Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur – miljö – samhälle
Examensarbete
10 poängAnvänder elever sina vardagskunskaper
i matematikundervisningen
eller glömmer de sin vardag när de stiger in i klassrummet?
Do students use their everyday knowledge in mathematic education
or do they forget their everyday as they enter the classroom?
Kajsa Johansson
Annika Pettersson
Lärarexamen 180 poäng Matematik och lärande Vårterminen 2006
Examinator: Tine Wedege Handledare: Annica Andersson
1 Sammanfattning
Under vår tid på Lärarutbildningen har vi fått höra talas om vikten att vardagsanknyta vår undervisning. Som blivande lärare tycker vi därför att det skulle vara intressant att undersöka om eleverna använder sina egna vardagskunskaper när de sitter på en matematiklektion. Om de har förmågan att göra en koppling mellan textuppgifternas innehåll och deras faktiska vardag.
För att besvara vår frågeställning utformade vi tre stycken uppgifter med olika grad av vardagsanknytning som vi lät elever i årskurs ett på gymnasiet besvara. Vi följde även upp elevernas svar med följdfrågor angående deras tillvägagångssätt och syn på uppgifterna.
Resultatet visade att de flesta elever inte är vana att sätta sina svar i relation till sin vardag. Till detta finns olika anledningar, men den främsta är att när eleverna sitter på en matematiklektion är de vana att behandla uppgifterna på ett visst sätt för att komma fram till rätt svar.
Vi tror att vi som lärare kan påverka elever till att se samband mellan skolans matematik och deras vardag och att detta kan leda till att eleverna vidare utvecklar sin vetenskapliga kunskap.
Innehållsförteckning
1 SAMMANFATTNING ...3
2 INLEDNING ...7
3 SYFTE OCH PROBLEMFORMULERING...8
4 TEORETISK BAKGRUND...8
4.1 VARDAGSKUNSKAPER...8
4.2 TEORETISKT PERSPEKTIV PÅ LÄRANDE...9
4.3 KONSTRUERAD VERKLIGHET...10 4.4 VARDAGSANKNUTEN UNDERVISNING...13 5 METOD ...15 5.1 UTFORMANDET AV UPPGIFTER...15 5.2 URVAL...16 5.3 DATAINSAMLINGSMETODER...17 5.4 GENOMFÖRANDE...17 5.5 RELIABILITET...18 6 RESULTAT...19 6.1 UPPGIFT 1 ...19 6.2 UPPGIFT 2 ...22 6.3 UPPGIFT 3 ...26 6.4 ROLIGASTE UPPGIFTEN...29
7 ANALYS OCH DISKUSSION ...30
7.1 HUR BEHANDLAR ELEVER SKOLANS MATEMATIKUPPGIFTER: GÖR DE NÅGON KOPPLING TILL SIN OMGIVNING ELLER SÄTTER DE ENDAST IN SINA KUNSKAPER I EN SKOLKONTEXT?...30
7.2 SLUTSATS...38 8 REFERENSER...42 8.1 ELEKTRONISKA REFERENSER...43 8.2 ÖVRIGT...43 BILAGOR ...47 BILAGA 1 ...47 BILAGA 2 ...47 BILAGA 3 ...47 BILAGA 4 ...47
2 Inledning
Vi har för avsikt att undersöka elevers förmåga att använda sina vardagskunskaper i skolmatematiken. Det vill säga hur elever förmår knyta an till sina egna erfarenheter och utveckla sina personliga tankar när de möter innehållet i matematikundervisningen.
Vi är nu inne på slutspurten av vår lärarutbildning och kommer inom en snar framtid att stå öga mot öga med elever som förväntar sig att vi skall ge dem den bästa utbildning vi kan, för att de på bästa sätt skall bli rustade för livet efter skolan. Och det vill vi ju! Tyvärr ser många elever matematiken som ett väldigt komplext ämne och flera gånger har vi fått höra kommentaren: ”Jag förstår inte!” när vi varit ute på matematiklektioner under vår verksamhetsförlagda tid.
Varför elever inte ”förstår” ett visst matematiskt avsnitt kan bero på många olika saker och fordrar en mer djupgående studie än vår. Matematik är ett abstrakt ämne och det är inte konstigt om elever upplever det som svårt, men ytterligare en anledning till varför det är så tror vi kan bero på att ämnet i allt för stor utsträckning isoleras och separeras från elevernas övriga värld. Många elever verkar skärma av sin omvärld i samma stund de kliver in i klassrummet och det tycks som om matematiken lever sitt eget liv med alla sina regler och symboler. Eva Riesbeck skriver om detta i sin avhandling Interaktion och problemlösning (Riesbeck, 2000). Hon menar att då elever sitter på en matematiklektion har de redan av skolan etablerade uppfattningar om hur uppgifterna skall lösas, vilket påverkar deras sätt att se på matematiken. Elever kan lösa textproblem utan att se någon koppling mellan vardagen och den matematiska operation de utför vilket innebär att de löser uppgifter utan att egentligen förstå dem.
Som blivande lärare tycker vi att det skulle vara intressant att undersöka om eleverna verkligen ”glömmer” sin vardag under matematiklektionerna. Vi vill lära oss mer om hur eleverna tänker när de löser matematikuppgifter för att kunna använda oss av dessa erfarenheter i vår egen undervisning.
3 Syfte och problemformulering
Syftet med vårt examensarbete är att undersöka om elever förmår knyta an till sina egna erfarenheter och utveckla sina personliga tankar när de möter innehållet i skolmatematiken. Om det är det så att eleverna ”glömmer” sin vardag under matematiklektionen anser vi att det är en nyttig erfarenhet att ta med oss ut i vårt framtida yrkesutövande. Vår uppfattning är att allt lärande blir roligare om man som lärare har förmåga att knyta an till vardagen. På den verksamhetsförlagda delen av vår utbildning har vi märkt att eleverna blivit mer engagerade vid de undervisningstillfällen då vi lyckats anknyta till deras vardag. Genom att dra paralleller mellan skolans matematik och elevernas vardag anser vi även att man får en bättre förutsättning för förståelse.
Vår frågeställning i detta examensarbete är därför:
Använder elever sina vardagskunskaper i matematikundervisningen?
− Hur behandlar elever skolans matematikuppgifter: gör de någon koppling till sin omgivning eller sätter de endast in sina kunskaper i en skolkontext?
4 Teoretisk bakgrund
4.1 VardagskunskaperVi använder termen vardagskunskaper i vår frågeställning, ett begrepp som kan vara svårt att definiera. Vad är vardagskunskaper? Inger Wistedt (1990) säger att vardagskunskap kan vara kunskaper som individen förvärvat i sin vardag, eller kunskaper individen behöver för att klara vardagen men som inte nödvändigtvis förvärvats i vardagen.
Vår studie avser att undersöka om eleverna kan använda de kunskaper de förvärvat i sin vardag i matematikundervisningen. Men då följer svårigheten med att avgöra vad som är vardag för den enskilde eleven. Säljö (2000) diskuterar faran med att göra en allt för tydlig skillnad mellan elevers vardag och deras skola, och menar istället att skolan är en del av elevernas vardag.
Att anknyta till ’verkligheten’ är ofta ett sätt att uttrycka att verkligheten skulle vara någon annanstans än i skolan. Men skolan är inte mer eller mindre verklig än något annat verksamhetssystem.
(Säljö 2000, s.238)
För att tydliggöra och neutralisera termen vardagskunskaper väljer Wistedt (1993) att införa begreppet informella kunskaper. Wistedt menar att informella kunskaper är ett personligt kunnande som individen format och utvecklat i och utanför skolan. Detta resonemang styrker Säljö (2000) genom att framhålla skolans roll som en institution där eleverna utvecklar sin personliga kunskap, och menar att skolan bidrar till elevernas vardagskunskaper då skolan är en naturlig del av elevernas vardag. I vårt arbete kommer vi fortsättningsvis att använda termen vardagskunskap och menar då det personliga . kunnande som individen format och utvecklat i och utanför skolan, d.v.s. det som Wistedt benämner informella kunskaper.
4.2 Teoretiskt perspektiv på lärande
Den grundläggande undervisningsfilosofin i Sverige idag kan sägas ta sin utgångspunkt i Jean Piagets konstruktivistiska och Vygostskys socialkonstruktivistiska idéer om barns lärande.
Piagets idéer bygger på tanken att den mänskliga intelligensen måste genomgå en anpassningsprocess till sin omgivning för att kunna utvecklas (Persson, 2005). Piaget menar att varje individ bygger upp grupperingar av begrepp och tankescheman som sedan formas genom assimilation och ackommodation för att passa individens erfarenhetsvärld. Assimilation, det vill säga omvandlandet av kunskap, sker när nya erfarenheter tolkas och sorteras mot bakgrund av redan befintliga tankar och begrepp. När dessa inte stämmer med de nya erfarenheterna eller om de inte räcker till för att tolka nya fakta, sker en omstruktureringsprocess, en ackommodation.
