EXAMENSARBETE INOM TEKNIK OCH LÄRANDE, AVANCERAD NIVÅ, 30 HP
STOCKHOLM, SVERIGE 2020
Vad kännetecknar en god övning i kursen envariabelanalys (SF1625)
En studie om förstaårsstudenters svårigheter och god vuxenutbildning i matematik som underlag till en kurs för nyblivna övningsassistenter i envariabelanalys på KTH
Simon Fry Eggers Edvin Keller
KTH
2
Vad kännetecknar en god övning i kursen envariabelanalys (SF1625)
En studie om förstaårsstudenters svårigheter och god vuxenutbildning i matematik som underlag till en kurs för nyblivna övningsassistenter i envariabelanalys på KTH
Simon Fry Eggers Edvin Keller
EXAMENSARBETE INOM TEKNIK OCH LÄRANDE PÅ PROGRAMMET CIVILINGENJÖR OCH LÄRARE
Titel på svenska: Vad kännetecknar en god övning i kursen envariabelanalys (SF1625).
Titel på engelska: What characterizes a good TA lecture in the calculus course SF1625.
Handledare: Mikael Cronhjort, Kungliga Tekniska Högskolan (KTH).
Uppdragsgivare: Erik Dalsryd.
Examinator: Anna-Karin Högfeldt, Kungliga Tekniska Högskolan (KTH).
Sammanfattning
Syftet med detta arbete är att utveckla och förbättra undervisningskvalitet på
matematikundervisningen på KTH genom att utveckla en kurs i pedagogik för nya övningsassistenter.
Denna kurs kommer göras utifrån en förstudie på KTH. Denna studie ämnar undersöka vad som (1) kännetecknar god undervisning vid övningar på kursen envariabelanalys (SF1625) på KTH samt (2) vilka vanliga svårigheter studenter möter i denna kurs. Arbetet utgick från en explorativ ansats där data från studenter som går eller gått kursen, föreläsare och erfarna övningsassistenter samlades in.
Datainsamlingen genomfördes i form av en enkätundersökning riktad mot studenterna, med hjälp av intervjuer med föreläsare och en frågeenkät riktad mot övningsassistenter som besvarades via mejl.
Data från dessa grupper jämfördes sedan med tidigare kända resultat från studier om god undervisning och svårigheter i högskolematematik. Där data pekar mot liknande svar och kan understödas av litteratur inom pedagogik anses rapportens frågeställningar besvarats.
Totalt besvarade 261 studenter enkäten, 2 föreläsare intervjuades och 6 övningsassistenter besvarade frågeenkäten via mejl. Gällande den första frågeställningen kom studien fram till att; (1) ett typisk bra upplägg på en övning är repetition av teori, låta studenterna räknar och diskuterar materialet själva och att övningsassistenter därefter löser talen inför klassen, (2) studenterna bör diskutera teori och begrepp med varandra, (3) de får möjlighet att ställa frågor, (4) övningsassistenter bör kunna illustrera matematiska koncept på olika sätt, (5) övningsassistenter bör jobba med både formellt och vardagligt språk i sina genomgångar och (6) övningsassistenter bör behärska god tavelteknik. Gällande den andrafrågeställningen kom studien fram till att: (1) matematik som kan lösas genom memorerade lösningsmetoder är enklare än från matematik som behöver en bredare förståelse, exempelvis problemlösning eller bevisföring, (2) det studenterna upplever som svårast i kursens är
riemannsummor, konvergens och divergens samt serier, (3) det studenterna upplevde som lättast var derivata och deriveringsregler, (4) nivåskillnaden mellan matematiken och på gymnasiet till högskola upplevs som tuff för många studenter, (5) studenterna som frågades i studien anser inte att skillnaden i undervisningsupplägg på KTH i jämförelse med gymnasiet är speciellt svår, men föreläsare och övningsassistenter upplever att det är svårt för många studenter.
Utifrån främst detta underlag utvecklades det första utkasten av kursen riktad mot nya övningsassistenter där kursmålen är uppdelade i tre ämnen.
● Studenters utmaningar och inlärningsbarriärer.
● Undervisningsstrategier för förstaårsstudenter i matematik.
● Kollegial kommunikation och vad man kan förvänta sig från studenterna.
Flera specifika mål har formulerats under dessa ämnen och sedan har ett kursupplägg på en dag planerats för att uppfylla målen.
Nyckelord: övning, övningsassistent, envariabelanlys, Kungliga Tekniska Högskolan, KTH
Abstract
The general objective of this paper is to improve the teaching quality of a course in mathematics at KTH by developing a training program in pedagogics for new tutors. To achieve this goal we aimed (1) to identify what characterises good teaching during supervised exercises in the course in single variable analysis (SF1625) at KTH and (2) what kind of difficulties students encounter in order to reach the objectives of this course. This is done through an explorative approach in which data was collected from students, lecturers and experienced training assistants by e-mail using polls and interviews. The data was then compared to existing knowledge about good quality education in mathematics on university level. A total of 261 students, 2 teachers and 6 tutors took part in the study.
We identified six factors that appear to be linked to good teaching praxis: (1) a combination of repetition and independent exercise followed by a teachers review together with the students, (2) students should discuss theory and concepts with each other, (3) students get the opportunity to ask questions, (4) exercise assistants should be able to illustrate mathematical concepts in different ways, (5) exercise assistants should work with both formal and everyday language in their reviews and (6) exercise assistants should master good chalkboard technique. Our second study question revealed five important obstacles that seem limit learning outcomes: (1) mathematical problems that can be solved using memorised solutions are easier to master then problems that require deeper understanding and creative thinking, (2) students find Riemann sums, series and the concepts of convergence and divergence to be among the hardest parts of the course material, (3) students find derivates and derivates rules to be the easiest part of the course material, (4) many students find it difficult to go from mathematics at the gymnasium level to mathematics at the university level, (5) the students who participated in this study did not experience difficulties to adapt to the differences in teaching style andmethods between gymnasium and KTH, but many teachers think new students have a hard time learning to work well in the university environment. This information is used to create a first version of a possible course for new tutors at KTH. The course program is divided into three main parts:
• What students find hard and what makes the subject in the course hard to learn.
• Strategies for successful teaching for first year students in mathematics.
• Collegial communication and what can be expected from students.
More specific goals are also formulated to develop a more precise arrangement of the first version of the course for new tutors.
Förord
Studien är indelad i två delar. Del 1 och del 2. Del 1 undersöker vad som kännetecknar en god övning i envariabelanalys SF1625 medan del 2 tar fram ett utkast för en utbildningsdag för nyblivna
övningsassistenter i SF1625. Del 2 bygger till stor del på de slutsatser som dragits i del 1.
Innehållsförteckning
Del 1: Vad kännetecknar en god övning i kursen envariabelanalys (SF1625)? 9
Inledning del 1 9
Syfte (del 1 och 2) 10
Frågeställningar 10
Avgränsningar 10
Bakgrund del 1 11
Tidigare litteratur 12
God undervisning utifrån litteraturstudien 12
Litteratur om matematikundervisning på gymnasiet 12
Studier om matematikundervisning på högskola 13
Studenters svårigheter i matematik 14
Imitativa och kreativa resonemang 14
Konceptbild och konceptdefinition 14
Studenters förmåga att följa och formulera bevis 15
Övergången från gymnasiet till universitet och högskola 16
Teoretiska ramverk 16
Explorativ ansats 17
APOS - Handling, Process, Objekt och Schema 17
Det sociokulturella perspektivet 20
Vad är det sociokulturella perspektivet? 21
Den proximala utvecklingszonen 21
Metod del 1 22
Intervjuer med föreläsare 23
Enkätstudie mot studenter 23
Den komplimenterande undersökningen 25
Etiskt Förhållningssätt 25
Resultat och Analys del 1 26
Vad är god undervisning på övningar? 27
Vilka svårigheter har studenter i kursen envariabelanalys på KTH? 33
Diskussion del 1 41
Om litteraturen i studien 42
Om metoden 42
Om resultat och analys 44
Slutsats för del 1 46
Del 2: Introduktion av lärande för nyblivna övningsassistenter i kursen
envariabelanalys (SF1625) 48
Inledning del 2 48
Frågeställning till kursutvecklingen 48
Bakgrund del 2 48
Tidigare forskning del 2 49
Strukturera upp en kurs i tre steg 49
Ställa upp önskade mål och resultat 50
Bestämma bedömning och utvärderingsform 50
Vilka aktiviteter, erfarenheter och forskningsresultat ska implementeras? 51
Revidera och förbättra en kurs 51
Teknik i att använda tavlan 52
Hur förbereder man övningsassistenter? 53
Vad ska övningsassistenterna lära sig? 53
Hur ska man lära övningsasisteterna? 54
Metod del 2 55
Produkt - den utformade kursen 56
Kursmål 56
Bedömningsform 59
Kursbeskrivning 59
Lektionsupplägg på seminariet 59
Aktivitet och diskussion med om enkätresultat 60
Studenters utmaningar och inlärningsbarriärer i SF1625 60
Studenternas svårigheter och i övrigt ge god undervisning? 61
Workshop - planera en lektion 63
Kollegial kommunikation och kort om vad man kan förvänta sig av studenterna 64
Avslutning 65
Diskussion del 2 65
Referenslista 67
Bilaga 1 - Intervjufrågor 70
Bilaga 2 - Enkätsvar diagram 71
Bilaga 3 - Mejlfrågor till övningsassistenter 77
Bilaga 4 - Exempeluppgifter, presentationsämnen och teoripunkter till workshop 78
Del 1: Vad kännetecknar en god övning i kursen envariabelanalys (SF1625)?
