A.5.6 Summor och serier

(1)

Innehåll

1 Signaler och system 9

1.1 Signaler . . . 9

1.1.1 Signaler som representerar fysikaliska storheter . . . 10

1.1.2 Signaler som representerar information . . . 10

1.1.3 Tidsenhet . . . 11

1.1.4 Varför en funktion just av tiden? . . . 11

1.2 System . . . 11

1.2.1 Inre tillstånd . . . 12

1.2.2 In- och utsignaler . . . 13

1.2.3 Kausalitet . . . 13

1.2.4 Verkan över tiden . . . 13

1.2.5 Exempel på signaler och system . . . 15

1.2.6 System och delsystem . . . 16

1.2.7 Framåtkopplade och återkopplade system . . . 18

1.2.8 Systemanalys . . . 18

1.2.9 Flera nivåer av system . . . 20

1.3 Tidsdiskret och tidskontinuerligt . . . 21

1.3.1 Tidsdiskreta och tidskontinuerliga signaler . . . 21

1.3.2 Binära signaler och meddelanden . . . 23

1.3.3 Tidsdiskreta och tidskontinuerliga system . . . 25

1.4 Innan vi går vidare . . . 28

2 Modeller för signaler och system 29 2.1 Signalmodeller . . . 29

2.1.1 Signalrum . . . 29

2.1.2 Begränsade signaler . . . 31

2.2 Systemmodeller . . . 32

2.3 Systemoperator . . . 33

2.3.1 Identiska system . . . 34

2.3.2 Exempel på systemoperatorer . . . 34

2.4 Differentialekvationer . . . 40

2.4.1 Ett exempel: Vatten som värms av en spisplatta . . . 40

2.4.2 Linjära ODE . . . 41

2.5 Från delsystem till större system . . . 42

2.5.1 Kaskadkoppling . . . 42

2.5.2 Linjärkombinationer . . . 44

3 LTI-system 47 3.1 Linjära system . . . 47

3.1.1 Hur visa att ett system är linjärt respektive olinjärt? . . . 48

3.1.2 Exempel på linjära system . . . 49

3.1.3 Exempel på olinjära system . . . 50

(2)

