Sammanfattningsvis visar observationerna på 17 problemsituationer. Av dessa löses åtta med IR och nio helt eller delvis med hjälp av KMR. Det resonemang som oftast används för att lösa uppgifterna är FAR., vilket är fallet vid sju tillfällen. Det näst vanligaste resonemanget är KMR vilket används i sex problemsituationer. En kombination av dessa två resonemangstyper används vid tre tillfällen och benämns LKMR. Endast vid en uppgift används BAR. Vid FAR, som är det enskilt mest använda resonemanget, motiveras strategivalet av att man vet att kvoten multiplicerat med nämnaren ger täljaren. Detta argument används av samtliga elever. Detta visar på en matematisk förståelse om hur de i algoritmen ingående delarna förhåller sig till varandra. Trots detta kommer eleverna inte alltid fram till en korrekt lösning då de många gånger inte förmår fortsätta det logiska resonemanget och den matematiskt grundade argumentationen när t.ex.
nämnaren består av en subtraktion.
Cecilia är den elev som löser flest uppgifter på rutin men då hon stöter på ett problem använder hon sig bara vid ett tillfälle av KMR. Vid detta tillfälle förankrar hon dock sitt resonemang i relevanta matematiska egenskaper och kommer fram till en korrekt lösning. I övriga fall använder hon sig av FAR och då ersätter hon de matematiska egenskaperna med ytliga till synes relevanta egenskaper i uppgiften. Vid rutinuppgifter och KMR uttrycker hon hela tiden en relationell förståelse av likhetstecknet genom att tala om jämvikt, medan hon vid FAR övergår till att ge uttryck för en instrumentell förståelse genom att säga ”det blir”. Denna senare typ av resonemang leder henne uteslutande till felaktiga slutsatser.
Johan använder sig, precis som Cecilia, av KMR vid endast en problemsituation. Även han förankrar då sina argument i relevanta matematiska egenskaper och kommer fram till en korrekt slutsats. Johan visar här tecken på en relationell förståelse av likhetstecknet då han uttrycker att då
”får man jämvikt”. I två av de övriga uppgifterna ersätts denna förankring med ytliga icke relevanta egenskaper hos de i uppgiften ingående delarna och han försöker lösa dem med hjälp av en familjär kontrollalgoritm som han uppenbarligen lärt sig i undervisningen. Johan uttrycker då en instrumentell förståelse av likhetstecknet genom att säga att ”det ska bli”. När Johan ställs
25
inför det faktum att han inte förstår vad han ska göra för att lösa dessa problem blir han mycket pressad och så känslomässigt påverkad att han börjar gråta. Han ger upp sina försök att resonera sig fram till en lösningsstrategi och lämnar uppgifterna olösta. Det ska dock nämnas att han vid två andra problemsituationer använder sig av FAR som leder till korrekta slutsatser trots att han även här ger uttryck för den instrumentella förståelsen av likhetstecknet.
Anna är den enda elev som uteslutande använder sig av KMR eller LKMR när hon ställs inför en problemsituation. Hon är också den enda av de observerade eleverna som kommer fram till korrekta slutsatser på samtliga deluppgifter. Hon förankrar sina argument för strategival och implementering i relevanta matematiska egenskaper då hon ger uttryck för en relationell förståelse av likhetstecknet genom att argumentera att det ska vara jämvikt när det är ett likhetstecken.
Ibland använder hon dock uttrycket ”bli” men då i samband med en strävan efter jämvikt.
Erik löser de flesta av problemen med KMR eller LKMR. När han använder KMR visar han med både ord och gester att han vill ha jämvikt vilket indikerar en relationell förståelse av likhetstecknet. Dock använder Erik även uttrycket ”ska bli” vilket antyder en instrumentell förståelse. Vid LKMR inleder han sina resonemang med att ersätta relevanta matematiska egenskaper med ytliga egenskaper t.ex. i uppgift 3c där även han konstaterar att 12–3=9 vilket inte är relevant i det aktuella problemet. Här antyds också en instrumentell syn på likhetstecknet.
