Subitisering – vad är det?
Subitiseringsförmågans innebörd och potential för
elevers övriga matematikutveckling
KURS:Självständigt arbete för grundlärare F-3/4-6, 15 hp
PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans 1-3 FÖRFATTARE: Melina Duzel & Julia Olsson
JÖNKÖPING UNIVERSITY Kurs: Självständigt arbete 15hp School of Education and Communication Program: Grundlärarprogrammet F-3
Termin: VT 20
SAMMANFATTNING
___________________________________________________________________________ Melina Duzel & Julia Olsson
Subitisering – Vad är det?
Subitiseringsförmågans innebörd och potential för elevers övriga matematikutveckling.
Subitizing – What is it?
The meaning and potential of subitizing ability for students’ other mathematics development. Antal sidor: 22 ___________________________________________________________________________
Subitisering är en förmåga som innebär att en individ kan snabbt uppfatta en liten grupp av föremål utan att räkna den. Det är en medfödd förmåga som går att träna och på så vis
utveckla. Subitisering är däremot en komplex förmåga som skiljer sig individer emellan, men som är olika väl utvecklad. Det är också komplext på sådant vis att dess beskrivning och innebörd skiljer sig forskare emellan. Syftet med denna studie är således att undersöka hur matematikdidaktisk forskning beskriver förmågan samt om förmågan har någon verkan på annan matematikutveckling. Metoden för analysen är en genomförd litteraturstudie där internationell forskning undersökts. Materialet som använts har granskats genom noggrann läsning och komparativ analys.
Det material som analyserats pekar på att subitiseringen är en komplex förmåga. Det indikerar att förmågans två delar – perceptuell och konceptuell – också är djupare och mer komplex än vad forskare tidigare trott. Resultatet visar att subitisering har en positiv verkan på en rad olika matematiska färdigheter, som exempelvis kardinalitet. Litteraturstudien påvisar också att Sverige behöver mer forskning inom området då det använda materialet uteslutande varit internationell forskning.
___________________________________________________________________________ Sökord: subitisering, matematikutveckling, kardinalitet, konceptuell subitisering, perceptuell subitisering.
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 1
2 Syfte och frågeställningar ... 2
3 Bakgrund ... 3
3.1 Subitisering ... 3
3.2 Antalsuppfattning ... 3
3.3 Styrdokument ... 5
4 Metod ... 6
4.1 Litteratursökning ... 6
4.2 Urval ... 8
4.3 Materialanalys ... 10
5 Resultat ... 11
5.1.1 Subitisering – en medfödd förmåga ... 11
5.1.2 Perceptuell och konceptuell subitisering ... 12
5.1.3 Aspekter av subitisering ... 13
5.2 Varför är subitisering viktig? ... 15
6. Diskussion ... 17
6.1 Metoddiskussion ... 17
6.2 Resultatdiskussion ... 18
6.2.1 Komplexitet i begreppet ... 18
6.2.2 Subitiseringens utvecklingspotential i andra matematikfärdigheter .. 20
6.2.3 Vidare forskningsfrågor ... 21
Referenslista ... 23
Bilaga
1 Inledning
Subitisering är en del av matematiken som fångade vårt intresse i den inledande
matematikkursen i lärarutbildningen. Vår litteraturstudie har som syfte att belysa begreppets subitiserings innebörd och om subitiseringsförmågan har någon positiv verkan på annan matematikutveckling. Subitisering är enligt Sayers, Andrews och Boistrup (2016, s. 1) en förmåga att kunna se ett antal föremål utan att räkna.
Vi undrar om en utvecklad subitiseringsförmåga kan ha en positiv effekt på andra matematikfärdigheter. Lundberg och Sterner (2009, s. 72) belyser att för att en elev ska klara kravet för godkännande i matematikämnet behövs det förutsättningar att eleven besitter god läsförståelse och inlärningsförmåga samt välutvecklade matematiska förmågor. Enligt Ekeblad (1990, s. 25) är subitiseringsförmågan en grundsten för att utveckla andra förmågor inom matematikämnet. Hon menar att förmågan att subitisera är en förutsättning för att barn ska utveckla förståelse för talbegrepp.
Begreppet subitisering står inte explicit med i Läroplanen för grundskolan samt för förskoleklassen och fritidshemmet – LGR 11 – (Skolverket, 2019a) och inte heller i
kommentarmaterialet. Det finns däremot i bedömningsstödet vars rubrik är just subitisering. Det är avstämningar som eleverna ska genomföra under sin skolgång (Skolverket, 2019b, s. 3), där man under både hösten och våren i årskurs 1 ska testas i sin subitiseringsförmåga med hjälp av en tärning.
Bakgrunden till denna idé kommer huvudsakligen från de erfarenheter vi fått från vår verksamhetsförlagda utbildning (VFU), men även från våra matematikkurser i utbildningen. Vi kunde se elever subitisera vid tärningsspel under vår VFU, utan vetskap att det var just subitisering de gjorde. Detta då de vid första blick på tärningen visste hur många steg de skulle flytta på brädet. Vår initiala tanke var att det helt enkelt var som ordbilder för eleverna, fast med symboler istället. Under matematikkurser har just subitisering lyfts i samband med antalsuppfattning. Under vår utbildning till grundlärare för förskoleklass till årkurs 3 upplever vi att vi fått en god grund i bland annat antalsuppfattning och övriga delar för att kunna lära ut i ämnet matematik.
2 Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie är att undersöka hur förmågan subitisering beskrivs i didaktisk forskning. Studien syftar även till att belysa subitisering i relation till barns
matematikutveckling. Syftet vill vi uppnå genom att besvara följande frågeställningar:
• Hur förklaras förmågan subitisering?
• På vilket sätt har subitiseringsförmågan någon påverkan på barns matematikutveckling?
3 Bakgrund
I detta avsnitt förklaras förmågan subitisering under rubriken subitisering (3.1).
Fortsättningsvis redogörs hur antalsuppfattning (3.2) hör samman med subitisering. Vidare lyfts fram hur styrdokumenten (3.3) behandlar det valda ämnet.
3.1 Subitisering
Först när forskningen började undersöka snabb antalsuppfattning blev begreppet subitisering den matematiska term som forskningen senare litade sig emot. Det har även gjorts studier för att förstå hur det går till när man uppfattar antal snabbt. Subitisering är enligt McIntosh (2017, s. 53, 56) en typ av antalsuppfattning. Han förklarar att många tror att detta är samma sak som en gissning men enligt honom bör det mer ses som en sort av logiskt tänkande. Även Ekeblad (1990, s.23) lyfter en studie som undersökte just detta. Forskarna till studien var inspirerade av det latinska språket och begreppet subitisering uppstod. Ordet subitisering har sitt ursprung i det latinska adjektivet subitus som betyder plötslig och det medeltida latinska
verbet subitare som betyder anlända plötsligt. Ändelsen -ize kommer från det grekiska språket.
Subitisering är en snabb uppskattning av ett antal föremål i en grupp utan att behöva räkna varje föremål för sig (Özdem och Olkun, 2019, s. 2).
3.2 Antalsuppfattning
Många vuxna tror att barn kan räkna och är problemlösare när barnen i själva verket enbart kan ramsräkna. Gelman och Gallistel (1986, s. 77, 79f, 86) syftar till att barn behöver vara medvetna om de fem principerna för att de ska kunna räkna, ange ett antal och lösa
problem. Dessa två forskare har namngett dessa fem principer.
En-till-en-korrespondens beskrivs som en princip som innebär att man förstår hur ett föremål tillhör ett annat, som en högersko tillhör en vänstersko. Ett barn kan skapa minnesbilder för
diverse parbildande objekt och situationer. Stabil ordning innebär att barnet börjar ramsräkna sina föremål. Det betyder att barnet kopplar samtliga föremål med ett tal.
