MATEMATIK Hj¨alpmedel: Alla hj¨alpmedel till˚atna Chalmers tekniska h¨ogskola Datum: 2020-08-26 kl. 14.00–18.00
Tentamen Examinator: Alexei Heintz
Telefon: 031-772 53 29
MVE585/TMV122/TMV177 Inledande matematik
Instruktioner f¨or inl¨amning av l¨osningar till hemtentamen finns p˚a kurssidan f¨or MVE585 i Canvas. Anonymitet kan inte uppr¨atth˚allas vid r¨attning och bed¨omning av hemtentamen.
Betygsgr¨anser: 3: 20-29, 4: 30-39 och 5: 40-50.
L¨osningar l¨aggs ut p˚a kursens sida i Canvas. Resultat meddelas via Ladok.
Till f¨oljande uppgift skall kortfattade l¨osningar inl¨amnas. Endast svar ger inga po¨ang.
1. (a) Ber¨akna f¨oljande gr¨ansv¨arden: (3p)
(i) lim x→0+ ln (sin x) ln x (ii) lim x→1 x2+ 2x − 3 x2− 3x + 2
(b) Best¨am samtliga l¨osningar till det linj¨ara ekvationssystemet (3p) x1 + 2x2 − x3 = 0 2x1 + 5x2 − 3x3 = 1 −x1 − 4x2 + x3 = 1 .
(c) Best¨am vinkeln φ ∈ [0, π] mellan vektorerna u = (3, 7, 2) och v = (5, −3, 3). (2p) (d) Best¨am lutningen till kurvan x2− xy − 2y2= 4 i punkten (x, y) = (3, 1). (2p)
(e) Best¨am f0(π) om f (x) = sin cos x2. (2p)
(f) Best¨am arean av det parallellogram som sp¨anns upp av vektorerna u = (1, 2, 1) och (2p) v = (−1, 3, 0).
Till f¨oljande uppgifter skall fullst¨andiga l¨osningar inl¨amnas. Endast svar ger inga po¨ang. 2. L˚at π1 : x − y + 2z = 1, π2: x − 2y − z = 0 och A = (1, 1, 1).
(a) Best¨am sk¨arningslinjen ` mellan planen π1 och π2. (2p)
(b) Best¨am det minsta avst˚andet mellan punkten A och planet π1. (2p) (c) Best¨am det minsta avst˚andet mellan punkten A och linjen `. (2p)
3. Rita grafen (inklusive eventuella asymptoter) till funktionen (6p)
f (x) = x 3 ex .
4. Best¨am den kortaste m¨ojliga l¨angden av ett linjesegment som har sina ¨andpunkter p˚a x- (6p) respektive y-axeln och tangerar kurvan y = ax, x > 0, d¨ar a > 0 ¨ar en konstant.
5. (a) Antag att funktionerna f, g ¨ar inverterbara med inverser f−1 respektive g−1. Visa att (3p) funktionen f ◦ g ¨ar inverterbar och att dess invers ¨ar (f ◦ g)−1 = g−1◦ f−1.
(b) L˚at f (x) = 2x − 1 och g(x) = x+1x och anv¨and resultatet i (a) f¨or att visa att funk- (3p) tionen h(x) = x−1x+1 ¨ar inverterbar samt ber¨akna dess invers.
6. Best¨am definitionsm¨angden och v¨ardem¨angden till funktionen (6p) f (x) = x
2− 1 x2− 2.
7. L˚at funktionerna f (x) och g(x) vara definierade enligt (6p)
f (x) = sin x , x < 0 ex− 1 , x ≥ 0 , g(x) = cos x , x < 0 ex , x ≥ 0 .
Visa att f (x) ¨ar kontinuerlig och deriverbar i x = 0 och att g(x) ¨ar kontinuerlig men inte deriverbar i x = 0.
Lycka till! Fredrik & Alexei