När han inser att det blir fel övergår han till att förankra sina argument i de inre egenskaperna i uppgiften och visar då en relationell förståelse av likhetstecknet. Vid samtliga av dessa kreativa resonemang kommer Erik fram till korrekta lösningar.
26
7 Diskussion
Följande avsnitt avser att diskutera frågeställningarna och resultaten i ljuset av den tidigare forskning som gjorts inom området. Många gånger för elever ogrundade resonemang och detta kan få konsekvenser för deras förståelse för matematiken. Som lärare kan man hjälpa eleverna att undvika de imitativa resonemang som ofta leder till felaktiga lösningar och slutsatser.
Resultaten visar att ungefär hälften av problemsituationerna löstes med hjälp av imitativa resonemang och den andra hälften med någon form av kreativt resonemang. I alla de problemsituationer som löstes med KMR eller LKMR kom de observerade eleverna fram till en korrekt slutsats. Lösaren visar genom sina resonemang att kunskapen om den matematiska grunden i uppgiften finns. Dessutom motiverar eleven sitt strategival genom att argumentera för varför lösningen är rimlig. På så sätt uppfyller lösaren alla de kriterier som Lithner (2008, s. 266) ställt upp för att ett resonemang ska klassas som KMR. Anna löste alla de problemsituationer hon ställdes inför med hjälp av KMR grundat på de matematiska egenskaperna i uppgifterna.
När man jämför dessa resultat med resultaten från de problem som löstes med IR visar det sig att det är produktivt och lönsamt att använda sig av kreativa resonemang. Vid en analys av de problemsituationer som löstes med IR visade det sig att endast vid två tillfällen då FAR användes, kom lösaren fram till en korrekt slutsats. I övriga fall grundade lösaren sina resonemang på så ytliga matematiska egenskaper, som inte hade någon relevans för uppgiften, att det ledde till en felaktig lösning. I dessa fall kunde lösaren inte heller på matematisk grund argumentera varför slutsatsen skulle kunna vara rimlig. Istället angavs till exempel motiveringar som ”Jag känner på mig att det ska vara en femma där” vilket skulle kunna indikera avsaknad av förståelse.
Anna, som kom fram till korrekta lösningar på alla uppgifterna, kunde vid samtliga observerade tillfällen ge välgrundade argument för rimligheten i sina slutsatser. Ett många gånger återkommande och uttalat argument var att det ska vara jämnt när det är ett likhetstecken. Det argumentet framfördes också av Cecilia när uppgifterna var av rutinkaraktär för henne. Det var då självklart att det skulle vara jämvikt, lika mycket på båda sidor av likhetstecknet. Intressant att påpeka är att när Cecilia upplevde problemsituationer som hon försökte lösa med FAR såg hon istället likhetstecknet som ”det blir” eller ”det ska bli”, d.v.s. en instrumentell förståelse av likhetstecknet. Asquith et al. (2007, s. 253), Stephens (2006, s. 251) och Skott et al. (2009, s. 680) menar att det är just den synen på likhetstecknet som gör att elever många gånger får problem och den åsikten stöds av det faktum att Cecilia i dessa uppgifter kom fram till inkorrekta lösningar. Även Erik uttrycker vid FAR att ”det blir” men i de två uppgifter där han övergår till LKMR ändrar han också sitt uttryckssätt till ”det är” i samband med denna övergång. Om det är denna övergång från ett dynamiskt sätt att resonera kring likhetstecknet till det statiska synsättet som hjälper honom till korrekta lösningar är svårt att avgöra, men mot bakgrund av det forskarna (Asquith et al., 2007, s. 253; Stephens, 2006, s. 251; Skott et al., 2009, s. 680) anser så kan det vara
27
en bidragande faktor. I Johans fall såg det lite annorlunda ut. Han lyckas i två av sina försöka att lösa uppgifterna med FAR. Det verkade som om han här tolkade likhetstecknet som uttryck för att en beräkning skulle utföras i det att han sa ”det blir” och ”det ska bli”. Samtidigt argumenterade Johan dock för rimligheten i sina lösningar genom att säga att det ska vara jämvikt vilket tyder på att han ändå har en förståelse av likhetstecknet som en relation mellan vänster och höger. Samma uttryck och argument använde Johan när han löste uppgifter med KMR. Man skulle kunna argumentera för att elever mycket väl kan ha en korrekt förståelse av likhetstecknet och att uttrycket ”det blir” snarare härrör från ett gängse sätt att uttrycka sig i många undervisningssituationer i kombination med utformningen av uppgifter i matematikböcker (Stephens, 2006, s. 252).
