Rapport nr: 2011ht5006
Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier
Examensarbete i utbildningsvetenskap inom allmänt utbildningsområde, 15 hp
”Jag måste liksom få in tanken”
En kvalitativ studie av elevers resonemang kring likheter.
Petra Jerström Skarman
Handledare: Lovisa Sumpter
Examinator: Martin Karlberg
1
Sammanfattning
Denna kvalitativa studie avser att bidra till den samlade kunskapen om vilka olika typer av resonemang elever i årskurs sex kan använda sig av när de löser matematikproblem. Det fokuserade matematiska området är algebra och specifikt har resonemang om, och förståelse av, likheter och likhetstecken studerats. Resultaten visar att eleverna använde sig av kreativa matematiska resonemang (KMR) och imitativa resonemang (IR) i ungefär lika stor utsträckning. I de fall där KMR användes kom eleverna i samtliga fall fram till en korrekt lösning på problemet och i de fall där IR användes kom de fram till felaktiga slutsatser i alla fall utom två. Resultaten indikerar att en relationell förståelse av likhetstecknet är förknippat med KMR och en instrumentell förståelse framför allt med IR. Resultaten i den här studien indikerar även att känslor kan vara starkt förknippade med prestationsförmågan. Med en matematikundervisning som fokuserar relationell förståelse kan man således ge eleverna större möjlighet att lyckas vilket kan öka deras självtillit och prestationer.
Nyckelord: grundskola, kreativa matematiska resonemang, videoobservation, likheter.
2
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 3
2 Bakgrund ... 4
3 Litteraturöversikt ... 6
3.1 Likheter och likhetstecknet ... 6
3.2 Teoretiskt ramverk för matematiska resonemang ... 7
4 Syfte och frågeställning ... 11
5 Metod ... 12
5.1 Urval och avgränsningar ... 12
5.2 Datainsamlingsmetod ... 12
5.3 Matematikuppgifter till observationerna ... 14
5.4 Metod för dataanalys ... 15
5.5 Kritiska reflektioner angående metoden ... 15
5.6 Forskningsetiska reflektioner ... 16
6 Resultat och analys av data ... 18
6.1 Familjärt algoritmiskt resonemang, FAR ... 18
6.1.1 Exempel 1 ... 18
6.1.2 Exempel 2 ... 19
6.2 Begränsat algoritmiskt resonemang, BAR ... 20
6.2.1 Exempel ... 21
6.3 Kreativt matematiskt resonemang, KMR ... 22
6.3.1 Exempel ... 22
6.4 Lokalt kreativt matematiskt resonemang, LKMR ... 23
6.4.1 Exempel ... 23
6.5 Sammanfattning av resultat ... 24
7 Diskussion ... 26
8 Konklusion ... 28
9 Referenslista ... 29
10 Bilaga ... 31
3
1 Inledning
Under min skoltid hade jag alltid matematik som favoritämne och det ligger mig fortfarande varmt om hjärtat. Tjusningen ligger delvis i att det är lite som ett detektivarbete – att komma på hur man ska lösa ”gåtan”. Under högstadietiden var jag övertygad om att jag skulle bli lärare i matematik och i NO-ämnena. Av olika anledningar, kanske mest slumpen, hamnade jag på ett helt annat spår och kom att ägna omkring tjugo år åt biologi (med medicinsk inriktning) och medicinsk forskning. Eftersom virusforskningen till stor del handlade om logiska, väl underbyggda resonemang, problemlösning och definitivt om detektivarbete var det ett jobb som passade mig mycket bra.
Så småningom återkom mina tankar på att bli matematiklärare och efter några år bestämde jag mig att sluta som postdoc på Karolinska och börja studera igen. När det så var dags att välja ämne för examensarbetet var det en självklarhet att det skulle handla om matematik och det fokuserade området jag valde för min studie berör elevers matematiska resonemang vid problemlösning.
Med den här uppsatsen har jag ambitionen att bidra till den samlade och ökande kunskapen om de resonemang elever för vid problemlösning. Den matematik som behandlas faller inom området algebra som för många kan vara en stötesten. Det är inte självklart vilken strategi man ska använda när det plötsligt dyker upp bokstäver bland siffrorna i en matematikuppgift. Algebra är ett stort matematiskt område och har i studien avgränsats till att handla om likheter och likhetstecknets betydelse, något som är ständigt närvarande i och en väsentlig del av matematiken och matematikundervisningen.
4
2 Bakgrund
Undersökningar visar att svenska elever har betydligt lägre kunskaper i matematik än elever i många andra länder och andelen elever som får underkänt ökar i Sverige (Skolverket, 2008, s. 8).
De lägre kunskapsnivåerna gäller inte hela det matematiska området men inom bl. a. algebra står sig svenska elevers kunskap dåligt vid en internationell jämförelse (Skolverket, 2008, s. 9). När det gäller algebra, och då specifikt likhet, har många elever svårt att förstå likhetstecknets betydelse.
Det största hindret tycks bestå i att de utläser likhetstecknet som det blir, som en befallning att räkna ut, istället för att tolka det som att storheterna ska vara lika på båda sidor om tecknet (Skott, Hansen, Jess och Schou, 2009, s. 680).
En möjlig orsak till elevers svårigheter i matematik skulle kunna vara avsaknad av problemlösningsaktiviteter (Skolinspektionen, 2009, s. 22). Om man studerar orsakerna till detta får man troligen en komplex bild men en anledning skulle kunna vara att svenska elever inte lär sig föra kreativa matematiska resonemang när de ställs inför problemlösning. Trots att man länge haft för avsikt att göra elever till problemlösare ägnar sig många fortfarande åt utantillinlärning menar Lithner (2008, s. 255). Han hävdar att imitativa resonemang dominerar hos eleverna och han beskriver även konsekvenserna av denna typ av resonemang. Imitativa resonemang innebär att man minns ett svar eller kopierar en procedur man kan sedan tidigare. Kreativa resonemang innebär att eleven inte har en förutbestämd lösning utan på matematisk grund resonerar sig fram till en strategi som kan användas för att lösa problemet (Lithner, 2008, s. 266).
Elevers matematiska resonemang i olika sammanhang och ur olika perspektiv har varit i fokus för många studier och både de matematiska områdena och de studerade åldersgrupperna har varierat (eg. Arcavi, 1994; Blomhøj, 1997; Lithner, 2000; Sumpter, 2009; Øystein, 2011). Framför allt har man studerat elever i grundskolans senare år och i gymnasiet. Det är viktigt att elever redan tidigt får lära sig att föra resonemang baserat på matematiskt relevanta egenskaper hos de i uppgiften ingående delarna för att minimera risken att man ägnar sig åt imitativa resonemang och utantillinlärning utan att behöva förstå vad man gör. Detta sätt att hantera problemlösningssituationer kan annars, på grund av begränsade matematiska kunskaper, vara svårt att ta sig ur när man kommer högre upp i årskurserna. Dessutom är matematiska resonemang och problemlösning kompetenser man måste öva på (Skolverket, 2010, s. 63).
Genom att ge eleverna en relationell förståelse av likhetstecknet, i kontrast till den instrumentella förståelsen som kan lösa uppgifter men inte bygga kunskap (Skemp, 2006), kan man även ge eleverna möjlighet att utveckla en känsla för matematiken vilket Arcavi (1994, s. 32) menar är målet med all matematikundervisning.
Av ovan nämnda anledningar är det därför intressant att studera vilken typ av matematiska resonemang eleverna i en årskurs sex för när de löser matematikuppgifter innehållande likheter som är centralt i stor del av den matematik elever kommer i kontakt med under sin skoltid. Det
5
är också intressant att studera vilka matematiska grunder de stöder resonemangen på. Inte förrän man förstår hur de resonerar kan man som lärare se om och var det existerar eventuella missförstånd i elevernas argumentation och ge dem adekvat stöd. Ökad förståelse stöttar även motivationen, och elever som har en positiv inställning och dessutom har bra självförtroende har visat sig nå bättre resultat (Skolverket, 2008, s. 9-10). En ökad tilltro till sin egen förmåga skulle bidra till en positiv utveckling i fråga om prestation enligt Skolverket (2008, s. 8). Intressant är att parallellt med att skolans matematikundervisning fokuserat på enskilt arbete (Skolinspektionen, 2009, s. 8) har svenska elevers matematikkunskaper under åren 1995 till 2007 försämrats (Skolverket, 2008, s. 8).
Den övergripande tanken med den här studien är att undersöka hur elever i en årskurs sex resonerar för att försöka lösa matematikuppgifter som på något sätt uppfattas som ett problem.
