I enkätstudien ställdes frågan om vilket innehåll i SF1625 studenterna upplevde som svårast. De skulle markera upp till 3 av 18 alternativ (se Figur 5).
Figur 5: Stapeldiagrammet visar hur många studenter som valde respektive alternativ. 257 studenter besvarade denna fråga, men endast studenter som valt att delta på föreläsningar tillfrågades.
Givet att svarsalternativen konvergens/divergens av summor och serier praktiskt taget är samma sak (detta var ett misstag som upptäcktes först efter enkäten genomförts) så är det två tydliga teman som står ut.
Riemannsummor (144, ca 55%) och de som markerat minst en av konvergens/divergens av summor och serier (165, ca 65%, se gula raden i Figur 5). Föreläsare 1 sade sig uppleva att serier och att uppskatta feltermen i Taylors formel förmodligen var det i kursen som studenterna hade svårast med, vilket stämmer ganska väl överens med enkäten då båda ämnena är bland de som flest studenter markerat som svårt. I intervjuerna var det ingen som tog upp Riemannsummor som något speciellt svårt, men det är flera övningsassistenter som känner igen resultaten och det är då speciellt Taylors formel, Riemannsummor och konvergens/divergens som de upplever stämmer överens med sin egen erfarenhet.
Alltså, de kvantitativa resultaten från studenter som närvarat på föreläsningar och de kvalitativa resultaten från de tillfrågade föreläsarnas och övningsassistenternas upplevelser antyder på att konvergens/divergens, Riemannsummor och Taylors formel är det innehållet i SF1625 som studenter upplever som svårast.
Om man analyserar detta resultat utifrån begreppen imitativa och kreativa resonemang så märker man att de kan tjäna som förklaring till resultatet. I behandling av de tre områdena konvergens/divergens, Riemannsummor och Taylors formel så handlar det ofta om att fastställa övre och undre begränsningar och dra slutsatser utifrån dem. Vilket är svårt att göra genom imitation då valet av lösningsgång ofta måste grunda sig i en underliggande förståelse snarare än genom att följa satser eller algoritmiska
lösningsmönster. Betrakta exempelvis följande uppgift som förekommer bland rekommenderade uppgifter i kursen (Modul 7, Uppgift 4,c):
Avgör om följande serie är konvergent eller divergent:
För att lösa en uppgift som den här bör man först försöka få en bild av vad svaret ska bli innan lösningen påbörjas så att lämplig lösningsstrategi kan implementeras (exempelvis om man tror att serien divergerar mot så bör man hitta en annan serie som är känt mindre, men som vi vet divergerar). Både detta och att lösningarna på sådana här uppgifter ofta inte är unika (det finns många sätt att begränsa uttrycket som leder till samma slutsats) gör att det är svårt att endast använda imitativa resonemang i en lösning. Stegen man tar bör således vara mindre krävande att ta genom ett kreativt resonemang. Detta kan tas i kontrast till att lösa en integral eller leta max/min värden på en funktion, vilket är uppgifter som har tydliga
lösningsmetoder (sådana uppgifter kan absolut vara svåra men svårigheten ligger i så fall inte i att hitta rätt lösningsmetod, utan i att utföra komplexa delar i metoden).
Riemannsummor är också ett ämne där man kan behöva använda olikheter för att lösa uppgifter.
Exempelvis uppgifter på formen (Modul 5, Uppgift 10):
Att en specifik Riemannsumma är en översumma, undersumma eller inget av dem går med fördel att motivera kreativt genom att rita in staplarna till riemannsumman i en graf av integranden. Men det finns inte något simpelt sätt att göra det imitativt. I kursen behandlas även uppgifter av följande typ (Modul 5, Uppgift 11a) och (Tentamen 2019-10-22, 5a):
Båda dessa uppgifter kan vara svåra att lösa genom imitation. Även om det bör vara fullt möjligt genom att exempelvis följa nedanstående steg:
1. Identifiera att serien är en Riemannsumma genom att exempelvis identifiera att 10 respektive n både är antalet termer och finns i en nämnare som går att faktorisera ut.
2. Identifiera och
3. Bestäm integralens gränser genom att ta fram och 4. Lös integralen
Att memorera denna lösningsmetod och kunna göra den genom att endast resonera imitativt bör dock vara krävande och ett kreativt resonerande om t.ex. varför 1/10 och 1/n motsvarar dx kan mycket väl för många vara enklare än att göra det imitativt.