En undersökning om övningar och studenters svårigheter i SF1625 på KTH
Inledning del 1
Kungliga tekniska högskolan (KTH) är en av Sveriges största tekniska högskolor vars främsta inriktning är att utbilda ingenjörer. Därmed är matematik ett av de, om inte det mest centrala ämnet, att studera på KTH. Bland kurserna i matematik är envariabelanalys och linjär algebra de mest grundläggande kurserna och ingår i nästan alla program som skolan erbjuder. Därför är dessa två kurser ofta de första intrycken nyblivna studenter på KTH får av högskolematematik.
Matematikkurser på KTH följer ett strukturellt format med tre olika undervisningsmoment; föreläsningar, övningar och seminarier. Övningar är ett av de vanligaste momenten då studenter får möjlighet att jobba med materialet de lärt sig på föreläsningarna. Övningar på KTH hålls av övningsassistenter, vilket oftast är amanuenser eller doktorander. För nyblivna övningsassistenter finns det för närvarande inga direkta krav på pedagogisk utbildning eller tidigare lärarerfarenhet, vilket betyder att många nya
övningsassistenter undervisar för första gången. Som studenter som själva har gått flera matematikkurser på KTH har vi upplevt att kvalitén på olika övningar och övningsassistenters insatser har varierat. Detta har ofta lett till att vissa övningsassistenter blivit mer populära än andra och att deras övningssalar varit överfulla medan andra varit nästan tomma. Det finns (vid tiden av skrivandet) en utbildningsdag tillgängligt för övningsassistenter som vill fördjupa sig i lärarkonsten vid KTH. Utbildningsdagen heter Teaching Mathematics, men den ges för närvarande endast till övningsassistenter med erfarenhet av minst en tidigare kursomgång och bygger på diskussion och att dela erfarenheter för att utveckla lärande
förmågor mellan dem.
Erik Dalsryd, som håller i Teaching Mathematics, ser gärna en mindre kurs eller seminarium riktad mot nya övningsassistenter i matematik på KTH. Vi ämnar i denna rapport ge underlag och ett första utkast för en sådan kurs som skall presenteras till matteinstitutionen. Kursen skall syfta till att ge nya
övningsassistenter en mer utförlig förståelse av studenternas svårigheter inom matematik och hur man kan planera och hålla en övning. Förhoppningen med kursen är att hjälpa nya övningsassistenter att känna sig förberedda inför sina första övningar samt öka kvalitén på undervisningen under övningarna. Genom fortbildningen för nya övningsassistenter hoppas vi också kunna bidra med att lokalt på KTH utöka det fjärde globala målet “God utbildning för alla”, speciellt delmål 4.3 att uppnå “Lika tillgång till
yrkesutbildning och högre utbildning av god kvalitet” (Globala målen, 2020). Fortbildningen skall uppnå detta genom att ge fler nya övningsassistenter en utökad pedagogisk kunskap. För att begränsa arbetet kommer denna rapport utgå från kursen envariabelanalys (med kurskod SF1625) då denna är en av de mest grundläggande kurserna i matematik och oftast är den första matematikkursen som nya studenter på KTH läser.
För att kunna utveckla denna kurs kommer denna rapport vara uppdelad i två delar. Den första delen, del 1, kommer gå ut på att samla data på verksamheten KTH om hur man håller en god övning och vilka svårigheter studenter har i kursen SF1625. Resultaten från del 1 kommer användas som underlag till den andra delen av arbetet, del 2, som går ut på att utveckla det första utkastet till kursen. Eftersom del 2 av detta arbete är mycket beroende av del 1, så har vi valt att dela upp arbete i i princip två olika arbeten som kommer efter varandra. I den här delen, del 1av studien ämnar vi att identifiera vad som kännetecknar en god övning som hålls i kursen envariabelanalys på KTH samt vilka aspekter av kursen studenter har svårt med. Detta skall vi identifiera genom att samla in data från olika aktörer (föreläsare, övningsledare och studenter) på KTH. Sedan kommer svaren från dessa aktörer jämföras med tidigare litteratur och ramverk om vad som karaktäriserar god undervisning och vad förstaårsstudenter brukar ha svårt med i matematik.
Där de olika aktörerna på KTH:s åsikter och upplevelser är de samma och stöds av litteratur och ramverken bedömer vi det som rimliga svar på dessa frågor. Data från dessa aktörer samlades in på följande sätt (1) via en enkätundersökning till studenter som går eller gått kursen, (2) intervjuer med två föreläsare som undervisat i kursen envariabelanalys i flera år, (3) ett frågeformulär via mejl där
övningsassistenter kommenterar studenters svar på enkätundersökningen. Dessutom är förhoppningen med del 1 att ge en bra insikt i KTH:s arbetsmetoder för att kursen som utvecklas i del 2 skall passa in i de redan etablerade undervisningsformer på KTH. Resultat och slutsatser från del 1 kommer sedan att användas som underlag för att konstruera en mindre kurs i del 2 av rapporten. Kursen kommer bestå aven eller två informativa seminarier för nyblivna övningsassistenter i kursen envariabelanalys på KTH. Detta med förhoppningen att kunna utveckla och förbättra övningarnas undervisningskvalité.
Syfte (del 1 och 2)
Det övergripande syftet med denna studie är att utveckla undervisningskvalitén på KTH:s övningar i kursen envariabelanalys. Från studiens slutsatser skall underlag användas för att skapa en mindre kurs för nyblivna övningsassistenter i kursen envariabelanalys. Kursen ska hjälpa nya övningsassistenter att höja kvalitéten i sin undervisning och få en större förståelse för de svårigheter studenterna vanligtvis har i kursen. Kursen förväntas även fungera som komplement till redan befintlig utbildning för
övningsassistenter som undervisat under minst en period.
Frågeställningar
1. Vad kännetecknar god undervisning på en övning i kursen envariabelanalys (SF1625) på KTH?
(del 1)
2. Vilka svårigheter har studenter i kursen envariabelanalys (SF1625) på KTH? (del 1)
3. Hur kan ett första utkast av en ny kurs för övningsassistenter i envariabelanalys (SF1625) på KTH se ut? (del 2)
Avgränsningar
Frågeställningarna kommer att avgränsas till studenter på programmen datateknik och informationsteknik som läser kursen under våren 2020 och ett urval av studenter tillhörande vissa program som läst kursen under hösten 2019. Vidare kommer studien endast samla data från studenter som går på föreläsningar. De föreläsare och övningsassistenter som kunde vara med i denna studie är avgränsad till de som var
registrerade på kursens under våren 2020. Dessa avgränsningar gjordes av praktiska begränsningar.
Bakgrund del 1
En viktig grund för att kunna förstå arbetet i sin helhet är att veta vad en övning på KTH faktiskt innebär.
Kurser i matematik på KTH delas oftast upp i tre huvudsakliga undervisningsmoment; (1) föreläsningar, (2) övningar, (3) seminarium. Låt oss kort beskriva hur dessa tre moment brukar se ut utifrån vår egen uppfattning. Föreläsningar är i regel lektioner där en föreläsare går igenom nytt material för alla studenter som går kursen. Övningar är oftast lektioner i mindre grupper, på ca 20-30 studenter, med kompletterande undervisning till föreläsningarna. Övningar hålls av övningsassistenter som i regel är anställda
amanuenser som tidigare klarat kursen, eller doktorander. Men övningsassistenter måste inte vara någon av dessa två och ibland är t.ex. föreläsare i kursen också övningsassistent. Seminarium brukar utföras i mindre studentgrupper och innehåller generellt ett examinerande moment som ger bonuspoäng till tentamen i kursen.