Tillsammans med tidigare och kommande studier kan den här undersökningen förhoppningsvis ge en kumulativ kunskap om orsakerna till elevers bristande matematiska resonemang och problem att tillgodogöra sig matematikundervisningen.
6
3 Litteraturöversikt
3.1 Likheter och likhetstecknet
Algebra är ett stort område inom matematiken och svenska elevers kunskaper i algebra har sedan mitten av 1990-talet försämrats (Skolverket, 2008, s. 8). Matematikundervisningen i algebra ska enligt kursplanen (Skolverket, 2010, s. 63–64) ta upp likheter och likhetstecknets betydelse samt även omfatta obekanta tal och sammanhang där man kan behöva använda symboler för att beteckna sådana tal.
I skolan är det första mötet med algebra förknippat med bokstavsräkning, d.v.s. istället för att räkna med tal använder man bokstäver (Kiselman och Mouwitz, 2008, s. 11). Det är inte självklart hur man ska gå till väga eftersom man inte utan vidare kan addera två bokstäver med varandra.
Arcavi (1994, s. 24) talar om att man kan ha en känsla för siffror och menar att det är önskvärt att även utveckla en känsla för symboler, en symbolmedvetenhet som han kallar symbol sense. Som lärare blir det då viktigt att hjälpa eleverna att förstå olika symbolers innebörd. Det gäller inte bara i de fall där man ersätter ett tal med en bokstav. Det är här också viktigt att man t.ex. ger eleverna en korrekt förståelse av likhetstecknet. Som nämndes i bakgrunden i denna uppsats så tycks många elever få problem på grund av att de utläser likhetstecknet som det blir istället för är lika med (Asquith, Stephens, Knuth och Alibali, 2007, s. 253; Stephens, 2006, s. 251; Skott et al., 2009, s. 680; Rakes, Valentine, McGatha och Ronau, 2010, s. 387). Detta instrumentella synsätt talar snarast om för eleven att man ska göra något, utföra en operation. Att elever många gånger hamnar i den instrumentella förståelsen av likhetstecknet beror troligen på att den tidiga matematikundervisningen ofta behandlar uppgifter som 3+5= vilket antyder en process (Stephens, 2006, s. 252). Den egentliga innebörden av likhetstecknet är att uttrycken på respektive sida betecknar samma sak, att storheterna ska vara lika på vänster och höger sida (Kiselman och Mouwitz, 2008, s. 16). Skott et al. (2009, s. 680) benämner detta vänster-höger-ekvivalens.
Att se likhetstecknet som det blir kan av förståeliga skäl orsaka extra stora bekymmer inom algebra och bokstavsräkning, eftersom det som sagt blir problem att t.ex. addera två bokstäver eller en siffra och en bokstav, t.ex. 5+x=7 eller 3x+4=10. Skott et al. (2009, s. 680) menar att eleverna istället redan från början bör lära sig att se likhetstecknet som ekvivalens, t.ex. a=b, d.v.s.
en relationell innebörd av likhetstecknet, och då undvika allt tal om processer som till exempel addition eller multiplikation. Detta skulle troligen underlätta den matematiska förståelsen i högre årskurser då algebra förknippas framför allt med ekvationer och funktioner. Kieran (1981, s. 323) menar att elever ända upp i gymnasieålder och däröver fortfarande i stor utsträckning tolkar likhetstecknet som en symbol för en operation och inte som symbol för en likhet. Detta stöds av
7
Blomhøj (1997, s. 10) som påpekar att övergången, från en instrumentell förståelse, till en relationell förståelse är kognitivt krävande och för de flesta tar lång tid.
3.2 Teoretiskt ramverk för matematiska resonemang
I kursplanen för matematik i den nya läroplanen för grundskolan står att skolans matematikundervisning ska hjälpa eleverna att utveckla sin förmåga att argumentera och resonera logiskt och matematiskt (Skolverket, 2010, s. 62). I den tidigare kursplanen för matematik kunde man också läsa att skolans undervisning i matematik ska sträva efter att utveckla elevens förståelse för och användning av logiska resonemang (Skolverket, 2000). Både den tidigare och den nya läroplanen framhåller således vikten av att elever lär sig föra matematiska resonemang och att framföra logiska argument för dessa. Trots att man sedan länge haft ambitionen att göra eleverna till problemlösare ägnar sig många fortfarande åt utantillinlärning (Lithner, 2008, s. 255).
Detta, menar författaren, är en huvudsaklig orsak till elevers svårigheter att tillgodogöra sig matematikundervisningen vilket har visat sig i en lång rad empiriska studier som bland andra Lithner själv har genomfört (t.ex. Lithner, 2000, 2006). Utifrån sina studier har han formulerat ett forskningsramverk (Lithner, 2008) för matematiska resonemang.
Matematiska resonemang är ett begrepp som används i olika sammanhang och antyder någon form av högkvalitativa resonemang trots att man sällan ger någon närmare definition på vad som avses (Bergqvist, 2006, s. 14; Lithner, 2008, s. 257). Bergqvist (2006, s. 14) menar att utan en detaljerad definition kan man inte göra en detaljerad analys av elevers resonemang. Därför kommer den här studien utgå från Lithners (2008) tämligen detaljerade definitioner av olika typer av matematiska resonemang.
Den resonemangsstruktur som Lithner (2008, s. 257) beskriver vid lösning av matematiska uppgifter består av fyra steg:
1. En uppgift erhålls och eleven uppfattar en problematisk situation (PS) om lösningssättet inte är självklart.
2. Lösningsstrategi väljs (SV). Dessa kan variera från lokala procedurer till mer generella tillvägagångssätt där ”val” ses i en vid bemärkelse och kan innebära att välja, komma ihåg, konstruera, upptäcka, anta etc.
3. Strategiimplementering (SI). Denna kan stödjas av ett verifierande argument som anger varför strategin löste uppgiften.
4. En slutsats (S) erhålls.
Lithner (2008, s. 257) menar att resonemang består av en tankekedja som leder fram till en lösning och en slutsats. Så länge tankekedjan för uppgiftslösaren bygger på någon form av förnuftigt resonemang behöver den inte baseras på formell logik. Inte heller måste resonemanget nödvändigtvis vara korrekt, man kan ändå använda strukturen för klassificering av elevers resonemang när de löser matematikproblem. Med problem avses den definition som Hagland,
8
Hedrén och Taflin (2005, s. 27) använder, d.v.s. eleven ska vilja eller behöva lösa uppgiften, eleven ska inte ha en given procedur för att lösa den och det ska krävas en ansträngning för att eleven ska komma fram till en slutsats.
I sitt teoretiska ramverk diskuterar Lithner (2008) två huvudtyper av resonemang, imitativa resonemang (IR) och kreativa matematiska resonemang (KMR). Dessa uppdelningar ligger i linje med Skemps (2006) indelning av förståelse som instrumentell respektive relationell.
Inom den första typen, IR, nämner han två undergrupper av resonemang. En av dessa är memorerat resonemang (MR) vilket innebär att strategivalet utgörs av att man kommer ihåg ett komplett svar, imiterar eller minns en lösningsstrategi som kan användas för att lösa uppgiften (Lithner, 2008, s. 258) och implementeringen av strategin innebär kort och gott att skriva ner svaret (Lithner, 2008, s. 258). Ett svar består av den efterfrågade informationen medan en lösning är svaret tillsammans med en motivering till varför svaret stämmer (Lithner, 2008, s. 257).
Den andra varianten av imitativt resonemang är algoritmiskt resonemang (AR). Den främsta svårigheten är här att hitta en lämplig algoritm för att lösa en specifik uppgift (Lithner, 2008, s.
261). Lithner (2008, s. 259) definierar en algoritm som en sekvens av instruktioner som utförs för att lösa en viss uppgiftstyp. Även AR kan delas in i subgrupper, närmare bestämt tre stycken.
Den första är familjärt AR (FAR) där lösaren känner igen problemtypen och minns en algoritm som kan användas för att lösa den. Argumentet för val av strategi kan variera men det finns inget behov av att konstruera en ny lösning (Lithner, 2008, s. 259). Implementeringen av strategin innebär att följa algoritmen och utföra de för uppgiftslösaren triviala beräkningarna och endast slarv kan hindra densamme från att nå ett svar (Lithner, 2008, s. 259).
