4.2 Undervisningsförsök
4.4.2 Tidslinjer
Tidslinjen i historieboken
6. Var börjar den här tidslinjen? Vilket år var det då? 7. Var slutar tidslinjen? Vilket år?
8. Kan du peka ut tiden när Gustav Vasa och Rickard Lejonhjärta levde? 9. Kan du peka ut år 0 på denna tidslinje?
Tidslinjerna 1, 2 och 3
11. Kan ni peka ut år 0 på dessa tre tidslinjer?
12. Hur många år är det mellan varje markering på tidslinjerna? 13. Kan du peka ut vilket år du föddes?
14. Kan du peka ut tiden när Gustav Vasa och Rickard Lejonhjärta levde? 15. Kan du peka ut när stenåldern var (cirka 7000 år sedan) på dessa tidslinjer? 16. Om en person är 100 år, när föddes den personen då, visa på tidslinjen? 17. Kan du peka ut år 1 på tidslinjerna?
Tidslinjen i historieboken
Fråga 6. Var börjar den här tidslinjen? Vilket år var det då?
När försöksledaren visade tidslinjen i historieboken (Salomonsson & Svedelid 1981, sid. 4-5) kunde alla utom Stephanie lätt peka ut vilket år den började med. Stephanie benämnde först år 800 som 1800 men ändrade sig snabbt till 800.
Fråga 7. Var slutar tidslinjen? Vilket år?
Alla utom Stephanie kunde säga vilket år tidslinjen slutade med. Stephanie benämnde år 1900 med 900 men när försöksledaren upprepade det hon sagt ändrade hon sig och sa 1900.
Fråga 8. Kan du peka ut tiden när Gustav Vasa och Rickard Lejonhjärta levde?
Alla kunde peka ut åren på tidslinjen när Gustav Vasa och Rickard Lejonhjärta hade levt.
Fråga 9. Kan du peka ut år 0 på denna tidslinje?
Alla förstod också att de inte kan peka ut Jesus födelseår på denna tidslinje för att den inte sträckte sig så långt bak i tiden.
Fråga 10. Ungefär var skulle år 2004 ha varit om tidslinjen hade sträckt sig lite längre?
Alla pekade först ut det på fel ställe, till exempel några centimeter utanför linjen, trots att år 2004 låg inom papprets marginal. När försöksledaren bad dem titta på de andra avstånden och fundera en stund kunde alla utom Sara peka ut det på någorlunda rätt ställe. De pekade då på rätt sida om år 2000 och inom papprets marginal medan Sara fortfarande pekade utanför tidslinjen.
Tidslinjerna 1, 2 och 3
Fråga 11. Kan ni peka ut år 0 på dessa tre tidslinjer?
Eleverna fick se tre olika tidslinjer som vi benämner som tidslinje1, tidslinje 2 och tids- linje 3. Alla elever kunde peka ut år 0 på de tre tidslinjerna.
Fråga 12. Hur många år är det mellan varje markering på tidslinjerna?
Stephanie och Sara kunde inte se hur många år det var mellan markeringarna i tidslin- jerna. Gustav såg snabbt att det var 500 år mellan varje streck på tidslinje 2 och 3. Han trodde först att det var samma tidsindelning på tidslinje 1, men när försöksledaren sa att det inte stämde ändrade han sig till 200. När han ombads att kontrollräkna upptäckte han misstaget och ändrade sig till 100 år. Mats kunde efter lite funderande själv komma fram till vilka indelningar tidslinjerna var indelade i men rörde ihop det lite med antalet nollor. ”– Det är också 10 000… nej, 1000”.
Fråga 13. Kan du peka ut vilket år du föddes?
Stephanie och Sara kunde inte peka ut sitt eget födelseår på tidslinjerna. Sara pekade först på 17-1800-talet medan Stephanie valde att inte peka alls.
2000 e. Kr 1000 e.Kr År 0 Figur 13. Tidslinje 1 År 0 År 2000 e.Kr Figur 14. Tidslinje 2 År 0 År 2000e.Kr Figur 15. Tidslinje 3
Fråga 14. Kan du peka ut tiden när Gustav Vasa och Rickard Lejonhjärta levde?
Gustav och Sara kunde peka ut de år när Gustav Vasa levde, på tidslinjen. Stephanie kunde peka ut det på tidslinje 3. Mats hade svårt för att peka ut Gustav Vasas tid på tids- linje 2 och 3, han utgick inte från år noll när han räknade utan istället utgick han från det första strecket efter år 0 och hamnade då istället på år 2000. När försöksledaren påpeka- de att det inte stämde började han gissa på flera andra ställen utan att pricka rätt. För- söksledaren visade honom på tidslinje 2 och därefter kunde han själv peka ut det på tids- linje 3.