Vygosky, som var samtida med Piaget, byggde vidare på konstruktivismen och de teorier som växte fram har betecknats som socialkonstruktivism (Persson, 2005). Vygotsky studerade begrepp som elever lärde sig i skolan och jämförde dessa med de begrepp som eleverna spontant utvecklade i vardagslivet, enligt Riesbeck (2000). Eftersom skolundervisningen var, och är, strukturerad i sin utformning tolkade Vygotsky de förstnämnda begreppen som dekontextualiserade, logiska och hierarkiskt uppbyggda. Denna struktur menade Vygotsky är orsaken till att dessa begrepp kan
kallas vetenskapliga. De spontana begreppen däremot var starkt kontextbundna, osystematiska och omedvetna. Vygotsky menar att om en individ skall lära sig vetenskapliga begrepp sker detta genom en generalisering av de spontana begreppen som alltså är utvecklade i vardagen. Detta innebär att vårt tänkande är beroende av ett möte mellan den vetenskapliga kunskapen, som är systematisk, abstrakt och teoretisk, och de spontana begreppen som är grundade på kunskap från vardagens konkreta sammanhang (Riesbeck, 2000). Enligt Wistedt (1993) används elevernas informella kunskaper varje gång de löser en matematikuppgift och kan därför ses som förstadier till vetenskaplig kunskap.
Kunskap i matematik
Den danske forskaren Ole Skovsmose har delat in vad kunskap i matematik är i tre delkunskaper: en matematisk kunskap, en teknisk kunskap och en reflekterande kunskap (enligt Hedrén, 2001). Den matematiska kunskapen använder man då man tolkar och söker en lösning på ett problem. Den tekniska kunskapen avser den matematiska operationen. Den reflekterande kunskapen slutligen, kommer till användning då man ska värdera sitt svar. Värdera ett svar kan man göra genom en rimlighetsbedömning ställt till problemets bakgrund och eventuellt en överslagsräkning som kontroll.
4.3 Konstruerad verklighet
Trots att Säljö (2000) menar att skolan skall ses som en del av elevernas vardag framhåller han samtidigt att skolan på många sätt är en sluten miljö. De texter och uppgifter som elever möter i skolans läroböcker kan vara väldigt abstrakta och svårtillgängliga, och finns ofta inte att hitta någon annanstans i samhället. På grund av detta lär sig eleverna att matematikuppgifter i skolan skall behandlas på ett unikt sätt. Ofta är uppgifterna konstruerade på ett sätt där eleverna endast behöver betrakta de logiska relationerna mellan siffror och annan information som ingår i texten, och inte alls bekymra sig om hur den omvärld ser ut som uppgiften försöker avbilda. Riesbeck (2000) påpekar att elever går balansgång mellan vad som faktiskt står i en textuppgift och vad de anser man skall räkna på en matematiklektion. Elever kan mycket väl vara medvetna om att det finns ett matematiskt svar och ett svar anpassat efter verkligheten, men de handlar medvetet rationellt för att lösa uppgiften på ett sätt som anses tillfredställande i skolmiljön. Enkelt uttryckt kan man säga att det finns en algoritm
gömd i textuppgiften som skall identifieras och lösas. På så sätt behöver inte eleven se någon koppling mellan verkligheten och den matematiska operationen, det räcker med att hitta algoritmen och göra de rätta beräkningarna.
I tidskriften MONA skriver Tine Wedege (2006) en kritisk kommentar till en tidigare artikel rörande en matematikuppgift från PISA1 2003. Uppgiften handlar om att eleverna skall avgöra hur många bokhyllor man kan montera av en viss mängd bräder, vinkelbeslag och skruvar. Wedege menar att den smarta eleven inser att uppgiften inte handlar om just montering av bokhyllor utan att det är en vanlig matematikuppgift där man skall räkna och inte reflektera. Istället för att låta textuppgiften anknyta till verkligheten på ett verkligt sätt, där eleverna får lov att tänka utanför ramarna, anser Wedege att uppgiften är konstruerad enbart för att få eleven att använda sin matematiska kompetens för att finna det rätta svaret, istället för att sätta in uppgiften i ett verkligt sammanhang, vilket är grundtanken med uppgiften enligt PISA.
Wedege har studerat skillnader mellan den så kallade skolmatematiken och den matematik vi använder utanför skolan. I sin rapport “Numeracy as a basic qualification in semi-skilled jobs” (Wedege 2002b) nämner hon bland annat att man i skolan räknar med konstruerade uppgifter som endast har ett korrekt svar medan man i vardagssituationer ofta kan komma fram till flera olika lösningar på samma problem. Syftet med matematiken i skolan är att eleverna skall öva sina färdigheter inom diverse algoritmräkning, men syftet på arbetsplatsen är att lösa ett faktiskt problem som uppstått. Vidare säger Wedege också att skolans matematik innebär mycket enskilt arbete vilket inte sällan leder till konkurrens och tävlan mellan eleverna. På en arbetsplats däremot löser man ofta problem i grupp genom att samarbeta, här är lösningen det viktiga och inte hur eller vem som kom fram till den. Verkligheten kräver användning av olika matematiska idéer och metoder, men i skolan används verkligheten enbart som en förevändning för att utnyttja olika matematiska idéer och arbetssätt. Skillnaden mellan den matematik man räknar med i skolan och matematiken man använder i vardagssituationer är enligt Wedege (2002a) främst att matematiken i vardagslivet inte klassas som matematik utan som logiskt tänkande. När en person
1PISA (Programme for International Student Assessment) är ett OECD-projekt som undersöker i vilken
grad respektive lands utbildningssystem bidrar till att femtonåriga elever är rustade att möta framtiden. Eleverna undersöks inom fyra kunskapsområden: matematik, naturvetenskap, läsförståelse och problemlösning. PISA avser att mäta kunskaper och färdigheter som är nära relaterade till vardagslivet och av betydelse i det vuxna livet. Källa: www.skolverket.se
använt en matematisk formel för att lösa ett vardagsproblem förändras matematiken till att vara ”sunt förnuft” istället för matematik.
Säljö och Wyndhamn (Säljö & Wyndhamn 1993) utförde en empirisk studie på 214 elever i årskurs 8 och 9 med syftet att undersöka hur dessa elever löste en uppgift beroende på om de befann sig på en matematiklektion eller på en samhällskunskapslektion. Uppgiften eleverna fick var att bestämma hur mycket det skulle kosta att skicka ett brev inom Sverige som vägde 120 gram. Till sin hjälp fick eleverna en portotabell liknande tabell 1 nedan.
Maximal vikt gram Porto kronor 20 2.10 100 4.00 250 7.50 500 11.50 1000 14.50 Tabell 1
Rätt svar på uppgiften är att det skulle kosta 7,50 kronor att skicka ett brev som väger 120 gram, vilket man kan avläsa av tabellen. Detta kan tyckas vara en relativt enkel uppgift men av de elever som deltog i undersökningen var det bara hälften som svarade rätt. Merparten av dem som svarade fel läste inte av tabellen utan valde istället att räkna ut hur mycket det skulle kosta att skicka ett brev på 120 gram genom att t.ex. lägga ihop portokostnaden för ett brev som väger 20 gram med kostnaden för ett brev som väger 100 gram. Andra elever har dividerat kostnaden för ett brev som väger 20 gram med 20 för att få en kostnad på ett brev som väger 1 gram och sedan multiplicera detta med 120. Ett intressant resultat av Säljös och Wyndhamns undersökning är att det var en markant skillnad på tillvägagångssätten för att lösa uppgiften beroende på om eleverna befann sig på en matematiklektion eller samhällskunskapslektion. Av samtliga elever som deltog i undersökningen valde totalt 53,6% att läsa av tabellen för att komma fram till rätt svar medan 46,4% gjorde olika matematiska beräkningar. På matematiklektionerna däremot var det 42,6% som läste av tabellen och 57,4% som beräknade portot jämfört med eleverna på samhällskunskapslektionerna där hela 70,7% läste av tabellen och endast 29,3% som utförde beräkningar. Resultatet kan alltså sammanfattas med att nästan 2/3 av eleverna på matematiklektionerna svarade fel genom att beräkna portot, jämfört med 1/3 av eleverna på samhällslektionerna. En slutsats man kan dra av detta är
att omgivningen och situationen spelar stor roll för vad eleverna anser att de bör göra när de ställs inför en problemuppgift. På en matematiklektion förväntas man räkna, men på en samhällskunskapslektion förväntas man inte behöva räkna och eleverna utgår då istället från att uppgiften skall lösas på annat sätt. Även Wistedt (enligt Riesbeck 2000) bekräftar att de svårigheter eleverna har att lösa problem på en matematiklektion många gånger grundar sig i att eleverna inte vet hur de skall angripa ett vardagligt problem när det dyker upp som en matematisk övning.
