Fourier & Laplacetransformer, Lecture Notes

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

1. Komplexa tal och funktioner. Kort repetition 3 2. Förberedande exempel på fourierserier 5

3. Reella fourierserier 8

4. Den komplexa fourierserien 11

5. Fourierspektret 11

6. Fourierserier för några standardfunktioner 12 7. Några egenskaper hos fourierserier 13 8. En tillämpning: Värmeledningsekvationen 13 9. Fourierintegralen och fouriertransformen 15 10. Några vanliga fouriertransformer 16 11. Några egenskaper för fouriertransformer 17

12. Diracs deltafunktion 18

12. Linsen som fouriertransformator 19

13. Konvolution 22

14. Differentialkekvationer 24 15. Om sampling och den diskreta fouriertransformen 34

16. Laplacetransformen 37

17. Laplacetransformer av derivator och integraler 38 16. Frekvenssvar och överföringsfunktion 41 18. Lösning av partiella differentialekvationer 42

19. Återkopplade system 43

Appendix 1. Partialbråksuppdelning 45 Appendix 2. Fouriertransformer 47 Appendix 3. Laplacetransformer 49

1. Komplexa tal och funktioner. Kort repetition

Historiskt infördes de komplexa talen som ett sätt att lösa vissa ekvationer som inte har lösningar bland de reella talen. Om man t ex definierar ett

imaginärt tal ”i” med egenskapen i2 = −1 så har ekvationen x2 = −1 lösningen

x = ±i. Mera generellt inför vi komplexa tal z = a + ib där a och b är rella tal. Talet a kallas realdelen av det komplexa talet z medan b kallas dess

imaginärdel. Vi skriver Re z = a, Im z = b z = a

2 _{+ b}2

kallas beloppet av z. Geometriskt kan vi representera ett

komplext plan genom en punkt eller vektor i det komplexa talplanet, se figur. Vinkeln θ är argumentet för det komplexa

talet z och skrivs

_{θ = arg z = arctan b/ a}

Vi definierar också det komplexkonjugerade talet till z genom _{z = a − ib}, dvs vi får det komplexkonjugerade talet genom att byta tecken på imaginärdelen. Vi kan definiera addition, multiplikation och division för komplexa tal t ex har vi

z₁ = a₁+ ib₁, z₂ = a₂ + ib₂

⇒ z1z2 = a

(

1+ ib1

)

(

a2+ ib2

)

= a

(

1a2 − b1b2

)

+ i a

(

1b2+ a2b1

)

Vi ser härav att t ex zz = z2.

Vi kan även definiera komplexa funktioner med komplexa argument . Några exempel: f z

( )

= z 2 , f z

( )

=1 z, f z

( )

= 3z 3_{− 2z + i}

Speciellt viktig för vår del är den komplexa exponentialfunktionen _{z = e}ix, x reellt.

Man kan visa (t ex genom Taylorutveckling att man har identiteten (Eulers formel)

_eix= cosx + isin x

Från detta uttryck får man lätt omvändningen sin x= eix− e− ix 2i cos x= eix + e− ix 2

Vi har vidare uppenbart z = cos2x+ sin2x= 1, arg z = x, dvs när x varierar rör sig z på en cirkel med radien 1 kring origo i det komplexa talplanet. Det är bra att känna till några speciella värden på denna funktion:

_eiπ/2 _{= i, e}−iπ /2_{= −i, e}± iπ _{= −1, e}2iπ n _{= 1 n = 0,±1, ±2,±3...}

Den komplexa exponentialfunktionen ger oss ett bra sätt att representera komplexa tal i polär form.

z= z ei arg z

Komplexa funktioner kan deriveras med väsentligen samma deriveringsregler som för vanliga funktioner.

Re Im z a b θ |z|

Speciellt användbar för oss är relationen

d

dze

iax _{= iae}iax

Vi kommer ofta att använda den komplexa exponentialfunktionen för att representera en fortskridande våg. En sådan representation är

u x, t

( )

= Aei kx( −ω t) med k= 2π

λ och ω = 2π f

där λ är vågens våglängd och f vågens frekvens. k kallas vågtalet och ω är

cirkelfrekvensen. Om vi tar realdelen av uttrycket får vi

Re u x, t

( )

= A cos 2π

λ x− 2π f t ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟

något som man lätt övertygar sig om är en cosinusvåg som rör sig i postiva x-axelns riktning med farten v = f λ .

2. Förberedande exempel på fourierserier

Anta att vi har en sträng inspänd mellan två fixa ändpunkter. Om vi knäpper på strängen hör vi en ton. Om vi knäpper försiktigt på strängen kommer vi att höra en ton som låter "snällt", strängen avger sin grundton. Om vi däremot knäpper med ett spetsigt föremål på strängen kommer tonen att låta mer vass, strängen avger, föruton sin grundton även så kallade övertoner.

Studerar man den differentialekvation som styr strängens avvikelse, från sitt viloläge, y x, t

( )

, elongationen, finner man att denna ges av

∂2 y ∂x2 = µ T ∂2 y ∂t2

där µ är strängens massa/längd och T spänningen i strängen. Detta är en vågekvation som innebär att vi kan ha vågor på strängen som rör sig med farten V = T /µ . Vi ser att vågfarten inte beror på vågornas frekvens eller våglängd, vågfarten är konstant för en given strängkonfiguration. För strängens avvikelse från normalläget har vi uppenbart att

y 0,t

( )

= y(L,t )= 0

för alla tider, dvs strängens ändpunkter är i vila.

I den del av kursen som avhandlar Maxwells ekvationer visar vi att den allmänna lösningen till vågekvationen är en överlagring av vågor som rör sig i positiv och negativ riktning längs x-axeln.

För att bli mera konkreta studerar vi nu ett startvillkor för strängen där vi har dragit ut strängens mittpunkt en sträcka A från normalläget och att strängen ser ut som i figuren:

A

L/2 L/2

För att lösa detta problem studerar vi vågor på strängen som är harmoniska svängningar. Vi låter strängens vänstra ände utgöra origo. Vi ansätter för att vara så allmänna som möjligt en komplex exponentialfunktion som är en summa av en våg som går åt höger och en våg som går åt vänster

y x, t

( )

= Bei(kx−ω t )+ Cei(− kx−ωt )

Vi har antagit att vågen har en viss bestämd frekvens och våglängd. Eftersom vågornas fart är konstant V har vi kV=ω . Vi stoppar nu in randvillkoret till vänster:

y 0,t

( )

= Bei(−ω t )+ Cei(−ωt ) = 0

Vilket medför att C = −B . Randvillkoret till höger ger då: y L, t

( )

= B e

(

i(kL−ω t )− ei (−kL −ωt )

)

= 2Bi e ikL )_{− e}− ikL

(

)

2i e −iωt _{= ′} B sin kL

( )

e−iω t = 0 Skall detta gälla för alla tider om om vi överhuvud skall ha en våg (B' ≠ 0) får vi kL= nπ, n = 1,2,3... eller k= nπ L Vår lösning är alltså y x, t

( )

= ′B sinnπx L e − iωnt

Vi ser att vår lösning består av en summa av två identiska vågor som rör sig åt motsatt håll. Resultatet blir en stående våg med en amplitude som varierar harmoniskt. På vissa ställen på strängen, noderna, kommer strängen alltid att vara i vila, på andra ställen, bukarna, kommer strängen att svänga med

maximal amplitud. Figuren nedan visar några lösningar med olika värden på

n.

L n = 1

n = 2 n = 3

Våglängden för grundsvängningen blir uppenbart 2L och allmänt 2L / n. Svängningarnas frekvens blir för grundtonen ω1= 4πV / L och allmänt

ωn = n·πV / L = ω1n. De möjliga toner vi kan höra när vi knäpper på strängen

svarar mot dessa frekvenser. Den allmänna lösningen är en summa av lösningar med dessa olika frekvenser.