De uppgifter Johan inte lyckades hitta någon lösning på var uppgift 3b och 3c. Han använde sig där av FAR vilket kanske gav honom problem. En annan anledning till att han inte kom fram till en slutsats kan vara att han blev emotionellt påverkad av situationen. Han var uppenbart stressad av att han inte förstod problemet och slutligen gav han upp och började gråta. Det här är en företeelse man inte kan förbise. Hannula (2004) menar att om känslor, uppfattningsförmåga och motivation är grunden i människans medvetande bör man kunna använda dessa till att karakterisera tilltro, attityder och värden vilka anses påverkar matematikundervisningen (Hannula, 2004, s. 50). Om man blir stressad av att inte förstå ett problem kan detta givetvis påverka möjligheten att resonera logiskt. I Johans fall upprepades det dessutom i en andra uppgift vilket kan ha medfört att hans tilltro till sin egen förmåga sjönk. Detta kan ha ökat hans emotionella reaktion till den grad att han började gråta och hans prestationsförmåga försämrades därpå ytterligare. Anna var också uppenbart stressad vid första uppgiften vilket hon även själv uttryckte i ord. Till skillnad från Johan lyckades hon dock förankra sina argument i relevanta matematiska egenskaper i uppgiften vilket ledde henne till en korrekt lösning på uppgiften. Detta stärkte troligen hennes tilltro till den egna förmågan då hon därefter tycktes helt lugn när hon fortsatte med nästa uppgift.
Om man som lärare redan i de tidiga årens matematikundervisning fokuserar på att lära eleverna föra kreativa matematiska resonemang, där argumenten för strategival, implementering och slutsatsens rimlighet är förankrade i de inre matematiska egenskaperna, skulle det kunna hjälpa eleverna att utveckla den känsla för matematik som Arcavi (1994, s. 32) menar är målet med undervisningen.
28
8 Konklusion
Att eleverna många gånger för IR när de ställs inför matematikproblem kan ha mycket att göra med den uppfattning de får genom undervisningen och hur den bedrivs. Ett sätt att träna eleverna i att föra kreativa matematiska resonemang skulle kunna vara att redan tidigt i skolåren tillhandahålla det som Schoenfeld klassar som kreativa matematiska problem (Hagland et al., 2005, s. 28-30). Traditionella läromedel och även lärartillverkade prov innehåller tyvärr ofta uppgifter av rutinkaraktär (Palm et al., 2011, s. 239). Naturligtvis måste man vara lyhörd för varje enskild individs behov och även se till att klassrumsförhållandena är goda, men man får inte glömma att de problem man ger eleverna måste utgöra en utmaning för att stimulera deras matematiska utveckling och kreativa tänkande. Skemp (2006, s. 96) menar att elever kan visa ett instrumentellt flyt men minnet och den instrumentella förståelsen hjälper dem inte att lösa problem som kräver tolkningar. I den här studien är steget till KMR inte långt när eleverna har kört fast i sin problemlösning. Om eleverna får rätt stöd och en möjlighet att prova sin argumentation kan de således utveckla sin relationella förståelse av likhetstecknet. Utan detta stöd finns annars en risk att eleverna stannar i en instrumentell förståelse. Detta stöds även av resultatet från en metaanalys av Rakes, et al. (2010, s. 387) där det framkom att elever vars undervisning fokuserar relationell förståelse lyckas dubbelt så bra som de elever vars undervisning har fokus på instrumentell förståelse. Om eleverna tidigt får en grundläggande förståelse för likhetstecknets betydelse som en relationell symbol kan det hjälpa dem att förstå och reflektera över ekvationer, vilket skulle lägga grunden till en senare förståelse för algebra.