4.4 Vardagsanknuten undervisning
Den traditionella synen på kunskap och färdigheter och förmågan att omsätta dessa i verkligheten har varit att du först måste förvärva kunskaper och färdigheter för att sedan kunna tillämpa dessa på vardagliga problem (Riesbeck 2000). Men enligt Riesbeck är detta synsätt inte självklart, utan samspelet mellan kunskap och färdigheter samt förmågan att tillämpa dessa är något som ständigt interagerar. Riesbeck ger bland annat ett exempel på hur människor som skall handla kan utföra olika bedömningar på vad som är bästa köp men när samma problem skall lösas under en matematiklektion uppstår svårigheter. En förutsättning för att elever ska kunna göra en koppling till omgivningen är att undervisningen som bedrivs också tar sin utgångspunkt i elevernas verklighet och inte uteslutande grundar sig på kursens lärobok. I Matematik – ett
kommunikationsämne (Emanuelsson m.fl, 1996) står att läsa att innehållet i skolans
undervisning skall berikas med problemställningar från andra skolämnen samt vardagsliv och samhälle. Uppgifter som kan leda fram till mer än ett svar eller uppgifter där svar kanske saknas är exempel på verklighetsanknuten undervisning enligt författarna.
I läroplanen för de frivilliga skolformerna, Lpf 94, står följande:
Läraren skall:
• i undervisningen utnyttja kunskaper och erfarenheter av arbets- och samhällsliv som eleverna har eller skaffar sig under utbildningen gång
(Utbildningsdepartementet, 1994)
Det ställs alltså krav på läraren att variera undervisningen så att den passar olika elevers intresse och förutsättningar. Genom att dra paralleller mellan skolans matematik och
elevernas vardag kan eleverna få en bättre förutsättning för förståelse. Något som också står att läsa i kursplanen för matematik på gymnasiet:
Matematikens kraft som verktyg för förståelse och modellering av verkligheten blir tydlig om ämnet tillämpas på områden som är välbekanta för eleverna.
(Skolverket, 2000, s.75)
Sternberg (i D.P Newton 2003) menar att elevers förståelse bygger på tänkandets undersökande, kreativa och praktiska aspekter och att lektioner som innehåller alla dessa komponenter kräver att eleverna uppmärksammar och identifierar olika delkunskaper och även klarar av att sätta dem i samband med varandra. Eleven förväntas utveckla och fastslå förhållanden genom att engagera sig i uppgiften och på så sätt menar Sternberg att man skapar utrymme för förståelse. Men enligt Wistedt (1996) behöver inte verklighetsanknuten undervisning leda till bättre förståelse hos eleverna, tvärtom. När eleverna står inför ny kunskap måste de använda sitt tidigare kunnande, vilket kan leda till att eleven förvränger ny fakta för att den bättre ska passa in i de för eleven redan etablerade modeller av verkligheten. Wistedt menar att det idag finns en etablerad uppfattning bland forskare inom pedagogik att det är lättare att lära sig nya saker om man bygger vidare på redan etablerat kunnande (Wistedt, 1996).
Vårt uppdrag som lärare står definierat i de nationella styrdokumenten för skolans verksamhet. I Lpf 94 (Utbildningsdepartementet 1994) som ingår i de nationella styrdokumenten, står det uttryckt att skolan inte själv kan förmedla alla de kunskaper som eleverna kommer att behöva. Det viktiga är dock att skolan skapar de bästa förutsättningarna för elevernas bildning, tänkande och kunskapsutveckling. Skolans ansvar är att ta till vara de kunskaper och erfarenheter som eleverna för med sig från sin omgivning till skolan. Det som sker i skolan skall förbereda eleven för livet efter skolan.
Säljö (2000) skriver om skola och utbildning som viktiga komponenter i en människas väg till lärande och kunskap men påpekar samtidigt att det inte är begränsat till dessa miljöer. Många av de mest grundläggande insikter och färdigheter vi behöver förvärvar vi i sammanhang som inte har som primärt syfte att förmedla kunskaper: i familjen, bland vänner och kamrater, i föreningar och på arbetsplatser. Det vill säga i vår vardag.
5 Metod
5.1 Utformandet av uppgifter
Vår första idé till hur vi skulle utforma vår undersökning var att vi skulle konstruera en stor, övergripande och öppen matematikuppgift där eleverna inte skulle få all information som krävdes för att lösa uppgiften utan istället skulle bli tvingade att tänka utanför ramarna och pressade till att använda sina vardagskunskaper för att komma fram till ett relevant svar. Under diskussion med våra handledare kom vi dock fram till att detta inte var rätt väg att gå. Faran med en allt för stor och öppen uppgift är att det är svårt att få mätbara resultat, och det är svårt att generalisera svaren för att kunna dra någon slutsats då dessa kan vara av väldigt olika karaktär. Istället valde vi att utforma tre olika uppgifter som eleverna skulle få lösa. (För uppgift 1, 2, och 3 se bilaga 1,2 och 3).
Den första uppgiften hämtade vi direkt ur en lärobok i matematik, med tanken att den skulle få representera en typisk textuppgift som eleverna är vana att arbeta med. Kriteriet för uppgift 1 (se bilaga 1) var att den skulle handla om något vardagligt som eleverna känner till men inte har något större intresse av. Det skulle synas att den var hämtad ur en vanlig lärobok, språket skulle vara ”läroboksspråk” och uppgifterna typiska skoluppgifter. Valet föll på en statistikuppgift ur läroboken Exponent A röd (Gennow, Susanne m.fl, 2003) där det gäller att avläsa ett cirkeldiagram över vattenförbrukningen i Sverige. Vi valde även att ange vår källa till uppgift 1 på stencilerna vi delade ut för att eleverna skulle se att uppgiften var från en lärobok.
Tanken med uppgift 2 (se bilaga 2) var att den skulle likna en vanlig textuppgift i sin utformning men att den skulle vara hämtad ur en riktig tidning. Det skulle synas att vi hämtat uppgiften från ”verkligheten”. Vi ville att även denna uppgift skulle handla om något som vi tror att eleverna inte är intresserade av för att se om detta spelade någon roll i hur eleverna affektivt förhöll sig till uppgiften. Vi eftersträvade även att uppgift 1 och uppgift 2 skulle behandla samma matematiska område för att detta inte skulle bli en avgörande skillnad i elevernas resultat. Vi hittade ett diagram över föräldrars syn på barnomsorgen i tidningen Vi Föräldrar (Rönnberg, Helena 2006) och konstruerade två stycken frågor till diagrammet. Vi valde även att ta med en ingress från tidningsartikeln och kopierade överskriften för att det skulle synas att det var från en tidning. Vi satte även här ut källan till uppgiften.
Uppgift 3 (se bilaga 3) skulle till skillnad från uppgift 1 och 2 behandla ett område som eleverna väl känner till och gärna har ett intresse i. Vi konstruerade därför en uppgift som handlar om mobiltelefoner. Vi ville att uppgift 3 skulle vara av en mer öppen karaktär och inte likna en traditionell textuppgift med ett specifikt svar och facit. Tanken var att eleverna skulle behöva relatera till sig själva och sin vardag för att lösa uppgiften men ändå inte vara för övergripande eller abstrakt. Vi strävade efter att även denna uppgift skulle behandla samma matematiska område som uppgift 1 och 2 och lät därför den röda tråden mellan uppgifterna vara avläsning av diagram och tabell.
5.2 Urval
Vi har undersökt en klass som går första året på Naturvetenskapsprogrammet. Vi kände klassen sedan tidigare då vi utfört en del av utbildningens verksamhetsförlagda tid tillsammans med den. Det är en klass som består av 31 elever och där elevernas matematikkunskaper varierar på ett enligt oss ”normalt” vis. Vår förhoppning var att samtliga elever skulle delta i undersökningen men endast 26 elever var närvarande vid undersökningstillfället. Bortfallet kan förklaras av sjukfrånvaro samt olovlig frånvaro. Av de elever som genomförde uppgifterna ställdes följdfrågor till 21 stycken. Anledningen till att vi inte pratade med alla 26 eleverna berodde främst på sjukfrånvaro. Vi fick två lektionstimmar till vårt förfogande då eleverna behövde följande lektionstid till att förbereda sig inför det nationella provet i matematik A och vi hade därför ingen möjlighet att återkomma vid ett senare tillfälle för att prata med resterande 5 elever. Vårt resultat och diskussion bygger alltså på svar och reflektioner från 21 elever. Anledningen till att undersökningen endast genomförts i en klass bland 21 elever beror främst på att tiden för vårt arbete är begränsad. Om vi hade valt att undersöka flera olika klasser och jämföra deras resultat inbördes, vilket hade varit intressant att göra, skulle vi även varit tvungna att undersöka de olika klassernas undervisnings- och kunskapsbakgrunder som skulle kunna ligga till grund för eventuella variationer i resultatet. En sådan undersökning skulle därför överstiga de praktiska förutsättningar vi har för detta examensarbete.
