!
Lärande och samhälle
Skolutveckling och ledarskap
Examensarbete
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Intensivundervisning i matematik i mindre
elevgrupper
Intensive teaching in mathematics in smaller pupil groups
Susanne Örtqvist
Speciallärarprogrammet 90 hp Handledare: Birgitta Lansheim Slutseminarium 2019-05-21 Examinator: Anna Jobér
Sammanfattning/Abstract
Örtqvist, Susanne (2019). Intensivundervisning i matematik i mindre elevgrupper. Speciallärarprogrammet, Institutionen för skolutveckling och ledarskap, Lärande och samhälle, Malmö universitet, 90 hp.
Förväntat kunskapsbidrag
Förhoppningen är att studien ska bidra med ytterligare perspektiv avseende begreppet intensivundervisning i matematik, och på så sätt öppna upp för en alternativ
intensivundervisning i mindre grupper. Då intensivundervisningen är avsedd att genomföras i de tidiga skolåren blir insatsen förebyggande, istället för åtgärdande.
Syfte och frågeställningar
Syftet med denna interventionsstudie är att undersöka hur intensivundervisning med färdighetsträning i mindre grupper inverkar på elevens utveckling och automatisering av addition och subtraktion i talområdet 0-20. De preciserade frågeställningarna är:
* Vilken utveckling av ett antal elevers automatisering av subtraktion och addition i talområdet 0-20 sker under intensivundervisningsperioden?
* Hur står sig i sådana fall denna utveckling efter en månad för dessa elever?
Teori
Då studien fokuserar på elevernas kunskapsutveckling i ett gruppsammanhang har det sociokulturella perspektivet valts som den övergripande teoretiska utgångspunkten, eftersom kunskap sett ur detta perspektiv konstrueras i en social kontext. Särskilt fokus har legat på den proximala utvecklingszonen.
Metod
För att kunna ge en mer fullständig bild av undersökningen än vad en enda metod gör, har metodtriangulering tillämpats. En kvantitativ ansats, i form av en kvasiexperimentell design med jämförande siffror, används. Men även den kvalitativa ansatsen används, genom att siffrorna analyseras kvalitativt, och sätts i ett sammanhang utifrån noteringar, frågeformulär, strukturerade samtal och intervjuer.
Resultat
Interventionen gav positiva effekter på elevernas automatisering av addition och subtraktion inom talområdet 0-20. Undersökningsgruppens resultat förbättrades tre gånger mer under intensivundervisningsperioden än vad kontrollgruppens resultat gjorde under samma tidsperiod. Genomsnittsresultatet för undersökningsgruppen som helhet stod sig även en månad efter intensivundervisningens slut, även om gruppens positiva utveckling i förhållande till kontrollgruppens inte längre fortsatte.
Specialpedagogiska implikationer
Studien visar på ett alternativ till individuell, och åtgärdande, intensivundervisning i matematik i de tidigare skolåren. Tidiga och strukturerade insatser i mindre grupper verkar förebyggande mot missuppfattningar i matematiken och underlättar för eleverna i framtida matematikundervisning. Insatserna är möjliga att genomföra inom ramen för extra
anpassningar, och tillvaratar de specialpedagogiska resurserna på ett effektivare sätt.
Nyckelord
Innehållsförteckning
INLEDNING ...7
SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ...10
SYFTE...10
PRECISERADEFRÅGESTÄLLNINGAR...10
DEFINITIONAVCENTRALABEGREPP...10
TEORETISK FÖRANKRING OCH TIDIGARE FORSKNING ...12
SOCIOKULTURELLTPERSPEKTIV...12 GRUNDLÄGGANDETALUPPFATTNING...13 AUTOMATISERING ...15 INTENSIVUNDERVISNING...17 SAMMANFATTNING...18 METOD ...20 ALLMÄNTOMMETOD...20 METODVAL...21 UNDERSÖKNINGSGRUPP...22 GENOMFÖRANDE...23
RESULTATOCHANALYS...26
RELIABILITETOCHVALIDITET...27
ETISKAPERSPEKTIV...28
RESULTAT OCH ANALYS ...29
UTVECKLINGEN AV ELEVERNAS AUTOMATISERING AV SUBTRAKTION OCH ADDITION I TALOMRÅDET 0-20 UNDER INTENSIVUNDERVISNINGSPERIODEN...29
RESULTATPÅDEUPPFÖLJANDETESTENENMÅNADSENARE...32
DEENSKILDAELEVERNAOCHDERASRESULTAT...33
SAMMANFATTNINGOCHANALYSAVDEINDIVIDUELLARESULTATEN...36
DISKUSSION ...39
RESULTATDISKUSSION...39
METODDISKUSSION...40
SPECIALPEDAGOGISKAIMPLIKATIONER...42
FÖRSLAGPÅFORTSATTFORSKNING...43
REFERENSER ...44
BILAGA 1 ...51
BILAGA 2 ...52
BILAGA 3 ...53
BILAGA 5 ...56 BILAGA 6 ...57 BILAGA 7 ...58 BILAGA 8 ...59 BILAGA 9 ...60 BILAGA 10 ...61
Inledning
I sommar, den 1 juli 2019, får vi i Sverige nya bestämmelser i skollagen, då Läsa, skriva, räkna - en garanti för tidiga stödinsatser börjar gälla (Skolverket, 2019). Syftet med garantin är att elever i behov av särskilt stöd, extra anpassningar eller extra utmaningar ska få det tidigt och utformat efter sina behov. Enligt utredningen som föregått garantin finns det nämligen studier som visar att det är vanligt med en ”vänta-och-se-attityd” i de lägre årskurserna, vilket innebär att specialpedagogiska insatser genomförs först i de högre årskurserna (Prop.
2017/18:195).
Med en bakgrund som tidigarelärare, men som blivande speciallärare med inriktning matematikutveckling, intresserar jag mig främst för begreppet räkna i ovan nämnda garanti. Vad innebär det egentligen att kunna räkna? Det många av oss nog associerar själva ordet med är att kunna genomföra beräkningar, bland annat genom att använda huvudräkning. Detta får stöd av McIntosh (2012) som menar att huvudräkning är den viktigaste beräkningsformen. I kursplanen för matematik står det att kunskapskravet för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3 bland annat innebär att ”eleven kan använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0–20, samt för beräkningar av enkla tal i ett utvidgat talområde” (Skolverket, 2011, s. 67). Alltsedan jag började arbeta i skolans värld har jag dock varit förundrad över att många elever inte tycks behärska detta talområde med flyt. Elever, men även kollegor, har ifrågasatt huvudräkningens betydelse, ofta med hänvisning till att ”det finns ju miniräknare”. Javisst, det finns det, men för de av oss som har möjlighet att lära oss att 9-6 är 3, och att befästa denna kunskap i långtidsminnet, kommer det att gå mycket snabbare och enklare att utföra såväl denna beräkning som beräkningar av typen 90-60 och 19-6, än vad det gör för de som behöver använda miniräknare eller penna och papper. Vi behöver därmed inte lägga tid på grundläggande beräkningar, och riskera att fastna i dem, utan kan fokusera på att förstå själva uppgiften. En viss jämförelse tycker jag, och även Löwing (2008), kan göras med
läsinlärningen; ortografisk läsning där hela ordet avkodas med automatik gör att de kognitiva resurserna istället kan fokusera på vad texten vill förmedla.
Bristen på automatisering innebär att eleverna måste belasta sitt arbetsminne istället. Löwing (2008) framhåller att ju svårare en elev har för matematik desto viktigare är det att
eleven automatiserar de grundläggande additionstabellerna, just för att undvika att belasta arbetsminnet vid mer komplexa matematikuppgifter. Även Bentley och Bentley (2016) menar att data i normalfallet ska hämtas från långtidsminnet, och inte processas i arbetsminnet. De anser att denna färdighet minst bör omfatta talområdet 0-20 för addition och subtraktion (Bentley & Bentley, 2011).
Att använda felaktiga strategier, fingerräkning, eller ett-steg-i-taget som strategi blir således tidskrävande, belastar arbetsminnet och stjäl fokus från själva uppgiften. Dessutom är risken överhängande att beräkningen blir fel. Det finns även skäl att befara att detta leder till stress och minskat självförtroende hos eleven, och att det således i förlängningen kan riskera att utgöra en grund för matematikängslan. Enligt den senaste TIMSS-rapporten (Skolverket, 2016) uttrycker fler elever att de är negativt inställda till att lära sig matematik nu än förra gången TIMSS genomfördes (2011). Denna ökande negativa syn på att lära sig matematik anser jag inte bara vara problematisk ur ett individuellt perspektiv, utan även ur ett
samhällsperspektiv. Matematik används dagligen i vuxenlivet, och som Skolverket skriver i sitt kommentarsmaterial (2017) ska den kunna användas i många olika situationer såsom när vi till exempel ska teckna ett nytt telefonabonnemang eller ta ett lån. I förlängningen riskerar den enskilda individens matematiksvårigheter att leda till en lägre utbildningsnivå, vilket i sin tur bland annat visat sig påverka hälsan negativt (Folkhälsomyndigheten, 2015).
