Examensarbete (del 2)
för grundlärarexamen inriktning F–3
Avancerad nivå
Grundskollärares tankar om undervisning i problemlösning
med avseende på kreativa och imitativa resonemang
Problemlösning ur ett lärarperspektiv för elever i årskurs 1–3
Författare: Julia Tärndal
Handledare: Maria Cortas Nordlander Examinator: Anna Teledahl
Ämne/huvudområde: Pedagogiskt arbete, inriktning matematik Kurskod: PG3063
Poäng: 15 hp
Examinationsdatum: 2020-05-29
Vid Högskolan Dalarna finns möjlighet att publicera examensarbetet i fulltext i DiVA. Publiceringen sker open access, vilket innebär att arbetet blir fritt tillgängligt att läsa och ladda ned på nätet. Därmed ökar spridningen och synligheten av examensarbetet.
Open access är på väg att bli norm för att sprida vetenskaplig information på nätet.
Högskolan Dalarna rekommenderar såväl forskare som studenter att publicera sina arbeten open access.
Jag/vi medger publicering i fulltext (fritt tillgänglig på nätet, open access):
Ja ☒ Nej ☐
Abstract
I denna studie har grundskollärares, i årskurs 1–3, tankar om sin undervisning i problemlösning i ämnet matematik, med avseende på kreativa och imitativa resonemang undersökts. Fem kvalitativa intervjuer med grundskollärare från olika skolor utfördes och analyserades därefter med stöd från Lithners (2008) teori om kvalitativa och imitativa resonemang. Studien visar på att grundskollärarna har svårt att undervisa problemlösning utifrån de kriterier Lithner (2008) anser vara matematiska kreativa resonemang (problemlösning) på ett sätt som uppmuntrar och möjliggör för eleverna att resonera kreativt. Empirin visar att lärare i högre utsträckning möjliggör imitativa resonemang då de anser att elevernas kunskapsnivå är för låg och att de är måna om att eleverna ska få lyckas.
Nyckelord
Matematiska resonemang, problemlösning, kreativa resonemang (KMR), imitativa resonemang (IR)
Innehållsförteckning
1. Inledning ... 1
2. Bakgrund ... 2
2.2 Vad kännetecknar problem i problemlösning? ... 2
2.3 Kopplingen mellan resonemang och problemlösning ... 2
2.4 Kreativa och imitativa resonemang ... 3
2.5 Matematiska resonemang ... 3
2.6 Undervisning i problemlösning... 5
2.7 Problemlösning och resonemang kopplat till styrdokument ... 6
3. Teori ... 6
3. Syfte och frågeställning ... 8
4. Metod ... 8 4.1 Val av metod ... 8 4.2 Urval ... 8 4.3 Etiska överväganden ... 9 4.4 Genomförande av intervju ... 10 4.5 Analysmetod ... 11
4.6 Lärares arbetsprocess i problemlösning... 11
4.7 Intervjuer ... 12
5. Resultat och analys ... 13
5.1 Planeringsfas ... 13 5.2 Implementeringsfas ... 15 5.3 Redovisningsfas ... 16 6. Diskussion ... 18 6.1 Metoddiskussion ... 18 6.2 Resultatdiskussion ... 19 6.3 Sammanfattning ... 21
7. Förslag på fortsatt forskning ... 21
Referenser ... 23
Bilaga 1: informationsbrev ... 26
1
1. Inledning
En aspekt som anses stå nära i relation till problemlösning är att föra matematiska resonemang (Skolverket, 2018). Det vill säga att eleven ska kunna använda sig av de matematiska kunskaper hen har och genom det kunna lösa nya matematiska problem. Ett av många ansvar läraren har, i matematikundervisningen, är att elever ska utvecklas i att föra matematiska resonemang (ibid.). Mitt intresse för det valda ämnet väcktes under min VFU (verksamhetsförlagda utbildning), då jag upplevde att lärare till elever i årskurs 1–3 har svårt att ge tid till alla elever när de arbetat med problemlösning. Följden av detta blev att lärare vanligen gav lösningar direkt till de elever som behövde hjälp istället för att resonera fram det tillsammans och/eller ge ledtrådar som eleven kunde arbeta vidare med. Ahlberg (1995) hävdar att lärare inte har tiden att arbeta med problemlösning och utvägen på det blir att ”lotsa” fram svaret från elever, som egentligen inte förstått. En risk finns för att elever inte ser matematiken som ett verktyg i vardagslivet om de inte får en matematisk grund att stå på (ibid.). Flertalet studier visar att rutinuppgifter i form av utantillinlärning är det som oftast används i skolan (Lithner, 2000, 2003, 2004). Enligt Skolverkets (2008) rapport, utifrån TIMSS resultat i matematik 2007, har elevernas undervisning ett färdigt tillvägagångssätt som används vid inlärning. Samtidigt skriver Boesen (2006) att utantillinlärning av uppgifter i matematik är en enkel utväg som inte fungerar i längden, då en djup matematisk grund att stå på utesluts. I läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Skolverket, 2018) står det i årskurs 1–3 att matematikundervisningen ska innehålla problemlösning. Tidigare forskning visar att problemlösning får lite utrymme i matematikundervisningen och att det är något som anses svårt för grundskollärare att individanpassa. Skolinspektionen (2009) skriver att undervisningen i ämnet matematik begränsar eleverna i deras utveckling i sina förmågor av problemlösning och att de får träna för lite på det.
Det har framgått i tidigare studier att det elever får med sig från början av matematiken hjälper dem senare i deras utbildning och kan endast ses som en förutsättning (Jõgi & Kikas, 2015). En tolkning som kan göras utifrån det som tidigare nämnts är att det är viktigt för elever att få bra erfarenheter och en trygg matematisk grund att stå på vad gäller matematik, det vill säga från årskurs 1. En annan aspekt som gör lärares undervisning i problemlösning relevant att se över är det senaste resultatet i nationella prov, i matematik för årskurs 3 (Skolverket, 2017). Det visar att ”enkla problem” är något 12,5% av eleverna inte uppnått kravnivån på, detta gör att det är ett av delproven i matematik som fått sämst resultat. Enkla problem kan kopplas samman med hur Skolverket (2017) beskriver enkla situationer: elevnära sammanhang. Problemlösning är något elever måste få öva på, för att kunna utveckla sin problemlösningsförmåga. Det räcker inte att elever får lära sig utantillinlärning för att utveckla förmågan i att lösa problem (Crockroft, 1982).
Utifrån Lithner´s (2008) två huvudtyper av resonemang i hur lärare undervisar problemlösning kommer denna studie behandlas. Resonemangen beskrivs vara antingen imitativa resonemang eller kreativa resonemang. I imitativa resonemang använder eleven en lösningsmetod utantill
2
eller härmar en. I kreativa resonemang erbjuds eleven ett okänt problem och kan argumentera runt sina strategival. Det som ligger till grund för detta arbete är att undersöka hur grundskollärare uppfattar elevers möjligheter till att få kunskap om och lära sig problemlösning i ämnet matematik, med avseende på tidigare nämnda resonemang, för elever i årskurs 1–3.
2. Bakgrund
I följande avsnitt kommer forskning bakom problemlösning i ämnet matematik, vald teori, matematiska resonemang (imitativa och kreativa) och problemlösning kopplat till styrdokument att behandlas.
2.2
Vad kännetecknar problem i problemlösning?
Taflin (2007) skriver att problemlösning är ett centralt begrepp. Det finns flera definitioner på vad ett problem anses vara. Uppgifter som egentligen inte utgör ett problem för eleven kan ibland benämnas som problemlösning i matematikundervisningen. Om läraren ger en uppgift där eleven kan en inlärd lösningsmetod är det inte ett problem utan då en uppgift eleven kan utantill (ibid.).
Taflin (2007) beskriver problemlösning på följande vis: ”En uppgift är ett problem först när det kräver att problemlösaren gör en särskild ansträngning för att finna lösningen (Taflin, 2007, s. 21)”. Det står i enlighet med Skolverkets (2017) definition på problemlösning. Skolverket (2017) beskriver problemlösning som en uppgift där eleven inte har en självklar och/eller en direkt lösning på. Följande studie kommer att utgå från Skolverkets (2017) tolkning av problem, då undersökningen ska vara relevant till aktuell läroplan. Ett problem bestäms efter elevens tidigare kunskaper då det kan vara ett problem för en elev medan det är en rutinuppgift för en annan. Med andra ord definieras problemlösning på så sätt att eleven möter en uppgift som de inte har en omedelbar lösning på (Pólya, 1990; Lester, 1985; Zanten & Huevel-Panhuizen, 2018; Skolverket, 2018). Zanten och Huevel-Panhuizen (2018) nämner i sin artikel att problemlösning är en viktig del av matematiken som kan hjälpa människor i det vardagliga livet. Detta stämmer överens med vad som framkommer i Skolverkets (2014) rapport, att problemlösning är något som bör främjas i matematiken för elevernas framtida yrkes- och studieliv. Det har sin plats i grundskolans läroplan för ämnet matematik.