Kardinaltalsprincipen, eller antalsprincipen, innebär att barn visar förståelse för att det sista räkneordet anger den totala mängden föremål som finns i den angivna mängden. Om ett barn ser en tärning med fyra prickar och räknar – ett, två, tre, fyra – och kan ge svaret
’’fyra’’ på frågan ’’Vad visar tärningen?’’ – utan någon omräkning – har barnet förstått principen. Abstraktionsprincipen går ut på att barnet förstår, oavsett föremålens färger eller former i mängden, att antalet är detsamma. Principen om godtycklig ordning betyder att barnet kan räkna antalet i mängden, oavsett i vilken ordning de kommer, men vet att de enbart kan räknas en gång.
För att en individ ska kunna utnyttja subitiseringsförmågan måste tal ha en kardinal innebörd (Björklund & Palmér, 2018, s. 68f). Författarna använder ett tärningsspel som exempel för att förtydliga. Författarna menar att barnet måste uppfatta hur två och tre tillsammans är fem på de två tärningarna, för att i sin tur kunna ta fem föremål i spelet. Det innebär att antalet 5 måste ha den kardinala innebörden för barnet. För ytterligare förtydligande menar författarna att sju kakor på ett fat är en helhet av de delar som denne uppfattat, vilket är till exempel tre kakor tillsammans med fyra kakor. Detta kan i sin tur kopplas vidare till Sayers (2016, s. 2) förklaring av konceptuell subitisering. Subitisering kan också anses vara en viktig aspekt när det kommer till att förstå tals kardinalitetsinnebörd (Björklund 2007, s. 45). Författaren menar att barn, i takt med den mentala utvecklingen, börjar urskilja delar i helheter. Genom att splittra ett antal föremål och sätta samman samma antal menar Ekdahl (2019, s. 23f) att man tydligt visar hur del- och helhetsrelationen fungerar för elever samtidigt som
subitiseringsförmågan tränas. För att skapa en utvecklad förståelse för addition och subtraktion bör eleverna få lärdom i del- och helhetsrelationen i tal.
För de allra flesta vuxna är självklart att större tal består av flera sammansatta enheter (Björklund, 2007, s. 41f). Det kan liknas som en mental föreställning av grupper av tio eller hundra till exempel. Däremot ser vuxna sällan mindre tal som en sammansättning av enheter, utan snarare ser talet fem som fem stycken av något. Det upplevs inte lika lätt som att
beskriva ett större tal, som exempelvis hundratre, menar författaren. Hundratre kan istället beskrivas som ’’hundra stycken och tre till’’. Vidare förklarar hon att barn som utvecklat en bättre förmåga i att förstå tal och antal samt svara på frågor som berör addition och
subtraktion, har gjort detta efter att ha tränat på att se mönster genom subitisering. Det innebär att barn instinktivt uppfattar hur många delar en särskild mängd består av. Björklund (2007, s. 46) beskriver även betydelsen av att omstrukturera och gruppera delar från en helhet – vilket kan kopplas till konceptuell subitisering. Den förmågan är av vikt för utvecklandet av förståelse för räkneprinciper och tal. Barn kan då uppleva hur mängder och tal också är relaterade till varandra och därefter förstå del- och helhetsrelationen.
3.3 Styrdokument
I matematikens kursplan i LGR 11 (Skolverket, 2019a, s. 55) nämns bland annat “...del av helhet och del av antal..” i det centrala innehållet som i sin tur anses vara en del inom
subitiseringen. Även om begreppet subitisering inte direkt nämns i läroplanen kan man koppla det till tal- och antalsuppfattning. I det centrala innehållet för förskoleklass (Skolverket, 2019a, s. 20) ska matematikundervisning ge eleverna möjligheten att uppnå grundläggande kunskaper om naturliga tal och deras egenskaper samt hur de används för att ange antal och ordning. Utifrån Skolverkets bedömningsstöd för lärare (Skolverket, 2019c, s. 5f, 11) framkom det att elever i årskurs 1 bör kunna uppskatta antal utan att behöva räkna –
subitisera. Syftet med bedömningen är att identifiera de elever som visar missuppfattningar inom olika områden i matematiken. Genom att identifiera dessa elever kan också lektioner planeras i relation med de utvecklingsområden som eleverna möjligtvis behöver extra
stöttning i. Eleverna ska befästa kunskap om antal för att kunna hantera olika uppgifter inom matematiken.
4 Metod
I detta avsnitt beskrivs genomförandet av informationssökningen under rubriken
litteratursökning (4.1). Det beskrivs även vilka sökord och databaser som använts. Urval (4.2) beskriver hur urvalsprocessen gått till. Underrubriken innefattar även inkluderings- och exkluderingskriterier för sökandet. Avslutningsvis kommer en materialanalys (4.3).
4.1 Litteratursökning
Litteratursökning genomfördes genom olika databaser; Primo, ERIC och JSTOR. Primo är en databas som innefattar olika artiklar, rapporter och böcker av
blandad karaktär. Eric är en databas som syftar mot till exempel pedagogiskt samt
psykologiskt inriktade artiklar, rapporter, avhandlingar. JSTOR är en databas vars innehåll är akademiska tidskrifter. Vi använde oss även av Google Scholar, men enbart som en databas där vi sökte efter redan funna artiklars fulltexter.
Till en början använde vi ord som vi trodde hade potential att ge många träffar, för att på så vis få en bättre överblick på hur mycket forskning och verk som gjorts inom ämnet. Vi
använde sökord som subitizing och subitising och som vi trodde blev det många träffar. När vi sedan applicerade ord som skulle kunna smalna ner antalet till artiklar vars syfte var att kunna svara på våra övriga frågeställningar fann vi en viss begränsning. Det var få artiklar vi fann som direkt och tydligt gav implikationer på att subitisering gynnar diverse
matematikfärdigheter, vilket var målet med denna litteraturstudie.
Figur 1 på s. 8 illustrerar hur en av många sökningar i databasen ERIC utfördes. Den visar hur antal träffar på särskilda sökord inklusive eventuella avgränsningar påverkar slutresultatet. Vi använde oss även av kedjesökning när vi fann artiklar som intresserade oss, för att i sin tur hitta ytterligare studier relevanta för vårt syfte. När vi fann artiklar av forskare som refererats till mycket av många andra forskare, ex. Douglas H Clements, har vi också gjort en
författarsökning. På så vis fann vi bland annat en artikel som i sin tur genom kedjesökning ledde till många fler artiklar som använts i litteraturstudien. Se figur 2 och 3 för redovisning av kedjesökning.
Subitizing 74 träffar
Lägger till AND ‘’children OR adolescents’’ 55 träffar
Peer revidewed samt academic journals 41 träffar
Lägger till cardinal* 12 träffar 2 träffar används i
arbetet
Figur 1: Ett exempel på flödesschema över sökning i databasen ERIC
Figur 2: Ett exempel på våra kedjesökningar
Figur 3: Ett exempel på våra kedjesökningar
Finner popular-vetenskaplig
artikel: Sayers, Andrew &
Boistrup (2016) Finner populär-vetenskaplig artikel: Clements (1999) Finner vetenskaplig artikel: Benoit, Lehalle &
Jouen (2004) Författarsök på Clements, D. H.: Subitizing: The Neglected Quantifier Macdonald, B. L., & Wilkins, J. L. M. (2016) Macdonald, B. L., & Wilkins, J. L. M. (2019) Özdem, S. & Olkun, S. (2019) Wang, M., Resnick, L. B., & Boozer, R. F. (1971) Yun, C., Havard, A., Farran, D.C., Lipsey, M.W., Bilbrey, C. & Hofer,
K.G. (2011)
Sökning i Google Sökord: subitizing
4.2 Urval
Vi inspirerades av Smart (Systematic Mapping and Analyses of Research Topographies) som är ett sätt för att underlätta att göra forskningsöversikter. Nilholm (2017, s. 88f) menar att forskningen mestadels bygger på det som själva forskarna finner vara av stor betydelse för det valda ämnet. Vidare lyfter han vikten av att få syn på olika uppfattningar inom ämnet. Som läsare kan ha egna åsikter och ståndpunkter men ska alltid förhålla sig objektivt för att få den mest korrekta och opartiska bilden av forskningen.