Matematiksvårigheter kan således även få konsekvenser för samhället på sikt.
Matematikutbildningen i Sverige kan sägas vara hierarkiskt upplagd såtillvida att varje kursplan bygger på att eleverna tillgodogjort sig tidigare kursplans innehåll (Skolverket, 2011). Även egna erfarenheter pekar på att lärare i mellan- och högstadiet tar för givet att eleverna etablerat den grundläggande additionen och subtraktionen för talområdet 0-20 under lågstadiet, vilket också stöds av Löwing (2008). Således ägnas ingen, eller endast liten, tid åt att befästa denna kunskap från årskurs 4 och uppåt, då istället fokus läggs på att automatisera multiplikationstabellerna med mera. Är då inte eleverna säkra på enkel huvudräkning med addition och subtraktion kan det orsaka framtida dilemma på såväl individ-, grupp- som organisationsnivå. Hur kan vi då hjälpa dessa elever som fastnat i ohållbara strategier, och på så sätt underlätta för dem inte bara i framtida matematikundervisning, utan även i kommande vardagsliv?
Kommunen jag är verksam i förordar i sin handlingsplan i ämnet matematik att dessa elever får intensivundervisning i form av en-till-en-undervisning; detta genom att hänvisa till två studier genomförda i Karlskrona kommun (Hall, Ericsson & Lund, 2015) respektive Skövde kommun (Lundqvist, Nilsson, Schentz & Sterner, 2011). Dessa studier beskriver hur eleven, utöver ordinarie klassrumsundervisning, får enskild matematikundervisning i 20-30 minuter per dag, fyra dagar i veckan under en period om cirka 10 veckor. Eftersom jag upplever att det är flera elever i varje klass som är i behov av att utveckla sin addition och subtraktion i
talområdet 0-20, samtidigt som det finns begränsade ekonomiska och personella resurser i verksamheterna, undrar jag om även undervisning i mindre grupp och under kortare tid kan få kallas intensiv, och om den i sådana fall kan visa sig vara framgångsrik?
Som blivande speciallärare med specialisering matematikutveckling är jag intresserad av att pröva nya metoder för att undervisa i matematik, samtidigt som jag inte enbart vill arbeta åtgärdande utan framförallt främjande och förebyggande. Jag beslutade mig därför för att göra ett examensarbete i form av en interventionsstudie, där jag undersöker hur
intensivundervisning med färdighetsträning i mindre grupper inverkar på elevens utveckling och automatisering av addition och subtraktion i talområdet 0-20.
Syfte och frågeställningar
Syfte
Syftet med denna interventionsstudie är att undersöka hur intensivundervisning med färdighetsträning i mindre grupper inverkar på elevens utveckling och automatisering av addition och subtraktion i talområdet 0-20.
Preciserade frågeställningar
* Vilken utveckling av ett antal elevers automatisering av subtraktion och addition i talområdet 0-20 sker under intensivundervisningsperioden?
* Hur står sig i sådana fall denna utveckling efter en månad för dessa elever?
Definition av centrala begrepp
Intensivundervisning - Här avses en tydligt strukturerad undervisning som ger eleverna möjlighet att arbeta effektivt under cirka 15-20 minuter med specifika moment.
Undervisningen sker tre gånger per vecka under fyra veckor som ett komplement till den ordinarie undervisningen, och leds av behörig lärare.
Min definition av intensivundervisning skiljer sig således från den som Lundqvist med flera använder sig av, vilken innebär att eleven får enskilt stöd under 30 minuter per dag, fyra dagar i veckan, under en period av 10-11 veckor (Lundqvist m.fl., 2011).
Färdighetsträning - Innebär här att talfakta, i betydelsen uppdelning av tal, övas och befästs (Löwing & Kilborn, 2007). Detta sker såväl enskilt som i par, och bland annat med hjälp av utvalt material i form av diverse spel, tärningar, winnetka-kort och appen Nomp.
Mindre grupp - I detta sammanhang avses en grupp om fyra elever som erhåller
undervisning samt färdighetstränar samtidigt (min definition). Då det inte finns någon tydlig definition av "mindre grupp" och inte heller Skolverket ger några konkreta avgränsningar (se exempelvis Skolverkets råd om särskild undervisningsgrupp, i Extra anpassningar och särskilt
stöd i skolan, Skolverket, 2019.) så har jag här valt att utgå från en egen definition för att sätta konkreta ramar för detta arbete.
Automatisering - Innebär här att beräkningar memorerats i långtidsminnet, så att svaren snabbt kan anges. Enligt Crawford (u.å.) ska eleverna muntligen kunna ge svaret inom en sekund för att talet ska betraktas som automatiserat, medan de vid skriftliga beräkningar ska hinna besvara 40-60 tal på en minut, under förutsättning att de kan skriva så snabbt.
Teoretisk förankring och tidigare forskning
Då denna studie kan sägas fokusera på elevernas kunskapsutveckling i ett gruppsammanhang har det sociokulturella perspektivet valts som den övergripande teoretiska utgångspunkten, då kunskap sett ur detta perspektiv konstrueras i en social kontext. Genom interventionens upplägg förväntas eleverna utveckla sin kunskap med språkets och interaktionens hjälp; genom att diskutera med varandra och lyssna på lärarens strukturerade vägledning ska de förhoppningsvis få tillgång till nya tankesätt och effektivare strategier. Eleverna förmodas lära av varandra, vilket är en av grundbultarna i den sociokulturella teorin. Detta samtidigt som jag som lärare hoppas kunna bidra till att utveckla elevernas förståelse för talområdet genom att använda mig av teorin om den proximala utvecklingszonen, vilken är en annan av
grundbultarna i den sociokulturella teorin. Nedan presenteras det sociokulturella perspektivet samt tidigare forskning som knyter an till studiens syfte.
Sociokulturellt perspektiv
Utgångspunkten i det sociokulturella perspektivet är att lärandet sker i ett socialt
sammanhang, och att förutsättningarna för själva lärandet är kommunikation och delaktighet; kommunikation föregår tänkande. Utifrån detta perspektiv finns det i varje samspelssituation möjlighet att ta till oss - appropriera - kunskaper från våra medmänniskor. I ett sociokulturellt perspektiv kan lärande inte undvikas; frågan är snarare vad vi lär oss utifrån olika situationer (Säljö, 2014). Säljö menar att vi inte bara lär och fungerar i samspel med andra människor, utan även i samspel med de artefakter, fysiska redskap, som utvecklingen ställer till vårt förfogande, bland annat i form av olika verktyg, instrument och digitala resurser.
Det sociokulturella perspektivet anses allmänt ha sitt ursprung i den sovjetiske psykologen Lev Vygotskys teori om att barnets biologiska utveckling och den sociokulturella
utvecklingen går in i varandra, det vill säga att barnets utveckling hänger samman med vilken miljö barnet växer upp i (Claesson, 2006; Nilholm, 2018; Säljö, 2014; Vygotsky, 1978). Inom det sociokulturella perspektivet anses själva lärandet ske inom den proximala utvecklingszonen (Vygotsky, 1978). Denna zon betecknar avståndet mellan det som en elev kan klara av själv utan stöd, och den potentiella nivå som är möjlig att nå under vuxens
ledning eller i samarbete med mer kapabla personer. ”… what a child can do with assistance today she will be able to do by herself tomorrow.” (Vygotsky, 1978, s. 87). Vygotsky
ifrågasätter begreppet mognad, och menar att det är undervisning och uppfostran som skapar utveckling och inte tvärtom. Inlärning förutsätter att man får nya intryck. Läraren ska således inte invänta att eleverna uppnår en viss nivå av mognad, utan ska dra in eleven i lärandet, in i den proximala utvecklingszonen.
För att på sikt kunna agera självständigt behövs förebilder, modeller och lite hjälp på traven. Denna hjälp och vägledning kan beskrivas som stöttning, scaffolding; ett begrepp som initialt myntades av den nordamerikanske psykologen Jerome Bruner (2006). I
skolsammanhang är det framförallt läraren som på olika sätt i början stöttar elevens
utveckling av nya begrepp och kunskaper, och som sedan successivt drar ner på stödet i takt med att elevens förmåga till självständigt agerande utvecklas. Stöttning kan exempelvis ske genom en strukturerad och genomtänkt planering av innehållet i undervisningen, och genom val av relevanta aktiviteter (Ahlberg, 2016).
