Institutionen för systemteknik
Department of Electrical Engineering
Examensarbete
Svårigheter med att beskriva tidskontinuerliga
styckvis affina system med tidsdiskreta system
Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan i Linköping
av
David Gasslander
LITH-ISY-EX--07/3996--SE
Linköping 2007
Department of Electrical Engineering Linköpings tekniska högskola
Linköpings universitet Linköpings universitet
Svårigheter med att beskriva tidskontinuerliga
styckvis affina system med tidsdiskreta system
Examensarbete utfört i Reglerteknik
vid Tekniska högskolan i Linköping
av
David Gasslander
LITH-ISY-EX--07/3996--SE
Handledare: Johan Sjöberg
isy, Linköpings universitet
Examinator: Jacob Roll
isy, Linköpings universitet
Avdelning, Institution
Division, Department
Division of Automatic Control Department of Electrical Engineering Linköpings universitet
SE-581 83 Linköping, Sweden
Datum Date 2007-06-07 Språk Language Svenska/Swedish Engelska/English Rapporttyp Report category Licentiatavhandling Examensarbete C-uppsats D-uppsats Övrig rapport
URL för elektronisk version
http://www.control.isy.liu.se http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-3996 ISBN — ISRN LITH-ISY-EX--07/3996--SE
Serietitel och serienummer
Title of series, numbering
ISSN
—
Titel
Title
Svårigheter med att beskriva tidskontinuerliga styckvis affina system med tidsdis-kreta system
Difficulties when modelling continuous-time piecewise affine systems as discrete-time systems Författare Author David Gasslander Sammanfattning Abstract
Many people do not think of the problems continuous-time piecewise affine systems could cause if they are not treated with caution. In most cases you want to use computer power to handle your system which means that you have to perform sampling, and hence find a discrete-time model of the system. What is usually done today is to just discretize each mode separately. When this is done, the behaviour of the discete-time system could in some cases differ from the one of the continuous-time system.
In this thesis, errors made today and some difficulties while modelling discrete-time systems are investigated. Requirements that make it possible to find a discrete-time model are also investigated. Three kinds of algorithms and a ful-ly explained procedure to find a discrete-time model for a piecewise affine system without errors are also explained in this thesis.
Nyckelord
Abstract
Many people do not think of the problems continuous-time piecewise affine systems could cause if they are not treated with caution. In most cases you want to use computer power to handle your system which means that you have to perform sampling, and hence find a discrete-time model of the system. What is usually done today is to just discretize each mode separately. When this is done, the behaviour of the discete-time system could in some cases differ from the one of the continuous-time system.
In this thesis, errors made today and some difficulties while modelling discrete-time systems are investigated. Requirements that make it possible to find a discrete-time model are also investigated. Three kinds of algorithms and a fully explained procedure to find a discrete-time model for a piecewise affine system without errors are also explained in this thesis.
Sammanfattning
Vad många inte tänker på då de har ett relativt avancerat olinjärt system som de linjäriserat till ett tidskontinuerligt styckvis affint system är att det inte är helt självklart och enkelt att hantera detta system. Eftersom vi i de flesta fall vill kunna hantera ett angivet system med datorkraft, och därmed måste sampla systemet, behöver vi kunna beskriva ett samplat tidskontinuerligt styckvis affint system med ett tidsdiskret system. Vid första anblicken av detta problem kan det verka ganska enkelt. Vad många gör är helt enkelt att skapa en tidsdiskret beskrivning för varje mod i det styckvis affina systemet var för sig och behålla de gamla modgränserna. Detta visar sig dock kunna ge ett felaktigt uppförande hos systemet.
Vad som gås igenom i denna rapport är krav som ställs på det styckvis affina systemet för att det ska gå att ta fram en tidsdiskret beskrivning för det, svå-righeter som finns samt de fel som idag görs vid framtagandet av en tidsdiskret beskrivning. Hur framtagandet av tidsdiskreta beskrivningar för styckvis affina system går till samt algoritmiska lösningar till tre typer av styckvis affina system gås även igenom.
Tack
Jag vill till att börja med tacka min handledare Johan Sjöberg för sitt stora engagemang och intresse för mitt examensarbete och för att han alltid varit så positiv och drivande. Jag vill även tacka honom för hans hjälp utanför examens-arbetets ramar och för att han i ett inledande skede gav mig mycket bra styrning på examensarbetet.
Jacob Roll, min examinator, vill jag tacka för att jag har fått möjligheten att göra detta intressanta examensarbete, för hans stora intresse och för att han hjälpt till att söka efter relevant litteratur samt med svårare tekniska frågor.
Simone Paoletti som i ett tidigt skede av examensarbetet delade med sig av sina tankar inom området.
Gustaf Hendeby för stor hjälp med Latex på expertnivå.
Mina två opponenter Magnus Dalin och Stina Måhl för att jag fått möjlighet att opponera på deras examensarbete och för de kommentarer dem gav på mitt vilket gav mig möjlighet att skriva ett ännu bättre examensarbete.
Jag vill slutligen tacka min nästan alltid lika förstående fästmö Pernilla Lundell som trots mina tidvis starka aggressioner (mot problem med examensarbetet) alltid stått vid min sida och hjälpt mig att se livet ur nya perspektiv.
Innehåll
1 Inledning 1
1.1 Frågeställning . . . 1
1.2 Målsättning . . . 2
1.3 Avgränsningar . . . 3
2 Styckvis affina system 5 2.1 Traditionell beskrivning av ett PWA-system . . . 7
3 Exempel som påvisar problem 11 3.1 Att skapa en tidsdiskret beskrivning . . . 11
3.2 Olinjäriteter hos det tidsdiskreta systemet . . . 18
3.3 PWA-system som roterar kring en ickestationär punkt . . . 22
4 Olika perspektiv på den tidsdiskreta beskrivningen 27 4.1 Moder i det tidsdiskreta PWA-systemet . . . 27
4.1.1 Moder i diskret tid kontra modsekvenser i kontinuerlig tid . 27 4.1.2 Modgränsernas utseende i det tidsdiskreta systemet . . . . 28
4.1.3 Samplingstidens inverkan . . . 28
4.1.4 Moder i diskret tid för icke existerande sekvenser . . . 29
4.1.5 Tidsdiskret beskrivning av PWA-system med komplexa egen-värden . . . 31
4.1.6 Glidande mod (sliding mode) . . . 33
4.2 Parallella modgränser . . . 35
4.3 PWA-system som skapats från linjäriseringar . . . 36
5 Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system 39 5.1 Att hitta alla tänkbara sekvenser i ett PWA-system . . . 39
5.1.1 Söka sekvenser med hjälp av fasplanet i de enskilda moderna 40 5.1.2 Söka sekvenser med hjälp av systemets hela rörelsemönster 41 5.2 Algoritmisk framtagning av tidsdiskret beskrivning . . . 46
5.2.1 Tidsdiskret beskrivning av ett PWA-system i en dimension 46 5.2.2 Tidsdiskret beskrivning av ett PWA-system i två dimensio-ner med samma A = aI i alla moder . . . 50
6 PWA-system med zenobeteende 57
6.1 Zenofenomenet . . . 57
6.2 Cykliska uppträdanden i ett tidskontinuerligt PWA-system . . . . 59
6.3 Uppbrytning av zenopunkter . . . 59
6.3.1 Extra moder som omsluter zenopunkten . . . 60
6.3.2 Systembeskrivning för extramoden . . . 62
7 Resultat och förslag till fortsatt arbete 63 7.1 Resultat . . . 63
7.2 Förslag till fortsatt arbete . . . 64
A Konvexa mängder och polyedrar 67 B Lösningar till beräknade exempel 68 B.1 Exempel 3.2 . . . 68 B.2 Exempel 3.3 . . . 75 B.3 Exempel 3.4 . . . 76 B.4 Exempel 3.5 . . . 79 B.5 Exempel 3.6 . . . 79 B.6 Exempel 3.8 . . . 80 B.7 Exempel 2.2 . . . 83
C Matlabkod till samplingsalgoritmerna 85 C.1 En-dimensionellt system med konstant a-värde . . . 85
C.2 Godtyckligt en-dimensionellt system . . . 88
1
Inledning
Denna rapport syftar till att gå igenom en del av de svårigheter som finns med att beskriva tidskontinuerliga styckvis affina system med tidsdiskreta system. Rapporten börjar med att beskriva vad styckvis affina system är samt vilka svårig-heter som tas upp i rapporten. Efter denna kortare genomgång behandlas ämnet mer på djupet med exempel, diskussioner kring olika aspekter samt tidsdiskreta beskrivningar av vissa typer av tidskontinuerliga styckvis affina system. I slutet av rapporten ges slutsatser över de resultat som framkommit samt tankar om hur arbetet inom området kan fortskrida.
1.1
Frågeställning
Huvudfrågan som undersöks i denna rapport är: För vilka tidskontinuerliga styckvis affina system blir den tidsdiskreta beskrivningen av systemet ett styckvis affint system med samma egenskaper?
Med denna fråga som utgångspunkt kan man ställa ett antal mer specifika frågor:
• Vad händer med den tidsdiskreta beskrivningen då systemet rör sig mellan flera olika moder under en sampelperiod?
• Hur gör man i praktiken då man skapar en tidsdiskret beskrivning av ett tidskontinuerligt styckvis affint system idag och vilka fel gör man?
• Vilka krav kan ställas på det tidskontinuerliga styckvis affina systemet för att dess tidsdiskreta motsvarighet ska få en affin systembeskrivning i alla moder?