När det kommer till inkluderings- och/eller exkluderingskriterier skapades i början enbart ett exkluderingskriterium vilket var att artiklarna enbart fick vara på svenska eller engelska. Eftersom vi enbart var ute efter vetenskapliga artiklar till studien valdes i ERIC respektive PRIMO peer reviewed. I JSTOR valde vi academic journals. Det användes inte av någon typ av årsbegränsning på publikationsdatum då vi trodde att det eventuellt skulle begränsa för mycket.
Ett inkluderingskriterium var vid vissa sökningar att rubriken eller sammanfattningen skulle innehålla antingen subitizing eller subitising. För att gardera om resultatet var relevant till syftet gjordes ytterligare en kontroll i form av genomläsning. Detta innebar att titeln,
nyckelorden och sammanfattningen av respektive text lästes igenom noggrant. Om dessa tre aspekter ansågs relevanta lästes artikeln igenom och det mest relevanta stoffet
Tabell 1: Översikt över vetenskapliga artiklar som använts i litteraturstudien.
Författare
Titel
Publikationstyp
År
Jevons, W. S. The power of numerical discrimination Tidsskriftartikel 1871 Wang, M., Resnick, L. B., & Boozer, R. F. The sequence of development of some early mathematics behavior
Tidsskriftartikel 1971
Strauss, M. S. & Curtis, L. E. Infant perception of numerosity Tidsskriftartikel 1981 Klein, A. & Starkey, P. Universials in the
Development of Early Arithmic Cognition
Tidsskriftartikel 1988
Clements, D. H. Subitizing: What is it? Why teach it? Teaching children
mathematics
Tidsskriftsartikel 1999
Benoit, L., Lehalle, H., & Jouen, F.
Do young children acquire number words through subitizing or counting?
Tidsskriftartikel 2004
Bermejo, V., Morales, S., & de Osuna, J. G.
Supporting children’s development of cardinality
understanding
Tidsskriftartikel 2004
Desoete, A., Ceulemans, A., Roeyers, H.,
& Huylebroeck, A.
Subitizing or counting as possible screening variables for
learning?
Tidsskriftartikel 2009
Yun, C., Havard, A., Farran, D.C., Lipsey, M.W., Bilbrey, C., Hofer, K.G.
Subitizing and Mathematics Performance in Early
Childhood
Tidsskriftartikel 2011
Macdonald, B. L., & Wilkins, J. L. M.
Seven types of subitizing activity characterizing young
children’s mental activity
Tidsskriftartikel 2016
Clements D. H., Samara, J., & MacDonald, B. L.
Subitizing: The Neglected Quantifier
Antologi 2019 Macdonald, B. L., & Wilkins,
J. L.M.
Subitising activity relative to units construction: a case
study
Tidsskriftartikel 2019
Özdem, S. & Olkun, S.
Improving mathematics achievement via conceptual
subitizing skill training
4.3 Materialanalys
Litteratursökningen skedde individuellt och material som verkade vara relevant delades så att båda parter fick ta del av materialet. För att granska materialet använde vi matrisen översikt över analyserad litteratur (bilaga 1). I matrisen skrev vi bland annat artiklarnas syfte och resultat för att kunna få en överblick om dessa kunde hjälpa oss att besvara frågeställningarna. På så sätt kunde vi utesluta artiklar som inte var givande för vårt syfte eller frågeställningar. En del artiklar som vi fann var enbart sammanställningar utav andra forskares studier, där författarna jämförde, ifrågasatte eller stöttade med hjälp av andra artiklar och studier.
Samtliga artiklar behandlade begreppet subitisering och dess innebörd vilket i sin tur bara var relevant för frågeställning 1 i denna litteraturstudie. Alla artiklar lyfte dock inte någon
koppling mellan subitisering och övrig matematikutveckling utan hade mest fokus på att pröva förmågan. Dessa artiklar var då enbart lönsamma för vår första frågeställning. Efter en detaljerad granskning av artiklarna landade det i att 12 tidsskriftartiklar och 1 antologi skulle komma till användning för resultatdelen. För att fördjupa oss i litteraturen lästes alla valda artiklar igen. Detta skedde individuellt som följdes av en gemensam diskussion om hur vi tolkat innehållet och dess relevans.
5 Resultat
I resultatdelen presenteras hur det valda ämnet förklaras under rubriken vad är subitisering (5.1), subitisering – en medfödd förmåga (5.1.1), perceptuell och konceptuell subitisering (5.1.2) samt aspekter av subitisering (5.1.3). Ytterligare redogörs subitiseringens roll i barns matematikutveckling i rubriken vikten av subitisering (5.2.).
5.1 Vad är subitisering?
I detta avsnitt av resultatet kommer det med hjälp av matematikdidaktisk forskning sammanfattas hur subitiseringsförmågan beskrivs.
5.1.1 Subitisering – en medfödd förmåga
En del forskare har genom åren ägnat sig åt studier och undersökningar i syfte att konstatera eller förkasta idén om att subitisering är en medfödd förmåga. Många menar att subitisering är en medfödd förmåga medan andra menar att förmågan inte är medfödd och att den kan tränas med hjälp av olika övningar. En av de första studierna inom ämnet subitisering genomfördes av forskaren WS Jevons (1871, s. 281). Till en början undersökte han vad andra forskare hade kommit fram till. En del menade att gränsen för att subitisera ligger på antalet 4 och andra menade att gränsen för att subitisera är på antalet 6. Jevons själv tyckte att alla besitter förmågan att subitisera upp till antalet 6 men han menar även att processen är individuell och kan utvecklas genom träning. För att pröva sin teori gjorde han ett experiment och använde sig själv som försöksperson. Det visade sig att han hade tänkt rätt
gällande antalen 3 och 4. Antalet 6 lyckades han inte subitisera alls. Resultatet på hans egna experiment gick alltså emot hans första uppfattning om att subitisering kunde tränas.
Oberoende hur många gånger han upprepade experimentet blev han varken bättre eller sämre. Denna studie stödjer antagandet att subitisering är en medfödd förmåga, men enbart upp till antalet 4.
Strauss och Curtis (1981, s. 1151) gjorde en studie med spädbarn från tio till tolv månader. Dessa test gjordes genom att sätta upp bilder med olika antal prickar framför spädbarnen. Sedan slog forskarna på en trumma, varpå spädbarnen skulle se på den bild vars bild
matchade antalet slag på trumman. De allra yngsta spädbarnen kunde se skillnad på antalen 2 och 3 samt 3 och 4 men kunde inte uppfatta skillnaden mellan 4 och 5. Resultatet av denna studie gjorde att forskarna drog slutsatsen att barn som ännu inte kan tala ändå besitter
förmågan att subitisera och urskilja antal från varandra, upp till antalet 4. Liknande
resultat visade Klein och Starkeys studie (1988, s. 9) där de kunde se att barn så små som i spädbarnsålder besatt förmågan att subitisera antal mellan 2 och 3. Man menar även att vid 3 års ålder utökas förmågan till 4 i antal. Även Clements, Samara och MacDonald (2019, s. 14) förklarar att spädbarn kan till viss del subitisera färre antal innan
de lärt sig räkneord, fingermönster eller hur man räknar.
5.1.2 Perceptuell och konceptuell subitisering
I den matematikdidaktiska forskningen delas begreppet subitisering upp i två olika
förmågor. Clements et al. (2019, s. 22) beskriver perceptuell subitisering som att man kan känna igen ett antal föremål utan att behöva genomgå någon form av matematisk process, för att sedan namnge antalet med sitt korrekta räkneord. Clements (1999, s. 2)
lyfter hur subitiseringsförmågan är en mer primitiv förmåga som människor tar för givet. Han menar att denna förmåga, som innebär att ange ett särskilt antal på en viss mängd, är en självklarhet för vuxna men ett krävande uppdrag för ett barn.