5.3 Datainsamlingsmetoder
De elever som deltog i undersökningen fick under det första lektionstillfället svara på tre uppgifter som vi delade ut på stenciler (se bilaga 1, 2 och 3). Eleverna arbetade enskilt med uppgifterna och lämnade in sina svar när de var klara. Vid det andra lektionstillfället ställde vi följdfrågor till varje elev angående deras tankar kring uppgifterna och de svar de lämnat för att få en bättre inblick i om de använt sina vardagskunskaper eller skolkunskaper vid lösningstillfället. Vi utformade en guide till våra följdfrågor vilken vi använde som mall under samtalen (följdfrågor se bilaga 4).
5.4 Genomförande
Undersökningen bestod av två delar och genomfördes under två på varandra följande dagar. Den första dagen inleddes med att vi presenterade oss själva och informerade eleverna om vårt syfte med undersökningen samt hur den skulle gå till. Vi betonade att undersökningen var frivillig och att den under inga omständigheter skulle inverka på deras betyg. Vi försäkrade också att eleverna skulle vara anonyma i vårt examensarbete. Detta innebär att i arbetet kommer eleverna inte att nämnas vid namn och det kommer inte att framgå vilken skola eller klass eleverna går i. Eleverna fick möjlighet att när som helst ställa frågor under informationsstundens gång. Härefter delade vi ut våra tre uppgifter till varje elev samt tomma svarspapper. Eleverna arbetade enskilt med att lösa uppgifterna och fick ungefär 60 minuter till sitt förfogande. När eleverna blev klara med uppgifterna fortsatte de med sin vanliga planering. Vi samlade in alla svarspapper, rättade uppgifterna och tittade igenom samtliga svar. När det insamlade materialet skulle bearbetas och sammanställas tog vi utan inbördes ordning hälften var. Detta ledde till att vi ställde följdfrågor till de elever vars uppgifter vi bearbetat. Allt bearbetat och sammanställt material har analyserats gemensamt.
Under dag två satte vi oss med var och en av eleverna och diskuterade de svar de lämnat in och deras tankar kring uppgifterna. Vi valde att använda en guide till våra följdfrågor, dels för att förvissa oss om att vi ställde samma frågor till alla elever och även för att vi senare på ett strukturerat sätt skulle kunna sammanställa elevernas svar. Vi spelade inte in elevernas svar utan försökte istället att anteckna så mycket och noggrant som möjligt.
Vi anser att vår undersökning är kvalitativ och därmed strukturerad. När det gäller den totala undersökningen har vi försökt åstadkomma en helhetsbeskrivning av det vi
avsett att undersöka. Våra följdfrågor är strukturerade då de uppfyller alla krav för en strukturerad intervju enligt Johansson & Svedner (2001).
Vi valde att inte skicka ut någon informationsblankett om undersökningen till elevernas föräldrar. Undersökningen genomfördes under schemalagd tid för matematik och i samråd med elevernas mentor, som även verkat som handledare under vår verksamhetsförlagda tid, och då menade nämnde mentor att undersökningen klassas som en naturlig del av elevernas undervisning.
Vi har följt de forskningsetiska anvisningar som tas upp i Examensarbetet i
lärarutbildningen (Johansson & Svedner, 2001) för att, som författarna uppmanar till,
visa respekt för de elever som deltog i vår undersökning och förhoppningsvis öka deras motivation till att genomföra undersökningen på ett seriöst sätt.
5.5 Reliabilitet
Som nämnts ovan delade vi upp vårt insamlade material utan inbördes ordning. Därefter bearbetade och sammanställde vi materialet enskilt, vilket ledde till att vi ställde följdfrågor till de elever vars uppgifter vi bearbetat. Allt material har därefter analyserats och tolkats gemensamt.
Reliabiliteten av vår undersökning kan främst ifrågasättas av det faktum att vi är två individer som genomfört undersökningen, med individuella och subjektiva referensramar. Även om vi analyserade det sammanställda resultatet tillsammans är det sannolikt så att vi till viss del kan ha tolkat elevernas svar på följdfrågorna olika. Vi kan också ha ställt våra följdfrågor med olika formuleringar vilket då gett olika svar från eleverna. Detta kan i sin tur ha lett till att vi vid sammanställningen omedvetet värderat svaren på olika sätt och att sammanställningen därför inte är helt homogen.
Slutet av den andra lektionstimmen, då vi ställde våra följdfrågor, blev tyvärr lite stressig. Vi hade kommit överrens med elevernas lärare om att få gå runt och prata med eleverna under tiden de satt och arbetade individuellt. Tyvärr valde de istället att förlägga matematiklektionen under en inställd datalektion och eleverna fick själva planera sin tid. Det innebar att många elever endast satt och väntade på att vi skulle komma och ställa våra frågor vilket resulterade i att vi kände oss stressade. Några elever blev så otåliga och trötta på att vänta att de gick hem utan att vi hunnit prata med dem. Tyvärr fanns det som nämnts inte utrymme att komma tillbaka en tredje lektionstimme och det är därför 5 elever vi inte pratat med. Dessa 5 elever finns inte med i vår
resultatdel. Stressen vi upplevde i slutet av lektionen kan också ha påverkat hur vi ställde våra följdfrågor samt vår förmåga att anteckna det eleverna sa. Elevernas otålighet kan också ha påverkat deras ork att svara utförligt på vara frågor. Båda dessa faktorer kan ha medfört en negativ inverkan på undersökningens reliabilitet enligt Johansson & Svedner (2001).
6 Resultat
Syftet med vår undersökning är att få svar på följande frågeställning:
Använder elever sina vardagskunskaper i matematikundervisningen?
- Hur behandlar elever skolans matematikuppgifter: gör de någon koppling till sin omgivning eller sätter de endast in sina kunskaper i en skolkontext? Vi har valt att redovisa resultaten från vår undersökning med utgångspunkt i de uppgifter eleverna fick lösa, under rubrikerna Uppgift 1, Uppgift 2 och Uppgift 3. Under varje rubrik redovisar vi först en kort sammanfattning av resultatet utifrån vår frågeställning, sedan följer resultatet på följdfrågorna och därefter en kort redovisning av elevernas svar på respektive matematikuppgift. För att ge en så anonym bild som möjligt av eleverna, men ändå personifiera dem och inte endast omnämna dem som ”eleven” har vi valt att referera till samtliga elever som om de vore feminina.
6.1 Uppgift 1
Uppgift 1 (se bilaga 1) är hämtad ur en lärobok i matematik för gymnasiet. Uppdraget är att tolka ett diagram som rör vattenförbrukningen i Sverige. Elevernas möjlighet till vardagsanknytning finns främst i c-uppgiften där eleverna skall beräkna hur mycket vatten som förbrukas per person och dag i Sverige. Här finns möjlighet att rimlighetsbedöma sitt svar och ställa det i relation till sin egen vattenanvändning. Under vår pratstund med eleverna framkom det dock att få elever hade rimlighetsbedömt sina svar på c-uppgiften, de flesta behandlade uppgiften som en klassisk räkneuppgift där algoritmerna är det viktiga och inte textens sammanhang.
Resultat från följdfrågorna på uppgift 1
• Har du träffat på någon liknande uppgift tidigare?
18 av 21 elever menade att det träffat på en liknande uppgift tidigare. Av dessa 18 elever menade 9st. att det är en vanligt förekommande uppgift i läroboken som de ofta stöter på. Två elever sa att de räknat mycket med liknande uppgifter på högstadiet och mellanstadiet, men inte så mycket nu på gymnasiet. Detta stämmer väl överrens med våra förväntningar eftersom uppgiften är hämtad ur en lärobok och inte borde vara främmande för dem.
• Tycker du att uppgiften var lätt/svår?
15 elever upplevde uppgiften som lätt, 5 upplevde uppgiften som lite svår och endast 1 elev tyckte att den var svår.
Av de 15 elever som tyckte att uppgiften var lätt motiverade de flesta detta med att de är vana vid liknande uppgifter och att de tycker att procent är lätt. ”Det var bara att räkna”. Detta stämmer också överrens med våra förväntningar eftersom uppgiften är typisk för en lärobok i matematik.
