Elevers strategier och
representationsformer
vid matematisk
problemlösning
En kvalitativ studie om årskurs 6-elevers
problemlösningsförmåga
KURS:Examensarbete för grundlärare 4-6, 15 hp PROGRAM: Grundlärarprogramet 4-6
FÖRFATTARE:Malin Carlstein EXAMINATOR:Anna-Lena Ekdahl
TERMIN:VT 21
JÖNKÖPING UNIVERSITY Kurs: Examensarbete för grundlärare 4-6, 15 hp
School of Education and Communication Program: Grundlärarprogramet 4-6 Termin: VT 21
SAMMANFATTNING
_______________________________________________________________________ Malin Carlstein
Elevers strategier och representationer vid matematisk problemlösning En kvalitativ studie med elever i årskurs 6
Students' strategies and representations for mathematical problemsolving A qualitative study with students in grade 6
Antal sidor: 30 _______________________________________________________________________ Denna studie behandlar matematisk problemlösning i årskurs 6. Studiens syfte är att lyfta fram elevers skilda sätt att lösa ett givet matematiskt problem genom att undersöka elevernas tillvägagångssätt bland annat genom val av strategier och representationsformer. I studien har den konstruktivistiska lärandeteorin samt Brousseaus teori om didaktiska situationer används för att diskutera resultatet. En kvalitativ forskningsansats har använts i syfte att förmedla en rik beskrivning av elevernas tillvägagångsätt. Empiri har samlats in genom deltagande observation, innehållsanalys av elevlösningar samt semistrukturerade
parintervjuer. Resultatet visar att eleverna använde sig av tre huvudstrategier som benämns rita, bygga och visualisera. Utifrån dessa tre strategier identifierades flera underordnade varianter. Ytterligare strategier användes som ett komplement till dessa för att lösa olika delproblem som ingick i problemet.
This study process mathematical problem solving in grade 6. The purpose of the study is to highlight students' different ways of solving a specific mathematical problem by examining students' choice of strategies and forms of representation. In the study, the constructivist learning theory and Brousseau's theory of didactic situations have been used to discuss the results. A qualitative research approach has been used in order to convey a rich description of the students' different ways of solving the problem. Empirical data has been collected through participatory observation, content analysis of student solutions and semi-structured interviews in pairs. The results indicate that the students used three main strategies called drawing, building and visualizing. Based on these three strategies, several subordinate variants were identified. Additional strategies were used as a complement to these main strategies to solve various sub-problems which was part of the problem.
___________________________________________________________________________ Sökord: matematik, matematikinlärning, problemlösning, strategier, representationer
_____________________________________________________________________
Innehållsförteckning
INLEDNING ... 1 BAKGRUND ... 2 BEGREPPSDEFINITIONER ... 2 VAD ÄR PROBLEMLÖSNING? ... 2 PROBLEMLÖSNING I GRUNDSKOLAN ... 3 PROBLEMLÖSNINGSPROCESSEN ... 4 STRATEGIER ... 5 REPRESENTATIONSFORMER ... 6 SAMMANFATTNING ... 7 TEORI ... 7 KONSTRUKTIVISMEN ... 7TEORIN OM DIDAKTISKA SITUATIONER ... 8
SYFTE ... 9
METOD ...10
DATAINSAMLINGSMETODER ...10
URVAL ...11
GENOMFÖRANDE ...12
ANALYS AV INSAMLAD DATA ...13
ETISKA ÖVERVÄGANDEN ...14
RESULTAT ...15
STRATEGIER FÖR ATT ÖVERBLICKA PROBLEMET OCH URSKILJA FÖRUTSÄTTNINGAR...16
Rita ...16
Bygga...17
Visualisera ...18
LÖSNINGAR AV DELPROBLEM A-D: STRATEGIER FÖR ATT IDENTIFIERA SYNLIGA OCH OSYNLIGA DELAR ...19
Peka och räkna ...19
Sortera ...19
Resonera ...20
Plocka isär ...20
Utesluta ...20
LÖSNINGAR AV DELPROBLEM E: GENERALISERINGAR OCH VÄXANDE MÖNSTER ...21
Gissa och pröva ...21
Generalisera och förfina ...21
Finna samband och likheter ...22
REPRESENTATIONSFORMER OCH REDOVISNING AV LÖSNING ...22
STRATEGIER FÖR ATT KONTROLLERA LÖSNINGEN ...23
RESULTATSAMMANFATTNING ...24
DISKUSSION ...25
METODDISKUSSION ...25
RESULTATDISKUSSION ...26
Reflektioner om elevers valda strategier och representationsformer ...26
Teoretiska resonemang...28
Reflektioner om elevers svårigheter och vidare undervisning ...29
REFERENSER ...31
BILAGA 2: OBSERVATIONSSCHEMA ... 1 BILAGA 3: INTERVJUGUIDE ... 1
1
Inledning
Matematik är något som alltid fångat mitt intresse. Personligen ligger det någonting i den utmaning det innebär att förstå hur det hänger ihop och jakten efter att hitta en lösning. Motivation, engagemang och intresse är något som främjar lärande. Min upplevelse är att när elever ställs inför ett problem är det något i deras förhållningssätt som förändras och glöden i deras ögon tänds. Kan det vara så att människan gillar att ställas inför utmaningar? Under min lärarutbildning har ett intresse väckts kring de möjligheter problemlösningen kan ge i matematikundervisningen, vilket resulterade i en fördjupande litteraturstudie inom området (Carlstein & Olofsson, 2020).