Konceptuell subitisering skiljer sig från perceptuell subitisering på sådant vis att den är en mer avancerad förmåga (Clements, 1999, s. 2). Clements et al. (2019, s. 22) förklarar vidare begreppet som en kvick upprepning av perceptuell subitisering, för att i sin tur göra en hopslagning av de antal man subitiserat. Clements (1999, s. 2) illustrerar den beskrivningen med hjälp av dominobrickor och att individen kan se hur två lika stora delar av fyra prickar är delar av den hela mängden åtta prickar. Forskaren menar att användning av tärningar eller andra talbilder gynnar barns utveckling av förmågan att subitisera.
5.1.3 Aspekter av subitisering
En del forskare anser att subitiseringen inte delas upp på ett så enkelt sätt som i
två förmågor; perceptuell och konceptuell subitisering. De påtalar att det är mer komplext än så och skriver att den perceptuella förmågan kan förklaras av en process där fler aspekter samspelar. Clements et al. (2019, s. 23ff,) resonerar utifrån resultat som MacDonald och Wilkins (2016) kommit fram till i sina studier. Vidare skriver Clements et al. (2019, s. 23ff) mer djupgående om den perceptuella subitiseringen. Forskarna beskriver hur förmågan har fem olika aspekter: Perceptual Ascending Subitising (PAS),
Perceptual Descending Subitizing (PDS), Initial Perceptual Subitizing (IPS),
Perceptual Subgroup Subitizing (PSS) och Perceptual Counting Subitizing (PCS). Hädanefter kommer aspekterna att benämnas med dess förkortningar.
Aspekt Förklaring Exempel
Perceptual Ascending Subitising (PAS)
Barn beskriver den uppfattade beskriver initialt subgrupperna för att sedan beskriva helheten av mängden föremål.
Barn ger svaret ’’två och tre’’ och utnyttjar den kunskapen för att ge svaret ’’fem’’ för den totala mängden.
Perceptual Descending Subitizing (PDS)
Barn beskriver initialt helheten av mängden och beskriver sedan föremålen som subgrupper.
Barn ger svaret ’’fem’’ för att hen ser ’’två och tre’’ inom den totala mängden.
Initial Perceptual Subitizing (IPS)
Barn subitiserar utifrån de visuella detaljerna av arrangemanget, tillexempel färg, form eller storlek.
Barn ger svaret ’’fem’’ då hen tycker att arrangemanget påminner om en blomma.
Perceptual Subgroup Subitizing (PSS)
Barn kan subitisera delar av den totala mängden men inte mängden i sin helhet.
Barn förklarar att hen ser ’’två och tre’’ eller ’’två plus tre’’ men kan inte utnyttja den kunskapen för att ge den totala mängden.
Perceptual Counting Subitizing (PCS)
Barn beskriver initialt en mer eller mindre än den hela mängden, och räknar sedan upp eller ner till den totala mängden.
- Barn ger svaret ’’4…5’’ eller ’’6…5’’
- Barn ger svaret ’’5’’ eftersom hen såg att det var ’’4…5’’ eller ’’6…5’’.
Clements et al. (2019, s. 24) beskriver hur två av aspekterna – PAS och PDS – är lika konceptuell subitisering eftersom barn delar och sätter samman subgrupper från och till den hela mängden – alltså att barn delar upp den hela mängden i flera delar. I olika fallstudier kunde forskarna genom dessa två aspekter visa hur barn är beroende av
arrangemanget. Forskarna lyfter även hur PAS och PDS skiljer sig från de
konceptuella subitiseringsaspekterna då dessa två är beroende av just arrangemanget, vilket de konceptuella subitiseringsaspekterna inte är.
Forskarna beskriver vidare att aspekten PCS förklaras som en sammanslagen färdighet av både subitisering och räkning, vilket två barn av fyra barn i MacDonald och Wilkins fallstudie (2016, s. 277) visade då de subitiserade en mängd föremål och sedan räknade uppåt eller neråt.
Clements et al. (2019, s. 24f) skriver även hur konceptuell subitisering, likt som
perceptuell subitisering, är mer komplex än tidigare beskrivits och menar därför att även denna har olika aspekter. Dessa två benämns som Rigid Conceptual Subitizer
(RCS) och Flexible Conceptual Subitizing (FCS). I sin studie beskriver MacDonald och Wilkins (2016, s. 179) RCS på sådant vis att barn beskriver hur de ser den
sammansatta mängden och sedan en del subgrupper som alltid är desamma oavsett föremålens färg och form. Clements et al. (2019, s. 24f) menar att när ett barn delar upp antalet 5 i tre delar – 2, 2 och 1 – tyder det på att barnet förlitar sig på just RCS-förmågan. Barnet ser subgrupper av en hel mängd. FCS innebär att barn förklarar hur de ser den sammansatta enheten och sedan två eller fler set av subgrupper av den totala mängden oavsett föremålens färg och form. Forskarna anser då att när ett barn kan se en enhet genom flera olika
sammansatta enheter – talet 6 i 2 och 4 eller 3 och 3 – innebär det att barnet använder sig av operationer vid konceptuell subitisering.
Aspekt Förklaring Beskrivning
Rigid Conceptual Subitizer (RCS)
Barn beskriver hur hen ser mängden i sin helhet samt ett set subgrupper som, oavsett arrangemang, är densamma.
Barn ger svaret att den totala mängden är fyra eftersom hen såg ’’två och två’’.
Flexible Conceptual Subitizing (FCS)
Barn beskriver den hela mängden samt att hen ser två eller fler set subgrupper, oberoende av arrangemanget.
Ben ger svaret att det totala mängden är 5 eftersom hen såg ’’två och tre’’, men har även gett svaret utifrån att hen sett ’’två, två och en’’.
Figur 6: Exempel på hur användning av RCS-förmågan kan se ut
5.2 Varför är subitisering viktig?
Özdem och Olkun (2019, s. 3f, 10, 14) skriver att det finns ett tydligt samband mellan elevers bristfälliga subitiseringsförmåga och inlärningssvårigheter inom matematiken. För att pröva sin hypotes gjordes en studie som inkluderade elever från årkurs 2 och 3 och pågick under åtta veckor. Eleverna delades i två grupper samt en kontrollgrupp. Grupp 1 arbetade två dagar i veckan i 40 minuter, grupp 2 arbetade fyra dagar i 20 minuter. Grupperna arbetade alltså lika många minuter per vecka, skillnaden var hur mycket tid som ägnades per tillfälle. I början valdes material som eleverna kunde koppla till vardagen, till exempel bilder med olika antal äpplen. Bilderna presenterades i en kanonisk ordning, dvs. de började med några få föremål och antalet ökade gradvis vilket ledde till att även svårighetsgraden av själva övningen höjdes. När det gällde årskurs 2 fick grupp 2 det bästa resultatet. I årskurs 3 fick däremot grupp 1 det bästa resultatet. Kontrollgruppen fick i båda årskurserna det lägsta resultatet. Efter avslutad studie visade det sig att eleverna som fick öva sin subitiseringsförmåga utvecklade färdigheter att lösa mer komplicerade beräkningar. Därav drog forskarna slutsatsen att undervisning i konceptuell subitisering gynnar eleverna långsiktigt och har positiv påverkan på deras utveckling av matematiska förmågor och färdigheter. Även forskningsresultat av
MacDonald och Wilkins (2019) styrker detta påstående. Forskarna har gjort en fallstudie på ett barn i sen förskoleålder. Studien gick ut på att dokumentera ett
barns subitiseringsförmåga och över tid se hur denna förändras. Forskarna menar att resultatet av denna studie gav implikationerna att en utvecklad subitiseringsförmåga också är
grundläggande för matematiska operationer.