29
9 Referenslista
Alseth, Bjørnar, Nordberg, Gunnar och Røsseland, Mona (2008). Pixel Matematik 5B Grundbok.
Stockholm: Natur och Kultur.
Alseth, Bjørnar, Nordberg, Gunnar och Røsseland, Mona (2009). Pixel Matematik 6B Grundbok.
Stockholm: Natur och Kultur.
Arcavi, Abraham (1994). Symbol sense: Informal Sense-making in Formal Mathematics. For the Learning of Mathematics, 14(3):24–31.
Asquith, Pamela, Stephens, Ana C., Knuth, Eric J., Alibali, Martha W. (2007). Middle School Mathematics Teachers' Knowledge of Students' Understanding of Core Algebraic Concepts:
Equal Sign and Variable. Mathematical Thinking & Learning, 9(3):249-272.
Bergqvist, Ewa (2006). Mathematics and Mathematics Education: Two Sides of the Same Coin.
Doktorsavhandling vid Institutionen för matematik och matematisk statistik, Umeå universitet, Nr 36.
Blomhøj, Morten (1997). Funktionsbegrebet og 9. klasse elevers begrebsforståelse. Nordisk matematikkdidaktikk (NOMAD) 1:7–31.
Esaiasson, Peter, Gilljam, Mikael, Oscarsson, Henrik & Wängnerud, Lena (2007). Metodpraktikan.
Stockholm: Norstedts Juridik.
Green, Judith, Franquiz, Maria & Dixon, Carol (1999). The Myth of the Objective Transcript:
Transcribing As A Situated Act. Teachers of English to Speakers of Other Languages (TESOL) Quarterly, 31(1):172–176.
Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf & Taflin, Eva (2005). Rika matematiska problem – inspiration till variation. Stockholm: Liber.
Hannula, Markku (2004). Affect in mathematical thinking and learning. Doktorsavhandling vid Åbo Universitet, Finland.
Heikkilä, Mia & Sahlström, Fritjof (2003). Om användning av videoinspelning i fältarbete.
Pedagogisk Forskning i Sverige, 8(1-2):24–41.
Kieran, Carolyn (1981). Concepts Associated with the Equality Symbol. Educational Studies in Mathematics, 12(3):317–326.
Kiselman, Christian & Mouwitz, Lars (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.
Lithner, Johan (2000). Mathematical reasoning and familiar procedures. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 31(1):83–95.
Lithner, Johan (2006). A framework for analysing creative and imitative mathematical reasoning.
Department of Mathematics and Mathematical statistics, Umeå University, Research Reports in Mathematics Education, no.2.
30
Lithner, Johan (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational Studies in Mathematics, 67:255–276.
Merriam, Sharan B. (1994). Fallstudier som forskningsmetod. Översättning: Björn Nilsson. Lund:
Studentlitteratur.
Palm, Torulf, Boesen, Jesper & Lithner, Johan (2011). Mathematical Reasoning Requirements in Swedish Upper Secondary Level Assessments. Mathematical Thinking and Learning, 13(3):221–
246.
Rakes, Christopher, R., Valentine, Jeffrey, C., McGatha, Maggie, B. & Ronau, Robert, N. (2010).
Methods of Instructional Improvement in Algebra: A Systematic Review and Meta-Analysis.
Review of Educational Research, 80(3):372–400.
Schoenfeld, Alan H. (1985). Mathematical Problem Solving. Orlando: Academic Press.
Schoenfeld, Alan H. (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition and sense-making in mathematics. In D. Grouws (Ed.) Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan Publishing Company.