Ahlberg (2016) menar att då lärandet sker i sociala praktiker bör undervisningen av elever i behov av särskilt stöd organiseras så att de får använda språket på ett sätt som främjar
förståelse. ”Det handlar om att kombinera språklig och praktisk interaktion och försöka arrangera undervisningen så att eleverna kan delta i dialogen i klassrummet och bli en del av lärandegemenskapen.” (Ahlberg, 2016, s.149).
Också Claesson (2006) anser att det är i sociala praktiker som lärandet sker, varför det gäller för läraren att arrangera rikliga tillfällen till kommunikation, genom exempelvis dialog och diskussion i smågrupper, och att få till ett tillåtande klassrumsklimat, där elevernas frågor tas på allvar. Även Samuelsson (2008) ser en koppling mellan Vygotskys tankar om den proximala utvecklingszonen och elever som arbetar i grupp eller tillsammans med en lärare som kan guida dem. Genom just språk och interaktion styrs undervisningen till rätt nivå och eleverna kan få stöttning av varandra eller av läraren. (Samuelsson, 2008).
Grundläggande taluppfattning
Den vänta-och-se-attityd som regeringens proposition (2017/18:195) varnade för bekräftar Olsson i sin avhandling Count on me! (2018). Hennes studie pekar på att det är svårt att hämta
igen bristande matematiska grundkunskaper, varför den grundläggande undervisningen bör prioriteras oavsett nivå, vilket dock sällan sker idag. Den grundläggande
matematik-undervisningen är viktig, inte bara i matematikens lägre nivåer utan även när ämnet blir mer avancerat menar hon (Olsson, 2018). Också Löwing (2012) anser att elevernas bristande kunskaper från tidiga årskurser vållar problem för dem under resten av deras skoltid. Eleverna lär sig inte den grundläggande matematiken med flyt, varför de inte kan generalisera den till större talområde. ”Följden blir en komulerad förkunskapsbrist.” (Löwing, 2012, s. 83). Internationellt har detta uppmärksammats tidigare, exempelvis i USA där National
Mathematics Advisory Panel i en rapport 2008 bland annat slog fast vikten av att skolbarn får en stark start i sitt matematiklärande. De menar att barn som inte behärskar grundläggande additionskombinationer i slutet av första årskurs, kommer att ha ett handikapp i kommande matematikundervisning (National Mathematics Advisory Panel, 2008).
Baroody, Priya Bajwa och Eiland (2009) menar att det finns två olika perspektiv att se på svårigheter att komma ihåg grundläggande additionskombinationer. Dels en konventionell syn på att det är enkelt att lära genom att memorera, och där orsakerna till att man inte lär
antingen beror på otillräcklig träning eller på brister hos individen. Dels det perspektiv som forskarna själva förespråkar; taluppfattningsperspektivet. De anser att en god taluppfattning är själva grunden för att behärska aritmetik med flyt. För att hjälpa eleverna att få en god
taluppfattning i allmänhet, och ett aritmetiskt flyt i synnerhet, måste man ge dem möjlighet att upptäcka såväl mönster, regler, sammanhang som fakta, och särskilt hjälpa dem att se
samband med sådant de redan kan, t ex att om 5+3=8, så är 8-5=3.
Liknande tankegångar har forskarna Moser Opitz m.fl. (2017), i en tysk studie, som menar att elever som har matematiska svårigheter i mellanstadiet ofta har haft synliga brister i att förstå grundläggande aritmetik redan på lågstadiet. Trots denna brist i förståelse är ”drill and practise teaching” den mest använda formen av insatser för dessa elever när de når
mellanstadiet, med fokus främst på att nå högre matematiska områden. Forskarna genomförde därför en interventionsstudie i årskurserna 5 och 7 där eleverna under 14 veckor erhöll extra undervisning i grundläggande aritmetik, under 90 minuter/vecka. Eleverna delades upp i två grupper; en grupp erhöll undervisning i mindre grupper (3-5 elever) utanför klassrummet, medan den andra gruppen arbetade självständigt med individuellt utformat material och delvis inne i klassrummet. Resultaten visade att interventionen som helhet varit lyckad, men att
gruppen som arbetat självständigt inne i klassrummet uppnådde allra bäst resultat. Detta förvånade forskarna, vilka efterlyser mer forskning, men samtidigt slår fast att resultatet är uppmuntrande såtillvida att det hitintills endast funnits ett fåtal interventionsprogram som kan genomföras inne i klassrummet, vilket är eftersträvansvärt ur ett ekonomiskt perspektiv. I Norge och Finland genomfördes nyligen en studie av Funderud, Mononen, Radisic och Laine (2018) där man jämförde de båda ländernas årskurs 3-elevers aritmetiska flyt i
talområdet 1-20. Studiens resultat visade att de finska eleverna överträffade de norska, och att det i Norge fanns en avsevärt högre andel elever som var svagpresterande (här avsågs
prestation på eller under percentil 25) än vad det fanns i Finland. Anledningen till detta tror forskarna beror på att Finland har ett utbildningssystem som betonar att barn i behov av extra stöd ska få det tidigt, i motsats till Norges utbildningssystem som kräver att eleven ska genomgå en extern bedömning angående eventuella inlärningssvårigheter innan de kan få tillgång till specialpedagogiskt stöd. Därav har de finska skolbarnen i behov av stöd redan fått det, medan de norska eleverna i studien fortfarande väntar på det.
Automatisering
Från att den grundläggande additionen och subtraktionen i början varit själva lärandeobjektet övergår den efter hand till att utgöra elevernas förkunskaper i mer avancerad matematik. Målet är att de vid det laget sker med flyt, och således är automatiserade (Löwing & Kilborn, 2007). Lundberg och Sterner (2009) likställer automatisering med överinlärning, och menar att denna är nödvändig för god räkneförmåga. Samtidigt poängterar de vikten av kvalitet vid färdighetsträning, så att inte omständliga och felaktiga strategier befästs.
Studien som Funderud m. fl. (2018) gjort tar upp elevernas individuella skillnader vad gäller utvecklingen av aritmetiska färdigheter. Med stöd av bland andra Ostad, och av Siegler och Jenkins, menar de att aritmetiska problem vanligtvis löses med hjälp av två olika
tillvägagångssätt; ”hämtningsstrategin” (retrevial strategy), vilken innebär att fakta hämtas från långtidsminnet, eller ”reservstrategin” (backup strategy), som i sin tur kan delas upp i flera underliggande nivåer, men som alla baseras på att man använder verbalt räknande för att lösa problemet. Enligt den typiska utvecklingskurvan börjar barn att använda den första nivån
av ”reservstrategi” för att successivt närma sig ”hämtningsstrategin”. Hämtningsstrategin används i regel som den primära strategin inom talområdet 0-20 runt nio års ålder.
Annan forskning (Baroody m.fl., 2009) visar att elever går igenom tre typiska utvecklingsfaser då de lär sig de grundläggande talkombinationerna. I den första fasen, räknestrategier, används konkreta eller representativa föremål för att räkna sig fram till ett svar. I den andra fasen, resonerande strategier, använder man sig av kända fakta för att komma fram till okända kombinationer. I den tredje och sista fasen, behärskning, hämtas svaren direkt från minnet. Elever i matematiksvårigheter tenderar att fastna i fas 1. Bland forskare går dock meningarna isär huruvida fas 1 och fas 2 är nödvändiga för att nå fram till fas 3, eller om de bara underlättar.
Bland andra Helenius för i podcasten Varför lära in utantill när det bara är att googla? (Widebeck, 2019, 11 feb) fram tanken att vi kan ha nytta av kunskaper som viännu inte förstår. Han menar att då vi ska utföra ett svårare problem så måste vi kunna ta fram automatiserad fakta och på så sätt utföra enkla delproblem utan att det stör oss. Detta går således stick i stäv med vad Baroody m. fl. (2009) och Moser Opitz m. fl. (2017) anser.
De svenska forskarna Gulz, Helenius och Jonsson för i radioprogrammet Vetandets värld (SR, 2019) fram tankar om att det är avgörande att kunna saker utantill för att kunskap ska kunna fördjupas och för att förstå matematik. De menar att det borde bli viktigare att lära sig saker utantill i skolan, och att skolan bör betona utantillkunskaper mer. Deras tankegångar bygger till viss del på vad Eriksson, Helenius och Ryve (2019) kommit fram till i en studie där de undersöker huruvida TIMSS-resultat kan användas för att undersöka
undervisningskvalitet. Studien har fokuserat på följande tre olika instruktionsmetoder: att memorera formler, att lyssna på läraren och att relatera matematik till det dagliga livet. Resultaten i studien tyder på att elever lär sig bättre av att memorera formler och av att lyssna på läraren, än vad de gör genom vardagsanknuten matematik.