2.3 Kopplingen mellan resonemang och problemlösning
Problemlösning är något som kopplas samman med matematiska resonemang i grundskolans läroplan. I Skolverkets (2017) kommentarmaterial till kursplanen i matematik står det att eleverna ska utveckla sin resonemangsförmåga genom att föra matematiska resonemang vad bland annat omfattar lösningar på problem. Eleverna ska också utveckla strategier för problemlösning inom olika situationer.
3
Ball och Bass (2003) skriver om matematiska resonemang och att det är nyckeln till elevers matematiska tänkande. De hävdar att matematiska resonemang kan ses som en förmåga och är ett krav för att elever ska förstå matematik. De skriver om tre skäl varför matematiska resonemang behövs. Om eleven inte förstår anledningarna till vad algoritmen innebär saknas den grundläggande matematiska förståelsen. Det andra skälet är om eleven endast kan utantillinlärda algoritmer eller specifika matematiska idéer kan inte eleven lösa uppgifter flexibelt. Det tredje skälet på varför elever ska lära sig matematiska resonemang är att, om elever lär sig att resonera kan kunskap som fallit i glömska komma tillbaka och genom det återskapa metoden för att kunna lösa uppgiften (ibid.).
2.4 Kreativa och imitativa resonemang
När elever har tillgång till en lösningsmetod, genom minnet, matematikbok eller en lärare använder de ett imitativt resonemang när de löser uppgiften (Lithner, 2008). De imiterar en lösning. Eleven kan ha gjort en liknade uppgift tidigare och kan då härma lösningen från den uppgiften. När eleven ska förklara hur hen gick till väga kan eleven använda sina minneskunskaper och genom det kan hen endast förklara lösningen på ett sätt. Eleven kan då oftast inte motivera eller argumentera för sin lösning. Lithner (2008) hävdar att ett imitativt resonemang är den typ av resonemang som eleven använder när uppgiften anses ha en given lösning för eleven, det vill säga att eleven inte stöter på en ny uppgift.
När eleven möter ett nytt problem de saknar en metod för att lösa så använder de ofta ett kreativt resonemang för att lösa problemet (Lithner, 2008). När eleven använder sig av nytänkande sker det utanför rutinuppgifterna. Lösningen argumenteras och motiveras i val av strategier. I ett kreativt resonemang har inte eleven något memorerat eller kan ta hjälp av en algoritm för att lösa uppgiften. Eleven kan utgå från sina matematiska kunskaper för att tillämpa det till en ny lösningsstrategi (ibid.).
2.5 Matematiska resonemang
Elevers förmågor i att föra matematiska resonemang är något som kan minska, om utantillinlärning tar över all matematikundervisning (Sidenvall, 2015).Detta då det inte skapar någon matematisk grund att stå på (Cockroft, 1982). Sidenvall (2015) hävdar att kreativa matematiska resonemang kan kopplas samman med begreppsförståelse. Om elever ska kunna utföra nya uppgifter, där lösningen inte är självklar, bör de vara kunniga i att föra matematiska resonemang. PISA’s undersökning år 2012 (OECD, 2014) visar att svenska elevers begreppsförmåga har försämrats, i att lösa uppgifter i ämnet matematik.
I Skolverkets (2017, s. 8) kommentarmaterial till ämnet matematik beskrivs det såhär: ”Eleverna ska genom undervisningen ges möjlighet att utveckla förmågan att kunna använda
4
(2011) hävdar att undervisningen behöver fokusera mer på att utveckla elevers begreppsförmåga. Detta genom att de får resonera och argumentera i problemlösning, för att det ska ske behöver utantillinlärningen minska. Enligt Sidenvall (2015) kan man sätta ett samband mellan matematiska kreativa resonemang och problemlösning på grund av att elever utvecklar sin resonemangsförmåga parallellt med sin problemlösningsförmåga. Det finns inte heller någon automatisk övergång från att kunna utantillinlärning till att lära sig problemlösning, därför måste elever få öva på att lösa nya uppgifter (Schoenfeld, 1992; Cockroft, 1982, s. 73). Cockroft (1982, s. 73) hävdar att elevers begreppsförståelse är det som gör att matematisk kunskap lagras i det långsiktiga minnet. Genom det kan eleven visa förmågan att anpassa ett tillvägagångssätt, sin matematiska kunskap, till lösningen av en ny uppgift.
LeBlanc (1977) skriver om två typer av matematiska uppgifter – typiska läroboksuppgifter och processproblem. Grundskälet till att lösa typiska läroboksuppgifter är att hjälpa elever att få en grund gällande begrepp i matematik och för att få de att lära sig av en lösning som de tidigare har lärt sig, in i kommande uppgifter. Processproblem är när elever får större möjlighet att lösa problem med generell problemlösning och kräver mer tid. Processproblem utvecklar deras allmänna strategier som kan användas i att lösa nästföljande problem. Båda typerna av problemlösning anses viktiga i elevernas matematiska utveckling (ibid.). Detta kan jämföras med Lithner’s (2008) tolkning, han menar på att elever antingen för imitativa resonemang (IR) eller kreativa resonemang (KMR). I Bergqvist & Lithner’s (2011) studie benämns undervisning i form utav lärargenomgångar. De hävdar att elever kan lära sig KMR genom att se deras lärare utföra det. Undervisning genom ett kreativt matematiskt resonemang skulle kunna vara att visa ett nytt problem på tavlan, som också är nytt för läraren, för att kunna visa eleverna på ett trovärdigt sätt. Svårigheten är att läraren oftast har mer kunskap i matematik, om problemet ska vara nytt för läraren blir uppgiften för komplicerad att ha med i undervisningen att visa eleverna. Ett alternativ skulle vara att läraren visar ett problem för eleverna och låtsas att det är nytt för hen, och sedan tillsammans med eleverna resonera fram en lösning (Bergqvist och Lithner, 2011). Det lärare kan göra för att utveckla elevers matematiska kreativa resonemang är att möta dem på mitten i uppgiften, och vara på deras nivå (Franke & Kazemi, 2001; Bergqvist & Lithner, 2012).
Det man har kommit fram till är att elever ofta har en tendens att använda välkända algoritmer (för dem) i nya uppgifter, även fast de inte kommer någonstans med dem (Bergqvist, Lithner & Sumpter, 2003). Att elever väljer att utgå från utantillinlärning i en ny uppgift (för dem) kan vara en av huvudorsakerna till elevers svårigheter i att lösa problem i matematik (ibid.). I Liljekvist (2014) avhandling redogörs problematiken som uppstår när elever inte förstår grunden i den utantillinlärning de får i matematikundervisningen, för att kunna ta hjälp utav och använda sin matematiska förmåga i andra uppgifter. Det framgick även att elever behöver arbeta mer med nya uppgifter för att skapa ett mer effektivt lärande som hjälper dem på längre sikt. Med koppling till det som tidigare nämnts kan kreativa resonemang sättas i samband med problemlösning medan imitativa resonemang är lösning på rutinuppgifter (Bergqvist och Lithner, 2011).
5
2.6 Undervisning i problemlösning
Lester (1982) diskuterar varför det inte finns en tydlig anvisning på hur problemlösning ska läras ut. Förklaringen kan vara att det finns så många faktorer som påverkar problemlösningsförmåga och det kan vara allt från elevernas motivation och intresse, till deras kunnighet i att läsaproblem samt deras logiska resonemangsförmåga (ibid.). Larsson (2015) har skapat en modell som ska ge lärare stöd i deras undervisning i problemlösning. Studien undersökte möjligheterna som skapas för elever att utveckla sina matematiska kompetenser i problemlösning. Larsson (2015) hävdar att Stein och Smiths (2008) modell varit till inspiration. Hennes idé är att utgångspunkten i att lösa problem är att skapa en öppen, lukrativ och givande diskussion. Larsson’s (2015) studie ska ge lärare stöd i att skapa en öppen klassrumskultur, när de jobbar med problemlösning, där eleverna ställer frågor, argumenterar och kan hjälpa varandra att komma fram till lösningen. Larsson (2015) hävdar att det är lättare att leda resonemangen om läraren kan förutse elevernas lösningar.