Vi skall nu använda våra trigonometriska lösningar för att bygga upp bygga upp hur strängen ser ut i vårt konkreta exempel. Vi ansätter därför

y x, 0

( )

= Sn n

∑

sinnπ x

L (*)

y x, 0

( )

= 2Ax L om 0≤ x ≤ L / 2 2A L

(

− x

)

L om L / 2≤ x ≤ L ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪

Hur skall vi finna utvecklingskoefficienterna Sn?

Vi skall utnyttja en viktig egenskap hos de trigonometriska basfunktionerna nämligen att de är ortogonala på intervallet [0, L] vilket innebär att

sinnπx L · 0 L

∫

sinmπx L dx= 0 om n ≠ m.

Övning: Visa detta. Ledning utnyttja trigonometrisk formel. Multiplicera nu bägge leden i (*) med sinmπx

L och integrera över intervallet [0, L]: y x, 0

( )

0 L

∫

sinmπx L dx= Sn sin nπx L 0 L

∫

n

∑

sinmπx L dx

På grund av ortogonaliteten blir det bara kvar en term i summan nämligen den där n = m. y x, 0

( )

0 L

∫

sinmπx L dx= Sm sin mπx L sin mπx L dx 0 L

∫

= Sm L 2 eller Sm = 2 L0 y x,0

( )

L

∫

sinmπx L dx m=1, 2,3...

Övning: Visa detta. Ledning använd formel för att gå över i dubbla vinkeln. Vi ser alltså att om y x, 0

( )

är känd kan vi bestämma

utvecklingskoefficienterna Sm. Lösningen vid senare tider ges då av

y x, t

( )

= Re Sn n

∑

sinnπx L e −iωnt ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = Sn n

∑

sinnπx L cos

( )

ωnt =

∑

n Sn sinnπx L cos n·πVt L ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟

Vi har valt realdelen av e−iωnt för att få rätt randvillkor då t = 0.

Övning: Beräkna utvecklingskoefficienterna för det konkreta fallet då

y x, 0

( )

= 2Ax L om 0≤ x ≤ L / 2 2A L

(

− x

)

L om L / 2≤ x ≤ L ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ (Svar: 8A n2π2

( )

−1 n−1 )

Oftast är man inte intresserad av hela lösningen utan bara av storleken på utvecklingskoefficienterna som anger hur starkt de olika övertonerna på

strängen ljuder. Som vi ser fungerar vår metod på varje form på strängen bara vi har randvillkoret y 0,t

( )

= y(L,t ) = 0.

Noteras bör att om vi knäpper för hårt på strängen kommer strängenns rörelse att bli icke-linjär och beskrivs inte längre av någon enkel vågekvation. Vi skall, för att vår teori skall fungera enligt ovan, ha vad man kallar för små

svängningar.

Anmärkning: Vi kan skriva vårt ortogonalitetsvillkor mer matematiskt och

kompakt som sinnπx L · 0 L

∫

sinmπx L dx= L 2δnm

där δnm är det s k Kroneckers delta med egenskapen att vara noll om n och m är

olika och 1 om de är lika.

3. Reella fourierserier

I förra avsnittet såg vi hur man i ett specialfall kan utveckla en funktion definierad på ett intervall. Vi skall nu generalisera metoden. Vidare skall vi nu tänka oss att vi har funktion f t

( )

som beskriver en signal i tiden t vilket ofta är fallet när man tillämpar fourieranalys. Funktionen är definierad på ett intervall t∈ −T / 2,T / 2

[

]

. Valet av ett intervall som är symmetriskt gör vi bara för att i vissa fall få matematiken enklare. Vi förutsätter nu inte att funktionen som innan måste vara noll i ändpunkterna. Om vi vill utveckla funktionen i trigonometriska funktioner måste vi då använda både sinus- och cosinusfunktioner. Vi ansätter följande utveckling:

f t

( )

= a0

2 +n=1

(

ancos nω0t+ bnsinnω0t

)

medω0 = 2π / T

∞

∑

Detta är naturligtvis bara sant om det högra ledet är en konvergent serie för alla t. De trigonometriska funktionerna i serieutvecklingen har perioder som är T / n, n = 1,2,3... Den första termen på höger sida har vi för att även kunna hantera funktioner f t

( )

som inte har medelvärder noll över intervallet. För de trigonometriska funktionerna har vi följande viktiga relationer:

cosnω0t dt = 0 − T / 2 T /2

∫

sin nω0t dt = 0 −T /2 T / 2

∫

(a) cos2nω0t dt = T / 2 − T / 2 T /2

∫

sin2nω0t dt = T / 2 −T /2 T / 2

∫

(b) cosnω0t ·sinmω0t dt = 0 − T / 2 T /2

∫

för alla n, m (c) cosnω0t ·cosmω0t dt = 0 − T / 2 T /2

∫

om n ≠ m (d) sinnω0t·sin mω0t dt = 0 − T / 2 T /2

∫

om n ≠ m (e)

Övning: Visa dessa relationer. Ledning utnyttja trigonometriska formler samt eventuellt symmetrier.

Som vi ser av ovanstående är de olika sinusfunktionerna ortogonala mot varandra. Vidare är cosinusfunktionerna ortogonala motvarandra samt slutligen är sinus- och cosinusfunktionerna inbördes ortogonala. Detta innebär att vi har ett enkelt recept för att beräkna utvecklingskoefficienterna. Man visar lätt på samma sätt som i förra avsnittet och genom att använda egenskaperna (a)-(e) ovan att

an = 2 T _{−T /2} f t

( )

T / 2

∫

cosnω0t dt för n= 0,1,2,3... bn= 2 T _{− T / 2}f t

( )

T /2

∫

sinnω0t dt för n= 1,2,3...

Vad händer om vi beräknar serieutvecklingen utanför intervallet

t∈ −T / 2,T / 2

[

]

? Eftersom de trigonometriska funktionerna alla uppfyller att

de har samma värde om vi låter t → t +T har vi uppenbart att f (t + T ) = f (t ) . Serieutvecklingen beskriver en periodisk upprepning av funktionen f. Omvänt kan vi tydligen beskriva en periodisk funktion med en trigonometrisk

serieutveckling.

För att serieutvecklingen skall konvergera och alltså vår metod skall vara meningsfull, måste funktionen f uppfylla vissa krav. Vi kommer i

fortsättningen alltid att anta att dessa krav är uppfyllda.

Matematiskt kan vi uppfatta serieutvecklingen som en avbildning av den periodiska funktionen f på utvecklingskoefficienterna (fourierkofficienterna)

an, bn. Avbildningen kallas fouriertransformen av f.

EXEMPEL: Vad blir fourierkoefficienterna för sågtandsfunktionen

f t

( )

= t, t ∈ −

[

π,π

]

?

Vi har tydligen T = 2π och ω0= 1 .

a_n = 1 π−πt cosnt dt π

∫

= ... = 0 för n= 1,2,3... a0 = 1 π_−πtdt π

∫

= 0 b_n= 1 π −πt sinnt dt π

∫

= ... = −1

( )

n−12 n

Övning: Utför de överhoppade leden ovan. Ledning: Partialintegration! Kan man lösa vissa av integralerna utan att räkna?

Övning: Använd MatLab för att rita upp fouriersumman av funktionen ovan. Rita upp summan där du succesivt summerar upp till n = 1, 2 osv upp till n = 10.