• Finns det några kriterier som gör att framtagandet av den tidsdiskreta be-skrivningen blir lättare respektive svårare?
• Finns det något man bör ha i åtanke då man skapar ett styckvis affint system, som kan underlätta framtagandet av den tidsdiskreta beskrivningen? • Får den tidsdiskreta beskrivningen av ett visst styckvis affint system samma
moduppsättning oavsett samplingstid?
• Går det att i någon mån automatisera framtagandet av en tidsdiskret be-skrivning för ett tidskontinuerligt styckvis affint system?
• Finns det system som under vissa villkor inte går att skapa en tidsdiskret beskrivning för?
– Kan vi i så fall göra några mindre förändringar hos systemet som gör
att det går att skapa en tidsdiskret beskrivning?
För ett helt vanligt samplat tidskontinuerligt affint system, dvs. en enskild mod, har vi inga svårigheter att skapa en tidsdiskret beskrivning som är affin. Problemet blir vid själva övergången från det ena affina systemet till det andra, dvs. när det tidskontinuerliga systemet under en sampelperiod befinner sig i minst två olika moder. Vi behöver då några typer av extra moder som hanterar de fall då systemet under samplingstiden T rör sig mellan två eller fler moder. Problemet blir dels att avgöra om det går att definiera ett ändligt antal extramoder samt deras utseende och dels att se huruvida systembeskrivningarna i extramoderna blir affina eller ej.
1.2
Målsättning
Huvudmålet med detta examensarbete är att utvärdera vilka tidskontinuerliga styckvis affina system som går att beskriva med tidsdiskreta styckvis affina system. Examensarbetet förväntas resultera i ett antal kriterier som avgör om det går att beskriva ett tidskontinuerligt styckvis affint system med ett tidsdiskret styckvis affint system. En annan del som ingår i huvudmålet är att ta fram ett antal exempel som tydligt beskriver en del av de fenomen som kan uppträda då man försöker hitta en tidsdiskret beskrivning till ett tidskontinuerligt styckvis affint system.
Ytterligare mål med examensarbetet är att
• Utvärdera förenklande omständigheter vid beräkningen av en tidsdiskret be-skrivning av ett tidskontinuerligt styckvis affint system.
• Utvärdera hur och av vad moder uppkommer i den tidsdiskreta modellen av systemet samt avgöra vilka vetskapskrav om systemet som ställs för att kunna beräkna en tidsdiskret beskrivning.
• Automatisera framtagandet av en tidsdiskret modell som beskriver det tids-kontinuerliga styckvis affina systemet.
1.3 Avgränsningar 3
• Söka lösningar till fenomen som gör att ett tidskontinuerligt styckvis affina systemet inte går att beskriva med ett tidsdiskret system med ändligt antal moder.
• Titta på hur man beskriver tidskontinuerliga styckvis affina system med tidsdiskreta system idag och vilka fel som görs.
1.3
Avgränsningar
Styckvis affina system är ett relativt stort område, med många möjligheter och svårigheter. Denna rapport går bara igenom en liten del av området, nämligen problemet att beskriva ett tidskontinuerligt styckvis affint system med ett tidsdis-kret system. En del arbete har redan gjorts inom området styckvis affina system, särskilt gällande reglering av styckvis affina system, men det fortfarande finns en mängd problem att reda ut.
Mer specifika avgränsningar är att rapporten, då det gäller att beskriva ett tids-kontinuerligt styckvis affint system med ett tidsdiskret system, i huvudsak endast går in på system där A-matrisen är samma i alla moder som tillhör samma disjunk-ta delsystem i det styckvisa affina systemet. System där tillståndsvektorn beror av insignalen undersöks heller inte i någon större utsträckning, dvs. B-matrisen är i de flesta fall noll. Anledningen till dessa avgränsningar framgår tydligt i kapitel 3. Styckvis affina system där moderna bestäms av insignalen u undersöks heller inte i någon större utsträckning. Eftersom vi då får stora svårigheter att säga något över huvudtaget om systemets modsekvenser, i och med att u endast påverkas av en extern källa.
Ytterligare en avgränsning är att utsignalen y inte nämns, detta eftersom y är en linjärkombination av x och u och således endast påverkas direkt av hur systemets tillstånd uppför sig. Det är alltså tillståndsvektorn x som bidrar till de svårigheter som finns.
2
Styckvis affina system
Styckvis affina/linjära system eller på engelska piecewise affine systems (kom-mer i fortsättningen att förkortas med PWA-system) är system som beskrivs med ett antal affina delsystem. De affina delsystemen är avgränsade från varandra med hjälp av ett antal olika kriterier på tillstånden x och insignalen u. Ett PWA-system kan i grunden exempelvis vara ett olinjärt system som man linjäriserat i ett an-tal olika arbetspunkter tillsammans med ett anan-tal gränser, vilka anger området i vilket respektive linjärisering gäller. På nästa sida följer ett exempel på ett PWA-system med ett tillstånd.
Exempel 2.1: Tidskontinuerligt PWA-system
˙ x = Aix + Biu + bi, i = 1 (x < 5, u < 3) 2 (x ≥ 5, u < 3) 3 (u ≥ 3) y = Cix + Diu + di A1= 2 B1= 4 b1= 0 C1= 1 D1= 0 d1= 2 A2= 4 B2= 7 b2= 1 C2= 2 D2= 1 d2= 0 A3= 5 B3= 1 b3= 0 C3= 4 D3= 0 d3= 0
Vad i är och således även vad Ai, Bi, Ci, Di, bioch diär bestäms alltså av vilka
värden x och u för tillfället har.
Den allmänna formeln för ett tidskontinuerligt PWA-system ges enligt Paoletti 5
m.fl. (2007) av ˙ x = Aix + Biu + bi y = Cix + Diu + di om x u ∈ χi, i = 1, . . . , s
där x ∈ Rn, u ∈ R och y ∈ R är tillstånd, insignal respektive utsignal, n anta-let tillståndsvariabler och s antaanta-let affina delsystem. χi ∈ Rn+1 förutsätts vara
konvexa polyedrar, se appendix A, vilka beskrivs av
χi= ( x u : Hi x u 1 [i]0 )
där Hi∈ Rµi×(n+2), i = 1, . . . , s och µiär det antal linjära olikheter som definierar
polyeder i. Olikheten [i] är en vektor med dimensionen µi. Vektorn består av
olikheterna < och ≤ där valet av olikhet beror på om de enskilda hyperplanen som gränsar till polyedern tillhör polyedern eller ej. Anledningen till att detta varierar är att varje hyperplan endast kan tillhöra en av de polyedrar som hyperplanet gränsar till.
Skillnaden mellan utseendet på modellen för ett tidskontinuerligt och ett tids-diskret system är inte stor. Den allmänna formeln för ett tidstids-diskret PWA-system ges enligt Paoletti m.fl. (2007) av
x (k + 1)T = Aix(kT ) + Biu(kT ) + fi y(kT ) = Cix(kT ) + Diu(kT ) + gi om x(kT ) u(kT ) ∈ χi, i = 1, . . . , s
där x(kT ) ∈ Rn, u(kT ) ∈ R och y(kT ) ∈ R är tillstånd, insignal respektive utsignal. χi∈ Rn+1förutsätts vara konvexa polyedrar vilka beskrivs av
χi= ( x(kT ) u(kT ) : Hi x(kT ) u(kT ) 1 [i]0 )
där Hioch [i]ges på samma sätt som för det tidskontinuerliga PWA-systemet.
Ett annat sätt att, i denna kontext, benämna polyedrar är med moder vilket i huvudsak kommer att användas i denna rapport.
För att tydliggöra hur moder och modgränser kan se ut, kan vi med figur 2.1 nedan grafiskt beskriva moder i två dimensioner. Figur 2.1 har valts så att till-ståndsvariabel x samt insignalen u tillsammans bestämmer vilken mod vi befinner oss i.
Då vi tittar på större system, där valet av mod bestäms av fler än tre variabler, får vi naturligtvis svårigheter att representera detta grafiskt.
2.1 Traditionell beskrivning av ett PWA-system 7 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H (((( (((( (((( (((( (((( (((( (((( (((( mod1 mod2 mod3 mod4 mod5 -6 x u
Figur 2.1. Grafisk representation av moder hos ett PWA-system
2.1
Traditionell beskrivning av ett PWA-system
Det vanligaste sättet att ta fram en tidsdiskret beskrivning av ett tidskontinu-erligt PWA-system på idag är att för varje mod behålla de ursprungliga modgrän-serna och ta fram en tidsdiskret beskrivning av det affina systemet i den enskilda moden. Enligt Glad m.fl. (2003) tas en tidsdiskret beskrivning av ett affint system fram på följande sätt
˙
x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t)
ger den tidsdiskreta beskrivningen
x (k + 1)T = F x(kT ) + Gu(kT ) y(kT ) = Hx(kT ) där F = eAT, G = T Z 0 eATBdt, H = C
Så länge vi har ett system som aldrig rör sig över modgränserna ger detta sätt att ta fram en tidsdiskret beskrivning på ett helt korrekt utseende på det tidsdiskreta systemet. Problem inträffar då systemet rör sig mellan två eller flera moder under en sampelperiod, dvs. i en sekvens av moder. Om vi vid ett sådant
fall beskriver det tidskontinuerliga PWA-systemet på traditionellt sätt kommer det tidsdiskreta systemet röra sig enligt första moden i varje modsekvens under hela sampelperioden. Detta innebär att det tidsdiskreta systemet följer fel system-beskrivning för alla moder i modsekvensen förutom den första. Det tidsdiskreta systemet blir således inte en exakt beskrivning av det tidskontinuerliga PWA-systemet.