Skemp, Richard R. (2006). Relational Understanding and Instrumental Understanding.
Mathematics Teaching in the Middle School. 12:88–95. (Reprinted from Mathematics Teaching, 77:20–26, 1976).
Skolinspektionen (2009). Undervisningen i matematik – utbildningens innehåll och ändamålsenlighet.
Rapport 2009:5. http://www.skolinspektionen.se. Besökt 2011-12-20.
Skolverket (2000). Kursplan i matematik för grundskolan. Stockholm: Fritzes.
Skolverket (2008). TIMSS 2007. Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Rapport 323. Stockholm: Fritzes.
Skolverket (2010). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (Lgr11). Kapitel 3, Kursplan i matematik. Utbildningsdepartementet. Stockholm: Fritzes.
Skott, Jeppe, Hansen, Christian, Jess, Christine & Schou, John (2009). Matematik för lärare. Y Grundbok band 2. Malmö: Gleerup.
Stephens, Ana C. (2006). Equivalence and relational thinking: preservice elementary teachers’
awareness of opportunities and misconceptions. Journal of Mathematics Teacher Education, 9(3):249–278.
Sumpter, Lovisa (2009). On Aspects of Mathematical Reasoning. Affect and Gender. Doktorsavhandling vid Institutionen för matematik och matematisk statistik, Umeå universitet, Nr 41.
Vetenskapsrådet och Codex: http://www.codex.vr.se/texts/HSFR.pdf. Besökt 2011-11-03.
Øystein, Haavold Per (2011). What characterises high achieving students’ mathematical reasoning? In Sriraman, Bharath & Lee, Kyeong Hwa (Eds.) The elements of creativity and giftedness in mathematics? Rotterdam: Sense Publishers.
31
10 Bilaga
Information angående deltagande i studie
Hej!
Våra namn är Petra Jerström Skarman och Sofia Haegermark Lundin och vi läser sista terminen på lärarutbildningen, lärare i tidiga skolår, på Uppsala universitet. I början av terminen hade vi fem veckors verksamhetsförlagd utbildning (praktik) då jag (Petra) var i ert barns klass och Sofia hade praktik i årskurs 2. Det sista momentet på utbildningen är att skriva ett examensarbete. Vi ska i våra arbeten studera hur eleverna resonerar kring matematiska problem vid arbete med likheter/likhetstecken. För att vi ska kunna genomföra undersökningarna måste vi utföra ett antal videoobservationer där eleverna där eleverna enskilt resonerar kring och löser uppgifter som innehåller likheter. Vi planerar att genomföra observationer med totalt åtta elever, fyra i årskurs 6 och fyra i årskurs 2. Varje elev observeras i ca 30 minuter vid ett tillfälle.
Deltagandet i studien är frivilligt och kan avbrytas när som helst. Endast vi och vår handledare, Lovisa Sumpter, kommer att ha tillgång till materialet. Vid genomförandet av studien utgår vi från Vetenskapsrådets forskningsetiska principer genom Codex och efter genomförd studie och uppsats kommer materialet att arkiveras.
Videoinspelningarna kommer att genomföras så att inga ansikten syns. Eleverna är anonyma och det kommer inte var möjligt att identifiera dem i examensarbetet. Om intresse finns kan man ta del av de slutgiltiga resultaten.
Det skulle vara till stor hjälp i vårt arbete om ert barn, i samförstånd med er och oss, kan delta i studien. Har ni frågor är ni välkomna att höra av er till oss.
Med vänliga hälsningar
Petra Jerström Skarman Sofia Haegermark Lundin
Petra.Skarman.3280@student.uu.se Sofia.Haegermark_Lundin.6398@student.uu.se
Handledare på Uppsala universitet Lovisa Sumpter
Lovisa.sumpter@edu.uu.se
---Jag har tagit del av ovanstående information och godkänner att mitt barn deltar i studien.
Barnets namn:___________________________________________________________
Målsmans namnteckning:___________________________________________________
Namnförtydligande:_______________________________________________________