1
Läromedelanalys i ämnet matematik
−
Med fokus på hur olika läromedel presenterar begreppet subtraktionTeaching material analysis i
n the subject
Mathematics
− Focusing on how different teaching materials present the concept of subtraction
Hoodo Warsame & Lanja Jabbar
Akademin för utbildning, kultur Handledare: Ove Eriksson och kommunikation
Examinator: Pernilla Sundqvist Examensarbete i lärarutbildningen
Avancerad nivå
2
Akademin för utbildning EXAMENSARBETE kultur och kommunikation MAA026 15 hp VT20 År 2020 SAMMANDRAG
___________________________________________________________________________
Hoodo Warsame & Lanja Jabbar Läromedelanalys i ämnet Matematik
Med fokus på hur olika läromedel presenterar begreppet subtraktion 2020 Antal sidor: 46
___________________________________________________________________________
Syftet med studien är att få kunskap om hur läromedel i ämnet matematik presenterar begreppet subtraktion kopplat till representationsformer och variationsmönster. Den valda metoden för studien är kvalitativ undersökning och utgår ifrån en innehållsanalys av utvalda läromedel. Läromedelanalysen har genomförts genom att undersöka vilka representationsformer som förekommer i läromedlen samt hur läromedlen ger stöd för förståelse av subtraktion. Läromedlen som har undersökts är Matte direkt borgen 4b och Favorit matematik 4a. Resultaten visade att representationsformerna bild, språk, symbol och verklighet framträder i en stor omfattning i läromedlen dock förekommer inte mycket av representationsformen konkreta föremål. Slutsatsen är att eleverna får möjlighet att arbeta på ett varierande sätt utifrån läromedlen och därigenom möjlighet att lära på olika sätt.
3
___________________________________________________________________________
Nyckelord: Läromedel, variationsmönster, representationsformer, subtraktion.
4
School of Education, Culture MAA026 15 hp and Communication VT20 202 ABSTRACT
___________________________________________________________________________ Hoodo Warsame & Lanja Jabbar
Teaching material analysis in the subject Mathematics
Focusing on how different teaching materials present the concept of subtraction
2020 Number of pages: 46
___________________________________________________________________________
The purpose of the study is to gain knowledge about how teaching materials in the subject mathematics present the concept of subtraction linked to forms of
representation and patterns of variation. The chosen method for the study is a qualitative study method and is based on a content analysis of selected teaching materials. The teaching material analysis has been carried out by examining which forms of representation appear in the teaching aids and how the teaching aids provide support for understanding subtraction. The teaching materials that have been
investigated are Math directly bail 4b and Favorite mathematics 4a. The results showed that the representation forms image, language, symbol and reality, appear to a large extent in the teaching materials, however, not much of the representation form is concrete objects. The conclusion is that the students get the opportunity to work in a
5
varied way based on the teaching materials and thereby the opportunity to learn in different ways.
___________________________________________________________________________
Keywords: Teaching materials, patterns of variation, forms of representation, subtraction.
6
Innehållsförteckning
1 Inledning... ...8 2 Syfte... ..9 2.1 Frågeställningar...9 3 Litteraturgenomgång...93.1 Läroboken som pedagogiskt hjälpmedel...9
3.2 Subtraktion...10 3.3 Representationsformer...10 3.3.1 Språk...11 3.3.2 Bild...11 3.3.3 Symbol...12 3.3.4 Konkreta föremål...13 3.3.5 Verklighet...13 4 Teoretisk perspektiv...13 4.1 Variationsteorin...14 4.2 Lärandeobjekt...14
4.3 Kritiska drag och Kritiska aspekter...14
4.4 Att använda variationsmönster...15
4.4.1 Kontrastering...15
4.4.2 Generalisering...16
5 Metod ...16
5.1 Val av metod...16
5.2 Urval...17
5.2.1 Favorit matematik 4A...18
5.2.2 Matte direkt borgen 4B...18
5.3 Genomförande...19
5.4 Tillförlitlighet, trovärdighet och överförbarhet ...20
5.5 Etiska överväganden...21
7
6.1 Matte direkt borgen 4b...22
6.1.1 Introduktion av subtraktion...22
6.1.1.1 Subtraktion...23
6.1.1.2 En uppgift- flera uträkningar...24
6.1.2 Representationsformer ...25
6.2 Favorit matematik 4a...28
6.2.1 De fyra räknesätten och prioriteringsregler...28
6.2.1.1 Summa och differens...29
6.2.1.2 Vi repeterar subtraktion med uppställning...29
6.2.1.3 Vad har jag lärt mig och Sallys hinderbana...30
6.2.2 Representationsformer...31
6.3 Analys... .34
6.3.1 Matte direkt borgen 4b ...35
6.3.2 Favorit matematik 4a...36
6.4 Jämförelse mellan läromedlen...37
7 Diskussion...38
7.1 Resultatdiskussion...38
7.1.1 Matte direkt borgen 4b...38
7.1.2 Favorit matematik 4a...39
7.2 Slutdiskussion...40
7.3 Metoddiskussion ...41
7.4 Framtida forskningsfrågor ...42
Referenslista ...43
Bilaga 1, Intervjufrågor till läromedlen...46
8 1 Inledning
Dysthe (2011) nämner att språk och kommunikation är viktiga delar i att skapa
förståelse för ett lärandeobjekt. Till detta skriver Häggblom (2013) att det är viktigt att ha förståelse för begrepp för att ta sig an det matematiska språket samt de uppgifter som finns i matematikboken eller i andra sammanhang där matematiken framkommer. Därmed är det betydelsefullt att läraren har förkunskaper om eleverna och vart de ligger kunskapsmässigt för att på så sätt utveckla och bygga på mer kunskaper av exempelvis begrepp.
I vår övningsskola har vi uppmärksammat att elever i årskurs 4 har svårt att räkna med subtraktion. Det har även visat sig att vissa elever saknar kunskap om hur man kan tillämpa metoder och strategier vid subtraktionsuppgifter. Vi anser att det är viktigt att elever har metoder och strategier när de löser subtraktion för att minimera svårigheten i matematik.
Läroplanen skriver att “Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat” (Skolverket, 2019, s.55). Vidare påpekas vikten av att eleverna får förutsättningar för att kunna tolka och analysera vardagliga och matematiska situationer och förklara dessa med hjälp av matematikens
uttrycksformer.
Läroplanen skriver i det centrala innehållet för årskurs 4–6 att eleverna ska få kunskap om “Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal vid överslagsräkning, huvudräkning, beräkningar med skriftliga metoder och metodernas användning i olika situationer” (Skolverket, 2019, s.56). Forskare betonar vikten av att elever har en medvetenhet och kunskap kring olika strategier för att ta sig an och lösa problem (Anghileri, 2006; Anghileri, Meindert & Potten 2002). Det kan vara svårt för elever att komma fram till svar i olika uppgifter om de inte har kännedom kring olika strategier. Vidare menar Anghileri m.fl. (2002) att elevers påhittade strategier eller huvudräkning bör främjas.
9
Det är även viktigt att vara medveten om vilka läromedel som är lämpliga att använda för att eleverna ska uppnå målen i kursplanen. Det kan vara svårt att veta vilket
läromedel som är lämpligast att använda sig av i sin undervisning i ämnet matematik. Det är därför viktigt att som lärare vara uppmärksam på hur olika läromedel är
uppbyggda samt ifall läromedlet uppfyller kursplanens mål. Vi har därför valt att genomföra en läromedelanalys och undersöka hur olika läromedel presenterar
begreppet subtraktion i relation till representationsformer och hur läromedlet stödjer elevernas förståelse för begreppet.
2 Syfte
Syftet med studien är att undersöka hur läromedel i ämnet matematik presenterar begreppet subtraktion.
2.1 Frågeställningar
• Vilka representationsformer presenteras i läromedlen för årskurs 4 i matematik? • Hur ger läromedlen stöd för förståelse av subtraktion?
3 Litteraturgenomgång
I detta kapitel kommer centrala begrepp som används i studien att presenteras. De begrepp som kommer presenteras är pedagogiskt hjälpmedel, subtraktion och representationsformer.
3.1 Läroboken som pedagogiskt hjälpmedel
Tryckta läromedel används och har en stark ställning i dagens skolor men också i undervisningen (Skolverket, 2019). Läraren kan ta stöd i läromedlet för att planera till exempel sina lektioner, skriva egna uppgifter och läxor. Skolinspektionen (2010) skriver att lärare har en stark tilltro till att innehållet i tryckta läromedel är konstruerat med koppling till läroplanen. Vidare menar Skolinspektionen (2010) att elever oftast arbetar med uppgifter i läromedlet som redan är lösta utifrån ett räkneexempel och att de inte får möjlighet till att bredda sina kunskaper. Därmed är det därför viktigt att
undervisningen präglas av en variation där eleverna får möjlighet att utöka sina
10
nämner att det finns en önskan kring ett nytänkande när det gäller läroböcker. Författaren menar att forskningsområdet alltså läroböcker är underutvecklade och otillräckliga.