Taylors formel och uppskattning av feltermen är också något som är svårt att göra utan kreativa
resonemang. Att ta fram ett taylorpolynom är som sagts tidigare väldigt algoritmiskt. Men att sedan med Taylors sats avgöra begränsningar för felet till approximationen är mer komplext. Uppgiften nedan är ett typiskt tal i ämnet (Modul 4, Uppgift 5):
Att ta fram feltermen och sedan söka för vilka punkter s mellan approximationspunkten a och den
beskådade punkten x som maximerar feltermen är definitivt inte omöjligt att utföra imitativt. Men om man
inte kan resonera kring dessa tre punkter och med tydlig motivation välja en begränsning så blir uppgiften väldigt svår att lösa.
Det kursinnehåll som resultatet antyder skulle vara svårast för studenter har alltså den egenskapen att uppgifter inom områdena ofta behöver lösas med kreativa resonemang. Om detta är en av de primära faktorerna som gör något svårt så bör områden vars uppgifter med fördel lösas med imitativa resonemang vara de enklare. Vilket visas nedan att så är fallet.
I enkätstudien ställdes även frågan om vilket innehåll i SF1625 studenterna upplevde som lättast. De skulle markera upp till 3 av 18 alternativ (se Figur 6).
Figur 6: Stapeldiagrammet visar hur många som valde respektive alternativ. 257 studenter besvarade frågan, men endast studenter som valt att delta på föreläsningar tillfrågades.
Här är Derivata och deriveringsregler det som flest studenter markerat som lättast. Utöver det så sticker Taylorpolynom, Linjär approximation, Funktioner och kontinuitet, och Gränsvärden ut något extra.
Derivata och deriveringsregler är bekant från gymnasiet och är väldigt algoritmiskt och löses således effektivt med imitativa resonemang. Taylorpolynom är något som inte har behandlats under gymnasiet och approximationer som linjär approximation tas sällan upp. Linjära approximationer står inte med i centralt innehåll för någon av skolverkets kurser (Skolverket, 2011). Viss kurslitteratur väljer dock att ha med det i matematik 5 (Alfredson m.fl, 2013). Att ta fram ett taylorpolynom är väldigt algoritmiskt, alltså kan det med fördel behandlas med imitativa resonemang. Att studenterna använder just imitativa
resonemang kan även ses genom det faktum att fler studenter tycker taylorpolynom är enklare än linjär approximation, trots att (nästan) varje taylorpolynom innefattar en linjär approximation. Funktioner och kontinuitet är inte något som tydligt vilar på imitativa resonemang och som dessutom bör lida av att studenterna har tydliga konceptbilder som inte nödvändigtvis stämmer överens med mer formella definitioner (se Konceptbild och konceptdefinition, s 15). Ämnet är dock bland de första som tas upp i kursen och studenterna har således haft tid på sig att forma om sina konceptbilder. Att gränsvärden skulle vara enkla är något förvånande utifrån litteraturstudien (se Studenters svårigheter i matematik, s 15) som vittnar om att detta skulle vara en ganska betydande svårighet. Men vi bör observera här att det
studenterna har svarat på är hur svåra de konkreta talen som de mött i ämnet är, som också togs upp i litteraturen (se sida 9). Exempel på rekommenderad uppgift i kursen rörande gränsvärden är (Seminarie 1, Uppgift 4d) och (Modul 1, Uppgift 4a):
Vilket inte kräver definitionen av gränsvärde som litteraturen tar upp. Utan löses snarare imitativt genom att man har fått lära sig att man ska stryka gemensamma faktorer respektive använda standardgränsvärdet att . Man behöver således inte använda den formella definitionen för
gränsvärden som är svår för studenter att smälta. Faktum är att det inte finns några uppgifter i dokumenten Modul 1 och Seminarium 1 som behandlar uppgifter där den formella definitionen används.