En del av de elever som tyckte att uppgiften var svår har problem med svenska språket och tycker generellt att det är krångligt med textuppgifter.
• Angående fråga c: Tycker du att ditt svar är rimligt eller tänkte du på /funderade du över/ om ditt svar kunde stämma?
Vi har valt att tolka svaren på denna följdfråga utifrån elevernas resonemang. När vi pratade med eleverna svarade 7 st. att de hade rimlighetsbedömt sina svar. Då vi bad eleverna att förklara hur de gjort för att rimlighetsbedöma svaren framkom dock att många inte hade tänkt speciellt mycket på det. De hade inte relaterat sina svar till sig själva eller sin omgivning, utan bara kontrollerat att svaret stod i relation till de matematiska operationer de utfört. Endast 4 elever hade, enligt vår tolkning, rimlighetsbedömt sina svar utifrån ett personligt perspektiv. Vi tror att det är svårt att uppskatta hur mycket 0,0538 m3 vatten är utan att omvandla det till dm3 eller liter (1 dm3
= 1 liter). De 4 elever som rimlighetsbedömde sina svar utifrån sig själva har alla valt att svara i kubikdecimeter eller liter. Övriga 17 elever har svarat i m3.En av de 4 elever
som rimlighetsbedömde sina svar förklarade att hon först inte visste hur hon skulle ställa upp sin uträkning, vad som skulle divideras med vad bland alla siffror. Tillslut valde hon att ändra på sin uträkning efter att ha rimlighetsbedömt sitt svar och inte tyckt
att det kunde stämma, och ”letade” sig istället fram till ett enligt henne rimligt svar, som också ligger väldigt nära det korrekta svaret.
Av de 17 elever som inte tänkte på rimligheten uttryckte 5 elever att de tyckte det var svårt att bedöma rimligheten av måttet kubikmeter. Under följdfrågorna framkom att de inte visste hur volymerna kubikmeter och liter förhåller sig till varandra, eller hur man gör en omvandling från den ena volymenheten till den andra.
Svar på uppgift 1a
- 14 elever svarade rätt (67 %) - 7 elever svarade fel (33 %)
De fel som eleverna har gjort handlar om svårigheter att omvandla 5 % till decimalform för att använda i uträkningen. Det förekommer både 0,5 och 0,005 istället för 0,05. De har även svårigheter med att veta om de ska multiplicera eller dividera med 0,05 när ”delen” söks. En annan svårighet är att hålla reda på antal nollor i 1 miljon och 1 miljard samt hur man ska skriva och räkna med tal skrivna i grundpotensfrom. En elev har räknat rätt men slagit fel på räknaren. Hon får svaret att 5 % av 3,5 motsvarar 1,05. Detta rör sig om ett slarvfel, men det är ändå intressant att se att hon inte gör någon rimlighetsbedömning av sitt svar: att 5 % av 3,5 borde bli mycket mindre än 1,05 som utgör nästan 30 % av 3,5. Det verkar som om räknandet är ett mekaniskt hantverk där målet för eleven är att få fram ett svar för att sedan kunna gå vidare till nästa uppgift.
Svar på uppgift 1b
- 16 elever svarade fel (76 %) - 5 elever svarade rätt (24 %)
Här gör väldigt många elever fel. Det är bara 5 elever av totalt 21 som gör rätt på uppgiften. De allra flesta har svarat att industrin förbrukar 5 % mer vatten än hushållen istället för 100% mer, vilket visar att de inte riktigt förstått begreppet procent, eller skillnaden mellan procent och procentenheter.
Svar på uppgift 1c
- 13 elever svarade fel (62 %) - 8 elever svarade rätt (38 %)
Även här gör många elever fel och felen är av varierande karaktär. Vi har valt att redovisa några av de gemensamma fel eleverna gjort. Några elever har utfört flera av nedanstående misstag i sina räkningar, andra endast ett av misstagen:
− Man vet inte vilket värde man skall utgå ifrån. Ganska många elever väljer att utgå från 3,5 miljarder m3 vatten som är den totala vattenförbrukningen, istället för att utgå från hushållens del.
− Man glömmer att dividera med både 8,9 miljoner och 365 dagar. Man räknar antingen ut årsförbrukningen per person eller dagsförbrukningen totalt och uträkningarna blir således inte fullständiga.
− Man har svårt att räkna med stora tal som vi tidigare nämnt. I uppgift c ska man dela 0,175 miljarder m3 vatten med 8,9 miljoner människor. Då måste man veta hur många nollor som finns i 1 miljon och 1 miljard oavsett om man räknar i grundpotensfrom eller skriver ut alla nollor. Här har en del fört korrekta resonemang men räknat med ”fel” antal nollor och därför fått ett felaktigt svar.
En elev har multiplicerat hushållens vattenförbrukning/år med 8,9 miljoner och delat detta med 365 dagar, vilket leder till svaret:
4,3 1012 365 175000000 8900000 ⋅ = ⋅ m3
Hon får ut ett svar som är baserat på hushåll och dag som är 1000 ggr större än hela Sveriges totala vattenförbrukning på ett år! Hon ställer inte sitt svar i relation varken till verkligheten eller till den information som finns given i uppgiften.
Sammanfattning av uppgift 1
Det är förvånansvärt många som uppgav att de tyckte uppgift 1 var lätt, jämfört med hur många som faktiskt har gjort fel på uppgiften: 15 elever tyckte att den var lätt, men endast 2 elever svarade rätt på alla frågor i uppgift 1. Kontexten till uppgiften är vattenanvändningen i Sverige, något som finns i de flesta elevers vardag, men kanske inte något man är van att reflektera över.
6.2 Uppgift 2
Uppgift 2 (se bilaga 2) konstruerades för att likna en vanlig textuppgift men var hämtad ur en tidning, dock med avseende att beröra ett för eleverna ”ointressant” ämne:
Föräldrars syn på sina barns omsorg. Uppgiften var även här att tolka ett diagram. Vi var nyfikna på om utformandet av uppgiften skulle leda till större intresse hos eleverna.
Resultat från följdfrågorna på uppgift 2
• Har du träffat på någon liknande uppgift tidigare?
16 av eleverna svarade att de har stött på liknande uppgifter tidigare. Några valde att tillägga att denna, liksom uppgift 1, är en typisk och vanligt förekommande matematikuppgift i läroboken. Här är det otydligt vad eleverna syftar på när de säger att de stött på liknande uppgifter tidigare. Det kan vara frågornas karaktär, att informationen delvis ges i form av ett stapeldiagram, eller att uppgiften baseras på en tidningsartikel. Vi tolkar det dock som att de syftar på att uppgiften behandlar statistik som presenteras i form av ett stapeldiagram. En av de elever som svarade att de stött på liknande uppgifter tidigare menade att ”ja, uppgift 1 var ju likadan”. En elev påpekade att hon räknat mycket med liknande uppgifter på högstadiet men inte så mycket nu på gymnasiet.
Endast 5 elever menade att de aldrig stött på någon liknande uppgift tidigare. Här var det dock några som sa att de sett liknande tabeller i tidningar men att de inte arbetat med det på någon matematiklektion.
• Tycker du att uppgiften var lätt/svår? Vad var lätt/svårt?
Varför?
20 av 21 elever tyckte att uppgift 2 var lätt. Några av argumenten till varför den var lätt var att det är lätt att avläsa stapeldiagram, det var inga svåra uträkningar, få frågor, inga krångliga siffror, ”det var ju bara att titta och skriva av”. 1 elev uppgav dock att hon fick tänka till lite eftersom procent kan vara svårt.
Ingen av eleverna påstod att uppgiften var lätt på grund av att den var tagen ur en tidning, eller att de kunde anknyta till vardagen och sätta in siffrorna i ett verkligt sammanhang. Det de istället framhöll som lätt var de vanliga mekaniska matematiska uträkningarna. 1 av de elever som tyckte att uppgift 2 var lätt tillade att det var jobbigt med så mycket text.
• Tycker du att denna uppgift skiljer sig från föregående uppgift?
12 elever, mer än hälften, tyckte att uppgift 1 och uppgift 2 skiljde sig åt. De allra flesta av dessa pekade på skillnad i utformandet av diagrammen; stapeldiagram kontra cirkeldiagram. 3 av dessa 12 elever uppgav även att de tyckte innehållet i uppgift 2 var roligare än innehållet i uppgift 1, eftersom texten i uppgift 2 var hämtad från en tidning. 1 elev menade att uppgift 2 var roligare att lösa för att den var tagen från en tidning och därför mer verklig. 1 elev framhöll dock att det fanns en skillnad i layouten, att uppgift 2 mer liknade de diagram som finns i tidningar. När vi frågade om detta gjorde uppgiften mer intressant, att uppgift 2 var hämtad ur en tidning, fick vi till svar att ”nej, det handlar ju om föräldrar och deras barn”.