3.2 Subtraktion
Björklund och Grevholm (2014) skriver att vid introducering av de fyra räknesätten, presenteras först addition vilket innebär att ”öka” eller ”tillägga”. I detta fall möts subtraktion som kontrast till addition, vilket handlar om att ”förminska” eller
“differensen”. Det är väsentligt att eleverna ser sambandet mellan dessa två räknesätt och kunna hitta förbindelse mellan subtraktion och addition (Björklund & Grevholm, 2014). Detta innebär att metoder och strategier som används vid räkning av addition går även att använda vid subtraktion med vissa ändringar. Det som kan särskilja addition och subtraktion är den kommutativa lagen, vilket inte gäller vid subtraktionsuträkning. För vissa elever kan detta medföra kritiska aspekter.
Den kommutativa lagen inom addition handlar om att placeringen av två termer har ingen betydelse, att 20+35 = 35+20. Denna lag gäller däremot inte räkning vid
subtraktion, eftersom det kan leda till fel uträckning, där 20–35 är inte samma som 35– 20. Marton (2015) skriver om de tre principerna som bör separeras för att genomföra uträkning inom talområden i aritmetik. Den första principen utgår från att ha förståelse för talens ställning och ordning. Den andra principen innebär talets antalsbenämning, alltså uppfattning kring benämning av antalet. Den tredje och sista principen innefattar att ha förståelse för talets enhet och differentiering. Talets enhet innebär att talet är en abstrakt enhet som företräder till exempel ett antal eller mått.
3.3 Representationsformer
Det förekommer fem olika representationsformer som författarna Bergsten, Häggström och Lindberg (2001) presenterar och dessa är språk, bild, symboler, konkreta föremål och verklighet. Dessa representationsformer kan skapa bättre möjlighet till förståelse för lärandeobjektet. Däremot vilken av dessa representationsformer som är användbara beror helt enkelt på det lärandeobjekt som undervisas. Lester (2007) skriver att man bör tillämpa flera representationsformer i sin undervisning för att lärandet ska ses som
11
levande och begriplig. Författaren menar att läraren bör vara tydlig med
representationsformerna när hen ska undervisa. Duval (2006) nämner att pedagoger ska ha kännedom kring hur representationsformer samverkar samt hur man använder för att elever ska skapa en förståelse för matematik. Läroplanen skriver att alla elevers behov ska vara tillgodosedda och att undervisningen ska präglas av en variation av representationsformer (Skolverket, 2019).
3.3.1 Språk
Bergsten m.fl. (2001) nämner att språk handlar om att kunna samtala, formulera, diskutera men även kunna skriva. Vidare nämner författaren att kunna formulera aritmetiken på olika sätt bidrar till att eleven kan ta sig an olika problemsituationer. Med det poängterar författarna att enbart teckna tal och operationer skriftligt inte är tillräckligt. Man måste även kunna kommunicera muntligt. Muntlig kommunikation kan ske på olika sätt med hjälp av denna operation 6–2=4, till exempel att differensen av sex och två är fyra eller två subtraherat från sex är fyra (Bergsten m.fl., 2001). Pimm (1981) nämner att elever bör få möjligheten till att samtala samt diskutera uppgifter för att det är betydelsefullt för deras inlärningsprocess.
Vygotsky (1986) menar att individer bör samspela med andra för att språket ska stärkas. Kilpatrick, Martin och Schifter (2003) nämner att eleverna bör få tillfällen att samtala och diskutera med varandra i matematik. Vygotsky (1986) talar om det vardagliga och vetenskapliga begreppet. Det vardagliga fokuserar på en individs tidigare förkunskaper och upplevelser medan det vetenskapliga lär sig eleverna ifrån undervisningen. Språk kan både vara informellt och formellt. Informellt språk är det som talas i vardagliga situationer till exempel till vänner, familj eller när man chattar medan formellt språk är skolspråk. Dessa utvecklas på olika sätt eftersom språket talas i olika sociala
sammanhang (Skolverket, 2011). 3.3.2 Bild
Bergsten m.fl. (2001) nämner att med hjälp av bilder i undervisningen kan eleverna koppla matematiken till verkligheten. Ett exempel på en uppgift kan se ut på detta sätt: Anna har 9 stycken äpplen, där 5 av äpplen är gula och resterande röda. Hur många
12
äpplen är röda? Till uppgiften förekommer det en bild som presenterar 5 gula äpplen och 4 röda äpplen.
De flesta elever uppfattar att det endast finns ett korrekt sätt att lösa uppgiften på som presenterades ovan om äpplet. Det är därför viktigt att ge eleverna möjligheten att kunna samtala och redovisa sina svar till klassen, detta för att vidga elevernas tankesätt kring uppgiften och att samma uppgift kan räknas på olika sätt. Vidare skriver Bergsten m.fl. (2001) att genom redovisning får eleverna en möjlighet till att förklara sina tankar och detta kan eleverna göra med hjälp av att rita eller måla sin lösning till
matematikuppgiften. På detta sätt skapas uppfattning kring att en uppgift kan lösas på olika sätt.
Det är fördelaktigt att använda representationsformen bild i undervisningen eftersom eleverna sedan tidigare har erfarenheter av ritning och målning för att uttrycka känslor, tankar och idéer. Detta leder till att eleverna får möjligheten att använda sina tidigare erfarenheter kring målning, vilket ökar elevernas förtroende till matematiska förmågor och det vidgar undervisningen till roande och meningsfull (Ahlberg och Wallby, 2000).
3.3.3 Symbol
Symboler kan definieras som något abstrakt till exempel siffror eller subtraktion- och additionstecken (Bergsten m.fl., 2001). Symboler kan vara användbara för att kunna utföra beräkningar. För att symboler ska kunna begripas bör eleven bli bekant med det konkreta innehållet när ett lärandeobjekt undervisas. Doverborg (2012) nämner att elever som löser textuppgifter ger enbart svar snarare än att använda sig av symbolerna. Genom att använda sig av konkreta föremål som klossar eller pengar har elever enklare att utföra beräkningar och svara på textuppgiften.
Ahlberg och Wallby (2000) nämner detta på grund av att eleverna inte ska gå miste om det abstrakta symbolernas innebörd. Vidare poängterar Doverborg att i tidigt skede lära barn laborera, experimentera och samspela med andra för att de ska lära sig symboler (Doverborg, 2012). Författaren menar att detta är avgörande för barns attityd till ämnet
13
matematik. Marton och Tsui (2004) nämner att elever bör skapa sig en förståelse för de matematiska principerna för att sedan kunna använda sig av symboler.
3.3.4 Konkreta föremål
Bergsten m.fl. (2001) skriver att representationsformen konkret föremål handlar om att använda fysiska föremål i undervisningen och för olika uppgifter. Fysiska föremål kan vara till stöd för lösning av olika uppgifter. Dessa föremål kan vara till exempel klossar som används i olika former som eleven kan röra vid och arbeta med.
Det fysiska föremålet kan användas som stöd för att skapa förståelse för undervisningen och uppgiften hos eleven. Dessa föremål och material kan även skapa koppling mellan undervisningen och vardagliga situationer. Detta kan i sin tur leda till förståelse hos eleven kring det konkreta och abstrakta (Engvall, 2013).
3.3.5 Verklighet
Ahlberg och Wallby (2000) skriver att verkligsanknytning är betydelsefullt för ämnet matematik. Kopplingen mellan matematiken och elevernas vardagssituationer vidgar elevernas förståelse och de kan på så sätt knyta an till olika begrepp. Matematiken används även utanför klassrummet genom att eleverna kopplar undervisningen till sin verklighet. Till exempel när eleven handlar i en affär, då behöver eleven använda sig av matematik för att räkna ut hur mycket pengar som går åt. För detta ska skolan ta ansvar genom att hitta en koppling mellan elevernas vardagssituationer och deras matematiska kunskaper.
4 Teoretiskt Perspektiv
I detta kapitel kommer variationsteorin att presenteras dels för att den fungerar som stöd till vår analys men också för att skapa en förståelse för lärandeobjektet subtraktion. Teorin handlar om hur människan lär sig och upplever saker på olika sätt samt hur innehållet kan presenteras för att läras ut. Detta för att kunna skapa förståelse för det kritiska aspekterna hos ett lärandeobjekt (Ling, 2014).