En annan variant är begränsat AR (BAR). Här väljer lösaren bland en begränsad delmängd av alla de algoritmer denne känner till. Kravet för att algoritmen ska kunna anses tänkbar är att den har åtminstone en ytlig koppling till uppgiften i fråga. Strategiimplementeringen innebär att lösaren försöker lösa uppgiften med en algoritm ur delmängden. Om denna inte ger ett för lösaren tillfredställande svar så förkastas algoritmen utan utvärdering och lösaren väljer en ny algoritm ur den begränsade delmängden, o.s.v. (Lithner, 2008, s. 263).
Den sista typen av AR som Lithner (2008, s. 263.) definierar är guidat AR (GAR). Detta innebär att lösaren guidas i sitt val av algoritm, antingen med hjälp av till exempel en matematikbok, så kallat textguidat AR, eller med lärarens hjälp, så kallat personguidat AR. I den förra innebär strategivalet att identifiera ytliga likheter mellan uppgiften och ett exempel i någon textbaserad källa och därefter används algoritmen utan att lösaren motiverar valet med hjälp av något verifierande argument (Lithner, 2008, s. 263). I den senare varianten görs alla strategival av en guide, till exempel läraren, utan att denne ger några argument som hjälper lösaren att förutsäga vad det leder till (Lithner, 2008, s. 264). Lösaren följer algoritmen och genomför de ingående transformationerna utan att använda några verifierande argument (Lithner, 2008, s. 264).
Lithner (2008, s. 266) menar att begreppet matematiska resonemang har olika innebörd i olika sammanhang. För somliga är det samma sak som strikta bevis medan andra även inkluderar
9
mindre strikta resonemang. I skolans värld är det ofta tillåtet att gissa, chansa och att resonera utan större logik, och detta uppmuntras till och med ibland. För matematiker och ingenjörer är detta ett otänkbart förfarande då dessa måste komma fram till korrekta slutsatser medan man i skolan ofta nöjer sig med att eleverna har 50% rätt för att bli godkända på ett prov (Lithner, 2008, s. 266). Lithners teoretiska ramverk föreslår ett vidare resonemangskoncept. Vid strikta resonemang skiljer man på gissningar och bevis medan man vid rimliga resonemang skiljer en rimlig gissning från en mindre rimlig gissning. Ett sådant rimligt resonemang stöds således inte nödvändigtvis av logik utan blir istället konstruktivt med stöd av ett rimligt argument (Lithner, 2008, s. 266). Ett argument kan enligt Lithner (2008, s. 260) vara av två slag. Förutsägande argument stöder analysen, utforskandet och planeringen av en uppgift vid problemlösning medan verifierande argument stöder implementeringen och verifieringen av strategivalet. Lithner (2008, s. 260) menar vidare att kvaliteten hos ett argument avgörs av tre faktorer: argumentets giltighet, dess möjlighet att övertyga samt hur konstruktivt det är. Hållbara argument för de centrala beslut som tas i fråga om strategival, implementering och slutsatsens rimlighet ska således förankras i matematiskt relevanta egenskaper.
För att ett resonemang ska klassificeras som kreativt matematiskt resonemang (KMR) måste det enligt Lithner (2008, s. 266) uppfylla tre kriterier.
1. Nyhet. Uppgiften måste vara ny för lösaren så att en ny resonemangskedja skapas eller en bortglömd sådan återskapas.
2. Rimlighet. Lösaren måste ha argument som motiverar varför strategivalet och/eller dess implementering leder till en rimlig slutsats.
3. Matematisk grund. Argumenten ska vara grundade i matematiskt relevanta egenskaper hos de i resonemanget ingående sekvenserna.
KMR behöver inte alltid vara utmanande utan kan innehålla resonemang av enklare typ. Trots detta är KMR ganska ovanligt och IR dominerar vid elevers strategival. Detta kan delvis bero på att prov utformade av lärare oftast inte kräver KMR (Palm, Boesen och Lithner 2011, s. 239).
Ewa Bergqvist (2006, s. 16) presenterar i sin avhandling en något annorlunda bild av Lithners resonemangsstruktur. Hennes modell inkluderar två subtyper av KMR vilka hon benämner globalt kreativt resonemang (GKR) och lokalt kreativt resonemang (LKR) (Bergqvist, 2006, s. 36). LKR innebär att en uppgift kan lösas nästan uteslutande med IR och bara kräver en lokal modifiering av en algoritm där lösaren måste resonera kreativt. Om en uppgift inte har en lösning som globalt kan lösas med IR utan kräver att lösaren hela vägen igenom uppgiften måste resonera kreativt anses det att uppgiften kräver ett GKR. Delar av ett GKR kan dock vara baserat på ett lokalt IR.
Den här uppdelningen av KMR i två undergrupperna har av nödvändighet tillkommit för att kunna påvisa i vilken utsträckning kreativa resonemang krävs i de uppgifter eleverna stöter på i olika typer av prov menar Bergqvist (2006, s. 37).
Det är denna bild av Bergqvist som kommer att användas som analysverktyg när resonemangen hos eleverna i den aktuella studien ska klassificeras. Detta för att komma åt
10
skillnader mellan globalt och lokalt tänkande, och Bergqvists avhandling öppnar upp för möjligheten att koppla ihop KMR och IR. Figur 1 ger en överblick över de olika typerna av resonemang i Bergqvists resonemangsmodell.
Figur 1. Översikt över de resonemangstyper som ingår i Bergqvists resonemangsstruktur. (modifierad från Bergqvist, 2006).
Fem faktorer som påverkar elevers förmåga att lösa problem och som Schoenfeld (1985; 1992) diskuterar är: resurser, heuristik, kontroll, metakognition och föreställning/tilltro. Resurser är kunskaperna som eleven behöver inom det aktuella matematiska området för att kunna lösa ett problem. Heurestik innebär att eleven besitter och kan använda olika strategier och metoder för att lösa problemet. Kontroll innefattar elevens medvetenhet om och ordning på vad hon håller på med vid lösning av problemet. Det rör också elevens förmåga att reflektera över sitt eget tänkande, metakognition, vilket kom till som den femte kompetensen eleven behöver vid problemlösning. Föreställning/tilltro inkluderar elevens uppfattningar om matematik och de förväntningar eleven har på sin egen matematiska förmåga och detta tillhör således det affektiva området som involverar känslor. Hannula (2004, s. 50) vill skilja på uppfattningar och känslor och menar istället att varje uppfattning kan vara associerad med en känsla. Problemlösning kan till exempel anses vara en utmaning som för en person medför en positiv känsla medan det för en annan person kan vara förknippat med en negativ känsla.
Matematiska resonemang
Kreativa matematiskt grundade resonemang
Imitativa resonemang
Globala kreativa matematiska resonemang (GKMR)
Lokala kreativa matematiska resonemang (LKMR)
Algoritmiskt resonemang
(AR)
Memoriserat resonemang
(MR)
Begränsat AR
Guidat AR
Familjärt AR/MR
11
4 Syfte och frågeställning
Många gånger kommer elever fram till felaktiga lösningar när de ställs inför matematiska problem innehållande likheter. Det skulle kunna vara resonemangen i sig som är orsaken, men det skulle även kunna beror på t. ex. bristande förståelse för de matematiska grunderna i problemet.
Genom att studera detta, med utgångspunkt i Lithners (2008) teoretiska ramverk om IR och KMR, är förhoppningen att undersökningen ska kunna bidra till ökad förståelse för elevernas svårigheter och därmed kanske till nya strategier för att förbättra undervisningen och elevers resultat inom matematiken.
Syftet med studien är att utifrån Lithners (2008) forskningsramverk studera vilka olika typer av matematiska resonemang elever för när de löser matematikproblem. I studien tolkas Lithners definitioner enligt Bergqvists (2006, s. 16) bild.
De frågeställningar som studien avser svara på är:
1. Vilken typ av matematiska resonemang för eleverna i en årskurs sex när de löser uppgifter innehållande likheter?
2. På vilka matematiska grunder baserar eleverna sina resonemang:
Vid KMR – vilka matematiska egenskaper förankras resonemangen i?
Vid IR – vad ersätts de matematiska egenskaperna med?
12
5 Metod
I detta avsnitt beskrivs och motiveras de avgränsningar som gjordes, hur datainsamlingen genom videoobservation genomfördes och hur data analyserades. Även en reflektion över kritiska moment med metoden samt forskningsetiska ställningstaganden presenteras här.