3.1.4 Linjära tidsdiskreta system . . . 52

3.1.5 Linearisering . . . 52

3.2 Tidsinvarianta system . . . 52

3.2.1 Hur visa att ett system är tidsinvariant . . . 54

3.2.2 Exempel på tidsinvarianta system . . . 54

3.2.3 Exempel på tidsvarianta system . . . 56

3.2.4 Tidsinvarianta tidsdiskreta system . . . 57

3.3 Deﬁnition av LTI-system . . . 57

3.4 Grundläggande egenskaper . . . 58

3.4.1 Linjärkombination av två LTI-system . . . 58

3.4.2 Kaskadkoppling av LTI-system . . . 58

3.4.3 LTI-system kommuterar med tidsderivata . . . 59

3.4.4 Utökning av begreppet linjärt system . . . 59

3.5 Tidsdiskreta LTI-system . . . 61

4 Stegsvar och impulssvar 63 4.1 Stegsvar . . . 63

4.1.1 Pulssvar . . . 64

4.1.2 Generering av utsignal baserat på stegsvar . . . 65

4.2 Impulssvar . . . 66

4.2.1 Generering av utsignal baserat på impulssvar . . . 67

4.3 Grundläggande egenskaper . . . 68

4.3.1 Relation mellan impulssvar och stegsvar . . . 68

4.3.2 Kausala system . . . 68

4.3.3 Stegsvar och impulssvar är unika för distinkta system . . . 69

4.3.4 Linjärkombination av LTI-system . . . 70

4.4 Faltning . . . 70

4.4.1 Kaskadkoppling av LTI-system . . . 71

4.5 Stabila system . . . 72

4.5.1 BIBO-stabilitet . . . 73

4.5.2 Exempel . . . 73

4.6 Exempel på impuls- och stegsvar . . . 74

4.6.1 Förstärkare . . . 74

4.6.2 Fördröjning . . . 74

4.6.3 Deriverare . . . 74

4.6.4 Linjär ODE . . . 74

4.6.5 Åter till spisen . . . 76

4.7 Det tidsdiskreta fallet . . . 77

4.7.1 Impulssvar . . . 77

4.7.2 Övriga egenskaper för tidsdiskreta LTI-system . . . 77

5 Cosinussignaler 79 5.1 Deﬁnition av cosinussignaler . . . 79

5.1.1 Negativa frekvenser . . . 81

5.2 Linjärkombinationer av cosinussignaler . . . 82

5.2.1 Linjärkombination av cosinussignaler med samma frekvens . . . 82

5.2.2 Linjärkombination av cosinussignaler med olika frekvens . . . 82

5.2.3 Frekvenskomponenter . . . 83

5.2.4 Linjärkombinationer av många olika frekvenskomponenter . . . 83

5.3 Periodiska signaler . . . 83

5.3.1 Några begrepp . . . 84

5.3.2 Exempel . . . 84

5.4 Generalisering till integral av cosinussignaler . . . 85

(3)

5.5 Bandbegränsade signaler . . . 85

5.6 Tidsdiskreta cosinussignaler . . . 86

5.6.1 Vikning . . . 86

5.6.2 Vad händer vid vikning? . . . 88

5.6.3 Vikning i praktiken . . . 89

5.6.4 Exempel I . . . 89

5.6.5 Exempel II . . . 91

6 Frekvensfunktionen 93 6.1 Cosinus in - cosinus ut . . . 93

6.2 Deﬁnition av frekvensfunktionen . . . 95

6.2.1 Frekvensfunktion och impulssvar . . . 96

6.2.2 Frekvensfunktionens existens . . . 98

6.2.3 Frekvensfunktionen som systemmodell . . . 98

6.2.4 Frekvens eller vinkelfrekvens? . . . 98

6.3 Frekvensfunktionens egenskaper . . . 99

6.3.1 Kaskadkopplade system . . . 99

6.3.2 Linjärkombinationer av system . . . 100

6.3.3 Inverssystem . . . 100

6.3.4 Frekvensfunktionen är hermitesk . . . 101

6.4 Exempel på frekvensfunktioner . . . 102

6.4.1 Förstärkare . . . 102

6.4.2 Tidsfördröjning . . . 102

6.4.3 Deriverare . . . 102

6.4.4 Linjära ODE:er . . . 102

6.5 Utsignal från ett LTI-system . . . 106

6.6 Det tidsdiskreta fallet . . . 107

6.6.1 Frekvensfunktion och impulssvar . . . 107

6.6.2 Frekvensfunktionens egenskaper . . . 109

6.6.3 H(ω) är periodisk för ett tidsdiskret system . . . 109

7 Filter 111 7.1 Frekvensselektiva ﬁlter . . . 111

7.1.1 Typer av ﬁlter . . . 113

7.1.2 Exempel . . . 117

7.2 Filter i begränsade frekvensintervall . . . 121

7.2.1 Audioﬁlter . . . 121

7.2.2 Derivataﬁlter . . . 122

7.2.3 Filter för tidsdiskreta signaler . . . 122

8 Sampling och rekonstruktion 123 8.1 Analog-till-digital-omvandling . . . 125

8.1.1 Kvantisering, teori . . . 126

8.1.2 Kvantisering, praktik . . . 126

8.1.3 Sampling och låsning . . . 127

8.1.4 Trunkering . . . 127

8.1.5 Sammanfattning . . . 127

8.1.6 Kvantiseringsbrus . . . 129

8.1.7 Ideal sampling . . . 130

8.2 Rekonstruktion . . . 130

8.2.1 Approximativ rekonstruktion . . . 131

8.2.2 Ideal rekonstruktion (teori) . . . 133

(4)