Detta skulle kunna resultera i att systemet får ett helt annat beteende, för vis-sa initialvärden, än det ursprungliga tidskontinuerliga PWA-systemet hade. Ex-empel 2.2 är ett exEx-empel på ett system som skulle ändra uppförande för vissa initialtillstånd då vi beskriver det tidskontinuerliga PWA-systemet med ett tids-diskret system på traditionellt sätt.
Exempel 2.2: Skillnad mellan traditionell och exakt beskrivning
Vi startar med följande tidskontinuerliga PWA-system
˙ x = −1 0 0 −2 ! x + 4 3 ! om x1< 2 1 0 0 1 ! x + −1 −3 ! om x1≥ 2
Om vi beskriver detta system med ett tidsdiskret system på traditionellt sätt får vi följande resultat x (k + 1)T = e−T 0 0 e−2T ! x(kT ) + 4(1 − e −T) 3 2(1 − e −2T) ! om x1(kT ) < 2 eT 0 0 eT ! x(kT ) + −(e T − 1) −3(eT − 1) ! om x1(kT ) ≥ 2
Om vi vid beräkningarna istället utgår från alla sekvenser i systemet får vi följande (olinjära) tidsdiskreta system
x (k + 1)T = e−T 0 0 e−2T ! x(kT ) + 4(1 − e −T) 3 2(1 − e −2T) ! om x1(kT ) < 2(2 − eT) 1 + eT4−x2 1(kT ) eT x2(kT ) 2 4−x1(kT ) 3 −3 2 2 4−x1(kT ) 1 +4−x2 1(kT ) 2 + 3 om 2(2 − eT) ≤ x 1(kT ) < 2 eT 0 0 eT ! x(kT ) + −(e T− 1) −3(eT − 1) ! om x1(kT ) ≥ 2
Initialtillstånd som för detta system skulle ge stora skillnader hos systemets rörelse för de olika sätten att beskriva ett tidskontinuerligt PWA-system på är
2.1 Traditionell beskrivning av ett PWA-system 9
x(kT ) = 2−ε1
3+ε2 där εi> 0 och periodtiden T tillräckligt stor (för att den
tradi-tionella beskrivningen ska göra att systemet hinner röra sig förbi x2= 3 under en
sampelperiod) med avseende på εi. Ett exempel som skulle ge stora skillnader är
initialtillståndet x(kT ) = (1
5) och T = ln 2.
Om vi använder det traditionella sättet att beskriva ett tidskontinuerligt PWA-system på får vi följande resultat
x(0) = 1 5 x(T ) = 2,5 2,375 x(2T ) = 4 1,75 x(3T ) = 7 0,5 x(4T ) = 13 −2
Då vi istället beskriver det tidskontinuerliga PWA-systemet genom att beakta alla modsekvenser som kan uppkomma i systemet får vi följande resultat vilket även överensstämmer med det som det kontinuerliga systemet ger
x(0) = 1 5 x(T ) = 7 3 83 27 ≈ 2,33 3,07 x(2T ) = 11 3 85 27 ≈ 3,67 3,15 x(3T ) = 19 3 89 27 ≈ 6,67 3,30 x(4T ) = 35 3 97 27 ≈ 11,67 3,59
Vi ser här att vi i fallet med traditionell beskrivning får att x2 blir mindre ju
längre fram vi går i tiden. I det tidsdiskreta system som är beskrivet exakt efter det tidskontinuerliga systemets rörelse får vi att x2 blir större ju längre fram vi
går i tiden.
I figur 2.2 visas systemets rörelse samt de kurvor som sampelpunkterna för de olika tidsdiskreta systemen följer. De mörka punkterna är sampelpunkter för det exakt beskrivna systemet, de ljusa är sampelpunkter för det traditionellt sett beskrivna systemet.
Figur 2.2. Skillnaden mellan traditionell och exakt beskrivning av tidskontinuerliga
PWA-system
Anledningen till att vi får det problem vi får i exempel 2.2 är att det tidsdiskreta systemet som fås av den traditionella beskrivningen inte hinner uppfatta att vi rör oss i den del av andra moden som gör att systemet får ett ökande x2.
3
Exempel som påvisar
problem
Detta kapitel tar upp ett antal exempel som beskriver hur framtagandet av en tidsdiskret beskrivning av ett tidskontinuerligt PWA-system går till samt en mängd olika svårigheter och fenomen som kan uppkomma i samband med detta.
3.1
Att skapa en tidsdiskret beskrivning
Detta avsnitt syftar till att beskriva hur processen för att skapa en tidsdiskret beskrivning av ett tidskontinuerligt PWA-system går till.
För att inte få så stor beräkningsprocess och för att enkelt kunna beskriva hur framtagandet av den tidsdiskreta beskrivningen går till, utan att missa några väsentligheter, undersöks här ett envariabelt system med tre moder.
Exempel 3.1: Att skapa en tidsdiskret beskrivning
Systemet som ska undersökas är följande:
˙ x = x + 5 om x < −2, mod1 x + 3 om − 2 ≤ x < 2, mod2 x − 1 om x ≥ 2, mod3
Om vi utgår från hur man beskriver ett tidskontinuerligt affint system med ett tidsdiskret system och bara tittar på de fall då vi har enkla affina system, dvs. då
systemet endast rör sig inom en mod får vi följande: mod1: x (k + 1)T = eTx(kT ) + T Z 0 et5dt = eTx(kT ) + 5(eT− 1) x(kT ) < −2, x (k + 1)T < −2 x (k + 1)T = eTx(kT ) + 5(eT − 1) < −2 ⇒ x(kT ) < 3e−T − 5 < −2
mod1 blir alltså krympt så att den begränsas av att x(kT ) < 3e−T − 5.
mod2: x (k + 1)T = eTx(kT ) + T Z 0 et3dt = eTx(kT ) + 3(eT − 1) − 2 ≤ x(kT ) < 2, −2 ≤ x (k + 1)T < 2 x (k + 1)T = eTx(kT ) + 3(eT − 1) ≥ −2 ⇒ x(kT ) ≥ e−T − 3 < −2 x (k + 1)T = eTx(kT ) + 3(eT − 1) < 2 ⇒ x(kT ) < 5e−T − 3 T > ln 5 ⇒ 5e−T − 3 < −2 T < ln 5 ⇒ 5e−T − 3 > −2
mod2 blir alltså krympt så att den begränsas av att −2 ≤ x(kT ) < 5e−T − 3
då T < ln 5, om T > ln 5 så kommer den ursprungliga mod2 att försvinna.
mod3: x (k + 1)T = eTx(kT ) + T Z 0 et(−1)dt = eTx(kT ) − (eT − 1) x(kT ) ≥ 2, x (k + 1)T ≥ 2 x (k + 1)T = eTx(kT ) − (eT − 1) ≥ 2 ⇒ x(kT ) ≥ e−T + 1 ≤ 2
mod3 kommer alltså att behålla sitt utseende som x(kT ) ≥ 2.
Vad som nu återstår att titta på är vad som händer då systemet rör sig från en mod till en annan.
3.1 Att skapa en tidsdiskret beskrivning 13
som tiden då själva modövergången sker får vi följande:
mod1→2: x(t1) = et1−kTx(kT ) + 5(et1−kT− 1) = −2 ⇒ ekT −t1 = 1 3x(kT ) + 5 3 x (k + 1)T = e(k+1)T −t1x(t 1) + 3(e(k+1)T −t1− 1) = ekT −t1eT − 3 = =1 3e T x(kT ) +5 3e T − 3 x(kT ) < −2, −2 ≤ x (k + 1)T < 2 x (k + 1)T = 1 3e T x(kT ) +5 3e T − 3 ≥ −2 ⇒ x(kT ) ≥ 3e−T − 5 < −2 x (k + 1)T = 1 3e T x(kT ) +5 3e T − 3 < 2 ⇒ x(kT ) < 15e−T − 5 T > ln 5 ⇒ 15e−T − 5 < −2 T < ln 5 ⇒ 15e−T − 5 > −2
mod1→2 kommer alltså att begränsas av 3e−T − 5 ≤ x(kT ) < −2 då T < ln 5
och 3e−T − 5 ≤ x(kT ) < 15e−T − 5 då T > ln 5.
Om vi nu går vidare och tar modövergången mod2→ mod3får vi följande:
mod2→3: x(t1) = et1−kTx(kT ) + 3(et1−kT − 1) = 2 ⇒ ekT −t1= 1 5x(kT ) + 3 5 x (k + 1)T = e(k+1)T −t1x(t 1) − (e(k+1)T −t1− 1) = ekT −t1eT + 1 = = 1 5e Tx(kT ) + 3 5e T + 1 − 2 ≤ x(kT ) < 2, x (k + 1)T ≥ 2 x (k + 1)T =1 5e Tx(kT ) +3 5e T+ 1 ≥ 2 ⇒ x(kT ) ≥ 5e−T − 3 < 2 T > ln 5 ⇒ 5e−T − 3 < −2 T < ln 5 ⇒ 5e−T − 3 > −2
mod2→3 kommer alltså att begränsas av 5e−T − 3 ≤ x(kT ) < 2 då T < ln 5
och −2 ≤ x(kT ) < 2 då T > ln 5.