14 4.1 Variationsteorin
Variationsteorin handlar om att människor uppfattar saker på olika sätt.
Lärandeobjektet är en utgångspunkt i teorin. Det är lärarnas ansvar att tillämpa och använda de olika lärandeobjekten på ett medvetet sätt samt hur det ska undervisas i klassrummet (Ling, 2014). För att undervisningen ska vara betydelsefull och tillgodose alla elevers behov är det viktigt att lärarna har kunskaper om elevernas förförståelse, till exempel inom lärandeobjektet subtraktion.
På så sätt kan variationsteorin vara till en nytta. När en lärare har kunskap om sina elevers förkunskaper kan undervisningen planeras utifrån den nivå där eleverna ligger (Ling, 2014). En lärare ska kunna peka på de kritiska aspekterna för lärandeobjektet i syfte att eleverna ska utveckla sin förståelse till undervisningens innehåll (Ling, 2014). De kritiska aspekterna menar författaren är det elever behöver ha förståelse för inom ett lärandeobjekt.
4.2 Lärandeobjekt
Lärandeobjekt inom variationsteorin handlar om det eleverna ska ha kunskaper om till exempel de begrepp som behandlas i undervisningen. Ling (2014) skriver att om en lärare har ett tydligt syfte med undervisningen kan eleverna synliggöra i vilken riktning deras lärande går.
4.3 Kritiska drag och kritiska aspekter
Kritiska aspekter definieras som en dimension av variation medan kritiska drag är ett värde inom den dimensionen av variation (Ling, 2014). Författaren påpekar vidare att de kritiska aspekterna och de kritiska dragen är utgångspunkten för elever att ha förståelse för när de ska lära sig ett lärandeobjekt.
Om lärandeobjektet är äpplet, kan de kritiska aspekterna för att förstå bredden och avgränsningen av begreppet äpple vara storlek och färg. Äpplets kritiska drag i det här fallet blir att ett äpple kan vara grönt eller rött men inte blått. Lärarna bör vara
15
menar att om en elev exempelvis inte förstår begreppen storlek, vilket är en kritisk aspekt av ett äpple, blir det svårt att samtala om vad liten och stor betyder (Ling, 2014). När en lärare planerar ett lärandeobjekt som ska undervisas bör hen se över de kritiska aspekterna och de kritiska dragen.
Ibland har lärare svårt att identifiera elevers svårigheter eftersom de själva inte har svårt med att förstå lärandeobjektet. Lärare tar det kritiska draget för givet och låter bli att lyfta fram lärandeobjektet i helklass (Ling, 2014). Om läraren kan ta reda på hur
eleverna tänker kring ett lärandeobjekt i relation till hur hen själv tänker och vill uppnå med undervisningens innehåll, är det enklare att identifiera de kritiska dragen eleverna inte har förstått sig på. I den bemärkelsen kan läraren undervisa om det som eleverna inte har begripit ännu och försöka utveckla de delarna. Vidare menar författaren att de kritiska dragen kan skilja sig mellan eleverna kring ett lärandeobjekt. Det betyder att de kritiska dragen som påvisas hos en elev berör inte resterande elever därför skiljer sig de kritiska dragen mellan eleverna.
4.4 Att använda variationsmönster
Genom att eleverna får kunskap genom lämpliga variationsmönster skapar de en djupare förståelse och medvetenhet för lärandeobjektet (Ling, 2014). Författaren nämner vidare att det finns fyra variationsmönster (Ling, 2014). Dessa är separation, fusion, generalisering och kontrastering. Vi kommer att använda och presentera två av dessa vilka är kontrastering och generalisering.
4.4.1 Kontrastering
Kontrastering innebär att läraren kan skilja lärandeobjekt från andra fenomen för att synliggöra lärandeobjektet för eleverna (Ling, 2014). Detta handlar om att exempelvis visa lärandeobjektet i motsatsförhållande, till exempel att ett äpple inte är ett päron. Ett annat sätt att se på kontrastering är elevernas upplevelse av fenomenet. Att eleverna varierar sitt sätt att se på sina förkunskaper och den nya kunskapen som eleven tillägnar sig i lektionen (Ling, 2014). Med detta menas att kontrastering innebär att se skillnad mellan två olika sätt att uppfatta ett lärandeobjekt. För att veta vad ett objekt är ska man ta reda på vad objektet inte är. Till exempel för att visa vad subtraktion är bör man visa
16
det som inte motsvarar subtraktion vilket är addition, division och multiplikation. Det innebär även att kontrastera de kritiska dragen hos subtraktion. Detta på grund av att eleverna lär sig först addition och ett kritiskt drag i subtraktion kan vara talens ordning i en uppställning. Eleverna lär sig att den kommutativa lagen inte gäller för subtraktion. 4.4.2 Generalisering
Generalisering handlar om att lärandeobjektet generaliseras. Det innebär att om lärandeobjektet är ett äpple bör läraren visa att äpplen förekommer i olika former. Ett äpple kan vara stort eller litet och det kan förekomma i olika färger.
Genom att visa eleverna äpplets olika färger och storlekar samt visa i det
motsatsförhållandet alltså det som inte är ett äpple, öppnas en dimension av variation. Till exempel om eleverna ska få förståelse för vad subtraktion är bör de veta det som inte är subtraktion såsom multiplikation eller addition.
5 Metod
I detta avsnitt kommer vi att presentera val av metod. Vi kommer även presentera urval och hur vi genomförde vår datainsamlingsmetod. Avslutningsvis resonerar vi om
trovärdighet, tillförlitlighet, överförbarhet samt etiska överväganden.
5.1 Val av metod
Till denna studie har vi valt innehållsanalys som metod. Denscombe (2016) skriver att innehållsanalys innebär att analysera och granska läromedlen grundligt genom att tolka och sammanställa läromedlens innehåll. Det finns två typer av innehållsanalys, den ena är kvalitativ och den andra är kvantitativ.
Vi har valt kvalitativ innehållsanalys till vår studie, eftersom syftet med studien är att undersöka hur läromedel i ämnet matematik presenterar begreppet subtraktion kopplad till representationsformer och variationsmönster. Detta genom att skapa oss själva en uppfattning om hur subtraktion presenteras i läromedlen. Vår studie innehåller även en kvantitativ ansats eftersom vi har valt att räkna förekomsten av representationsformer och sedan sammanställt detta i en tabell. Att sammanställa i en tabell förtydligar för oss
17
som författare till denna studie i vilken utsträckning representationsformerna förekommer i de valda läromedlen.
Vi har granskat och analyserat läromedlen och därmed skapat oss en ny uppfattning i anknytning till läromedlets innehåll. Ett mål med att använda innehållsanalys som metod inom kvalitativ forskning är att försöka förstå de valda läromedlens utformning av uppgifter (Dalen, 2015). Det finns flera olika sätt att använda och genomföra
kvalitativa studier, men det som förenar dem är ambitionen att försöka analysera och förstå helheter (Patel & Davidsson, 2011), vilket i studien utförs i tre analyssteg (se sidan 21). Tillvägagångssättet i studien var att de valda läromedlen blev analyserade utifrån en innehållsanalys i syfte att, utifrån representationsformerna och variationsmönstren, skapa förståelse kring uppgifterna.
Frågorna (se bilaga 1) vi har valt att använda oss av i analysen har bidragit till
betydelsefull kunskap för att kunna svara på studiens frågeställningar. Vi har analyserat läromedlen för att kunna dra slutsatser kring representationsformernas variation i aritmetikområdet subtraktion. Denscombe (2016) menar att innehållsanalysens innebörd kan skilja beroende på vilket perspektiv forskaren beslutar om. I tabell 1 och tabell 2 har vi sammanställt analysen för att få en uppfattning kring innehållet.
5.2 Urval
Vi har valt att utgå ifrån två läromedel som används på vår övningsskola. Kriterierna som låg till grund för urvalet var bland annat att läromedlen är tryckta från 2011 och att det förhåller sig till läroplanen 2011 (Lgr11). Andra kriterier är att läromedlet vänder sig till årskurs 4 och att det finns tillgängligt i vår övningsskola. För oss var det även viktigt att subtraktion behandlas i en stor omfattning i läromedlen. Därför har vi för vårt urval valt två läromedel. Dessa läromedel är Favorit matematik 4a och Matte direkt borgen 4b.