5.1 Urval och avgränsningar
Studiens observationer genomfördes på en kommunal grundskola i en mindre stad i Sverige. De fyra elever som deltog i studien går i samma klass i årskurs sex. Av bekvämlighetsskäl valdes elever från en av observatörens VFU-placeringar då observatören redan hade fått tillträde till gruppen. Eleverna kände observatören väl vilket i en sådan situation kan innebära att stress inte blir en hämmande faktor. Dessutom hade elevernas föräldrar visat förtroende för observatören vilket ansågs kunna underlätta samtycket till deras barns deltagande i studien.
Elever på en betygsnivå motsvarande G+/VG- valdes för att säkerställa att de hade tillräckliga kunskaper inom det aktuella matematiska området samtidigt som de skulle uppfatta någon eller några av uppgifterna som problematisk. För att inte genusaspekten skulle inverka på resultatet tillfrågades två flickor och två pojkar om deltagande och eftersom det för studien var viktigt att de förklarade hur de tänkte medan de räknade, valdes elever som generellt sett gärna berättar vad de gör.
Studiens frågeställningar faller inom området algebra. Detta är ett omfattande matematiskt område som inte kan studeras i sin helhet inom ramen för en och samma studie. Därför har i denna undersökning en matematisk begränsning inom det algebraiska området gjorts till att omfatta likheter och likhetstecknets betydelse.
5.2 Datainsamlingsmetod
Arbetet bygger på fyra observationer i form av videoinspelningar. Detta har enligt Heikkilä och Sahlström (2003, s. 24) kommit att bli en väletablerad metod när det gäller observationsstudier.
Som med alla metoder finns för- och nackdelar med detta förfaringssätt, vilket också kommer att beröras senare i detta avsnitt. Esaiasson, Gilljam, Oscarsson och Wängnerud. (2007, s. 344) påpekar att ordet observation på ett missvisande sätt kan peka på att man bara studerar ett fenomen med hjälp av synen. Att bara observera och föra fältanteckningar skulle i en studie som den här inte vara funktionellt då det blir svårt att hinna med att anteckna allt som sägs utan att behöva avbryta eleven under arbetet. I denna studie, som huvudsakligen är kvalitativ, användes därför videoobservationer vilket gav ett vidgat observationsbegrepp som även inkluderar språket (Esaiasson et al., 2007, s. 344). Ytterligare en fördel med videoobservationer är att man kan lyssna på elevernas resonemang upprepade gånger och till skillnad från bandinspelningar kan man här
13
även studera hur eleverna använder sig av gester (om de förtydligar sitt resonemang genom att peka), papper och penna.
Fyra videoobservationer av elever som resonerade kring och löste matematiska uppgifter innehållande likheter gjordes. Observationerna var helt öppna vilket innebar att eleverna var medvetna om att de filmades och i vilket syfte. Det tydliggjordes därför att det intressanta inte var korrekta lösningar utan att de var elevernas resonemang som skulle studeras. Hur man ska förhålla sig i detta avseende är en viktigt att ta ställning till inför sådana här studier menar Esaiasson et al. (2007, s. 346–347).
Enligt Heikkilä och Sahlström (2003, s. 24–25, 38) finns det många olika sätt att hantera en videokamera på när man gör observationer. De menar också att förfarandet kan påverka möjligheten att analysera materialet i förhållande till det syfte man har med sin studie. Av denna anledning var det två personer som samarbetade vid inspelningarna. Den som var ansvarig för studien, observatören, satt med eleven under arbetets gång och den andra personen var endast tekniskt ansvarig för själva inspelningen. Kameran var placerad, på ett stativ, så att eleven filmades snett bakifrån/från sidan. Dels för att det skulle störa mindre då eleven inte såg kameran, dels kunde elevens uträkningar då filmas från rätt håll så att man vid analysen inte behövde se lösningarna upp och ner. Stativet medförde att inspelningen blev stabil och därmed lättare att analysera. I informationsbrevet till föräldrarna framgick att samtycket även gällde för den person som var tekniskt ansvarig och så även för handledarens räkning.
Under observationerna satt observatören bredvid eleverna. För att studiens resultat skulle bli så tillförlitliga som möjligt försökte observatören minimera det manipulativa inslaget i mesta möjliga mån. Tanken var därför att observatören inte skulle kommentera eller ifrågasätta elevernas uträkningar eller resonemang. Trots detta var observatören ändå i viss mån deltagande (Esaiasson et al., 2007, s. 345; Merriam, 1994, s. 106). Dels uppmanades eleverna från början att tänka högt, dels var observatören emellanåt tvungen att föra dem framåt med kommentarer som
”Berätta hur du tänker.” eller frågor som ”Vad tänker du?” när eleven blev tyst en längre stund.
Däremot försökte observatören att inte bekräfta elevens kommentarer med leenden eller dylikt då detta skulle ha påverkat studien genom att man deltar i skeendet (Merriam, 1994, s. 108). Det faktum att uppgifterna kom från ett annat läromedel än elevernas vanliga innebar möjligen en viss påverkan på situationen.
Observationerna genomfördes i ett grupprum innanför skolans bibliotek där risken att bli störd var liten jämfört med andra tillgängliga alternativ. Trots detta blev en av eleverna distraherad av en lärare som inte uppmärksammat att lokalen var bokad. Observatören bedömer dock inte att detta påverkade resultatet menligt.
I en sådan här studie är det naturligtvis omöjligt att inte påverka resultaten med sin närvaro men om man gör vad man kan för att minimera denna påverkan och sedan beaktar den i sina analyser och tolkningar kan man ändå komma fram till givande slutsatser (Merriam, 1994, s. 109).
14 5.3 Matematikuppgifter till observationerna
Eleverna observerades enskilt och varje observation var begränsad till max 20 minuter. Dock behövde inte hela den avsatta tiden utnyttjas vid något tillfälle då eleverna blev klara med uppgifterna på 7–15 minuter. För att minska eventuell stress och öka möjligheten till fokusering hos eleven gavs uppgifterna en i taget. Eleverna löste följande tre uppgifter med progression hämtade från Pixel Matematik 5B (Alseth, Nordberg och Røsseland, 2008) och Pixel Matematik 6B (Alseth, Nordberg och Røsseland, 2009):
1. Vilka tal står x för?
2. Vilka tal står x för?
a. 4 × x = 28 b. 65 + 7 = 8 × x c. 45 – 6 = 3 × x
3. Vilka tal står x för?
(modifierad från Alseth et al., 2008 och 2009)
I första uppgiften symboliseras likhetstecknet med hjälp av en våg i jämvikt vilket kan visa på elevernas uppfattning av likhetstecknets betydelse. Eleverna har inte tidigare arbetat med x som symbol för ett tal.
Progressionen från uppgift 1 till 2 består bl.a. i att man går från en illustration till ett mer abstrakt matematiskt uttryck. I a-uppgiften kan man fortfarande tämligen enkelt hitta en lösning genom att betrakta likhetstecknet som en operationell symbol. I b- och c-uppgifterna däremot består storheterna på ömse sidor om likhetstecknet av fler ingående delar vilket också innebär en progression som torde kräva mer eftertanke av lösaren.
Mellan uppgift två och tre är progressionen väsentlig. Här förekommer det i alla deluppgifterna ett bråk. Även mellan deluppgifterna finns en progression då man i b-uppgiften har x i bråkets täljare för att sedan i c-uppgiften återfinna x i bråkets nämnare. Om man inte känner till en given procedur att ”lösa ut” x, kräver denna uppgift troligen lite extra ansträngning från lösarens sida.
15 5.4 Metod för dataanalys
När de fyra videoobservationerna var gjorda transkriberades de grovt i sin helhet. Detta innebar att allt det som elever och observatör sa skrevs ner men med endast några hålltider, i.e. starttid och tid efter varje slutförd uppgift. Transkription kan i sig tyckas vara en rent objektiv handling men Green, Franquiz och Dixon (1999, s. 172) argumenterar i sin artikel att det är en tolkande re- presenterande process. Detta är enligt dem viktigt att beakta vid tolkning av materialet.