I en artikel lyfter Jonas Jäder fram mycket av det som jag och Moa Olofsson kom fram till i vår studie. Nämligen att utantillinlärning och rutinuppgifter inte räcker för att lära sig matematik (Jäder, 2020). Jäder (2015) belyser i sin avhandling att eleverna i den svenska skolan till stor del använder sig av utantillinlärning i matematiken. Ett vanligt inslag i dagens matematikundervisning är att eleverna arbetar med övningsuppgifter där de förväntas befästa en given metod.
Att arbeta med problemlösning, som är en av de fem förmågorna vilka eleverna ska ges möjlighet att utveckla i matematiken (Skolverket, 2019), kan fungera som en kontrast till utantillinlärningen. Jag ser därför att denna studie kan vara intressant för lärare i syfte att utveckla sin proffession. Att undervisa matematik genom problemlösning tillåter eleverna att utforska, undersöka och själva bygga upp sin förståelse. Lösningsprocessen främjar
resonemang och reflektion över den matematik som bemästras (Sidenvall, 2019). Jag ser därför ett stort behov av att undersöka och studera den matematiska problemlösningen i grundskolan för att utveckla de undervisningsmetoder som idag används. Den här studien undersöker genom en kvalitativ ansats årskurs 6-elevers val av strategier och
2
Bakgrund
Bakgrunden inleds med en presentation av olika begrepp som används i studien. Därefter presenteras vad problemlösning är och vilka direktiv som finns i skolans styrdokument kring arbetet med problemlösning. Vidare beskrivs vad denna process innebär samt utvecklas begrepp som problemlösningens faser, strategier och representationsformer.
Begreppsdefinitioner
Inom forskningsområdet problemlösning används flera begrepp synonymt och det kan vara svårt att urskilja med vilken betydelse begrepp som tillvägagångssätt, metod och strategi används. Nedan följer en presentation av de begrepp som används i denna studie och hur de ska tolkas.
Tillvägagångssätt: används som ett samlingsbegrepp för hur eleverna har gått tillväga under hela lösningsprocessen, från det att problemet presenteras till att en lösning redovisas.
Metod: syftar på en matematisk metod, exempelvis metoderna talsorter för sig eller runda tal vid addition.
Strategi: det verktyg som används för att lösa ett matematiskt problem, exempelvis rita, göra en tabell eller gissa och pröva.
Representationsformer: de sätt som eleven använder för att kommunicera sin lösning, exempelvis matematiska symboler, diagram eller text.
Vad är problemlösning?
Problemlösning handlar om att lösa ett problem som uppstått. I den didaktiska diskursen är begreppet dock inte entydigt. Lester (2013) poängterar att oavsett forskningsinriktning finns det två gemensamma nämnare kring definitionen av problemlösning. De är att det finns ett mål att nå samt att individen, det vill säga problemlösaren, inte omedelbart vet hur den ska nå det målet. Lester menar att denna och få beskrivningar av problemlösning inte är tillräckliga för att ur ett didaktiskt perspektiv få någon klarhet i vad som faktiskt sker och därmed vad eleven kan tänkas behöva hjälp med. Författaren lyfter fram en mer ingående beskrivning av problemlösningsprocessens olika delar. Problemlösning involverar ett
samspel mellan att koordinera tidigare erfarenheter och kunskaper, bekanta representationer och mönster från tidigare slutsatser samt intuition i syfte att skapa nya representationer, mönster och slutsatser som gör problemet begripligt och lösbart (Lester, 2013).
Matematisk problemlösning, tillämpningar och modeller är nära besläktat med varandra. Bergman Ärlebäck (2013) belyser sambanden mellan dessa tre matematiska
3
tillämpa matematik på områden utanför matematiken, så kallade utom-matematiska områden. Det vill säga att matematiska begrepp, idéer och konstruktioner tillämpas och används som verktyg i verkliga situationer. Vidare beskrivs modellering som en matematisk avspegling i syfte att beskriva, förstå, förutsäga eller förklara någon aspekt av en situation eller händelse. Att utveckla problemlösningsförmågan kan därmed ses som grunden för att senare kunna använda matematik för olika syften. Silver (1994) argumenterar för att använda sig mer av liknande inslag i undervisningen där verkliga händelser eller situationer som eleverna ställs inför kopplas till matematik, vilket inom den didaktiska forskningen kallas för ”problem posing”. Silver menar att elevers eget intresse och nyfikenhet mycket sällan får styra vilka uppgifter och problem de tar sig an.