18 5.2.1 Favorit matematik 4A
Författarna till läromedel Favorit matematik är Katariina Asikainen, Kimmo Nyrhinen, Pekka Rokka och Päivi Vehmas och illustratör är Tarja Ilola. Boken är utgiven år 2018. Favorit matematik är en basbok i ämnet matematik. Författarna som tagit fram boken är ursprungligen från Finland. Genom läromedlets innehåll får eleverna ta del av ett matematiskt språk, räknelagar och regler. Läromedlet består av en övningsbok som eleverna kan arbeta med. Till övningsboken bifogas ett häfte för bedömning för lärande och laborativt material.
Boken förekommer både tryckt och digitalt. Eleverna kan arbeta med gemensamma matematiska moment i helklass såsom individuellt. Det förekommer även extra
utmanande uppgifter för elever som behöver ytterligare stimulans. Eleverna har tillgång till en kod de kan få för att arbeta digitalt, där inkluderas alla instruktioner,
ramberättelser, matematikordlista, och övningar. Det förekommer muntliga övningar enbart i den digitala och inte i de tryckta läromedlen. Favorit matematik är ett
läromedel som erbjuder utmaningar och det finns en lärarhandledning till den som läraren kan följa. Lärarhandledningen är till för att gå igenom lektionens innehåll tillsammans med klassen och därefter kan eleverna arbeta på sin nivå.
5.2.2 Matte Direkt Borgen 4B
Matte direkt borgen är skriven av författarna Pernilla Falck och Margareta Picetti. Läromedlet är tryckt år 2012. I de olika arbetsområden har eleverna möjlighet att arbeta utifrån sin nivå. Boken förekommer både i tryckt och i digitalt.
I varje kapitel i boken presenteras matematikbegrepp och målen förklarat som eleverna ska uppfylla. Sedan introduceras en samtalsbild med frågor som knyter an till kapitlet. Eleverna har tillgång till en genomgångsruta innan de börjar räkna i kapitlet samt möjlighet att ta del av miniräknaruppgifter. Eleverna har möjlighet att arbeta både individuellt och tillsammans. I slutet av kapitlet finns det ”sant” eller ”falskt”- uppgifter där eleverna kan kontrollera det de har lärt sig ifrån kapitlet samt en diagnos de kan utföra. Det finns även mer utmanande uppgifter samt repetitionsuppgifter de kan arbeta med. I slutet av boken finns ett sammanfattande kapitel där eleverna kan repetera och
19
träna mer på det kapitel de vill. Till läromedlet finns en lärarhandledning som innehåller tips, arbetsblad och prov.
5.3 Genomförande
Vi har valt att utföra en innehållsanalys där vi har skrivit ett antal frågor till läromedlen (se bilaga 1) för att besvara våra frågeställningar. Vi hade en förutbestämd struktur som var användbar till studiens frågeställningar och syfte. Vi har analyserat
representationsformerna; språk, bild, symboler, konkreta föremål och verklighet. Vi dokumenterade vår data genom att analysera läromedlens innehåll, illustration, ordning och struktur utifrån representationsformerna vid tre olika tillfällen.
Informationen vi fick utifrån läromedlen antecknades och markerades med färger. Genom att använda färger ansåg vi att det blir tydligare för oss för att besvara våra frågeställningar.
Frågorna till läromedlen har varit till stöd för oss för hantering av subtraktion med koppling till de olika begreppen; lärandeobjekt, kritiska drag och kritiska aspekter, kontrast och generalisering.
Första analysdelen
Under den första delen av vår analys fokuserade vi på hur de olika läromedlen introducerar subtraktion utifrån fråga 1–5 (bilaga 1).
Andra analysdelen
I den andra delen av vår analys fokuserade vi på representationsformernas förekomst; språk, bild, symboler, konkreta föremål och verklighet utifrån fråga 6–8 (bilaga 1). Tredje analysdelen
I den tredje delen av vår analys fokuserade vi på variationsmönster vilka är kontrastering och generalisering utifrån fråga 9 (bilaga 1).
Utifrån det tryckta läromedlet Matte direkt borgen 4b analyserades sex sidor från övningsboken. Läromedlets struktur det vill säga Subtraktion samt En uppgift- flera uträkningar är det som låg i fokus hos oss eftersom det har koppling till subtraktion. Utifrån det tryckta läromedlet Favorit Matematik 4a analyserades tolv sidor. Vi följde
20
strukturen i läromedlen när vi analyserade och dessa är Summa och differens, Vi repeterar subtraktion med uppställning, Vad har jag lärt mig och Sallys hinderbana. Subtraktion förekom i olika stor omfattning i olika delar i läromedlet. Resultatet av den första och andra analysdelen kommer presenteras i Resultat-kapitlet medan resultatet av den tredje analysdelen presenteras i Analys-kapitlet.
Vi har kategoriserat genom att ha rubriker till de valda läromedlen därefter följer underrubriker. Underrubrikerna skiljer sig mellan läromedlen eftersom det följer läromedlets uppbyggnad och struktur. Detta för att lättare kunna analysera och koppla till det teoretiska perspektivet samt tidigare forskning. Kategorierna och
underrubrikerna har valts för att systematiskt kunna följas upp i resultatkapitlet och Denscombe (2016) anser att det blir strukturerat på det sättet.
5.4 Tillförlitlighet, trovärdighet och överförbarhet
Strävan efter trovärdighet och tillförlitlighet i studien skiljer sig mellan kvalitativ och kvantitativ forskning. I kvantitativ forskning kan en hög trovärdighet och tillförlitlig uppnås då det vetenskapliga arbetet repeteras under en given omständighet
(Denscombe, 2016). Allwod och Erikson (2017) skriver för att få en trovärdighet och tillförlitlighet i en kvalitativ forskning bör datamaterialet presenteras tydlig och noggrant.
Denscombe (2016) berättar att andra forskare kan ha det svårt att komma fram till samma resultat i kvalitativ undersökning eftersom olika forskare ser datamaterialet från ett annat perspektiv. För att sträva efter hög trovärdighet och tillförlitlighet till vår studie har vi enbart fokuserat på subtraktion kopplat till representationsformerna och variationsmönstren. Detta genom att vårt datamaterial presenteras tydligt och noggrant så att andra forskare kan få en förståelse för hur det gått till och därmed själv värdera trovärdigheten.
Denscombe (2016) menar att trovärdighet inom den kvalitativa forskningen innebär att forskarna fokuserar på de viktiga delarna i analysen för studien. Forskarna mäter det som är relevant för studien. Datamaterialet har analyserats vid tre tillfällen och har
21
också antecknats vid genomförandet. Vid de olika tillfällen läromedlen analyserades ställde vi samma frågor till läromedlen. Genom att ställa samma frågor till läromedlen vid flera tillfällen kan både frågeställningarna och syftet besvaras. På så sätt ökas mätnoggrannheten i studien. Frågorna till läromedlen sammanställdes utifrån frågeställningarna och syftet och på så vis har vi kunnat få en ökad tillförlitlighet. Tillförlitligheten kan ha stärkts då genomförande, urval samt metoden har beskrivits. Denna undersökning kan utföras av andra forskare då beskrivningen av genomförande, urval och metoden har tydligt presenteras. Överförbarhet innebär enligt Denscombe (2016) att vid andra undersökningar ska studien vara relevant att kunna användas. Denna studie har till en viss utsträckning överförbarhet eftersom analysen av läromedlen kan vara betydelsefullt då subtraktion kan uppfattas som ett svårt
lärandeobjekt att handskas med av elever. Studien kan vara till stöd till andra forskare som vill undersöka mer utav ämnet matematik samt få en inspiration.
5.5 Etiska överväganden
Vid utförande av en forskningsstudie bör man utgå ifrån fyra etiska principer vilket är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Bryman, 2018).
Enligt informationskravet ska informanterna vara medvetna om forskningsprojektet. Redaktörerna har blivit uppsökta därigenom godkänt att bilder publiceras ur
läromedlet. Samtyckeskravet handlar om att redaktörerna lämnar sitt medgivande till att materialet som publiceras utifrån läromedlet och får användas i studien. Kravet uppfylls genom att dessa två redaktörer har lämnat sitt medgivande.
Konfidentialitetskravet innebär att inga utomstående får ta del av personliga uppgifter kring deltagarna i studien. Denna studie har utgått ifrån att analysera läromedel vilket innebär att privatpersoner inte vart delaktiga. Nyttjandekravet handlar om att all information som kommit fram från utgivare inte får vidarebefordras till någon annan (Vetenskapsrådet, 2017). Detta har uppnåtts genom att informationen endast har använts för studien.
