MATEMATIK Hj¨ alpmedel: utdelad ordlista, ej r¨ aknedosa

(1)

MATEMATIK Hj¨ alpmedel: utdelad ordlista, ej r¨ aknedosa

Chalmers tekniska h¨ ogskola Datum: 2011-03-19 kl. 08.30–12.30

Tentamen Telefonvakt: Richard L¨ ark¨ ang

tel. 0703-088304

TMV036 Analys och Linj¨ ar Algebra K Kf Bt, del C

Tentan r¨ attas och bed¨ oms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt p˚ a placeringlista och samtliga inl¨ amnade papper. Fyll i omslaget ordentligt.

Betygsgr¨ anser: 20 - 29 p. ger betyget 3, 30 - 39 p. ger betyget 4 och 40 eller mer betyget 5. (Bonuspo¨ ang fr˚ an duggor 10/11 inkluderas.)

L¨ osningar l¨ aggs ut p˚ a kursens (10/11) webbsida senast 21/3. Resultat meddelas via Ladok senast ca.

tre veckor efter tentamenstillf¨ allet. D¨ arefter kan tentorna granskas och h¨ amtas p˚ a MV:s exp. ¨ oppen alla vardagar 9-13.

1. (a) L˚ at f (x, y) = xy + ln(xy

²

) vara definierad f¨ or x > 0, y > 0. Ange en ekvation (3p) till tangentplanet till ytan z = f (x, y) i punkten (1, 1, 1).

(b) Best¨ am linj¨ ariseringen f¨ or f (x, y) = xy + ln(xy

²

) i (1, 1) och utnyttja denna (3p) f¨ or att best¨ amma ett approximativt v¨ arde p˚ a f (1.1, 0.9)

2. (a) Definiera begreppet egenv¨ arde och egenvektor f¨ or en kvadratisk matris. (2p)

(b) Matrisen (5p)

A =





−1 0 2

−2 1 2

0 0 1





har egenv¨ ardena 1 och −1. Best¨ am respektive egenvektorer. Ge argument som visar att A ¨ ar diagonaliserbar.

Ange en matris P som diagonaliserar A och ange motsvarande diagonalmatris D, dvs A = P DP

⁻¹

.

3. (a) Ber¨ akna dubbelintegralen (3p)

Z Z

D

dxdy p 16 − x

²

− y

²

, d¨ ar D ges av x

²

+ y

²

≤ 4, −y ≤ x ≤ y.

(b) Ber¨ akna arean av den del av planet z = 1 + 2x + 2y som ligger i omr˚ adet (3p) K : 0 ≤ y ≤ 1 − x

²

.

4. Ett plan i R

³

sp¨ anns upp av vektorerna

−1 1 1

T

och

1 2 2

T

(a) Best¨ am en ortogonal bas f¨ or planet. (2p)

(b) Best¨ am den ortogonala projektionen av vektorn

0 2 0

T

p˚ a planet. (2p) (c) Best¨ am avst˚ andet fr˚ an punkten (0, 2, 0) till planet. (2p)

Var god v¨ and!

(2)

5. (a) Vad menas med att ett vektorf¨ alt F ¨ ar konservativt i ett omr˚ ade Ω ⊂ R

³

? (2p) (b) L˚ at F (x, y, z) = (e

^x

cos y + yz)i + (xz − e

^x

sin y)j + (xy + z)k. Avg¨ or om vek- (3p)

torf¨ altet F ¨ ar konservativt i R

³

. Motivera v¨ al.

(c) F¨ or F i (b) ber¨ akna kurvintegralen R

C

F · dr d¨ ar C ¨ ar spiralen r = r(t) = (3p) cos πti + sin πtj + tk fr˚ an (1, 0, 0) till (−1, 0, 1).

6. Best¨ am st¨ orsta och minsta v¨ ardena f¨ or funktionen f (x, y) = y

²

+(x

²

−1)y i triangeln (6p) med h¨ orn i (2, 2), (−2, −2) och (2, −2).

7. Best¨ am en ekvation f¨ or tangentlinjen till sk¨ arningskurvan mellan de tv˚ a ytorna (6p) z = 1 − x

²

+ y

²

och yz

²

− x = 1 i punkten (−1/2, 1/2, 1).

8. Formulera och bevisa kedjeregeln f¨ or f ◦ g d˚ a g : R → R

²

och f : R

²

→ R. (6p)

(3)

L¨ osningar

1. (a) Man verifierar l¨ att att (1, 1, 1) ligger p˚ a ytan. Vi har ocks˚ a att

∂f

∂x = y + 1

xy

²

· y

²

och ∂f

∂y = x + 1

xy

²

· (2xy) och speciellt ¨ ar ∂f

∂x (1, 1) = 2 och ∂f

∂y (1, 1) = 3. Tangetplanet till ytan i punkten (1, 1, 1) ges av ekvationen

z − 1 = ∂f

∂x (1, 1)(x − 1) + ∂f

∂y (1, 1)(y − 1), dvs z = 1 + 2(x − 1) + 3(y − 1).