Undervisningsformatet på övningar kan vara väldigt varierande. Det finns ingen specifik bestämmelse på hur övningar ska hållas på KTH och många övningsassistenter har goda möjligheter att kontrollera detta själva. I regel finns det dock en lista med uppgifter som föreläsarna har tänk att övningsassistenter skall jobba med under övningarna. Vi har själva upplevt att det framförallt finns fyra vanliga
undervisningsformer på övningar. Under studiens gång har dessutom flera föreläsare vi diskuterat med lyft upp samma fyra undervisningsformer. Dessa fyra vanliga sätt är (1) att övningsassistenter går igenom så många uppgifter som möjligt i helklass, (2) att övningsassistenter först låter studenterna jobba lite själva med uppgifter innan hen löser dem på tavlan, (3) att övningsassistenter inkluderar en liten genomgång där teori och nya begrepp från föreläsning repeteras, (4) räknestuga där studenterna jobbar med uppgifter själva och övningsassistenter går runt och hjälper studenterna när de får problem att lösa en uppgift. Alla dessa fyra tekniker kan blandas under en övning och användas olika mycket av olika övningsassistenter.
Vi har också upplevt att vissa övningsassistenter håller sig till bara en av dessa fyra undervisningsformer.
Vidare finns det många fler sätt en övning kan och skulle kunna se ut, men dessa är de vanligaste
momenten i övningarna som vi känner till och de ger en ganska bra bild av vad en övning på KTH brukar innebära.
På andra högskolor och universitet i Sverige kan undervisningsmoment som fyller samma syfte som övningar på KTH se annorlunda ut. Exempelvis på Stockholms Universitet så beskriver Kerstin Pettersson och Niclas Larson (2018) en kursomgång i linjär algebra och analys där studenterna jobbar med
föreläsningar och seminariegrupper. I dessa seminariegrupper får studenterna dels förbereder och presenterar tal i mindre grupper samt räknar själva under tillfällena. Det finns även universitet och högskolor, bland annat Chalmers, där flera lektioner i kursen är räknestugor snarare än övningar, vilket hittades genom att söka på undervisningsinnehåll i några kurser så som LMA162 - Matematik TB
(Chalmers Studentportal, 2019). I dessa räknestugor förväntas studenter komma med frågor till läraren och räkna själv under lektionen och be om hjälp ifall de fastnar på något eller några uppgifter. Självklar finns många fler möjliga undervisningsformer som fyller samma funktion som övningar på KTH, men denna rapport kommer att utgå från de redan etablerade arbetsmetoderna som är vanliga på KTH. Detta dels för att avgränsa arbetet men också för att kursen som tas fram ska vara relevant för nya övningsassistenter som ska börja undervisa vid KTH.
Tidigare litteratur
Litteraturstudien ämnar finna tidigare forskning och litteratur om god undervisning i matematik och vad studenter har svårt med i högskolematematik. Detta för att ge en bakgrund om det som redan är känt i ämnet som studeras. Litteratursökningen utfördes framförallt på fyra olika sätt. Det första var att vi frågade tre didaktiker som undervisat för oss i tidigare pedagogikkurser och vår handledare om tips på litteratur som kunde vara relevant för våra frågeställningar. Det andra var att söka på sökmotorerna Google scholar och ERIC efter forskningsartiklar relaterade till vårt ämne. Det tredje gick ut på att gå in på KTH och SU:s biblioteks sökmotor och filtrera litteratur om pedagogik och svårigheter i matematik.
Det sista var att vi läste igenom referenslistan på den litteratur vi hittat och valde ut litteratur som vi märkte att flera artiklar och böcker refererade till. Ur den litteratur som lästes valde vi ut de delar vi ansåg likna klassrumsklimatet på övningar och var relevanta till våra frågeställningar.
God undervisning utifrån litteraturstudien
I denna del av litteraturstudien lyfts litteratur om vad som karaktäriserar god undervisning och undervisningsteknik. Litteraturen är en blandning av studier, artiklar och böcker om undervisning i matematik på både gymnasiet och högskola. Eftersom envariabelanalys i första hand är en kurs riktad mot studenter som går sitt första år på KTH så ansåg litteratur baserad på undervisning i matematik på både gymnasiet och högskola vara relevant. Studier om gymnasiet anses relevanta eftersom
undervisningsformen på övningar är relativt lika de på gymnasiet till skillnad från möjlighet att föra dialog med läraren än vad som finns på föreläsningar. En av de större skillnaderna är att övningar i regel arbetar efter en lista med uppgifter som läraren (övningsassistenter) skall gå igenom och alla studenter arbetar med samma uppgifter hela tiden. Denna skillnad anser vi inte är stor nog för att påverka relevansen av studier om gymnasieundervisning.
Litteratur om matematikundervisning på gymnasiet
För att svara på den första frågeställningen är det av högst relevans att ha en grundläggande förståelse för vad som generellt karaktäriserar undervisning som upplevs som god. Didaktikern John Hattie har studerat hur lärare kan höja kvalitén på sin undervisning på ett sätt som lyfter den genomsnittliga prestationen för en klass i ämnet matematik. Hans bok bygger på en 15-årig studie där primärt elever i åldern 15 till 19 år studerats i Storbritannien (Hattie, 2013). Flera av de upptäckter Hattie gjort kan vara relevanta för övningsassistenters undervisning.
Låt oss ta upp tre viktiga upptäckter som är relevanta för denna studie; (1) de lärare som av både elever och andra lärare anses ge god undervisning, är överrepresenterat de som kan förklara matematiska koncept på flera sätt och representera dem, med exempelvis bilder, definitioner, exempel osv, enligt Hattie. (2) Läraren bör arbeta för att ha ett bra klassrumsklimat där eleverna är uppmuntrade att ställa frågor och diskutera lektionens innehåll med läraren och med varandra. (3) Enligt Hattie bör läraren anpassa sin undervisning under lektionen baserat på input från eleverna. Det är alltså viktigt att låta eleverna i matematik jobba med tal eller diskutera så att läraren på så vis kan ta reda på hur det går för dem och sedan anpassa lektionen därefter (Hattie, 2013). Dessa tre upptäckter är relevanta för studien då de har implikationer för hur övningsassistenter bör planera och hålla sina övningar. Exempelvis har vi själva mött övningsassistenter som håller övningar utan att studenterna får diskutera innehållet med varandra eller lösa uppgifter själva. Utifrån Hatties studien är detta inte optimalt för studenternas lärande. Detta kommer vara del av enkätundersökningen för att ta reda på om studenterna håller med om dessa påståenden.
Lara Alcock (2018) presenterade undervisningsstrategier och tips i form av tolv knep som lärare kan implementera i sin undervisning för att öka dess kvalité. Dessa knep är baserade på Alcocks egen erfarenhet och hennes tidigare studier om lärande. Knepen är framförallt framtagna för elever som går gymnasiet (Alcock, 2018). De tips som vi bedömer som relevanta för övningar och har vetenskapligt stöd kommer att presenteras.
Ett knep är att diskutera med eleverna hur mycket och vad man förväntas studera (Alcock, 2018). Detta knep bedöms som relevant för övningar eftersom kursen envariabelanalys (SF1625) ofta är den första matematikkursen studenterna läser på högskolenivå. Det är därmed tänkbart att många studenter inte har en uppfattning av hur mycket tid man bör lägga ner på sina studier samt vad eller hur man bör studera. Att övningsassistenter förklarar hur mycket arbete som krävs för att klara kursen kan ge studenterna en värdefull uppfattning om hur de skall arbeta. Ytterligare ett knep Alcock tar upp är att låta eleverna diskutera nya begrepp med varandra. Alcock menar att detta ökar elevaktiviteter och leder till att eleverna lär sig av varandra. Alcock tar också upp flera tips med syfte att variera undervisningen för att göra lektionen mer intressant och göra eleverna mer aktiva (Alcock, 2018). Dessa tre tips kommer tas upp i enkätundersökningen riktade mot studenterna. Syftet är att ta reda på om studenterna upplever att dessa delar är viktiga i en lyckad övning.