Om den periodiska funktionen f är reell, så är även fourierkoefficienterna reella. Vi kan då utnyttja en trigonometrisk omskrivning

ancos nω0t+ bnsin nω0t= an 2_{+ b} n 2_{cos nω} 0t +φn

(

)

med tanφn = −bn/ an om an ≠ 0 och φn = −π / 2 om an = 0 . an

2 _{+ b}

n

2

kallas amplituden på den n:te fourierkomponenten och φn kallas dess

4. Den komplexa fourierserien

I många fall är det, som vi redan har sett, enklare att arbeta med den komplexa exponentialfunktionen i stället för med de trigonometriska funktionerna. Vi har cos nω0t= einω0t + e− inω0t 2 sinnω0t= einω0t − e−inω0t 2i

Stoppar vi in detta i fourierutvecklingen får vi efter någon manipulering f t

( )

= c0 + cne inω₀t _{+ c} − ne− inω0 t

(

)

n=1 ∞

∑

= cne inω₀t n= −∞ ∞

∑

med c0 = a0 2 , cn= an− ibn 2 , c−n = an+ ibn 2

cn är de komplexa fourierkoefficienterna. Vi ser att fourierutvecklingen kan

skrivas på ett mycket kompakt och elegant sätt. Vidare ser vi att

fourierkoefficienterna för negativt n är komplexkonjugaten av motsvarande koefficient för positivt n. De komplexa fourierkoefficienterna kan beräknas genom cn = 1 T _{−T /2}f t

( )

T /2

∫

e− inω0t_dt

Om vi vill ha de reella fourierkoefficienterna får vi dessa enkelt ur relationerna

a_n = c_n + c_{− n}= 2 Rec_n b_n = c_n− c_{− n}= −2Im c_n

EXEMPEL: Vi beräknar de komplexa fourierkoefficienterna för den tidigare givna sågtandsfunktionen. Partialintegration ger för n ≠ 0

cn = 1 2π_−πt π

∫

e− intdt= − 1 2πni te −int ⎡⎣ ⎤⎦−π π − e−int −π π

∫

dt ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪= − 1 2πni πe − inπ_+π e+ inπ+ 1 in e − inπ _{− e}+inπ

(

)

⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭= − 1 2πni 2πcosnπ − 2 nsinnπ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭= − 1 incos nπ = i n

( )

−1 n För n = 0 blir c0 = 0 .

Övning: Verifiera att dessa komplexa fourierkoefficienter ger samma reella koefficienter som tidigare.

5. Fourierspektret

Funktionerna f t

( )

är i allmänhet sådana (t ex signaler) att variabeln t tolkas som en tidsvariabel. Man säger att dessa funktioner är definierade i

tidsdomänen. I några fall kommer variabeln t stå för en rumsvariabel, i så fall

är funktionen definierar i rumsdomänen. Fourierkoefficienterna säger man beskriver funktionen i frekvensdomänen. I vardagslivet uppfattar vi ofta

signaler med hjälp av deras frekvensinnehåll till exempel när vi hör på musik eller betraktar olika färger.

Talföljden av fourierkoefficienter cn , som beskriver funktionen i frekvensdomänen, kallas funktionens spektrum. Eftersom n antar

heltalsvärden säger man att man har ett diskret spektrum (linjespektrum). Ofta visar man spektret som två spektrum, amplitudspektret cn och fasspektret

arg cn. Vi definierar dessa spektra med hjälp av de komplexa koefficienterna cn och eftersom vår definition då även gäller om funktionen f t

( )

skulle vara en komplex funktion blir vår definition mer generell. När vi har signaler i form av ljus upplever ögat ljusets intensitet som kvadraten på amplituden på det elektromagnetiska fältet . Man plottar därför ofta effektspektret av en signal som är cn

2

. Samma sak gör man när man t ex studerar uteffekten av en signal i en högtalare.

Övning : Skissa amplitud- och fasspektrum för sågtandsfunktionen.

6. Fourierserier för några standardfunktioner

Vi har redan studerat sågtandsfunktionen som är en sådan standardfunktion. Sågtandsfunktionen hade egenskapen att vara en udda funktion dvs

f

( )

−t = − f t

( )

Vi fortsätter med den periodiska blockfunktionen som är en jämn funktion,

f

( )

−t = f t

( )

. Denna funktion har perioden T och definieras

pa

( )

t = 1 t ≤ a 2 ≤ T 2 0 a 2 < t ≤ T 2 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪

Övning: Skissa denna funktion.

Övning: Visa att cn =

1 T sinnω0a 2 nω0 2 n=1, 2,3... c0= a

T . Den nollte koefficienten kan även fås genom att låta n→ 0 i det första uttrycket.

Övning: Skissa funktionens spektrum om a = T / 2.

Ytterligare en standardfunktion är den periodiska triangelfunktionen

qa

( )

t = 1− t a t ≤ a 0 a< t ≤T 2 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪

Övning: Skissa denna funktion.

Övning: Visa att cn =

4sin2 nω0a 2 n2ω0 2 aT n=1, 2,3... c0= a T .

7. Några egenskaper hos fourierserier

1) Linearitet: Fourierkoefficienterna av en godtycklig summa av två funktioner är summan av respektive fourierkoefficienter.

2) Om f t

( )

är en komplex funktion med fourierkoefficienterna cn så har den

komplexkonjugerade funktionen f t

( )

fourierkoefficienterna c_{− n} 3) Om f t

( )

har fourierkoefficienterna cn så har funktionen f t

(

− t0

)

fourierkoefficienterna e−inω0t0_c

n (och alltså samma amplitudspektrum).

4) Om f t

( )

har fourierkoefficienterna cnså har funktionen f

( )

−t

fourierkoefficienterna c− n.

8. En tillämpning: Värmeledningsekvationen

Om man har en temperaturgradient ∂T

∂x i ett material kommer man att få en

energiström J per kvadratmeter och sekund som ges av J = −λ∂T

∂x

där λ är den s k värmeledningskoefficienten. Minustecknet talar om att energi strömmar från högre till lägre temperatur.

I en skiva av materialet med tjockleken dx, arean A, densiteten ρ och den specifika värmekapaciteten c kommer man då att få en temperaturändring under tiden dt som ges av

cρAdx dT = A J x

(

( )

− J x + dx

(

)

)

dt

Högra ledet visar skillnaden mellan den energi som strömmar in vid x och den som strömmar ut vid x+dx. Vi dividerar med dx och dt och får

∂T ∂t = − 1 cρ J x

(

+ dx

)

− J x

( )

dx = − 1 cρ ∂J ∂x= λ cρ ∂2 T ∂x2 eller ∂T ∂t = k ∂2 T ∂x2 med k= λ cρ

I tre dimensioner blir ekvationen

Detta är värmeledningsekvationen, ett problem som analyserades av Fourier redan 1822. ∂T ∂t = k ∂2 T ∂x2 + ∂2 T ∂y2 + ∂2 T ∂z2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = k∇ 2 T

EXEMPEL. Vi studerar ett konkret exempel. Vi har en smal stav med längden

L. Ändarna på staven hålls vid 0 ˚C. Stavens längsgående sidor är

värmeisolerade. Vid tiden t = 0 har vi en temperaturfördelning i stavens längdriktning (x-axeln) given av funktionen T x, 0

( )

. Hur kommer temperaturen T(x, t) i staven att förändras med tiden?

Vi har randvillkor

T 0,t

( )

= 0 T 0, L

( )

= 0, t ≥ 0

Vi börjar med att använda tekniken med variabelseparation som ofta är mycket användbar. Vi ansätter en lösning som är en produkt av en funktion som bara beror på x och en funktion som bara beror på t.

T x, t

( )

= X x

( )

Θ t

( )

Stoppar vi in detta i differentialekvationen får vi (prim och bis betyder första- respektive andraderivata) XΘ = k ′′′ X Θ eller 1 k ′ Θ Θ = ′′ X X

Nu beror höger sida av ekvationen inte på tiden. Vänster sida beror inte på läget. Alltså kan varken höger elle vänster sida bero på vare sig läge eller tid dvs är en konstant som vi kallar a. Vi separerar då problemet i två

differentialekvationer 1 k ′ Θ Θ = a ′′ X X = a eller Θ = kaΘ′ X′′= aX

Båda dessa ekvationer har enkla lösningar. Om a> 0 har den andra ekvationen exponentiella lösningar om a< 0 får man trigonometriska

lösningar. Med exponentiella lösningar kan man aldrig få en lösning som är noll i två olika punkter, alltså måste konstanten a vara negativ, vi sätter

b= −a > 0. Med trigonometriska lösningar kan vi uppfylla randvillkoren i

stavens bägge ändar genom att välja Xn

( )

x = Ansin

nπx

L , n= 1,2, 3…

Sätter vi in denna lösning får vi att b= nπ L

⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟

2

Vår första ekvation har då lösningen

Θn

( )

t = Bne − nπ L ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2 kt

och den kombinerade lösningen blir Tn

( )

x,t = Cnsin nπx L e − nπ L ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2 kt

Vi får alltså ett antal möjliga lösningar med n = 1,2,3… Eftersom

värmeledningsekvationen är linjär av varje summa av dessa lösningar också en lösning och den allmänna lösningen ges av

T x, t

( )

= Cnsin nπx L e − nπ L ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2 kt n= 1 ∞

∑

I vårt speciella exempel antog vi att temperaturfördelningen i staven var given vid tiden t = 0. Detta ger oss

T x, 0

( )

= Cnsin nπx L n=1 ∞

∑

= f x

( )

Härur ser vi att vi har utvecklat f i en fouriersumma och vi kan genast bestämma koefficienterna Cn genom

Cn = 2 L f x

( )

sin nπx L 0 L

∫

dx

När dessa är kända har vi alltså lösningen på vårt problem.