Alltså, enkätresultat tyder på att studenter tycker att derivata och deriveringsregler är det enklaste i kursen och att ämnena Funktioner och kontinuitet, gränsvärden, linjär approximation och Taylorpolynom skulle vara något enklare än övrigt innehåll. Tyvärr har inga kommentarer eller andra kvalitativa resultat erhållits i den här frågan. Men vi ser att merparten av detta innehåll är sådant som med fördel löses med imitativa resonemang, till skillnad från det innehåll resultaten antyder att studenter har svårt för. Alltså tyder detta på att det skulle kunna vara de kreativa resonemangen i sig som är svåra.
Figur 5 och 6 kunde alltså förklaras till viss del utifrån begreppen kreativa och imitativa resonemang, men tycker studenter verkligen att det är svårt att föra kreativa resonemang? För att ge en inblick i den frågan så har följande fråga ställts i enkäten
Figur 7: 260 studenter besvarade denna fråga, men endast studenter som valt att delta på föreläsningar tillfrågades, (40.4%) svarade Resonemangs uppgifter är mycket svårare, (45.4 %) svarade Resonemangs uppgifter är svårare, (5.8 %) svarade Samma svårighetsgrad, (2.3 %) svarade Algoritmiska uppgifter är svårare, (0.4 %) svarade Algoritmiska uppgifter är mycket svårare och (5.8 %) svarade Ingen åsikt.
Detta är ett resultat som nästan inga övningsassistenter uttrycker förvåning över. De få som gjorde det tyckte att det var konstigt att det fanns studenter som inte tyckte att renonemangsuppgifter är svårare. Det var inga signifikanta skillnader mellan studenter som har gått och går kursen. Eftersom det är naturligt att föra imitativa resonemang i algoritmiska uppgifter och kreativa i resonemangsuppgifter så stärker detta bilden av att de kreativa resonemangen är svårare och att det faktiskt kan vara en betydande orsak till svårigheter i ämnet.
Att det är svårare att utföra kreativa resonemang än imitativa kan enligt APOS tolkas som att det är enklare att utföra handlingar från ett yttre stimuli som inte baseras på egna erhållna objekt än att göra handlingar utifrån egna objekt med ett lågt externt stimuli. Det kreativa resonemanget bygger på att man har välutvecklade objekt att föra resonemanget med och att stimulit faktiskt leder till rätt objekt att använda. Det vill säga att din schemata koppling är tillräckligt stark för att kunna associera ett problem med de objekten som krävs för att göra handlingen. Detta till skillnad från att föra imitativa resonemang där det externa stimulit är stort och de egna använda objekten är få när man utför handlingen. Handlingen kan här vidareutvecklas till en process, men eftersom handlingen och processen bygger på ett svagt schema så är det svårt att inkapsla dem till objekt och man hamnar således i en tendens att lära sig saker ytligt. Då går man miste en djupare förståelse och ser inte hur saker och ting hänger ihop. Alltså, de kreativa resonemangen stärker och vidareutvecklar den schemata kopplingen mellan redan erhållna objekt, medan de imitativa tenderar att bygga nya schemat strukturer snarare än att stärka kopplingen i de
befintliga. Orsaken till att det verkar vara svårare att stärka befintliga schemata kopplingar snarare än att skapa nya kan förklaras med att ackommodativt lärande kräver mer än assimilativt lärande (Piaget, 1964).
Utöver de resultat som står i figur 5, 6 och 7 så har 4 frågor ställts i enkäten angående svårigheter som är anknutna till tidigare forskning (se Tidigare litteratur, s 13).
Figur 8: Svar i procent på hur svårt studenterna som gick på föreläsningar ansåg varje fråga var. Totalt svarade 258 studenter på varje fråga. Frågorna i diagrammet är tagna från sektionen i enkäten som handlade om hur
övningsassistenter bör arbeta under övningar.
I litteraturstudien togs begreppen konceptbild och konceptdefinition upp (se Tidigare litteratur, s 13) Att studenter besitter konceptbilder som inte stämmer överens med konceptdefinitioner kan enligt APOS tolkas som att studenter ofta besitter objekt eller scheman (man kan ofta se begrepp som tematiserade objekt, se Figur 1 s 21 som inte överensstämmer med de formella definitionerna. Detta kan leda till problem och svårigheter på flera sätt. Först det något uppenbara, att om man har otillräcklig eller felaktig kunskap så leder det inte framåt. Om de objekt och scheman man besitter är fel eller otillräckliga så är de handlingar man försöker göra inte genomförbara eller så leder de leder till fel slutsats (detta i sin tur kan var en bidragande faktor varför studenter förlitar sig på imitativa resonemang). Det betyder att studenten måste uppkapsla sina objekt till processer och om revidera sin bild för att sedan åter inkapsla dem. Vilket då bör vara en svårighet eftersom flera reflektiva abstraktioner utförs.