Studier om matematikundervisning på högskola
Litteratur om matematikundervisning på högskolenivå har också tagits fram i denna studie. Framförallt har litteratur tagit fram om matematikundervisning för förstaårsstudenter, då de flesta studenter som går envariabelanalys (SF1625) är förstaårsstudenter. Angeliki Mali m.fl. har gjort en fallstudie (2016) i England med fokus på förstaårsstudenter som gick på 50 minuters lektioner i linjär algebra där eleverna förväntades räkna under tillfället. Totalt observerades 26 sådana lektioner som hölls av två lärare, där läraren observerades (Mali m.fl, 2016). Till dessa lektioner kom studenterna med frågor om det
kursinnehåll som skulle arbetas med under lektionerna. Lärarna gick då igenom vanliga frågor eleverna hade i helklass i form av en mindre föreläsning eller genomgång. Mali kommer fram till två viktiga metoder för att lära ut. Det innefattar; (1) att visualisera matematiska uttryck och koncept med grafer och bilder för att konkretisera matematiken och (2) koppla matematiken till verkliga exempel (Mail m.fl, 2016). Dessa tips liknar Hatties om att kunna representera matematik och kommer vara en del av enkätundersökningen.
Kerstin Pettersson och Niclas Larson (2018) studerade hur förstaårsstudenter, som studerar matematik, på Stockholms universitet upplevde lektionstillfällen i mindre seminariegrupper. De observerade studenterna jobbade i grupper av 10-15 personer med målet att få presentera, diskutera, jobba med och få stöd i analys och linjär algebra. Varje tillfälle hölls av en lärare och studenterna förväntades lämna in två till tre
uppgifter de gjort under veckan, som sedan rättades av lärare. De fem aspekter studenterna uppgav att de lärde sig mest av under seminariet var (1) förbereda presentationer, (2) lösa egna problem, (3) jobba med matematiska begrepp, (4) hålla en muntlig presentation och (5) diskussioner mellan andra elever på lektionstid (Pettersson och Larson, 2018). Aspekterna (2), (3) och (5) kan implementeras i övningar och är därmed relevanta för denna studie. Dessa tre kommer tas upp i enkätstudien riktad mot studenterna.
Från litteraturstudien målas det upp en bild av att en god undervisning i matematik bör innehålla momenten; (1) konkretisering och illustrering av matematiska koncept, (2) studenterna får möjlighet att
räkna tillsammans och diskutera uppgifter och begrepp, (3) undervisningen anpassas efter studenternas nuvarande kunskap, (4) vara tydlig mot studenterna vad som förväntas av deras insatser och (5) undervisningen varieras. Framförallt (1) och (2) verkar komma upp flera gånger i litteraturen.
Studenters svårigheter i matematik
Forskningen är tydlig om att vissa konkreta koncept och begrepp i envariabelanalys (calculus, elementary analysis) är problematiska, exempelvis gränsvärden och bevisföring. Den ger även en handfull begrepp och koncept som kan hjälpa till i förklaringen och analysen kring svårigheter. Det är dock fortfarande mycket i forskningsområdet som inte är utrett, och frågan kring studenters svårigheter i matematik är ett ämne som forskats avsevärt mycket mindre på än elevers svårigheter på grund- och gymnasienivå (Lithner m.fl, 2010). Frågeställning 2 rör mer specifikt förstaårsstudenter i envariabelanalys (calculus), vilket är en smalare målgrupp än vad den studerade litteraturen riktar sig mot. Likväl är den ytterst relevant. Nedan följer de punkter i ämnet som har ansetts mest relevanta eller återkommit i mycket litteratur från flera olika författare.
Imitativa och kreativa resonemang
När studenter ställs inför att lösa uppgifter och problem så krävs det resonemang för att komma till en slutsats. Dessa resonemang kan vara imitativa och kreativa. Studier visar att studenter har en tendens att förlita sig övervägande eller enbart på imitativa resonemang, vilket anses vara ett problem och en potentiell anledning till inlärningssvårigheter (Lithner m.fl, 2010). Imitativa resonemang är när ett resonemang grundar sig i ett direkt yttre påstående. Resonemanget bygger på en imitation. Man kan dela in imitativa resonemang i två kategorier, memorerade resonemang och algoritmiska resonemang (Lithner m.fl, 2010). Memorerade resonemang kan exempelvis ligga bakom ett val av en sats för att lösa en viss typ av problem, medan ett algoritmiskt resonemang är när man utför en algoritm, det vill säga en ihågkommen följd av operationer. Kreativa resonemang är icke imitativa och använder argument som är matematiskt befästa. Exempelvis när en student lägger upp ett (matematiskt) argument varför en lösning inte kan vara korrekt.
Att lära sig att lösa problem med imitativa resonemang är ofta effektivt, men kortsiktigt. Imitativa arbetssätt är en av de största bidragande faktorerna till att elever och studenter tenderar att använda utantillinlärning (rot learning). Enligt Lithner med flera, är det en av de största orsakerna bakom
inlärningssvårigheter. Studenter undviker kreativa resonemang för att det tar tid, är mentalt ansträngande, och för att de tenderar att inte lita på sina egna argument (Lithner, 2011).
Konceptbild och konceptdefinition
I envariabelanalys är det ofta ämnets olika koncept och begrepp som är av svårighet för studenterna.
Funktioner, gränsvärden, integraler etc (Lithner, 2011). Anledningen till detta är att studenternas konceptuella bild (concept image) skiljer sig från den formella definitionen (concept definition). Ett exempel är funktionsbegreppet. Under tidigare skolgång har studenterna stött på flera olika typer av elementära funktioner, polynom, exponential, logaritm och trigonometriska funktioner. Detta har byggt upp den konceptuella bilden av begreppet, vilken ofta blir begränsad eller felaktig i jämförelse med den formella definitionen.
“(...) it may be difficult for “an individual whose experience of functions is in terms of formulae and computation to accept a definition which does not involve these attributes.” (Robert m.fl, 2001, s.284).
Detta skapar svårigheter när de stöter på icke-elementära funktioner, såsom styckvis definierade funktioner eller ska föreställa sig allmänna funktioner i behandling av satser. Studenterna har till stor sannolikhet stött på en formell definition i tidigare studier då den faktiskt står formulerad direkt eller indirekt i flera läroböcker från grundskola och gymnasiet. Exempelvis i matematik 5000 1c (Alfredsson, 2011). Men eftersom det ofta är problem och inte teori som elever jobbar med i praktiken (Tall, 1996) och det materialet som konkret exemplifieras är det som bygger upp den konceptuella bilden (Niss, 1999) så har studenterna denna icke-fullkomliga syn på funktioner. Det är vanligt att elever och studenter påstår att uttryck som y=4 inte är en funktion “för den innehåller inte x”, eller motsvarande att x^2+y^2=1 skulle vara en. När de ser en funktionsgraf som är icke-kontinuerliga, odifferentierbara (kantiga om kontinuerlig) eller att “formen” på grafen inte representerar något de är bekanta med, så påstår många att graferna inte representerar funktioner (Tall, 1996). Fler begrepp än funktioner målas upp som problematiska.
Approximationer och konvergens av Robert (2001) och gränsvärden av Tall (1996).
Problematiken är att studenter kan ha svårt att släppa en felaktig konceptbild eller sträva mot en bättre.
När man sedan sätts i en situation då konceptbilden inte räcker till så söker man sig naturligt till den mentala lösningen som är minst krävande.
When faced with conceptual difficulties, the student must learn to cope. In previous elementary mathematics, this coping involves learning computational and manipulative skills to pass exams.
If the fundamental concepts of calculus [...] prove difficult to master, one solution is to focus on the symbolic routines of differentiation and integration. At least this resonates with earlier experiences in arithmetic and algebra in which a sequence of manipulations are performed to get an answer. The problem is that such routines very soon become just that - routine - so that student begin to find it difficult to answer questions that are conceptually challenging (Tall, 1996, s.306).
Detta är ytterligare en orsak till att studenter förlitar sig på utantillinlärning (Lithner, 2011), vilket ofta leder till goda resultat kortsiktigt, men misslyckas långsiktigt samtidigt som det inte hjälper till att lösa icke-rutinproblem.