Å andra sidan finns det forskare som i likhet med Boaler (2013) hävdar att denna form av passivt lärande, det vill säga undervisning som främst utgår från upprepning, memorering och procedurgenomförande, är en tveksam och bekymmersam metod. Boaler menar att det är närmast ironiskt att vissa elever uppfattar ett ämne som matematik - som bör handla om att undersöka, tänka och resonera - som ett ämne som inte kräver någon tankeverksamhet,
Till dem som ställer sig tveksamma till utantillärning som metod finns även Geist (2010), och Kulkin (2016). De har bland annat ägnat sig åt studier kring matematikängslan, och anser att en del av orsaken till denna ängslan står att finna i en undervisning som fokuserats på memorerande av talfakta och utantillkunskap.
Intensivundervisning
Både nationell och internationell forskning visar på goda resultat i form av ökade kunskaper bland elever som erhållit intensivundervisning (Bryant m.fl., 2014; Dowker, 2009; Fuchs m.fl., 2008; Hansson, 2015; Sterner, 2012). Inom den svenska forskningen tycks begreppet intensivundervisning, då det förekommer i samband med ämnet matematik, vara synonymt med en-till-en-undervisning (Hall m.fl., 2015; Hansson, 2015; Lundqvist m.fl., 2011; Sjöberg, Albertsson & Lindholm, 2016). Intensivundervisningen sker utöver ordinarie
matematikundervisning fyra till fem gånger i veckan, under en tidsrymd av 10-12 veckor, och bedrivs i samarbete med elevens hem. Denna svenska intensivundervisningsmodell har sedan företrädesvis byggt på följande fyra faser:
1) Den laborativa fasen (eleven arbetar med konkret material).
2) Den representativa fasen (eleven ritar och förklarar, och utvecklar därmed inre föreställningar, språklig uttrycksförmåga och tänkande).
3) Den abstrakta fasen (eleven använder nu ett matematiskt symbolspråk). 4) Färdighetsträning (för att befästa kunskapen, och lagra den i långtidsminnet). (Hansson, 2015; Sterner, 2012).
Även internationellt tycks intensivundervisning främst vara sammankopplat med individuell undervisning (Bryant m.fl., 2014; Dowker, 2009) emedan det även finns intensivundervisning genomförd i mindre grupper som visat på goda resultat (Fuchs m.fl., 2008). I Finland genomfördes för några år sedan en interventionsstudie av Koponen m.fl. (2018) där eleverna undervisades i mindre grupper. Syftet var att ta reda på om intensiv träning av olika strategier, genomförd av specialpedagogiskt utbildad personal, kunde öka räkneflytet bland elever i behov av det. Eleverna gick i årskurs 2-4, och de som valdes ut att delta i studien använde sig främst av räknebaserade strategier. Under interventionen
veckor, och ägde rum två gånger i veckan á 45 min. Dessutom hade eleverna två kortare tillfällen med skärmbaserade spelövningar ”gaming sessions” varje vecka för att öva grundläggande addition. De fick också en hemläxa varje vecka i form av ett arbetsblad. Förutom ett före- och ett eftertest, så utfördes ett uppföljande test fem månader senare, för att se de långsiktiga effekterna av interventionen. Resultaten visade att eleverna som deltog i studien förbättrade sina resultat signifikant under interventionstiden beträffande förmågan att addera med flyt. De behöll också denna uppnådda nivå under den fem månader långa
uppföljningstiden, men fortsatte inte att utveckla sitt flyt vid träningsprogrammets slut. Deras ”hämtningsstrategi”, det vill säga automatisering, ökade medan de räknebaserade strategierna minskade (Koponen m.fl., 2018).
För att slutligen återknyta till den avhandling som nämndes i början (Olsson, 2018) så visar även den att undervisning i form av tio minuters daglig aritmetisk träning i
förskoleklass, oavsett design, under tre veckor ger god effekt jämfört med kontrollgrupperna. Huruvida en sådan undervisning kan betecknas som intensiv får dock fortfarande anses vara en öppen fråga. Men även Lunde (2011) påtalar vikten av tidiga insatser, och hänvisar till amerikansk forskning som visar att inlärningssvårigheter i matematik kan minska med 70% vid snabba, exakta insatser och förebyggande arbete.
Sammanfattning
Då denna studie ämnar undersöka hur elevernas kunskaper utvecklas då de befinner sig i mindre grupper har det sociokulturella perspektivet valts som teoretisk utgångspunkt. Enligt det sociokulturella perspektivet sker lärandet i ett socialt sammanhang, där kommunikation och delaktighet är ledord. Genom en undervisning som lägger sig på en svårighetsnivå vilken utmanar eleverna, samtidigt som de kan klara av den med lite hjälp från någon annan, det vill säga att läraren använder sig av den proximala utvecklingszonen, skapas förutsättningar för elevernas lärande (Ahlberg, 2016; Claesson 2006; Samuelsson, 2008).
Beträffande tidigare forskning har såväl nationella som internationella studier visat att en god taluppfattning är av största vikt för elevernas fortsatta matematikutveckling (Baroody m.fl., 2009; Moser Opitz m.fl., 2017; Olsson, 2018). Flera av forskarna anser också att en god taluppfattning är själva grunden för att behärska aritmetik med flyt. För att hjälpa eleverna att
få en god taluppfattning anser de att eleverna måste ges möjlighet att upptäcka såväl mönster, regler, sammanhang som fakta (Baroody m.fl., 2009). Detta kan med fördel ske genom intensivundervisning, vilken framförallt tycks bedrivas en-till-en (Bryant m.fl., 2014;
Dowker, 2009; Hall m.fl., 2015; Hansson, 2015; Lundqvist, m.fl., 2011; Sjöberg m.fl., 2016). Dock finns det även exempel på intensivundervisning som bedrivits i mindre grupper och som visat goda resultat (Fuchs m.fl., 2008; Koponen m.fl., 2018).
Metod
Allmänt om metod
Traditionellt sett kan de vetenskapliga metoderna i ett första skede delas upp utifrån antingen en kvantitativ ansats eller en kvalitativ ansats, där det är forskningsfrågan som styr valet mellan dessa (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2018).
Inom den kvantitativa forskningen eftersträvas förklaringar och objektivitet, och forskaren genomför mätningar med standardiserade instrument. Resultaten ska kunna generaliseras och replikeras, och presenteras ofta i form av tabeller eller diagram. Bland andra Stukát (2014) menar att den kvantitativa ansatsen tidigare var dominerande inom det
utbildningsvetenskapliga området, men att den kvalitativa undersökningen tagit över under de senaste decennierna.
Den kvalitativa forskningen kännetecknas av ett tolkande synsätt; forskaren vill förstå individens upplevelser och utifrån det tolka de resultat som framkommit. Till skillnad från den kvantitativa forskningen, som bygger på kvantifiering, så ligger vikten vid den kvalitativa forskningen på orden som används (Bryman, 2018).
En kombination av dessa båda forskningsansatser kan många gånger vara att förorda, då kvantitativa data kan hjälpa oss att se vad vi inte kan se med kvalitativa data, och vice versa (Edling & Hedström, 2003). Liknande tankegångar framhåller även Bryman (2018), som menar att flermetodsforskning kan ge en bättre förståelse av en företeelse än om enbart en metod hade använts. Samtidigt varnar han för att se flermetodsforskning som en
universallösning, då den inte nödvändigtvis är överlägsen en ”enmetodsforskning” (Bryman, 2018).
Bryman (a.a.) tar också upp en vanlig form av forskningsdesign som utgörs av experimentella undersökningar, och som kallas utvärderingsforskning eller
interventionsforskning. Interventionsforskning innebär som regel att en undersökningsgrupp utsätts för någon form av intervention, och att denna grupps resultat efter interventionen jämförs med en kontrollgrupps, vars situation inte förändrats.
Metodval
Utifrån mitt syfte att undersöka hur intensivundervisning med färdighetsträning i mindre grupper inverkar på några elevers utveckling och automatisering av huvudräkning i talområdet 0-20, var tanken inledningsvis att genomföra en studie med enbart kvantitativ ansats, då min avsikt var att jämföra statistisk data.Den statistiska undersökningen bygger enligt Lantz (2017) på två grundläggande typer av studier, nämligen observationsstudie och experimentell studie. En observationsstudie ansågs inte vara tillämpbar i detta fall, men däremot sågs fördelar med den experimentella studien. I en experimentell studie genomförs först en mätning av det som ska studeras, varefter en förändring genomförs. Därefter genomförs en ny mätning för att se om förändringen påverkade resultatet.