22
6 Resultat
I detta kapitel kommer vi presentera kategorierna Introduktion av subtraktion och Representationsformer. Underrubrikerna är valda utifrån läromedlens struktur och uppbyggnad. I Matte direkt borgen 4b kommer underrubrikerna benämnas som Subtraktion och En uppgift-flera uträkningar. Läromedlet Favorit matematik 4a har underrubrikerna Summa och differens, Vi repeterar subtraktion med uppställning samt Vad har jag lärt mig och Sallys hinderbana.
6.1 Matte direkt borgen 4B
6.1.1 Introduktion av subtraktion
Begreppet subtraktion introduceras med kapitlet Addition och subtraktion. Där presenteras matematiska begrepp som eleverna ska arbeta med i kapitlet. Dessa
begrepp är addition, subtraktion, ungefär lika med, fyrsiffriga tal samt fler-färre. Målet med kapitlet, det vill säga vad eleverna förväntas kunna i slutet av arbetsområdet finns tydligt med. Till introduktionen följer en samtalsbild med frågor som eleverna kan relatera till i sin vardag. I kapitlet får eleverna först arbeta med addition sedan subtraktion.
23
Figur 1: Den introducerande sidan till kapitlet Addition och subtraktion, s 34 i Matte direkt borgen 4b.
6.1.1.1 Subtraktion
Underrubriken Subtraktion finns med i kapitlet Addition och subtraktion och inleder eleverna med en genomgångsruta. Genomgångsrutan presenterar hur man räknar ut 4523–2367. Uppgiften introducerar hur man kan minska med en talsort i taget samt använda uppställning. I genomgångsrutan medföljer till uppställningen även en pratbubbla som lyder “Här räcker inte entalen och tiotalen till”. Uppgiften uppmärksammar hur man kan räkna subtraktion på olika sätt.
24
Figur 2: Den introducerande sidan ”subtraktion” till kapitlet Addition och subtraktion, s 40 i Matte direkt borgen 4b.
Innan eleverna börja arbeta med området Subtraktion har deras tidigare lektioner varit att räkna med ungefär lika med och addition. I tidigare lektioner med addition har eleverna fått möjlighet att räkna med uppställning och räkna ihop varje talsort. I kapitlet addition och subtraktion är kontrastering tydligt eftersom uppgifterna i övningsboken bygger på varandra. Eleverna bygger tidigare kunskap på den nya kunskapen, eftersom de först arbetar med addition sedan subtraktion. Sedan får
eleverna arbeta med uppgifter som handlar om både addition och subtraktion. På så sätt ser eleverna en kontrast mellan addition och subtraktion.
6.1.1.2 En uppgift- flera uträkningar
Underrubriken En uppgift-flera uträkningar finns också med i kapitlet Addition och subtraktion och utgår ifrån en genomgångsruta som lyder “Ibland måste man göra flera uträkningar för att lösa en uppgift”. Genomgångsrutan har en bild på två askar där ena asken har röda pärlor och den andra asken har blåa pärlor. Uppgiften lyder: En pirat har en ask med 162 pärlor och en ask med 85 pärlor. Han ger bort 115 pärlor. Hur många pärlor har han kvar? I genomgångsrutan följer en uträkning för båda askarna
25
som har adderats ihop. Summan av båda askarna har därefter subtraherats med de pärlor piraten ger bort. Ett utförligt svar har getts i uppgiften “Piraten har 132 pärlor kvar”. I uppgiften syns generalisering eftersom lärandeobjektet subtraktion presenteras med olika tal.
Figur 3: Den introducerande sidan En uppgift-flera uträkningar till kapitlet Addition och subtraktion, s 42 i Matte direkt borgen 4b.
6.1.2 Representationsformer
I läromedlet Matte direkt borgen förekommer representationsformerna bild, språk, symbol, verklighet och konkreta föremål. Representationsformerna ingår i 26 uppgifter som är kopplade till subtraktion i läromedlen.
Genomgångsrutan i figur 3 visar samband mellan symbol, språk och bild. Symbol syns i uppgiften genom siffror, subtraktionstecken, additionstecken och likhetstecken. Språket framkommer i texten till uppgiften (Piraten har 132 pärlor kvar) och bilden visar två askar med pärlor i. Tabellen här nedan visar i vilken omfattning de olika
26
Tabell 1. Förekomst av respektive representationsform kopplade till subtraktion i Matte direkt borgen.
Utifrån tabell 1 förekommer endast en uppgift som är kopplad till konkreta föremål i läromedlet Matte direkt borgen 4b. Med konkreta föremål innebär att eleverna får lösa uppgifter med fysiska material som eleverna kan laborera med. I de uppgifter som analyserades ser vi att det finns en samverkan mellan bild, språk, symboler och
verklighet. Vi ser att denna samverkan mellan representationsformerna förekommer i en stor omfattning i läromedlet Matte direkt borgen 4b. Vi kommer att presentera två uppgifter ur läromedlet och hur representationsformerna återfinns i dessa uppgifter.
27
Figur 4: Den introducerande sidan Segla till Västindien till kapitlet Addition och subtraktion, s 45 i Matte direkt borgen 4b.
På bilden som visas i figur 4 förekommer alla fem representationsformerna bild, språk, symboler, verklighet och konkreta föremål. Utifrån representationsformen bild, skapas förståelse för vad uppgiften kommer handla om genom de föremål som presenteras till exempel en kista, stövlar, ficklampa och så vidare. Eleverna kan även relatera några av föremålen till sin verklighet. Symbolerna förekommer som ett pris för hur mycket föremålet kostar. Eleverna ska därmed välja tre, fyra, fem och sex föremål för att sedan räkna ut med miniräknaren hur mycket priset blir för vardera. Representationsformen språk är baserad på hur uppgiften är formulerad och hur de uttrycker sig matematiskt. Konkreta föremål förekommer i uppgiften då eleven får använda sig av en miniräknare för att göra en beräkning.
28
Figur 5: Den introducerande sidan En uppgift-flera uträkningar till kapitlet Addition och subtraktion, s 42 i Matte direkt borgen 4b.
Figur 5 presenterar endast representationsformerna språk, symboler och till viss del verklighet eftersom en elevs verklighet beror på vad eleven har för erfarenheter. I denna uppgift kan eleverna relatera bullar och kanel till sina vardagssituationer. Elevernas beräkning av uppgiften samt hur uppgiften är presenterad kopplas till
representationsformen språk. Symbolerna förekommer i figur 4 som till exempel 347 bullar med kanel, 119 bullar utan samt 78 som är brända bullar. Elevernas
räkneoperationer kan även kopplas till symboler eftersom de räknar ut hur många bullar som blev bra. Siffror, subtraktionstecken (-) och likhetstecken (=) förekommer i uppgiften när eleverna gör en beräkning och kan kopplas till representationsformen symbol.
6.2 Favorit matematik 4A
6.2.1 De fyra räknesätten och prioriteringsregler
I Favorit matematik förekommer subtraktion i kapitlet De fyra räknesätten och
prioriteringsregler. Subtraktion presenteras i läromedlet med underrubrikerna Summa och differens samt Vi repeterar subtraktion med uppställning. Eleverna arbetar med uppgifter kopplade till subtraktion. Vidare får eleverna arbeta med repetitionsuppgifter i slutet av arbetsområdet med underrubriken Vad har jag lärt mig och Sallys
29
hinderbana. Där kan eleverna få syn på vad de har utvecklat för kunskaper men också färdighetsträna inom kapitlet.
6.2.1.1 Summa och differens
I Summa och differens följer en genomgångsruta som förklarar innebörden av
räknesätten addition och subtraktion. Ett exempel är vid subtraktion att räkna med 12– 8 som blir 4. Uttrycket 12–8=4 samt beräkningen av uttrycket benämns som differens.
Figur 6: Den introducerande sidan summa och differens till kapitlet de fyra räknesätten och prioriteringsregler, s 10 i Favorit matematik 4a.
6.2.1.2 Vi repeterar subtraktion med uppställning
Vi repeterar subtraktion med uppställning introducerar en uppgift som har en uträkning. Uppgiften handlar om att räkna ut hur lång väg en clown har till sitt jobb. Uppgiftens text lyder: “Clownen har 5008 meter till sitt jobb. Clownen har gått 2345 meter”. Vidare får eleverna i punktform ta del av hur de kan räkna subtraktion med uppställning.
30
Figur 7: Den introducerande sidan vi repeterar subtraktion med uppställning till kapitlet de fyra räknesätten och prioriteringsregler, s 14 i Favorit matematik 4a.