Studenters förmåga att följa och formulera bevis
Forskning vittnar om att studenter har svårt att utföra och följa bevis, samt att skilja mellan bevis och andra mindre rigorösa argument (Niss, 1999). Fokusen på bevis uppträder ofta som ett problem i
övergången från gymnasium till högskola då vikten och behandlingen ofta ökar kraftigt (Lithner, 2011) (se Övergången från gymnasiet till universitet och högskola, s 10). Det är dock lättare att följa ett bevis än att utföra det själv. Eftersom bevis är en sådan annorlunda och svår process för studenterna så ses och behandlas de ofta som något mystiskt eller onåbart. Niss beskriver det som följande:
They tend to perceive proof and proving as strange freemasonry rituals into which mathematical professionals indulge but which are not really meant to be comprehended by ordinary human beings (Niss, 1999, s.18).
För att kunna följa och formulera bevis krävs en stor insikt i både de stegen man tar och de definitioner, satser och axiom beviset utgår ifrån. Det kräver både kreativa resonemang och en vana och kännedom om vad ett bevis är och hur man utför dem. Bilden blir ytterligare komplicerad eftersom det som oftast övertygar studenter om att ett påstående är sant inte är abstrakta bevis. Utan det är om de har en intuition som talar för det eller om de kan visa att det är sant för flera specialfall (Niss, 1999). Dessutom är det så att flera av de studenter som lyckas utföra bevis fortfarande inte ser själva beviset som den största
motivationen till att påståendet är sant (Niss, 1999). Detta blir än mer problematiskt om studenterna saknar vilja eller förmåga till de kreativa resonemangen eller kännedomen och vanan att lära sig matematik formellt. vad som menas med formell hur man bygger upp matematik kring axiom, definitioner, satser och bevis.
Övergången från gymnasiet till universitet och högskola
Övergången innebär ofta en förändring i undervisningsform och ämneskultur. Undervisningsformen går från korta lektioner som består av mycket egen räkning och en relativt nära koppling till läraren, till längre föreläsningar som sedan följs upp av andra undervisningsformer där studenten förväntas stå på helt egna ben. Förändringen i ämneskulturen innefattar ofta en ökad abstraktion och en mer generell behandling av begrepp och koncept (Robert m.fl, 2001). Exempelvis en allmän kontinuerlig funktion på R istället för en specifik exponential- eller polynomfunktion. Den innefattar även en övergång till ett större fokus på formella definitioner, snarare än intuitivt uppbyggda konceptbilder (Lithner, 2011). Detta är naturligtvis en förändring som utvecklas ständigt under hela skolgången, men det verkar som att det sker en viss diskontinuitet i övergången från gymnasium till högskola (Lithner, 2011).
Det diskontinuerliga hoppet i hur matematik behandlas och vilka förväntningar som finns är en av anledningarna till inlärningssvårigheter i matematik kurser på grundnivå (Robert m.fl, 2001). Utöver det är det många som påstår att mängden och formen av eget ansvar på högskolan gentemot gymnasiet är en av de stora svårigheterna (Lithner, 2011). Det egna ansvaret involverar ofta att själv (under icke
schemalagd tid) öva på materialet och lösa uppgifter. Det tillsammans med att undervisningen på högskolan oftast ger möjlighet till imitativa inlärningsmetoder (Lithner, 2011) medför att kreativa resonemang används i mindre utsträckning. Vilket ofta leder till utantillinlärning som endast gynnar studenten i det korta loppet (se Imitativa och kreativa resonemang). Eftersom högskoleundervisningen enligt Lithner lägger ett stort fokus på imitativa inlärningsmetoder så bör man även överväga att
problemen kan grunda sig i hur undervisningen bedrivs. Det vill säga undervisningssvårigheter (Lithner, 2011).
Teoretiska ramverk
För att svara på frågeställningarna samt analyser resultat och tidigare litteratur så har tre teoretiska ramverk används. Explorativ ansats som metod och APOS tillsammans med det sociokulturella
perspektivet för att utföra analysen. APOS är ett konstruktivistiskt ramverk som är speciellt framtaget för att analysera undervisning i matematik på högskolenivå. Det är även en stor andel av den behandlade forskningen som använder och refererar till detta ramverk. Därför ansågs det lämpligt att använda. Men APOS, precis som Piagets konstruktivism, tar inte stor hänsyn till språket, samt det sociala och kulturella sammanhanget. Därför beslutades även att det sociokulturella perspektivet skulle inkluderas för att kompensera detta. De pedagogiska ramverken behövs även för att kunna tolka frågeställningarna och definiera vad som menas med “god undervisning” och vad det är som skapar “svårigheter”.
Explorativ ansats
Studiens metod utgår från en explorativ ansats där de föreläsares, övningsassistenters och studenters upplevelser om vad som är en god övning och vad som är svårt i kursen envariabelanalys kan identifieras.
Babbie (2007) beskriver att explorativ forskning är forskning som studerar väldigt nya ämnen eller ämnen som är svåra att ge några direkta objektiva svar till. Explorativ forskning går ofta ut på att samla data om människors upplevelse i frågan. En styrka med explorativ forskning är att den kan öppna vägen för ny forskning och öka förståelsen av ämnet som studeras. Babbie menar att det är vanligt i social forskning där människors upplevelser ska studeras. Vidare menar Babbie att explorativ forskning är typisk för forskning som ämnar; (1) antingen öka förståelsen i ämnet, (2) göra en initial studie för att avgöra om en storskalig studie i ämnet lönar sig (3) eller utveckla nya metoder för framtida forskning. I forskning med explorativ ansats arbetar man ofta utifrån intervjuer och enkätstudier, men också med tidigare texter, som exempelvis en persons dagbok (Babbie, 2007). Vad som är god undervisning på en övning eller vad som är svårt i en kurs är anknutet till människors upplevelser. Därför kommer denna studie samla data från aktörerna föreläsare, övningsassistenter och studenters upplevelser i frågorna. Den explorativa ansatsen är därmed en mycket passande metod för studien eftersom den tar reda på vad olika grupper upplever i frågan, vilket är precis vad denna studie ämnar komma fram till. Litteraturstudien och de teoretiska ramverken som kommer presenteras är viktiga komplement eftersom personers upplevelser inte nödvändigtvis ger tillräckligt säkra svar på frågeställningarna. Därför kommer både de lokala data som samlas in i studien, den tidigare forskningen i pedagogik och ramverken att jämföras med varandra. Där de olika
informationskällorna är eniga anses ett delsvar på frågan ha fastställts.
APOS - Handling, Process, Objekt och Schema
APOS är ett konstruktivistiskt ramverk som är en vidareutveckling på Piagets idéer om reflektiv
abstraktion (reflective abstraction) applicerad på eftergymnasial matematik (Arnon m.fl, 2014). Reflektiv abstraktion är en tankeprocess som enligt Piaget utvecklas i barnets tredje utvecklingsstadium,
ungdomsåren, det vill säga 12 år till vuxen ålder (concrete operational stage) (Piaget, 1964). Piaget menar att den reflektiva abstraktionen består av två delar. Den första delen handlar om en djupare medvetenhet och förmågan att via reflektion höja sin kognitiva medvetenhet om koncept och operationer. Den andra handlar om omstrukturering och omkonstruering av dessa koncept och objekt som har nått den högre kognitiva nivån, för att de ska tjäna som objekt i vidare reflektioner (Arnon m.fl, 2014). Det är således en viss form av ackommodation och inte assimilation. APOS utgår från att de tankeprocesser som behöver utföras när man studerar matematik är just det som Piaget beskriver som reflektiv abstraktion. Ramverket växte fram under 80- och 90-talet med Ed Dubinski som grundare och huvudsaklig utvecklare. Men många fler har bidragit (Arnon m.fl,2014).
APOS står för Handling (Action), Process (Process), Objekt (Object) och Schemas (Schema). Var och ett av dessa är huvudbegrepp i hur man enligt teorin bygger upp ramverket för matematisk inlärning. APOS beskrivs i det ideala fallet som en steg-för-steg-utveckling mot högre matematiskt kunnande. Ramverket menar då att matematisk inlärning sker i ordningen; Handling → Process → Objekt → Schema.
En individ utför en handling eller är på handlings-stadiet i en förståelse när denne är beroende av ett yttre stimuli för att kunna utföra en handling som rör det behandlade konceptet eller ämnet. Exempelvis så har vi en elev som precis börjat jobba med funktioner. För att kunna tänka på funktioner så behöver individen en konkret formel och med formeln kan hen även ta fram funktionsvärden för givna definitionselement
med hjälp av, om ett yttre stimuli initierar till det. Men har svårt att föreställa sig funktionen av ett godtyckligt defenitionselement. Här ser vi en tydlig Handlings-nivå. Individen kan göra någon form av handling som rör ett visst begrepp eller koncept om den får hjälp utifrån. Det kan vara en lärare, att man läser instruktioner ur en bok eller att man på annat sätt utför uppgiften med något som kommer utifrån.