9. Fourierintegralen och fouriertransformen

Vi skall nu se hur man kan hantera signaler som inte är periodiska med hjälp av fouriertekniken. Vi studerar därför vad som händer om perioden för en funktion går mot oändligheten. Vi har från tidigare med en funktion f t

( )

c_n = 1 T _{−T /2}f t

( )

T /2

∫

e− inω0t_dt= 2π T 1 2π_{− T / 2}f t

( )

T /2

∫

e−inω0t_dt f t

( )

= c_n n= −∞ ∞

∑

einω0t ω 0 = 2π T

Vi låter nu T bli mycket stort varvid ω0 blir mycket litet. Vi inför nya

beteckningar ω0 = Δω , nω0= nΔω = ω samt FT

( )

ω = f t

( )

− T / 2 T /2

∫

e−iωtdt Detta medför c_n = Δω 1 2πFT

( )

ω vilket ger f t

( )

= 1 2π FT

( )

ω e iωt_Δ ω n= −∞ ∞

∑

Låter vi nu T gå mot oändligheten får vi FT

( )

ω → F

( )

ω = f t

( )

−∞ ∞

∫

e− iωtdt (a) f t

( )

= 1 2π_−∞F

( )

ω ∞

∫

eiω tdω (b)

Vi har nu tydligen en avbildning f t

( )

→ F

( )

ω , dvs en avbildning av en funktion i t-domänen på en funktion i frekvensdomänen. Funktionen F

( )

ω kallas fouriertransformen av f t

( )

. Ekvationen (b) ovan avbildar F

( )

ω på

f t

( )

och är en invers fouriertransform. Man skriver ibland fouriertransformen

För att recepten ovan skall fungera måste uppenbart funktionen f t

( )

vara sådan att fourierintegralen (a) konvergerar. Vi kommer i fortsättningen att anta att så är fallet och även visa hur man kan hantera en divergent

fourierintegral i vissa speciella fall.

10. Några vanliga fouriertransformer

A) Blockfunktionen Blockfunktionen definieras pa

( )

t = 1 t ≤ a / 2 0 t > a / 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ Fouriertransformen blir F pa

(

)

= pa

( )

t e −iω t dt −∞ ∞

∫

= eiωtdt = − a/ 2 a/2

∫

2sin a

(

_ωω / 2

)

När ω→ 0 har vi F p

( )

a → a.

Övning: Skissa spektret F p

(

a

)

( )

ω . Vad händer om a blir stort respektive

litet? B) Triangelfunktionen qa

( )

t = 1− t a t ≤ a 0 t > a ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ Vi får F qa

(

)

= qa

( )

t e −iωt dt −∞ ∞

∫

= qa

( )

t e −iωt _{+ e}iωt

(

)

dt= 0 a

∫

2 1− t a ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ cosdt = 0 a

∫

4sin2_a

(

_ωaω2 / 2

)

Övning: Utför de utelämnade stegen i beräkningen. Vad händer för ω = 0? Skissa spektret för fouriertransformen.

C) Funktionen e−a t

Övning: Skissa denna funktion. Fouriertransformen blir F

( )

ω = e− a te−iωtdt −∞ ∞

∫

= e− at e−iωtdt 0 ∞

∫

+ eat e−iωtdt −∞ 0

∫

= 2 a2 +ω2

Övning: Genomför detaljerna i räkningen och skissa spektrum. D) Gaussfunktionen f t

( )

= e− at2

Vi använder oss här av att man kan visa relationen e− x2dx

−∞ ∞

∫

= π samt av ett matematiskt trick. Vi har

F

( )

ω = e− at2e−iωtdt −∞ ∞

∫

= 2 e−at2 cosωt dt 0 ∞

∫

Deriverar vi med avseende på ω får vi

′ F

( )

ω = −2 te−at2sinωt dt 0 ∞

∫

= 1 ae −at2 sinωt ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥0 ∞ −ω a e −at2 cosωt dt 0 ∞

∫

Den första termen till höger är noll den andra är − ω

2aF

( )

ω . Vi har alltså F′

( )

ω = −ω 2aF

( )

ω eller F′

( )

ω F

( )

ω = − ω 2a eller d dω ln F

( )

ω = − ω 2a= − d dω ω2 4a ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Alltså ln F

( )

ω = − ω 2 4a ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟+ konst eller F

( )

ω = Ce − ω2 4a ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = F 0

( )

e − ω2 4 a ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Nu har vi F 0

( )

= e−at2dt −∞ ∞

∫

t= x / a= 1 a e − x2 dx −∞ ∞

∫

= π a Vi får alltså fouriertransformen F

( )

ω = π ae − ω2 4a ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

Vi ser här att fouriertransformen av en gaussfunktion är en ny gaussfunktion. Vidare ser vi att om den ursprungliga gaussfunktionen är "smal" så blir dess fouriertransform "bred". Är den ursprungliga gaussfunktionen bred blir dess fouriertransform smal. Detta är en allmän egenskap hos fouriertransformer, "smala" funktioner i tids(rums)domänen får "breda" fouriertransformer och tvärtom.

11. Några egenskaper för fouriertransformer

A) Linearitet F

(

(

af + bg

)

)

= a

( )

F f + b

( )

F g B) Translation i tidsdomänen F

(

f t

(

− a

)

)

= eiω a

(

F f t

( )

)

C) Translation i frekvensdomänen F f t

(

( )

)

(

ω − a

)

=

(

F eiatf t

( )

)

( )

ω D) Skalning F f ct

( )

(

)

( )

ω = 1 c

(

F f t

( )

)

(

ω / c

)

12. Diracs deltafunktion

Vi har tidigare sett att en smal funktion i t-domänen blir bred i ω-domänen. Vi skall nu låta detta bli extremt och definierar en speciell blockfunktion

δ

( )

t = lim a→ 0 1/ a t ≤ a / 2 0 annars ⎧ ⎨ ⎩

Funktionen är alltså en "spik" med höjden 1/a och bredden a. Eftersom arean under denna funktion måste vara 1 har vi uppenbart

δ

( )

t dt −∞ ∞

∫

= 1 (Egenskap 1) Vidare gäller δ

( )

t f t

( )

dt −∞ ∞

∫

= lim a→0 1 a f t

( )

dt −a /2 a/ 2

∫

= lim a→ 0 1 aaf t

(

∈ −a / 2,a / 2

[

]

)

= f 0

( )

Detta är egenskap 2. En funktion med dessa två egenskaper kalas en (Diracs)

deltafunktion. Matematiskt är funktionen inte en "riktig" funktion eftersom den

bara har mening under ett integraltecken som i egenskaperna ovan. Av egenskaperna följer direkt

δ

(

t− b

)

f t

( )

dt

−∞ ∞

∫

= f b

( )

Vi kan alltså plocka ut ett visst värde på funktionen f på detta sätt. Rent praktiskt kan man tänkat sig att deltafunktionen svarar mot en mycket kort och intensiv puls.