Chick och Stacey (2013) skriver om lärarens roll i planeringen av hur problemlösningsuppgifter ska utföras. En viktig aspekt är att läraren har en djup grundläggande matematisk förmåga. De skriver att läraren ska möta upp eleven i problemet genom att göra uppgiften själv, inte för att hitta fler lösningar utan för att kunna sätta sig in i elevens idéer. Chamberlin (2005) lyfter också förståelsen av elevernas tänkande i problemlösning, på så sätt kan fortsatta problemlösnings-uppgifter utvecklas vidare. Det är också viktigt för läraren att låta elevernas lösningar på problemen bli vägledningen under lektionens gång, läraren ska inte heller ge för många ledtrådar (Lithner & Bergqvist, 2011). Lärarens roll ska vara vägledande och inte styrande i problemlösning (ibid.). Elever kan ha svårt med problemlösning där de ska läsa för att förstå problemet, i sådana situationer kan läraren läsa problemet högt för eleverna och sedan låta dem återberätta (Lester, 1982). Att främja elevers förståelse genom att låta dem förklara sin lösning av problemet är både utmanande och nödvändigt för att de ska kunna utveckla sin problemlösningsförmåga (Kramarski & Revach, 2009; Schoenfeld, 1992).
Vidare visar tidigare resultat av forskning i svenska skolor att utantillinlärning varit det som synts mest i arbete med läroböcker och lärares genomgångar (Sidenvall, 2015; Lithner, 2000; Bergqvist, Lithner & Sumpter, 2003). I Bergqvist och Lithners (2012) undersökning på det resonemang lärare använder sig av i sina genomgångar visade resultatet att det är imitativa resonemang som används mest. Detta kan vara en av anledningarna till att elever oftast använder denna strategi vid lösning av uppgifter och har svårt för problemlösning (Sidenvall, 2015). Problemlösning är något som har varit och är aktuellt och något lärare ofta kopplar samman med elever som kommit längre i matematiken (Riesbeck, 2000). Detta gör i sin tur att lärare anser att tid på problemlösning är dyrbar tid som går till spillo och att den hade kunnat gå till de elever som verkligen behöver. Dahl (2012) beskriver problemlösning på så sätt att det är något som kan läras ut på många olika sätt. Själva aktiviteterna som lärare använder att arbeta med, gällande problemlösning, är något som bör tänkas på och fokuseras på (ibid.). Taflin (2007) hävdar att i problemlösning kan läraren stötta genom att informera, fråga, besvara och
6
på så sätt leda diskussionen till rätt riktning (ibid.). Problemlösning är något som ska finnas i undervisningen från tidig ålder, som sedan ska kunna sakta och kontinuerligt utvecklas under skolgången (Van De Walle, 2007). Bergqvist och Lithner (2011) skriver om ett sätt att arbeta med kreativa resonemang är att göra det till en del av vardagen i klassrummet. Lester (1985) poängterar elevens ansvar i lärandet av problemlösning i matematik. Eleven kan ställa frågor till läraren för att få ledtrådar och samtala med andra elever för att få en djupare förståelse (ibid.).
2.7 Problemlösning och resonemang kopplat till styrdokument
I läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2018 (Skolverket, 2018) är problemlösning en central del för ämnet matematik. Under syftesdelen i årskurs 1–3 står det att: ”Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat (Skolverket, 2018, s. 54)”. Dahl (2012) hävdar att detta visar på att problemlösning är något grundskolans läroplan fokuserar mer på, jämfört med tidigare styrdokument. I läroplanen (Skolverket, 2018) står det även att ”undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang (Skolverket, 2018, s. 54).” Vidare i det centrala innehållet för problemlösning i årskurs 1–3 står det att elever ska kunna:
• Strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer.
• Matematisk formulering av frågeställningar utifrån enkla vardagliga situationer
(Skolverket, 2018, s. 54).
Problemlösning är således en förmåga som eleverna ska utveckla och en del av det centrala innehållet i kursplanen i matematik.
3. Teori
I följande avsnitt kommer den teori studien har sin utgångspunkt i att behandlas. Lithner (2008) har arbetat fram ett ramverk för matematiska resonemang genom studier som är grundade på erfarenhet och empiriska data. Syftet med Lithner’s (2008) ramverk är att skildra elevers användande av olika resonemangstyper för att kunna se grunden till orsaker och konsekvenser för resonemangen. Utifrån detta kanLithner’s (2008) ramverk användas till vad lärare uppfattar i sin undervisning i problemlösning ger eleverna. Ramverket kan undersöka vilka möjligheter till lärande som skapas i grundskollärares undervisning, med avseende på matematiska resonemang.
7
Ramverket beskriver två typer av resonemang, imitativa resonemang och kreativa resonemang (Lithner, 2008). När elever har en självklar lösning i en uppgift använder de ett imitativt resonemang. Eleven kan använda ett kreativt resonemang om uppgiften är ny för lösaren och bör då använda matematiska kunskaper för att komma på en ny lösning, motivering och argumentation för sin lösning (ibid.).
Lithner (2008) hävdar att ett matematiskt resonemang är själva tankesättet som blir valt till lösningen av ett problem. Genom påståenden för att kunna nå slutsatser till en lösning av en uppgift skapas en tankekedja (ibid.). I Lithner’s (2008) ramverk benämns argumentation som en viktig del av det förda resonemanget, av den som ska lösa problemet eller någon annan. Vidare skriver han om följande fyra steg vid uppgiftslösning som är strukturen i resonemanget:
1) Problemsituation (problematic situation) – eleven möter en uppgift där det inte är uppenbart hur hen ska gå vidare. 2) Strategival (strategy choice) – eleven väljer en strategi hen anser är lämplig och kan stödjas av följande argumentation: Varför kommer denna strategi lösa uppgiften?
3) Strategiimplementering (strategy is implemented) – Den valda strategin genomförs och kan svara på argumentation om varför den kunde lösa uppgiften.
4) Slutsats (conclusion) – eleven gör en slutsats (Lithner, 2008, s. 257).
Lithner (2008) hävdar att den här resonemangsstrukturen innehåller olika steg för att nå en slutsats och att vägen dit kan ses som en tankekedja. Eleven utvecklar sitt matematiska tänkande genom att göra antaganden och motivera sin lösning. Argumentation är något som kan användas för att minska utantillinlärning. Lithner (2008) anser att problem med imitativa resonemang inte behöver någon argumentation. Detta beror på att eleven inte behöver få någon förståelse för problemet eftersom inget analyserande och utforskande arbetssätt krävs. Argumentet i rutinuppgifter blir då att man har en metod sedan tidigare som man vet fungerar. Studier har visat att när elever som löser matematiska problem fastnar kan de inte motivera sig själva och/eller ha förmåga att fortsätta kreativt med problemet (Lithner, 2000; Bergqvist, Lithner & Sumpter, 2003). Lithner (2008) har tre kriterier på ett kreativt resonemang:
1) Nyhet. En ny (för lösaren) resonemangssekvens skapas, eller en glömd återskapas.
2) Rimlighet. Det finns argument som stöder strategins val och/eller en strategi som lösaren motiverar varför slutsatserna är sanna eller troliga. 3) Matematisk grund. Argumenten består av matematiska resonemang (Lithner, 2008, s. 266).
Enligt Lithner (2008) är tankekedjan, som tidigare nämnts, betydelsefull för elever även om det skulle visa sig att de har fel lösning. Ramverket är utformat för att utveckla vetskap om undervisning och lärande genom praktiknära forskning. Lithner’s teori har tidigare använts för att studera lärares genomgångar på högstadiet och gymnasiet genom att fokusera på vad elever lär sig i förhållande till de får för undervisning i matematik. Detta genom förhållande till vilken grad imitativt och kreativt grundat resonemang förs (Bergqvist & Lithner, 2010).
8
3. Syfte och frågeställning
Syftet med detta arbete är att belysa grundskollärares tankar gällande vilka möjligheter till lärande som de anser skapa i sin undervisning i årskurs 1–3, med avseende på kreativa och imitativa resonemang.
Följande frågeställning är ställd ur ett lärarperspektiv.
• Hur beskriver grundskollärare i årskurs 1–3 sina tankar om sin undervisning i problemlösning?
4. Metod
I följande avsnitt kommer val av metod och metod för datainsamling motiveras. Etiska aspekter och överväganden för undersökningen kommer kort motiveras och genomförande samt analys kommer presenteras.
4.1 Val av metod
Eliasson (2013) hävdar att en kvalitativ studie är en metod med hjälp av ord som gör att man kommer in på djupet i ens undersökning. Larsen (2009) kopplar kvalitativ metod till ”mjuk data”, där man vill undersöka vilka förväntningar som finns, hur något upplevs och på vilka sätt det kan vara problematiskt. Om man vill ha en helhetsförståelse av ett visst fenomen är en kvalitativ metod det främsta valet. En kvalitativ metod anses vara relevant när man vill höra människors åsikter. Att ha intervju som metod gör att man har möjlighet att ställa följdfrågor och på så sätt få kompletterande svar, en helhetsförståelse. Larsen (2009) hävdar att en kvalitativ metod anses mer tidskrävande att behandla än andra metoder, det är något man också bör ha i åtanke. I detta arbete kommer en kvalitativ metod i form av intervjuer att användas. Eliasson (2013) skriver om tre olika intervjuformer: Ostrukturerad intervju, Semi- eller
halvstrukturerad intervju och strukturerad intervju. I detta arbete kommer halvstrukturerad
intervju användas, som också kan kallas djupintervju. I en halvstrukturerad intervju anses det lättare att komma åt de som medverkar på djupet, deras uppfattningar samt att man som intervjuare kan ge följdfrågor (ibid.).