Problemlösning i grundskolan
I läroplanens inledande kapitel förmedlas att arbetet med problemlösning ses som en del i att stimulera elevernas kreativitet, nyfikenhet och självförtroende i syfte att utveckla deras vilja att pröva och omsätta idéer i handling (Skolverket, 2019). Dessa egenskaper ses som viktiga för att leva och verka i dagens föränderliga samhälle. Problemlösningsförmågan uppmärksammas redan i förskoleklassens läroplan där de yngre barnen förväntas
uppmuntras och utmanas i sina försök att testa och genomföra sina idéer (Skolverket, 2019). Problemlösningsförmågan utvecklas därefter från och med årskurs 1 inom två olika ämnen, matematik och teknik (Skolverket, 2019). Inom matematiken ska eleverna utveckla sin förmåga att använda sig av matematik för att lösa problem som kan uppstå i vardagen och inom olika ämnesområden. Eleverna ska kunna lösa ett problem genom att använda
matematiska formuleringar, metoder och strategier. De ska även kunna tolka vardagliga och matematiska situationer och beskriva dessa med hjälp av matematiska uttrycksformer. En progression sker genom årskurserna för att i slutet av årskurs 9 kunna använda sig av matematiska tillämpningar och modeller av verkliga sammanhang (Skolverket, 2019). Det skulle tillexempel kunna innebära att använda sig av den linjära funktionen y = kx + m utifrån en situation när något ökas konstant, exempelvis ett kilopris. Inom teknik ska eleverna utveckla kunskaper om hur olika tekniska lösningar kan fylla olika behov och lösa problem (Skolverket, 2019).
Vidare skrivs en skillnad fram i kursplanen för matematik mellan att lösa problem samt att lösa rutinuppgifter (Skolverket, 2019). Ett problem definieras i kommentarmaterialet av att eleven inte på förhand vet hur den ska lösa uppgiften, utan behöver istället söka och pröva olika sätt att finna en lösning. (Skolverket, 2017). Taflin (2007) belyser på ett likande sätt att det finns olika sorters uppgifter, se Figur 1 nedan, som våra elever arbetar med i skolan.
4
Figur 1
Schema för att definiera skillnaden mellan olika typer av uppgifter
Kommentar: Hämtat från Taflin (2007, s.30).
Författaren beskriver rutinuppgifter som uppgifter där eleven är bekant med lösningsmetoden vars syfte ofta är färdighetsövning. Vidare skiljer sig textuppgifter gentemot rutinuppgifter genom att de innehåller ett språk utöver de matematiska symbolerna. Texten sätter
matematiken i ett sammanhang för att visa möjliga tillämpningar i verkligheten. Språket kan i sig innebära ett problem för eleverna men de är först när eleven förstått uppgiften och därefter inte vet hur den ska gå tillväga som uppgiften kan ses som ett matematiskt problem. Rika matematiska problem ses som särskilt värdefulla i syfte att utveckla kunskap om olika matematiska begrepp. Taflin (2007) har i sin studie definierat olika kriterier som ett problem bör uppfylla för att problemlösningen ska bli ett givande matematiskt lärtillfälle i skolan. Dessa matematiska problem benämns för rika problem. Taflin lyfter bland annat fram att problemet ska beröra viktiga matematiska idéer eller lösningsstrategier. Läraren bör därför reflektera över problemets syfte och vad som är tänkt att läras genom problemet. Vidare belyser skribenten att problemet ska vara så pass enkelt att alla elever kan ges möjlighet att arbeta med det samtidigt som det ska utmana eleverna. Det är även av stort värde att problemet kan lösas på flera olika sätt vilket främjar en diskussion kring elevers olika strategier, representationer och matematiska idéer.
Utifrån såväl Lester’s (2013) som Skolverkets (2017) definition av problemlösning framgår att problem inte är generella för alla utan högst individuella beroende av individens
förkunskaper. Vilka uppgifter som därmed uppstår som problem för våra elever kan inte på förhand bestämmas.
Problemlösningsprocessen
Pólya (1945) presenterade i boken ”How to solve it” problemlösningens olika faser. Den första fasen innebär att förstå problemet. I denna inledande fas behöver eleven överblicka problemet och identifiera vad som ska lösas samt vilken information som framgår och kan vara användbar. I den andra fasen görs en plan kring hur problemet ska lösas. Här planeras möjliga
Uppgift
Problem
Rika
problem problemÖvriga
5
tillvägagångssätt. Samband söks mellan det som eleven vet och det som den behöver ta reda på. Eleven funderar över vilka tidigare erfarenheter och verktyg som kan vara användbara. Under den tredje fasen genomförs planen och olika vägar testas för att hitta en lösning. Slutligen beskriver Pólya att den sista fasen innebär att se tillbaka och kontrollera lösningen och svaret. I denna fjärde fas granskas och prövas den lösning som använts. Eleven behöver fundera över hur lösningen kan kontrolleras, är svaret rimligt samt kan lösningsmetoden användas till något annat problem.