Vad blir fouriertransformen av denna funktion? Vi har D

( )

ω = δ

( )

t e−iω tdt

−∞ ∞

∫

= e−iω 0 ₌₁

Fouriertransformen är alltså synnerligen enkel, en konstant. Detta är inte helt oväntat, eftersom vi har en extremt smal funktion i t-domänen får vi en extremt bred funktion i ω-domänen.

Vårt resultat innebär, om vi använder den inversa fouriertransformen δ

( )

t = 1 2π D

( )

ω e iωt dω −∞ ∞

∫

= lim L→∞ 1 2π D

( )

ω e iωt dω − L L

∫

= lim L→ ∞ 1 π sin Lt t

Vi får alltså ett annat resultat än det vi startade med. Detta verkar ju lite underligt men man kan (med ett viss besvär) visa att den δ-funktion vi fått har egenskaperna 1 och 2 vilket är det enda som är väsentligt.

I själva verket finns det många sätt att representera δ-funktionen, ett annat exempel är δ

( )

t = lim a→ 0 1 π a a2 + t2

ei(ω −ω1)t_dt −∞ ∞

∫

= lim T→∞ e i(ω −ω1)t_dt −T T

∫

= lim T→∞ 2sin⎡⎣

(

ω −ω₁

)

T⎤⎦ ω − ω1 = 2πδ ω − ω

(

1

)

Vi kan uppfatta detta som om exponentialfunktionerna eiω t

och e−iω1t är

"ortogonala" om ω ≠ ω1.

Deltafunktionen infördes 1926 av den engelske fysikern P. A. M. Dirac och är ett oerhört användbart verktyg inom fysiken. Som sagts ovan är inte

deltafunktionen en funktion i matematisk mening utan en distribution. Teorin för distributioner utvecklades 1946 av den franske matematikern L. Schwartz.

12. Linsen som fouriertransformator

Betrakta figur 1. Från en punkt på objektet till vänster i fokalplanet utgår sfäriska vågor. Dessa träffar linsen, representerad av en lodrät linje och omvandlas till en plan våg som rör sig snett nedåt. Varje punkt på en av de plana vågfronterna har samma fas. Den optiska vägen för den brutna strålen till P' är därför precis lika lång som för den stråle som gått genom linsens mittpunkt till P.

Vi skall nu utnyttja detta för att bestämma fasen för och sedan addera alla strålar som utgår från objektet och når en viss punkt C i ett fourierplan på avståndet D från linsen. Vi studerar figur 2.

Genom att jämföra med figur 1 ser vi att vi kan få den optiska vägen ABC genom att beräkna vägen AB'C' och sedan subtrahera sträckan δ.

Vi har AB′= f2 + x2 ′ BC′= D2+ Dx f ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2

Likformiga trianglar ger att δ Dx / f − y = x f2 + x2 eller δ = Dx2 f − xy f2+ x2 Detta medför ABC= f2 + x2 + D2 + Dx f ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 − Dx2 f − xy f2_{+ x}2

Vi antar nu att x, y<< f , D varför vi kan Taylorutveckla rotuttrycken:

f2+ x2 = f 1 + x f ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 ≈ f 1+ 1 2 x f ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = f + x 2 2 f A B C B' C' x y δ Dx/f-y

Objektplan Lins Fourierplan

f D

D2+ Dx f ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 ≈ D +Dx 2 2 f2

Roten i nämnaren i den tredje termen kan sättas till f eftersom täljaren redan är av andra ordningen i små kvantiteter. Samlar vi resultaten får vi

ABC= f + x 2 2 f + D + Dx2 2 f2 − Dx2 f2 + xy f Väljer vi nu slutligen D = f försvinner x2

-termerna och vi får den optiska vägen

ABC= 2 f +xy f

Vi bryr oss inte om den gemensamma optiska vägen 2f eftersom när vi adderar amplituderna i C är det bara fasskillnader som är intressanta. Den relativa fasskillnaden i C blir då

2πxy λ

Om det utsända ljuset från längdelementet dx i objektplanet är g x

( )

dx får vi tydligen den totala amplituden G i punkten y som

G y

( )

= g x

( )

−∞ +∞

∫

dxei 2π xy fλ

Inför vi slutligen variabeln ω =2π y

fλ får vi

G

( )

ω = g x

( )

−∞ +∞

∫

dxeiωx

Detta är en fouriertransform. Uppenbart kan resonemanget generaliseras till ett tvådimensionellt fourierplan och vi har slutsatsen:

Låga fourierfrekvenser motsvaras tydligen av punkter nära den optiska axeln i fourierplanet. Detta kan utnyttjas för att t ex handgripligen ta bort vissa frekvenser i fourierplanet. Genom att placera ännu en lins så att den så

manipulerade fourierbilden hamnar i fokus på linsen får man på andra sidan i denna linsens fokalplan tillbaka det ursprungliga objektet men utan de

borttagna fourierfrekvenserna.

En intressant användning av detta är faskonstrastmikroskopet. När man tittar på vissa objekt i ett vanligt mikroskop påverkar objektet ljuset endast så att ljusets fas beror på var i objektet ljuset passerat. Matematiskt kan vi beskriva detta med att ljusets amplitud är

g x

( )

= Aeiϕ x( )

Eftersom våra ögon bara registrerar ljusets intensitet har vi

Ett koherent belyst objekt i fokalplanet avbildas i det symmetriskt belägna fokalplanet på andra sidan linsen som fouriertransformen av objektet.

I x

( )

= g x

( )

2 = Aeiϕ x( ) 2 = A2 = konstant

som uppenbart inte varierar med x, och vi kommer inte att se några kontraster i objektet.

Anta nu (i en förenklad diskussion) att fasfunktionen ϕ

( )

x är liten. Vi Taylorutvecklar:

g x

( )

= Aeiϕ x( ) ≈ A 1+ iϕ x

(

( )

)

Fouriertransformera

G

( )

ω = A 2

(

πδ ω

( )

+ iΦ

( )

ω

)

Tag bort frekvensen ω = 0 och vi får

′

G

( )

ω = iAΦ x

( )

Transformera tillbaka

′

g x

( )

= iAϕ

( )

x Den intensitet vi ser blir

′

I x

( )

= ′g x

( )

2 = iAϕ x

( )

2= A2ϕ x

( )

2

som nu varierar med x, dvs vi kan se objektet!

Praktiskt belyser man objektet med parallellt ljus från en punktformig lampa (koherent ljus). Objektet placeras i fokus på en lins. I centrum på det

symmetriskt belägna fokus sitter en liten svart skiva, som tar bort centrala fourierfrekvenser. Ytterligare en lins gör en invers fouriertransform.

objekt

Vi ser också att varje cirkulär bländare, t ex linsen själv, agerar som ett högfrekvensfilter vilket innebär att varje sådant optiskt system kommer att begränsa den optiska upplösningsförmågan.

En tillämpning av detta är enkelspalten då vi låter bara släpper igenom ljus till linsen i x-intervallet -a/2 till a/2 dvs g x

( )

= 1 i detta intervall. I fourierplanet har vi då G

( )

ω = eiω xdx − a/ 2 a/2

∫

= 2sin aω 2 ω

Ljusintensiteten som vi ser är absolutkvadraten på detta, det s k energispektret. G

( )

ω = 2 sin2 aω 2 ω2 med ω = 2πy fλ

Detta uttryck har ett centralt maximum då ω = 0 och nollställen då

aω / 2 = nπ, n = ±1, ±2,±3.... Sätter vi y / f ≈ sinθ motsvarar detta a sinθ = nλ ett förmodligen känt resultat från gymnasiet.