Den sista möjliga modsekvensen i systemet är då vi rör oss från mod1via mod2
till mod3. Då tiden t1 är tidpunkten då vi går över gränsen mod1 → mod2 och
den tidsdiskreta moden enligt följande: mod1→2→3: x(t1) = et1−kTx(kT ) + 5(et1−kT − 1) = −2 ⇒ ekT −t1 = 1 3(x(kT ) + 5) x(t2) = et2−t1x(t1) + 3(et2−t1− 1) = 2 ⇒ ⇒ et1−t2 = 1 5 ⇒ e kT −t2 = 1 15(x(kT ) + 5) x (k + 1)T = e(k+1)T −t2x(t 2) − (e(k+1)T −t2− 1) = = eTekT −t2+ 1 = 1 15e T(x(kT ) + 5) + 1 x(kT ) < −2, x (k + 1)T ≥ 2 x (k + 1)T = 1 15e T x(kT ) +1 3e T + 1 ≥ 2 ⇒ x(kT ) ≥ 15e−T − 5 T > ln 5 ⇒ 15e−T − 5 < −2 T < ln 5 ⇒ 15e−T − 5 > −2
mod1→2→3kommer alltså att begränsas av 15e−T−5 ≤ x(kT ) < −2 då T > ln 5
och vara obefintlig då T < ln 5.
Sammantaget får vi följande tidsdiskreta PWA-system för olika värden på samplingstiden T : T > ln 5 : x (k + 1)T = mod1: eTx(kT ) + 5(eT − 1) om x(kT ) < 3e−T − 5 mod1→2: 1 3e Tx(kT ) +5 3e T− 3 om 3e−T − 5 ≤ x(kT ) < 15e−T − 5 mod1→2→3: 1 15e T(x(kT ) + 5) + 1 om 15e−T − 5 ≤ x(kT ) < −2 mod2→3: 1 5e Tx(kT ) +3 5e T+ 1 om − 2 ≤ x(kT ) < 2 mod3: eTx(kT ) − (eT − 1) om x(kT ) ≥ 2
3.1 Att skapa en tidsdiskret beskrivning 15 T < ln 5 : x (k + 1)T = mod1: eTx(kT ) + 5(eT − 1) om x(kT ) < 3e−T − 5 mod1→2: 1 3e Tx(kT ) + 5 3e T − 3 om 3e−T − 5 ≤ x(kT ) < −2 mod2: eTx(kT ) + 3(eT − 1) om − 2 ≤ x(kT ) < 5e−T − 3 mod2→3: 1 5e Tx(kT ) + 3 5e T + 1 om 5e−T − 3 ≤ x(kT ) < 2 mod3: eTx(kT ) − (eT − 1) om x(kT ) ≥ 2
Figur 3.1 förklarar det tidskontinuerliga PWA-systemets utseende (figur 3.1 (a)) samt efter de tidsdiskreta beskrivningarna av det, dels med en samplingstid T = ln 10 > ln 5 (figur 3.1 (b)) och dels med T = ln 2 < ln 5 (figur 3.1 (c)).
-x 0 mod 1 − 2 mod 2 2 mod 3
(a): Tidskontinuerligt PWA-system
-x 0 mod 1 − 4 ,7 mod 1 → 2 − 3 ,5 mod 1 → 2 → 3 − 2 mod 2 → 3 2 mod 3 -x 0 mod 1 − 3 ,5 mod 1 → 2 − 2 mod 2 − 0 ,5 mod 2 → 3 2 mod 3
(b): Tidsdiskret beskrivning med T = ln 10 > ln 5 (c): Tidsdiskret beskrivning med T = ln 2 < ln 5
Figur 3.1. Modernas utseende hos det tidskontinuerliga PWA-systemet samt dess
tids-diskreta motsvarighet
Redan i ett sådant exempel som exempel 3.1 kan vi se flera intressanta fenomen. Vi får här olika uppsättningar moder i det tidsdiskreta systemet beroende på om vi väljer ett T som är större eller mindre än ln 5.
Om vi nu går upp en dimension till ett två-dimensionellt system så blir framta-gandet av den tidsdiskreta beskrivningen avsevärt mycket mer beräkningskrävan-de. Därför presenteras endast lösningen här, där samplingstiden T valts till ln 2. Den fullständiga beräkningen finns presenterad i appendix B.
Exempel 3.2: Tidsdiskret beskrivning i två dimensioner
Vi utgår från följande tidskontinuerliga PWA-system:
˙ x1= ( −x1− 2 om x2≥ 0 −x1+ 2 om x2< 0 ˙ x2= ( −x2+ 3 om x1< 0 −x2+ 2 om x1≥ 0
Då vi samplar detta system med en periodtid T = ln 2 fås följande tidsdiskreta PWA-system
De krympta originalmoderna ges av: x (k + 1)T = 1 2 0 0 1 2 ! x(kT ) + −13 2 ! om x1(kT ) < 0, x2(kT ) ≥ 0 1 2 0 0 12 ! x(kT ) + −1 1 ! om x1(kT ) ≥ 2, x2(kT ) ≥ 0 1 2 0 0 12 ! x(kT ) + 13 2 ! om x1(kT ) < −2, x2(kT ) < −3 1 2 0 0 12 ! x(kT ) + 1 1 ! om x1(kT ) ≥ 0, x2(kT ) < −2
3.1 Att skapa en tidsdiskret beskrivning 17
Extramoderna som bildas av systemets sekvenser ges av:
x (k + 1)T = 1 2 0 −1 4 1 2 ! x(kT ) + −13 2 ! om 0 ≤ x1(kT ) < 2, x2(kT ) ≥ 0 1 2 − 2 3 0 12 ! x(kT ) + −13 2 ! om x1(kT ) < 23x2(kT ), −3 ≤ x2(kT ) < 0 1 2 0 −1 4 1 2 ! x(kT ) + 1 1 ! om − 2 ≤ x1(kT ) < 0, x2(kT ) < 12x1(kT ) − 2 1 2 −1 0 12 ! x(kT ) + −1 1 ! om x1(kT ) ≥ 0, −2 ≤ x2(kT ) < 0, x2(kT ) ≤ 12x1(kT ) − 1 1 2 −1 −1 4 1 ! x(kT ) + −13 2 ! om x1(kT ) ≥ 0, 1 2x1(kT ) − 1 < x2(kT ) < 0 1 −1 −1 4 1 2 ! x(kT ) + −1 1 ! om x1(kT ) < 0, 12x1(kT ) − 2 ≤ x2(kT ) x2(kT ) ≤ x1(kT ) − 1 1 −1 −3 4 1 ! x(kT ) + −13 2 ! om x1(kT ) < 0, x1(kT ) − 1 < x2(kT ) x2(kT ) < 32x1(kT )
I figur 3.2 finns moderna grafiskt representerade. Moderna är numrerade enligt ordningen ovan, där varje mod kommer av följande sekvenser:
I: mod1 II: mod2 III: mod3 IV: mod4
V: mod2→1 VI: mod3→1 VII: mod3→4 VIII: mod4→2
IX: mod4→2→1 X: mod3→4→2 XI: mod3→4→2→1
För att ytterligare beskriva systemets rörelse jämfört med de diskreta moderna har fasplanet för det tidskontinuerliga PWA-systemet införts i figur 3.2.
Både exempel 3.1 och 3.2 visar oss att relativt enkla tidskontinuerliga PWA-system resulterar i ganska komplexa tidsdiskreta beskrivningar av PWA-systemet. Note-ra även att beräkningsarbetet blir stort då vi tittar på ett litet system så som det i exempel 3.1 och avsevärt mycket större då vi går upp en dimension till systemet i exempel 3.2.
Figur 3.2. Grafisk representation av det tidsdiskreta PWA-systemet
3.2
Olinjäriteter hos det tidsdiskreta systemet
Detta avsnitt beskriver exempel på olinjära fenomen som kan uppstå hos den tidsdiskreta beskrivningen av vissa typer av tidskontinuerliga PWA-system.
De följande två exemplen ger olinjära systembeskrivningar i de diskreta mo-derna, beroende på skillnader i A-matriserna.
Exempel 3.3: Olika A-matriser i moderna
Då vi har ett system med olika A-matriser hos de olika moderna enligt följande:
˙ x = ( −a1x + b1, om x < 0 −a2x + b2, om x ≥ 0 ai, bi> 0
får vi följande tidsdiskreta system: x (k + 1)T = e−a1Tx(kT ) − b1 a1(e −a1T− 1) om x(kT ) < b1 a1(1 − e a1T) −b2 a2e −a2T 1 −a1 b1x(kT ) a2a1 +b2 a2 om b1 a1(1 − e a1T) ≤ x(kT ) < 0 e−a2Tx(kT ) − b2 a2(e −a2T− 1) om x(kT ) ≥ 0
3.2 Olinjäriteter hos det tidsdiskreta systemet 19 Exempel 3.4: Olika diagonalelement i A-matrisen
Vi utgår från följande system (jämför med exempel 3.2).