6.2.1.3 Vad har jag lärt mig och Sallys hinderbana
Figur 8: Den introducerande sidan Vad har jag lärt mig? till kapitlet de fyra räknesätten och prioriteringsregler, s 50–51 i Favorit matematik 4a.
31
Figur 9: Den introducerande Sallys hinderbana till kapitlet de fyra räknesätten och prioriteringsregler, s 52–53 i Favorit matematik 4a.
Underrubrikerna Vad har jag lärt mig och Sallys hinderbana kan eleverna
färdighetsträna sina matematiska kunskaper inom området subtraktion. Utifrån bilden som visas i figur 8 har eleverna möjligheten till att själva bedöma hur mycket de har lärt sig genom att sätta ett kryss vid den nivå de anser stämmer in med deras kunskap. Dessa uppgifter handlar om att eleverna ska kunna visa sina kunskaper kring området. Uppgifterna är kopplade till representationsformerna språk, symboler och bild. Språket förekommer utifrån beskrivning av uppgifterna såsom exempelvis “Skriv talet före och talet efter”, samt i problemuppgifter. I underrubriken Vad har jag lärt mig förekommer det två bilder, den ena med stövlar och den andra med en fågel. Dock har dessa bilder ingen koppling till uppgifterna.
Utifrån bilden i figur 9 kan eleverna arbeta med uppgifter kopplade till området
subtraktion utifrån en hinderbana. Där kan eleverna öva och få syn på sina kunskaper. 6.2.2 Representationsformer
I läromedlet Favorit matematik förekommer representationsformerna språk, symboler, bild, och verklighet. I detta läromedel ingår det 21 uppgifter som är kopplad till
32
subtraktion. Tabellen här nedan visar i vilken omfång dessa representationsformer påträffas.
I bilden i figur 6 får eleverna möjligheten att ta del av representationsformerna språk, symboler, bild och verklighet. Språket förekommer i uppgiften där uttrycket benämns som differens och att talen utgör termer. Dessa är matematiska begrepp som eleverna bör befästa för att deras kunskaper i matematik ska utvecklas. Symbolerna är
likhetstecken, subtraktionstecken och siffror. Bilden visar på en hund som undervisar som en lärare. Hunden är riktad mot Whiteboardtavlan och har böcker på golvet. Eleverna kan relatera till verkligheten genom att det är en genomgång på lektionen där de undervisas av en lärare fast i det här fallet en hund.
Eleverna får på bilden i figur 7 stöta på representationsformerna bild, symboler, verklighet. Språket utgörs av uppgiftens textbeskrivning och elevernas svar. Symboler förekommer i form av siffror, subtraktionstecken samt elevernas svar. Cirkusen på bilden i figur 7 utgör representationsformen bild. Verkligheten kan ses i relation till att clownen befinner sig i en cirkus vilket eleverna själva säkert har stött på eller har en aning om.
Representationsformerna bild, verklighet och symboler förekommer på bilden i figur 9. Representationsformen bild visar till exempel en clown, delfin, trumma, hatt, och fågel. Detta kan eleverna koppla även till representationsformen verklighet. På så sätt kan de relatera till vardagliga situationer. Symbolerna är likhetstecken, additionstecken, subtraktionstecken, multiplikationstecken, divisionstecken, och parenteser. Språket presenteras i form av beskrivning av uppgiften som eleverna ska arbeta utifrån. Representationsformen konkreta föremål förekommer dock inte på bilden i figur 9. Tabell 2. Förekomst av respektive representationsform kopplade till subtraktion i Favorit matematik.
33
Utifrån tabell 2 kan vi se att det inte förekommer någon konkret föremål som eleverna kan arbeta med i någon av uppgifterna. I introduktion av arbetsområdet förekommer inte heller någon konkret föremål för att utföra uppgiften. Samverkan mellan
representationsformerna språk och symbol förekommer i en stor omfattning i
läromedlet till skillnad från bild och verklighet som presenteras i en viss omfattning.
Figur 10: Den introducerande sidan Vi repeterar subtraktion med uppställning till kapitlet de fyra räknesätten och prioriteringsregler, s 18 i Favorit matematik 4a.
Figur 10 visar representationsformerna symbol och språk. Uppgiften går ut på att eleven ska räkna ut subtraktion med uppställning och sedan ringa in svaret. I denna figur kan vi se att eleverna arbetar enskilt. Det finns inget utrymme för att samtala med andra kring uppgifterna.
34
Figur 11: Den introducerande sidan Vi repeterar subtraktion med uppställning till kapitlet de fyra räknesätten och prioriteringsregler, s 19 i Favorit matematik 4a.
På bilden i figur 11 får eleverna stöta på representationsformerna bild, språk, verklighet, och symboler. Eleverna ska räkna ut med hjälp av uppställning i sina häften. Därefter ska de ringa in sina svar på bilden. Representationsformen bild motsvarar nöjesparken och skolan men också vägen mellan dessa. Med detta kan eleverna se en anknytning till sin verklighet clownen, nöjesparken samt skolan. Siffror och subtraktionstecken vid uträkning av uppställning och likhetstecken är representationsformen symbol. Språket illustreras då eleven använder sig av skriftspråket som förekommer i
uppgiftsbeskrivningen. 6.3 Analys
I detta avsnitt kommer vårt resultat att knytas an till det teoretiska perspektivet, det vill säga variationsteorin och tidigare forskning. Detta för att besvara vår andra
frågeställning för studien. De variationsmönster som kommer diskuteras är kontrastering och generalisering.
35 6.3.1 Matte direkt borgen 4B
Kapitlet Addition och subtraktion i Matte direkt borgen, berör området subtraktion som studien utgår ifrån. I början av kapitlet introduceras matematikord samt målet med kapitlet. Därefter följer en samtalsbild med frågor som eleverna kan arbeta med. Kapitlet är uppdelat i Addition, Subtraktion, En uppgift-flera uträkningar.
Underrubriken En uppgift-flera uträkningar berörs både addition och subtraktion på samma gång. Ling (2014) skriver att kontrastering innebär att lärandeobjektet visas i motsatsförhållande till exempel det som inte är subtraktion, det vill säga addition. Det andra sättet att se på kontrastering är elevernas upplevelse av lärandeobjektet. Att elevernas tidigare kunskaper bygger vidare på den nya kunskapen.
Utifrån Matte direkt borgen synliggör kapitlet Addition och subtraktion en
kontrastering. Kapitlets delar bygger på varandra. Eleverna får i början av kapitlet bekanta sig med matteord och en samtalsbild med frågor som efterföljer. Därefter får de arbeta med addition före subtraktion. Här kan eleverna se en kontrastering till
subtraktion eftersom eleverna tidigare har arbetat med addition. Eleverna lär sig det vill säga att den kommutativa lagen inte gäller för subtraktion när de löser denna uppgift. Ett kritiskt drag i subtraktion kan vara talens ordning i en uppställning. Björklund och Grevholm (2014) nämner att addition kommer före subtraktion vid introducering av de fyra räknesätten.
Det sker en samverkan mellan bild, symbol, verklighet och språk i läromedlen. Lester (2007) nämner att genom att tillämpa flera representationsformer kan lärandet ses som levande och mer begriplig. I läromedlet förekommer det en uppgift som är kopplad till representationsformen konkreta föremål. Uppgiften gick ut på att eleven kan ta stöd av miniräknare för att räkna ut summan av olika föremål. Bergsten m.fl. (2001) nämner att använda sig av fysiska föremål underlättar förståelsen av uppgiften och skapar koppling mellan undervisningen och vardagliga situationer.
I början av varje område i kapitlet förekommer en genomgångsruta. I genomgångsrutan följer en uppgift som berör subtraktion. Genomgångsrutan förklarar hur man kan räkna ut uppgiften på olika sätt. Representationsformerna bild, språk, symbol och verklighet
36
presenteras. Utifrån genomgångsrutan får eleverna stöd och därefter får de arbeta med uppgifter. Bergsten m.fl. (2001) nämner att symboler kan vara användbara att tillämpa för att kunna utföra beräkningar. Ett exempel var att räkna ut 4523–2367.
Genomgångsrutan visade hur man kan räkna med uppställning samt hur man kan talsortera. Genom att räkna ut berörs representationsformen symbol, där siffror och likhetstecken samt subtraktionstecken förekommer.
I läromedlet stöttas eleverna i olika typer av uppgifter som berör lärandeobjektet subtraktion. Begreppet generalisering nämner författaren Ling (2014) som att eleven bör möta lärandeobjektet i olika former. Författaren menar att när eleven möter olika typer av uppgifter kopplad till subtraktion öppnas en dimension av variation.