Se bild av spektret nedan. En avlägsen stjärna som observeras genom ett teleskop ger ett parallellt ljusknippe som passerar in genom teleskopets

objektiv. Objektivet kommer då att fungera som en spalt och stjärnan avbildas alltså inte som en punkt i teleskopets fokus utan som väsentligen en liten ljusplätt. Detta innebär att teleskopet inte kan upplösa två stjärnor som har ett alltför litet vinkelavstånd. Vinkelupplösningen Δθ ges approximativt av

Δθ =λ/ D. Om vi sätter ljusets våglängd till 0.5 µm fås upplösningen i

bågminuter (1/60 av en grad) som ungefär 2/objektivets diameter i cm. Vi kan även hantera Youngs dubbelspalt som består av två smala spalter med bredden b på avståndet a från varandra, b << a. Vi får då

G

( )

ω = eiω x dx − a+ b( )/2 − a− b( )/2

∫

+ eiω x dx a−b ( )/ 2 a+b ( )/ 2

∫

=

(

eiωx + e−iω x

)

dx a− b ( )/2 a+ b ( )/2

∫

= 2 cosωx dx a− b ( )/ 2 a+ b ( )/ 2

∫

= 2 sin a+ b 2 ω ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ − sin⎛⎝⎜a− b₂ ω⎞⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ω = 4 cosaω 2 sin bω 2 ω Energispektret ges i detta fall av

G

( )

ω = 16 cos2aω 2 sin 2bω 2 ω2

Eftersom b << a ger den sista faktorn i täljaren en långsamt modulerad amplitud. Den första faktorn oscillerar snabbare. Om vi som tidigare sätter

sinθ ≈ y / f ger den första faktorn maxima för πa sinθ

λ = nπ dvs a sinθ = nλ medan vi får nollställen för πa sinθ

λ = nπ+ π 2 eller a sinθ = n + 1 2

(

)

λ . Enkelspalt Dubbelspalt

Jämför utseendet på spektra för enkel- och dubbelspalten. Dubbelspaltens spektrum är inte summan av två enkelspaltspektra. Enkelspaltens

centralmaximum är bredare än de andra maxima. Förutom centralmaxima har dubbelspalten maxima där enkelspalten har minima.

13. Konvolution

Anta att vi tar en bild med en dåligt fokuserad kamera. Bilden blir suddig. Kan man rekonstruera en skarp bild?

För att studera detta undersöker vi vad som händer i kameran. Om fokuseringen är dålig kommer en punkljuskälla inte att avbildas som en punkt på filmen utan som en ljusfläck med en viss radie. Vi antar att vi beskriver intensiteten i denna ljusfläck med en funktion g t

( )

där t = 0 i ljusfläckens centrum. Typiskt kan funktionen se ut som i figuren.

t g(t)

Om vi nu betraktar en viss punkt t på filmen och tänker sig att fokuseringen vore perfekt skulle denna punkt belysas med en intensitet f t

( )

som är

proportionell mot det fotograferade objektets ljusstyrka i motsvarande punkt. Eftersom nu fokuseringen är dålig kommer vi bara att få en intensitet som är

f t

( )

g 0

( )

. Dessutom kommer även närliggande punkter att bidra till belysningen av filmen i punkten t. En bildpunkt med koordinaten t −τ kommer att bidra med f t

(

−τ

)

g

( )

τ .

t

f(t)g(0)

t – τ

f(t – τ)g(τ)

Den totala belysningen av filmpunkt t blir då h t

( )

= f t −

(

τ

)

g

( )

τ dτ

−∞ ∞

∫

dvs h t

( )

kommer att beskriva belysningen på filmen med den ofokuserade kameran.

En integral med denna struktur kallas konvolutionsprodukten eller konvolutionen

av funktionerna f och g.

Man skriver en konvolution ibland symboliskt f * g

(

)

( )

t = f t −

(

τ

)

g

( )

τ dτ

−∞ ∞

∫

H

( )

ω = h t

( )

e−iω tdt = −∞ ∞

∫

f t

(

−τ

)

g

( )

τ e− iω tdtdτ −∞ ∞

∫

= −∞ ∞

∫

f t

(

−τ

)

g

( )

τ e− iωteiωτe−iωτdtdτ −∞ ∞

∫

= −∞ ∞

∫

f t

(

−τ

)

e−iω t −τ( )g

( )

τ e− iωτdtdτ −∞ ∞

∫

t '= t −τ= −∞ ∞

∫

f t '

( )

e−iω t 'dt ' g

( )

τ e− iωτdτ −∞ ∞

∫

= F

( )

ω −∞ ∞

∫

G

( )

ω

Vi har kommit fram till ett mycket intressant resultat:

En konvolution i t-domänen motsvaras i frekvensdomänen av en enkel multiplikation.

Vi har allstå en principiell metod som besvarar vår ursprungliga fråga. 1) Bestäm hur en punkljuskälla avbildas av den dåligt fokuserade kameran dvs bestäm funktionen g.

2) Givet den dåligt fokuserade bilden dvs funktionen h. 3) Bilda fouriertransformerna H och G ur respektive h och g. 4) Bilda funktionen F

( )

ω = H

( )

ω / G

( )

ω .

5) Gör en invers fouriertransform som ger funktionen f dvs rekonstruerade fokuserade och skarpa bilden.

I praktiken har metoden en del hakar. För höga frekvenser antar i allmänhet funktionerna H och G små värden och deras kvot blir av typen 0/0 eller i praktiken ett ganska otillförlitligt värde. Detta medför att man måste frekvensbeskära vilket i sin tur medför att bildens små detaljer försvinner. Trots detta är metoden i vissa fall användbar.

14. Differentialkekvationer

Vi antar att vi studerar en (linjär) differentalekvation för någon funktion i t-domänen. Exempel på en sådan som ofta har denna form är t ex Newtons rörelseekvation. Eftersom vi kan utveckla snart sagt varje funktion i t-domänen som en fourierintegral kan man då söka lösningar till

differentialekvationen för fourierkomponenter med en bestämda frekvenser och sedan få den fullständiga lösningen genom att integrera upp

fourierkomponenterna. Som vi skall se är detta en mycket kraftfull teknik. Vi studerar därför ett enkelt exempel: Rörelse av en partikel under inverkan av dels en fjäderkraft, dels en viskös friktion dvs en motståndskraft som beror på partikelns fart. Vi antar att partikeln har massan m, att fjädernkonstanten är k och att proportionalitetskonstanten i friktionen är λ. Systemet kallas en

dämpad harmonisk oscillator. Vi har då rörelseekvationen md 2 x dt2 = −kx −λ dx dt Vi utvecklar nu x i en fourierintegral x t

( )

= 1 2π X

( )

ω e iωt dt −∞ ∞

∫

Vi stoppar nu in fourierkomponenterna i rörelseekvationen och utnyttjar att d dt e iωt _{= i} ωeiω t och får −ω2 mX

( )

ω eiω t = −kX

( )

ω eiωt − iωλX

( )

ω eiω t eller X

( )

ω ω2− k m − iω λ m ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ = 0 Vi definierar ω0 2 ₌ k m, β= λ 2m vilket ger X

( )

ω

(

ω2−ω₀2 − 2iωβ

)

= 0 Om X

( )

ω ≠ 0 får vi en andragradsekvation för ω ω2 _{− 2i} ωβ−ω0 2 _{= 0} med lösningarna ω = iβ ± ω0 2 _−β2

Fall a) Ingen dämpning β = 0 .

Vi får tydligen lösningar av typen e±iω0t dvs en odämpad harmonisk

svängning med cirkelfrekvensen ω0.

Fall b) Svagt dämpad svängning β << ω0.

Lösningarna blir av typen ei i(β ± !ω)t = e−βte± !ωt

Detta är en dämpad harmonisk svängning med cirkelfrekvensen !ω = ω0

2 _−β2

.

Fall c) Överdämpad svängning β >ω0

Lösningarna blir av typen _ei i(β ±i !β)t = e−βte± !βt. Detta är en exponentiellt dämpad rörelse utan oscillation med !β = β2 _−ω

0 2 _{<β .}

Svängningarnas amplitud bestäms inte av våra relationer utan måste bestämmas ur problemets randvillkor.

Vi studerar nu ett intressantare fall, en dämpad harmonisk oscillator som drivs med en yttre, harmoniskt varierande kraft. Rörelseekvationen blir nu

md 2 x dt2 = −kx −λ dx dt + Fe iωt

Vi har valt att representera den yttre drivande harmoniska kraften med hjälp av en komplex exponentialfunktion.