Fråga 1: Hur svår/lätt är det att få en tydlig förståelse för kursens olika begrepp, såsom funktion, gränsvärde, strängt växande och integrerbart?
För att få en uppfattning om hur väl detta stämmer överens med studentgrupperna på KTH så har fråga 1 i figur 8 ställts. Tanken med frågan var att studenters uppfattning om hur svåra de matematiska begreppen i SF1625 är skulle tjäna som en operationalisering i huruvida bristande konceptbilder är ett problem. Om man tolkar resultatet som att studenter inte har svårt med begrepp och koncept i kursen så överensstämmer inte detta med det som litteraturstudien beskriver som problem med konceptbilder och
konceptdefinitioner. Det var en övningsassistent som uttryckte förvåning över att studenterna inte tyckte att begrepp är svårare, men i övrigt så tycker föreläsare och övningsassistenter att de känner igen sig i resultatet, om de yttrat sig om det. Det verkar också tala emot litteraturstudien. Alltså tyder varken de
kvantitativa eller de kvalitativa resultaten på att studenters bristande konceptbilder skulle vara ett stort problem, som hävdades i litteraturstudien. Men eftersom saken endast undersökts med en fråga bör inga stora slutsatser tas.
Fråga 2: “Hur svårt är det att följa och utföra matematiska bevis?”
Enligt litteraturstudien har studenter svårigheter att följa och utföra matematiska bevis. Vilket skulle kunna bero på att det är något som inte behandlats i större utsträckning på gymnasienivå. Det kan även förklaras med att bevisföring ofta kräver kreativa resonemang, såvida det inte är en imitativ representation av en bevisföring. Om studenter genomför en imitativ representation av bevis så visar det sig dessutom att många studenter inte muntligt kan motivera implikationer och ekvivalenter i bevisföljden (Lithner m.fl, 2010). Litteraturstudien är dock tydlig med att studenter har lättare att följa än att utföra bevis. Detta får anses naturligt för när man följer ett bevis så kan man dela upp det och försöka förstå ett steg i taget, till skillnad från när man ska föra ett enda långt resonemang. Resultatet från Fråga 2 i figur 8 antyder till att en majoritet av studenterna som studerar SF1625 tycker att det är svårt med bevis, vilket var väntat utifrån litteraturstudien. Resultatet bekräftas även från de kvalitativa resultaten då flera föreläsare och
övningsassistenter kan bekräfta detta från egen erfarenhet.
Litteraturstudien lyfter även upp övergången från gymnasiet till högskolan som en potentiell orsak till svårigheter i matematik. Det på grund av att högskolan ofta behandlar matematiken mer abstrakt och generellt, och den kulturella övergången (undervisningsform, eget ansvar, etc). I enkäten ställdes ingen fråga för att undersöka påståendet om att studenter har svårt i hoppet rörande nivån på det matematiska innehållet, eftersom storleken på enkäten behövde begränsas och både föreläsare 1 och 2 har sagt att så är fallet. Men om man analyserar de tre områdena som de tillfrågade studenterna upplevde som svårast (se Figur 5), konvergens/divergens, Riemannsummor och Taylors formel, så ser man att alla dessa ämnen har ett mer abstrakt förhållningssätt än vad man ser på gymnasiet. Enligt APOS beror det på att studenterna har underutvecklade objekt och scheman. Objekten saknar den mer abstrakta dimensionen och då kan naturligtvis inte handlingar som kräver ett sådant objekt utföras. Inte heller kan en mer abstrakt
schematisk koppling utföras eftersom den inte har tillräckligt god kunskap att slå rot i. För att ett objekt ska kunna växa så måste det uppkapslas till en process och där koordineras med en annan process för att sedan inkapslas tillsammans till ett nytt objekt. Den processen som koordineras in kan komma från en handling som bygger på objektet som utökas, men kan även komma från en annan handling.