Förståelsen ligger endast i de konkreta handlingarna och individen klarar inte av att se funktioner som något abstrakt.
Fler exempel på handlings-nivån
Exempel 1: En elev som håller på att lära sig ekvationslösning, men är beroende av lärare eller guide för att utföra stegen och lösa uppgiften är på stadiet handling i sin förståelse av ekvationslösningar.
Exempel 2: En elev som studerar derivata och hur man deriverar funktionen är på stadiet handling i sin förståelse om hen är beroende av hänvisning mot metod för att derivera en given funktion med formler eller definition. Eleven besitter inte förmågan att dra andra slutsatser om derivatan (exempelvis grafiska) utan ett externt stimuli.
Exempel 3: En student som precis läst hur man utför matrismultiplikation, är bunden till konkreta matriser och just då också beroende av boken för att kunna utföra operationen. Hen är på en stadiet handling i sin förståelse.
När sedan detta yttre stimuli inte behövs längre, när individen repeterat och reflekterat så att en viss självstående mental struktur av konceptet formats, då säger vi att individen har en process-förståelse. En viss abstraktion är då möjlig. Individen ser funktionen som själva processen från definitionsmängd till värdemängd, men ser det inte som mer än det. Det har formats en övergripande förståelse, men den är inte nödvändigtvis så stark eller etablerad att den går att använda för att utföra nya handlingar. Individen kan se funktionen som en “regel” som för element från definitionsmängden till värdemängden, men skulle inte klara av att föreställa sig hur man skapar en sammansatt funktion. Steget från handling till process är enligt ramverkets skapare en form av reflektiv abstraktion som kallas inredning (Interiorization) (se Figur 1).
Fler exempel på process-nivån
Exempel 1. En elev som jobbar med ekvationer och kan lösa dem utan stöd samt kan föreställa sig mentalt hur man löser de bearbetade ekvationerna utan att ha ett konkret exempel framför sig har uppnått stadiet processer i sin matematiska förståelse.
Exempel 2. En elev som studerar derivata kan utan ett externt stimuli applicera deriveringsregler från minne eller formelblad för att derivera en given funktion. Eleven kan även från grafer avgöra riktningen av en derivata. Eleven kan dock inte nödvändigtvis relatera konceptet till verkliga sammanhang.
Exempel 3. En student som kan utföra en godtycklig matrismultiplikation och avgöra om en sådan är möjlig, utan ett externt stimuli har uppnått stadiet processer i sin matematiska förståelse.
Om en individ börjar förstå en process som någonting man kan utföra handlingar med, då säger vi att processen har inkapslats (encapsulation) till ett Objekt (se Figur 1). Inkapslingen är då en form av reflektiv abstraktion som omskapar en process till ett objekt. Omskapar en mental struktur som är isolerad på det sättet att den inte kan användas som verktyg för att nå nya slutsatser, till något som kan det. Om en individ klarar av att skapa sammansatta funktioner så har den någon form av objekt-förståelse för
konceptet funktion. Inkapslingen ses i APOS teori som den mest mentalt krävande reflektiva abstraktionen (Arnon m.fl, 2014).
Fler exempel på objekt-nivån
Exempel 1: En elev som i problemlösningssituationer kan tillämpa ekvationslösning som metod och använda den har en objekt-förståelse av ekvationer eftersom hen kan utföra nya handlingar med den.
Exempel 2: För att en elev ska kunna utföra en linjär approximation som handling så måste den se derivata som ett objekt, om den inte ska förlita sig på imitativa metoder.
Exempel 3: För att kunna behandla grupper och ringar av matriser så måste man ha en obejkt-förståelse för dem och den binära multiplikationsoperatorn mellan dem.
Utöver inkapsling så finns det fler reflektiva abstraktioner som rör sig runt process och objekt-stadiet (Se Figur 1). Uppkapsling (de-encapsulation) är när man för objektet tillbaka till en process. När man är i process-stadiet så kan man förutom inkapsling även utföra koordination (coordination) och omvändelse (reversal). Koordination är när individen tar två processer och sammanfogar/ koordinerar dem till en ny process. Exempelvis om en student studerar konvergens och divergens av summor och integraler och hen ser båda dessa som processer så kan det ske en koordination då dessa båda processer blir en ny process.
Omvändelse är när man skapar en ny process genom att utföra en tidigare process baklänges eller att ordningen omstrukturerats på något sätt. Exempel här skulle vara att i sin processförståelse för hur funktioner tar definitionselement till värdemängdselement kunna ta fram inversfunktionen och element från värdemängden till definitionsmängden.
När en person etablerat olika mentala strukturer i form av handlingar, processer och objekt så kan de samlas i scheman. Scheman har till största delen samma betydelse i APOS som i Piagets teorier och är då själva strukturen och kopplingen mellan de olika objekten, processerna och de handlingar man behärskar.
Exempelvis skulle man kunna säga att en student har ett schema med allt som har med derivata att göra (allt studenten har fått lära sig och upplevt om derivata). Det schemat innehåller förmodligen derivatans definition i objekt eller processform. Flera deriveringsregler som objekt och kanske partiella derivator som en handling, för studenten har precis börjat läsa analys i flera variabler. Detta schema kan studenten forma som ett objekt genom den sista reflektiva abstraktionen som heter organisering (thematization). Vidare kan man se hur detta schema och då eventuellt objekt kan vara delar i mycket större scheman. Olika scheman kan ha olika grader av kopplingar mellan varandra. Exempelvis en student som först läser envariabelanalys och sedan linjär algebra. Om inte studenten är mycket duktig och ständigt reflekterar över kopplingen mellan dessa kurser så kommer det förmodligen att formas två stora scheman med många underscheman. Ett för envariabelanalys och ett för linjär algebra och kopplingen mellan dem skulle förmodligen vara ganska svag. När däremot studenten börjar läsa analys i flera variabler så skapas ytterligare ett schema som till stort överlappar båda de tidigare och således skapas det möjlighet att stärka kopplingen mellan dem. En stark koppling mellan dessa scheman är önskvärd, men att kräva det skulle många gånger vara till hinder för undervisningen.
Figur 1: Illustration av APOS, dess stadier och reflektiva abstraktioner Enligt APOS är god undervisning när en föreläsare eller lärare anpassar sin undervisning så den genomsnittliga studenten i gruppen (the generic student) på ett naturligt sätt (naturligt enligt APOS) får möjlighet att bygga upp sina mentala strukturer av handlingar, processer, objekt och scheman kring det berörda ämnet. För att ta reda på denna naturliga inlärningsföljd så gör föreläsaren en så kallad genetisk nedbrytning (genetic decomposition) av materialet, vilket inte kommer att tas upp mer här. Mer om genetisk nedbrytning och hur man systematiskt utför den går att finna i APOS Theory (Arnon m.fl, 2014).
Här är det viktigt att påpeka att APOS är utvecklad av och framförallt för föreläsare som undervisar matematik på grundnivå, där de utför stora föreläsningar med liten kontakt med studenterna i proportion till hur många de är.
Det som orsakar svårigheter inom matematiken är enligt APOS att utföra de reflektiva abstraktionerna, speciellt inkapslingen, men även om studenten försöker lära sig något den inte har de grundläggande strukturerna för. Exempelvis utföra en handling med ett objekt som för studenten inte är ett objekt eller ett underutvecklat sådant.
Det sociokulturella perspektivet
APOS har många styrkor i att kunna analysera och fokusera på hur individer tar in information och förstår matematiska koncept på individnivå, men modellen saknar potentiella sociala och kulturella aspekter som kan vara speciellt relevanta i övningar. Från tidigare litteratur gällande god undervisning finns det flera indikationer på att sociala interaktioner mellan studenter och lärare är en viktig aspekt av lärandet. Då typiska övningar på KTH ofta består av ett mindre antal studenter på ca 20-30 personer finns det större möjligheter för studenter att arbeta tillsammans och ställa frågor till läraren än det gör på exempelvis föreläsningar. Vi misstänker därmed att övningar kan vara viktiga resurser för studenter av just dessa sociala anledningar. Vi kommer i denna studie att undersöka om föreläsare, övningsassistenter och studenter upplever att dessa sociala interaktioner är viktiga. Deras svar kommer sedan jämföras med ett teoretiskt ramverk som lyfter upp den sociala
interaktionens värde i undervisning. Det sociokulturella perspektivet är just ett sådant känt ramverk och kommer därmed användas i denna rapport.