4.2 Urval
Studien är inriktad på lärare som undervisar matematik i grundskolans årskurs 1–3. I studien medverkade fem lärare där kriteriet var grundskollärarutbildning och relevant årskurs. Intervjuerna genomfördes via videosamtal. Efter att ha skickat ut mitt informationsbrev till flera olika skolor utan framgång kontaktade jag potentiella respondenter utifrån ett bekvämlighetsurval. Efter att respondenterna läst mitt informationsbrev och godkänt bestämde vi ett möte, över telefon med video. Vetenskapsrådets (2017) krav och regler togs i åtanke inför intervjuerna. Respondenterna hade fått information om studiens syfte i informationsbrevet som också upprepades innan intervjun.
9
4.3 Etiska överväganden
I denna studie har forskningsetiska regler och krav varit i åtanke och tagits hänsyn till. Tänka efter före – är något Vetenskapsrådet (2017) förespråkar när det kommer till forskarnas hantering av forskningsmaterial. Vetenskapsrådet (2017) har sammanställt forskningsetiska regler som gäller i samband med forskning:
1. Du ska tala sanning om din forskning.
2. Du ska medvetet granska och redovisa utgångspunkterna för dina studier. 3. Du ska öppet redovisa metoder och resultat.
4. Du ska öppet redovisa kommersiella intressen och andra bindningar. 5. Du ska inte stjäla forskningsresultat från andra.
6. Du ska hålla god ordning i din forskning,
bland annat genom dokumentation och arkivering. 7. Du ska sträva efter att bedriva din forskning utan att
skada människor, djur eller miljö̈.
8. Du ska vara rättvis i din bedömning av andras forskning (Vetenskapsrådet, 2017, s. 8).
Dessa åtta regler har varit viktiga i för mig i studien.
Enligt Vetenskapsrådet (2017) är det fyra huvudkrav i forskning som ska behandlas gällande forskningsetiska överväganden.
Informationskravet: Det ska vara helt frivilligt att delta i en studie och deltagare har rätt att
avbryta sin medverkan när som helst under studiens gång. I en undersökning där enkät, intervjuer eller observationer används ska förhandsinformation till deltagare ges om studien. Forskaren ska informera vad den genomförda studien kan bidra med (ibid.). I den här undersökningen blev respondenterna informerade om vad studiens syfte var, vad den skulle användas till och vad de förväntades att göra via ett informationsbrev (se bilaga 1), detta togs upp igen i början av intervjun från forskaren. Respondenterna fick även information om att undersökningen är helt frivillig att medverka i och att makten ligger hos dem om de skulle vilja avbryta. De som medverkade i studien fick information om att det är en kvalitativ intervju-undersökning som sker enskilt över telefonsamtal med bild.
Samtyckeskravet: Forskaren ska ha samtycke från alla som deltar i studien. Eliasson (2013)
poängterar att intervjuer ska dokumenteras med samtycke från den som blir intervjuad. I den här studien har intervjuerna spelats in med ljud via en mobiltelefon efter att informanterna godkänt. De har även blivit erbjudna att ta del av materialet och har på så sätt kunnat lägga till om de anser att något fattats och tagit bort om de anser att exempelvis att något kan misstolkas.
Konfidentialitetskravet: De som medverkar i studien ska känna sig trygga i att lämna privata
uppgifter genom att materialet ska förvaras tryggt där obehöriga inte ska ha tillgång till dem. I den här studien fick medverkande information om detta i informationsbrevet. Medverkande fick information om att deras namn byttes ut och att skolan och kommunen inte skulle nämnas i studien.
10
Nyttjandekravet: Det fjärde och sista kravet handlar om hur forskningsmaterial ska användas,
det ska inte utnyttjas på så sätt att det används till annat än själva forskningen. Medverkande har blivit informerade om att materialet kommer spelas in. De blev också informerade om att inspelningen är något forskaren kommer ta del utav, arbetets examinator har också rätt till att ta del utav det. Inspelningen kommer att transkriberas och när arbetet är godkänt kommer inspelningen makuleras.
Validitet, som bör tänkas på i en undersökning, är en kvalitativ metod enklare att säkerhetsställa giltigheten (Eliasson, 2013). Validitet är om undersökningen anses giltig och reliabilitet är om den anses pålitlig. Det har tagits hänsyn till genom att se över allt material som använts är säkert, genom att ha legitimerade grundskollärare som medverkande i studien. Jag har varit mån om att ställa frågor till lärarna som ska ge ett brett underlag så att deras uppfattningar verkligen kommer fram om just precis problemlösning.
4.4 Genomförande av intervju
I den här studien har en halvstrukturerad intervju genomförts. Med hjälp av en intervjuguide har öppna frågor ställts till dem som medverkat. Intervjun började med att förklara studiens syfte. Intervjuerna skedde över ett videosamtal på telefon, med förberedda intervjufrågor, och tog cirka 30 minuter. Intervjuguiden som användes fungerade frågorna som en checklista, under intervjuns gång. Jag gav intervjufrågorna och lät de medverkade svara utan att bli avbrutna. Eliasson (2013) skriver att det är viktigt att tänka på validiteten och reliabiliteten i en kvalitativ intervju, de som medverkar ska få svara på intervjufrågorna utan att bli avbrutna och/eller vägledda. Jag tog hänsyn till detta i intervjuernas gång, genom att endast ställa intervjufrågorna och om någon följdfråga ställdes fanns objektivitet i åtanke. Att intervjuguiden innefattade flera frågor gjorde att intervjun blev mer strukturerad. Eftersom det här var en halvstrukturerad intervju hade respondenten möjlighet att ställa frågor till intervjuaren utifrån intervjuguiden, det gjorde att intervjun också kan kallas för djupintervju (Eliasson, 2013). Fejes och Thornberg (2015) skriver att en kvalitativ intervju ska spelas in och sedan transkriberas. I denna studie spelades intervjuerna in via en mobiltelefon, med medverkandes godkännande.
Larsen (2009) skriver att intervjuaren bör undvika främmande ord då det kan förvirra informanterna, i sådana fall bör orden förklaras. Frågorna får inte heller vara ledande, det vill säga frågor som visar på vilket svar som är ”rätt” (ibid.). Detta togs hänsyn till när intervjufrågorna gjordes. I intervjufrågorna nämns inte imitativa och kreativa resonemang, då det inte är något grundskollärare förväntas ha kunskap om. Intervjuguiden (se bilaga 2) hade en tydlig objektiv avsikt om problemlösning. Intervjuguiden blev skapad med utgångspunkt i Lithners (2008) kriterier på kreativt matematiskt resonemang.
11
4.5 Analysmetod
Fejes och Thornberg (2015) skriver om teorins roll i analysen. Ett av förhållningsätten som nämns är att utgå från studiens teori i analysen. I denna analys är Lithners (2008) ramverk som en guide för studiens idéer och ett stöd för analys, vad gäller grundskollärares undervisning i problemlösning. I följande ordning har genomförandet av studiens metod och analys skett: intervjuer, transkription, sortering och granskning av insamlade data.
4.6 Lärares arbetsprocess i problemlösning
Lithners (2008) framställning av resonemang har en central del i arbetets gång. Ett kreativt resonemang kan bli följden av att läraren möjliggör för eleven att få möta ett okänt problem i en uppgift som är av icke-rutinmässig karaktär, och där eleven får argumentera för sin lösning med en matematisk grund. Ett imitativt resonemang följer ofta av att lärare erbjuder uppgifter i undervisningen som eleverna redan mött tidigare och lärt sig mer eller mindre utantill.
Utifrån Lithners (2008) tre kriterier på ett kreativt resonemang, som nämndes i teoriavsnittet, fick analysen sin inspiration. Ett kreativt resonemang möjliggörs när läraren 1) låter elever möta nya problem 2) Stöttar eleven utan att ge svaret 3) har förväntningar på matematiska resonemang och argument i elevernas redovisningar. Ett kreativt resonemang ska vara en ny uppgift för eleven, det vill säga att eleven inte direkt känner till hur uppgiften kan lösas, då ska en resonemangssekvens skapas eller en glömd kan återskapas. Det ska finnas motivation för lösningens sannolikhet och argumentationen för lösningen ska vara baserat på matematiska egenskaper (ibid.). Hegarty, Mayer och Monk (1995) hävdar att argument som inte bygger på matematiska egenskaper kan vara nyckelord i en uppgift som ”mindre än” indikera att minus ska användas, eller ”mer” som indikerar att plus ska användas.