9 elever tyckte inte att uppgifterna skiljde sig åt då båda behandlade statistik och var utformade med diagram. En av dessa elever påpekade dock också att hon tyckte innehållet var roligare i uppgift 2 eftersom det var hämtat från en tidning.
Här är det svårt att avgöra om de elever som svarat att uppgift 2 liknar diagram i tidningar leds till att svara så för att det står klart utskrivet på uppgiften att artikeln är hämtad ur tidningen Vi Föräldrar.
• Var det svårt att plocka fram relevanta uppgifter ur texten?
19 elever svarade att det inte var svårt att ta fram rätt information. 2 elever tyckte att det var svårt. En av de senare eleverna har svårigheter med svenska språket och uppger att hon tyckte det var mycket text att läsa igenom för att förstå vad hon skulle göra. Den andra eleven som uppgav att uppgiften var svår menade också att det var för mycket text att läsa igenom vilket gjorde uppgiften jobbig och krånglig.
Svar på uppgift 2a
- 19 elever svarade rätt (90 %) - 2 elever svarade fel (10 %)
De fel som de 2 eleverna gjort på uppgift 2a är avläsningsfel. En av eleverna har missat att svaret skall vara i procent och inte antal föräldrar, den andra eleven har svårigheter med svenska språket och kände inte till innebörden av de olika definitionerna av ordet nöjd; ganska nöjd, mycket nöjd, ganska missnöjd osv.
En elev valde att räkna ut det antal föräldrar som svarade att de är nöjda med sitt barns omsorg av samtliga föräldrar i Föräldrapanelen, istället för att räkna ut delen av de föräldrar som faktiskt svarade på enkäten. Nedan följer denna elevs uträkning:
38 % + 22 % = 60 %
60 % av 1529 = 917,4 st.
917,4 föräldrar av 2000 föräldrar är ung 46 %
Hon räknar ut hur många av föräldrarna i föräldrapanelen som är nöjda.
Svar: 46 %
Detta tycker inte vi kan bedömas som fel utan bara som en annan tolkning av vår uppgift, kanske till och med en mer korrekt och kreativ tolkning än den vi förväntade oss. Svaret betonar vikten av att vara tydlig när man utformar textuppgifter.
Svar på uppgift 2b
- 15 elever svarade rätt (71 %) - 6 elever svarade fel (29 %)
Hälften av de elever som svarade fel på uppgift 2b har valt att svara i procent istället för antal föräldrar som efterfrågades.
En elev har räknat ut 39 % av samtliga 2000 föräldrar i Föräldrapanelen och inte 39 % av de 1529 som deltog i undersökningen vilket kan tolkas som avläsningsfel. En elev räknade fel på miniräknaren och kom fram till att 39 % av 1529 skulle vara 62,01 föräldrar. Eleven i fråga har antagligen inte ställt sitt svar i relation till de data som ges i uppgiften. En överslagsräkning hade påvisat att 40 % av 1529 motsvarar knappt hälften av föräldrarna, vilket borde ge en fingervisning om att svaret är tokigt.
En av de elever som räknade rätt på uppgift 2b blev osäker på sitt svar när detta innehöll decimaler (596,31 föräldrar) och gjorde därför en ny beräkning som utgick från de 2000 föräldrarna i Föräldrapanelen och inte de 1529 föräldrar som faktiskt deltog i undersökningen. Svaret blev då istället ett heltal, 780 föräldrar, och eleven skrev ner följande kommentar bredvid sina uträkningar: “Är detta ok? 2000⋅0,39=780 föräldrar låter mer jämnt… men 1529 föräldrar deltog… -var tydligare! Eller är det jag som gör fel..?” När vi senare pratade med eleven i samband med våra följdfrågor bad vi henne att utveckla sina funderingar vilket kan sammanfattas i följande: ”Jag tänkte att det kan ju inte vara ’ komma 31’ föräldrar, men så tyckte jag ändå att jag hade räknat rätt och tänkte att det kanske var något lurt med uppgiften i och med att ni frågade efter just detta och vi visste att ni skulle göra en undersökning om hur vi tänkte vid textuppgifter, så då skrev jag ner den andra uträkningen också”. Här har eleven funderat på sitt svar ställt till verkligheten och insett att det inte kan finnas ”delar” av föräldrar. Hon har
därför valt en annan utgångspunkt för sin beräkning vilket leder till att svaret blir ”hela” föräldrar. Ur ett statistiskt perspektiv kan man relatera svaret till det faktum att tidningen Vi Föräldrar baserar sina resultat på en verklig undersökning och att man därför kan anta att procenttalet 39 % är avrundat, vilket i sin tur leder till att man inte får ”hela” föräldrar.
Sammanfattning av uppgift 2
12 elever säger att det är en skillnad mellan uppgift 1 och 2, men de allra flesta av dessa menar att skillnaden ligger i diagrammens olika utformande. 9 elever tycker inte att uppgifterna skiljer sig åt. 4 elever tillade dock att uppgift 2 var roligare för att det syntes att den var tagen ur en tidning, det var roligare layout, roligare text och roligare att lösa för att den var ”mer verklig” än uppgift 1. Efter hand som vi har sammanställt och diskuterat elevernas åsikter kring uppgift 1 och 2 har frågan väckts hos oss om en uppgift kan uppfattas som mer intressant på grund av att den är mer verklighetstrogen. Vi diskuterar detta närmre under rubriken Kan en uppgifts layout och
verklighets-anknytning påverka hur intressanta eleverna upplever dem? i analysavsnittet 6.2.
En väsentlig observation är dock att en elev framhöll att uppgiften inte blev intressantare bara för att den var hämtad ur en tidning; ”den handlade ju om föräldrar och deras barn”. Nästan 1/3 av eleverna svarade fel på uppgift 2b trots att de klassade uppgiften som lätt.
6.3 Uppgift 3
Tanken med uppgift 3 (se bilaga 3) var att den inte skulle likna en vanlig textuppgift. Vi ville att den skulle behandla ett område som tillhör elevernas vardag och som har en mer öppen karaktär där det inte finns endast ett korrekt svar. Uppdraget var att eleverna skulle läsa av en tabell och välja det mobilabonnemang som de tyckte var bäst. Meningen var att eleverna skulle behöva relatera till sig själva och sin vardag för att lösa uppgiften.
I bilaga 4 framgår det vilka följdfrågor vi ställt till eleverna. I vårt resultat nedan belyser vi endast svaren på de frågor som vi tyckte gav intressanta fakta. Svaren från dessa elever har vi sammanställt och presenterat i tabellform. För tabellens utseende är eleverna numrerade. Detta har ingen betydelse för resultatet.
Resultat från följdfrågorna på uppgift 3 • Har du tillgång till mobiltelefon?
Alla elever vi pratade med hade en egen mobiltelefon • Har du träffat på någon liknande uppgift tidigare?
18 elever svarar nej. 3 av dessa tillägger att de stött på liknande tabeller i tidningar eller i verkligheten.
2 elever svarar ja, varav en uppger att de hade liknande uppgifter som ”extra-uppgifter” på högstadiet.
• Har du tagit ställning till olika abonnemang i verkligheten?
7 elever uppgav att de tagit ställning till olika abonnemang tidigare. Av dessa 7 elever tyckte alla utom 1 att uppgiften var lätt (se tabell 2 nedan). Den elev som upplevde uppgiften som svår tyckte att det var svårt med alla valmöjligheter, det var mycket att ta ställning till.
Fråga 1: Tycker du att uppgiften var lätt eller svår? Fråga 2: Var det lätt eller svårt att avläsa tabellen? Fråga 6: Betalar du räkningen själv?
Fråga 7: Har du tagit ställning till olika abonnemang i verkligheten?
Tabell 2
Det var totalt 14 elever som inte tagit ställning till olika abonnemang i verkligheten. Av dessa 14 var det 9 st. som upplevde uppgiften som lite svår, definierat på olika sätt, se tabell 3 nedan. Elev Fråga 1 Fråga 2 Fråga 6 Fråga 7 1 Lätt Lätt Ja Ja 2 Lätt Lätt Ja Ja 3 Lätt Lätt Ja Ja 4 Lätt Lätt Nej Ja 5 Lätt Lätt Nej Ja 6 Lätt Lätt Ja Ja 7 Ganska Svår Svårt - Ja
Tabell 3
13 elever hade köpt sin telefon själv. 8 av dessa tyckte att uppgiften var lätt. Resterande 5 elever uppgav att de tyckte uppgiften var svår, med en varierande svårighetsgrad. Av de 7 elever som inte köpt sin telefon själv uppgav 4 st. att de tyckte uppgiften var svår.