8.3 Samplingsteoremet . . . 135

8.3.1 Formulering av samplingsteoremet . . . 135

8.3.2 Vikningsdistorsion . . . 136

8.3.3 Ideal rekonstruktion (praktik) . . . 137

8.4 Tidskontinuerliga system implementerade med tidsdiskreta system . . . 138

9 Tidsdiskreta ﬁlter 141 9.1 IIR-ﬁlter . . . 141

9.1.1 Ett exempel . . . 142

9.2 FIR-ﬁlter . . . 143

9.2.1 Stabilitet . . . 144

9.2.2 Exempel . . . 145

9.3 Syntes av FIR-ﬁlter . . . 147

9.3.1 Invers tidsdiskret fouriertransform följd av trunkering och tidsförskjutning . . . 147

9.3.2 Frekvensdiskret invers fouriertransform . . . 150

10 Transmissionssystem 155 10.1 Kanalen . . . 155

10.2 Digital transmission . . . 157

10.2.1 Transmission av tidsdiskreta samplade signaler . . . 158

10.2.2 Modulation . . . 158

10.3 Exempel på metoder för pulsmodulation . . . 159

10.3.1 Unipolär modulation . . . 159

10.3.2 Bipolär modulation . . . 159

10.3.3 Pulsbreddmodulation . . . 160

10.3.4 Frekvensmodulation . . . 161

10.4 Demodulation . . . 163

10.4.1 Unipolär och bipolär demodulering . . . 164

10.4.2 Pulsbreddmodulering . . . 164

10.4.3 Frekvensdemodulering . . . 164

10.5 Matchande ﬁlter . . . 168

10.5.1 Faltning som skalärprodukt . . . 169

10.5.2 Matchande ﬁlter och detektion . . . 170

10.5.3 Detektion av ﬂera symboler . . . 173

10.5.4 Generalisering till tidskontinuerliga signaler och system . . . 173

10.5.5 Matchande ﬁlter och demodulation . . . 174

A Saker vi minns från tidigare kurser 175 A.1 Linjär algebra . . . 175

A.1.1 Vektorrum . . . 175

A.1.2 Linjärkombination . . . 175

A.1.3 Linjära transformationer . . . 175

A.1.4 Baser och koordinater . . . 176

A.1.5 Skalärprodukt och norm . . . 176

A.1.6 Minsta kvadrat-problem . . . 177

A.2 Periodiska funktioner . . . 177

A.3 Trigonometri . . . 177

A.4 Komplexa tal och funktioner . . . 178

A.5 Analys . . . 180

A.5.1 Deﬁnition av derivata . . . 180

A.5.2 Riemann-integral . . . 180

A.5.3 Generaliserade integraler . . . 180

A.5.4 Några speciﬁka integraler . . . 180

A.5.5 Differentialekvationer . . . 181

(5)

A.5.6 Summor och serier . . . 182

B Roliga funktioner 183 B.1 Arctangens med två argument . . . 183

B.2 Enhetssteget . . . 184

B.3 Enhetspulsen . . . 184

B.4 Sinc-funktionen . . . 185

B.5 Ideala impulsfunktionen . . . 186

B.5.1 Som ett gränsvärde av en puls . . . 186

B.5.2 Som en derivata av enhetssteget . . . 187

B.5.3 Som en funktional . . . 187

B.5.4 Egenskaper . . . 188

B.6 Diskreta impulsfunktionen . . . 188

B.6.1 Användbara samband . . . 188

B.7 Diskreta stegfunktionen . . . 188

B.8 Användbara samband . . . 189

B.9 Gauss-funktionen . . . 190

B.9.1 Gauss-funktionen inom signalbehandling . . . 191

C Operationer på funktioner 193 C.1 Faltning . . . 193

C.1.1 Grundläggande egenskaper . . . 193

C.1.2 Vad är faltning? . . . 195

C.1.3 Diskret faltning . . . 196

C.2 Tidskontinuerlig fouriertransform . . . 197

C.2.2 Invers fouriertransform . . . 199

C.2.3 Vad är fouriertransform? . . . 199

C.3 Tidsdiskret fouriertransform . . . 200

C.3.2 Invers tidsdiskret fouriertransform . . . 201

C.4 Frekvensdiskret fouriertransform . . . 202

C.4.1 Invers frekvensdiskret fouriertransform . . . 202

C.4.2 Egenskaper . . . 203

Index 205