Ett imitativt resonemang möjliggörs när 1) eleverna inte får möta en ny uppgift, utan istället får de lösa uppgifter de redan vet lösningsmetoden på 2) eleverna får instruktioner som de kan följa så att de inte behöver tänka själva 3) eleverna inte får motivera sin lösningsmetod utan fokus ligger redovisning med intresse för kommunikationsförmåga.
Utifrån Lithners (2008) tre kriterier på ett kreativt matematiskt resonemang skapades en struktur av intervjuerna. Utgångspunkten för intervjuerna var lärares arbetsprocess genom: planeringsfas, implementeringsfas och redovisningsfas. Det vill säga om lärare undervisar på ett sätt som möjliggör kreativa resonemang, eller om de undervisar på ett sånt sätt att de i första hand möjliggör imitativa resonemang. Utifrån tabellen nedan gjordes en analys av den insamlade datan.
Lärares arbetsprocess Kreativt resonemang Imitativt resonemang Planeringsfas:
Hur planerar läraren
problemlösningsuppgifter för eleverna?
Problem som eleverna inte
12
Implementeringsfas: Hur ”hjälper” läraren eleverna under deras problemlösning?
Stöttning för fortsatta
självständiga resonemang Instruktioner så att de klarar av att lösa uppgiften
Redovisningsfas:
Hur uppmuntras eleverna att använda matematiska resonemang i sina redovisningar av
uppgifterna? På vilket sätt får eleverna argumentera för/ motivera sin lösningsmetod? Vilka förväntningar finns?
Förväntningar på
matematiska argument med fokus på resonemangsförmåga Intresse för redovisning med fokus på kommunikationsförmåga Tabell 1 4.7 Intervjuer
När intervjuerna med de medverkande lärarna skulle analyseras användes en innehållsanalys. Larsen (2009) hävdar att det är en slags metod för att kartlägga och tolka budskap, för att se mönster och samband. Utan de medverkandes vetskap följde intervjuerna tabellen (intervjuguide: se bilaga 1). Intervjuerna hade som mål att få fram grundskollärarnas som intervjuades tankar angående undervisning i problemlösning, avseende på kreativa och imitativa resonemang. Jag antecknade lärarnas tankegångar direkt efter intervjuerna. Eliasson (2013) hävdar att anteckna direkt efter intervjun är viktigt då en översikt om vad som kommit fram under intervjun skapas. Anteckningarna använde jag sedan i samband med avlyssning av de inspelade intervjuerna, för att sedan transkribera.
För att denna studie skulle kunna bearbetas behövdes insamling av data transkriberas. Larsen (2009) hävdar att transkription ger en tydligare överblick över samtliga data, på så sätt kunna se likheter och skillnader. Syftet med studien har i sin tur makt över vad som anses vara relevant att ha med i studien, av transkriberingen. Transkriberingarna av intervjuerna skrevs in i ett dokument på datorn, skrevs ut och lästes igenom. Överflödigt ljud och upprepningar av ord togs bort i transkriberingen. Kvale och Brinkmann (2017) hävdar att om man transkriberar i talspråk kan det uppfattas osammanhängande och kan på så sätt bli svårare att analysera. I denna studie transkriberades intervjuerna till skriftspråk, då innehållet av det som sas är det viktiga och inte det språkliga. I transkriberingarna användes färgmarkörer för att kunna skapa mer gynnsamma förutsättningar i sorteringen (Larsen, 2009). Färgmarkeringen bestod av två färger, där grön var tecken på att läraren undervisade ur ett kreativt resonemang och rosa var tecken på imitativt resonemang. Tabell 1 beskrivningar av hur man uppmuntrar eller möjliggör kreativa resonemang respektive imitativa resonemang användes för att kunna göra färgmarkeringar. På så sätt skapades en överblick av vad undervisningen mest bestod i. Medverkande fick så kallade kodnamn i transkriberingen i alfabetisk ordning, ”Lärare A, Lärare B..”.
13
5. Resultat och analys
I detta avsnitt presenteras resultatet av insamlade data ifrån de fem intervjuer som utförts. Från studiens syfte och studiens intervjuguide (se bilaga 2) har resultatet kopplats och presenterats.
Lärares arbetsprocess Kreativt resonemang Imitativt resonemang Planeringsfas:
Hur presenterar läraren problemlösningsuppgifter för eleverna?
Egna kluringar Återkommande
problemlösningsuppgifter
Implementeringsfas: Hur ”hjälper” läraren eleverna under deras problemlösning?
Ledtrådar Lotsning/strategier
Redovisningsfas:
Hur får eleverna använda matematiska resonemang i sina redovisningar av uppgifterna?
Matematiska argument Redovisning, uttrycksformer
Tabell 2
Utifrån tabellen, planeringsfas-implementeringsfas-redovisningsfas, med inspiration från Lithners (2008) kriterier på ett kreativt och imitativt resonemang har datan analyserats. I det här kapitlet redovisas de fem intervjuerna som gjorts i den här studien (se bilaga 2). Det första som tas upp är planeringsfasen, om läraren presenterar nya problemlösningsuppgifter för eleverna eller om det är rutinuppgifter. Det andra är implementeringsfasen får eleverna ledtrådar från lärarna så att de kan resonera kreativt, eller får de instruktioner på hur de ska gå till väga med hjälp av imitativa resonemang. Det sista som tas upp är redovisningsfasen, om läraren ställer några krav på att elever ska argumentera/motivera sin lösningsmetod med hjälp av matematiska resonemang. Lärarna som medverkat i undersökningen fick frågor utifrån om nya problem presenteras för eleverna. Frågorna omfattade vad problemlösning innebär för dem, hur uppgifterna/aktiviteterna ser ut och hur elevers tidigare matematikkunskaper tas hänsyn till i planeringen. Frågor ställdes till de medverkande lärarna hur problemlösningsuppgifter genomförs, och vad deras lärarroll innebär. Frågorna skulle besvara om eleverna argumenterar/motiverar för sin lösningsmetodmetod.
5.1 Planeringsfas
Flertalet av lärarna anser att matematikboken har återkommande problemlösningsuppgifter i kapitlen, de är bara formulerade på olika sätt. Att matematikboken har samma mönster är något
14
flera sett att eleverna förstått och därav har lärarna insett att nya uppgifter i problemlösning måste presenteras. En av lärarna kallar dessa för kluringar, som presenteras i helklass på tavlan och på så sätt får eleverna fundera, då räknesättet inte är helt givet för dem. Dessa så kallade ”kluringar” hittar hen på själv. ”Jag tänker att, jag brukar kalla det för kluringar när vi är i klassen, och det är väl när det inte finns ett så kallat räknesätt utan man måste komma fram till en metod själv” (Citat, lärare B). Flera av lärarna som medverkade i studien använder sig av samma matematikbok. De menar att bokens uppgifter bygger på det eleverna redan kan, då uppgifterna är återkommande. Därför försöker de med jämna mellanrum presentera nya typer av problem de hittar, som inte liknar bokens upplägg på problemlösningsuppgifter. En lärare belyser problemlösning i matematik som en hjälp för elevers utveckling i deras begreppsförståelse.
Jag tycker att problemlösning är någonting som är jättebra att använda sig av för att få förståelse för vissa begrepp. Om vi jobbar med att förstå vad räknesättet addition gör så kan man använda problemlösning för att i slutändan lösa det med addition (Citat, Lärare C).
En tolkning som jag kan göra från detta är att lärarna vill presentera nya problem för eleverna. Det går också att tolka att flera av lärarna anser att matematikboken har liknade problemlösningsuppgifter och att eleverna känner igen räknesättet. Flera lärare i studien förespråkar att presentera egna problem, vilket är något de hittat på själva eller hittat i något annat material, än just matematikboken. De vill att eleverna ska få ”klura” lite och inte ha en direkt lösning på problemet. Detta gör att de hittar på egna uppgifter som också är nya för eleverna. Enligt min tolkning i detta är flera lärare i studien medvetna om att boken innehåller mycket utantillinlärning och på grund därav anser lärarna att det är viktigt att erbjuda uppgifter utan en självklar metod på andra sätt.
Flertalet lärare uppger att problemlösningsuppgifterna de använder är återkommande, det vill säga att samma tillvägagångssätt för lösningen används. Det för att lära eleverna en lösningsmetod så de vet hur de ska göra nästa gång de stöter på en liknande uppgift. Det lärarna genomgående upprepar är att de ger eleverna strategier på hur de ska sortera ut problemen, när en uppgift anses för svår. Enligt flera av lärarna så ger strategier eleverna självförtroende i att motivera och argumentera för sin lösning och gör det lättare i nästkommande liknande uppgift. En lärare beskriver uppgifterna i matematikboken som en röd tråd, att uppgifterna är återkommande. Det som understryks är att när eleverna får återkommande uppgifter regelbundet lär sig eleverna en strategi som de kan visa på papper hur de kommit fram till svaret.