Fråga 15. Kan du peka ut när stenåldern var (cirka 7000 år sedan) på dessa tidslinjer?
Efter att ha fått reda på att stenåldern var för cirka 7000 år sedan kunde Sara och Gustav peka ut när det var på tidslinje 3. Mats hade svårt för att peka ut det och Stephanie valde en tidslinje som inte gick så långt bak i tiden men hon kunde inte heller peka ut det när försöksledaren lade fram rätt tidslinje till henne.
Fråga 16. Om en person är 100 år, när föddes den personen då, visa på tidslinjen?
Gustav kunde utan svårigheter peka ut vilket år 100-åringen borde vara född på alla tidslinjerna. Sara pekade lätt ut 100-åringens födelseår på tidslinje 2 och 1 men på tids- linje 3 började hon med att peka på 1500-talet och när försöksledaren bad henne att fun- dera en stund ändrade hon sig och pekade rätt. Mats hade svårt för att själv räkna ut när 100-åringen var född men när han väl visste det kunde han relativt lätt peka ut det på alla tre linjerna. Stephanie kunde inte peka ut det på någon av linjerna
Fråga 17. Kan du peka ut år 1 på tidslinjerna?
Stephanie klarade peka ut år 1 på rätt ställe på tidslinje 1 men inte på de övriga 2. Övri- ga elever kunde utan svårigheter peka ut år 1 på alla tre tidslinjer.
Skillnaden mellan förintervjuerna och dessa efterintervjuer skilde sig mest i variationen av svar, fortfarande svarade eleverna klockan om vad tid är, också i hur tid kan mätas, men några svarade tidslinjer, och almanackor. Även ”förr i tiden” fick ett större varia- tionsspann än i svaren jämfört med förintervjuerna. Här kunde förr i tiden vara allt ifrån för några dagar sedan, till för 12 000 år sedan. I efterintervjun fick eleverna i grupp A tre olika tidslinjer att välja mellan när de skulle peka ut tiden för Gustav Vasas tid, år 2004 och exempelvis var på tidslinjen man kan peka ut för hundra år sedan. Eleverna
klarade med variation av uppgifterna, Stephanie hade svårt att se hur många år det var mellan markeringarna på tidslinjerna, Mats fick svårigheter när han ombads peka ut stenåldern (7000 år sedan), Sara pekar på 1700-talet när hon ska peka ut sitt födelseår på tidslinjen och Gustav fick fel på antal år mellan indelningarna, men lyckades rätta sig med lite hjälp.
5 Analys
5.1 Matematiksvårigheter
Eleverna i grupp A hamnade i svårigheter när de skulle rita upp egna tidslinjer. De an- passade inte avstånden mellan årtalen. Detta tolkar vi som att de har problem att förstå
proportionalitet och dess betydelse. Proportionalitet återkommer i många matematiska
problemställningar, till exempel i matematiska mönster.
Eleverna i grupp B hade inga svårigheter med att fördela tidsintervallerna jämnt i sina tidslinjer. Detta visade de vid ett flertal tillfällen. De har mött proportionalitet i samband med arbete om matematiska mönster i sin matematikundervisning. Därför problematise- rades inte proportionalitet i undervisningsförsöken med grupp B.
När eleverna skulle skriva stora tal var det flera i grupp A som var osäkra på antalet nollor. Eleverna visade också svårigheter att utläsa tal. Redan vid förintervjun var det exempelvis några elever som benämnde år 1400 och år 2000 som fjortontusen respekti- ve tjugotusen. Detta visar att eleverna brister i sin förståelse av stora tal. Stora tal åter- kommer när eleverna arbetar med teman som till exempel rymden, dinosaurier och glo- balisering. Eleverna möter således stora tal ofta och därför är det viktigt att lyfta fram matematiken i stora tal.
I grupp B gjordes många beräkningar där stora tal användes. Samtliga fem elever räkna- de till exempel ut hur många generationer som rymdes från istidens slut fram till idag. Grupp B visade att de var relativt säkra på att räkna med stora tal. I uträkningarna ele- verna gjorde framgick också att de var vana att hantera nollor, förkortningar och hur man avläser stora tal.