˙ x1= ( −a1x1− b1 om x2≥ 0 −a1x1+ b2 om x2< 0 ˙ x2= ( −a2x2+ b3 om x1< 0 −a2x2+ b4 om x1≥ 0 ai, bi > 0
Vi börjar nu med att ta fram grundmoderna i det tidsdiskreta systemet. Dvs. de moder som under en samplingsperiod stannar kvar i samma originalmod. Dessa moder kommer alltid att ge affina systembeskrivningar så länge vi startar med ett PWA-system. x (k + 1)T = e−a1T 0 0 e−a2T ! x(kT ) + b1 a1(e −a1T − 1) −b3 a2(e −a2T− 1) ! om x1(kT ) < 0, x2(kT ) ≥ 0 e−a1T 0 0 e−a2T ! x(kT ) + b1 a1(e −a1T − 1) −b4 a2(e −a2T− 1) ! om x2(kT ) ≥ 0, x1(kT ) ≥ ba11(e a1T− 1) e−a1T 0 0 e−a2T ! x(kT ) + − b2 a1(e −a1T− 1) −b3 a2(e −a2T− 1) ! om x1(kT ) < −ab2 1(e a1T − 1), x2(kT ) < −ab32(ea2T − 1) e−a1T 0 0 e−a2T ! x(kT ) + − b2 a1(e −a1T− 1) −b4 a2(e −a2T− 1) ! om x1(kT ) ≥ 0, x2(kT ) < −ab4 2(e a2T − 1)
Om vi sen tittar närmre på en sekvens som kan uppkomma i systemet, mod4→2→1så får vi följande tidsdiskreta systembeskrivning i moden:
x1((k + 1)T ) = e−a1T x1(kT ) + b1− b2 a1 +b2 a1 1 − a2 b4 x2(kT ) a1a2! − b1 a1 x2((k + 1)T ) = e−a2T x 2(kT ) − b4 a2 +b4− b3 a2 a1 b1 x1(kT ) − b2 b1 1 − 1 − a2 b4 x2(kT ) a1a2! + +1)a2a1 +b3 a2
Här ser vi tydligt att vi, då a16= a2, får olinjäriteter i det tidsdiskreta systemet.
Om vi vidare tittar på hur modgränserna till denna mod ser ut får vi följande resultat. x1(kT ) ≥ 0 x2(kT ) < 0 x1(kT ) ≥ b2 a1 1 − 1 − a2 b4 x2(kT ) a1a2! 1 −a2 b4 x2(kT ) −a1a2 a 1 b1 x1(kT ) − b2 b1 +b2+ b1 b1 !a2a1 ≥ 1 e−a1T x 1(kT ) + b1− b2 a1 + b2 a1 1 −a2 b4 x2(kT ) a1a2! −b1 a1 < 0 e−a2T x 2(kT ) − b4 a2 +b4− b3 a2 a1 b1 x1(kT ) − b2 b1 1 − 1 −a2 b4 x2(kT ) a1a2! + +1)a2a1 + b3 a2 ≥ 0
Vissa av dessa gränser kommer för vissa värden på parametrarna bi och ai
att tas ut av att andra gränser är mer begränsande. Detta fenomen syns tydligt i exempel 3.1 och inträffar även i exempel 3.2.
Modgränserna som bildas för denna mod blir helt klart olinjära vilket resulterar i att vissa moder i de tidsdiskreta systemet blir icke-konvexa. Detta ses i figur 3.3.
En annan typ av system som ger olinjära systembeskrivningar är då tillstånden varierar med insignalen, dvs. B-matrisen 6= 0.
Exempel 3.5: Tidskontinuerligt PWA-system med insignal
˙ x = ( u + b1, om x < 0 u + b2, om x ≥ 0 bi> 0
För att kunna skapa en tidsdiskret beskrivning för detta system antar vi att u är styckvis konstant, dvs. u(t) = u(kT ), ∀t ∈ [kT, (k + 1)T ). Det tidsdiskreta systemet blir då följande
3.2 Olinjäriteter hos det tidsdiskreta systemet 21
Figur 3.3. Fasplanet till det tidskontinuerliga PWA-systemet
x (k + 1)T = x(kT ) + T (u(kT ) + b1) om x(kT ) < 0, x(kT ) + T (u(kT ) + b1) < 0 x(kT ) + T (u(kT ) + b2) om x(kT ) ≥ 0, x(kT ) + T (u(kT ) + b2) ≥ 0 T +u(kT )+bx(kT ) 1 (u(kT ) + b2) om x(kT ) < 0, T +u(kT )+bx(kT ) 1 (u(kT ) + b2) ≥ 0 T +u(kT )+bx(kT ) 2 (u(kT ) + b1) om x(kT ) ≥ 0, T +u(kT )+bx(kT ) 2 (u(kT ) + b1) < 0
Ovan syns tydligt att vi dels får olinjära systembeskrivningar i moderna och dels (såvida modgränserna delvis bestäms av insignalen u) att vi får olinjära mod-gränser till moderna.
Exempel 3.3, 3.4 och 3.5 är exempel då vi i det tidsdiskreta systemet inte lyckas åstadkomma affina systembeskrivningar i övergångsmoderna. Vi kan i exempel 3.3
se att om vi inte har samma A-matris i alla moder, som systemet rör sig genom under en viss sekvens, leder det till att vi får en olinjär systembeskrivning i över-gångsmoden. Exempel 3.4 beskriver ett liknande fenomen, men här har vi istället gått upp en dimension och satt diagonalelementen i A-matrisen (som är samma för alla moder i det tidskontinuerliga PWA-systemet) till olika värden. Även i ett så-dant system kommer dess tidsdiskreta beskrivning få olinjära systembeskrivningar i moderna samt ett olinjärt utseende hos modgränserna. I exempel 3.5 har vi istäl-let stoppat in en styckvis konstant insignal som visar sig leda till att vi dels får en olinjär systembeskrivning i övergångsmoderna och dels en olinjär beskrivning av modgränsernas utseende.
3.3
PWA-system som roterar kring en
ickestatio-när punkt
I detta avsnitt undersöks exempel där vi har system som kan hamna i ett läge där de aldrig slutar röra sig kring en ickestationär punkt. Detta resulterar i att antalet modövergångar ökar ju närmre systemet rör sig punkten. Eftersom punkten inte är stationär kommer antalet modövergångar att bli oändligt under en ändlig tid.
Exempel 3.6: ˙x riktad mot modgräns från de angränsande moderna I detta exempel undersöks ett system med en tillståndsvariabel x som rör sig mot modgränsen från de båda angränsande moderna utan att derivatan ˙x = 0 i gränsen, dvs. systemet stannar aldrig helt vid gränsen.
˙ x = ( −x + b1, om x < 0 −x − b2, om x ≥ 0 bi> 0
Det tidsdiskreta systemet skulle kunna beskrivas på följande sätt
x (k + 1)T = e−Tx(kT ) − b1(e−T − 1) om x(kT ) < b1(1 − eT) 0 om b1(1 − eT) ≤ x(kT ) < b2(eT − 1) e−Tx(kT ) + b2(e−T − 1) om x(kT ) ≥ b2(eT− 1)
Som nämns i exempel 3.6 ser vi att det tidskontinuerliga PWA-systemet aldrig kommer att stå helt stilla vid punkten x = 0 eftersom systemets derivata ˙x kommer att ändra värde oändligt snabbt i x = 0. Man skulle man kunna säga att x stannar i x = 0 för att där börja vibrera. Den tidsdiskreta beskrivningen av detta fenomen blir dock att sätta x = 0.
3.3 PWA-system som roterar kring en ickestationär punkt 23
Exempel 3.7: PWA-system roterandes kring origo
Ett system som spiraliserar sig närmre och närmre origo utan att nå fram är följande: ˙ x1= ( −x1+ 1 om x2≥ 0 −x1− 1 om x2< 0 ˙ x2= ( −x2+ 1 om x1< 0 −x2− 1 om x1≥ 0
Detta system kommer att ge ett tidsdiskret system som får oändligt många moder varför ingen lösning presenteras här. Anledningen till att vi får oändligt många moder är att systemet kan ge oss oändligt många sekvenser. Detta kommer i sin tur av att systemet rör sig närmre och närmre origo samt får en kortare och kortare rotationstid ju närmre origo systemet rör sig. Detta kan ses genom att om systemet startar i punkten (a0) och rör sig i en sekvens som motsvarar ett varv
runt origo hamnar vi i punkten4a+1a
0
efter tiden ln (4a + 1), där a > 0. Fasplanet till systemet ses i figur 3.4.
Figur 3.4. Fasplanet till det tidskontinuerliga PWA-systemet
origo. Som nämnts kommer systemet dock aldrig att hamna eller stanna i origo. För ett tidskontinuerligt PWA-system som det i exemplet går det alltså inte att hitta ett motsvarande tidsdiskret PWA-system med ändligt antal moder. Feno-menet som uppstår i exempel 3.7 kan jämföras med det fenomen som uppstår i exempel 3.6, eftersom vi i båda fallen hamnar i ett läge där vi rör oss mot en punkt vilken vi aldrig kommer att stanna i.
Man skulle även kunna tänka sig att ett sådant fenomen, som är beskrivet ovan, kan inträffa för vissa specifika starttillstånd, medan det inte inträffar för andra starttillstånd. Exempel 3.8 är ett exempel på ett sådant system, där systemet får ändligt många moder om vi garanterat startar i |x1| > b, |x2| > b (vi förutsätter
då att moderna som skulle bildas för |x1| < b, |x2| < b aldrig beräknas). Om vi
däremot startar i |x1| < b, |x2| < b (då vi måste beräkna moderna för |x1| <
b, |x2| < b) kommer vi att få oändligt många moder eftersom systemet rör sig in
närmre och närmre origo utan att stanna.