Uppgifterna i läromedlet förekommer på olika sätt och med olika tal. 6.3.2 Favorit matematik 4A
Lärandeobjektet subtraktion tydliggörs genom en variation i läromedlet. Eleverna får först bekanta sig med Vi repeterar tal från 0–10 000 sedan får de arbeta med uppgifter som innehåller både addition och subtraktion. Därpå får eleverna arbeta med addition med uppställning sedan subtraktion med uppställning. Kontrastering innebär enligt Ling (2014) att elevernas upplevelser av det nya lärandeobjektet bygger på tidigare kunskaper. Detta uppnås i läromedlet genom att eleverna får arbeta med vi repeterar tal från 0–10000 och addition. Eleverna får bekanta sig först med det som inte är
subtraktion. På så sätt synliggörs kontraster till subtraktion. Eleverna bygger tidigare kunskaper till den nya kunskapen. När eleverna arbetat med området subtraktion får de uppgifter kopplade till både subtraktion och addition. Detta för att de ska få djupare kunskaper om subtraktionens och additionens innebörd.
Genom att subtraktion och addition ses i motsatsförhållande kan eleverna urskilja skillnaderna mellan räknesätten. Generalisering (Ling, 2014) sker genom att
lärandeobjektet subtraktion återkommer, men med nya symboler. Detta syns tydligt i figur 10, där subtraktion upprepas i samma mönster men där olika symboler
förekommer för varje uppgift. I figuren har den första uppgiften symbolerna 6987 – 153, i uppgift b står det 6987 – 1538. Uppgifterna har generaliserats genom att talen och
37
uträkningen ändras. I uträkningen genom uppställningen och att eleverna behöver ta ett tal i taget. På detta sätt kan eleverna se en bredd av lärandeobjektet subtraktion.
6.4 Jämförelse mellan läromedlen
Det förekommer både likheter och skillnader mellan läromedlen kopplat till
subtraktion. Representationsformerna bild, språk och symbol samverkar i uppgifterna i en stor omfattning i båda läromedlen. Representationsformen bild skiljer sig i både läromedlen, där Matte direkt borgen använder bilder för att skapa en förståelse för uppgifter och till elevernas vardagliga situationer och verklighet. På detta sätt finns det koppling mellan bilden och uppgiften. Medan i Favorit matematik förekommer bilden med mindre koppling till uppgiften, vilket gör det svårt för eleverna att kunna relatera uppgiften och bilden till deras verklighet.
Bilderna som presenteras i Matte direkt borgen och kan kopplas till verkligheten är bland annat askar med pärlor och där frågan lyder hur många pärlor finns i asken? Representationsformen verklighet förekommer i större uträckning i Matte direkt borgen än Favorit matematik. Konkreta föremål som erbjuder ett sätt för eleverna att laborera med material påträffas enbart i en uppgift i Matte direkt borgen och ingår inte alls i Favorit matematik.
Variationsmönstret kontrastering syns på olika sätt i läromedlen. I Matte direkt borgen får eleverna till exempel tidigare kunskaper då kapitlet “Addition och subtraktion” presenteras med en inledning. Eleverna får bekanta sig med matteord samt arbeta med några inledande uppgifter kopplade till kapitlet. Här finns möjlighet för läraren att kontrastera genom att synliggöra kopplingen till det som behandlats tidigare och jämföra elevernas dåvarande tankar kring subtraktion till det som presenteras nu. I Favorit matematik framgår inte en tydlig inledning till kapitlet utan eleverna får först arbeta med tal från 0–10000. Sedan får eleverna arbeta vidare med området summa och differens vilket är uppgifter kopplade till både addition och subtraktion. Områdena tal från 0–10000 och addition utgör en konstrast till subtraktion. I Favorit matematik framkommer generalisering genom att lärandeobjektet subtraktion återkommer men
38
med nya symboler. Det syns tydligt i figur 10, där subtraktion upprepas i samma mönster men med nya symboler. I Matte direkt borgen syns generalisering på samma sätt där subtraktion förekommer på olika sätt och med olika tal. Detta för att eleverna ska kunna möta lärandeobjektet, subtraktion, i olika former.
7 Diskussion
I detta kapitel kommer resultatet och metoden och förslag på framtida forskningsfrågor redogöras för.
7.1 Resultatdiskussion
Utifrån resultatet kan vi dra slutsatser kring hur läromedlen presenterar begreppet subtraktion. De slutsatser som har dragits är utifrån studiens analys av läromedlen, representationsformerna bild, språk, symbol, verklighet och konkreta föremål och variationsmönstren kontrastering och generalisering. Representationsformerna bild, språk, symboler och verklighet förekom i större omfattning än övriga
representationsformer i både läromedlens uppgifter Matte direkt borgen och Favorit matematik. Representationsformen konkreta föremål förekom endast en gång i Matte direkt borgen och inget i Favorit matematik.
7.1.1 Matte direkt borgen 4B Introduktion av subtraktion
Läromedlet Matte direkt borgen presenterar en tydlig inledning som behandlar målet med kapitlet Addition och subtraktion samt matteord och samtalsbild med frågor. Med stöd av samtalsbilden med frågor får eleverna möjligheten till att diskutera och samtala kring uppgifterna. På så sätt kan eleverna skapa sig en viss förståelse för områdena de kommer få arbeta med enskilt. Bergsten m.fl. (2001) nämner att om eleverna inte får möjligheten till att kommunicera muntligt kan det resultera i att betydelsen och
begreppet förloras. Vygotsky (1986) påpekar att det är viktigt att individerna samspelar med varandra för att stärka språket.
Eleverna får i början av kapitlet bekanta sig med uppgifter och begrepp innan de börjar arbeta med de enskilda uppgifterna. De uppgifter som eleverna får bekanta sig med är
39
bland annat additions- och subtraktionsräkning. Björklund och Grevholm (2014)
nämner att det är viktigt för eleverna att hitta samband mellan addition och subtraktion för att kunna använda sig av lämpliga metoder och strategier. Vidare menar författaren att sambandet blir tydligare för eleverna när de arbetar med addition före subtraktion. Representationsformer
Representationsformerna bild, symbol, verklighet och språk förekommer i en stor omfattning i läromedlet Matte direkt borgen. Dock förekommer endast en uppgift kopplad till representationsformen konkreta föremål, det vill säga laborativa material som eleverna kan arbeta med för att få förståelse för subtraktion. Engvall (2013) menar att fysiska föremål kan användas som stöd för att skapa förståelse för uppgifter. Vidare menar författaren att det leder även till förståelse av det konkreta såväl som det
abstrakta. I läromedlet förekommer trots allt inte uppgifter där eleverna kan arbeta i par. Med det menas att eleverna inte får möjligheten att diskutera och reflektera med varandra för att få djupare förståelse för subtraktion. Bergsten m.fl. (2001) poängterar att språk handlar om att kunna samtala och diskutera.
I de gröna sidorna i läromedlen visas det ett tydligt samspel mellan
representationsformerna bild, verklighet, symbol, verklighet och språk. Bergsten m.fl. (2001) menar att användningen av symboler underlättar för eleven när hen utför beräkningar. Dock poängterar författaren att innan symboler introduceras bör eleven bekanta sig med det konkreta innehållet för att underlätta förståelsen av
lärandeobjektet. Ahlberg och Wallby (2000) menar att det är betydelsefullt för eleverna att det abstrakta symbolernas innebörd inte förloras. Doverborg (2012) betonar att barn i tidigt skede lär sig använda laborativa material men även samspela med andra för att inlärning av symboler ska komma till en användning.
7.1.2 Favorit matematik 4A
De fyra räknesätten och prioriteringsregler
Subtraktion är kopplad till områdena Summa och differens samt Vi repeterar
subtraktion med uppställning i kapitlet De fyra räknesätten och prioriteringsregeln. En tydlig inledning framkommer inte i läromedlet Favorit matematik utan eleverna får
40
arbeta enskilt med uppgifter som handlar om tal från 0–10000. Därav får eleverna bekanta sig med talsortsräkning.
Eleverna får en grund genom att arbeta med tal från 0–10000 för att sedan kunna utföra beräkningar till addition och subtraktionsuppgifterna inom området Summa och differens. Läraren bör därför använda något annat hjälpmedel utöver läromedlet för att skapa förståelse och grund kring subtraktion hos eleverna. Ling (2014) påpekar att det är viktigt att läraren reder ut elevernas uppfattning kring lärandeobjektet för att kunna nå ut med undervisningens innehåll till eleverna. Vidare nämner författaren att på detta sätt får eleverna möjligheten till att begripa de olika delarna.