Några av eleverna i grupp A hade svårt att skilja på olika tal bestående av samma siffror men i olika ordning. Majsan pekade på år 2400 när hon skulle peka ut nuvarande år (2004) på tidslinjen. Däremot benämnde hon nuvarande år rätt. Även Sara hade svårig- heter att se skillnaden mellan 2004 och 2400. Varken Majsan eller Sara var säkra på siffrornas värde i talen, alltså haltar förståelsen av positionssystemet. Förståelse för hur vårt positionssystem är uppbyggt tillhör grunden i taluppfattningen. Möjligen kan grupp
A:s bristande förståelse för hur en tidslinje är uppbyggd vara ett resultat av att de inte är trygga i sina kunskaper i hur vårt positionssystem fungerar. Om en elev inte förstår skillnaden mellan talen 2004 och 2400 kan inte en tidslinje fylla någon som helst funk- tion för honom eller henne. Den mest elementära förståelsen för vad tal är värda, bero- ende på var siffrorna är placerade i talen, har i våra undervisningsförsök visat sig vara bristfällig hos eleverna i grupp A.
I grupp B fanns det aldrig någon anledning att gå in och problematisera positionssyste- met, då det aldrig uppstod några frågetecken om det. En av anledningarna till att det ald- rig uppstod problem rörande positionssystemet kan vara att eleverna på olika sätt arbetat aktivt med detta. Matematikläraren i klassen, har låtit eleverna laborera med positions- systemet, de har fått arbeta med andra baser, de har lärt sig hur mayaindianerna räknade för länge sedan och de har också fått mycket individuell handledning.
Jämna 10-talshopp, 100-talshopp eller 1000-talshopp hade eleverna i grupp A inga pro- blem med, däremot hade de svårare för hopp med till exempel 25 år mellan. ”Multipli-
kationshopp” är grundläggande för förståelsen för multiplikationens funktion. Förståel-
sen för hur multiplikationshoppen fungerar, vilken princip som ligger bakom, är brist- fällig hos eleverna i grupp A. Således kan vi dra slutsatsen att förståelsen för multiplika- tion inte är helt förankrad i grupp A. Att förstå principen för multiplikationshopp är också att på något plan förstå proportionalitet och vårt positionssystem. Mellan till ex- empel varje 25:e år är det jämna avstånd, således låter sig samma tal upprepas på varie- rande sätt (25, 50, 75, 100, 125, 150…). Talen ökar proportionellt vilket visar sig i hur vi skriver dem.
I klassen där grupp B går har matematikläraren ”Robinsonmatte”. De ägnar 1-2 timmar varje vecka åt matematiklekar som på olika sätt knyts samman med varandra. I ett av momenten ingår att snabbt kunna göra olika multiplikationshopp. Momentet i sig är allt- så inget nytt för eleverna och de klarade av att sätta in de kunskaperna i en för dem ny kontext; tidslinjen.
I samtal med Mats (grupp A) om vilket årtal tidslinjen skulle sluta med tyckte Mats att det var närmare att avrunda till 2005 än till 2000. Tidslinjen i övrigt var markerad i 100- årsintervaller. Detta var ett problem som återkom vid andra tillfällen med eleverna i
grupp A. Detta tyder på att Mats och flera av hans kamrater behövde utveckla sina kun- skaper i hur man avrundar.
När avrundning var aktuellt i grupp B visade eleverna stor kompetens i hur de skulle kunna använda avrundningsreglerna. Eleverna i grupp B kunde avrunda.
Resultaten av undervisningsförsöken visar att samtliga elever har fler kopplingar till be- greppet tid än enbart klockan jämfört med då undersökningen startade. Varje elev har fått en vana att arbeta runt en tidslinje och har således utökat sina begreppsliga struktu- rer gällande tid och tidslinjer. Den matematik som eleverna stötte på under undervis- ningsförsöken var i stort sett inga nya kunskapsområden för dem. Men nu fick de se dem satta i ett för dem nytt sammanhang. Detta har förhoppningsvis gett dem vidgad förståelse för varje område. Att se matematik i skilda sammanhang och i olika kontexter gynnar elevernas möjligheter att konstruera sin egen kunskap i ämnet, speciellt eftersom grupp A var starkt läromedelsbundna. Sammantaget visar grupp A en förbättring i sin förståelse för tidslinjen, detta visar slutintervjun.