Varje uppgift klassificerades antingen som en rutinuppgift, vilka i förekommande fall lämnades utan vidare analys, eller som en problemsituation vilken blev föremål för fortsatt analys. För några av eleverna kunde en del uppgifter delas in i flera problemsituationer. Totalt identifierades 17 problemsituationer samt 15 uppgifter som för en eller flera elever var av rutinkaraktär. Varje gång en problemsituation (PS) uppstod, identifierades elevens strategival (SV) och strategiimplementering (SI) samt vilken slutsats (S) eleven drog. För de centrala besluten om strategival, implementering och slutsats. identifierades argumenten för dessa och vad argumenten förankrades i. Därefter analyserades, utifrån Bergqvists (2006, s. 16) bild av Lithners teoretiska ramverk (se avsnitt 3.2), vilken typ av resonemang eleven använt sig av. Det blev i vissa fall aktuellt att titta noggrannare på några avsnitt. Därvid gjordes en fintranskribering med tidsangivelser. På så sätt kunde även stunder av tystnad och tvekan hos eleven identifieras. I resultatdelen presenteras några representativa exempel från dessa analyser. Ett krav vid val av exempel var att åtminstone en problemsituation kunde identifieras i respektive uppgift. Eftersom syftet med undersökningen var att studera vilka resonemang elever använder sig av, valdes dessutom uppgifter så att alla olika typer av förekommande resonemang representeras i resultatdelen. När allt material var genomgånget och analyserat diskuterades slutligen konsekvenserna av elevernas resonemang i förhållande till det valda teoretiska ramverket.
5.5 Kritiska reflektioner angående metoden
En fördel med direktobservationer är att man är på plats och hör och ser vad som händer och sägs istället för att någon återberättar ett förlopp (Esaiasson et al., 2007, s. 343). Man kan på så sätt uppleva med alla sina sinnen istället för att utifrån en beskrivning försöka skapa sig en bild av situationen. Att dessutom filma den företeelse man är intresserad av gör att man kan återuppleva den upprepade gånger och därigenom få en möjlighet att analysera den mer på djupet.
En nackdel är att man genom sin närvaro riskerar att påverka resultaten (Merriam, 1994, s.
108). Dessutom menar Merriam (1994, s. 101) att människan är subjektiv i sin perception vilket medför en viss osäkerhet i resultaten och dess tolkning.
Validitet är ungefär detsamma som giltighet (Øystein, 2001, s. 203). Esaiasson et al. (2007, s.
347) påpekar att man kan få validitetsproblem om man enbart använder sig av observationsdata i en studie. Detta för att det kan vara svårt att på rätt sätt förstå det som sker om man inte hör eller
16
antecknar vad som sägs i en observerad situation. I denna studie orsakade detta inte några problem då även ljudet spelades in.
En annan aspekt av validiteten är vilka källor man använt sig av. De måste vara pålitliga för att man ska kunna lita på resultaten i en studie menar Esaiasson et al. (2007, s. 355).
När det gäller observationer av det här slaget, d.v.s. när man ska lyssna på personers resonemang, är videoobservation nästan nödvändigt. Det är en omöjlighet att försöka föra fältanteckningar över allt som sägs under det att eleven berättar hur han/hon tänker. Man kan dessutom behöva lyssna på resonemangen flera gånger för att förstå tankegången.
Reliabilitet kan närmast översättas med överförbarhet (Merriam, 1994, s. 180). Med tanke på att man i den här typen av studie påverkar resultaten genom sin närvaro och den person man är, är det inte troligt att en annan person skulle komma fram till samma resultat även om samma förutsättningar ges. Inte heller är det troligt att samma forskare i två olika situationer skulle komma fram till identiska resultat då olika deltagare skulle medföra olika resonemang (Øystein, 2001, s. 203). En ansträngning gjordes för att i så stor utsträckning som möjligt minimera påverkan på studiens resultat och beskrivningen av studiens genomförande gjordes så att den ska vara så tydlig som möjligt för att på så sätt öka reliabiliteten.
Med ett så litet material som den beskrivna studien omfattar är det svårt att generalisera.
Merriam (1994, s. 184) menar till och med att man kan ifrågasätta möjligheten till generaliseringar från kvalitativa studier. Denna studie har inte heller som syfte att visa på några generella tendenser utan vill visa på de typer av resonemang som kan förekomma när elever i år 6 löser matematikuppgifter. Tillsammans med tidigare forskning skulle den då ändå kunna ge värdefull kumulativ kunskap.
5.6 Forskningsetiska reflektioner
Oavsett vilken typ av studie man ska genomföra måste man beakta eventuella etiska konflikter som kan uppkomma. Detta gäller även om man inte gör direkta studier på människor eller djur, t.ex. måste man inom den medicinska forskningen ha etiskt tillstånd för att få använda överblivet humant material såsom blodrester från ett blodprov, trots att det inte direkt påverkar personen i fråga (www.codex.vr.se; egna erfarenheter). Detta tydliggör än mer vikten av etiska ställningstaganden när man studerar människors handlingar, inte minst när det gäller barn eftersom de inte har samma möjligheter att värja sig eller tillgodogöra sig den information man har att ta ställning till. Denna studie har således genomförts med beaktande av de etiska riktlinjer som Vetenskapsrådet (www.codex.vr.se) föreskriver för att säkra att forskning sker i enlighet med god forskningssed.
En person som ska observeras, med eller utan videokamera, måste informeras om detta. Av denna anledning skickades ett informationsbrev till berörda föräldrar efter att de utvalda eleverna tackat ja till att delta i studien. Att syftet med studien var att observera elevernas matematiska resonemang framgick av informationsbrevet. Detta innebär att man måste hålla sig till detta syfte
17
i sina analyser av materialet. I informationsbrevet framgick också att videomaterialet kommer att arkiveras efter avslutad studie och vilka som kommer ha tillgång till materialet. Det är viktigt att deltagande elever och deras föräldrar är förvissade om att inte obehöriga kan få tillgång till videofilmerna då det skulle kunna framkalla ett obehag hos berörda. Det är då inte troligt att de skulle ställa upp igen, om man i något avseende skulle vilja göra en uppföljande studie. Det framgick även att deltagandet var helt frivilligt och att man hade rätt att avbryta sitt deltagande när man ville. Även rektor och berörd klasslärare tillfrågades om samtycke till studiens genomförande.
Eftersom studien genomförts i skolsystemet och eleverna inte var myndiga, inhämtades föräldrarnas/vårdnadshavarnas skriftliga samtycke. Eleverna och deras föräldrar fick veta att barnen kommer vara anonyma. Det kan generellt sett vara svårt att avidentifiera personer på en videoinspelning. För att undvika att eleverna kunde identifieras placerades kameran vid observationerna så att elevens ansikte inte syntes. Eleverna kan inte heller identifieras med namn eller dylikt i uppsatsen. Inga uppgifter som kan anses känsliga eller komprometterande dokumenterades och därmed krävdes inga forskningsetiska överväganden i detta hänseende.
18
6 Resultat och analys av data
I det här avsnittet presenteras och analyseras resultaten av studiens videoobservationer. Detta innebär att de olika typer av resonemang som eleverna för, lyfts fram och analyseras med hjälp av Bergqvists modell (se Figur 1, s. 10).
Av totalt 32 (4 × 8 st.) deluppgifter bedöms 15 utgöra rutinuppgifter för någon eller några av eleverna och dessa analyseras inte. De återstående 17 deluppgifterna utgör på något sätt en problemsituation för en eller flera av de observerade eleverna. Nio av uppgifterna löses med hjälp av kreativa matematiska resonemang (KMR), och vid åtta uppgifter använder sig eleverna av imitativa resonemang (IR). Av de kreativa resonemang eleverna för är tre av den typ som kallas lokalt kreativt matematiskt resonemang (LKRM) och dessa redovisas nedan separat. De IR som förekommer är uteslutande algoritmiska resonemang (AR) och därför tas inga exempel på memoriserade resonemang (MR) upp i detta avsnitt. Av de AR som identifieras är endast ett begränsat AR (BAR) och således är övriga sju familjära AR (FAR). Inga guidade algoritmiska resonemang (GAR) kan heller identifieras. För att synliggöra de olika förekommande resonemangen redovisas resultaten tematiskt. Presenterade data är med utgångspunkt i transkriberingen representativa för de resonemang som förs vid observationerna.
6.1 Familjärt algoritmiskt resonemang, FAR
Att använda FAR för att lösa en uppgift innebär att en algoritm väljs utifrån en tidigare känd, familjär situation. Lösaren känner igen uppgiftstypen och använder den algoritm som tidigare fungerat för att lösa den typen av uppgift. FAR är ett av de vanligast förekommande resonemangen. Nedan följer två exempel som visar varför resonemangen klassas som FAR.
Johan förkortas J, Cecilia förkortas C och O står för observatör.
6.1.1 Exempel 1
Uppgift 3b
Johan ska lösa uppgiften (20–x)/3=4. Han tänker, tvekar, ger en korrekt tolkning av uppgiften men blir sedan tyst igen.
05.34 […] (25 sek).
05.59 O: Vad tänker du?
06.02 J: Nej jag tänker jag ska hitta det som blir minus tjugo som ska delas i tre som ska bli fyra.
06.10 O: Hur ska du hitta det?
19 06.13 J: Jag vet inte riktigt.