Inom pedagogiken är renodlade experiment dock ingen vanligt använd metodik (Stukát, 2014), och denna studie saknar några av de drag som är utmärkande för den experimentella designen, däribland den slumpmässiga fördelningen av urvalet (Bryman, 2018). Däremot uppfyller studien de krav som ställs på en kvasiexperimentell design, vilken ska innehålla någon form av intervention, och även någon form av jämförelse (Eriksson Barajas m.fl., 2018). Denna studie kan dessutom sägas vara jämförande på två olika sätt; såväl över tid som mellan en undersökningsgrupp och en kontrollgrupp. Utifrån dessa kvasiexperimentella drag valde jag att tillämpa interventionsforskning som forskningsdesign i detta arbete.
I denna interventionsstudie har jag för avsikt att ge en mer fullständig bild av
undersökningen än vad en enda metod gör, varför jag har valt att kombinera olika metoder; det vill säga använda mig av metodtriangulering. Metodtriangulering kan användas för att täcka in olika infallsvinklar och tillföra undersökningen olika slags information (Eliasson, 2006). Även andra forskare, såsom exempelvis Magne Holme och Krohn Solvang (1997), menar att kvantitativa och kvalitativa angreppssätt med fördel kan kombineras i konkreta undersökningar.
Jag använder mig därför dels av den kvantitativa ansatsen, i form av en interventionsstudie med jämförande siffror. Men även den kvalitativa ansatsen används, genom att siffrorna analyseras kvalitativt, och sätts i ett sammanhang utifrån noteringar, frågeformulär,
strukturerade samtal och intervjuer. Detta tillvägagångssätt stöds av Cuadra (2012) som menar att man kan - och bör - närma sig undersökningsmaterialet med olika metoder gällande såväl
måste förstås i en kontext (Cuadra, 2012). Liknande tankegångar har Stukát (2014) som anser att den kvasiexperimentella designen behöver ”…kompletteras med observation och
kvalitativa analyser som mer ingående belyser olika ”kringfaktorer” som kan påverka utfallet av försöksundervisningen.” (Stukát, 2014, s. 62).
Undersökningsgrupp
Studien har genomförts på en F-3-skola i en mindre svensk kommun. Skolan har en heterogen sammansättning av elever, både vad gäller socioekonomiska förutsättningar och tiden
eleverna varit bosatta i Sverige. Urvalet till de mindre undervisningsgrupperna gjordes bland eleverna i årskurs 2, i samråd med klasslärarna. De elever som initialt tillfrågades om att vara med i studien hade alla ett resultat under genomsnittet i klassen på studiens inledande förtest, samtidigt som vi även fokuserade på att eleverna som tillfrågades skulle ha möjlighet att tillgodogöra sig undervisningen. Både flickor och pojkar har ingått i undersökningsgruppen. Samtliga tillfrågade elever deltog i studien, varför det inte förekom något externt bortfall.
Såledesutgjordes undersökningsgruppen för denna studie av en ”tillgänglig grupp” (Patel & Davidsson, 2007) varför resultatet inte kan sägas gälla för andra grupper än den undersökta. Lantz (2017) benämner denna form av urval, där individerna väljs ut på subjektiv basis, som ett typiskt urval, och poängterar att detta urval förorsakar vetenskaplig problematik. För att möjliggöra en generalisering av resultatet hade urvalet varit tvungit att ske slumpmässigt (Lantz, 2017), vilket inte ansågs etiskt möjligt i denna studie (se nedan under Etiska perspektiv).
De elever som genomförde förtestet, men inte tillfrågades om att vara med i studien, kom istället att utgöra en kontrollgrupp, vilken bestod av 30 elever. Syftet med en kontrollgrupp är att kunna kontrollera att undersökningen undersöker det den ska, det vill säga att den har hög intern validitet. Denna kontrollgrupp fick således ingen intervention, men båda gruppernas resultat kom ändå att jämföras, vilket kan sägas känneteckna den kvasiexperimentella designen, såsom den beskrivs av Eriksson Barajas m.fl. (2018), och interventionsdesignen, såsom den beskrivs av Bryman (2018).
Genomförande
De tidsmässiga aspekterna för de olika metoderna av datainsamling har illustrerats i Figur 1 nedan.
Figur 1. Översikt över datainsamlingsmetodernas tidsmässiga genomförande.
Inledningsvis skedde samråd med aktuell skolas rektor och med de båda klasslärare som undervisar i klass 2 på skolan. Dessa ställde sig positiva till studien och dess syfte. Initialt genomfördes ett förtest i form av Skolverkets Diamantdiagnoser AG1 och AG2 (Skolverket, 2013), vilka bifogas (se bilaga 1 och 2). Diagnoserna ingår i aktuell kommuns handlingsplan sedan tidigare, och avser additioner och subtraktioner inom talområdet 1-9 (AG1), samt additioner och subtraktioner inom talområdet 10-19, utan tiotalsövergång (AG2). Båda diagnoserna genomfördes på tid; AG1 avbröts efter 3 minuter och AG2 avbröts efter 4 minuter. Diagnoserna genomfördes i helklass under ordinarie matematiklektion, och besvarades av samtliga elever den aktuella dagen.
Utifrån resultaten på diagnoserna valdes åtta elever ut i samråd med klasslärarna, fyra från vardera klass. Dessa åtta elevers resultat låg under klassernas genomsnittsresultat på
diagnoserna, och klasslärarna bedömde att de var i behov av att utveckla sina
huvudräkningsstrategier. Elevernas vårdnadshavare kontaktades och tillfrågades om intresse fanns av att vara med i studien, och samtliga vårdnadshavare var positivt inställda. Samma fråga ställdes därefter i enskildhet till eleverna, vilka också ställde sig positiva. Ett missivbrev (se bilaga 3) utformades därpå, och skickades hem till berörda vårdnadshavare för underskrift. Därefter vidtog interventionen i form av intensivundervisning i två mindre grupper om fyra elever vardera. Undervisningen för varje grupp ägde rum vid 12 tillfällen under fyra veckors tid. Varje undervisningstillfälle varade i cirka 15 - 20 minuter. Detta
intensivundervisningsupplägg är unikt för denna studie, och ska ej förväxlas med andra
Vecka 3 Vecka 4-7 Fredag v 7 Vecka 9 Vecka 10 Fredag v 11 Förtest AG1+AG2 Undervisning 12 ggr á cirka 15 minuter Eftertest AG1+AG2 Frågeformulär & strukturerade samtal, elever Intervjuer klasslärare Uppföljande test AG1+AG2
studiers intensivundervisning (se Definition av centrala begrepp ovan). Vilken av de båda grupperna som undervisades först varierade, med tanken att genom feedback och reflektion kunna möjliggöra konstruktiva förbättringar till efterföljande lektion.
Lektionerna ägde rum under ordinarie skoltid, men i första hand på tid som ej var avsatt för matematikundervisning, såsom till exempel högläsning och eget arbete. Eleverna fick således sammanlagt cirka 3 timmar extra undervisningstid inom ämnet matematik under dessa veckor. Inga hemuppgifter gavs, men eleverna fick ta hem några av spelen som spelades, och uppmuntrades även i övrigt att träna på det som gåtts igenom på lektionerna.
Inledningsvis var tanken att till stora delar arbeta utefter det intensivundervisningsupplägg som Hansson (2015) och Sterner (2012) förespråkar. Denna intensivundervisning bygger på följande fyra faser: laborativt, representativt, abstrakt och färdighetsträning. Men det stod snart klart att eleverna hade fått god kunskap avseende de första två faserna i sin ordinarie undervisning, varför fokus istället lades vid den abstrakta fasen, som innebär att eleven ska kunna använda ett matematiskt symbolspråk, samt vid fasen färdighetsträning. Olika beräkningsstrategier diskuterades och prövades, tills alla elever verkade förstå syftet och nyttan med dem.
Att förstå något innebär dock enligt Löwing (2010) inte per automatik att behärska detsamma, utan det krävs färdighetsträning för att kunna använda strategin med flyt. Själva färdighetsträningen skedde företrädesvis parvis med hjälp av kortlekar, sifferkort, tärningar, winnetkakort och olika spel (se bilaga 4) som även sedan tidigare funnits tillgängliga på skolan . Variation och spel förespråkas av Heiberg Solem, Alseth och Nordberg (2011). De sista två veckorna fick eleverna även vid några tillfällen öva enskilt, och då i form av i förväg utvalda övningar i den nätbaserade matematiktjänsten Nomp på sina Ipads. Dessa olika verktyg för lärande kan ses som exempel på samspel med artefakter som är ett utmärkande drag i den sociokulturella utvecklingen (Säljö, 2014).