Vad är det sociokulturella perspektivet?
Roger Säljö (2014) menar att det sociokulturella perspektivet har både likheter och skillnader mot det konstruktivistiska perspektivet, vilket är det perspektiv APOS bygger på. Den huvudsakliga skillnaden som Roger Säljö betonar är att konstruktivismen utgår från barn och människors utveckling som väldigt egocentrisk, i den bemärkelsen att det är individen som interagerar med omvärlden, medan den passivt existerar och tolkas utifrån individens perspektiv. Det sociokulturella perspektivet menar dock att människors utveckling till stor mån beror på sociala interaktioner. Etablerade normer och kulturer som finns i en persons omgivning styr hur individen kan tänka, arbeta och lära sig. Utifrån det sociokulturella perspektivet blir därmed social interaktion, normer och förväntningar viktiga aspekter av inlärning och undervisningen. När det kommer till inlärning är det därför viktigt att elever får arbeta och diskutera både med varandra och med läraren. En viktig del av perspektivet är att människor lär sig i samspel med varandra och att samarbete och diskussion är viktigt för att forma ny kunskap. Vidare har ens tidigare bakgrund, vanor, kultur och normer en stor inverkan på hur man tänker och arbetar som person (Säljö, 2014).
Från det sociokulturella perspektivet är därmed en viktig del av inlärningen sociala interaktioner där studenter och lärare aktivt jobbar med varandra och delar kunskap. Att studenter diskuterar exempelvis begrepp och lösningsmetoder med varandra och övningsassistenten förväntas därmed vara viktigt i god undervisning. Svårigheter som förväntas uppkomma från detta perspektiv är nya begrepp och nytt sätt att kommunicera matematik på då det försvårar möjligheten att lära av varandra och tolka nytt material på ett korrekt sätt. Vidare är det utifrån detta perspektiv troligt att den nya studiesituationen och arbetskulturen är svår att anpassa sig till för många förstaårsstudenter. Att gå från en miljö på gymnasiet som är mer lärarledd, varierande i ämnen, högre krav på studieteknik och planerande av sitt eget lärande är utifrån detta perspektiv troliga problem för de nya studenterna. Frågor om allt detta kommer att samlas in från föreläsarna, övningsassistenterna och studenterna. Deras svar kommer sedan i analysen jämföras med det som förväntades från ramverket och användas för att besvara studiens frågeställningar.
Den proximala utvecklingszonen
Det sociokulturella perspektivet är från början utvecklat av Lev Vygotskijs som bland annat utvecklade inlärningsmodellen den proximala utvecklingszon som handlar om optimering av lärande. Roger Säljö (2014) har presenterat den proximala utvecklingszonen. I den finns det tre inlärningszonen (Säljö, 2014, s.
119-125).
Den första är det individen klarar själv. Den andra är det individen klarar med stöd från andra. Den sista är det individen inte kan klara ens med stöd. Enligt Vygotskijs modell bör studerande befinna sig i den mellersta zonen, där individen jobbar med det hen klarar med stöd från andra. Det är i denna zon som individen utmanas och utvecklas utan att repetera det hen behärskar, och inte heller behandlar något som är övermäktigt. Det är denna mittersta zon som Vygotskij kallar den proximala utvecklingszonen. Stöd från andra kan dels innebära stöd från kamrater då de löser uppgifter tillsammans, men också att läraren hjälper studenten att dela upp uppgiften i mindre delar eller ger en uppskriven definition eller
exempeluppgifter på tavlan (Säljö, 2014, s. 119-125).
Figur 2: Den proximala utvecklingszonen
Från den proximala utvecklingszonen kan det alltså förväntas att olika metoder för att anpassa
undervisningen till studentgruppen är viktigt i god undervisning. Att övningsassistenter lägger in moment som att förklara matematiska begrepp på olika sätt eller förenkla delar av uppgifter är därmed stöd som kan förväntas hjälpa många studenter förstå nytt material bättre om de anser att materialet är svårt. Olika tekniker för att anpassa undervisningen som att kunna förklara och illustrera matematik på olika sätt kommer undersökas i studien. Resultaten kommer sedan jämföras med ramverket för att försöka avgöra om detta är en viktig del av övningar.
Metod del 1
För att undersöka frågeställningarna valdes en explorativ ansats (se Explorativ ansats s.18). Detta med motivation att vi ville undersöka saken utifrån de grupper som är direkt involverade i kursen som frågeställningarna handlar om.
För att kunna svara på frågeställningarna utifrån den explorativa ansatsen har vi utfört undersökningar mot tre olika grupper. Studenter, övningsassistenter och föreläsare i kursen SF1625. Detta eftersom vi
förväntade oss att de olika grupperna skulle lyfta upp olika sidor och perspektiv kring frågeställningarna och att det breda sökandet går i hand med den explorativa ansatsen. Den huvudsakliga undersökningen har bestått av en enkätundersökning till studenter som gått och går kursen samt två intervjuer med långt erfarna föreläsare. Enkätundersökning mot studenter valdes för att kunna få in en mängd av svar som skulle kunna representera den stora mängden studenter och för att de data som erhållits skulle vara lätta att jämföra och analysera. Det hade varit svårt att samla in en mängd kvalitativa data som skulle kunna anses representativ för hela studentgruppen. För föreläsarna valdes istället en mer kvalitativ undersökning i form av intervju. Detta ansågs ge möjlighet till bäst data då gruppen föreläsare är mycket mindre och en
diskussion kring frågeställningarna förväntades vara mer givande med dem än med exempelvis studenter.
Detta dels då föreläsare har arbetat med kursen flera år medan studenter endast går den ett visst år, men också för att föreläsarna förväntas kunna ge insikt vad syftet med olika undervisningsmoment i kursen.
Sedan har en kompletterande undersökning genomförts där övningsassistenter har fått lämna sina åsikter och tankar kring de resultaten som kom fram ur enkäten. Anledningen var för att kunna höja förståelsen och värdet av datan från enkäten genom att undersöka hur de som undervisar på övningar ser på
resultaten. Nedan följer mer detaljerat hur detta gick till samt vilket etiskt förhållningssätt som användes i arbetet.
Intervjuer med föreläsare
Tanken var att de som föreläst i kursen, och speciellt de som gjort det under en längre tid borde ha en relativt god insikt i de aktuella frågeställningarna. Ett antal föreläsare tillfrågades i huruvida de var beredda med att ställa upp på en intervju som innehöll frågor relaterade till frågeställningarna (se Bilaga 1). Frågorna rör frågeställningarna, men är baserade på litteraturstudien och vår egen erfarenhet. Två av föreläsarna tackade ja och de intervjuades med formen “samtal med hjälp av intervjuguide” (Bjørndal, 2005). Formen ger möjlighet att prata mycket öppet om de ställda frågorna, vilket sedan de som utför intervjun kan ställa följdfrågor till. Detta ansågs lämpligt eftersom frågeställningarna undersöktes utifrån en explorativ ansats, vilket utgår ifrån att de grundfrågor som ställs inte nödvändigtvis är tillräckliga.
Detta är orsaken till att det inte användes en mer sluten intervjuform eller öppna frågor via mejl.
Nackdelen med den använda formen är att samtalet riskerar att bli spretigt och svårt att jämföra med svar från olika intervjuer. Detta är anledningen till att en mer öppen form som “samtalsintervju” inte användes (Bjørndal, 2005).
Följande stycke förklarar och motiverar de frågor som ställdes under intervjuerna (se Bilaga 1 s 71). Vi var intresserade av att veta vad föreläsarna ansåg vara syftet med övningar, hur man bör hålla dem och hur de förmedlar detta till nya övningsassistenter. Detta för att ge ett underlag för vad en övning bör sträva mot och kunna svara på frågeställning 1. Fråga 1 till 5 syftade till detta. Frågorna börjar med att behandla syftet med övningar, hur detta förmedlas och hur man uppnår dem. Detta för att skapa en känsla av en röd tråd genom intervjun då de mer grundläggande aspekterna berörts först och då skapar en grund att referera tillbaka till i senare delar av intervjun. Fråga 6 och 7 handlar om studenters svårigheter i kursen och syftar således på att ge underlag till frågeställning 2. Frågorna låg sist i intervjun då de var något frikopplade från övriga frågor. Men tjänade likväl på att ämnena syfte och undervisningsformer redan behandlats.
Intervjuerna spelades in och transkriberades för att kunna se tillbaka och analyser materialet. Endast två föreläsare intervjuades på grund av den tidskrävande faktorn kring intervjuerna i för och efterarbete.