Lester (1996) kompletterade Pólyas faser med vad han beskriver som olika tankeprocesser under problemlösningen. Inledningsvis behöver eleven överblicka problemet och urskilja en rad faktorer som styr problemets förutsättningar. För det första behöver eleven förstå vad som frågas efter i problemet eller situationen för att kunna formulera frågan för sig själv. Därefter behöver de villkor och variabler som styr problemet identifieras. Slutligen ska eleven finna och välja ut data som behövs för att lösa problemet. Det är först när dessa faktorer har urskilts som eleven kan börja fundera på hur den ska gå tillväga. Lester beskriver att nästa steg består av att formulera delproblem och välja lämpliga lösningsstrategier. Här kan eleven behöva ompröva sina val och revidera sin plan för att använda strategin korrekt och nå sina delmål. Därefter bör eleven ge svar i de termer som ges i problemet. Slutligen behöver svarets rimlighet värderas och om möjligt göra lämpliga generaliseringar (a.a. s. 89).
Vidare väljer elever olika vägar, utifrån sina förkunskaper och matematisk förmåga, för att finna en lösning på ett eventuellt problem. De val de gör och strategier de använder speglar deras tankeprocess under problemlösningen. En vanligt förekommande taktik som elever använder för att lösa matematikuppgifter i allmänhet är att de imiterar en given eller på förhand känd lösningsmetod. Lithner (2008) beskriver att när ingen sådan finns tillgänglig behöver eleverna själva skapa en lösningsmetod, vilket är fallet när vi kommer till
problemlösning. För detta krävs vad Lithner kallar för kreativt matematiskt resonemang vilket inbegriper att göra matematiska kopplingar med argument, till både sig själv och andra, kring varför dessa kopplingar hänger ihop och därmed kan lösa uppgiften. Det är mot denna bakgrund, att resonemang och reflektion är nödvändigt för att lösa uppgiften, som forskning belyser hur problemlösning kan fungera som ett komplement till den mer traditionella undervisningen med rutinuppgifter som bas. Lithner har i sin studie skapat ett ramverk som kan användas för att kategorisera olika lösningsmetoders grad av nytänkande och oberoende av stöttning utifrån begreppen kreativt matematiskt resonemang (CMR) och imitativt resonemang (IR). Använder sig eleven av det senare innebär lösningen ingen större ansträngning eller utmaning för eleven då denne imiterar en för eleven redan känd metod. Det vill säga att eleven känner till och behärskar en metod som löser uppgiften. I kontrast till detta använder Lithner begreppet kreativt matematiskt resonemang i de situationer när eleven inte känner till eller presenteras en fungerande lösningsmetod. I detta fall utmanas eleven att på egen hand söka nya vägar och förståelse som kan leda till en lösning.
Strategier
När eleven inte har en given lösningsmetod tillgänglig finns det en rad verktyg, vilka inom problemlösningen benämns strategier, som eleverna kan ta hjälp av. En central del i
6
problemlösningsprocessen blir därmed valet av strategi som görs för att finna en lösning. Såväl Pólya (1945) som Lester (1996) har med flera andra beskrivit olika strategier som kan användas. I detta sammanhang har bland annat Schoenfeld (1985) lyft fram heuristiken som aktuell i undervisningen kring problemlösning. Heuristik är läran om metoder för att
upptäcka eller skapa ny kunskap och benämns av Svenska Akademins ordbok som både ”uppfinningslära” och metodlära (SAOB, 1931). Schoenfeld argumenterar för att eleverna kan utveckla sin problemlösningsförmåga genom att tillägna sig kunskaper om användbara strategier och metoder i allmänhet och för särskilda typer av problem.
Lester (1996) poängterar att det ofta är framgångsrikt att arbeta med flera strategier under lösningsprocessen. Författaren lyfter bland annat fram att eleverna kan rita en bild, göra ett diagram eller dramatisera situationen. Olika strategier är lämpliga för olika situationer och kan även användas i skilda syften. Ytterligare strategier som Lester framhåller är att skriva upp en ekvation, gissa och pröva eller lösa ett enklare problem först. Eriksson (1991) beskriver några strategier och när de kan tänkas vara användbara. Eriksson menar även han att en kombination av olika strategier i sig kan vara till en hjälp. Att rita en bild eller använda sig av konkret material är oftast fördelaktigt genom den överblick som skapas. Dessa
strategier kombineras ofta med andra strategier. Att göra en lista eller använda en tabell kan strukturera information och organisera tänkandet för att se mönster och samband.
Ytterligare en strategi är att arbeta baklänges fram till ett svar. Eriksson menar dock att detta kräver en hel del logiskt tänkande och organisering av information.