[…] (15 sek).
06.30 J: Jag tror att det går om man tar fyra gånger tre [pekar på högerled respektive nämnaren i vänster led] som blir tolv. Och tolv…tjugo minus tolv det blir åtta å åtta delat på tre det blir inte fyra.
[…].
07.27 J: [suckar tungt och verkar pressad]. Får man hoppa över en uppgift om man inte förstår?
07.30 O: Det får man göra. Du kan gå tillbaka sen.
07.32 J: Mm. [Johan skriver ett frågetecken vid x:et].
PS: Johan försöker lösa (20–x)/3=4.
SV: Han utför en kontrollalgoritm som går ut på att multiplicera kvot med nämnare.
SI: Han får därvid det korrekta svaret 12 men gör felaktigt tolkningen att x=12 vilket ger 8 i täljaren. Han inser att det är fel, blir mycket stressad och fullföljer inte SV.
S: Han kommer inte fram till någon slutsats utan skriver ett frågetecken.
Resonemang
Det centrala beslutet är att utföra en kontrollalgoritm som de tycks ha lärt sig i undervisningen, då alla observerade eleverna utför denna algoritm med samma motivering (att multiplicera kvoten med nämnaren och därvid erhålla täljarens värde). Hans resonemang klassas som FAR då han använder sig av en familjär algoritm som han tidigare använt sig av för att lösa den här typen av uppgifter. Det finns inga indikationer på att han grundar det fortsatta resonemanget på matematiken i uppgiften, d.v.s. att täljaren innehåller en räkneoperation som måste utföras för att han slutligen ska kunna bestämma värdet på x. Han kommer därför inte heller fram till någon slutsats.
6.1.2 Exempel 2
Uppgift 3b
Uppgiften påbörjas vid tid 03.40. Cecilia ska lösa samma uppgift som Johan i föregående exempel d.v.s. (20–x)/3=4. Även Cecilia tolkar uppgiften korrekt men blir sedan tyst och tänker efter. När hon börjar förklara gör hon det ganska långsamt och lite hackigt då hon verkar reflektera över sitt resonemang samtidigt som hon pratar.
03.57 C: Ähm. [ohörbart mummel]. Och de måste ju också va fem…eller. Det kan de ju inte bli…måste ju bli delat på tre blir fyra. Hm.
04.18 O: Hur tänker du?
04.20 C: Jag tänker asså de kan va en femma där men då stämmer de inte om man delar med tre och de blir fyra…Jag kör den här så länge å ser om jag kommer på.
20
Cecilia försöker istället lösa uppgift 3c men återgår därefter till uppgift 3b. Genast säger hon att hon vill ha en femma istället för x. Jag frågar varför och hon försöker förklara hur hon tänker.
05.02 C: Tjugi delat i fem blir fyra men nu va de så…då blir de tjugi minus tre…fyra…jag vet faktiskt inte varför jag vill ha en femma där men jag vill ha en femma där. Jag känner på mig att de ska va en femma där så jag bara vill ha den där.
05.20 O: Kan du förklara hur du tänkte när du..?
05.22 C: Jag vet inte riktigt. Tjugo delat i fyra ska va fem men det de e en trea där å de e det som…stör…att inte fyran å femman e med…
Cecilia funderar en stund till och försöker sig sedan åter på en förklaring.
05.55 C: Tjugi minus nånting delat med tre ska bli fyra. Fyra gånger tre e tolv. Nä de kan inte stämma…de måste ju va…jo men de ska va en femma där. Fyra gånger fem e tjugi.
PS1: Cecilia försöker lösa (20–x)/3=4.
SV1: Hon testar med 5.
SI1: Hon skriver inget eftersom kontrollalgoritmen (kvoten × nämnaren = täljaren) inte ger en korrekt lösning.
S1: Cecilia drar slutsatsen att det är fel och arbetar med 3c istället.
PS2: Cecilia försöker åter lösa (20–x)/3=4.
SV2: Hon tar 5 för att 20/5=4.
SI2: Hon tvekar men skriver slutligen 5 vid x.
S2: Hennes slutsats blir att x=5.
Resonemang
Även Cecilias centrala beslut är att utföra den beskrivna kontrollalgoritmen (se Exempel 1).
Hennes resonemang klassificeras också som FAR; algoritmen kan lösa uppgifter av den här typen. Eftersom det inte direkt ger henne ett korrekt svar överger hon tillfälligt uppgiften. När hon sedan återgår till uppgift 3b finns det inga indikationer på att hon grundar sitt resonemang på de inre matematiska egenskaperna i uppgiften. Istället använder hon sig i sitt resonemang av ytliga matematiska egenskaper där hon menar att x=5 för att 20/5=4 och i sin argumentation fokuserar hon på att ”det ska bli” fyra.
6.2 Begränsat algoritmiskt resonemang, BAR
Att använda BAR för att lösa en uppgift innebär att en algoritm väljs ur en begränsad delmängd av algoritmer som, åtminstone ytligt sett, kan lösa uppgiften. Om algoritmen inte leder till en lösning på problemet förkastas den utan verifiering eller reflektion. Därefter väljs en ny algoritm ur den begränsade delmängden av, för lösaren, möjliga algoritmer. Endast vid ett tillfälle
21
identifieras ett BAR under observationerna. Exemplet nedan vill belysa varför resonemanget klassas som ett BAR. Johan förkortas J och O står för observatör.
6.2.1 Exempel
Uppgift 3c
Här ska Johan bestämma värdet på x i uppgiften 63/(x–3)=9. Johan är tyst en stund (13 sek) sedan gör han en felaktig tolkning av uppgiften. Strategivalet är att ta x=12 eftersom 12–3=9.
Han är osäker och inser att det är fel. Han suckar och verkar ännu mer pressad än tidigare. Han börjar om med uppgiften (08.44) och blir åter tyst.
09.07 J: [suckar]. Jag förstår inte riktigt hur…för att det där blir...det e ju sextitre och sen sextitre delat det där svaret [pekar på x:et] hur ska det bli nio?
09.39 O: Hur kan man tänka då?
09.42 J: Jag vet inte.
[…](12 sek)
09.55 [Johan skriver ett frågetecken vid x:et och vänder bort pappret].
10.04 O: Du känner inte att du vill fortsätta med något? Det är sista uppgiften och vi har tid kvar.
10.11 J: Nä tack.
PS1: Johan ska lösa 63/(x–3)=9.
SV1: Han förbiser täljaren i uppgiften och fokuserar istället på nämnaren och kvoten och kommer fram till att x=12 för att 12–3=9.
SI1: Han är osäker och inser att det inte stämmer. Han är ännu mer pressad än vid den tidigare uppgiften.
S1: Slutsatsen blir att det är fel. Därefter förkastar han algoritmen och försöker hitta en ny strategi.
PS2: Problemet är fortfarande hur han ska lösa 63/(x–3)=9.
SV2: Han försöker komma fram till en annan strategi men misslyckas.
SI2: Han hittar ingen strategi att implementera.
S2: Johan kommer inte fram till någon slutsats, ger upp och börjar gråta.
Resonemang
Johans centrala beslut är att välja en strategi som han tror kan lösa uppgiften. Hans resonemang indikerar att han bygger det på ytliga matematiska egenskaper när han säger att 12–3=9, vilket inte har någon relevans i uppgiften. Att resonemanget klassas som BAR beror på att han, när han inte kommer fram till en tillfredställande slutsats, förkastar algoritmen utan vidare reflektion och därefter börjar han om och försöker hitta en annan användbar algoritm. Han ser inte hur han ska lyckas vilket är en indikation på att han saknar en lämplig algoritm. Trots att hans resonemang
22
indikerar att han förstår relationen mellan de ingående delarna i uppgiften förmår han inte hitta en algoritm som löser uppgiften.
6.3 Kreativt matematiskt resonemang, KMR
Om ett resonemang ska anses vara ett KMR måste det grundas på matematiskt relevanta egenskaper i uppgiften. Lösaren skapar eller återskapar en lösningssekvens baserat på en argumentation som motiverar strategivalet och rimligheten i det. Drygt en tredjedel av uppgifterna löstes med KMR. Exemplet visar Anna när hon löser den allra första uppgiften.
Anna förkortas A och O står för observatör.
6.3.1 Exempel
Uppgift 1a
Uppgiften går ut på att tala om vilket tal x står för. Det är en illustrerad uppgift som visar en våg i jämvikt med ett likhetstecken i balanspunkten (vågens fot). På vågens ena sida står två krukor med texten 10g respektive 15g. På andra sidan finns en kruka med ett x på och en med texten 8g.
