T OKAMAK A Geometr

I en tokamak innesluts fusionsplasmat i en torusformad kammare med ytterradien R0och innerradien r0. Torusformen är nödvändig för skapa ett helixformat magnetfält som kan innesluta plasmat. För att på ett naturligt sätt sätt beskriva plas- mat införs ett toroidalt koordinatsystem. En punkt beskrivs av tre variabler: den toroidala vinkeln ϕ ∈ [0, 2π], den poloidala vinkeln θ ∈ [0, 2π] samt avståndet från centrum av torusens poloidala tvärsnitt r ∈ [0, r0]. En annan viktig variabel är avståndet från torusens symmetriaxel R ∈ [R0− r0, R0+ r0]. Dessa geometriska storheter illustreras i Fig. 1 och 2.

Som basvektorer väljs ˆϕ, ˆθoch ˆrsom definieras enligt Fig. 2.

B. Inneslutande magnetfält

För att innesluta plasmat krävs ett helixformat magnetfält [1]. Ett sådant kan generellt skrivas som

B = Bϕϕ + Bˆ θθ.ˆ (3) Den toroidala komponenten Bϕ genereras av supraledande spolar som är utplacerade med jämna mellanrum kring torusen. Dessa kan modelleras som att en oändligt lång rak strömslinga går genom mitten av torusen och Bϕ antas därför ges av

Bϕ= Bϕ0 R0

R (4)

där Bϕ0 är fältstyrkan vid plasmats centrum.

Den poloidala komponenten Bθ genereras genom att driva en ström toroidalt i plasmat. Strömmen antas vara jämnt

fördelad över plasmats poloidala tvärsnitt. På grund av att magnetfältskomponenterna i poloidalriktningen är tätare mot mitten av torusen uppkommer en extra R0

R-faktor, jämfört med motsvarande fält från samma ström i en cylinder. Detta ger

Bθ= Bθ0 R0 R r r0 (5) där Bθ0 är fältstyrkan vid plasmats kant då θ = π/2. Magnetfältet B kan därför skrivas som

B = Bϕ0 R0 Rϕ + Bˆ θ0 R0 R r r0 ˆ θ. (6)

(6) antas ge det generella uttrycket för magnetfältet i plasmat och används i de fall då en detaljerad behandling krävs. I de flesta tokamakplasman är däremot B-fältets toroidalkomponent större än dess poloidalkomponent: Bϕ0 Bθ0. B kan därför i många fall approximeras genom

B≈ Bϕ0R0

Rϕ.ˆ (7)

Approximationen antas gälla i hela plasmat men är bättre för små r.

Ur Fig. 2 dras slutsatsen att R kan relateras till r och θ genom R = R0+ r cos θvilket ger

B_{≈ B}ϕ0 R0 R0+ r cos θ ˆ ϕ = Bϕ0 1 + r/R0cos θ ˆ ϕ. (8) I hela plasmat gäller r  R0 och B-fältet kan approximeras med en första ordningens Taylorserie enligt

B_{≈ B}ϕ0(1− r R0

cos θ) ˆϕ. (9)

III. PARTIKELDYNAMIK

En partikels rörelse i plasmat påverkas av flera faktorer. De största av dessa är växelverkan med andra partiklar och med de inneslutande magnetiska fälten. Ett typiskt fusionsplasma har låg bränsletäthet så växelverkan mellan partiklar sker oftast på långa avstånd i form av svaga kollisioner. Sådana kollisioner har liten kortsiktig inverkan på en partikels bana men kan över tid böja den så att partikeln lämnar plasmat, vilket bildar förluster.

A. Gyrorörelse

På grund av att inverkan av kollisioner på partikelbanornas form är liten används här en kollisionslös modell av plasmat, alla partiklar antas röra sig oberoende av varandra. Det antas även att det magnetiska fältet inte påverkas av partiklarna. Det räcker därför att undersöka rörelsen hos en enstaka partikel eftersom alla andra partiklar kan antas ha samma beteende.

En partikel med laddning qe, massa m och hastighet v som befinner sig i ett magnetfält B påverkas av Lorentzkraften. Denna agerar i en riktning som är vinkelrät mot både hastig- heten och magnetfältet enligt

Figur 3. En partikels bana i ett homogent B-fält i z-riktningen. På grund av Lorentzkraften kröks banan till en helix runt fältlinjen.

En konsekvens av Lorentzkraften är att partiklar som rör sig i magnetiska fält bildar spiralbanor runt fältlinjerna. En annan viktig observation är att Lorentzkraften inte har någon komponent i magnetfältets riktning, partiklar kan alltså röra sig opåverkade längs fältlinjerna.