Forskare har även fört studier på spädbarns subitiseringsförmågor (Desoete et al., 2009, s. 61). Det visade sig att 6% spädbarnen som medverkade i studien hade en
sämre subitiseringsförmåga, men det framkommer inte hur många barn som medverkade i studien. Resultatet visade sedan sig att samma barn x antal år senare var sämre på att läsa tresiffriga tal – som till exempel 121 – i skolan i jämförelse med barn som hade
Även Bermejo, Morales och deOsuna (2004, s. 383, 385f) har gjort en studie vars fokus var att utveckla barns förmåga att se kardinalitet utifrån Bermejos modell
av kardinalitetsförståelse. Barn i åldrarna 4-6 år deltog och var uppdelade i två grupper; en experimentgrupp och en kontrollgrupp med 24 deltagare/grupp. I resultatet framkommer det att barn kan utveckla förståelsen av kardinalitet med hjälp av subitisering. Detta eftersom man sett att flertalet av barnen i studien inte till fullo förstod kardinaliteten av en mängd när dessa räknade från 1 till det sistnämnda antalet, utan förstod det vid
just subitisering. Forskarna lyfter att detta främst berör antalen 1, 2 och 3. Benoit, Lehalle och Jouen (2004, s. 304) styrker detta påstående i
sin studie. Forskarna menar subitisering anses vara en nödvändig inkörsport till en riktig förståelse av kardinalitet när det kommer till små räkneord.
Yun, Havard, Farran, Lipsey, Billbrey och Hofer (2011, s. 2ff) gjorde en undersökning om barns subitisering och matematikprestation. Studiens medverkande var 562 barn, vars ålder varierade mellan 5,5-7,5 år. Det gjordes tester inom olika matematiska områden som prövade till exempel hur väl barnet behärskade de fyra räknesätten. Det visade sig att elevernas matematikutveckling inte var beroende av deras användning av de fyra räknesätten. Däremot visade det sig att en god subitiseringsförmåga gynnar elevernas matematikutveckling i
betydligt högre grad än tidigare trott. Barn som kunde subitisera antalen 3 och 4 hade fått fler poäng på samtliga uppgifter som genomfördes. Nästan en tredjedel av de barn som deltog i studien kunde inte subitisera upp till antalet 4 vilket talar emot andra studier som hävdar att barn redan i treårsålder kan subitisera till antalen 3 och/eller 4.
Wang, Resnick och Boozer (1971, s. 8) lyfter faktumet att det finns en del faktorer som gör det enklare eller svårare att subitisera. Rumsliga arrangemang och föremålens färger, storlekar och former kan påverka subitiseringens svårighetsgrad. Barn finner oftast att rektangulära anordningar är enklast att subitisera, följt av linjära, cirkulära samt blandade
anordningar. Detta är även vanligt för grundskoleelever upp till vuxna som läser
eftergymnasial utbildning. Clements et al. (2019, s. 31) förklarar även att både barn och vuxna visar svårigheter att subitisera korrekt antal när föremålen inte är placerade i rektangulära eller kanoniska anordningar. Man poängterar även att erfarenhet av olika anordningar influerar barns resultat.
6. Diskussion
I detta avsnitt resoneras det kring metod och resultat i studien. Metoddiskussionen (6.1) syftar till att reflektera kritiskt till hur just metoden gick till – litteratursökningen och
materialanalysen. Resultatdiskussionen (6.2) och dess underrubriker syftar till att reflektera kring resultatets innehåll i relation till litteraturstudiens syfte och bakgrund samt vidare forskningsfrågor.
6.1 Metoddiskussion
Informationssökningen var till en början svår då vi vid starten inte ännu var helt bestämda på vad vårt syfte eller våra frågeställningar skulle utgå från, utöver att det var subitisering vi var intresserade av. Vi valde först att fokusera på missuppfattningar i undervisningen kring subitisering, men efter många sökningar utan goda resultat för just detta valde vi att fokusera på andra frågeställningar. Istället hittade vi artiklar vars fokus låg på om
subitiseringsförmågan hade positiva effekter på annan matematikutveckling, som i sin tur gjorde oss mer nyfikna.
Sökningarna utgjordes direkt av engelska begrepp. Vi testade även att pröva med svenska ord men fick då nästan uteslutande populärvetenskapliga artiklar, och när peer-reviewed/journals applicerades försvann dessa. Vi har funnit sex av artiklarna genom söktjänster, resterande har vi hittat genom kedjesökningar i både populärvetenskapliga artiklar och genom de
vetenskapliga vi redan hade funnit. Samtliga artiklar som använts har skrivits av forskare som inte är från Norden utan istället från till exempel USA, Belgien, Turkiet och Portugal.
Något som kan anses vara bristfälligt i litteraturstudien är att ett par artiklar är utav den äldre sorten, så som Jevons från 1871. Denna ansågs dock vara relevant trots dess
publiceringsdatum då det anses vara den ursprungliga forskningen inom subitisering. Detta gav även implikationen att förmågan sedan länge varit av vikt. Även MacDonald och Wilkins (2019) kan ses som bristfällig alternativt använd uteslutande för att förlita sig till resultatet då det är en fallstudie med enbart ett barn i fokus. Trots det ses som en relevant artikel då båda artikelförfattarna är etablerade inom den matematikdidaktiska forskningen – främst
subitisering – samt att fallstudien utvecklats ur en större fallstudie vars intervjuobjekt var flera barn i samma ålder.
Vi har även valt att använda oss mycket av Clements et al (2019) samt MacDonald och Wilkins (2016) i underrubrik 5.1.3 då det inte gjorts mycket mer forskning kring detta utöver deras studier. Utöver det ovan nämnda avsnittet i litteraturstudien har vi refererat en hel del till Clements (1999), Clements et al. (2019) och MacDonald och Wilkins (2016, 2019). Vi upptäckte relativt tidigt i vår litteratursökning att dessa forskare gjort många studier, dels inom just subitisering men även inom matematik generellt. Vi såg också att dessa forskare refereras till av många andra forskare i matematikområdet, vilket gjort att vi känt oss trygga med deras studier och att de är pålitliga.
Det kan ses som både en styrka och svaghet att Primo inte användes som söktjänst mer än ett par gånger. Vi upplevde att ERIC och JSTOR var enklare söktjänster än Primo, och vi fann där fler texter med länkar till fulltexter. Primo användes istället mer för att se om högskolans bibliotek hade böcker att låna eller fulltexter att beställa som annars var
oåtkomliga. Google Scholar användes också flitigt för att kunna få tag i fulltexter. Vi hade även önskat att finna fler studier som grundar sig i Sverige.
Vi har även funnit svårigheter i att finna tryckort på många av de vetenskapliga artiklarna då de allra flesta har publicerats i en internet-tidning.
6.2 Resultatdiskussion
Resultatet av denna litteraturstudie visar ett enhetligt resultat som tyder på att subitiseringsförmågan är medfödd samt i stor grad har en positiv påverkan på övrig
matematikutveckling. Vi vill belysa hur komplext begreppet subitisering är (6.2.1) men även om dess relation till andra matematikfärdigheter (6.2.2). Slutligen lyfter vi fram eventuella forskningsfrågor för fortsatta studier (6.2.3) inom området.