Anna är först tyst en stund och tänker mycket koncentrerat, sedan säger hon att ”Jag måste liksom få in tanken”. Därefter blir hon tyst igen (10 sek).
00.35 A: Ska jag få ihop det till nånting?...Jag måste bara…de ju tie gram å femton gram åtta gram å de ska bli nånting…så de blir jämt. För de där e ju tjugifem då e de hmm vänta hur fan tänker ja egentligen de borde ju bli….varför kan jag inte räkna ut de här egentligen..jag e så.. stopp i hjärnan.
01.26 O: Det är ingen brådska.
01.27 A: Ja e helt stressad…De borde bli sexton…nej sjutton [hon skriver 17].
01.33 O: Varför vill du ha sjutton där?
01.36 A: För att de e tjufem där [pekar på vänster led] å de e åtta där [pekar på höger led] så de ska ju bli jämt.
PS: Problemet består i att lösa 10+15=x+8 SV: Anna väljer x=17 för att hon vill få jämvikt.
SI: Hon uttrycker stress och tveksamhet men blir sedan säker och skriver 17 vid x:et.
S: Hennes slutsats är att x=17.
Resonemang
Annas centrala beslut är att hitta ett tal som tillsammans med åtta är 25 eftersom 10+15 är 25.
Resonemanget klassificeras som KMR då hon menar att det ska vara jämnt. Senare argumenterar hon för sitt strategival och rimligheten i sin slutsats genom kommentaren att hon inte vill att plankan (vågen) ska gå åt ena hållet vilket sker om det inte är jämnt. Hon förankrar således sitt
23
argument i de inre matematiska egenskaperna i uppgiften och visar en relationell förståelse av likhetstecknet.
6.4 Lokalt kreativt matematiskt resonemang, LKMR
LKMR innebär att en uppgift kan lösas nästan uteslutande med IR och bara kräver en lokal modifiering av en algoritm där lösaren måste resonera kreativt. Denna typ av resonemang står två elever för vid totalt tre tillfällen under observationerna. Uppgifterna inleds i samtliga fall som ett FAR men med ett senare lokalt inslag av KMR. I exemplet nedan belyses både den del av resonemanget som identifieras som IR och den del som klassas som LKMR. Erik förkortas E.
6.4.1 Exempel
Uppgift 3c
Uppgiften påbörjas vid tid 10.05. Erik ska bestämma värdet på x i uppgiften 63/(x–3)=9. Erik är tyst en stund (29 sek) och på min fråga hur han tänker börjar han förklara. När han inser att det blir fel börjar han om.
10.37 E: Jag tänkte så här att först ska jag ju få fram vad det här blir [pekar på x:et] fast jag måste ju ha det här talet för att kunna veta vad det blir för nie gånger…nie gånger sju ska bli sextitre…de ska ju va.. ha det här så..man kan ha…tolv minus tre e likamed nie också om man asså nie…oj de här blir nog fel…jag skulle ha det till sex å sen så…nej sju så…[suckar].
[…] (9 sek)
11.30 E: Jag tänker så här för det ska ju bli sju gånger nie [pekar i tur och ordning på nämnaren i vänster led och kvoten i höger led] det e ju likamed sextitre och så ska jag alltså ha sju här [i nämnaren]…tio alltså [eleven skriver tio vid x:et]. Tie minus tre e lika med sju och sju gånger nie e likamed sextitre.
PS1: Erik ska ta reda på vad x är i uppgiften 63/(x–3)=9.
SV1: Han resonerar att nio gånger något ska bli 63. Han drar felaktigt slutsatsen att nämnarens svar är lika med kvoten.
SI1: Erik skriver inget.
S1: Han inser själv att det är fel.
PS2: När han börjar om är problemet detsamma. Han ska lösa 63/(x–3)=9.
SV2: Han resonerar att 7×9 är lika med 63 och därför är nämnaren sju och x=10 då 10–3=7 och 7×9=63.
SI2: Resonemanget förs utan tvekan och han skriver 10 vid x:et.
S2: Hans slutsats är att x=10.
24 Resonemang
Vid Eriks första försök att komma fram till en lösning är hans centrala beslut att använda den familjära kontrollalgoritm, som tidigare beskrivits, för att lösa en uppgiftstyp han känner igen. Av denna anledning klassas resonemangets första del som FAR. Till en början indikeras att hans argument förankras i relationen mellan de i uppgiften ingående delarna. Därefter övergår han till att förankra argumentet för sin strategiimplementering i ytliga matematiska egenskaper vilket leder till en felaktig slutsats. När han börjar om förankrar han sina argument i relevanta matematiska egenskaper. Han utför samma familjära kontrollalgoritm men gör en liten lokal modifiering av denna när han utför en separat beräkning av nämnaren och detta är anledningen till att resonemanget klassas som LKMR.
6.5 Sammanfattning av resultat
Sammanfattningsvis visar observationerna på 17 problemsituationer. Av dessa löses åtta med IR och nio helt eller delvis med hjälp av KMR. Det resonemang som oftast används för att lösa uppgifterna är FAR., vilket är fallet vid sju tillfällen. Det näst vanligaste resonemanget är KMR vilket används i sex problemsituationer. En kombination av dessa två resonemangstyper används vid tre tillfällen och benämns LKMR. Endast vid en uppgift används BAR. Vid FAR, som är det enskilt mest använda resonemanget, motiveras strategivalet av att man vet att kvoten multiplicerat med nämnaren ger täljaren. Detta argument används av samtliga elever. Detta visar på en matematisk förståelse om hur de i algoritmen ingående delarna förhåller sig till varandra. Trots detta kommer eleverna inte alltid fram till en korrekt lösning då de många gånger inte förmår fortsätta det logiska resonemanget och den matematiskt grundade argumentationen när t.ex.
nämnaren består av en subtraktion.
Cecilia är den elev som löser flest uppgifter på rutin men då hon stöter på ett problem använder hon sig bara vid ett tillfälle av KMR. Vid detta tillfälle förankrar hon dock sitt resonemang i relevanta matematiska egenskaper och kommer fram till en korrekt lösning. I övriga fall använder hon sig av FAR och då ersätter hon de matematiska egenskaperna med ytliga till synes relevanta egenskaper i uppgiften. Vid rutinuppgifter och KMR uttrycker hon hela tiden en relationell förståelse av likhetstecknet genom att tala om jämvikt, medan hon vid FAR övergår till att ge uttryck för en instrumentell förståelse genom att säga ”det blir”. Denna senare typ av resonemang leder henne uteslutande till felaktiga slutsatser.
Johan använder sig, precis som Cecilia, av KMR vid endast en problemsituation. Även han förankrar då sina argument i relevanta matematiska egenskaper och kommer fram till en korrekt slutsats. Johan visar här tecken på en relationell förståelse av likhetstecknet då han uttrycker att då
”får man jämvikt”. I två av de övriga uppgifterna ersätts denna förankring med ytliga icke relevanta egenskaper hos de i uppgiften ingående delarna och han försöker lösa dem med hjälp av en familjär kontrollalgoritm som han uppenbarligen lärt sig i undervisningen. Johan uttrycker då en instrumentell förståelse av likhetstecknet genom att säga att ”det ska bli”. När Johan ställs
25
inför det faktum att han inte förstår vad han ska göra för att lösa dessa problem blir han mycket pressad och så känslomässigt påverkad att han börjar gråta. Han ger upp sina försök att resonera sig fram till en lösningsstrategi och lämnar uppgifterna olösta. Det ska dock nämnas att han vid två andra problemsituationer använder sig av FAR som leder till korrekta slutsatser trots att han även här ger uttryck för den instrumentella förståelsen av likhetstecknet.
Anna är den enda elev som uteslutande använder sig av KMR eller LKMR när hon ställs inför en problemsituation. Hon är också den enda av de observerade eleverna som kommer fram till korrekta slutsatser på samtliga deluppgifter. Hon förankrar sina argument för strategival och implementering i relevanta matematiska egenskaper då hon ger uttryck för en relationell förståelse av likhetstecknet genom att argumentera att det ska vara jämvikt när det är ett likhetstecken.
Ibland använder hon dock uttrycket ”bli” men då i samband med en strävan efter jämvikt.