Den tolkning jag kan göra ifrån detta är att alla lärare arbetar oftast arbetar med material som har återkommande uppgifter. För att kreativa resonemang ska möjliggöras i undervisningen bör eleverna få möta nya uppgifter, det vill säga uppgifter de inte direkt har en lösning till. Flera av lärarna ger uttryck för att de vill att eleverna ska få arbeta med problemlösning dock verkar
15
fokus mest ligga på att eleverna ska känna igen uppgifterna. Det finns också exempel på lärare som anses missnöjda med skolmaterialet i problemlösning och skapar då istället ”egna kluringar” till eleverna.
5.2 Implementeringsfas
Elevers tidigare kunskaper är något alla medverkande lärare tar hänsyn till i planeringen, av problemlösning. En lärare beskriver hur hen går tillväga med vägledning i undervisningen såhär: ”Jag ger eleverna ledtrådar, jag ger aldrig svar och säger hur de ska göra. Jag vill att de själva ska komma fram till en lösning (Citat, Lärare D)”. En lärare hävdar att problemlösning är något som bör tränas på dagligen för att få eleverna på rätt tankebana utan att behöva ge strategier.
Flera av lärarna förklarar hur strategier ges till eleverna, när de har svårt att börja med en uppgift och/eller har fastnat.
Jag ger ju dom ledtrådar, jag ger ju aldrig eleverna svar ”såhär ska du göra”, jag vill ju att de själva ska komma fram till en lösning. Så man får ju lotsa lite och vägleda dem, men aldrig säga ”såhär ska du göra”, utan man vill ju att dom ska tänka och klura själva eller tillsammans med en kompis (Citat, lärare A).
Ett par lärare nämner lotsning som ett tillvägagångssätt, för att hjälpa eleverna i deras lärprocess, dock beskrivs det på olika sätt. En av dem anser att det är svårt att inte lotsa för mycket, då eleverna kan vara otåliga och/eller att det är stressigt.
En lärare nämner att hen anser att ge eleverna nya problem är svårt, då de inte vet hur de ska ta sig an uppgiften. En lärare betonar att eleverna får leka detektiver i hens uppgifter i problemlösning, som presenteras på tavlan. Hen förklarar det som en gåta de ska lösa tillsammans. Läraren förklarar hur strategier ges till eleverna så att de kommer på rätt spår. Lärare C hävdar att efter eleverna fått olika strategier och lärt sig hur de ska gå till väga med en typ av uppgift vill/kan många elever jobba på egen hand.
I början löser vi ganska mycket tillsammans men efter ett tag så.. Eftersom det är olika uppgifter så blir det ibland lite olika strategier, vad dom frågar efter och vad finns det för ledtrådar.. Men efter ett tag så kanske det blir så att det är några som vill jobba lite mer på egen hand så man bara lär sig själva uppgiften (Citat, Lärare C).
En tolkning som kan göras är att lärarna så gärna vill att eleverna ska komma in på ”rätt spår” av lösningen i uppgiften och därav ger de strategier och ”lotsar” fram svaret från eleven. Enligt min tolkning menar de att lotsa är att styra eleven i rätt riktning till det rätta svaret. Följden av detta blir att eleverna inte kan utföra olika lösningar, utan att de flesta kommer försöka lösa uppgifter med det inlärda tillvägagångssättet, det vill säga ur ett imitativt resonemang. Däremot
16
har lärarna i studien uppmärksammat detta som ett problem i sig, att det anses svårt att undervisa ur ett kreativt resonemang när eleverna inte har grundläggande kunskap som exempelvis kan bero på deras unga ålder.
Flera lärare betonar att problemlösning innebär något som inte har ett direkt självklart räknesätt. Lärarna i intervjuerna går efter modellen EPA (eget, par, alla). En lärare beskriver detta arbetssätt som något givande för elever som har svårt med problemlösning i matematik. Hen hävdar att genom att få vara med en kompis och diskutera ett problem och sedan lyssna i helklass samlar eleverna på sig matematiska resonemang, att använda i framtida uppgifter.
Det blir ju ofta bra diskussioner, jag brukar gå runt och höra deras resonemang, när jag hör eleverna säga ”det måste vara såhär därför att”, blir man lycklig (Citat, Lärare D).
Flertalet av lärarna som blivit intervjuade beskriver det som svårt för elever att argumentera sin lösning i helklass, då de oftast inte vågar. I sådana fall får eleverna oftast arbeta i par eller i mindre grupper för tillsammans komma fram till en lösning. Samtliga lärare som medverkat anser att eleverna bör förklara sin lösning och inte bara säga svaret, men att det kan ske i olika sammanhang. Hur lösningarna redovisas sker olika, men eleverna får träna både skriftligt och muntligt att förklara sin lösning. En hävdar dock att det inte är ett krav hen kan ställa på eleverna, att de ska redovisa genom matematiska resonemang. Samtidigt är en av lärarna mycket bestämd på att eleven ska skriva ner uttryck eller berätta stegvis hur hen kom fram till sin lösning. Läraren förklarar tydligt att hen inte nöjer sig med endast med svaret på uppgiften, utan förklaringen bakom hur eleven gick till väga är det som är viktigt. Matematiska resonemang benämner alla lärare som något de relaterar till problemlösning. Att eleverna får diskutera metoder och lösningsstrategier högt.
Jag kan jobba i halvklass och då kan jag diskutera och resonera tillsammans med eleverna. På så sätt orkar också eleverna lyssna på varandra, och då kan vi prata problemlösning. I stor klass kan de resonera i par. Man måste kunna variera. Speciellt för de elever som har det svårt, de behöver få allt ännu tydligare (Citat, Lärare A).
En tolkning jag kan göra utifrån detta är att arbetssättet EPA (eget, par, alla) används för att alla elever ska kunna våga använda matematiska resonemang när de redovisar sin lösning. Utifrån det som nämnts om elevers självförtroende bör även deras unga ålder vara i åtanke. Det jag anser är intressant att uppmärksamma är att flera av lärarna anser att lösningens redovisning är viktig även om själva svaret är felaktigt. När eleverna ska argumentera för en lösning blir det lättare för de att visa genom en inlärd lösningsmetod. Min tolkning ur ett kreativt resonemang är att alla lärare i studien erbjuder eleverna att redovisa sin undervisning, dock är inte kraven för att eleverna ska argumentera och motivera sin lösning särskilt höga. I de fall där eleverna inte har lösningen är läraren mån om att ge lösningen, för att hen inte litar på att eleven kan lösa det.
5.3 Redovisningsfas
Flera av de intervjuade lärarna understryker att ett felaktigt svar kan bestå av en bra lösningsmetod, som något som kan hjälpa till i förståelsen av problemet. På så sätt är det viktigt
17
att eleverna förklarar hur de kom fram till svaret. En lärare beskriver elevernas självförtroende i matematik som en viktig aspekt för att de ska kunna motivera och argumentera för sina lösningar i redovisningen, det är något de jobbat mycket med och att det är något som bör tas på allvar då det är eleven som ska våga lita på sina kunskaper. Elevernas unga ålder är något som tas upp bland flera lärare, att kraven inte kan vara särskilt höga på deras redogörelse av svaret. Att eleverna är så unga gör det lättare att arbeta med praktisk matematik, särskilt i problemlösning. Eleverna har inte den mognad som krävs för att resonera matematiskt, vilket resulterar i att fokus istället ligger i stort sätt enbart på själva redovisningen av uppgiften. Flertalet lärare beskriver matematikboken som ett hinder för matematiska resonemang. De anser att eleverna inte får träna på problemlösning tillräckligt om utgångspunkten endast är matematikboken, utan det krävs mer praktisk matte så att eleverna måste diskutera sig fram till en lösning. Flera lärare hävdar att matematikboken inte får eleverna att träna på någon slags redovisning, skriftlig eller muntligt, utan att endast ett svar räcker. En lärare anser att eleverna måste få se att en redovisning av ett problem kan se ut på olika sätt. ”Eleverna behöver självförtroende för att tro på sig själva och komma fram till en lösning på olika sätt, olika ska vara okej (Citat, Lärare B)”. Läraren beskriver hur matematikboken låser eleverna till att tro att det endast finns en lösning på ett problem.