Representationsformer
Grevholm, Riesbeck och Taflin (2014) beskriver hur man i undervisningen kring
problemlösning kan ta hjälp av olika representationsformer, det vill säga uttrycksformer för att kommunicera sin lösning, för att stötta eleverna i Pólyas fjärde och avslutande fas. Metoden bygger på användningen av olika ”fyrfältare” där eleverna får beskriva samma problem och dess lösning på olika sätt. Detta är ett enkelt sätt att börja använda sig av matematisk modellering som beskrivits ovan (Bergman Ärlebäck, 2013). I de yngre åldrarna
exemplifierar Grevholm et al. (2014) att eleverna kan beskriva hur de tänkt genom föremål, bild, ord och symbol. I de lite högre åldrarna skulle det exempelvis kunna vara rubriker som konkret representation, logisk/språklig representation, aritmetisk/algebraisk representation samt grafisk/geometrisk representation. Taflin (2007) utvecklar i sin avhandling att den konkreta representationen kan bestå av avbildningen av ett fysiskt material. En logisk eller språklig representation innebär att eleven beskriver med skriftspråk hur den har tänkt. I den aritmetiska eller algebraiska representationen används matematiska symboler och i den grafiska eller geometriska visas lösningen genom grafiska framställningar eller geometriska bilder.
Strategier och representationer är nära förbundna. Det kan ofta vara så att samma
uttrycksform används men med två skilda syften. Skolverkets stödmaterial (Teledahl, 2014) förklarar tillexempel att bilder kan användas både i syfte att förstå eller lösa problemet men kan även användas för att redovisa tankar och eventuella lösningar av problemet.
7
Sammanfattning
Problemlösning handlar om att ställas inför en svårighet där det inte direkt finns ett givet svar eller tillvägagångssätt. Vidare ses problemlösning som en central del i grundskolan och är användbar i det fortsatta livet. Utifrån olika teorier om problemlösning kan utläsas att undervisningen kan rikta sig mot tre olika syften. Undervisning för att utveckla
problemlösningsförmågan, undervisning om hur man kan lösa problem samt undervisning genom problemlösning i syfte att utveckla kunskaper om särskilda matematiska begrepp (Taflin, 2007). Den här studien riktar sig mot att undersöka hur eleverna går tillväga i sina försöka att lösa de problem de ställs inför.
Teori
Att ställas inför ett problem innebär alltså att något nytt måste läras. Lesters beskrivning av problemlösning ovan kan därmed ställas i relation till olika teorier om lärande. I detta avsnitt presenteras två olika teorier som har fungerat som ett stöd i diskussionen för att resonera om studiens resultat.
Konstruktivismen
Utifrån konstruktivismen förklaras lärande som en aktiv process där förståelse och
inhämtande av nya kunskaper är beroende av individens tidigare erfarenheter (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). Den konstruktivistiska lärandeteorin framhåller att kunskap är något som varje människa konstruerar utifrån ett samspel mellan faktiska sinnesintryck och individens förnuft. Människan organiserar sin kunskap i olika strukturer som utifrån nya handlingar och erfarenheter leder till reflektion och omorganisering av de befintliga strukturerna.
Figur 2
Konstruktivistiska idéer om lärande
Kommentar: Hämtad från Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz (2000, s. 88).
Problemlösning skulle därmed kunna motiveras utifrån den konstruktivistiska lärandeteorin. Teorin framhåller att eleverna själva ska söka efter förståelse genom att undersöka och upptäcka nya lärdomar. Kunskap är något som individen själv konstruerar. Eleverna ses därmed inte som passiva mottagare av kunskap utan uppmuntras att vara aktiva och
Handlingar och
erfarenheter Reflektion
Lärande och kunskap
8
delaktiga i lärandeprocessen. Teorin menar även att kunskapen byggs upp bit för bit vilket betonar vikten av att bygga undervisisningen kring elevernas tidigare erfarenheter
(Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). Denna teori har under senare tid fått allt mer kritik av bland andra Linderoth (2016) och Wikforss (2017) vilka menar att teorin
underminerar lärarens roll och betydelse i lärandeprocessen samt som en av anledningarna till vad som i debatten liknas vid skolans förfall.
Teorin om didaktiska situationer
Brousseaus (1997) teori om didaktiska situationer (TDS) är, till skillnad från den generella teori som konstruktivismen framhåller, något mer specifik av sin karaktär. Brousseau beskriver sina tankar kring hur matematikundervisning ska bedrivas och utformas för att eleverna ska ges möjlighet att lära. En grundläggande uppfattning som Brousseau har är att eleven själv behöver engagera sig i sin kunskapsinhämtning. Författaren beskriver att lärare och elev behöver göra ett didaktiskt kontrakt där läraren överlämnar ansvaret för lärandet till eleven som också behöver acceptera detta ansvar. Detta innebär dock inte att läraren inte har en viktig roll i undervisningen. I citatet nedan uttrycker Sidenvall (2019) hur han
uppfattar de olika roller som lärare och elev har i lärandeprocessen. ”Något tillspetsat skulle man kunna säga att Brousseau (1997) menar att en elev endast kan lära sig det eleven själv kommer på och inser. Läraren måste skapa, designa en undervisning som möjliggör sådana situationer för eleven.” (Sidenvall, 2019 s. 23) Undervisningen kan därmed inte gå ut på att läraren ska förmedla en förklaring eller metod som är den enda sanna eller rätta. Brousseau menar att kunskap inte kan överföras på detta sätt från lärare till elev, istället behöver eleven själv komma till insikt.