Exempel 3.8: Tidsdiskret beskrivning under vissa bivillkor
˙ x = 1 0 0 1 ! x + b 2 −1 ! om − x2≤ x1< x2 1 0 0 1 ! x + b −1 −3 ! om − x1< x2≤ x1 1 0 0 1 ! x + b −3 1 ! om x2< x1≤ −x2 1 0 0 1 ! x + b 1 2 ! om x1≤ x2< −x1
Om vi nu samplar detta system i området |x1| > b, |x2| > b (för att inte
få oändligt många moder) får vi följande tidsdiskreta PWA-system. Notera att förutom de gränser som är benämnda gäller dessutom gränserna |x1| > b, |x2| >
3.3 PWA-system som roterar kring en ickestationär punkt 25
De krympta originalmoderna ges av: x (k + 1)T = eT 1 0 0 1 ! x(kT ) + b 2(e T− 1) 1 − eT ! om − x2(kT ) ≤ x1(kT ), x1(kT ) < x2(kT ) − 3b(1 − e−T) eT 1 0 0 1 ! x(kT ) + b 1 − e T 3(1 − eT) ! om x2(kT ) ≤ x1(kT ), −x1(kT ) + 4b(1 − e−T) < x2(kT ) eT 1 0 0 1 ! x(kT ) + b 3(1 − e T) eT − 1 ! om x1(kT ) ≤ −x2(kT ), x2(kT ) + 4b(1 − e−T) < x1(kT ) eT 1 0 0 1 ! x(kT ) + b e T − 1 2(eT− 1) ! om x1(kT ) ≤ x2(kT ), x2(kT ) < −x1(kT ) − 3b(1 − e−T)
Extramoderna som bildas av systemets sekvenser ges av: x (k + 1)T = eT 0 1 −2 3 5 3 ! x(kT ) + b 1 − e T 3(1 − eT) ! om x1(kT ) < x2(kT ), x2(kT ) − 3b(1 − e−T) ≤ x1(kT ) eT 2 3 1 2 −1 0 ! x(kT ) + b 3(1 − e T) eT− 1 ! om − x1(kT ) < x2(kT ), x2(kT ) ≤ −x1(kT ) + 4b(1 − e−T) eT 0 1 −1 4 5 4 ! x(kT ) + b e T − 1 2(eT− 1) ! om x2(kT ) < x1(kT ), x1(kT ) ≤ x2(kT ) + 4b(1 − e−T) eT 4 3 1 3 −1 0 ! x(kT ) + b 2(e T − 1) 1 − eT ! om x2(kT ) < −x1(kT ), −x1(kT ) − 3b(1 − e−T) ≤ x2(kT )
Om vi sätter b = 1 och T = ln 2 får lösningen ett utseende enligt figur 3.5. Där moderna benämns enligt följande
I: mod1 II: mod2 III: mod3 IV: mod4
V: mod1→2 VI: mod2→3 VII: mod3→4 VIII: mod4→1
I figur 3.5 har även fasplanet ritats in för det tidskontinuerliga PWA-systemet för att ge en bättre förståelse för hur moderna skapas.
4
Olika perspektiv på den
tidsdiskreta beskrivningen
Detta kapitel går in närmre på vilka fel som ofta görs då tidskontinuerliga PWA-system beskrivs med tidsdiskreta system, vad utseendet hos moderna i det tidsdiskreta systemet kommer av och saker man bör tänka på för att få ett tids-kontinuerligt PWA-system som blir lättare att hitta en tidsdiskret beskrivning till.
4.1
Moder i det tidsdiskreta PWA-systemet
4.1.1
Moder i diskret tid kontra modsekvenser i
kontinuer-lig tid
Då vi beskriver ett tidskontinuerligt PWA-system med ett tidsdiskret system kommer vi för varje modsekvens under ett samplingsintervall få en systembeskriv-ning i det tidsdiskreta systemet. Denna systembeskrivsystembeskriv-ning kommer bero av alla systembeskrivningar hos de moder som ingår i den aktuella sekvensen. Anledning-en till det är att varje mod vi besöker i sekvAnledning-ensAnledning-en kommer att påverka hur systemet rör sig under den tid vi är i moden.
Varje mod som skapas i det tidsdiskreta systemet kommer begränsas av ett antal funktioner. Dessa funktioner ges dels av krav på modtillhörigheter för x(t) vid modövergångarna och dels av krav som ställs på x(kT ) och x (k + 1)T för att de ska ligga i startmoden respektive slutmoden för sekvensen. Det bildas alltså ett antal gränser som avgör utseendet hos varje mod. För varje sekvens som upp-kommer under ett samplingsintervall i det tidskontinuerliga PWA-systemet får vi
alltså en, och endast en, mod (med en egen systembeskrivning) i det tidsdiskreta systemet.
4.1.2
Modgränsernas utseende i det tidsdiskreta systemet
Hur modgränserna i det tidsdiskreta systemet ser ut beror till stor del av hur fasplanet ser ut, hur de ursprungliga modgränserna ser ut och vilken samplingstid vi har.
För att det tidskontinuerliga PWA-systemet ska röra sig över en viss modgräns krävs till att börja med att systemet har rört sig fram till den aktuella modgränsen. Eftersom systemet rör sig utmed fasplanet måste systemet ha startat i någon punkt i moden och följt modens fasplan fram till den aktuella modgränsen. Vi får alltså nya modgränser som följer systemets fasplan. Vad som mer sätter gränser för moderna är hur lång samplingstid vi har, eftersom systemet även måste hinna röra sig ut ur moden under den tid som systemet har på sig. Utseendet hos denna gräns följer i stort sett utseendet hos den modgräns vi avser att överträda, medan avståndet från modgränsen bestäms av samplingstiden T .
Om vi exempelvis har ett system, där en av moderna begränsas av x1< 2, som
har en systembeskrivning som ger fasplanet enligt figur 4.1. Om vi sen har ytter-ligare en mod som begränsas av x1≥ 2, − 1 < x2< 0 får vi nya modgränser, som
gör att systemet rör sig över till denna mod, som följer fasplanet enligt figur 4.1. Den i figuren utritade moden kommer även, som nämns ovan, att begränsas av den valda samplingstiden, vilken tillsammans med den modgräns som ska överträ-das bildar ytterligare en begränsning för den nya moden.
Dessa gränser avgör endast vilken mod systemet rör sig vidare till alternativt om systemet stannar i startmoden under samplingstiden. Hur moderna inuti denna begränsning ser ut beror på hur systemet rör sig vidare genom andra moder. Detta utseende är dock inte lika starkt kopplat till fasplanets utseende även om det naturligtvis finns en koppling.
4.1.3
Samplingstidens inverkan
Det tidsdiskreta systemets moder beror delvis på samplingstiden T . Som vi såg i exempel 3.1 så fick vi inte samma moduppsättning för T < ln 5 och T > ln 5. Detta fenomen bör även kunna inträffa i andra system. Om vi väljer ett väldigt litet värde på T verkar det som att de flesta moder i det tidsdiskreta systemet ges av korta modsekvenser. Systemet hinner inte röra sig över de längre sekvenser som finns. Om vi istället väljer ett stort värde på T verkar det som att de moder som ges av kortare sekvenser försvinner. Anledningen till det är den omvända. Då systemet tar en viss maximal tid t på sig att fullständigt röra sig genom två efter varandra följande moder i en sekvens och samplingstiden T > t får vi aldrig någon mod i diskret tid som kommer av den sekvens där endast dessa två moder ingår.
För moderna i det tidsdiskreta systemet verkar det som att en kortare samp-lingstid ger att den diskreta moden krymper mot den modgräns som systemet först går över i sekvensen. Om vi istället väljer en längre samplingstid utvidgas troligen moden från den modgräns som systemet först rör sig över i sekvensen. Om
4.1 Moder i det tidsdiskreta PWA-systemet 29
Figur 4.1. Utseende hos en mod i det tidsdiskreta system
vi tittar på lösningen till exempel 3.2 i appendix B ser vi att just detta inträffar då värdet på T ändras.
Vi kan alltså dra slutsatsen att T verkar ha en stor inverkan på vilken modupp-sättning vi får samt hur moderna ser ut.
4.1.4
Moder i diskret tid för icke existerande sekvenser
Eftersom det i tidskontinuerliga PWA-system är svårt att hitta alla sekvenser som uppkommer under en sampelperiod T i hela systemet är det av intresse att veta vad som händer då vi försöker beräkna en mod i diskret tid som kommer från en sekvens som inte kan uppträda i det tidskontinuerliga PWA-systemet under en sampelperiod T .
Låt oss börja med att titta på problemet med en sekvens som aldrig kan upp-komma oavsett samplingstiden T . Vi utgår från systemet i figur 4.2 som ges av
˙ x = 0 1 1 0 ! x + −5 0 ! om x1< −2 mod1 0 −1 −1 0 ! x + 8 0 ! om − 2 ≤ x1< 1 mod2 2 2 ! om 1 ≤ x1,3 ≤ x2 mod3 1 −1 ! om 1 ≤ x1,x2< 3 mod4
Vi kan i figur 4.2 se att systemet kan röra sig i följande sekvenser:
mod1 mod2 mod3 mod4
mod1→2 mod2→3 mod2→4 mod1→2→3
Kurvan i mod2 i figur 4.2 är lösningen för att systemet ska gå över från mod2
till gränsen mellan mod3och mod4. Systemet måste således starta nedanför denna
kurva för att komma till mod4. Om vi vidare tittar på lösningens sträckning in i
mod1ser vi att systemet, då det startar under kurvan, inte kan röra sig från mod1
till mod2. Sekvensen mod1→2→4kan alltså inte uppkomma i detta system.