11 elever uppger att de betalar räkningen själv. Av dessa 11 tyckte 6 elever att uppgiften var lätt och resterande 5 tyckte att uppgiften var svår, men att tabellen var lätt att läsa av. Av de som upplevde uppgiften som svår framhöll de flesta att det berodde på att de inte visste vilket svar vi är ute efter, eller att uppgiften var jobbig eftersom det var mycket att hålla reda på.
Svar från uppgift 3
11 elever har presenterat en jämförelse mellan Comviq och Vodafone som är mer eller mindre utförliga. Några har listat punkter där de jämför de olika abonnemangen, några skrev upp de punkter från abonnemanget de valt som de ansåg vara avgörande för sitt val. Några elever har missuppfattat delar av den fakta som fanns i tabellen, men man kan inte säga att de inte har förstått den information som fanns att hämta, däremot har de lagt ner olika mycket tid på att sätta sig in i tabellen. Ingen av dessa 11 elever relaterade i någon större utsträckning till sig själva, hur de använder sin telefon eller hur mycket de har råd att ringa för varje månad. En elev skrev att hon oftast ringer och Elev Fråga 1 Fråga 2 Fråga 6 Fråga 7 1 Sådär Svår Lätt Ja Nej 2 Svår Lätt Ja Nej 3 Svår Svårt Nej Nej 4 Ganska svår Svårt Nej Nej
5 Svårt Lätt Ja Nej 6 Svår Sådär Nej Nej 7 Svår Inte svårt Ja Nej 8 Inte så svår Sådär Nej Nej 9 Förstod ej - Nej Nej
sms:ar till Comviq och väljer abonnemang efter det. Hon har dock missuppfattat tabellen och menar att det är billigare med Vodafone när man ringer till det fasta nätet vilket inte stämmer.
6 elever valde abonnemang relaterat till sig själva och sin egen telefonanvändning, hur mycket pengar de har och vad de har råd att ringa för. Dessa elever har tagit ställning till hur de använder sin telefon och därmed satt in uppgiften i ett verkligt sammanhang.
Resterande 4 elever har inte riktigt förstått vad de ska göra eller hur de skulle angripa uppgiften och har därför inte svarat så utförligt. En elev förklarade att hon inte själv betalar sin egen mobiltelefonräkning och därför inte har någon kunskap om hur mycket hon ringer för i månaden eller hur många SMS hon skickar varje månad. På grund av detta kunde hon inte heller välja det abonnemang som skulle passa henne bäst utan valde Comviq Kompis grundat på att det är det abonnemang hon har på riktigt, ”och det verkar bra”. Eleven har inte förstått hur hon skall använda tabellen och kan inte relatera den till sitt eget telefonanvändande. Samtidigt verkar det ändå som om hon har försökt sätta in uppgiften i ett verkligt sammanhang och tänkt efter hur mycket hon använder sin telefon, men kommer fram till slutsatsen att hon inte vet vad hon ringer för i månaden.
En av de 4 elever som inte relaterar till sig själva har problem med svenska språket och har inte förstått tabellen till fullo.
Samtliga elever kommer fram till att Comviq är billigare som operatör och väljer något av Comviqs abonnemang.
Sammanfattning av uppgift 3
6 av 21 elever relaterade uppgift 3 till sin egen mobiltelefonanvändning. Det framgår att de elever som uppfattat uppgift 3 som lätt har tagit ställning till liknande problem i vardagen och därför kan verklighetsanknyta uppgiften.
6.4 Roligaste uppgiften
• Vilken av dessa frågor tyckte du var roligast?
7 elever tyckte att uppgift 2 var roligast. Alla utom 1 av dessa 7 anger att uppgiften var roligast för att den upplevdes som lättare än de andra uppgifterna. Den resterande eleven framhöll att hon tyckte att uppgift 2 var roligare eftersom den var verklig.
6 elever upplevde uppgift 3 som roligast. Motiveringarna är av lite olika slag t.ex. att den upplevs mer verklig och att frågorna var annorlunda, att det inte var så mycket att räkna och att man fick resonera själv.
5 elever upplevde inte att någon uppgift var mer rolig än någon annan.
3 elever tyckte att uppgift 1 var roligast. 2 av de 3 eleverna motiverade detta med att uppgiften upplevdes som lätt medan 1 elev tyckte att det var roligt att få reda på fakta om vattenförbrukning.
Resultatet är alltså jämnt fördelat mellan uppgift 2 och uppgift 3. Endast 3 av 21 elever framhöll uppgift 1 som roligast.
7 Analys och diskussion
Vi ville undersöka om elever kan anknyta till verkligheten när de löser matematikuppgifter i skolan. Vi har valt att analysera och diskutera resultatet av vår undersökning utifrån våra frågeställningar.
7.1 Hur behandlar elever skolans matematikuppgifter: gör de någon koppling till sin omgivning eller sätter de endast in sina kunskaper i en skolkontext?
Uppgift 1
Skovsmose (se Hedrén, 2001) skriver om tre stycken delkunskaper som beskriver vad kunskap i matematik är. En av dessa delkunskaper handlar om att reflektera och värdera sitt svar. Detta menar vi är kopplat till vardagsanknytning; att kunna sätta in sitt svar i ett sammanhang och reflektera över om svaret kan vara rimligt.
Det framkommer i resultatet att endast 4 av 21 elever tänkte på rimlighet gällande sina svar på uppgift 1c. Framförallt två elever har fått väldigt orimliga svar på uppgiften där de redovisar att hushållens vattenförbrukning per år respektive per dag är större än hela Sveriges totala vattenförbrukning per år. Ingen av dessa elever kommenterar sina svar utan går bara vidare till nästa uppgift. Det framkommer vid frågestunden att den ena eleven insett att svaret inte kunde vara rimligt, men att hon inte orkade räkna om uppgiften. Den andra eleven hade ingen strategi för att rimlighetsbedöma sitt svar.
Det kan vara så att eleverna finner det svårt att rimlighetsbedöma sin egen vattenförbrukning under ett dygn. Om eleven ändå lyckas göra en överslagsräkning av sin egen vattenförbrukning gäller det att kunna sätta denna vattenförbrukning i relation till andra människor. Alla förbrukar inte lika mycket vatten per dag som just den eleven. Vissa personer duschar varje dag, många hushåll maskintvättar kläder dagligen, några kanske vattnar sina rabatter etc. Vad är då rimligt? Rimligheten borde kunna ligga innanför ramen av att använda ”rätt antal nollor” i svaret. Här tror vi dock att många inte kan rimlighetsbedöma, eller verklighetsanknyta, på grund av att de inte gör om svaret till liter utan väljer att svara i kubikmeter som kan vara en svår volymenhet att relatera till. Ur resultatet framkom även att samtliga elever som faktiskt har rimlighetsbedömt sina svar på uppgift 1c har valt att svara i kubikdecimeter eller liter. Att inte kunna omvandla från kubikmeter till liter är en brist i den matematiska
delkunskapen enligt Skovsmose (se Hedrén, 2001). Vi ser också denna brist på
matematiska kunskaper som en anledning till att eleverna brister i sina reflekterande kunskaper och därför inte kan relatera sina svar till vardagen. Riesbeck (2000) diskuterar samspelet mellan att förvärva kunskaper och färdigheter och att sedan kunna tillämpa dessa på vardagliga problem. Om eleverna inte besitter rätt kunskap angående relationen mellan kubikmeter och liter är det heller inte så konstigt att de inte kan relatera svaren till sin egen vardag.
En av eleverna som uttryckte att hon rimlighetsbedömde sitt svar i uppgift 1c har i själva verket utgått från en rimlighetsbedömning och därefter letat sig fram till den uträkning som gav rimligast svar. Hon har dessvärre inte räknat ut vattenförbrukningen per person och dag utan presenterat ett svar över hur många personer som delar på 1 kubikmeter vatten, vilket blir 0,0508 st. Eleven har sedan bytt enheter och svarar att vattenförbrukningen per person och dag är 0,0508 m3 vilket hon omvandlar till 51 liter
och bedömer sitt svar som rimligt.
Uppgift 1b handlar om att jämföra industrins och hushållens vattenförbrukning. Från våra resultat framgår det att eleverna har svårt att jämföra olika kvantiteter med varandra. Endast 5 av 21 elever gör rätt på uppgiften. Detta är kanske ingenting märkvärdigt, vår erfarenhet från den verksamhetsförlagda delen av utbildningen är att jämförelser kan vara svårt. Vidare är frågan klurigt ställd, något vi anser vara typiskt för textuppgift ur en lärobok. Det behöver dock inte alltid vara en nackdel att uppgifterna är ”kluriga” utan kan tvärtom leda till att eleverna utvecklas intellektuellt.