Brousseau (1997) menar att svårigheter kan uppstå när kontraktet bryts. Exempelvis om läraren inte känner att denne kan lära ut eller att eleven upplever att hen inte förstår och kan lära sig det som var tänkt. För att komma runt problemet finns då en risk att läraren
förenklar sin undervisning genom att använda sig av standardlösningar eller algoritmer som eleven kan memorera, istället för att gå till botten med vad eleven inte uppfattar.
Algoritmerna kan möjliggöra att eleverna klarar av uppgifter som de annars inte skulle lösa på egen hand, dock ibland utan att de har kommit till insikt eller utvecklat sin matematiska förståelse. Brousseau menar att denna didaktik inte är effektiv i det långa loppet då eleverna saknar den kunskap och förståelse de behöver för att förstå vad de håller på med. Istället lyfter författaren fram att eleverna ibland behöver utmanas genom att skapa egna
9
Syfte
Studiens syfte är att lyfta fram elevers olika tillvägagångsätt när de löser ett givet matematiskt problem i årskurs 6.
Detta syfte avser jag att uppfylla genom att besvara följande frågor: Vilka skilda strategier använder elever för att lösa problemet?
Vilka skilda representationsformer använder sig elever av när de kommunicerar sin lösning?
10
Metod
I detta kapitel redovisas hur studien genomförts och vilka argument som ligger bakom dessa val. Kapitlet avslutas med en presentation av studiens etiska överväganden. En diskussion gällande studiens tillförlitlighet och äkthet förs i kapitlet Diskussion.
Datainsamlingsmetoder
Studiens intresse grundar sig i att undersöka och kartlägga hur elever går tillväga när de ställs inför ett specifikt matematiskt problem. Studien eftersträvar därmed djup snarare än bredd varpå en kvalitativ forskningsansats har använts i syfte att framställa beskrivningar av elevernas lösningsmetoder som skall ge en så rik kunskap som möjligt av verkligheten. Insamling av data skedde i tre steg (se Figur 3 nedan) genom deltagande observation, elevlösningar och semistrukturerade parintervjuer.
Figur 3
Schema över datainsamlingsprocessen
Christoffersen och Johannessen (2015) beskriver att observation är en användbar metod när forskaren vill ha direkt tillgång till det som undersöks. Valet av deltagande observation gjordes utifrån den möjlighet som ges till närvaro under elevernas lösningsprocesser med avsikt att kunna bilda sig en uppfattning om hur eleverna faktiskt går tillväga.
Observationens syfte var att följa elevernas arbete med problemet och få inblick i hur de gick tillväga och vilka resonemang som fördes. Detta ledde till en ökad förståelse kring elevernas lösningar inför den kommande innehållsanalysen samt som en förberedelse inför de semistrukturerade intervjuerna. Datamaterialet från observationen bestod av
fältanteckningar angående intryck från lektionen och elevernas lösningar (se
Deltagande observation
• Av elevernas lösnings-processer
Elevlösningar • Analyseras i efterhand
Semistrukturerade intervjuer
• Följer upp och fördjupar elevernas lösningar
11
observationsschema, bilaga 2). En kvalitativ innehållsanalys av elevernas lösningar användes för att urskilja elevernas skilda strategier och representationsformer. Fokus riktades mot lösningarnas olikheter och processen beskrivs mer ingående under rubriken ”Analys av insamlad data” nedan. Det sista steget i datainsamlingsprocessen var genomförandet av intervjuer med avsikt att fördjupa datamaterialet genom uppföljande frågor, förtydligande förklaringar och motiveringar till elevernas lösningsmetoder. Intervjuerna möjliggjorde en återblick och rekonstruktion av den genomförda problemlösningsmetoden vilket gav värdefull information utöver fältanteckningarna och elevlösningarna (Christoffersen & Johannessen, 2015). Valet av en semistrukturerad intervju gjordes i syfte att strukturera samtalet för att ge ändamålsenliga underlag till de aktuella forskningsfrågorna.
Urval
För att kunna besvara ovan beskrivna forskningsfrågor genomfördes studien i två klasser i årskurs 6 på en låg- och mellanstadieskola. I undersökningen medverkade totalt 37 elever. Utifrån observationsunderlaget och innehållsanalysen gjordes sedan ett andra strategiskt urval kring vilka elever som valdes ut för intervju. Urvalet grundade sig på elevlösningarnas skillnader med fokus på en maximal variation (Christoffersen & Johannessen, 2015). 20 elever valdes ut att intervjuas i par, därav genomfördes 10 intervjuer.
12
Genomförande
Inledningsvis genomförde jag en lektion där eleverna ställdes inför det matematiska
problemet ”Målade kuber”, se nedan. Problemet är hämtat ur Skolverkets problembank för årskurs 4-6 (Hagland, Sundberg & Hårrskog, 2014). Problemet handlar om en
tredimensionell kub som är uppbyggd av mindre kuber. Problemet består av delproblem a - e där eleverna ställs inför olika uppgifter. Genom problemet ges eleverna bland annat möjlighet arbeta med olika geometriska begrepp samt att upptäcka olika matematiska mönster.
