I kursplanen för matematik i den nya läroplanen för grundskolan står att skolans matematikundervisning ska hjälpa eleverna att utveckla sin förmåga att argumentera och resonera logiskt och matematiskt (Skolverket, 2010, s. 62). I den tidigare kursplanen för matematik kunde man också läsa att skolans undervisning i matematik ska sträva efter att utveckla elevens förståelse för och användning av logiska resonemang (Skolverket, 2000). Både den tidigare och den nya läroplanen framhåller således vikten av att elever lär sig föra matematiska resonemang och att framföra logiska argument för dessa. Trots att man sedan länge haft ambitionen att göra eleverna till problemlösare ägnar sig många fortfarande åt utantillinlärning (Lithner, 2008, s. 255).
Detta, menar författaren, är en huvudsaklig orsak till elevers svårigheter att tillgodogöra sig matematikundervisningen vilket har visat sig i en lång rad empiriska studier som bland andra Lithner själv har genomfört (t.ex. Lithner, 2000, 2006). Utifrån sina studier har han formulerat ett forskningsramverk (Lithner, 2008) för matematiska resonemang.
Matematiska resonemang är ett begrepp som används i olika sammanhang och antyder någon form av högkvalitativa resonemang trots att man sällan ger någon närmare definition på vad som avses (Bergqvist, 2006, s. 14; Lithner, 2008, s. 257). Bergqvist (2006, s. 14) menar att utan en detaljerad definition kan man inte göra en detaljerad analys av elevers resonemang. Därför kommer den här studien utgå från Lithners (2008) tämligen detaljerade definitioner av olika typer av matematiska resonemang. tillvägagångssätt där ”val” ses i en vid bemärkelse och kan innebära att välja, komma ihåg, konstruera, upptäcka, anta etc.
3. Strategiimplementering (SI). Denna kan stödjas av ett verifierande argument som anger varför strategin löste uppgiften.
4. En slutsats (S) erhålls.
Lithner (2008, s. 257) menar att resonemang består av en tankekedja som leder fram till en lösning och en slutsats. Så länge tankekedjan för uppgiftslösaren bygger på någon form av förnuftigt resonemang behöver den inte baseras på formell logik. Inte heller måste resonemanget nödvändigtvis vara korrekt, man kan ändå använda strukturen för klassificering av elevers resonemang när de löser matematikproblem. Med problem avses den definition som Hagland,
8
Hedrén och Taflin (2005, s. 27) använder, d.v.s. eleven ska vilja eller behöva lösa uppgiften, eleven ska inte ha en given procedur för att lösa den och det ska krävas en ansträngning för att eleven ska komma fram till en slutsats.
I sitt teoretiska ramverk diskuterar Lithner (2008) två huvudtyper av resonemang, imitativa resonemang (IR) och kreativa matematiska resonemang (KMR). Dessa uppdelningar ligger i linje med Skemps (2006) indelning av förståelse som instrumentell respektive relationell.
Inom den första typen, IR, nämner han två undergrupper av resonemang. En av dessa är memorerat resonemang (MR) vilket innebär att strategivalet utgörs av att man kommer ihåg ett komplett svar, imiterar eller minns en lösningsstrategi som kan användas för att lösa uppgiften (Lithner, 2008, s. 258) och implementeringen av strategin innebär kort och gott att skriva ner svaret (Lithner, 2008, s. 258). Ett svar består av den efterfrågade informationen medan en lösning är svaret tillsammans med en motivering till varför svaret stämmer (Lithner, 2008, s. 257).
Den andra varianten av imitativt resonemang är algoritmiskt resonemang (AR). Den främsta svårigheten är här att hitta en lämplig algoritm för att lösa en specifik uppgift (Lithner, 2008, s.
261). Lithner (2008, s. 259) definierar en algoritm som en sekvens av instruktioner som utförs för att lösa en viss uppgiftstyp. Även AR kan delas in i subgrupper, närmare bestämt tre stycken.
Den första är familjärt AR (FAR) där lösaren känner igen problemtypen och minns en algoritm som kan användas för att lösa den. Argumentet för val av strategi kan variera men det finns inget behov av att konstruera en ny lösning (Lithner, 2008, s. 259). Implementeringen av strategin innebär att följa algoritmen och utföra de för uppgiftslösaren triviala beräkningarna och endast slarv kan hindra densamme från att nå ett svar (Lithner, 2008, s. 259).