Undervisningens upplägg lektion för lektion finns kortfattat beskrivet i bilaga (se bilaga 5), men sammanfattningsvis var flertalet lektioner uppbyggda på följande vis:
1) en snabb repetition av vad som diskuterades förra gången
2) genomgång av ett specifikt tal eller talområde, eller av alternativa sätt att tänka 3) gemensamma diskussioner och förklaringssätt
Generellt kan sägas att fokus vid de inledande lektionerna främst låg på punkterna 2 och 3, medan det vid de sista lektionerna främst fokuserades på punkterna 1 och 4. Vid samtliga undervisningstillfällen uppmuntrades eleverna att resonera, försöka se sammanhang och dra slutsatser. Detta, förmågan att se något nytt som en variant av något redan bekant, beskrivs av Säljö (2014) som en av de grundläggande principerna för hur lärande kan beskrivas i ett sociokulturellt perspektiv. Efter de enskilda lektionernas slut gjordes kontinuerliga noteringar och reflektioner kring observationer som gjorts i undersökningsgruppen. Dessa reflektioner låg sedan som grund för kommande lektionsupplägg.
Då de 12 lektionerna var genomförda vidtog eftertestet. Inför detta skickades ett
missivbrev ut till samtliga vårdnadshavare i klasserna, med möjlighet att avböja medverkan i kontrollgruppen, vars primära syfte var att generera ett jämförande genomsnittligt resultat (se bilaga 6). Eftertestet genomfördes under så snarlika förhållanden som gällande vid förtestet; det vill säga i helklass, under ordinarie matematiklektion, och under samma tidspremisser. Elever som var frånvarande den aktuella dagen fick genomföra eftertestet när de var åter i skolan.
Två veckor efter interventionens slut fick de åtta elever som deltagit i undervisningen besvara frågor i ett frågeformulär (se bilaga 7). Syftet med frågeformuläret var att ta reda på hur eleverna upplevde intensivundervisningen, huruvida de tyckte sig kunna se effekter av den samt vilka färdighetsträningsmetoder de föredrog. Frågorna besvarades i de grupper och i det grupprum som intensivundervisningen bedrivits i. Eleverna fick frågorna upplästa för sig. I anslutning till frågeformuläret genomfördes därefter strukturerade samtal med eleverna angående övriga upplevelser de ville dela med sig av kring undervisningen. Strukturerade samtal går enligt Doverborg och Pramling Samuelsson (2000) ut på att leda barns
uppmärksamhet och tänkande mot ett specifikt innehåll för att få dem att tänka och reflektera omkring just detta. Dessa samtal spelades in med Ipad. Eleverna fick också information om att de kunde återkomma enskilt med individuella tankar och funderingar vid senare tillfälle, om de föredrog det. Ingen av eleverna återkom dock.
Kontinuerligt såväl under interventionen som efteråt skedde diskussioner med de båda klasslärarna. Cirka tre veckor efter interventionens slut genomfördes också intervjuermed de båda klasslärarna. Den intervjuform som valdes var den semistrukturerade intervjun (Bryman, 2018), där övergripande frågor fanns formulerade i ett frågeschema (se bilaga 8), men där
svaren följdes upp av följdfrågor. Intervjuerna skedde i respektive klasslärares klassrum, i direkt anslutning till att klasserna slutat för dagen. Intervjuerna spelades in med hjälp av Iphone; efter transkribering raderades de. Syftet med intervjuerna var att få en inblick i hur eleverna tidigare tillägnat sig kunskaper i talområdet 0-20 i klassrumsundervisningen, samt att undersöka om lärarna kunde bekräfta de resultat som framkom på såväl tester som i elevernas frågeformulär.
En månad efter interventionens slut genomfördes ett uppföljande test med samtliga elever för att se eventuella långsiktiga effekter av undervisningen. Detta uppföljande test
genomfördes under så snarlika förhållanden som gällande vid föregående två test; det vill säga i helklass, under ordinarie matematiklektion, och under samma tidspremisser. Elever som var frånvarande den aktuella dagen fick genomföra det uppföljande testet när de var åter i skolan.
Resultat och analys
Det insamlade numeriska materialet i denna studie utgörs av elevernas resultat på diagnoserna AG1 och AG2, vilka har utformats på uppdrag av Skolverket (2013). Trots diagnosernas brister, såsom att de inte säger något om hur eleverna tänker eller om hur de löser uppgiften och om vilka strategier de använder, ansågs de positiva sidorna av att använda ett redan existerande mätinstrument överväga.
För att systematisera och bearbeta det insamlade materialet i denna studie används en deskriptiv statistik. Den deskriptiva statistiken tillämpas för att i siffror ge en beskrivning av den insamlade informationen, och på så sätt belysa forskningsfrågan (Patel & Davidson, 2007). För att presentera datamaterialet på ett överskådligt och lättillgängligt sätt används bland annat stapeldiagram i denna studie. Enligt Lantz (2017) är stapeldiagram att föredra då de tydligt visar läsaren att ordningen mellan kategorierna har betydelse. I denna studie består kategorierna av de olika testtillfällena; förtestet benämns testtillfälle 1 (T1), eftertestet utgör testtillfälle 2 (T2), medan det uppföljande testet utgör testtillfälle 3 (T3). Datamaterialets olika aritmetiska medelvärden (m) har räknats ut med en decimal angiven. Undersökningsgruppen består av 8 elever (n=8), medan kontrollgruppen utgörs av 30 elever (n=30).
Frågeformuläret besvarades av samtliga åtta elever i undersökningsgruppen. Detta har sedan utgjort en del i analysen av elevernas resultat, tillsammans med de noteringar som gjorts efter respektive lektion, och det som framkommit under de strukturerade samtalen med eleverna och under intervjuerna med klasslärarna.
Reliabilitet och validitet
Studien har eftersträvat en så hög grad av reliabilitet och validitet som förutsättningarna medgivit. Genom användandet av Skolverkets färdiga diagnoser undveks egenkonstruerade datainsamlingsinstrument, vilka annars kan orsaka problem avseende validiteten då vi inte vet att vi får information om just det vi vill (Patel & Davidson, 2007). Även reliabiliteten får anses stärkt genom användandet av dessa diagnoser, då de är av Skolverket utprövade mätinstrument.
Som tidigare nämnts förekom inget externt bortfall vid urvalet till undersökningsgruppen. Dock förekom interna bortfall i form av att elever var frånvarande vid vissa
undervisningstillfällen. Detta har sannolikt påverkat reliabiliteten. Likaså finns en
medvetenhet om att studiens reliabilitet kan ha påverkats av andra slumpmässiga faktorer såsom exempelvis av yttre störningar vid testtillfällena, och av elevernas dagsform (Patel & Davidson, 2007). Dock menar Bryman (2018) att det faktum att studien är jämförande, där testning, mognad och mäteffekter (tidpunkt, störningsmoment m. m.) påverkat såväl
undersökningsgrupp som kontrollgrupp lika, innebär att studien har en hög intern validitet. Å andra sidan har undersökningsgruppen varit liten, och bland andra Bell (2000) menar att även om den experimentella metoden gör det möjligt att dra slutsatser om orsak och verkan, så behövs det stora undersökningsgrupper för att kunna ha kontroll över den stora variationen avseende mänskligt beteende. För att kunna generalisera måste således stor vikt läggas på att försäkra sig om att alla tänkbara orsaker har tagits i beaktande, vilket inte har varit möjligt i denna studie. Studiens resultat är med andra ord unikt, och gäller endast den här undersökta gruppen. Dock menar exempelvis Johansson och Svedner (2006) att det finns en viss grund för generalisering i och med att studien är jämförande.
Slutligen bör även nämnas att det finns ytterligare en risk för att resultatet inte är korrekt, då det kan ha uppkommit bearbetningsfel i den fysiska hanteringen av datamaterialet (Lantz,
2017). Genom att alla elevers resultat räknats två gånger, samt att siffrorna som matats in i programmet Numbers har dubbelkollats, har riskerna dock minimerats.
Etiska perspektiv
Gällande de etiska perspektiven har studien haft för avsikt att följa de forskningsetiska riktlinjer som anges i Vetenskapsrådets publikation God forskningssed (Vetenskapsrådet, 2017). Således har undersökningsgruppen och dess vårdnadshavare erhållit information om studien och dess syfte såväl muntligt som skriftligt. Skriftligt samtycke har därefter inhämtats (se bilaga 3). Vad gäller kontrollgruppen har muntlig information om studien lämnats till eleverna, och skriftlig information lämnats till vårdnadshavarna (se bilaga 6). Här gjordes bedömningen att det räckte med att informera om möjlighet att avböja deltagande i studien. Vidare har en avidentifiering av undersökningens deltagare skett, i form av att de fått fiktiva namn; ingen enskild person i undersökningsgruppen ska således kunna identifieras.