5.2 Klassrumsmiljöer
Eleverna i grupp A har i alla delar visat att de har sämre kunskaper inom matematiska avsnitt än eleverna i referensgruppen. Vi har genom observationer och samtal med lä- rarna upptäckt stora skillnader på matematikundervisningen i grupperna. I klassrummet hos eleverna i grupp A har de använt sig av så kallad egen planering. Detta innebär att inte alla har arbetat inom samma ämne samtidigt, vilket har resulterat i mycket indivi- duellt arbete. Eleverna visar därför ingen vana att diskutera svårigheter de möter med varandra. De är inte heller vana vid laborativt arbetssätt och öppna frågor har inte varit vardagsmat för dem. Om man diskuterar detta i ljuset av Vygotskijs teori om den när- maste utvecklingszonen, så är det just gemensamma diskussioner som kan få elever att reflektera och ifrågasätta. Samtalet och dialogen som verktyg för kognitiv utveckling behöver utnyttjas för alla elever. Säljö (2000), förespråkare för det sociokulturella per- spektivet, menar att frånvaron av diskussion och reflektion är förödande för den kogni- tiva utvecklingen. Själva förutsättningen för lärande och utveckling ligger i det sociala samspelet och dialogen. En undersökning över längre tid hade kunnat ge svar på om
denna förklaring också är applicerbar vid jämförelsen mellan grupp A och B i vår stu- die.
Människor lär genom att delta i praktiska och kommunikativa samspel med andra. De sätt att resonera och tolka verkligheten som vi mäter i interaktion, använder vi senare som resurser för att förstå och kommunicera i framtida situationer. (a.a. sid. 105)
Om det är så, att en avgörande och viktig aspekt av lärandet är fråntaget grupp A, så är det möjligt att se detta som att grupp A därför är missgynnade i den lärande miljö som skolan är. Eleverna i grupp A tänkte inte efter i den utsträckning som eleverna i grupp B. De ville istället leverera snabba svar som då blev utan någon eftertanke. Grupp A: s brist på eftertanke är också en faktor som märks i hela klassen de gick i. När de får in- struktioner frågar de ändå alltid vad de ska göra, trots att det kanske står på tavlan. De har inte heller tålamod att hålla på med arbetsuppgifter som kräver tankearbete utöver vad uppgiften kräver, utan då frågar de läraren direkt efter svaret.
Enligt Nationella kvalitetsgranskningens (1998) kriterier för olika klassrumsmiljöer hamnar A-gruppen, genom det vi har kunnat ta del av i, i stort sett inom det som kvali- tetsgranskarna benämner som C-miljö. Många delar såsom; läromedelsstyrd, isolerad färdighetsträning, enstämmigt, varje elev arbetar enskilt, lärare som fokuserar på rätt svar och inte hur eleven tänker, överensstämmer med elevernas erfarenheter. Elevernas förkunskaper i ämnet tid/tidslinjer skulle då kunna förklaras med detta. I grupp A har man inte problematiserat tid som begrepp, eleverna förmådde inte överföra kunskaper och färdigheter från ett arbetsområde till ett annat. Även A-gruppens ovilja till reflekte- rande svar, deras avsaknad av att samarbeta kring de problem som dök upp, enkelspåri- ga svar och att de inte knyter an till tidigare erfarenheter gör att vi vill belysa undervis- ningens betydelse för utfallet.
Resultatet visar att eleverna i grupp B hade lättare för att använda sina kunskaper inom de olika matematiska områdena än grupp A. De har till skillnad från grupp A ofta arbe- tat laborativt under sina matematiklektioner. Delar av matematiken problematiseras och knyts an till elevernas vardag och erfarenhetsvärld. Läraren i klassen arbetar ofta utan läromedel och låter eleverna lösa uppgifter i grupp. Undervisningen i grupp B lutar, i
enlighet med Nationella kvalitetsgranskningens kriterier, åt en A-miljö. De delar som en A-miljö ska innehålla överrensstämmer i stora delar med den matematikundervisning vi kunnat observera. Läraren i klassen utnyttjar språket som ett medel för att lära. Elever- nas olika sätt att tänka lyfts fram och synliggörs. Utifrån elevernas tankar planerar han sin undervisning. Under lektionerna i grupp B:s klass är samtalet viktigt, eleverna sitter i grupper, läraren uppmuntrar eleverna att samtala kring problem. De elever som vill ha tyst runt omkring sig har en egen studiehörna i ett angränsande rum. Varje behov i klassrummet kan därför tas tillvara.