En annan variant är begränsat AR (BAR). Här väljer lösaren bland en begränsad delmängd av alla de algoritmer denne känner till. Kravet för att algoritmen ska kunna anses tänkbar är att den har åtminstone en ytlig koppling till uppgiften i fråga. Strategiimplementeringen innebär att lösaren försöker lösa uppgiften med en algoritm ur delmängden. Om denna inte ger ett för lösaren tillfredställande svar så förkastas algoritmen utan utvärdering och lösaren väljer en ny algoritm ur den begränsade delmängden, o.s.v. (Lithner, 2008, s. 263).
Den sista typen av AR som Lithner (2008, s. 263.) definierar är guidat AR (GAR). Detta innebär att lösaren guidas i sitt val av algoritm, antingen med hjälp av till exempel en matematikbok, så kallat textguidat AR, eller med lärarens hjälp, så kallat personguidat AR. I den förra innebär strategivalet att identifiera ytliga likheter mellan uppgiften och ett exempel i någon textbaserad källa och därefter används algoritmen utan att lösaren motiverar valet med hjälp av något verifierande argument (Lithner, 2008, s. 263). I den senare varianten görs alla strategival av en guide, till exempel läraren, utan att denne ger några argument som hjälper lösaren att förutsäga vad det leder till (Lithner, 2008, s. 264). Lösaren följer algoritmen och genomför de ingående transformationerna utan att använda några verifierande argument (Lithner, 2008, s. 264).
Lithner (2008, s. 266) menar att begreppet matematiska resonemang har olika innebörd i olika sammanhang. För somliga är det samma sak som strikta bevis medan andra även inkluderar
9
mindre strikta resonemang. I skolans värld är det ofta tillåtet att gissa, chansa och att resonera utan större logik, och detta uppmuntras till och med ibland. För matematiker och ingenjörer är detta ett otänkbart förfarande då dessa måste komma fram till korrekta slutsatser medan man i skolan ofta nöjer sig med att eleverna har 50% rätt för att bli godkända på ett prov (Lithner, 2008, s. 266). Lithners teoretiska ramverk föreslår ett vidare resonemangskoncept. Vid strikta resonemang skiljer man på gissningar och bevis medan man vid rimliga resonemang skiljer en rimlig gissning från en mindre rimlig gissning. Ett sådant rimligt resonemang stöds således inte nödvändigtvis av logik utan blir istället konstruktivt med stöd av ett rimligt argument (Lithner, 2008, s. 266). Ett argument kan enligt Lithner (2008, s. 260) vara av två slag. Förutsägande argument stöder analysen, utforskandet och planeringen av en uppgift vid problemlösning medan verifierande argument stöder implementeringen och verifieringen av strategivalet. Lithner (2008, s. 260) menar vidare att kvaliteten hos ett argument avgörs av tre faktorer: argumentets giltighet, dess möjlighet att övertyga samt hur konstruktivt det är. Hållbara argument för de centrala beslut som tas i fråga om strategival, implementering och slutsatsens rimlighet ska således förankras i matematiskt relevanta egenskaper.
För att ett resonemang ska klassificeras som kreativt matematiskt resonemang (KMR) måste det enligt Lithner (2008, s. 266) uppfylla tre kriterier.
1. Nyhet. Uppgiften måste vara ny för lösaren så att en ny resonemangskedja skapas eller en bortglömd sådan återskapas.
2. Rimlighet. Lösaren måste ha argument som motiverar varför strategivalet och/eller dess implementering leder till en rimlig slutsats.
3. Matematisk grund. Argumenten ska vara grundade i matematiskt relevanta egenskaper hos de i resonemanget ingående sekvenserna.
KMR behöver inte alltid vara utmanande utan kan innehålla resonemang av enklare typ. Trots detta är KMR ganska ovanligt och IR dominerar vid elevers strategival. Detta kan delvis bero på att prov utformade av lärare oftast inte kräver KMR (Palm, Boesen och Lithner 2011, s. 239).