Svar: z = 2x + 3y − 4.

(b) Linj¨ ariseringen f¨ or f (x, y) i (1, 1) ges av L(x, y) = f (1, 1) + ∂f

∂x (1, 1)(x − 1) + ∂f

∂y (1, 1)(y − 1) = 1 + 2(x − 1) + 3(y − 1).

Ett approximativt v¨ arde ber¨ aknas enligt f (1.1, 0.9) ≈ L(1.1, 0.9) = 1 + 2(1.1 − 1) + 3(0.9 − 1) = 0.9.

2. (a) Se kursboken.

(b) Vi s¨ oker egenvektorerna till egenv¨ ardena 1 och −1.

λ

1

= 1 : Vi har

A − I

₃

=





−2 0 2

0 0 0



 7→





1 0 −1

0 0 0



 .

Vi ser att matrisens nollrum sp¨ anns upp av vektorerna v

1

=



 1 0 1



 och v

2

=



 0 1 0



 λ

2

= −1 : Vi har

A + I

₃

=





0 0 2

−2 2 2

0 0 2



 7→





1 −1 −1

0 0 1

0 0 0



 7→





1 −1 0

0 0 1

0 0 0





Efter ˚ atersubstitution ser vi att matrisens nollrum sp¨ anns upp av vektorn v

₃

=



 1 1 0



.

Enligt en sats i kursboken blir vektorerna {v

1

, v

2

, v

3

} linj¨ art oberoende och d¨ armed bildar en bas av egenevektorer i R

³

. Enligt satsen om diagonalisering ¨ ar A diagonaliserbar dvs A = P DP

⁻¹

d¨ ar

P = [v

₁

v

₂

v

₃

] =





1 0 1 0 1 1 1 0 0



 , D =





1 0 0

0 1 0

0 0 −1



 .

(4)

3. (a) Vi g˚ ar ¨ over till de pol¨ ara koordinaterna x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. V˚ art nya integrationsomr˚ adet blir rektangeln E = {(r, ϕ) : 0 ≤ r ≤ 2, π/4 ≤ ϕ ≤ 3π/4} och vi f˚ ar allts˚ a

Z Z

D

dxdy

p 16 − x

²

− y

²

= Z Z

E

rdrdϕ

√ 16 − r

²

= Z

3π/4

π/4

Z

2 0

√ rdr 16 − r

²

dϕ = (variabelsubstitution x = 16 − r

²

ger)

= Z

3π/4

π/4

[− p

16 − r

²

]

²₀

dϕ = (2 − √ 3)π.

(b) Ytan parametriseras av r(x, y) = (x, y, 1 + 2x + 2y), d¨ ar 0 ≤ y ≤ 1 − x

²

och −1 ≤ x ≤ 1. Beteckna ytan med Σ. D˚ a blir r

⁰_x

= (1, 0, 2), r

⁰_y

= (0, 1, 2) och r

⁰_x

× r

⁰_y

= (−2, −2, 1). Allts˚ a ¨ ar |r

⁰_x

× r

⁰_y

| = √

2

²

+ 2

²

+ 1 = 3 och arean blir Z Z

Σ

dS = Z Z

D

3dxdy = 3 · arean av D = 3 Z

1

−1

(1 − x

²

)dx = 3

x − x

³

3

1

−1

= 4.

4. (a) Vi best¨ ammer en ortogonal bas mha Gramm-Schmidt metoden. Vi v¨ aljer den f¨ orsta basvektorn som b

₁

=

−1 1 1

T

och ber¨ aknar den andra mha av formeln:

b

2

= v

2

− v

2

· b

₁

b

1

· b

₁

b

1

=

2 1 1

T

.

(b) Om v = [0 2 0]

^T

ges den s¨ okta projektionen av

proj

_W

v = v · b

₁

b

1

· b

₁

b

₁

+ v · b

₂

b

2

· b

₂

b

₂

= 2 3





−1 1 1



 + 1 3



 2 1 1



 =



 0 1 1



 .

(c) Avst˚ andet ges av d = ||v − proj

_W

v|| = ||[0 1 − 1]

^T

|| = √ 2.

5. (a) Se kursboken.

(b) Ett s¨ att att visa att f¨ altet F ¨ ar konservativt ¨ ar att best¨ amma en potential, dvs en funktion ϕ : R

³

→ R s˚ adan att

∂ϕ

∂x = F

1

(x, y, z) = e

^x

cos y + yz,

∂ϕ

∂y = F

₂

(x, y, z) = xz − e

^x

sin y

∂ϕ

∂z = F

₃

(x, y, z) = xy + z.