Som tidigare nämnts har urvalet inte skett slumpmässigt, utan utifrån testresultat samt klasslärarnas bedömning av vilka elever som var i behov av att utveckla sina
huvudräkningsstrategier. Orsaken till detta urval är att det inte vore etiskt försvarbart att låta elever som redan behärskar dessa strategier få den extra undervisningstid som andra elever är i behov av. Däremot borde kanske fler elever fått möjlighet att delta i studien, vilket det inte fanns tidsmässiga förutsättningar för. Dock är avsikten, om interventionen visar sig
framgångsrik, att de elever på skolan som är i behov av liknande undervisning ska erbjudas det.
Resultat och analys
Nedan besvaras studiens båda preciserade frågeställningar. Inledningsvis presenteras
elevernas resultat på de båda diagnoserna AG1 och AG2 före och efter intensivundervisningen på gruppnivå, varvid en analys av intensivundervisningens effekt på gruppnivå tar vid.
Därefter presenteras elevernas resultat på de uppföljande test som gjordes en månad efter att intensivundervisningen upphört, även detta på gruppnivå och följt av en analys. Slutligen presenteras de enskilda elevernas resultat på testen, samt relevant fakta som framkommit utifrån frågeformulär och klasslärarintervjuer. Avslutningsvis sammanfattas och analyseras de individuella resultaten, bland annat med hjälp av undervisningsnoteringar och citat från eleverna.
Utvecklingen av elevernas automatisering av subtraktion och addition i
talområdet 0-20 under intensivundervisningsperioden
Undersökningsgruppen hade vid förtestet på diagnos AG1 (talområdet 1-9) sammanlagt 162 rätt, medan kontrollgruppen hade 839 rätt. Då undersöknings- gruppen bestod av 8 elever hamnade medelvärdet på 20,3 rätt. Motsvarande medelvärde för kontrollgruppens 30 elever hamnade på 28 rätt. Efter intensivunder- visningens slut fick undersökningsgruppen ett medel- värde på samma diagnos, AG1, på 27,6 rätt, medan kontrollgruppen fick 30,2 rätt i genomsnitt.
Se Tabell 1.
Tabell 1. Genomsnittligt antal rätt på förtest (T1) och eftertest (T2) på diagnos AG1 (max antal rätt 36) 0 5 10 15 20 25 30 35 T1 T2 Undersökningsgrupp Kontrollgrupp
Tabell 2 visar på ett liknande sätt antalet rätt för den andra diagnosen, AG2, vilken omfattar talområdet 10-19 utan tiotalsövergång. Här låg medelvärdet för undersökningsgruppen på förtestet på 14,4, medan det för kontrollgruppen låg på 28,2, det vill säga nästan dubbelt så mycket. Vid eftertestet fyra veckorsenare hade medelvärdena stigit till 25,9 respektive 32,1 rätt.
Som framgår av tabellerna 1 och 2 förbättrades båda gruppernas resultat från för- till eftertestet på såväl diagnos AG1 som AG2. Likaså minskade glappet mellan undersökningsgruppen och kontrollgruppen både vad gäller AG1 och AG2.
I Tabell 3 framgår differensen i siffror.
Tabell 3.
Resultat relaterat till elevgrupp, och resultatens differenser
Differensen mellan för- och eftertestet gällande AG1 var 7,3 fler rätt för undersökningsgruppen medan den endast var 2,2 fler rätt för kontrollgruppen.
Undersökningsgruppens resultat förbättrades således mer än tre gånger så mycket som kontrollgruppen. Även gällande den andra diagnosen, AG2, var skillnaden liknande; kontrollgruppens resultat förbättrades med 3,9 rätt medan undersökningsgruppens förbättrades med nästan tre gånger mer, 11,5 rätt.
Att även kontrollgruppen förbättrade sina resultat antas bero på att färdighetsträning även till viss del bedrivits parallellt i klassrummet under intensivträningsperioden, då båda
klasslärarna är av åsikten att färdighetsträning är ett ”måste”. Dock har graden av
färdighetsträning varierat mellan klasserna, då den ena klassläraren lagt extra fokus vid just
Elevgrupp Förtest AG1 Eftertest AG1
Differens
AG1 Förtest AG2 Eftertest AG2
Differens AG2 Undersökningsgrupp 20,3 27,6 7,3 14,4 25,9 11,5 Kontrollgrupp 28 30,2 2,2 28,2 32,1 3,9 Tabell 2. Genomsnittligt antal rätt på förtest (T1) och eftertest (T2) på diagnos AG2 (max antal rätt 48) 0 5 10 15 20 25 30 35 T1 T2 Undersökningsgrupp Kontrollgrupp
automatisering, bland annat med stöd av matematiktjänsten Nomp som även sporadiskt getts som hemuppgift.
Trots att undersökningsunderlaget är litet och resultatet ej går att generalisera, anser jag därför att skillnaden i denna studie, där undersökningsgruppens resultat förbättrades tre gånger mer under intensivundervisningsperioden än vad kontrollgruppens resultat gjorde under samma tidsperiod, är tillräckligt stor för att slå fast att interventionen gav positiva effekter på elevernas automatisering av addition och subtraktion inom talområdet 0-20. Förutom ovanstående siffror som stödjer detta påstående så bekräftas det också av de båda klasslärarna som upplevt positiva effekter hos flera av eleverna. Samtliga åtta elever i undersökningsgruppen tyckte själva också att de blivit bättre på att räkna under
intensivundervisningens gång (se bilaga 9). Det förefaller också logiskt utifrån att det är större chans att bli bra på något ju mer man övar, vilket Lundberg och Sterner (2009) benämner TOT-principen, ”Time on task”.
Dock har ingen av eleverna i undersökningsgruppen ännu uppnått den grad av
automatisering som Crawford (u.å.) anger som mått. Och endast en av eleverna uppfyller vid ett av testen Skolverkets (2013) riktlinjer, där det för diagnosen AG1 anges att ”För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 2-3 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid och t.ex. räknar på fingrarna saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter.” (Skolverket, 2013, s. 16). För diagnosen AG2 anges istället tidsramen 3-4 minuter. Att inte fler av eleverna behärskar uppgifterna inom den angivna tidsramen antas bland annat bero på interventionens längd; om
intensivundervisningen pågått under längre tid hade sannolikheten för att eleverna skulle uppnå automatisering ökat. Dessutom är eleverna i undersökningsgruppen inte nio år fyllda ännu, vilket Funderud m.fl. (2018) menar är den genomsnittliga ålder då hämtningsstrategin börjar användas som den primära strategin för addition och subtraktion inom talområdet 0-20. Men i likhet med tidigare studier kring intensivundervisning i matematik (Hall m.fl., 2015; Hansson, 2015; Lundqvist m.fl., 2011; Sjöberg m.fl., 2016), som dock bedrivits en-till-en, kan ändå konstateras att även denna interventionsstudie, som genomförts på kortare tid och i mindre grupper, visat sig vara framgångsrik. Möjliga orsaker till interventionsstudiens positiva resultat kan stå att finna i just det faktum att intensivundervisningen genomförts i mindre grupper, där avsikten bland annat varit att eleverna skulle kommunicera och lära av
varandra. Lärandet har således skett i det sociala sammanhang som är själva grundtanken i det sociokulturella perspektivet (Claesson, 2006; Nilholm, 2018; Vygotsky, 1978).
Vidare kan det intensivundervisningsupplägg som använts, och som Hansson (2015) och Sterner (2012) förespråkar, ha bidragit till resultatet. Då undervisningen byggts på de fyra på varandra följande faserna laborativt, representativt, abstrakt och färdighetsträning finns en koppling till Vygotskys tankar om den proximala utvecklingszonen; eleverna har stegvis arbetat och diskuterat i grupp och tillsammans med en lärare som kan guida dem. Genom medveten kommunikation och interaktion menar bland andra Samuelsson (2008) att undervisningen styrs till rätt nivå.
Resultat på de uppföljande testen en månad senare
Vad gäller studiens andra preciserade frågeställning om huruvida denna eventuella utveckling isåfall står sig efter en månad framkom följande resultat
presenterade i Tabell 4 och Tabell 5. Här kan vi se att genomsnittsresultatet för undersökningsgruppen som helhet står sig även efter en månad, men att gruppens positiva utveckling i förhållande till kontrollgruppens inte har fortsatt efter interventionens slut. Detta är i likhet med vad Koponen m.fl. (2018) upptäckte i sin studie; eleverna behöll den uppnådda nivån under den fem månader långa
uppföljningstiden, men fortsatte inte att utveckla sitt flyt vid träningsprogrammets slut.