Problemet: Målade kuber
En kub har måtten 3·3·3 cm och är målad med grönt på utsidan. Denna stora kub kan delas upp i 27 mindre kuber på 1 cm³ vardera.
Hur många av de små kuberna har a) Tre sidor målade? b) Två sidor målade? c) En sida målad? d) Ingen sida målad
e) Hur många små kuber är målade på 0, 1, 2, 3 sidor om den stora kuben delas i 64 eller 125 mindre kuber?
Lektionen inleddes med att problemet presenterades och förklarades varpå eleverna gavs en stöttning i den första och andra problemlösningsfasen utifrån Lesters (1996) beskrivning ovan. Från och med den tredje fasen där eleverna ska finna och välja ut de data som behövs för att lösa problemet har ett didaktiskt val gjorts att eleverna arbetar i par för att främja elevernas resonemang. För att inte leda eleverna i deras lösningsförsök arbetade de självständigt vidare i sina parkonstellationer utan hjälp och stöttning från lärare eller forskare. Till sin hjälp hade eleverna penna, papper, miniräknare samt konkret material. Under observationen studerade jag eleverna genom att cirkulera i klassrummet och stanna upp vid intressanta situationer. I vissa fall ställde jag frågor för att bättre förstå elevernas tillvägagångssätt. Efter lektionen samlades de olika lösningarna in för en innehållsanalys, vilket resulterade i ett urval av 10 elevpar som valdes ut till intervju.
De efterföljande intervjuerna genomfördes på skolan två dagar efter observationen utifrån en på förhand framarbetad intervjuguide (bilaga 3). Eleverna intervjuades parvis i ca 10 – 15 min i samma konstellationer som de arbetat med problemet under lektionen. Elevernas lösningar fungerade som grund och utgångspunkt i samtalen för att hjälpa dem att reflektera över sina valda strategier och representationsformer (Bryman, 2008). Utifrån den
13
eventuella följdfrågor som ställdes. Intervjuerna spelades in med video för att kunna
bearbeta både verbal och ickeverbal kommunikation under analysprocessen (Bryman, 2008). Eleverna kunde då visa, peka, rita eller skriva när de pratade om och beskrev sina lösningar. Direkt efter avslutad intervju gjordes minnesanteckningar.
Analys av insamlad data
Datamaterialet bearbetades i fyra steg med inspiration från metoden Grounded theory (Bryman, 2008). Materialet behandlades därmed i en kodningsprocess i takt med att det samlades in. Inledningsvis gjordes en analysav observationsunderlaget från den genomförda lektionen. Fältanteckningarna sorterades utifrån gemensamma egenskaper samt noterades intressanta iakttagelser som följdes upp i de följande intervjuerna. Därefter gjordes en innehållsanalys av de insamlade elevlösningarna. Lösningarna sorterades utifrån de visade strategierna och representationsformerna som eleverna använde i syfte att finna olika
kategorier av strategier. Kategorierna var inte på förhand bestämda utan dessa formades och reviderades efterhand utifrån den insamlade empirin (Bryman, 2008). Analysen grundade sig på följande frågor.
₋ Vilka strategier har eleverna använt?
₋ Vilka representationsformer har eleverna använt? ₋ Hur har eleverna kontrollerat sina lösningar? ₋ Vilka möjliga kategoriseringar finns?
Därefter bearbetades intervjuerna. Intervjuerna transkriberades i sin helhet, det vill säga ordagrant. Fokus riktades mot att identifiera innebörder snarare än att komma fram till på förhand bestämda uppfattningar. Bearbetningen skedde i en process där jag rörde mig fram och tillbaka mellan nedan beskrivna steg.
₋ Texten lästes upprepade gånger i sin helhet.
₋ Relevanta meningar eller fraser identifierades och plockades ut i sitt sammanhang, som en meningsbärande enhet.
₋ Enheterna kortades ned så att endast det väsentliga kvarstod ₋ Enheterna grupperades i kategorier efter gemensamma egenskaper ₋ Kategorierna beskrevs och benämndes
₋ Kategorierna relaterades systematiskt till varandra
Slutligen bearbetades informationen som framgick från samtliga tre datainsamlingsmetoder för att få en sammanhållen och rik bild av elevernas tillvägagångssätt. Denna slutgiltiga kodningsprocess innebar att all data gicks igenom och att definitiva etiketter sattes för de olika kategorier av strategier och representationsformer som framkommit (Bryman, 2008). Materialet och kategorierna strukturerades slutligen i en kronologisk struktur från
14
Etiska överväganden
Studien genomfördes efter Vetenskapsrådets (2017) aktuella rekommendationer utifrån rådande lagar, regler och riktlinjer. Etiska överväganden har gjorts utifrån att studien involverar elever som ännu inte uppnått myndig ålder. Hänsyn har tagits till
informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. Detta innebär att elever som medverkat i studien och deras vårdnadshavare har informerats om studiens syfte, deras rätt att bestämma över sin medverkan, hantering av data,
personuppgifter och avidentifiering samt att insamlad data endast kommer användas för detta forskningsprojekt (se bilaga 1). Samtliga vårdnadshavare till elever som medverkat har undertecknat sitt samtycke till att eleven fick delta i studien.