Samtliga lärare menar att problemlösning anses givande att kombinera med praktiskt material. En av lärarna hänvisar till andra typer av problemlösningsuppgifter, för att kunna visa att ett problem kan ha flera lösningar. Ytterligare ett argument att arbeta med praktiska uppgifter när eleverna får diskutera öppet är att eleverna får berätta muntligt sina redovisningar för varandra, på så sätt lär dem sig av varandra. Eleverna får då med sig att föra och höra matematiska resonemang. Exempel på arbetsmaterial i problemlösning som kan användas när man inte arbetar i matematikboken är kuber och lego, för att få en tydligare redovisning av problemet. En lärare hävdar att när sådant typ av arbetsmaterial används resonerar eleverna på ett annat sätt, då de inte sitter tysta med en varsin matematikbok. Alla lärare i studien pratar positivt om praktisk matematik i samband med lösningsuppgifter, då eleverna får resonera högt. Det som tas upp som problem i detta är att det krävs en hel del planering och det betyder tid, och tiden som inte räcker till tar alla lärare till försvar. Och eftersom eleverna är så pass unga behövs oftast en till vuxen för att de ska kunna redovisa sin lösning, om de ska vara ute eller om praktiskt material ska användas.
Enligt min tolkning av detta anser flera av lärarna att praktisk matematik är nyckeln till att få elever att föra matematiska resonemang fram till sin redovisning, när det gäller problemlösning. Det som gör det svårt är tiden som inte räcker till att utföra praktisk matematik. Och elevernas unga ålder gör det svårt att få dem argumentera för sin lösning som de löst tyst på egen hand. Detta ger i sin tur fokus på själva svaret, om de är rätt eller fel. Eleverna får inte träna på att argumentera matematiskt, därav ställs inga krav. Fokus ligger istället på olika uttrycksformer. Eftersom lärarna anser att tiden inte finns för eleverna att resonera och argumentera matematiskt, så hamnar fokus på själva svaret, det vill säga redovisningen. Redovisningen lärarna då ser kan exempelvis vara genom att rätta elevernas matematikbok - då ställer jag frågan, hur tydligt lärarna ser hur eleverna har resonerat? Flera av lärarna anser att eleverna ska
18
förklara hur de löst uppgiften fastän det inte nämns hur eleverna får träna på att resonera och argumentera matematiskt. Följden till detta blir att eleverna inte får den förberedelse de behöver till redovisningsfasen.
6. Diskussion
I följande avsnitt kommer det resultat som framkommit från intervjuerna, utifrån forskning, styrdokument och Lithners (2008) ramverk, att diskuteras.
6.1 Metoddiskussion
Fejes och Thornberg (2015) hävdar att i en halvstrukturerad intervju krävs det att intervjuaren är van att intervjua för att få informanten att utveckla sina svar. Att utveckla svaren kan vara genom följdfrågor eller kroppsspråk och mimik för att få informanten att bli motiverad att förklara mer ingående. En nackdel kan vara att detta misstolkas och att informanten tror sig bli vägledd till ett svar (ibid.). I den här studien har videosamtal använts mellan intervjuare och informatör. Det kan ses som en nackdel då motivering från intervjuaren till att fortsätta med exempelvis ett nickande kanske missades av informatören. Det kan ha orsakat att signaler av intresse försvann och att inte svaren blev tillräckligt utförliga.
Studiens reliabilitet kan upplevas svår att avgöra då exakt samma resultat är omöjligt att få. I studien har ett mål varit att redovisa tillvägagångsättet så tydligt som möjligt för att öka chansen för andra att avgöra om studien är reliabel. När studier använder sig av halvstrukturerade intervjuer är det omöjligt att få alla exakt lika följsamma, eftersom följdfrågor kan förändras utifrån vad informatören svarar (Larsen, 2009). I den här studien har följdfrågor formulerats utifrån studiens syfte och intervjuguide (se bilaga).
Studien har en kvalitativ forskningsmetod och analys. Kvalitativ forskningsmetod betyder att forskaren tolkar materialet utifrån verkligheten och det kan göra det svårt att vara objektiv (Fejes & Tornberg, 2015). Det som gör det svårt för forskaren att vara objektiv i analysen kan vara egna iakttagelser i tolkningsprocessen (ibid.). I den här studien har jag hela tiden haft det i åtanke, att vara objektiv under hela arbetets gång. Jag kände inte till skolorna som lärarna arbetade på sen innan vilket jag anser bidrog positivt i min tolkning av materialet, då min objektivitet blev obestridd. Jag är ändå väl medveten om att trots min avsikt om objektivitet har jag haft en förförståelse som haft betydelse för min tolkning, förhoppningsvis är resultatet rättvist i alla fall. Vid några tillfällen ställde jag (intervjuaren) följdfrågor till respondenterna för att förtydliga frågan. Dock inte ledande utan exempelvis upprepades frågan som hade getts eller så omformulerades den. Intervjuerna har inte ordagrant transkriberats, exempelvis har skriftspråk har använts, bland annat för att skydda informatörernas anonymitet.
19
6.2 Resultatdiskussion
Denna studie har utgått från Lithners (2008) ramverk och förklaring på kreativa och imitativa resonemang. Matematiska kreativa resonemang har tolkats som problemlösning medan imitativa har tolkats som rutinuppgifter/utantillinlärning (Sidenvall, 2015). Flera av lärarna som blev intervjuade benämner problemlösning som en uppgift där inte lösningen är självklar. Detta stämmer överens med vad ett problem är, som har hämtats från aktuell läroplan (Skolverket, 2017). En annan lärare nämner att hen provat att ge eleverna nya uppgifter men att det ansågs för svårt. Läraren hävdar att strategier behövdes ges till eleverna, för att visa hur de skulle gå till väga för att kunna fortsätta. Riesbeck (2000) hävdar att problemlösning är något som lärare kategoriserar något som kostar dyrbar tid i klassrummet, då den tiden hade kunnat lagts på elever som har svårigheter i matematik. Det stämmer överens med lärarna i denna studie. Lärarna beskriver problemlösning som något tidskrävande, då uppgifter och vilken typ av undervisningsform som ska användas bör planeras och att det ofta är det som sätter stopp för problemlösning. Det kan sättas i relation till det som Dahl (2012) skriver, att problemlösning är något som ska läras ut i alla typer av undervisningsformer. Planering för aktiviteter i problemlösning är betydelsefullt att lägga sin tid på (ibid.). När elever ska arbeta kreativt och lösa nya uppgifter går det åt mycket tid och blir svårare för lärarna. Lärarna i studien hävdar att det är problemlösningsuppgifter de försöker att arbeta mer med, än bara uppgifter från boken. Exempelvis påhittade uppgifter från lärarna själva som de går igenom i helklass.
Chick och Stacey (2013) skriver att om läraren gör problemlösningsuppgiften själv kan hen möta upp eleven i vägen till lösningen och på så sätt kunna möta eleven på mitten (Chick och Stacey, 2013; Chamberlin 2005). Detta är något som går att koppla samman med hur lärarna i den här studien beskriver hur de presenterar nya problem, där alla lärare hade samma tillvägagångssätt, genom att visa uppgiften på tavlan inför helklass. Lithner och Bergqvist (2011) hävdar att det som kan anses svårt är att inte ge för många och/eller styrande ledtrådar, följden till det blir att lärarna inte kan möjliggöra ett kreativt resonemang. Detta är något som lärarna i studien verkar uppleva som en svårighet i undervisningen i problemlösning. Att det är svårt att inte ge för många ledtrådar som tar eleven i rätt riktning i lösningen. Det är något som inte alla lärare i studien upplever som ett problem, utan mer som ett rimligt tillvägagångssätt. Lester (1985) hävdar att elevens roll i lärandet av problemlösning i matematik för att få en djupare förståelse är att ställa frågor och samtala med andra. Det är något som flera av lärarna poängterar, att prata problemlösning gynnar elevernas problemlösnings-förmåga. Att låta eleverna förklara sin lösning utmanar deras problemlösningsförmåga och är en viktig del i lärprocessen (Kramarski & Revach, 2009; Schoenfeld, 1992). Flera av lärarna som blev intervjuade i studien refererade till metoden EPA, eget-par-alla, när jag ställde frågor utifrån implementeringsfasen, det vill säga hur eleverna får argumentera och motivera sina lösningar. Att eleverna först får tänka ut en lösning på egen hand, efter det diskutera med en kompis för att sedan gå igenom uppgiften i helklass. De anser att det är ett effektivt och bra sätt att få eleverna att utveckla sin argumentation för lösningen. Detta gör i sin tur att eleverna får träna på sin begreppsförmåga (Lithner & Bergqvist, 2011). Elevernas problemlösningsförmåga utvecklas då deras förståelse främjas när de får förklara hur de gick till väga (Kramarski &
20
