Syftet med IVU för schemaläggningsproblem är att summera ihop enskilda arbetsupp-gifter till dagliga turer för individer inom personalen. Dessa turer skapas med hänsyn till ett brett spektrum av komplicerade och komplexa regler bestående av lagar, regler, tariffer och olika företagspolicyer.
Schemaläggningsproblemet i IVU kan i första hand modelleras som ett nätverk. Model-len involverar en acyklisk digraf D = (V, A) vilket står för schemaläggningens nätverk.
Noderna är numrerade som V = {0, 1, 2, ..., m, m+1} och noderna M = {1, ..., m} står för de specifika aktiviteterna som ska bemannas. A står för länkarna i grafen och består av alla möjliga övergångar mellan aktiviteterna. Noderna och länkarna representerar alla relevanta aktiviteter för schemaläggning som exempelvis arbetstider, rasttider, åkstatio-ner och robusthetsfaktorer. Två aktiviteter u och v kopplas samman av en länk om en specifik anställd kan utföra aktivitet v direkt efter u. Noderna 0 och m + 1 representerar start och slut för nätverket. Startnoden väljs ur β+(0) = {(0, 1), (0, 2), ..., (0, m + 1)}
och slutnoden väljs ur β−(m + 1) = {(0, m + 1), (1, m + 1), ..., (m, m + 1)}. Mellan dessa noder skapas en stig som representerar en tur. I schemaläggningsnätverket består
en tur av en riktad stig (0, m + 1) och det finns olika typer av turer, exempelvis hela-, delade- och deltidsturer (Borndörfer et al, 2001, s.3).
Utifrån användarens val av linjer som ska bemannas skapas schemaläggningsgrafen som beskrivs ovan. I Figur 4 visas ett exempel på möjliga lösningar för en schemaläggnings-graf. Fyrkanterna representerar start och slut för en tur. Cirklarna representerar noderna (aktiviteterna) som ska bemannas och de olika linjerna representerar länkarna (över-gångarna) mellan aktiviteterna. De breda svarta linjerna representerar en föreslagen lös-ning för en tur där alla aktiviteter bemannas. De streckade linjerna visar alla möjliga övergångar.
Figur 4 – Schemaläggningsgraf med möjliga lösningar (streckade linjer) och en stig (heldragen linje) mellan start- och slutnod
Schemaläggningsproblemets målfunktion består av att hitta den minimala uppsättning-en av bemanningskostnader som täcker alla aktiviteter exakt uppsättning-en gång. Alla kostnader för de olika aktiviteterna är i form av tidskostnader som antingen är fasta eller rörliga kost-nader. De fasta kostnaderna är per gång aktiviteter utförs medan de rörliga är beroende av aktivitetstiden. Om aktiviteterna som ska utföras inte blir bemannade adderas straff-kostnader som är väldigt höga då obemannade aktiviteter leder till obemannade turer, vilket ska undvikas i största möjliga mån (Sterl, 2021).
För att hitta lösningar på schemaläggningsgrafen ställer IVU upp schemaläggningspro-blemet i första hand som ett övertäcknings- och uppdelningsproblem (LBW Optimi-zation, u.å.). Dessa problem är besläktade och uppdelningsproblemet består av att alla aktiviteter ska delas upp för att utföras och det finns olika alternativ för hur denna upp-delning kan göras. Aktiviteterna består av noderna och alternativen för uppupp-delningen består av länkarna, vilket visualiseras i Figur 4. Varje tillåten uppdelning innehåller en delmängd av objekten och aij=1 om objekt i ingår i alternativ j. För varje alternativ j finns en kostnad cj och målet är att bestämma en uppdelning som minimerar den totala kostnaden (Lundgren et al, 2008, s.344-345). Detta problem kan enligt Lundgren (2008)
ställas upp som följande:
Bivillkoren i denna modell är aktivitetspartitionerade, vilket innebär att de ser till att varje specifik aktivitet är bemannad exakt en gång. Vidare består schemaläggningspro-blemet av villkor som ser till att bemanningen följer kollektivavtalet. Utöver bivillkoren finns det möjlighet för användaren att lägga till egna målvärden för att kunna styra lös-ningen mot ett mer önskat resultat. Ett exempel kan vara att sätta ett målvärde för turer-nas längd där lösningar som avviker från målvärdet straffas med en procentuell kostnad (Sterl, 2021).
Modellen löses av en kolumnbaserad och branch and bound algoritm. En kolumnba-serad algoritm är effektiv och löser stora linjära program. Schemaläggningsproblemet i IVU består av ett stort och komplext nätverk med många möjliga lösningar och variabler (Borndörfer et al, 2005, s.3). Eftersom problemet består av en stor mängd variabler är en kolumnbaserad algoritm en effektiv metod eftersom denna algoritm endast tar hänsyn till en delmängd av dessa variabler när problemet ska lösas (Deveci et al, 2017, s.390).
Metoden delar upp problemet till ett huvudproblem och delproblem. I huvudproblemet löses den delmängd av kolumnerna som är kända. Lösningarna ger de optimala värdena på dualvariablerna i det begränsade problemet. Med hjälp av dessa genereras en ny ko-lumn som har en negativ reducerad kostnad som sker i subproblemet. Detta adderas till huvudproblemet som vidare löser problemet på nytt. Algoritmen bestämmer om huvud-lösningen är den mest optimala genom att repetera iterationen mellan huvudproblemet och subproblemet tills det inte längre inte finns en kolumn med negativ reducerad kost-nad (Lundgren et al, 2008, s.386-388).
Den andra algoritmen, branch and bound, söker efter alla möjliga lösningar i hela sök-fältet och ger ett optimalt resultat. Denna algoritm är väldigt användbar i samband med kolumngenerering (Borndörfer et al, 2005, s.3). Med alla dessa möjliga lösningar byggs ett rotat beslutsträd där roten representerar hela sökutrymmet. Sökningen väljer bästa möjliga delmängd på varje nivå. Tidskomplexiteten är lägre än för många andra algo-ritmer på grund av att alla noder i trädet inte undersöks. Algoritmen hittar den minsta vägen för att nå ett optimal resultat där noder inte repeteras under sökningen (Datta, 2020). Eftersom det inte är praktiskt att generera alla möjliga lösningar vid schemalägg-ningsproblem, genereras de mest relevanta lösningarna där optimeringen vidare söker nya och förbättrade lösningar (Borndörfer et al, 2001, s.3). Enligt företaget som ut-vecklar IVU itererar denna sökning mot bättre och bättre lösningar tills det med 99%
säkerhet inte finns chans till förbättring (Sterl, 2021).
5 Metod
I följande avsnitt beskrivs den metod som använts för att lösa projektets frågeställning med tillhörande problem.
5.1 Litteraturstudie
En litteraturstudie genomfördes parallellt med övriga delar av projektet och gav väg-ledning i tillvägagångssättet. Litteraturstudien fokuserades främst på den matematiska problematiken bakom personalplanering inom specifikt flyg- och tågbranschen. Vida-re studerades även vetenskapliga artiklar som förklarar specifikt hur IVU är modellerat och vilka algoritmer som står bakom optimeringslösningen för att få en förståelse för optimeringsverktyget.