Erik löser de flesta av problemen med KMR eller LKMR. När han använder KMR visar han med både ord och gester att han vill ha jämvikt vilket indikerar en relationell förståelse av likhetstecknet. Dock använder Erik även uttrycket ”ska bli” vilket antyder en instrumentell förståelse. Vid LKMR inleder han sina resonemang med att ersätta relevanta matematiska egenskaper med ytliga egenskaper t.ex. i uppgift 3c där även han konstaterar att 12–3=9 vilket inte är relevant i det aktuella problemet. Här antyds också en instrumentell syn på likhetstecknet.
När han inser att det blir fel övergår han till att förankra sina argument i de inre egenskaperna i uppgiften och visar då en relationell förståelse av likhetstecknet. Vid samtliga av dessa kreativa resonemang kommer Erik fram till korrekta lösningar.
26
7 Diskussion
Följande avsnitt avser att diskutera frågeställningarna och resultaten i ljuset av den tidigare forskning som gjorts inom området. Många gånger för elever ogrundade resonemang och detta kan få konsekvenser för deras förståelse för matematiken. Som lärare kan man hjälpa eleverna att undvika de imitativa resonemang som ofta leder till felaktiga lösningar och slutsatser.
Resultaten visar att ungefär hälften av problemsituationerna löstes med hjälp av imitativa resonemang och den andra hälften med någon form av kreativt resonemang. I alla de problemsituationer som löstes med KMR eller LKMR kom de observerade eleverna fram till en korrekt slutsats. Lösaren visar genom sina resonemang att kunskapen om den matematiska grunden i uppgiften finns. Dessutom motiverar eleven sitt strategival genom att argumentera för varför lösningen är rimlig. På så sätt uppfyller lösaren alla de kriterier som Lithner (2008, s. 266) ställt upp för att ett resonemang ska klassas som KMR. Anna löste alla de problemsituationer hon ställdes inför med hjälp av KMR grundat på de matematiska egenskaperna i uppgifterna.
När man jämför dessa resultat med resultaten från de problem som löstes med IR visar det sig att det är produktivt och lönsamt att använda sig av kreativa resonemang. Vid en analys av de problemsituationer som löstes med IR visade det sig att endast vid två tillfällen då FAR användes, kom lösaren fram till en korrekt slutsats. I övriga fall grundade lösaren sina resonemang på så ytliga matematiska egenskaper, som inte hade någon relevans för uppgiften, att det ledde till en felaktig lösning. I dessa fall kunde lösaren inte heller på matematisk grund argumentera varför slutsatsen skulle kunna vara rimlig. Istället angavs till exempel motiveringar som ”Jag känner på mig att det ska vara en femma där” vilket skulle kunna indikera avsaknad av förståelse.
Anna, som kom fram till korrekta lösningar på alla uppgifterna, kunde vid samtliga observerade tillfällen ge välgrundade argument för rimligheten i sina slutsatser. Ett många gånger återkommande och uttalat argument var att det ska vara jämnt när det är ett likhetstecken. Det argumentet framfördes också av Cecilia när uppgifterna var av rutinkaraktär för henne. Det var då självklart att det skulle vara jämvikt, lika mycket på båda sidor av likhetstecknet. Intressant att påpeka är att när Cecilia upplevde problemsituationer som hon försökte lösa med FAR såg hon istället likhetstecknet som ”det blir” eller ”det ska bli”, d.v.s. en instrumentell förståelse av likhetstecknet. Asquith et al. (2007, s. 253), Stephens (2006, s. 251) och Skott et al. (2009, s. 680) menar att det är just den synen på likhetstecknet som gör att elever många gånger får problem och den åsikten stöds av det faktum att Cecilia i dessa uppgifter kom fram till inkorrekta lösningar. Även Erik uttrycker vid FAR att ”det blir” men i de två uppgifter där han övergår till LKMR ändrar han också sitt uttryckssätt till ”det är” i samband med denna övergång. Om det är denna övergång från ett dynamiskt sätt att resonera kring likhetstecknet till det statiska synsättet som hjälper honom till korrekta lösningar är svårt att avgöra, men mot bakgrund av det forskarna (Asquith et al., 2007, s. 253; Stephens, 2006, s. 251; Skott et al., 2009, s. 680) anser så kan det vara
27
en bidragande faktor. I Johans fall såg det lite annorlunda ut. Han lyckas i två av sina försöka att lösa uppgifterna med FAR. Det verkade som om han här tolkade likhetstecknet som uttryck för att en beräkning skulle utföras i det att han sa ”det blir” och ”det ska bli”. Samtidigt argumenterade Johan dock för rimligheten i sina lösningar genom att säga att det ska vara jämvikt vilket tyder på att han ändå har en förståelse av likhetstecknet som en relation mellan vänster och höger. Samma uttryck och argument använde Johan när han löste uppgifter med KMR. Man skulle kunna argumentera för att elever mycket väl kan ha en korrekt förståelse av likhetstecknet och att uttrycket ”det blir” snarare härrör från ett gängse sätt att uttrycka sig i många undervisningssituationer i kombination med utformningen av uppgifter i matematikböcker (Stephens, 2006, s. 252).
De uppgifter Johan inte lyckades hitta någon lösning på var uppgift 3b och 3c. Han använde sig där av FAR vilket kanske gav honom problem. En annan anledning till att han inte kom fram till en slutsats kan vara att han blev emotionellt påverkad av situationen. Han var uppenbart stressad av att han inte förstod problemet och slutligen gav han upp och började gråta. Det här är en företeelse man inte kan förbise. Hannula (2004) menar att om känslor, uppfattningsförmåga och motivation är grunden i människans medvetande bör man kunna använda dessa till att karakterisera tilltro, attityder och värden vilka anses påverkar matematikundervisningen (Hannula, 2004, s. 50). Om man blir stressad av att inte förstå ett problem kan detta givetvis påverka möjligheten att resonera logiskt. I Johans fall upprepades det dessutom i en andra uppgift vilket kan ha medfört att hans tilltro till sin egen förmåga sjönk. Detta kan ha ökat hans emotionella reaktion till den grad att han började gråta och hans prestationsförmåga försämrades därpå ytterligare. Anna var också uppenbart stressad vid första uppgiften vilket hon även själv uttryckte i ord. Till skillnad från Johan lyckades hon dock förankra sina argument i relevanta matematiska egenskaper i uppgiften vilket ledde henne till en korrekt lösning på uppgiften. Detta stärkte troligen hennes tilltro till den egna förmågan då hon därefter tycktes helt lugn när hon fortsatte med nästa uppgift.
Om man som lärare redan i de tidiga årens matematikundervisning fokuserar på att lära eleverna föra kreativa matematiska resonemang, där argumenten för strategival, implementering och slutsatsens rimlighet är förankrade i de inre matematiska egenskaperna, skulle det kunna hjälpa eleverna att utveckla den känsla för matematik som Arcavi (1994, s. 32) menar är målet med undervisningen.
28
8 Konklusion
Att eleverna många gånger för IR när de ställs inför matematikproblem kan ha mycket att göra med den uppfattning de får genom undervisningen och hur den bedrivs. Ett sätt att träna eleverna i att föra kreativa matematiska resonemang skulle kunna vara att redan tidigt i skolåren tillhandahålla det som Schoenfeld klassar som kreativa matematiska problem (Hagland et al., 2005, s. 28-30). Traditionella läromedel och även lärartillverkade prov innehåller tyvärr ofta uppgifter av rutinkaraktär (Palm et al., 2011, s. 239). Naturligtvis måste man vara lyhörd för varje enskild individs behov och även se till att klassrumsförhållandena är goda, men man får inte glömma att de problem man ger eleverna måste utgöra en utmaning för att stimulera deras matematiska utveckling och kreativa tänkande. Skemp (2006, s. 96) menar att elever kan visa ett instrumentellt flyt men minnet och den instrumentella förståelsen hjälper dem inte att lösa problem som kräver tolkningar. I den här studien är steget till KMR inte långt när eleverna har kört fast i sin problemlösning. Om eleverna får rätt stöd och en möjlighet att prova sin argumentation kan de således utveckla sin relationella förståelse av likhetstecknet. Utan detta stöd finns annars en risk att eleverna stannar i en instrumentell förståelse. Detta stöds även av resultatet från en metaanalys av Rakes, et al. (2010, s. 387) där det framkom att elever vars undervisning fokuserar relationell förståelse lyckas dubbelt så bra som de elever vars undervisning har fokus på instrumentell förståelse. Om eleverna tidigt får en grundläggande förståelse för likhetstecknets betydelse som en relationell symbol kan det hjälpa dem att förstå och reflektera över ekvationer, vilket skulle lägga grunden till en senare förståelse för algebra.