Revach, 2009; Schoenfeld, 1992). Det som är viktigt är hur planeringsfasen hanteras av läraren, då lärarens roll ska vara informativ men inte ledande, när de presenterar problemet för eleverna (Chamberlin, 2005). Enligt min tolkning av intervjuerna har lärarna svårt med detta och att deras så kallade ”lotsning” kan erfaras som styrande. Lärarna förklarar att vid svåra problemlösningsuppgifter går de igenom uppgiften i helklass, för att få eleverna att förstå. Antagandet kan göras att de ”svåra” egentligen är de ”nya” problemlösningsuppgifterna. I enlighet med det har Bergqvist och Lithners (2012) studie visat, att lärare oftast använder sig av imitativa resonemang vid genomgångar genom att de själva minns och imiterar resonemang. Matematiska resonemang i problemlösning har haft en central del i denna undersökning. Ball och Bass (2003) skriver om tre skäl på varför matematiska resonemang är nyckeln till elevers matematiska tänkande. Att ha grundläggande matematiska kunskaper är ett av skälen, för att eleven ska kunna ta åt sig en ny algoritm. Under de intervjuer som givits till resultat förklarade flera lärare att de hjälper eleverna med strategier, när de möter en ny uppgift. Antagandet som kan göras utifrån det är att eleverna saknar grundläggande matematiska kunskaper. När eleverna får möta nya problem och uppmuntras att tänka själva kan det benämnas som problemlösning och det är först då som de lär sig begrepp. En problematik i elevernas matematiska utveckling som kan uppstå är att elever inte får de kunskaper de behöver för att kunna vara kreativa. Kan också vara att eleverna har kunskaperna, men inte får pröva en egen strategi innan läraren visar. Vad gäller matematiska resonemang beskriver Ball och Bass (2003) det som något som elever bör få träna på. Det är när eleverna lär sig att resonera de kan möta nya uppgifter, använda sig av metoder som fallit i glömska och/eller arbeta med uppgifter flexibelt (ibid.). Utifrån vad intervjuerna visade så anses det viktigt att eleverna resonerar fram sin lösning, skriftligt eller muntligt. Genom resonemang och argumentation i problemlösning utvecklas elevers begreppsförmåga, och att utveckla elevers begreppsförmåga är något som lärare bör ha i fokus i matematikundervisningen (Lithner och Bergqvist, 2011). En lärare nämner just detta, att problemlösning är något som utvecklar elevernas begreppsförståelse. Chockroft (1982) skriver att den kunskap som lagras i det långsiktiga minnet, gällande problemlösning, är beroende på hur djup begreppsförståelse elever har. Vad gäller elevers förmågor i att lösa uppgifter är något som försämrats enligt PISA’S undersökning (OECD, 2014). Detta kan sättas i relation till att det endast var en av lärarna som drog en koppling mellan begrepp och problemlösning. Att det är något som utvecklar elevernas begreppsförståelse även om studiens syfte hade fokus på annat så är det likväl intressant att det nämndes. Sidenvall (2015) hävdar att begreppsförståelse går hand i hand med kreativa matematiska resonemang. Bergqvist och Lithner (2011) skriver just att undervisningen bör ha mer fokus på att utveckla elevernas begreppsförmåga. Det ska göra att utantillinlärningen minskar, då eleverna ska resonera och argumentera fram sin lösning, bland annat genom sin begreppsförståelse (ibid.). Flertalet lärare i studien framhäver att eleverna inte vågar argumentera matematiskt, kanske har de inte fått möjlighet till att träna på det och därav känner sig osäkra. När lärarna i studien diskuterar matematiska argument behöver det nödvändigtvis inte vara det, utan egentligen syftar de på redovisningen.
Lester (1982) diskuterar problemlösning för elever som kan ha svårt med läsning, vilket gör att det blir svårt för elever att förstå problemet. Eftersom studien riktas sig till elever i yngre åldrar, är det stor ovisshet för läs och skrivfärdigheter hos eleverna. Lester (1982) tar upp ett exempel
21
som kan hjälpa elever i denna typ av problematik, att läraren läser problemlösningsuppgiften högt för eleverna och låter de återberätta. Detta exempel tog ingen lärare i studien upp som ett exempel på hur de kan gå till väga, trots att flera av de hänvisade till elevernas unga ålder. Lärarna menade på att de möter nya problemlösningsuppgifter tillsammans på tavlan i helklass, på så sätt såg de att alla elever var med och förstod innebörden. Bergqvist och Lithner (2011) hävdar att det är svårt för lärare, som arbetar med yngre elever, att hitta ett nytt problem för eleverna som också är nytt och främmande för läraren. Det förslag som de uppmanar är då att visa ett nytt problem för eleverna och låtsas att det är nytt för läraren också, för att komma fram till en lösning tillsammans (ibid.). Franke och Kazemi (2001) skriver också att lärare kan möta eleverna på mitten och vara på deras nivå för att utveckla deras matematiska kreativa resonemang.
6.3 Sammanfattning
Utmaningar som studien synliggjorde var att grundskollärarna som blev intervjuade visade tecken på svårigheter i att undervisa problemlösning, utifrån Lithners (2008) kriterier på matematiska kreativa resonemang. Lärarna hävdar att tiden inte räcker till och att elevernas unga ålder komplicerar undervisningen. Det som också kan ses utifrån ett imitativt resonemang är hur lärarna beskrev hur de går till väga för att få elever i rätt riktning mot lösningen. De hävdade att strategier gavs till eleverna och utifrån Lithners (2008) teori är det inte rätt väg att gå i att hjälpa elever. Det flera av lärarna i studien ansåg var viktigt med problemlösning var att variera sina uppgifter och att se till att elever förstod hur de kom fram till olika lösningar. Många lärare anser att eleverna inte har verktyg att jobba på egen hand utan uppmuntran, de saknar verktygen de behöver och på grund därav behövs det noggranna instruktioner.
Lärarnas tankar utgick från att veta vad som anses vara ett problem enligt Skolverkets (2017) definition och Lithners (2008) teori. Lärarna verkar vilja arbeta med problemlösning och de har förhoppningar om att kunna möjliggöra för eleverna att resonera kreativt, dock finns det flera hinder, exempelvis elevernas kunskaper och tidsåtgången, som gör det svårt.
7. Förslag på fortsatt forskning
I denna studie har det kommit fram att lärare anser det svårt att förse eleverna med rätt typ av uppgifter, för att de ska klassas som problemlösning. Elevernas unga ålder verkar vara en återkommande svårighet i att veta hur de ska gå till väga i sin matematikundervisning. Lärarna hänvisade gång på gång till matematikboken och utantillinlärningsuppgifter i intervjuns gång. I det stora hela ger studien kanske inga djupa kunskaper om lärares tankar om problemlösning.
22
Likväl har mitt tankesätt för min framtida undervisning gett mig en påminnelse utifrån vilka typer av problemlösningsuppgifter eleverna ska få arbeta med.
I tidigare liknande forskning har sällan elevers problemlösningsförmåga i de yngre åldrarna studerats. Förslag på vidare forskning skulle kunna vara att studera elever i årskurs 1–3 förmåga i att möta nya problemlösningsuppgifter och/eller se vad lärarna erbjuds för undervisnings-material som benämns som problemlösning.
23
Referenser
Ahlberg, A. (1995). Barn och matematik – problemlösning på lågstadiet. Lund: Studentlitteratur.
Ball, D., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. I J. Kilpatrick, W. G. Martin & D. Schifter (red.), A research companion to principles and standards for school
mathematics. Reston, VA: National council of teachers of mathematics.
Bergqvist, T., Lithner, J., Sumpter, L. (2003). Reasoning characteristics in upper secondary
school students' task solving. Research reports in Mathematics education 3, Department of
Mathematics, Umeå University.
Bergqvist, T., & Lithner, J. (2012). Mathematical reasoning in teachers’ presentations. The Journal of Mathematical Behavior, 31(2), 252-269. doi:10.1016/j.jmathb.2011.12.002
Boesen, J. (2006). Assessing mathematical creativity: Comparing national and teacher-made tests, explaining differences and examining impact. Mathematics and Mathematical Statistics, Umeå University. I: Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational Studies in Mathematics.
Chamberlin, M. (2005). Teacher´s discussions of students´ thinking: Meeting the challenge of attending to students´ thinking. Journal of Mathematics Teacher Education.
Chick, H & Stacey, K. (2013). Teachers of Mathematics as Problem-Solving Applied Mathematicians. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education,
13(2), 121-136. doi:10.1080/14926156.2013.784829
Cockroft, W.H. (1982). Mathematics Counts.
Tillgänglig: http://www.school-maths.info/1982_Mathematics_Counts.pdf
Dahl, T. (2012). Problemlösning kan avslöja matematiska förmågor: Att uppäcka matematiska
förmågor i en matematisk aktivitet. Licentiatavhandling: Linnéuniversitetet.
Eliasson, A. (2013). Kvantitativ metod från början. Lund: Studentlitteratur.
Haylock, D. (1997). Recognising mathematical creativity in schoolchildren. Zentralblatt fuer
Didaktik der Mathematik, 29(3):68–74.
Hegarty, M., Mayer, R. and Monk, C. (1995). ‘Comprehension of arithmetic word problems: A comparison of successful and unsuccessful problem solvers’, Journal of Educational
Psychology 87(1), 18–32. I: Lithner, J. (2003). MATHEMATICAL REASONING IN