6.2.1 Komplexitet i begreppet
Resultatet för hur begreppet beskrivs i den matematikdidaktiska forskningen har varit
blandad. Huruvida förmågan är medfödd eller inte förespråkar forskarna i litteraturstudien att den är. Det förtydligas också i samtliga av dessa studier att förmågan inte stäcker sig över hur stora antal som helst, utan över 3-4 i antal (Jevons, 1871, s. 2; Strauss och Curtis, 1981, s. 6; Klein och Starkey, 1988, s. 9). Vi var intresserade av att veta hur man skulle kunna belysa om förmågan är medfödd och fann svar och tillvägagångssätt i forskning av Strauss och Curtis
(1981) samt Klein och Starkey (1988). De studier som genomförts av dessa två forskarpar har gjorts med hjälp av spädbarn som deltagare. Vi själva har varit skeptiska kring sådan
forskning på spädbarn. En del kan anse att forskningen på spädbarn och dess resultat är beroende av omständigheterna, att det kan vara en tillfällighet. Vi har dock inte funnit annan forskning som visat motsatsen och även det kan då anses vara beroende av omständigheterna, individerna och att det är en ren tillfällighet. Majoriteten av de vetenskapliga artiklar som analyserats under litteraturstudien har kommit fram till nära resultat. De argumenterar för att subitiseringen är medfödd och att förmågan stäcker sig över 3-4 antal. Samtidigt betonar forskarna att barn kan träna upp förmågan ytterligare. Dock finns det de som hävdar att det går att subitisera upp till 6 eller 7 i antal (McIntosh, 2017, s. 54) men det framkommer inte om det innebär träning i förmågan eller inte.
Samtliga forskare som lyfts fram i denna litteraturstudie är eniga om att subitisering delas upp i två olika förmågor – perceptuell och konceptuell subitisering. Dock finns det de forskare som menar på att begreppet och dess förmågor är mer komplicerad än vad som tidigare framställts. Clements et al. (2019, s. 23f) samt MacDonald och Wilkins (2016, s. 177ff) argumenterar för att både den perceptuella och konceptuella förmågan har olika aspekter. Förmågorna har fem respektive två olika aspekter som visar på olika vis man subitiserar inom förmågorna. Förklaringar och beskrivningar av dessa aspekterna tolkar vi däremot som olika nivåer av förmågan som vi konstaterar är komplexa. Vi ställer oss frågande till om inte vidare forskning kring varje enskild aspekt skulle vara gynnsam för förståelsen av förmågans
komplexitet. Varken Clements et al. (2019) eller MacDonald och Wilkins (2016) yttrar sig om någon av aspekterna skulle vara mer framgångsrika. Vi kan enbart resonera i huruvida det skiljer sig från individ till individ. Vi har ännu inte funnit några artiklar av olika slag som framhäver någon form av kritik mot Clements et al. (2019) eller MacDonald och Wilkins (2016) forskning. Det kan mycket väl bero på att det är relativt ny framtagen forskning och att ta fram belägg som motbevisar också tar tid.
Ekdahl (2019, s. 23) talar om vikten av arrangemang av föremål kan vara avgörande för barns syn på del- och helhetsrelationer. Om ett barn kan se två stycken treor som en sexa indikerar det att barnet har gjort framsteg i sin utveckling. Förmågan att sönderdela och sätta samman en viss mängd anses vara av särskild betydelse för att se del- och helhetsrelationer, och hon menar att undervisning i detta också tränar subitiseringsförmågan. Detta kopplar vi till Clements et al. (2019) samt MacDonald och Wilkins (2016) och deras syn på den
konceptuella subitiseringsförmågans olika aspekter. Detta ser vi som ytterligare ett sätt att koppla subitisering med antalsuppfattning och del- och helhetsrelationer.
6.2.2 Subitiseringens utvecklingspotential i andra matematikfärdigheter
Samtliga av forskarna som lyfts fram i denna litteraturstudie är överens om att subitiseringsförmågan har en positiv verkan och koppling till
andra matematikfärdigheter. Barn som besitter en mer utvecklad subitiseringsförmåga har också visat sig kunna utföra mer komplexa beräkningar menar Özdem och Olkun (2019, s. 14). Det är förstås viktigt att lärare har kunskap om att subitiseringsförmågan inte är den enda förmågan som gynnar andra matematikfärdigheter, även om det är ett positivt redskap. Att kunna se mönster spelar stor roll för den fortsatta utvecklingen av konceptuell subitisering menar Ekdahl (2019, s. 23). Vidare förklarar hon att den konceptuella subitiseringen bör ses som en av de absolut viktigaste delarna för barns lärande av antalsuppfattning och utveckling av aritmetiska färdigheter.
Flera studier har visat att subitisering och kardinalitet kan kopplas till varandra. Bergius och Trygg (2019, s. 3) menar att kardinalitet bör ses som en grundsten för elevernas taluppfattning och annan matematikutveckling. Bermejo et al. (2004, s. 383) studie stödjer detta påstående. Det visade sig nämligen att barn med en god subitiseringsförmåga också visade bättre förståelse för kardinalitet. Utifrån forskning av Björklund (2007), Bermejo et al. (2004) och Björklund och Palmér (2018) ser även vi ett starkt samband mellan subitisering och
kardinalitet. Dessa två förmågor tolkar vi utvecklas i relation till varandra.
Det är möjligt att se ett samband mellan konceptuell subitisering och förmågan att se del- och helhetsrelationer. Om ett barn kan se relevansen mellan dessa två menar Ekdahl (2019, s. 88) att barnet har börjat använda sig av additivt tänkande. Detta leder vidare till inlärning av subtraktion. Vi tolkar utifrån Ekdahls (2019) forskning att subitiseringsförmågan utvecklas i relation med inlärning av del- och helhetsrelationer.
En del vetenskapliga artiklar som använts lyfter även att man bör inkludera subitisering i läroplanerna. Idag finns inte förmågan inskriven i läroplanen som ett centralt innehåll eller bland kunskapskraven i matematikämnet. Dock kan vi på flera ställen dra paralleller mellan förmågan och andra matematikfärdigheter som den är nära besläktad med som till exempel antalsuppfattning. Ser man till hur subitiseringförmågan beskrivs kan man
koppla subitiseringen till tal- och antalsuppfattning. Perceptuell subitisering har definierats av bland annat Clements (1999, s. 2) och innebär att ange ett korrekt antal av en mängd genom att subitisera. Läroplanen (Skolverket, 2019a, s. 55, 60) skriver ut i matematikämnets centrala innehåll att eleverna i slutet av årskurs 3 ska kunna ’’ange antal’’ samt ’’del av helhet och del av antal’’. I kunskapskraven står det skrivet att eleverna ska kunna ’’[…] dela upp helheter i olika antal delar […]’’. Även den konceptuella subitiseringen kan då indirekt kopplas till läroplanen på sådant vis att denna typ av subitisering går ut på att subitisera flera delar av den hela mängden (Clements, 2019, s. 22) för att sedan addera delmängderna som
man subitiserat. Genom den definitionen av förmågan kan en se likheter i läroplanens kunskapskrav ovan, då man i konceptuell subitisering ser delar av en helhet för att sedan kunna ange den totala mängden. Förmågan återfinns i matrisen för avstämning i matematik under årskurs 1 (Skolverket, 2019b, s. 3), där begreppet uttryckligt nämns, men inte mer än så. MacDonald och Wilkins (2019) skriver att det finns tillräckligt med forskning i sin studie för att läroplaner och kursplaner i matematik bör innehålla subitisering redan i tidig ålder för att det ska utvecklas så tidigt som möjligt. Eftersom vi på så många håll kan finna samband mellan centralt innehåll och kunskapskrav i matematik ställer vi oss därför frågande till varför vår läroplan inte uttryckligen innehåller subitiseringsförmågan. Utifrån Özdem och Olkun (2019), Berjemo et al. (2004), MacDonald och Wilkins (2019), Deseote et al. (2009), Benoit et al. (2004), Björklund (2007), Ekdahl (2019), Björkund och Palmér (2018) samt Yun et al. (2011) anser vi att man som pedagog definitivt bör utnyttja de möjligheter som finns i att utveckla subitiseringsförmågan hos barn och elever. Studierna ovan har visat på att
förmågan har en större positiv påverkan på övrig matematikutveckling än vad vi själva kunde ana. För oss som blivande pedagoger är vetskapen om subitiseringsförmågans betydelse av stor vikt. Med denna nya kunskap som vi fått utifrån forskning kring förmågan ska vi i matematikundervisningen bemöta våra framtida elever genom att konstruera och erbjuda undervisningsmoment vars syfte är att utveckla subitiseringsförmågan. Vi tolkar också att det utifrån lärarens perspektiv är mindre relevant om förmågan är medfödd eller inte. Vi upplever att fokus bör läggas på subitiseringens potential i barns övriga matematikutveckling. Det är viktigt att ha kunskap om subitisering och hur den hänger ihop med andra förmågor.