Intervjuerna syftade till att få en kvalitativ uppfattning kring föreläsarnas syn på ämnet. Dessa kvalitativa data användes tillsammans med litteratur för att forma enkäten som skickades ut till studenterna. Detta i syfte att undersöka vad studenterna generellt ansåg om föreläsarna och litteraturens påstående om vad som är god undervisning på övningar och vilka innehåll som är lätt eller svårt i kursen SF1625.
Enkätstudie mot studenter
Frågorna i enkätstudien (se Bilaga 2) är baserade på litteraturstudien, intervjuerna med föreläsare och vår egen erfarenhet. Syftet är att enkätstudien ska ge kvantitativa data om studenters syn på frågor som rör
frågeställningarna. Studenternas svar antas ge en bredare bild till de svar som erhållits ur intervjun och ge en bas för den komplementerande undersökningen där övningsassistenter får ta del av enkätresultaten.
Fråga 1-11 i Frågor relaterade till god undervisning (se Bilaga 2) är utformade för att ge underlag för frågeställning 1. Vissa av frågorna är ställda för att undersöka påståenden som hävdats i litteraturstudien eller av de intervjuade föreläsarna. Exempelvis fråga 2 Hur viktigt tycker du det är att övningsassistenter förklarar begrepp under övningarna? och 11 Hur viktigt tycker du det är att övningsassistenter varierar sin undervisning snarare än att hålla den på samma sätt varje gång? (se Bilaga 2). De resterande frågorna är baserade på vår uppfattning om att olika övningsassistenter arbetar utifrån olika strategier och metoder och lägger olika vikt på dessa. Exempelvis är fråga 1 Hur viktigt tycker du det är att övningsassistenter repeterar teori på övningarna? och fråga 6 Hur viktigt tycker du det är att övningsassistenter skriver på ett sätt som är antäckningsvänligt? baserade på dessa observationer. Genom svaren så byggs en bild upp i hur väl dessa resultat överensstämma med litteraturstudien. De frågor som är baserade på våra egna observationer har vägts mot resultaten från den komplementerande undersökningen.
Resten av frågorna i Bilaga 2 (förutom de profilrelaterade frågorna) är ställda för att ge underlag till frågeställning 2. De olika ämnena som valdes ut för frågorna Markera upp till 3 områden som du tycker var svårast/lättast, är baserade på kursinnehållet i SF1625 utifrån de moduler som ingår i kursen.
Punkterna är således skrivna kronologiskt utifrån den ordning de uppträder i kursen. Anledningen varför studenterna skulle välja 3 ämnen var för att få en större mängd data. Vi är inte nödvändigtvis intresserade av det svåraste och lättaste, utan de svåraste och lättaste. Därför ville vi att studenterna skulle markera flera alternativ. De resterande frågorna är alla baserade på påståenden som tagits upp i litteraturstudien och undersöker således om resultaten kan återskapas. Exempelvis är frågan om utförliga och algoritmiska resonemang relaterad till studenters tendens att förlita sig på imitativa resonemang framför kreativa (se Imitativa och kreativa resonemang s 15) och frågan Har det varit svårt att inte ha tillgång till räknare och formelblad? relaterad till påstådda svårigheter i övergången från gymnasiet till högskolan (se Övergången från gymnasiet till universitet och högskola s 17)
Det beslutades att vi skulle uppsöka studenterna fysiskt för att höja sannolikheten att få en god svarsbas.
Detta i kontrast till att sända ut enkäter med mejl vilket valdes bort av samma anledning, samt
administrativa svårigheterna med att få tillgång och tillåtelse att använda mejllistor. Vi valde att söka upp så många program som möjligt under rasten till deras föreläsningar och då ge möjlighet att svara på enkäten i både digital och fysisk form. Digitalt genom en URL-kod till ett Google-formulär som kunde besvaras privata på telefon eller dator. De fysiska kopiorna gick till dem som inte hade denna möjlighet eller av annan anledning inte ville besvara digitalt. Detta riktade sig mot studentklasser som gick kursen eller de som gått kursen tidigare samma år. På grund av en misskommunikation tillfrågades en
studentgrupp som gick i årskurs två och således inte ingick i den sökta målgruppen. De hade läst kursen för ca 1,5 år sedan och det var 21 studenter från denna grupp som svarade. Detta ansåg dock inte skapa något större problem och deras svar ingår i resultatet.
Föreläsningarna som besöktes hölls för 16 olika program, men 7 program hade störst
studentrepresentation på föreläsningarna. Programmet civilingenjörsutbildning i datateknik (CDATE) hade störst representation av studenterna. Det kunde dock förekomma studenter från andra program på föreläsningarna. Vidare var det nödvändigt att anpassa och forma enkäten till den 15 minuter långa pausen mellan föreläsningstimmarna. Förutom själva utförandet av enkäten skulle det även finnas tid för
introduktion och instruktion om vad och hur enkäten skulle genomföras samt tid kvar att faktiskt ha rast
på. Av dessa anledningar är de utvalda frågorna prioriterade från en större mängd som hade varit intressanta att se resultat av. Det är också en av orsakerna bakom beslutet att använda sig av slutna svarsalternativ utan möjlighet att ge skriftliga kommentarer. En annan orsak var att det underlättade för arbetsprocessen att undersöka kvantitativa data Eftersom syftet med enkäten är att få kvantitativ data på studenternas uppfattning om frågorna så kan detta besvaras med slutna frågor. Utöver de frågor som rör frågeställningarna så tas även studenternas profiler upp. Om hen har gått eller går kursen, genus och programtillhörighet. Anledningen är att det kan vara intressant att veta om profilen har en signifikant påverkan för resultatet och även om inte detta direkt ger möjlighet att svara på våra frågeställningar så kan det vara av intresse för framtida studier.
Den komplimenterande undersökningen
Enkätresultatet har tillsammans med frågor sänts ut (se Bilaga 3) till övningsassistenter för att de ska kunna ge sina tankar och reaktioner. Frågorna syftar till att ge svar på om de som undervisar i kursen känner igen sig i de svaren studenterna gav och huruvida de tror att man ska implementera eller ta hänsyn till dessa saker. Detta ska ge en djupare syn i frågeställningarna. Frågorna valdes även här utifrån den explorativa ansatsen och syftade till att ge kvalitativa svar snarare än kvantitativa. Frågorna gav även utrymme för de som svarade att ge åsikter eller perspektiv som inte direkt frågades efter.
Sex stycken övningsassistenter visade intresse för detta och besvarade frågorna. Det var från början tänkt att föreläsare också skulle svara på frågor och åtta stycken visade intresse för arbetet. Endast en föreläsare gav dock utförliga svar och det var en av de två föreläsare som tidigare intervjuats. Frågorna sändes ut just före den svenska regeringen började ta starkare åtgärder mot viruset covid-19, vilket medförde ett krav på att högskolorna skulle lägga om sin undervisning. Därför tror vi och har förståelse för att den ökade arbetsbördan hos föreläsarna medförde att de inte längre var intresserade av att svara på våra frågor.
Därför kommer den komplementerande undersökningen endast vara riktad mot övningsassistenter. Det enda svaret från föreläsarna vi fick har vi valt att se som ett tillägg till den intervju som utfördes med samma person.
Etiskt Förhållningssätt
När det kommer till undersökningar där människor är del av studien gäller det att ha ett etiskt förhållningssätt som aktivt undviker potentiell problematik för personerna som deltar. Vårt förhållningssätt har varit baserat på det som presenteras i Bjørndals bok (Bjørndal, 2005). Enkäten inkluderar exempelvis inte personuppgifter som gör det möjligt att spåra dem. Frågorna är inte heller obligatoriska och det finns alltid ett svarsalternativ “vill ej uppge”. Vidare har personerna som intervjuats blivit tillfrågade om huruvida de är okej med ljudinspelning av samtalet och vilken mån de vill vara anonyma i arbetet. Även om rapporten kan tjäna på att hålla sig till en kursomgång av envariabelanalys kommer detta undvikas eftersom föreläsarna upplever att det kan vara för tydligt vem det är som intervjuats. Dock har alla gått med på att stanna vid de kursomgångar vi studerat. Vidare har föreläsarna fått möjlighet att läsa igenom transkribering och sammanfattning av vad som sagts och ge synpunkter i huruvida de står för det som skrivits eller inte. Ljudfiler ska förstöras efter färdigställt arbete.