Det som är anmärkningsvärt är att ingen av de 21 eleverna gör en rimlighetsbedömning av sitt svar ställt till den information som ges i texten. De kan naturligtvis inte veta hur mycket vatten hushållen eller industrin gör av med, men vi anser att det är rimligt att anta att industrin gör av med mycket mer vatten än 5 % jämfört med hushållen, vilket är det svar de flesta har angett. Här framgår det alltså att eleverna endast tillämpat sina kunskaper i en skolkontext. Ett resultat som var väntat sett till att uppgiften är hämtad ur en lärobok. Uppgiften är kanske inte heller konstruerad för att eleverna skall relatera till sin omgivning. Men vad är då tanken med att använda statistik över Sveriges vattenförbrukning i en matematikuppgift? Borde inte läroboksförfattarna eftersträva elevers verklighetsanknytning när de använder sig av ”verklig” fakta, hämtad från svenska vatten- och avloppsföreningen? Efter att ha analyserat svaren och pratat med eleverna verkar det inte som att detta var tanken. Eleverna letar bara efter de gömda algoritmerna (Riesbeck 2000) bland alla procenttal och siffror och struntar helt till vilket sammanhang dessa siffror hör. För deras del gäller det att räkna rätt och att få rätt svar i förhållande till facit, för att kunna gå vidare till nästa uppgift. Kontexten verkar inte ha någon egentlig mening utan finns endast med i uppgiften för att eleverna skall kunna träna på sina räknetekniska och matematiska kunskaper, den blir ett svepskäl till att låta eleverna träna sina matematiska kompetenser som Wedege (2006) skriver.
Uppgift 2
I uppgift 2a ska man summera de föräldrar som är nöjda med sitt barns omsorg och svara i procent. Detta har alla elever utom två klarat. De elever som svarat fel har angett antal föräldrar istället för procent, vilket kan vara en följd av att ha läst uppgiften för snabbt, eller till fullo inte förstått texten.
Det finns en elev som gjort en djupare tolkning av vår uppgift än vi kunde förutse då vi konstruerade den. Hon har först räknat ut hur många föräldrar som är nöjda med sitt barns omsorg och sedan tagit reda på hur många procent av de som ingår i Föräldrapanelen detta utgör (se Svar på uppgift 2a under Resultat). Att eleven gör en så djupgående tolkning av vår uppgift kan ha flera orsaker. Hon tyckte kanske att det var för lätt att bara addera hur många föräldrar som var nöjda och därför blev osäker. Vi ställer frågan – hur många procent av föräldrarna svarade att de är nöjda med sitt barns omsorg? Vi specificerar kanske inte tydligt nog att vi menar de föräldrar som deltog i undersökningen och inte alla föräldrar som ingår i Föräldrapanelen, vilket kanske ledde
till en osäkerhet hos eleven när hon löste uppgiften. Riesbeck (2000) skriver att elever ofta går balansgång mellan vad som står i uppgiften och vad de anser man skall räkna på en matematiklektion, och att elever handlar medvetet rationellt för att lösa uppgiften på ett sätt som anses tillfredställande för den situation de befinner sig i. Det är möjligt att eleven har överarbetat uppgiften i vetskap om att hon sitter på en matematiklektion och därför förväntar sig att uppgiften ska vara svårare än den i detta fall är. Resultatet av Säljös och Wyndamns undersökning med portotabellen (Säljö & Wyndamn, 1993) visade att omgivningen eller klassrumssituationen spelade stor roll för hur eleverna löste uppgiften. Här tycker vi oss se samma tendens; eleven är van vid att räkna mycket på matematiklektionen och tror därför att mer och fler beräkningar behövs för att svaret skall vara tillfredsställande.
En liknande reflektion kan i viss mån göras angående den elev som inte tyckte att hon kunde svara att 39 % av 1529 föräldrar motsvarade 596, 31 föräldrar. Svaret förbryllade eleven, hon ville ha ett svar med ”hela” antal föräldrar och när hon inte fick det började hon om från början och räknade med 2000 föräldrar vilket gav ett svar med ”hela” föräldrar. Eleven har dock rimlighetsbedömt sitt första svar genom att tänka på att det inte kan finnas ”,31 föräldrar”, utan att alla människor måste vara ”hela”. Återigen kan man nämna samspelet mellan de förvärvade kunskaperna och förmågan att tillämpa dessa på vardagliga problem (Riesbeck, 2000). De elever som har svarat rätt på uppgift 2b har varit säkra på sina kunskaper om hur de skulle räkna ut uppgiften, och därför avrundat sitt svar för att stämma överens med verkligheten, där det ju inte finns ”delade” föräldrar. Från ett statistiskt perspektiv kan man relatera svaret till att det faktum att tidningen Vi Föräldrar baserar sina resultat på en verklig undersökning och man därför kan anta att procenttalet 39 % är avrundat, vilket då i sin tur leder till att man inte får ”hela” föräldrar.
Vi har tolkat Skovsmoses delkunskap, om att reflektera över och värdera sitt svar (se Hedrén, 2001), som att eleverna bör sätta sina svar i relation till sin omgivning. Det skulle också kunna innebära att man sätter sitt svar i relation till de uppgifter och fakta man utgått från i sin beräkning. Den elev som slog fel på miniräknaren i uppgift 2b och kom fram till att 39 % av 1529 skulle motsvara 62,01 föräldrar, behärskar inte det som Skovsmose kallar för reflekterande kunskap. Hon ställer inte sitt svar i relation till de data som ges i uppgiften. En överslagsräkning borde ge en fingervisning om att svaret är tokigt. 39 % av 1529 motsvarar knappt hälften av föräldrarna, vilket är mycket mer än 62,01.
Några av eleverna uppgav att uppgift 2 var den lättaste uppgiften för att ”man inte behövde räkna, det var bara att titta på diagrammet och läsa av”. Detta kan förklaras med att uppgiften är hämtad från en tidning och att eleverna är vana att se liknande diagram utanför skolan, vilket några nämnde under följdfrågorna. Detta stämmer överens med Wedeges tankar att matematiken räknas som sunt förnuft när man väl använt sig av den i vardagliga situationer (Wedege, 2002a). Att avläsa diagrammet i uppgift 2 kanske känns mer som en vardaglig situation än som matematik? Eller beror det på att eleverna såg att diagrammet var hämtat ur en ”verklig” och att uppgiften på grund av detta inte räknas som en vanlig matematikuppgift?
Uppgift 3
Det är 7 elever som uppger att de tagit ställning till abonnemang tidigare (se tabell 2 under Resultat). Av dessa 7 elever tyckte alla utom 1 att uppgiften var lätt. Av de 14 elever som inte tagit ställning till ett abonnemang i verkligheten uppger 9 st. att de upplever uppgiften som lite svår eller tabellen som svårläst i varierande grad (se tabell 3 under Resultat). Dessa elever har alltså redan varit i kontakt med liknande fakta tidigare och kan använda sina vardagskunskaper då de ska lösa uppgiften. Vygotsky (efter Riesbeck, 2000) delar upp kunskapen i en vetenskaplig kunskap som utvecklas i skolan och en spontan kunskap som utvecklas i vardagen. Vygotsky menar att om en individ skall lära sig vetenskapliga begrepp sker detta genom en generalisering av de spontana begreppen som alltså är utvecklade i vardagen. Enligt Wistedt (1993) används elevernas vardagskunskaper varje gång de löser en matematikuppgift och kan därför ses som förstadier till vetenskaplig kunskap. De elever som upplevde uppgiften som lätt har kunnat omsätta sina vardagskunskaper i en formell situation och kan därför sägas ha omvandlat den spontana kunskapen till en vetenskaplig kunskap. När en person använt en matematisk formel för att lösa ett vardagsproblem förändras matematiken till att vara ”sunt förnuft” istället för matematik enligt Wedege (2002a). Många av de elever som tyckte att uppgift 3 var lätt motiverade detta med att de inte behövde räkna. ”Det var bara att läsa av tabellen”. Dessa elever gör sannolikt flera beräkningar för att komma fram till sitt val av abonnemang, men utan att skriva ner dem på ett papper. De räknar i huvudet och gör en bedömning, men tycker inte att de räknar.
De elever som tyckte att uppgift 3, som grundar sig på ett ”verkligt” problem, var svår kanske inte kunde lösa uppgiften just för att den dyker upp på en matematiklektion. De saknar en strategi för hur de ska gå tillväga för att hitta en lösning när de inte längre
