nya reaktorn.

FÖRFATTARNAS TACK

Vi vill tacka vår handledare Thomas Jonsson på avdelningen fusionsplasmafysik för alla långa och intressanta handledar- möten. Vi vill även tacka Anders fästmö Julia samt föräldrar Martin och Inger för flera värdefulla synpunkter.

REFERENSER

[1] J. Freidberg, Plasma physics and fusion energy. Cambridge university press, 2007.

[2] ITER, “Facts & figures,” [Online]. Available: https://www.iter.org/proj/ factsandfigures. [Accessed: May 5, 2015].

[3] ——, “Iter & beyond,” [Online]. Available: https://www.iter.org/proj/ iterandbeyond. [Accessed: May 5, 2015].

[4] J. C. Sprott, Chaos and time-series analysis. Oxford University Press, 2003, pp. 203–204.

[5] D. Burke, Diagram depicting the angular directions in a torus, 2006. [Online]. Available: http://en.wikipedia.org/wiki/Torus#/media/ File:Toroidal_coord.png

[6] A. Knutsson, “Modelling magnetic confinement of plasma in toroidal fusion devices,” B.S. Thesis, The Alfven Laboratory. Div. of Fusion Plasma Physics., Royal Inst. of Tech., Stockholm, Sweden, 2013. [7] L. Råde and B. Westergren, Mathematics handbook for science and

engineering. Cambridge university press, 2007.

[8] A. J. Lichtenberg and M. A. Lieberman, Regular and Chaotic Dynamics. Springer Verlag, 1992, p. 255.

[9] A. C. C. Sips, “Advanced scenarios for iter operation,” Plasma physics and controlled fusion, vol. 47, no. 5A, p. 26, 2005.

[10] T. Jonsson, “Fast wave heating of cyclotron resonant ions in tokamaks,” Ph.D. dissertation, The Alfven Laboratory. Div. of Fusion Plasma Physics., Royal Inst. of Tech., Stockholm, Sweden, Tech. Rep., 2004. [11] E. F. Jaeger et al., “Simulation of high-power electromagnetic wave

heating in the iter burning plasma,” Physics of Plasmas, vol. 15, no. 7, pp. 072 513–4, 2008.