Här står två elevgrupper bredvid varandra som enligt vår bedömning arbetar i två helt olika undervisningsmiljöer, eleverna i den ena elevgruppen är ett år yngre än eleverna i referensgruppen. Enligt Piagets strukturteori skulle det kunna vara en förklaring till grupp A:s sämre kunskaper och resultat. Eleverna i grupp A har inte kommit in i det formellt operationella stadiet (Piaget 1968). Å andra sidan poängterar Vygotskij (2001) vikten av språket och den sociala kontexten för lärandet. Grupp A har ingen vana att ar- beta i grupp, verbalisera sina tankar eller redogöra för sina uträkningar. Utveckling sker i social samvaro, menar Vygotskij. Mycket lite av klassrumsundervisningen i grupp A har kännetecknats av medveten social samvaro. Konstruktivismens tankar om hur elever utvecklas och lär får mindre plats i grupp A:s klassrum jämfört med grupp B:s klassrum. Grupp B å andra sidan är ett år äldre, 11 år. Det är den ålder då Oakden och Sturt (1922) menar att elever är mogna nog för att förstå abstraktion. Piaget (1968) betonar detsam- ma med strukturteorin, det formellt operationella stadiet inträder vanligtvis i puberteten. Då är barnet moget att förstå abstraktioner. Grupp B har också haft förmånen att arbeta i grupp med olika matematiska problem, eleverna är vana att samtala om hur de ska lösa uppgifter, de är vana att ta hjälp av varandra, men de är också vana att få uttrycka sina tillvägagångssätt och uträkningar och bli lyssnade på. I grupp B utgår läraren från ele- vernas förkunskaper, i möjligaste mån kopplas matematiken till det som eleverna har runt omkring sig och som tillhör elevernas verklighet. Fördelarna för grupp B väger tungt, och varje del kan vara svår att avgränsa. Med de resultat som Hartsmar (2001) vi- sar vågar vi ändå påstå att den undervisningsmiljö som grupp B arbetar i spelar en större roll än det faktum att de är ett år äldre än eleverna i grupp A.
Försöksledarnas roll i denna undersökning har också haft en viss betydelse för resulta- tet. Försöksledaren i grupp A har tidigare arbetet med klockan med eleverna och därför var de inställda på att även denna undersökning skulle handla om klockan. Detta syns tydligt i framförallt elevintervjuerna. På frågor om vad tid är, hur man kan mäta tid och hur de har lärt sig om tid svarade samtliga elever i grupp A något om klockan. I grupp B däremot var svaren mycket mer varierade, detta kan tolkas som att de inte var lika inrik- tade på klockan. Därmed var de också friare i tanken.
I de fall lotsning har skett i både undervisningsförsöken (i båda grupperna) och i slutin- tervjun kan det ha påverkat resultatet såtillvida, att eleverna kan ha gett svar eller kom- mentarer som inte visar deras verkliga förståelse i valda delar. I förintervjun har båda försöksledarna varit noga med att inte ställa ledande frågor eller försökt påverka elever- na genom lotsning. Förintervjuns syfte var att få syn på elevernas förkunskaper. Då syf- tet med undersökningen bland annat varit att identifiera den matematik som är nödvän- dig för förståelsen av ”lång tid” och tidslinjer, kan vi inte se att den lotsning som emel- lanåt förekommit har påverkat resultatet av våra frågeställningar nämnvärt. Faran med lotsning i vetenskapliga undersökningar kan vara att man påverkar eleverna i en positiv riktning så eleverna har förstått något som de inte hade förstått utan hjälp. Alternativet är att man stjälper eleverna genom att förvirra dem.
Vi har inte analyserat vad eleverna under våra undervisningsförsök faktiskt lärde sig. Därför har vi heller inte alldeles strikt undvikit att påverka eleverna eller ”undervisat” dem. I exemplet från grupptillfälle 2 där proportionalitet tas upp (se kapitel 4.3.1) disku- terar försöksledaren och Gustav huruvida årsindelningen på tidslinjen bör vara propor- tionerlig eller ej. Gustav säger i samtalet att han vill ha lika långa avstånd mellan marke- ringarna på tidslinjen. Han säger att det är för att det är lika långt emellan. När försöks- ledaren frågar vad som är lika långt emellan så svarar Gustav: åren. Efter denna passus drar försöksledaren slutsatsen inför gruppen att Gustav menar att då åren är lika långa, så vill han även ha avstånden mellan markeringarna, där åren skrivs, med lika avstånd. Denna lotsning, ett exempel ur undervisningsförsöken, kan om möjligt ha påverkat Gus- tav (och resten av grupp A som deltog i samtalet) att de var villiga att acceptera propor- tionerliga avstånd på tidslinjen de höll på att göra utan att egentligen förstå begreppet proportionalitet på djupet. Det faktum att de inte förstod vikten av proportionalitet i ar- betet med tidslinjer kvarstod.
6 Diskussion
I arbetet med tidslinjer ligger flera olika matematiska områden som genom att syn- liggöras och bearbetas kan underlätta elevernas förståelse av dessa. Eleverna i vår un-