Den f¨ orsta ekvationen ger ϕ(x, y, z) = e

^x

cos y + xyz + C(y, z) f¨ or n˚ agon funktion C(y, z) av tv˚ a variabler. Ins¨ attning i den andra ekvationen ger −e

^x

sin y + xz + C

_y⁰

(y, z) = xz − e

^x

sin y varav C

_y⁰

(y, z) = 0 och d¨ armed C(y, z) = D(z) f¨ or n˚ agon funktion D av en variabel. Vi har allts˚ a ϕ(x, y, z) = e

^x

cos y +xyz +D(z). Ins¨ attning i den tredje ekvationen ger likheten xy + D

⁰

(z) = xy + z varav D

⁰

(z) = z och D(z) = z

²

/2 + K, d¨ ar K ¨ ar en konstant. Vi har d¨ armed funnit att

ϕ(x, y, z) = e

^x

cos y + xyz + z

²

/2 + K

(5)

¨ ar potentialer till det givna f¨ altet.

(b) Den s¨ okta kurvintegralen erh˚ alles nu l¨ att:

Z

C

F · dr = ϕ(−1, 0, 1) − ϕ(1, 0, 0) = e

⁻¹

− e + 1/2.

6. Eftersom funktionen f saknar singulariteter s˚ a m˚ aste extremv¨ ardena antas antingen i kritiska punkter i det inre av triangeln eller i punkter p˚ a randen. Vi b¨ orjar med att best¨ amma ev. kritiska punkter till f . Vi har

∇f (x, y) = (2xy, 2y + x

²

− 1) = 0 ⇔ 2xy = 0 och 2y + x

²

− 1 = 0

Ur den f¨ orsta ekvationen f˚ ar vi x = 0 eller y = 0 Ins¨ atning i den andra ekvationen ger oss kritiska punkter (0, 1/2), (1, 0) och (−1, 0). Man ser l¨ att att endast (1, 0) ligger i det inre av triangeln och f (1, 0) = 0.

Vi unders¨ oker sedan de tre randsidorna:

R

1

: y = x, −2 ≤ x ≤ 2, R

2

: x = 2, −2 ≤ y ≤ 2 R

3

: y = −2, −2 ≤ x ≤ 2.

R

₁

. g

₁

(x) = f (x, x) = x

²

+ x

³

− x. Vi har g

⁰₁

(x) = 3x

²

+ 2x − 1 = 0 ⇔ x = −1 eller x = 1/3. B˚ ade dessa kritiska punkter ligger i intervallet −2 ≤ x ≤ 2. och funktionv¨ ardena i dessa punkter ¨ ar g

1

(−1) = 1, g

1

(1/3) = −5/27. Funktionv¨ ardena i ¨ andpunkter ¨ ar g

₁

(−2) = −2, g

₁

(2) = 10.

R

₂

: g

₂

(y) = f (2, y) = y

²

+3y. Vi har g

₂⁰

(y) = 2y+3 = 0 ⇔ y = −3/2. Punkten ligger i intervallet −2 ≤ y ≤ 2 och funktionv¨ ardet g

2

(−3/2) = −9/4. Funktionv¨ ardena i

¨ andpunkter ¨ ar g

₂

(−2) = −2, g

₂

(2) = 10.

R

₃

: g

₃

(x) = f (x, −2) = 4 − (x

²

− 1)2 = −2x

²

+ 6. Det har sitt st¨ orsta v¨ arde p˚ a intervallet [−2, 2] i punkten x = 0, f (0) = 6, minsta v¨ ardet antas i punkterna x = ±2 och ¨ ar lika med −2.

Vi har allts˚ a att funktionens st¨ orsta och minsta v¨ arde p˚ a triangeln ¨ ar 10 och respektive −9/4.

7. En normal till ytan g(x, y, z) = z − 1 + x

²

− y

²

= 0 i punkt (x, y, z) p˚ a ytan ges av ∇g(x, y, z) = (2x, −2y, 1), speciellt i punkten (−1/2, 1/2, 1) blir den N

1

= (−1, −1, 1). En normal till ytan f (x, y, z) = yz

²

− x − 1 = 0 i (x, y, z) p˚ a ytan

¨ ar ∇f (x, y, z) = (−1, z

²

, 2yz), och speciellt i punkten (−1/2, 1/2, 1) blir den N

₂

= (−1, 1, 1). En tangentvektor, v, till sk¨ arningskurvan mellan ytorna i (−1/2, 1/2, 1)

¨ ar ortogonal till b˚ ade N

1

och N

2

. Vi kan allts˚ a ta v = N

1

× N

₂

= (−2, 0, −2).

Linjen genom (−1/2, 1/2, 1) med riktingsvektorn v ges av ekvationen (x, y, z) = t(−2, 0, 2) + (−1/2, 1/2, 1).

8. Se kursboken eller f¨ orel¨ asningsanteckningar.