Frekvensegenskaper hos stabila system
F¨or ett stabilt system kan frekvensegenskaperna unders¨okas genom att l˚ata insignalen till systemet vara en sinussignal som i Fig. 1. Detta samband
G(s)
Figur 1: Metod f¨or att unders¨oka ett systems frekvensegenskaper
mellan in- och utsignal g¨aller bara under f¨oruts¨attning att den sinusformade insignalen har hunnit p˚averka systemet tillr¨ackligt l¨ange. Om sinussignalen kopplas in vid t = 0 kommer en transient att upptr¨ada i utsignalen. Sit- uationen i Fig. 1 f¨oruts¨atter att denna transient helt har hunnit klinga ut (konvergerat till 0). Ibland kallas den icke-transienta delen av utsignalen f¨or den station¨ara delen av utsignalen.
De tv˚a funktionerna A(ω) och φ(ω) kallas f¨or amplitudfunktionen respektive fasfunktionen f¨or systemet. De kan h¨arledas fr˚an ¨overf¨oringsfunktionen G(s) enligt
(A(ω) = |G(iω)|
φ(ω) = arg G(iω) Exempel 1. Systemet med ¨overf¨oringsfunktionen
G(s) = 3 s + 2
matas med insignalen u(t) = 4 sin 2t. F¨or att ta reda p˚a den station¨ara delen av utsignalen ber¨aknas f¨orst amplitud- respektive fasfunktionen f¨or systemet.
A(ω) = |G(iω)| =
3 iω + 2
= 3
√ω2+ 4 φ(ω) = arg G(iω) = arg 3
iω + 2 = − arctanω 2
Det inneb¨ar att den station¨ara delen av utsignalen (”utsignalen efter l˚ang tid”) blir (med ω = 2 rad/s)
y(t) = A(2)·4 sin(2t+φ(2)) = 3
√22+ 4·4 sin
2t − arctan2 2
= 6
√2sin(2t−π/4)
1