Exempel: en elev har en viss objektförståelse av derivata och behärskar konsten att derivera polynom, men klarar inte av att derivera ett polynom med ospecificerade konstanter. Alltså eleven kan derivera 3x^2 men inte ax^n. Eleven kan lära sig detta genom att använda sitt objekt
(derivata) tillsammans med någon form av yttre stimuli som initierar hur hen deriverar ax^n.
Eleven kan då inreda den deriveringen till en process och sedan uppkapslas sitt ursprungliga objekt till en process och då koordinera denna med den nya processen och sen inkapsla dem till ett nytt starkare objekt.
Att vidga objekt kan kräva många reflektiva abstraktioner i flera steg vilket är en kognitiv utmaning. När det handlar om att arbeta med ett mer formellt förhållningssätt (utifrån definitioner, satser och bevis) så kan svårigheter uppstå om studenterna inte har den grundläggande schemata kopplingen för att göra det. I gymnasiet så fokuserar man mer på intuition än tydlig matematisk motivation (se Övergången från gymnasiet till universitet och högskola, s 17). Det innebär att studenterna innan har tillåtits att motivera
matematik genom lösa påståenden som “men det ser man ju” eller “för att det bara är så”. Därför kan det finnas en mental barriär när man måste hänvisa till satser eller inte kan utgå ifrån att något är sant som alltid tidigare har antagits vara det (exempelvis att funktioner är kontinuerlig).
Fråga 3 och 4: “Har det varit svårt att inte ha tillgång till räknare och formelblad?” och
“Hur svårt har det varit att arbeta efter undervisningsformen, föreläsning, övning och eget räknande i jämförelse med gymnasiets upplägg?”
Den andra aspekten av övergången från gymnasiet till högskolan som handlar om de kulturella
skillnaderna i undervisningen har undersökts med två frågor. Fråga 3 och 4 i figur 8. De resultaten verkar tala emot det som litteraturen beskrev i frågan. Men resultatet är något som inte känns igen av
övningsassistenter och föreläsaren 2 (F2). De hade trott att detta skulle vara ett större problem. Potentiella orsaker till problemet eller varför det inte är ett problem är svårt att analysera med APOS eftersom ramverket fokuserar på den kognitiva uppbyggnaden, i vilka steg den ska byggas upp och vad det är som ska bygga upp den. Men inte “hur” detta ska göras. Av den anledningen kommer vi att se på denna fråga genom det sociokulturella perspektivet. Enligt det så är det krävande att göra en kulturell omställning.
Även om den nya miljön är mer gynnsam i det långa loppet så tar det tid att adaptera den. Under den tiden kan man således tänka att studenterna borde ha svårare att följa och rätta sig efter det nya systemet.
Exempel på skillnader är, annorlunda undervisningsform, färre hjälpmedel, annorlunda kurslitteratur, mindre och annorlunda kontakt med lärarna. Men som sagts så tyder resultatet på att detta inte skulle vara ett stort problem. Men det bör förtydligas att den valda operationaliseringen för att nå ut till studenter som läser SF1625 har varit att uppsöka studenter på föreläsningar. Om studenter som valt att medverka i undervisningen är en god representationsgrupp kan ifrågasättas (se Diskussion 1, s 42).
Sammanfattningsvis tyder de kvalitativa resultaten på att studenterna upplever moment som är besvärliga att behandla med imitativa resonemang som svårare än de där det görs med fördel. Detta bekräftas även från intervjuer och mejlsvar. Studenter har också svårigheter med de ämnen där bristande bakomliggande kunskap spelar en stor roll. Dessa kunskaper kan vara både mer sakligt inriktade som hur man utför polynomdivision eller hur man definierar sinus- och cosinusfunktionerna genom enhetscirkel, men också förhållningssätt och erfarenhet mot hur man utför matematisk problemlösning och rigorositet. Det vill säga hur väl en individs objekt, processer och schemana strukturer stämmer överens med den etablerade matematiken. Detta är först och främst ett resultat som kommer utifrån intervjuerna. Vidare har
litteraturstudien påstått och föreläsare 1 och 2 antytt att den kulturella övergången och hur studenter adapterar den nya undervisningsformen på högskola gentemot gymnasiet kan ha en negativ påverkan.
litteraturstudien påstått och föreläsare 1 och 2 antytt att den kulturella övergången och hur studenter adapterar den nya undervisningsformen på högskola gentemot gymnasiet kan ha en negativ påverkan.