I kapitlet får eleverna heller inte möjlighet till att arbeta i par med uppgifterna för att kunna reflektera och samtala. Skolverket (2011) påpekar att språket ingår i olika sociala sammanhang och kan talas både informellt och formellt. Vidare menar Skolverket (2011) att eleverna bör samspela med varandra för att kunna inta ett mer formellt språk i ämnet matematik.
Representationsformer
I Favorit matematik förekommer representationsformerna bild, symbol, språk och verklighet. Däremot förekommer inte representationsformen konkreta föremål i någon av uppgifterna, vilket innebär att eleverna inte får möjligheten att arbeta med laborativa material. Till detta nämner Engvall (2013) att det fysiska föremålet kan vara till
användning som stöd för förståelse i undervisningen och uppgifterna som eleverna arbetar med. På detta sätt kan eleverna skapa en relation mellan undervisningen och deras verklighet.
7.2 Slutdiskussion
Utifrån de läromedlen som har analyserats vilket är Matte direkt borgen 4b och Favorit matematik 4a förekommer representationsformerna bild, språk, symbol och verklighet i en större utsträckning än konkreta föremål som endast presenteras vid en uppgift i Matte direkt borgen 4b. Konkreta föremål handlar om att eleverna får använda fysiska föremål som till exempel klossar i olika former där eleven kan röra vid för stöd till
41
uppgifter (Bergsten m.fl., 2001). På så sätt får eleverna förståelse för lärandeobjektet. Lester (2007) menar att om flera representationsformer samverkar blir lärandet begriplig och levande.
Tryckta läromedel har en stark ställning i dagens skolor, det vill säga i undervisningen tar de flesta lärare stöd i läromedlen för att till exempel planera sin undervisning eller läxor (Skolverket, 2019). Skolinspektionen (2010) menar att lärare har en stark tilltro till att innehållet i tryckta läromedel förhåller sig till Lgr 11. Utifrån analysen ger inte läromedlets övningsbok elever möjligheten att arbeta med konkreta föremål i större omfattning. Därför är det viktigt att lärare kompletterar undervisningen med annat utöver läromedlen. Om eleverna får möjligheten till att arbeta på ett varierande sätt kan de förhoppningsvis utvidga sina kunskaper och skapa sig bättre förståelse till
lärandeobjektet men även inom andra områden i ämnet matematik. 7.3 Metoddiskussion
Till vår studie har vi valt att ha innehållsanalys som metod. Detta på grund av att
studiens syfte är att undersöka hur läromedel i ämnet matematik presenterar begreppet subtraktion. Genom att granska och analysera läromedlen har vi kunnat få tillgång till information i koppling till lärandeobjektet subtraktion. Om valet av metod hade fallit på intervjuer eller observationer skulle vi inte kunna uppnå studiens syfte och
frågeställningar. Intervju som metod skulle innebära att vi får information kring andra lärares uppfattningar kring vad de anser hur läromedlen presenterar
representationsformerna samt skulle studie vara baserad på lärarnas åsikter och inte en analys av läromedlen.
Istället skulle det kunna vara att vi observerar hur representationsformerna används av eleverna när de löser uppgifterna samt vilken förståelse de har för det valda läromedlet i klassrummet. Detta innebär att genom observation skulle vi få en tydligare uppfattning kring hur eleverna använder representationsformer, men inte hur läromedlen
presenterar representationsformerna. Med detta menas att vi är nöjda med vår val av metod eftersom det har gett oss ett resultat som vi har kunnat diskutera och dra slutsats kring. Läromedelsanalysen har även fått oss att skapa en uppfattning för oss som
42
blivande lärare genom att jämföra två läromedel i matematik och använda det läromedel som vi anser kommer gynna våra framtida elever. Dock skulle vi föredra att använda Matte direkt borgen 4b i vårt klassrum eftersom läromedlet ger eleverna möjligheten till att använda sig av laborativt material.
Ifall vi hade analyserat lärarhandledningarna till läromedlen så skulle vi ha fått ett annat resultat och däremot skulle vi ha utgått utifrån andra forskningsfrågor. Men hade vi analyserat fler läromedel hade vi kunnat ha kvar våra frågeställningar och vi skulle kunna få en djupare förståelse samt en mer generell bild av läromedel.
7.4 Framtida forskningsfrågor
Syftet med studien var att undersöka hur läromedel i ämnet matematik presenterar begreppet subtraktion kopplad till representationsformer och variationsmönster. Med hänsyn till att studien var baserad på läromedelanalys, där vi har jämfört två läromedel är det intressant att vidare undersöka samma läromedel i andra årskurser. Detta för att undersöka om representationsformerna förekommer i samma grad i läromedlen. Men även för att jämföra ifall variationsmönstrets dimensioner uppkommer och är kopplade till läromedlens struktur, innehåll och uppbyggnad. Därför kan framtida
forskningsfrågor vara att undersöka hur läromedel i årskurs 6 presenterar begreppet subtraktion med koppling till representationsformerna.
43
Referenslista
Ahlberg, A & Wallby, K. (2000). Matematik från början. Göteborg: Göteborgs universitet NCM.
Allwood, C.M. & Erikson, M.G. (2017). Grundläggande vetenskapsteori: för psykologi och andra beteendevetenskaper. Lund: Studentlitteratur.
Anghileri, J. (2006). A study of the impact of reform on students’ written calculation methods after five years’ implementation of the National Numeracy Strategy in England. Oxford Review of Education, vol. 32, 363–380.
Anghileri, J., Meindert, B. & Potten Van, K. (2002). From informal strategies to
structured procedures: Mind the gap! Educational Studies in Mathematics, vol. 49 ,149-170.
Asikainen, K., Nyrhinen, K., Rokka, P. & Vehmas, P. (2018). Favorit matematik 4A. Lund: Studentlitteratur.
Bergsten, C., Häggström, J. & Lindberg, L. (2001). Algebra för alla. Göteborg: Göteborgs universitet NCM.
Björklund, C. & Grevholm, B. (2014). Lära och undervisa matematik: från förskoleklass till åk 6. Lund: Studentlitteratur.
Bryman, A. (2018). Samhällsvetenskapliga metoder. Stockholm: Liber. Dalen, M. (2015). Intervju som metod. Malmö: Gleerups utbildning.
Denscombe, M. (2016). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. Lund: Studentlitteratur.
44
Doverborg, E. & Pramling Samuelsson, I. (2012). Att förstå barns tankar: kommunikationens betydelse. Stockholm: Liber.
Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics vol 61, 103 – 131.
Dysthe, O., Hertzberg, F. & Hoel, T.L. (2011). Skriva för att lära: skrivande i högre utbildning. Lund: Studentlitteratur.
Engvall, M. (2013). Handlingar i matematikklassrummet: en studie av undervisningsverksamheter på lågstadiet då räknemetoder för addition och subtraktion är i fokus. (Doktorsavhandling) Linköpings universitet: Linköping. Fan, L. (2013). Textbook research as scientific research: towards a common ground on issues and methods of research on mathematics textbooks. ZDM: The International Journal on Mathematics Education, 45(5), 765-777.
doi:10.1007/s11858-013-0530-6
Häggblom, L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass. Lund: Studentlitteratur.
Kilpatrick, J, Martin, W. G. & Schifter, D. (2003). A research companion to Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Lester, Frank K. (2007). Second handbook of research on mathematics teaching and learning: a project of the National Council of Teachers of Mathematics. Charlotte, NC. Ling, M.L. (2014). Variationsteori: för bättre undervisning och lärande. Lund:
45
Marton, F. & Tsui, A. (red.) (2004). Classroom discourse and the space of learning. Mahwah, N.J.: Lawrence Erlbaum.
Marton, F. (2015). Necessary conditions of learning. London: Routledge. Patel, R. & Davidson, B. (2011). Forskningsmetodikens grunder: att planera, genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur.
Picetti, M. (2012). Matte direkt Borgen. 4 B. Stockholm: Sanoma utbildning. Pimm, D. (1981). Mathematic? I speak It fluently. I A. Floyd. (Red.). Developing mathematical thinking. Workingham: Addison Wesley.
Skolinspektionen. (2010). Undervisningen i matematik i gymnasieskolan. Hämtad från:
https://www.skolinspektionen.se/globalassets/publikationssok/granskningsrapporter/ kvalitetsgranskningar/2010/matematik-gy/kvalgr-magy2-slutrapport.pdf
Skolverket. (2011). Greppa språket: ämnesdidaktiska perspektiv på flerspråkighet. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad 2019. Stockholm: Skolverket.
Vetenskapsrådet. (2017). God forskningssed. Stockholm: Vetenskapsrådet.