Då vi försöker beräkna en mod i diskret tid för sekvensen mod1→2→4får vi två
x-värden vid övergångarna att ta hänsyn till. x vid modövergången mod2→4säger
att systemet måste ligga under den inritade lösningskurvan. x vid modövergången mod1→2måste dock ligga över −25 , vilket även är över den inrita lösningskurvan,
för att övergången ska ske. Det verkar således som att den lösning vi får för denna beräkning ger en mod i diskret tid som begränsas så att den inte existerar.
Figur 4.2. Tidskontinuerligt PWA-system med fyra moder
Det verkar alltså vara så att alla sekvenser som inte kan uppträda i ett system ger moder i diskret tid som begränsas bort totalt, i och med att modövergångarna
4.1 Moder i det tidsdiskreta PWA-systemet 31
ger motsägande begränsningsvillkor. Om man ska kunna säga något som är säkert och gäller generellt angående detta måste man dock göra fler undersökningar.
Det andra alternativet som kan göra att en sekvens inte kan uppkomma under samplingstiden T är att T helt enkelt är för liten alternativt för stor för att en viss sekvens ska kunna uppkomma. Ett exempel på ett system där detta fenomen uppträder är exempel 3.1. Som vi kan se i exempel 3.1 får vi, då vi beräknar en mod för en sekvens som inte uppträder på grund av storleken på T , villkor på x(kT ) som gör att moden helt begränsas bort.
De villkor som ställs på x (k + 1) T för att det ska ligga i sekvensens slutmod ger villkor på var x(kT ) ska ligga, dvs. var sekvensen ska starta. Om samplingstiden T är för liten eller för stor för sekvensen verkar det som att villkoren på x(kT ) ger att x(kT ) måste ligga utanför startmoden för sekvensen. Detta ger oss villkor som aldrig går att uppfylla samtidigt vilket ger en tom mod i diskret tid, dvs. den mod som skulle skapats har begränsats bort helt och hållet.
Slutsatsen blir således att vi troligen får en mod vars gränser ger tomma mäng-den om vi försöker skapa en mod i det tidsdiskreta systemet för en sekvens som aldrig kan uppkomma. Vi kan troligtvis alltså utan att få några fel hos det tids-diskreta systemet beräkna moder för sekvenser som aldrig uppkommer.
4.1.5
Tidsdiskret beskrivning av PWA-system med
kom-plexa egenvärden
En annan typ av system som kan ge skillnader mellan om man skapar en exakt tidsdiskret beskrivning jämfört med på traditionellt vis är system där A-matrisen har komplexa egenvärden med negativ realdel. Ett sådant system ger enligt Glad och Ljung (2003) ett stabilt fokus i fasplanet.
Om vi nu skapar ett system med två moder som har varsitt stabilt fokus enligt följande ˙ x = −0. 6 −0. 8 0. 8 −0. 6 x + Bi B1= 3 −2 B2= 1 −1 x ∈ mod1 om x1≥ 2 x ∈ mod2 om x1< 2
får vi två stabila fokus, i punkten 3,41,2 för mod1 och i punkten 1,40,2 för mod2.
Gränserna för om systemet stannar kvar i sin ursprungsmod eller rör sig över till den andra moden ges av kurvorna i figur 4.3.
För mod1 ser vi i fasplanet att systemet måste ligga innanför den översta
inritade kurvan (som går igenom punkten x = 5,87 ) i moden för att systemet
ska stanna kvar i mod1. För mod2 däremot måste systemet ligga innanför den
Figur 4.3. Fasplan för system med komplexa egenvärden till A-matrisen
systemet ska stanna i mod2. Om vi startar utanför dess kurvor kommer systemet
att så småningom röra sig ut ur sin startmod.
Då vi beskriver detta system med ett tidsdiskret system på traditionellt sätt kommer vi även att en liten bit utanför kurvorna stanna kvar i startmoden. Sy-stemet rör sig således till startmodens fokuspunkt och inte till den andra modens fokuspunkt, vilket systemet gör i det kontinuerliga fallet. Anledningen till detta är återigen att det tidsdiskreta systemet som ges av den traditionella beskrivningen inte hinner uppfatta att det har gått över till den andra moden. Den traditionella beskrivningen av systemet följer helt enkelt startmodens systembeskrivning över modgränsen för att innan samplingstiden är slut återvända till startmoden igen.
Ett annat (liknande) problem som uppstår då vi vill beskriva ett system av denna typ med ett tidsdiskret system är de fall då vi rör oss i längre modse-kvenser, vi får nämligen längre och längre modsekvenser ju längre från ett stabilt fokus vi startar. För varje modövergång i en sådan modsekvens riskerar vi att i den traditionella beskrivningen (eftersom det tidsdiskreta systemet då följer fel systembeskrivning under en del av samplingsintervallet) påverka x så att systemet till slut stannar i fel fokuspunkt. I figur 4.4 visas en sådan modövergång som kan ge problem.
Om systemet startar precis ovanför den övre kurvan i mod1 kommer systemet
att med traditionell beskrivning hamna innanför den övre kurvan efter modöver-gången mod1→2 och således sluta i fokuspunkten i mod2. Det tidskontinuerliga
systemet däremot hamnar i fokuspunkten i mod1 eftersom systemet följer precis
utanför den övre kurvan hela vägen och ger ytterligare en modövergång, nämligen mod2→1vilket kan ses i figur 4.4.
4.1 Moder i det tidsdiskreta PWA-systemet 33
Figur 4.4. Fasplan för system med komplexa egenvärden till A-matrisen
4.1.6
Glidande mod (sliding mode)
Ett fenomen som kan inträffa hos ett tidskontinuerligt PWA-system är glidande mod, eller på engelska sliding mode. Vad som händer då är att systemet rör sig från varsin mod mot en och samma modgräns. Dessutom krävs att systemet har en förändringsfaktor i minst ytterligare en riktning. Vi måste alltså ha minst ett tvådimensionellt system. Figur 4.5 visar ett tvådimensionellt system med glidande mod.
Som vi kan se i figur 4.5 kommer systemet att röra sig in mot modgränsen för att sen glida utmed själva modgränsen. Denna glidning kommer att fortgå ända till någon av systembeskrivningarna i de angränsande moderna får systemet att röra sig ut från modgränsen, som i figur 4.6 (b). Ett annat alternativ som gör att systemet slutar glida är om båda modernas systembeskrivningar vid samma punkt ger en derivata hos systemet som är noll i den riktning som modgränsen har, se figur 4.6 (a). Detta skulle resultera i samma typ av uppträdande som i exempel 3.6.
(a): Glidningen stannar upp (b): Glidningen går över i en mod
Figur 4.6. Fasplan vid avbrott av glidning för system med glidande mod
Om vi här gör jämförelsen mellan traditionell och exakt beskrivning av syste-met kommer den traditionella beskrivningen ge upphov till ett system som pendlar över modgränsen med pendelrörelser som ges av storleken på samplingstiden T , se figur 4.5. Dessa rörelser kommer att bli avsevärt mycket större än de pendelrörel-ser som bildas för det tidskontinuerliga systemet som rör sig utmed modgränsen samtidigt som de oändligt snabba förändringarna hos derivatan ˙x gör att syste-met vibrerar. Då vi istället tittar på den exakta beskrivningen och relaterar till exempel 3.6 kommer vi få ett system som ligger och glider exakt på modgränsen. Då vi tittar på det fall då systemet går ur sin glidning, enligt figur 4.6 (b), kan den traditionella beskrivningen ge en viss förskjutning på var systemet slutar glida jämfört med det tidskontinuerliga systemet, för vissa initialtillstånd. Om vi får en förskjutning eller ej beror på var den sista sampelpunkten i glidningen ligger. Om den ligger exakt på modgränsen (som i fallet med exakt beskrivning) får vi samma utseende hos det tidsdiskreta systemet som hos det tidskontinuerliga systemet, i annat fall blir det en förskjutning hos det tidsdiskreta systemet.
Om vi nu tittar på ett sådant fall där systemet stannar upp på modgränsen, som i figur 4.6 (a), så kommer den traditionella beskrivningen göra att systemet börja pendla över modgränsen, utan att någonsin stanna, vid just denna punkt. En exakt beskrivning skulle däremot stanna i punkten (då vi förenklar det på samma sätt som i exempel 3.6).
För den intresserade läsaren finns mer information om hur man kan gå tillväga för att hitta en tidsdiskret beskrivning till ett tidskontinuerligt PWA-system med
4.2 Parallella modgränser 35
glidande moder i Schwarz m.fl. (2005).
4.2
Parallella modgränser
Eftersom x(ti) = eAi(ti−ti−1)x(ti−1) + A−1i e
Ai(ti−ti−1)− I B
i ges det enda
beroendet mellan två modövergångar (x(ti) och x(ti−1)) i en modsekvens av
ut-trycket eAi(ti−ti−1). Om detta uttryck kan förenklas så får vi också ett enklare
uttryck för x (k + 1)T som funktion av x(kT ).