6.2.3 Vidare forskningsfrågor
Vi anser att denna litteraturstudie har gett oss en bra bild av subitiseringsförmågan och vi ser på det som en grund till vårt examensarbete. Med hänsyn till resultatet i litteraturstudien skulle det vara gynnsamt att ha mer aktiviteter som prövar och tränar subitiseringsförmågan i
förskola och grundskola. Vidare forskning av området anser vi är nödvändig. Det skulle vara intressant att få undersöka vidare kring området i svenska förskolor och grundskolor. Inte bara hur utvecklad förmågan är hos barnen och eleverna utan även den långtidsverkande effekten av att ha en god subitiseringsförmåga i tidig ålder. Litteraturstudien kan vara en utgångspunkt för två olika kvantitativa studier. En skulle kunna vara utifrån lärarens perspektiv, det vill säga undersöka mer djupgående hur lärare och pedagoger i svensk förskola och skola ser på förmågan och dess användning. Det kan göras med enkäter, observationer och intervjuer. En annan studie skulle kunna vara utifrån elevernas perspektiv och pröva barn och elever i sina subitiseringsförmågor. Vid undersökningar av förskolebarn kan det vara lämpligt med observationer av aktiviteter medans det av elever i årskurs 1-3 kan gå bra med både observationer och enkätundersökningar.
Referenslista
Benoit, L., Lehalle, H., & Jouen, F. (2004). Do young children acquire number words through subitizing or counting?. Cognitive Development, 19(3),
291-307. https://doi.org/10.1016/j.cogdev.2004.03.005
Bergius, B. & Trygg, L. (2019). Grundläggande lärande om tal. Stockholm: Skolverket.
Bermejo, V., Morales, S., & deOsuna, J. G. (2004). Supporting children’s development of cardinality understanding. Learning and Instruction, 14(4),
381-398. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2004.06.010
Björklund, C. (2007). Hållpunkter för lärande. Småbarns möten med matematik [Doktorsavhandling, Åbo Akademi]. Hämtad från
https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/5323/BjorklundCamilla.pdf?sequence=2&fbclid
=IwAR1jz59xajSDoiDraEmFL6qv4AJPKRIWWQmFRA8_FiizeTbgFOtBUnQgRkA
Björklund, C. & Palmér, H. (2018). Matematikundervisning i förskolan: att se världen i ljuset av matematik. Stockholm: Natur & Kultur.
Clements, D. H. (1999). Subitizing: What is it? Why teach it? Teaching children mathematics, 5(7), 400-405.
Clements, D. H., Sarama, J., & MacDonald, B. L. (2019). Subitizing: The neglected quantifier. In Constructing Number (pp. 13-45). Springer, Cham.
http://dx.doi.org/10.1007/978-3-030-00491-0_2
Desoete, A., Ceulemans, A., Roeyers, H., & Huylebroeck, A. (2009). Subitizing or counting as possible screening variables for learning disabilities in mathematics education
or learning?. Educational Research Review, 4(1),
Ekdahl, A-L. (2019). Teaching for the Learning of Additive Part-whole Relations [Doktorsavhandling, Jönköping University]. DIVA.
https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1372663/FULLTEXT01.pdf
Ekeblad, E. (1990) Subitisering - en grundläggande beståndsdel i räkneförmågan. NCM. Nämnaren 1. Hämtad från http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/2125_90_1.pdf
Gelman, R. & Gallistel, C-R. (1986). Child's understanding of numbers. London: Harvard UP.
Jevons, W. S. (1871). The power of numerical discrimination. Nature 3, 281–282.
https://doi.org/10.1038/003281a0
Klein, A., & Starkey, P. (1988). Universals in the development of early arithmetic
cognition. New Directions for Child Development. https://doi.org/10.1002/cd.23219884103
Lundberg, I., & Sterner, G. (2009). Dyskalkyli - finns det?: aktuell forskning om svårigheter att förstå̊ och använda tal . Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning,
Göteborgs universitet.
MacDonald, B. L., & Wilkins, J. L. (2016). Seven types of subitizing activity characterizing young children’s mental activity. Qualitative Research in STEM: Studies of Equity, Access, and Innovation, 256.
MacDonald, B. L., & Wilkins, J. L. (2019). Subitising activity relative to units construction: a case study. Research in Mathematics Education, 21(1).
https://doi.org/10.1080/14794802.2019.1579667
McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal – en handbok. Göteborg: Nationellt centrum för Matematikutbildning.
Nilholm, C. (2017). Smart – Ett sätt att genomföra forskningsöversikter. Lund: Studentlitteratur.
Sayers, J., Andrews, P., & Boistrup, L. B. (2016). The role of conceptual subitising in the development of foundational number sense. In Mathematics education in the early years (pp. 371-394). http://doi.org/10.1007/978-3-319-23935-4_21
Skolverket. (2019a). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet. Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2019b) Förberedelser för avstämning. Hösttermin årskurs 1. Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2019c). Nationellt bedömningsstöd i taluppfattning: Matematik i årskurs 1-3. Stockholm: Skolverket.
Strauss, M. S., & Curtis, L. E. (1981). Infant perception of numerosity. Child development, 1146-1152. The Power of Variation and Connections. https://doi.org/10.2307/1129500
Wang, M. C., Resnick, L. B., & Boozer, R. F. (1971). The sequence of development of some early mathematics behaviors. Child Development, 1767-1778.
https://doi.org/10.2307/1127583
Yun, C., Havard, A., Farran, D.C., Lipsey, M.W., Bilbrey, C., Hofer, K.G. (2011). Subitizing and Mathematics Performances in Early Childhood. Proceedings of the Annual Meeting of the Cognitive Science Society, 33/33, 680-684. https://doi.org/10.1080/10986065.2015.1016814
Özdem, Ş., & Olkun, S. (2019). Improving mathematics achievement via conceptual subitizing skill training. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 1-15. https://doi-org.proxy.library.ju.se/10.1080/0020739X.2019.1694710
Bilaga: Översikt över analyserad litteratur
Författare, årtal &
land Titel & publikationstyp Syfte Metod Resultat
1. Clements, D. H., Sarama, J, & MacDonald, B. L.
2019 USA
Subitizing: The neglected quantifier.
Antologi
Att definiera begreppet och beskriva hur
subitiseringsaspekter/aktiviteter utvecklar och relaterar till tidig matematikutveckling.
Arbete gjort på
sammanställningar av andra forskares studier och slutsatser.
Subitiseringsförmågan utvecklas från (olika faser inom) perceptuell till konceptuell.
Konceptuella mönster har stor/störst effekt på matematikutveckling och matematiktänkande.
Subitisering är en viktig ’kompetens’ för barns antalsuppfattning.
2. MacDonald, B. L. & Wilkins, J. L. M. 2019
USA
Subitising activity relative to units construction: a case
study. Tidsskriftspublikation
Undersöka på ett nyanserat sätt hur ett barns sätt att tänka förändras/utvecklas när hen subitiserar.
Använder sig av konstruktivistisk undervisningsmetodik.
1. Intervju
2. Lärandeexperiment (22st, 20min st)
3. Sammanställa data
Studien visar hur barnet gick från perceptuell subitisering till
konceptuell subitisering. Man anser att studien visar att konstruktionen av subitiserade enheter kan stötta små barns senare utveckling i aritmetik.
3. MacDonald, B. L & Wilkins, J. L. M. 2016
USA
Seven types of subitizing activity characterizing young
children’s mental activity Tidsskriftspublikation
Undersöka om deras hypotes – att subitiseringens beroende skiftar från perceptuellt till konceptuellt – stämmer.