Rörelseekvationerna i (10) motsvarar tre första ordningens differentialekvationer i partikelns hastighet, en för varje vek- torkomponent. För att få en klarare bild av partikelbanorna tas lösningar till dessa fram. Som utgångspunkt undersöks ett förenklat magnetfält med cylindersymmetri som är konstant och homogent i z-riktningen: B = B ˆz. Rörelseekvationerna för en partikel blir då

˙v = qe

mv× B ˆz. (11)

Detta leder inte till en fullständig bild av partiklarnas rörelser men är användbart för att bilda en intuitiv förståelse. Som exempel antas partikeln ha hastighet v|| parallellt med, och v⊥ vinkelrätt mot det magnetiska fältet. Hastigheten vid tiden t = 0väljs enligt

vx(0) = v⊥ vy(0) = 0 vz(0) = v||.

(12) För dessa begynnelsevillkor kan (11) lösas. Hastigheten vid en tidpunkt t blir

v = v⊥cos(ωgt)ˆx + v⊥sin(ωgt)ˆy + v||z.ˆ (13) Detta beskriver en helixbana kring fältlinjerna och visas i Fig. 3. Frekvensen ωg kallas gyrofrekvensen och ges av

ωg= qeB

m . (14)

Man kan även visa att gyrorörelsen har en bestämt radie [1], denna kallas gyroradien och ges av

rg= mv⊥ |qe|B

. ₍₁₅₎

B. Gyrocenterteori

En mer verklighetstrogen modell av partikelbanorna fås om man tillåter magnetfält som varierar i rummet. Om fältet kring en given partikel varierar långsamt med avseende på gyrora- dien som definierades i (15) uppstår samma beteende som i föregående sektion. Partikelns vinkelräta hastighet kröker partikelbanan till en helixbana. Helixbanans centrum kommer i sin tur följa magnetfältslinjerna som i allmänhet även de är krökta. Resultatet är att partikelbanor i tokamakplasmat kan delas upp i två komponenter:

• En gyrobana med radie rg som beskriver partikelns rotation kring magnetfältslinjerna med hastighet v⊥. • En gyrocenterbana som beskriver rörelsen hos partikelba-

nans centrum. Denna tenderar att följa magnetfältslinjerna med hastighet v_||men är i allmänhet även påverkad av ett flertal drifttermer [1] som inte behandlas i denna rapport. I många fall kan krafter som agerar på en partikel i ett fusionsplasma antas verka på dess gyrocenter vilket förenklar analysen avsevärt. Denna typ av approximation leder till en så kallad gyrocenterteori (guiding center theory) och används ofta inom plasmafysik [1].

C. Magnetisk spegling

En gyrerande laddad partikel har per definition ett magne- tiskt moment µ = IA. Då partikelns gyrobana har vinkelfre- kvens ωgoch radie rg kan medelvärdet av strömmen I skrivas som produkten av partikelns laddning och antalet gyrovarv per sekund I =qeωg 2π = q2 eB 2πm. (16)

Arean A som spänns upp av banan ges av A = πrg2= π

 mv⊥ qeB

2

. ₍₁₇₎

Det magnetiska momentet blir alltså µ = 1 2mv 2 ⊥ B . (18)

Det visas i till exempel [1] att µ är en adiabatisk invariant för en given partikel så länge ingen energi tillförs systemet; den är konstant i medelvärde över flera gyroperioder. Denna konstant leder till ett fenomen som kallas magnetisk spegling. Betrakta en partikel som rör sig längs en magnetfältslinje med hastighet v = v2

⊥+ v||2. Antag nu att partikeln rör sig mot ökande magnetfält. Enligt (18) måste då även den vinkelräta hastigheten v⊥ öka för att µ ska förbli konstant. Lorentzkraften kan inte tillföra partikeln någon energi så även hastigheten v är konstant. Detta gör att en ökning i v⊥ måste leda till en minskning i v||. Om magnetfältet fortsätter att öka längs partikelbanan nås till slut en vändpunkt där v||= 0. Vid den punkten har partikeln endast vinkelrät hastighet så v = v⊥ och dess gyrocenter står stilla. Efter att vändpunkten nåtts rör sig partikeln tillbaka längs fältlinjen mot minskande fältstyrka, man säger då att partikeln har speglats av det magnetiska fältet. I tokamakreaktorer leder detta till att partiklar hamnar i så kallade bananbanor. Poloidalvinkeln för en partikels vänd- punkt betecknas θ0.