Det är rimligt att anta, vilket också kan visas, att lösningen till denna

ekvation, om vi väntar tills systemet har stabiliserat sig, kommer att svänga med den drivande kraftens frekvens ω. Man säger att vi försummar

insvängningsförloppet. Vi ansätter därför lösningar av typen X

( )

ω eiωt:

−ω2

X

( )

ω eiω t = −ω0 2

eller

X

( )

ω = F / m

ω2_−ω 0

2 _{− 2iωβ}

Vi ser att vi här inte får något villkor på frekvensen, alla frekvenser är möjliga. Däremot får vi ett villkor på amplituden på de olika frekvenskomponenterna. Denna amplitud är en komplex funktion och vi kan skriva

X

( )

ω = X

( )

ω ei arg X( )ω

med den reella amplituden X

( )

ω , svängningarnas fysikaliska amplitud och

arg X

( )

ω som kommer att vara svängningarnas fasförskjutning relativt den

drivande kraften. Nu är vi inte här intresserad av fasförskjutningen. Vi har X

( )

ω = F / m ω2 −ω 0 2

(

)

2 + 4ω2β2

Utan att räkna ser vi att denna amplitud kommer att vara stor i närheten av frekvensen ω = ω0. Om vi antar att vi har svag dämpning är det lätt att visa

att amplituden har ett maximum (nämnaren har ett minimum) då ω = ± ω0

2

−β2 _{≈ ±ω}

0. Man säger att vi har en resonans i systemet.

Resonansfrekvensen ω0 2

−β2

ligger nära, men något under systemets egensvängningsfrekvens ω0. Amplitudens storlek vid maximum är

approximativt

Xmax ≈

F / m

2ω0β

Vi ser att toppen blir högre ju mindre dämpningen är.

Resonans är ett fenomen som vi upplever ofta i vardagen på gott och ont. När man sjunger i ett badrum kommer speciellt låga frekvenser att förstärkas vilket kan upplevas som trevligt. Tonerna i olika musikinstrument alstras av akustiska resonanser. När man vill öka farten i en gunga ger man gungan mekaniska impulser som går i takt med gungans resonansfrekvens. I en bil kan man vid vissa hastigheter få besvärande resonanser från däck eller från

olika lösa delar i karossen liksom vibrationer i ratten. En mycket vanlig tillämpning av resonansteknik är i elektriska kretsar. I en radio eller TV använder man elektroniska kretsar för att selektivt fånga upp och förstärka olika frekvenser.

Vi studerar ett enkelt sådant exempel. Anta att vi har en spänningskälla med variabel spänning inkopplad i serie med en resistor, en spole och en

kondensator enligt figuren.

R _L

C u

j

Resistorn har resistansen R, spolen har induktansen L och kondensatorn kapacitansen C. Strömmen i kretsen (som beror av tiden) betecknar vi med j för att inte blanda ihop den med den imaginära enheten i.

Vi använder nu att spänningsfallet uR över en resistor genom vilken går

strömmen j är uR = Rj .

Spänningfallet över en spole ges av uL = L

dj dt . Spänningsfallet över en kondensator ges av uC =

q

C där q är kondensatorns eleeektriska laddning.

Om vi går runt ett varv i kretsen får vi

u− u_R − u_L − u_C = 0 eller u− Rj − Ldj dt − q C = 0

Vi har en relation mellan ström och laddning j=dq dt Vi notera att vi kan skriva denna ekvation

Ld 2 q dt2 = − q C − R dq dt + u

Vi kan jämföra denna ekvation med den vi hade ovan för den drivna harmoniska oscillatorn md 2 x dt2 = −kx −λ dx dt + F t

( )

Vi ser att strukturen är densamma och att vi har analogierna

läge ↔ laddning

hastighet ↔ ström

massa (rörelsetröghet) ↔ induktans (strömtröghet) fjäderkonstant ↔ invers kapacitans (1/C)

friktion ↔ resistans

Detta är ibland mycket användbart. Vi kan tydligen beskriva en elektrisk krets med en mekanisk analog och tvärtom. Detta används inom akustiken och speciellt när man studerar t ex högtalarteori. I vårt speciella fall innebär analogin att vi direkt kan skriva ner lösningen till den elektriska kretsens differentialekvation. Detta innebär att kretsen har elektrisk resonans för vissa frekvenser. Vi skall dock här gå en annan väg som ger oss några nya

infallsvinklar.

Vi deriverar vår differentialekvation och får

du dt − R dj dt − L d2j dt2 − j C = 0

Vi ansätter frekvenslösningar U

( )

ω eiωt, J

( )

ω eiω t och får efter någon räkning

U = R + iωL − i

ωC ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ J = ZJ

Detta är ju väldigt likt Ohms lag men med en komplex "resistans" Z som kallas kretsens impedans. Vi ser också att vi kan tolka detta som att en spole har en rent imaginär "resistans", iωL, där ωLkallas spolens (induktiva)

reaktans som är proportionell mot frekvensen. Kondensatorn har också en rent

imaginär "resistans", − i

ωC , där

1

ωC kallas kondensatorns (kapacitiva) reaktans, omvänt proportionell mot frekvensen. Om J är reell kommer U i allmänhet att bli komplex vilket innebär att spänning och ström är

fasförskjutna relativt varandra.

Vi ser också att vi nu kan hantera spolen och kondensatorn precis som resistorer men med en annorlunda resistans. Detta innebär ett oerhört kraftfullt verktyg när vi hanterar mer invecklade kretsar med parallell- och seriekopplingar av olika elektriska komponenter.

Som exempel skall vi räkna på delningsfilter till ett högtalarsystem. Om man har en audioförstärkare vill man ofta dela upp utsignalen i t ex höga och låga frekvenser (diskant och bas) som man skickar till var sin högtalare som har konstruerats just som diskant eller bashögtalare. I mer avancerade system kan man också ha högtalare speciellt för frekvenser i mellanregistret.

EXEMPEL: a) Diskantfilter R L C u j j j 1 2

Vi hanterar högtalaren som en ren resistans. Vi går ett varv i kretsen från spänningskällan genom kondensatorn och högtalaren:

U− −i

ωC ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ J − RJ1= 0

Vidare måste spänningarna över spole och högtalare vara desamma:

iωLJ2 = RJ1

Slutligen har vi ett kontinuitetsvillkor för strömmen:

J = J1+ J2

Vi är intresserade av strömmen genom högtalaren. Kombinerar vi ekvationerna får vi U− −i ωC ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟

(

J1 + J2

)

− iωLJ2 = U− −i ωC ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 1 +iωRL ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ J1− RJ1 = U− R 1 − 1 ω2_LC ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟− i ωC ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ J1 = 0 Detta ger J1= U R 1− 1 ω2 LC ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟− iωC Beloppet av denna ström blir

J1 2 = U 2 R2 1− 1 ω2 LC ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2 + 1 ωC ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2

och effektutvecklingen i högtalaren blir P

( )

ω = R J1 2 = U2R R2 1− 1 ω2 LC ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2 + 1 ωC ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2 Om ω → ∞ har vi P →U2

/ R dvs hela effekten går ut i högtalaren medan om ω→ 0 medför P→ 0 dvs kretsen uppför sig verkligen som ett diskantfilter (högpassfilter). b) Basfilter R L C u j j j 1 2

U− iω LJ − RJ1= 0 , −i J2 ωC = RJ1 vilket ger J1= U R 1−ω2 LC

(

)

+ iωL och P

( )

ω = U 2 R R2

(

₁−ω2_LC

)

2+

( )

ωL 2

Nu blir P 0

( )

= U2 / R dvs hela effekten går ut i högtalaren och P

( )

∞ = 0. Kretsen uppför sig som ett basfilter (lågpassfilter).

Man inser lätt att de två effekterna blir lika om ωL= 1 /

( )

ωC då frekvensen

ω =ω0 =1 / LC , den s k delningsfrekvensen.