Det är också i likhet med vad Hansson (2015) observerat i sin rapport; några av eleverna som deltagit i
intensivundervisningen en-till-en tappar en del av den matematikkunskap de lärt sig när en tid förflutet efter avslutad studie. Detta menar hon skulle kunna bero på brister i samverkan mellan den ordinarie undervisningen och intensivundervisningen. Även Fuchs m.fl. (2008) anser
Tabell 5.
Genomsnittligt antal rätt på förtest (T1), eftertest (T2) och uppföljande test (T3) av diagnosen AG2
0 5 10 15 20 25 30 35 Tabell 4.
Genomsnittligt antal rätt på förtest (T1), eftertest (T2) och uppföljande test (T3) av diagnosen AG1
0 5 10 15 20 25 30 35 Undersökningsgrupp Kontrollgrupp T1 T2 T3
att elevernas resultat blir ännu bättre då intensivundervisningen samverkar med den ordinarie klassundervisningen. I denna studie har avsikten dock inte varit att aktivt samarbeta med klassundervisningen, men det förefaller rimligt att anta att ett sådant samarbete hade gynnat ett långsiktigt positivt och bestående resultat. Likaså; om de metoder och strategier som eleverna tränat på i intensivundervisningen inte kommer till kontinuerlig användning förefaller det troligt att de till viss del glöms bort efterhand.
De enskilda eleverna och deras resultat
Då vi tittar närmare på de enskilda eleverna som deltog i studien så uppvisar deras resultat stora skillnader (se bilaga 10). Både flickor och pojkar deltog i undersökningsgruppen, men genusaspekten har inte tagits i beaktande i studien. Elevernas namn är fingerade, och det könsneutrala pronomenet hen används konsekvent då eleverna avses.
I studien förekom interna bortfall under lektionerna 7-10, då några av eleverna var frånvarande. En elev, Tam, var frånvarande under 3 lektioner, medan fyra elever, Jim, Kim, Sam och Wam, var frånvarande vid en lektion vardera. Pim, Tim och Pam var närvarande under samtliga lektioner.
Jim
Enligt Jims resultat på såväl diagnos AG1 som AG2, se Tabell 7, gjorde hen stora framsteg under intensivundervisningsperioden. Den positiva utvecklingen avtar något en månad efter
undervisningens slut, men resultaten vid de uppföljande testen är ändå markant bättre än vid förtesten. Enligt frågeformuläret tycker Jim också själv att hen blivit mycket bättre på att räkna. Även enligt klassläraren märks det att Jim blivit säkrare på att räkna, men klassläraren poängterar framförallt att Jims själv-
förtroende tycks ha stärkts, då hen numera räcker upp handen på matematiklektionerna.
Tabell 7. Jims resultat
0 10 20 30 40 AG1 AG2 T1 T2 T3
Kim
Sett utifrån resultaten på testen, se Tabell 8, utvecklades inte Kims automatisering avseende talområde 1-9 nämnvärt under
intensivundervisningsperioden. Däremot gjorde hen större
framsteg avseende talområde 10-19. Kim tycker själv att hen blivit mycket bättre på att räkna, och säger att ”jag kan dom här talen nu”. Klassläraren säger sig inte ha upplevt någon effekt av intensivundervisningen i Kims fall, och ser inte heller någon skillnad i klassrummet.
Pim
Pims resultat på testen, se Tabell 9, visar på att
intensivundervisningen haft stor effekt, vilket Pim själv också anser då hen uttrycker att hen blivit såväl mycket bättre som snabbare på att räkna. Klassläraren bekräftar vid intervjun att Pim gjort stora framsteg och berättar att hen uttryckt ”jag kommer inte ihåg när jag inte kunde” i samband med att de nyligen
färdighetstränat i klassrummet.
Tim
Enligt Tims resultat, se Tabell 10, har intensivundervisningen endast haft en mindre effekt på hens utveckling. Däremot är hen den enda i undersökningsgruppen som fått bättre resultat på båda de uppföljande testen än på eftertesten, vilket kan tyda på att Tims resultat är mer bestående över tid.Tim tycker själv att hen blivit bättre på att räkna, och även klassläraren tycker att Tim gått framåt, och nämner att hen samma dag under matematiklektionen sagt ”det är ju lätt”.
Tabell 8. Kims resultat
0 10 20 30 40 AG1 AG2 T1 T2 T3
Tabell 9. Pims resultat
0 10 20 30 40 AG1 AG2 T1 T2 T3
Tabell 10. Tims resultat
0 10 20 30 40 AG1 AG2 T1 T2 T3
Pam
I Tabell 11 visas Pams resultat på testen, som tyder på att hen haft god nytta av intensivundervisningen. Pam anser själv att hen blivit mycket bättre och mycket snabbare på att räkna. Detta kan dock inte bekräftas av klassläraren, som inte tycker sig ha märkt någon direkt skillnad i klassrummet.
Sam
Enligt Sams resultat, se Tabell 12, är effekterna av intensiv-undervisningen blygsamma, framförallt vad gäller talområde 1-9, diagnos AG1. Progressionen är tydligare vad gäller talområde 10-19. Sam uppger dock själv att hen blivit lite bättre och snabbare på att räkna, vilket även klassläraren bekräftar sig ha märkt.
Tam
Tams resultat på testen, se Tabell 13, visar inga synliga effekter av intensivundervisningen. Eventuellt kan detta till viss del bero på att hen var frånvarande under tre undervisningstillfällen mot slutet av perioden. Dock tycker Tam själv att hen blivit mycket bättre och snabbare på att räkna, medan klassläraren inte ser någon skillnad före/efter interventionen.
Wam
Wams resultat, Tabell 14, har förbättrats under interventionen, främst avseende talområde 10-19. Hen tycker själv också att hen blivit mycket snabbare och mycket bättre på att räkna, vilket även till viss del bekräftas av klassläraren som tycker sig märka att Wam nu kan fokusera lite bättre ibland under
matematiklektionerna.
Tabell 11. Pams resultat
0 10 20 30 40 AG1 AG2 T1 T2 T3
Tabell 12. Sams resultat
0 10 20 30 40 AG1 AG2 T1 T2 T3
Tabell 13. Tams resultat
0 10 20 30 40 AG1 AG2 T1 T2 T3
Tabell 14. Wams resultat
0 10 20 30 40 AG1 AG2 T1 T2 T3
Sammanfattning och analys av de individuella resultaten
Sammanfattningsvis ökade alla elever i undersökningsgruppen sina resultat från förtestet (T1), innan interventionen, till eftertestet (T2), efter interventionen. Spridningen på ökningen var dock stor. Den elev som hade lägst ökning av sitt resultat, Tam, ökade med ett rätt på diagnosen AG1, medan Pim, som ökade mest, ökade sitt resultat på AG2 med 23 rätt, vilket innebär en spridning på 22 rätt. Sålunda bedöms intensivundervisningen ha inverkat på elevernas utveckling och automatisering av addition och subtraktion i talområdet 0-20 i varierande grad.
Spridningsmåttet vad gäller elevernas reultat på det uppföljande testet (T3) en månad senare, i jämförelse med eftertestet (T2), var inte lika stor. Tre elever (Kim, Pam och Wam) minskade vardera med fyra rätt på diagnos AG2, medan Sam på samma diagnos ökade sitt resultat med sex rätt. Detta innebär en spridning på tio rätt.
Det faktum att bara fyra av eleverna tyckte att de lärt sig räkna bättre genom att prata (se bilaga 9) ställde jag mig frågande till i det efterföljande samtalet, varvid jag fick svaren ”jag gillar inte att prata” och ”om man inte kan så ska man ju inte luras”. Men sju av de åtta eleverna uppger att de lärt sig genom att lyssna. En av eleverna säger dessutom spontant i samtalet efteråt att ”det var det bästa”. Detta tyder på att det sociokulturella perspektivet varit bärande på så sätt att språket haft en framträdande roll i elevernas kunskapsinhämtning; de har approprierat kunskaper från såväl varandra som från läraren. Kommunikationen har således föregått tänkandet.
I början av intensivundervisningen noterades att några av eleverna frekvent använde sig av sina fingrar vid beräkningar. Efterhand som nya strategier diskuterades och prövades
minskade fingeranvändningen. En av eleverna uppgav dock i samtalet efteråt att hen behöll fingerstrategin som den strategi hen tog till först då hen inte visste svaret på beräkningen direkt. Enligt Crawford (u.å.) kan elever som räknar på fingrarna bli så pass duktiga på denna strategi att de kan hinna upp till 20 uppgifter per minut, men Löwing (2012) menar att denna mindre lämpliga strategi inte duger för att generalisera då talområdet blir större.
Två av eleverna menar att de ”kan de här talen nu, men inte minus lika bra”.Värt att notera i samband med detta uttalande är att den allra sista lektionsreflektionen som gjordes av mig under interventionen, vilken alltså skrevs ner efter undervisningstillfälle 12, lyder