B

Bθ _v

vθ ˆ θ

Figur 4. B-fältet och hastighetsvektorn illustrerade i relation till deras poloidalkomponenter

IV. PARTIKELBANOR

I sektion III-C beskrevs hur partiklar i plasmat bildar poloidala bananbanor som följd av magnetisk spegling. I detta avsnitt görs en mer noggrann undersökning av dessa.

Partikelns bana antas ha sin vändpunkt vid vinkeln θ0 och banan antas ligga på en konstant innerradie r. Banans periodtid T ges då av tiden det tar för partikeln att färdas längs en poloidal cirkelbåglängd i plasmat, vilket motsvarar integralen

T =  partikelbanandt = 2  θ0 −θ0 1/ ˙θdθ. (19) För att beräkna denna krävs ett utryck för 1/ ˙θ.

Som utgångspunkt betraktas energin W hos partikeln. I frånvaro av yttre uppvärmning är W konstant och ges av partikelns kinetiska energi

W = 1 2mv

2_{. (20)}

På samma sätt som i sektion III-A delas partikelhastigheten v upp i komponenterna v_|| och v⊥. Genom dessa definieras partikelns parallella och vinkelräta energi

W = 1 2mv 2 ||+ 1 2mv 2 ⊥ = W_||+ W_⊥. (21) Som beskrevs i sektion III-C har partiklar i plasmat en adiabatisk konstant µ = 1

2mv⊥/B = W⊥/B. Med hjälp av denna och utrycket för B-fältet i (9) kan W⊥ skrivas i termer av de poloidala koordinaterna r och θ

W⊥= µB ≈ µBϕ0(1− r R0

cos θ). (22)

För att hitta ett utryck för W_|| används att vinkeln och storleksförhållandet mellan poloidalkomponenten och paral- lellkomponenten av hastighetsvektorn v är densamma som för magnetfältet B.

Denna relation illustreras i Fig. 4 och leder till sambandet v_|| vθ = B Bθ ≈ R0 RBϕ0 R0 R r r0Bθ0 . (23) Där approximationen B ≈ R0

RBϕ0 användes i andra steget. Den poloidala hastigheten vθ bestäms av partikelns avstånd från plasmats centrum och dess vinkelhastighet enligt vθ= r ˙θ. Detta gör att parallellhastigheten kan skrivas i termer av ˙θ och fältets säkerhetsfaktor q

v_||= r0Bϕ0 Bθ0

˙θ = qR0˙θ. (24)

W|| kan nu beräknas och partikelns totala energi blir W = 1 2m(qR0) 2_˙θ2_{+ µB} ϕ0(1− r R0 cos θ). (25) Ekvation (25) är en differentialekvation i variabeln θ. Utan uppvärmning är parametrarna W och µ konstanta och bestäms av partikelns initialvillkor. Partikelenergin kan jämföras med energin hos en matematisk pendel med längd L och massa m

Wpendel= 1 2mL

2_˙θ2_{+ mgL(1}

− cos θ). (26) Matchning av koefficienter visar att partikeln mellan vänd- punkterna kommer att bete sig som en pendel med längden L = qR0 och massan m som påverkas av tyngdacceleration g = µBϕ0r/mqR20. Härledningen av banans periodtid blir därför ekvivalent med härledningen för periodtiden hos en pendel.

Vid vändpunkten θ = θ0 rör sig inte partikelns gyrocenter så ˙θ(θ0) = 0. Används detta villkor i (25) kan energin W skrivas i termer av θ0 och µ enligt

W = µBϕ0(1− r R0

cos θ0), (27) vilket ger följande differentialekvation för θ

0 = 1 2m(qR0) 2_˙θ2_{+ µB} ϕ0 r R0 (cos θ0− cos θ). (28) Ur denna kan 1/ ˙θ lösas ut

1/ ˙θ = qR0  m 2µBϕ0_Rr₀ 1 √ cos θ_{− cos θ}0 . ₍₂₉₎

Vilket gör att periodtiden för en partikel i tokamakplasmat kan skrivas som T = 2qR0  2mR0 µBϕ0r  θ0 0 dθ √ cos θ_{− cos θ}0 . (30) Här utnyttjades att 1/ ˙θ är en jämn funktion i θ.

En numerisk undersökning av periodtiden för 3_{He-joner i} ITER redovisas i Fig. 5. T plottas som funktion av startvinkeln θ0som varieras mellan 0 och π för partikelenergierna 20 keV, 60 keV och 1 MeV. Det magnetiska momentet µ beräknas ur energin och startvinkeln genom ekvation (27).

V. ENERGITILLSKOTT VIARF-UPPVÄRMNING