Anta i ett konkret exempel att vi vill ha en delningsfrekvens på 500 Hz dvs ω0 = 2π·500 ≈ 3142 Hz. Anta att högtalarens resistans är 8 Ω. Vi kan då välja

C = 28 µF och L = 3,6 mH. Detta val gör också (vilket är besvärligare att

beräkna, se nedan) att bas- och diskantkretsarna, samtidigt inkopplade, belastar förstärkaren med samma impedans som endast en högtalare.

[Parentes: Beräkning av den totala impedansen av en parallelkoppling av ett bas och ett diskantfilter. Båda kretsarna har samma struktur:

Vi söker ersättningsimpedansen för kretsen och använder vanliga regler för parallell- och seriekoppling.

Ersättningsimpedansen för de två parallellkopplade komponenterna är

RZ1

R+ Z1

Ersättningimpedansen för denna impedans seriekopplad med den återstående komponenten blir

Z2+

RZ1

R+ Z₁ =

R Z

(

₁+ Z₂

)

+ Z₁Z₂ R+ Z₁

I motsvarande andra filterkrets har vi bytt position på de två Z-komponenterna och dess impedans blir alltså

R Z

(

₁ + Z₂

)

+ Z₁Z₂ R+ Z₂

Parallellkopplar vi dessa två filter får vi en totalimpedans Z med

1 Z = R+ Z1 R Z

(

1+ Z2

)

+ Z1Z2 + R+ Z2 R Z

(

1+ Z2

)

+ Z1Z2 = 2R+ Z1+ Z2 R Z

(

1+ Z2

)

+ Z1Z2

eller Z= R Z

(

1+ Z2

)

+ Z1Z2 2R+ Z1 + Z2 = R Z1Z2 R + Z1+ Z2 2R+ Z1+ Z2 Nu är Z1 = iωL, Z2 = − i ωC ⇒ Z1Z2 R = L

CR (reellt). Väljer vi nu L och C så att L

CR = 2R får vi Z= R

Z1+ Z2

(

)

+ 2R

2R+ Z1+ Z2

= R som är lika med högtalarimpedansen och blir oberoende av frekvensen. Tillsammans med villkoret LC = 1

ω0 2 får vi L= 2R ω0 C= 1 2Rω0 Slut på parentes.]

Av våra exempel här och tidigare i samband med vågekvationen ser vi att metoden att ansätta harmoniska lösningar (fourierkomponenter) omvandlar differentialekvationen till en algebraisk ekvation som ger villkor på

frekvenser och amplituder. Vi har också sett att frekvenser kan bli komplexa vilket beroende på imaginärdelens tecken innebär att lösningen är

exponentiellt dämpad/växande.

Anmärkning: Den elektriska impedansen definieras som kvoten mellan

spänning och ström. Vi såg att vi hade en mekanisk analog till spänning (kraft) och till ström (hastighet). Man definerar ibland i mekaniska problem den mekaniska impedansen som kvoten mellan kraft och hastighet. I akustiska sammanhang använder man på motsvarande sätt akustisk impedans.

Anmärkning. Genom att göra andra kombinationer av filter kan man skapa

kretsar som väsentligen bara släpper igenom ett frekvensband (bandpassfilter) eller väsentligen spärrar ett visst frekvensband

(bandspärrfilter). I moderna filter undviker man att använda spolar som blir ganska skrymmande utan utnyttjar operationsförstärkare, resistorer och kondensatorer i s k aktiva filter.

Ett vanligt trick när man hanterar differentialekvationer av högre ordning är att man skriver om dessa som ett system av första ordningens

differentialekvationer. Om vi går tillbaka till vårt exempel hade vi en andra ordningens differentialekvation Ld 2 q dt2 = − q C − R dq dt + u eller d2q dt2 = − q LC− R L dq dt + u L Om vi inför variabeln i=dq dt kan vi skriva

dq dt = i di dt = − q LC− R Li+ u L ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪

dvs vi har nu ett system av två kopplade första ordningens

differentialekvationer i två variabler q och i. Denna metod använder man t ex i MatLab när man löser högre ordningens differentialekvationer numeriskt. Generellt kan man på detta sätt skriva om en differentialekvation av ordning

n till ett system av n stycken första ordningen differentialekvationer.

EXEMPEL: Vi studerar nu ett exempel där vi mer i detalj visar hur man kan extrahera information om ett systems uppförande där systemets

differentialekvationer är skrivna på denna form. Du kommer även att lösa dessa differentialekvationer numeriskt på en datalaboration.

Vito Volterra, en berömd italiensk matematiker, blev 1926 inspirerad att göra en modell för konkurrerande djurarter genom diskussioner med sin vän Umberto d'Ancona, som hade gjort statistiska undersökningar av fiskfångster i Adriatiska havet. Undersökningarna visade att antalet av två arter av fisk som fångades, varierade periodiskt med samma period men med en viss fasförskjutning i tid. En av fiskarterna bestod av mindre fiskar (som vi nedan betecknar med index 1) medan den andra bestod av något större fiskar (som får index 2). De större fiskarna äter de mindre fiskarna som i sin tur är växtätare.

Liknande periodiska variationer har man uppmätt i antalet lodjur och harar, se figuren nedan

Vi studerar nu Volterras modell. Fiskart 1 har riklig tillgång till föda och vi kan anta att i frånvaro av fiskart 2 skulle antalet fiskar (i alla fall till att börja med) tillväxa exponentiellt. Växelverkan med fiskart 2 decimerar antalet fiskar i art 1. Växelverkan är rimligtvis proportionell mot produkten av antalet individer av vardera arten. Vi har då för art 1:

dn₁

dt = an1− bn1n2 med

vissa konstanter a och b.

För art 2 kan vi anta att i frånvaro av art 2 skulle den dö ut exponentiellt. Dess ökning beror på växelverkan med art 1 och vi kan beskriva ändringen av antalet individer med

dn₂

dt = −cn2 + dn1n2

Vi har här två kopplade första ordningens differentialekvationer som dessutom är icke-linjära vilket innebär att vi inte kan lösa dem analytiskt (men väl numeriskt på t ex MatLab). Hur hanterar vi ett sådant problem? Det finns en ganska generell metod:

1) Vi bestämmer systemets fixpunkter eller jämviktspunkter. Detta är värden på variablerna n1 och n2 sådana att tidsderivatorna är noll. Detta ger

ekvationssystemet

an1− bn1n2 = n1

(

a− bn2

)

= 0

−cn2 + dn1n2 = n2

(

−c + dn1

)

= 0

som har två lösningar n1 * ,n2 *

(

)

= 0,0

( )

och n1 * ,n2 *

(

)

= c d, a b ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟

2) Vi undersöker nu systemet i en omgivning av respektive fixpunkt. Vi börjar med den första och sätter n1 =ε1,n2 =ε2 där ε1 och ε2 är "små", så små att

produkterna av två epsilon kan försummas jämfört med epsilon själv. Man kallar detta för att linearisera systemet kring fixpunkten. Detta medför ekvationerna dε₁ dt = aε1 dε₂ dt = −cε2

Vi kan direkt se att den första lösningen växer exponentiellt medan den andra avtar exponentiellt. Fixpunkten (0,0) är en instabil fixpunkt. För att kunna hantera mer generella situationer ansätter vi lösningen

ε= ε1 ε₂ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = e λt C1 C₂ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Sätter vi in detta får vi λε₁ = aε₁+ 0·ε₂ λε2 = 0·ε1− cε2 ⎧ ⎨ ⎩ eller a−λ

(

)

ε1+ 0·ε2 = 0 0·ε₁+ −c −

(

λ

)

ε₂ = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ eller

(

A−λ·1

)

ε = 0 med systemmatrisen A= a 0 0 −c ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ och enhetsmatrisen 1= 1 0 0 1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟.

Vi har förvandlat differentialekvationerna till ett homogent ekvationssystem. Ett sådant har en icke-trivial lösning då och endast då determinanten för systemet är noll dvs

A−λ·1 = a−λ 0

0 −c −λ = a −

(

λ

)

(

−c −λ

)

= 0

Detta ger oss de två egenvärdena λ1 = a,λ2 = −c och den allmänna lösningen är

då en överlagring av de två lösningarna eλ1t

och eλ2t _{där den ena lösningen}