Ewa Bergqvist (2006, s. 16) presenterar i sin avhandling en något annorlunda bild av Lithners resonemangsstruktur. Hennes modell inkluderar två subtyper av KMR vilka hon benämner globalt kreativt resonemang (GKR) och lokalt kreativt resonemang (LKR) (Bergqvist, 2006, s. 36). LKR innebär att en uppgift kan lösas nästan uteslutande med IR och bara kräver en lokal modifiering av en algoritm där lösaren måste resonera kreativt. Om en uppgift inte har en lösning som globalt kan lösas med IR utan kräver att lösaren hela vägen igenom uppgiften måste resonera kreativt anses det att uppgiften kräver ett GKR. Delar av ett GKR kan dock vara baserat på ett lokalt IR.
Den här uppdelningen av KMR i två undergrupperna har av nödvändighet tillkommit för att kunna påvisa i vilken utsträckning kreativa resonemang krävs i de uppgifter eleverna stöter på i olika typer av prov menar Bergqvist (2006, s. 37).
Det är denna bild av Bergqvist som kommer att användas som analysverktyg när resonemangen hos eleverna i den aktuella studien ska klassificeras. Detta för att komma åt
10
skillnader mellan globalt och lokalt tänkande, och Bergqvists avhandling öppnar upp för möjligheten att koppla ihop KMR och IR. Figur 1 ger en överblick över de olika typerna av resonemang i Bergqvists resonemangsmodell.
Figur 1. Översikt över de resonemangstyper som ingår i Bergqvists resonemangsstruktur. (modifierad från Bergqvist, 2006).
Fem faktorer som påverkar elevers förmåga att lösa problem och som Schoenfeld (1985; 1992) diskuterar är: resurser, heuristik, kontroll, metakognition och föreställning/tilltro. Resurser är kunskaperna som eleven behöver inom det aktuella matematiska området för att kunna lösa ett problem. Heurestik innebär att eleven besitter och kan använda olika strategier och metoder för att lösa problemet. Kontroll innefattar elevens medvetenhet om och ordning på vad hon håller på med vid lösning av problemet. Det rör också elevens förmåga att reflektera över sitt eget tänkande, metakognition, vilket kom till som den femte kompetensen eleven behöver vid problemlösning. Föreställning/tilltro inkluderar elevens uppfattningar om matematik och de förväntningar eleven har på sin egen matematiska förmåga och detta tillhör således det affektiva området som involverar känslor. Hannula (2004, s. 50) vill skilja på uppfattningar och känslor och menar istället att varje uppfattning kan vara associerad med en känsla. Problemlösning kan till exempel anses vara en utmaning som för en person medför en positiv känsla medan det för en annan person kan vara förknippat med en negativ känsla.
Matematiska
11
4 Syfte och frågeställning
Många gånger kommer elever fram till felaktiga lösningar när de ställs inför matematiska problem innehållande likheter. Det skulle kunna vara resonemangen i sig som är orsaken, men det skulle även kunna beror på t. ex. bristande förståelse för de matematiska grunderna i problemet.
Genom att studera detta, med utgångspunkt i Lithners (2008) teoretiska ramverk om IR och KMR, är förhoppningen att undersökningen ska kunna bidra till ökad förståelse för elevernas svårigheter och därmed kanske till nya strategier för att förbättra undervisningen och elevers resultat inom matematiken.
Syftet med studien är att utifrån Lithners (2008) forskningsramverk studera vilka olika typer av matematiska resonemang elever för när de löser matematikproblem. I studien tolkas Lithners definitioner enligt Bergqvists (2006, s. 16) bild.
De frågeställningar som studien avser svara på är:
1. Vilken typ av matematiska resonemang för eleverna i en årskurs sex när de löser uppgifter innehållande likheter?
2. På vilka matematiska grunder baserar eleverna sina resonemang:
Vid KMR – vilka matematiska egenskaper förankras resonemangen i?
Vid IR – vad ersätts de matematiska egenskaperna med?
12
5 Metod
I detta avsnitt beskrivs och motiveras de avgränsningar som gjordes, hur datainsamlingen genom videoobservation genomfördes och hur data analyserades. Även en reflektion över kritiska moment med metoden samt forskningsetiska ställningstaganden presenteras här.