Om vi tittar på ett tvådimensionellt PWA-system och beskriver detta med ett tidsdiskret system för en sekvens får vi
x(t1) = eAM1(t1−kT )x(kT ) + A−1M1 eAM1(t1−kT )− IB M1 x(ti) = eAMi(ti−ti−1)x(ti−1) + A−1Mi eAMi(ti−ti−1)− IB Mi x (k + 1)T = eAMm((k+1)T −tm−1)x(t m−1) + A−1Mm eAMm((k+1)T )−tm−1− I BMm
där Mi är mod nr. i i sekvensen. Om vi vidare antar att alla modgränser är
parallella, dvs. Cx(ti) = gi, och att Ai = diI (notera att eAit = editI där edit
är en skalär) får vi följande uttryck när vi skapar en tidsdiskret mod för en viss sekvens x(t1) = edM1(t1−kT )x(kT ) + d−1M1 edM1(t1−kT )− 1B M1 ⇒ g1= edM1(t1−kT )Cx(kT ) + d−1M1C edM1(t1−kT )− 1B M1 = = edM1(t1−kT )C x(kT ) + d−1 M1BM1 − d −1 M1CBM1⇒ edM1(kT −t1)=C x(kT ) + d −1 M1BM1 g1+ d−1M1CBM1 x(ti) = edMi(ti−ti−1)x(ti−1) + d−1Mi edMi(ti−ti−1)− 1B Mi⇒ (4.1) gi = edMi(ti−ti−1)gi−1+ d−1Mi edMi(ti−ti−1)− 1 CBMi = (4.2) = edMi(ti−ti−1) g i−1+ d−1MiCBMi − d −1 MiCBMi ⇒ edMi(ti−1−ti)=gi−1+ d −1 MiCBMi gi+ d−1MiCBMi x (k + 1)T = edMm((k+1)T −tm−1)x(t m−1) + d−1Mm edMm((k+1)T )−tm−1− 1B Mm = = edMm((k+1)T −tm−1)x(t m−1) + d−1Mm edMm((k+1)T )−tm−1− 1 BMm
Med hjälp av detta kan vi uttrycka x(ti) och edMi(kT − ti) som direkta
funk-tioner av x(kT ) vilket ger att x (k + 1)T går att uttrycka som en direkt funktion av x(kT ). Det som huvudsakligen gör den stora förenklingen här är övergången
mellan raderna (4.1) och (4.2) i ekvationen ovan, där vi kan byta ut Cx(ti) och
Cx(ti−1) mot konstanter. Det som gör att ett PWA-system med ovan nämnda
villkor är relativt enkelt att ta fram en tidsdiskret beskrivning för är alltså att vi endast får ett konstant beroende mellan de olika tillstånden vid modövergångarna. Vad som mer är värt att notera är att om vi vill ha ett tidsdiskret PWA-system som beskrivning av det ursprungliga tidskontinuerliga PWA-systemet måste modernas A-matriser vara identiska, dvs. di= d.
4.3
PWA-system som skapats från linjäriseringar
Många PWA-system är i grunden olinjära system som man linjäriserat i flera arbetspunkter och på så sätt fått olika moder för de olika linjäriseringarna. Vad man dock bör tänka på i ett läge då man linjäriserar ett olinjärt system till ett PWA-system är att det kan vara idé att fundera över hur man bör linjärisera för att PWA-systemet ska bli lätt att ta fram en tidsdiskret beskrivning för.
Eftersom utseendet hos moderna i det tidsdiskreta systemet till stor del beror av fasplanets utseende i de tidskontinuerliga moderna kan man genom sin linjäri-sering påverka hur pass olinjärt utseendet på moderna i det tidsdiskreta systemet är. Om vi exempelvis gör en linjärisering där vi får många moder med komplexa egenvärden kan vi se i figur 4.3 och 4.4 att vi kommer få moder i det tidsdiskreta systemet vars gränser har ett olinjärt bågformat utseende.
För att få systembeskrivningarna i de tidsdiskreta moderna mer linjära bör man, om det är möjligt, linjärisera på ett sådant sätt att A-matrisen i moderna blir så lika varandra som möjligt. Om det finns möjlighet bör man även försöka få A-matriserna att likna aI, där a är en konstant, så mycket som möjligt. Anledningen till detta är att den typ av system i två dimensioner som i diskret tid alltid beskrivs med ett tidsdiskret PWA-system är just tidskontinuerliga PWA-systemet där A = aI för alla moder.
I exempel 3.7 hade vi ett system som spiraliserade sig in mot origo utan att stanna där. Om ett sådant system i grunden är ett olinjärt system som linjäriserats i fyra moder finns det fall där man med fördel skulle kunna gå över i r, φ-planet och linjärisera där för att även ta fram en tidsdiskret beskrivning för det PWA-system som bildas i r, φ-planet. På så sätt slipper man problemet med oändligt många moder.
Ett annat exempel på ett system som spiraliserar sig in mot origo är följande:
Exempel 4.1: oändligt många moder i oändligheten
˙r = −ar d
dt(r ˙φ) = −(a + εi)r d
4.3 PWA-system som skapats från linjäriseringar 37
där modgränserna ges av att Hi
r φ 1 [i]0 där Hi = 0 1 ai 0 −1 bi . Om vi nu gör variabelbytet r = y1, φ = y2, φ = y˙ 3 får vi följande system ˙ y1= −ay1 ˙ y2= y3 ˙ y3= −(a + εi) + ay3
där εi > 0 bestäms av varje mod.
Skillnaden mellan systemet i exempel 3.7 och exempel 4.1 är att i exempel 4.1 minskar den tangentiella hastigheten hos systemet snabbare än vad radien mins-kar. Det innebär att varje varv som systemet rör sig tar längre och längre tid ju närmre origo vi kommer. Detta innebär i sin tur att vi, då moderna strålar samman i origo, kommer att få färre och färre modövergångar ju närmre systemet kommer origo. Å andra sidan kommer systemet att få fler och fler modövergångar ju längre ifrån origo vi kommer. Jämfört med exempel 3.7 kommer vi alltså att få våra oändligt många moder i oändligheten istället för i origo. Om däremot detta system endast är ett delsystem (där övriga moder i systemet alltid ger ändligt många modsekvenser) får vi ett tidsdiskret system med ändligt många moder.
Systemet i exempel 4.1 skulle vi alltså kunna överföra till ett system i x1, x2
-planet, linjärisera detta i ett antal moder för att sen skapa en tidsdiskret beskriv-ning för detta system. Vad som dock skulle vara att föredra i ett sådant fall är att behålla systemet i y1, y2, y3-planet eftersom vi då får ett enklare system att hitta
en tidsdiskret beskrivning till samt undviker de fel som skulle kunna skapas vid den linjäriseringen som annars skulle behöva göras.
5
Tidsdiskret beskrivning av
tidskontinuerliga
PWA-system
Framtagandet av en tidsdiskret beskrivning för ett tidskontinuerligt PWA-system skulle kunna sägas sker i två faser. Till att börja med måste man utvärdera det ursprungliga tidskontinuerliga PWA-systemet för att få fram en lista över alla sekvenser som kan uppkomma i systemet. Enligt avsnitt 4.1.4 kan denna lista även innehålla sekvenser som aldrig uppkommer i systemet utan att det leder till några problem.
Den andra fasen innebär att man går igenom listan med sekvenser och skapar en tidsdiskret mod för varje sekvens. Genom att göra det får man fram dels en mängd moder som är tomma och dels alla de moder som faktiskt existerar.
I detta kapitel undersöks hur man kan göra för att söka sekvenser. Här ges även två algoritmiska lösningar till problemet med att ta fram tidsdiskreta be-skrivningar till PWA-system i en respektive två dimensioner som ger tidsdiskreta PWA-system som resultat. Det ges även en algoritm för att beskriva ett godtyckligt PWA-system utan insignal i en dimension med ett tidsdiskret system.
5.1
Att hitta alla tänkbara sekvenser i ett
PWA-system
I detta avsnitt undersöks två typer av algoritmer som kan användas för att hitta alla sekvenser som kan uppträda i ett PWA-system.
5.1.1
Söka sekvenser med hjälp av fasplanet i de enskilda
moderna
Som nämns i både Roll (2003) och Einarsson (2000) så kan man med hjälp av fasplanet i varje mod sätta upp en riktad graf över hur systemet skulle kunna röra sig genom moderna. Detta görs genom att om fasplanet i mod A ger att systemet kan röra sig till mod B så dras en båge från mod A till mod B.
När vi gjort detta för alla moder har vi en riktad graf för hur systemet skulle kunna komma att röra sig. Vi kan nu utifrån denna graf lista alla sekvenser som kan uppkomma i systemet.
Detta sätt att bestämma systemets rörelse på ger en relativt kraftig överskatt-ning, eftersom det för varje sekvens av minst tre moder inte är säkert att systemet kan röra sig enligt grafen. Anledningen till det är att det kan finnas krav på var på modgränserna övergångarna sker för att en viss sekvens ska kunna uppträda. Om vi exempelvis tittar på systemet i figur 4.2 så skulle en riktad graf för det systemet (se figur 5.1) säga att vi kan röra oss i sekvensen mod1→2→4 vilket vi
enligt figuren i själva verket inte kan.
Figur 5.1. Riktad graf för systemet i figur 4.2
Eftersom vi enligt avsnitt 4.1.4 troligen inte får några problem om vi försöker räkna på sekvenser som inte existerar borde denna överskattning inte ge några fel i beräkningarna.
Ett problem som kan inträffa är om vi i den riktade grafen får cykler. För att inte få oändligt många sekvenser att hantera måste vi på något sätt bestämma hur många varv i cykeln systemet hinner röra sig under periodtiden T . Ett alternativ att lösa detta på skulle vara att utifrån en mod i cykeln räkna på större och större sekvenser i cykeln till det att vi, efter första icke tomma moden, får en mod som är tom. Detta skulle nämligen innebära att systemet inte hinner röra sig hela sekvensen under periodtiden T .