Använder sig av konstruktivistisk undervisningsmetodik.
1. Intervju
2. Lärandeexperiment (22st, max 15-20 min)
3. Sammanställa data
Resultatet i studien tyder – enl. forskarna – på att subitisering har sju olika aspekter som barnen förlitade sig på vid
4. Wang, M., Resnick, L. B., & Boozer, R. F. 1971 USA The sequence of development of some early mathematics behavior
Tidsskriftspublikation
Undersöka när/hur väl barn utvecklat grundläggande matematiska kunskaper inom räkning, en-till-en och numrering.
1. Urval av barn, 78st förskolebarn 2. Tester, lärarledda, varade ca 20min/st
3. Sammanställa data
Studien visade på att det finns två separata ’’matematiska beteende-mönster’’: En-till-en-korrespondens och
räkning. 5. Özdem, S. & Olkum, S. 2019 Turkiet Improving mathematics achievement via conceptual
subitizing skill training Tidsskriftspublikation
Undersöka om subitisering kan tränas och utvecklas, samt om densamma stödjer elevernas matematikutveckling.
Tre elevgrupper, årskurs 2 och 3: *grupp 1, två dagar i 40 minuter *grupp 2, fyra dagar i 20 minuter *kontrollgrupp
Testet som genomfördes heter MAT (mathematics achievent test).
Testet visade inte märkvärdiga skillnader mellan grupperna men man det framkom att eleverna som tränades presterade senare bättre i ämnet matematik än eleverna som inte tränades. I årskurs 2 hade grupp 2 fått bästa resultat, i årskurs 3 hade grupp 1 fått bästa resultat, kontrollgruppen hade alltid fått det lägsta resultatet.
6. Desoete, A., Ceulemans, A., Roeyers, H., & Huylebroeck, A. 2008 Belgien Subitizing or counting as possible screening variables
for learning disabilities in mathematics education or
learning? Tidsskriftspublikation
Artikeln vill belysa skillnader mellan räkning och subitisering bland barn som har/inte har svårigheter med inlärning. Kan subitisering vara en grund för framtida svårigheter i ämnet matematik.
Sammanställning av andra studier och undersökningar.
En sämre subitiseringsförmåga kan kopplas med andra svårigheter i ämnet matematik, som till exempel
taluppfattning eller aritmetik.
6% av spädbarn som testades visade sig ha en sämre utvecklad
subitiseringsförmåga, vidare visade det sig att samma barn i skolåldern hade problem med tresiffriga tal. Subitisering ses
Vidare menar forskarna att man inte undersökte olika
åldersgrupper, därav syftar denna artikel till alla åldersgrupper (inkluderar spädbarn och vuxna).
därmed vara en av grundstenarna för matematikutveckling.
7. Clements, D. H. 1999
USA
Subitizing: What is it? Why teach it? Teaching children
mathematics
Tidsskriftspublikation
Artikeln syftar till att redovisa för subitiseringsförmågans innebörd samt
användningsområde – hur förmågan hänger samman med andra matematiska
färdigheterna.
Sammanställning av andra studiers resultat och slutsatser.
8. Strauss, M. L. & Curtis L. E. 1981 USA Infant perception of numerosity. Child development Tidsskriftspublikation Undersöka om subitisering är
medfödd eller inte. Man använde bilder med olika föremål eller djur. Föremålens storlek ändrade sig från bild till bild.
Det testades om spädbarn kan se skillnad mellan antalen 2 och 3, samt 4 och 5.
Resultatet var att spädbarn kunde subitisera upp till antalet 4 och även skilja på antalen under. Därav drog man slutsatsen att subitisering är en medfödd förmåga.
9. Yun, C., Havard, A., Farran, D.C., Lipsey, M.W., Bilbrey, C. & Hofer, K.G. 2011 USA
Subitizing and Mathematics Performance in Early
Childhood Tidsskriftspublikation
Syftet med undersökningen var att se förhållandet mellan subitiseringsförmåga och matematik presterande hos barn i förskoleklassen.
562 barn, samtliga med låg socioekonomisk status. Man valde barn som utvecklingsmässig befann sig på en godtagbar nivå, dvs. inga barn med
inlärningssvårigheter eller särskild begåvade barn deltog.
Alla barn gjorde uppgifter av olika karaktär som till exempel
Resultatet visar en klar koppling mellan subitiseringsförmåga och andra matematiska färdigheter.
Det visade sig att subitisering är viktig för elevernas matematikutveckling. Barn som kunde subitisera till 3 eller 4 fick fler poäng på samtliga genomförda tester. En annan slutsats; många barn kunde inte
antalsuppfattning, subitisering, addition, subtraktion, geometri med mera.
forskning inom området. Forskarna misstänker att det kanske kan kopplas till barns bakgrund.
10.
Benoit, L., Lehalle, H., & J ouen, F.
2004 Frankrike
Do young children acquire number words through
subitizing or counting? Tidsskriftspublikation
Undersöka två olika hypoteser gällande kardinalitet och huruvida barn skapar förståelse för förmågan samt lägre räkneord.
Flertalet barn (3-5 år)
medverkade i ett test vars uppgift var att identifiera en mängd prickar.
Resultatet i studien tyder på att
subitisering är en grundläggande förmåga för att behärska de första räkneordens förståelse. 11. Bermejo, V., Morales, S., & deOsuna, J. G. 2004 Portugal Supporting children’s development of cardinality understanding Tidsskriftspublikation
Studiens styfte var att använda barnens egen färdighet inom kardinalitet för att kunna stötta dem i deras utveckling av samma färdighet.
Två grupper på 24 barn i varje valdes ut som kontrollgrupp respektive experimentgrupp och fick göra ’’förtest’’.
Resultat visade att barnen i
experimentgruppen nådde full förståelse för kardinalitet. Vidare menar man att man fått bevis på att kardinalitet inte är ett supplement till att räkna, utan att det är separata förmågor med olika mål. De menar även att det är siffror som ger subitisering och räkning mening. 12. Jevons, W.
1871 England
The power of numerical discrimination. Tidsskriftspublikation
Författaren ville undersöka om förmågan subitisering var medfödd eller inte, och om – hur högt kan man subitisera?
Genom att använda sig själv som testobjekt valde författaren att kasta en mängd stenar inom en ruta för att sedan se om han kunde subitisera antalet stenar som hamnade innanför rutan. Han kastade stenarna många gånger och räknade sina resultat, för att på så vis kunna bedöma om förmågan är medfödd eller inte samt hur högt en kan subitisera.
Jevons menade att hans
subitiseringsförmåga inte förbättrades under testets gång, utan han kunde inte subitisera högre än antalet 4, då han stötte på problem med att subitisera antalet 5 och högre korrekt. Därav anser Jevons att hans resultat indikerar på att förmågan är medfödd, upp till antalet 4.
13. Klein, A. & Starkey, P. 1988 USA Universals in the development of early arithmetic cognition. Tidsskriftspublikation
Undersöker framväxten och utvecklingen av aritmetisk kognition hos yngre barn som ännu inte fått någon formell undervisning i skolan. Man menar att tre typer av
kunskaper ligger som grund för barns aritmetiska tänkande.
Genom att först visa bilder med prickar i två sekunder, för att sedan visa samma mängd prickar i två tiondels sekunder. Barnen fick sedan säga om det var samma mängd prickar på båda bilderna eller inte. Vissa gånger var det samma bild, medan de även använde bilder som istället hade fler eller färre prickar. Barnen fick även se en mängd prickar, för att sedan subitisera hur många prickar som visades.
Resultatet visade att barnen sällan försökte räkna de set som visades snabbt. I det första testet subitiserade barnen (3-5 år gamla) korrekt fler gånger än väntat, och detta gällde då för antalen 3-5. De yngre barnen (2 år gamla) subitiserade dock antalen 1-3 korrekt, och hade svårare för att subitisera korrekt för antal högre än 3.