15
Resultat
I detta kapitel redovisas studiens resultat. Analysen av det insamlade datamaterialet visade att eleverna kombinerade och varierade strategier genom problemlösningens olika faser. Det var även vanligt förekommande att strategierna och tankeprocesserna utvecklades genom att eleverna gjorde generaliseringar utifrån tidigare konstateranden. Resultatet presenteras därav utifrån en kronologisk struktur där elevernas skilda sätt att lösa uppgiften beskrivs från lösningsprocessens början till slut.
I figur 4 nedan presenteras en kort översikt över de tillvägagångssätt som har framkommit av datamaterialet. Utifrån analysen framkom tre huvudstrategier, rita, bygga och visualisera. Strategin rita innebär att eleverna på något sätt har avbildat den beskrivna kuben. Strategin bygga innebär att konkret material användes för att skapa en modell av den beskrivna kuben. De elever som använde sig av strategin visualisera tänkte sig kuben framför sig utan vare sig ritning eller modell. Vidare utvecklades dessa huvudstrategier i olika former vilket redovisas i figurens första kolumn. I kolumn två och tre presenteras de strategier som eleverna använde som komplement till de tre huvudstrategierna i syfte att lösa delproblem a – d respektive e. Därefter sammanfattas vilka olika representationsformer som framkom och slutligen olika strategier för att kontrollera lösningen av problemet.
Figur 4
Översikt över elevers strategier, representationsformer samt olika sätt att kontrollera sin lösning
Elevernas tillvägagångssätt beskrivs och utvecklas, med hjälp av bilder och utdrag från intervjuerna, mer djupgående i kommande avsnitt. Inledningsvis presenteras de strategier som användes för att överblicka problemet och urskilja förutsättningar. Därefter följer en
Strategier för att överblicka problemet och urskilja förutsättningar Rita • 3D kub • Utvecklad kub • En sida Visualisera Bygga • Exakt kopia • Ett skal • En sida
Strategier för att lösa delproblem a-d:
Peka och räkna
Sortera
Utesluta
Plocka isär
Resonera
Strategier för att lösa delprobroblem e:
Gissa och pröva
Samma strategi Generalisera och
förfina Finna samband och
likheter
Representations-former
Text
Matematiska symboler Text & matematiska
symboler Tabell Strategier för att kontrollera lösningen Visuellt bevis Markera Kontrollräkna
16
beskrivning av de strategier som användes i samband med delproblem a – e. Slutligen redovisas elevernas valda representationsformer samt hur de kontrollerat in lösning. Strategier för att överblicka problemet och urskilja
förutsättningar
I den inledande fasen av problemlösningen gällde det för eleverna att uppfatta kubens form och uppbyggnad, vad problemet bestod utav och vad de skulle ta reda på. De behövde även urskilja vilka förutsättningarna var och vilken information som var relevant. I denna
inledande fas uppfattade jag en skillnad i hur de olika klasserna som grupp gick tillväga. I den ena klassen valde nästan uteslutande alla elever att rita eller visualisera kuben i huvudet. Detta skilde sig mot den andra klassen där majoriteten istället valde att använda konkret material för att bygga en modell. I denna fas identifierades tre huvudsakliga strategier som jag valt att kalla rita, bygga och visualisera. Dessa tre strategier användes för att få grepp om problemet och för att identifiera de variabler som styrde problemets förutsättningar. Under observationen uppmärksammade jag att flertalet elever kombinerade dessa strategier. Flera elever uttryckte att de upplevde det enklare att ta sig an problemet när de hade en konkret ritning eller modell framför sig. Nedan följer utdrag ur två olika intervjuer där eleverna uttrycker varför de valde att rita eller bygga en modell.
Intervjuare: Kan ni berätta lite, hur gjorde ni när ni löste det här problemet? Emma: Vi började med att måla upp den i 3D så att vi kunde titta lite, på alla hörn och sådär.
Intervjuare: Varför kände ni att det var bra att måla den?
Lisa: För att då ser man lite enklare än om man bara tänker i huvudet. Intervjuare: Okej, då så får ni förklara. Ni läste problemet, hur kändes det då? Kändes det lätt eller svårt?
Kajsa: Svårt
Erik: Mmm, men vi gjorde det mycket enklare när vi byggde en kub, och så räknade sidorna liksom. Så man kunde se…
Rita
Strategin rita innebär att eleverna på något sätt har avbildat den beskrivna kuben. Under analysen urskildes tre olika varianter av strategin. Att rita en tredimensionell kub var vanligast förekommande. Ett exempel på en sådan kub visas på bilden nedan (Bild 1). Ett elevpar valde även att måla kuben ur olika perspektiv för att göra det möjligt att överblicka exempelvis både över och undersida. En annan variant innebar att rita en tvådimensionell utvecklad kub (se Bild 1 nedan).
17
Intervjuare: När målade ni den här utvecklade kuben?
Emma: Det var när vi skulle räkna dom som bara var två på. Då kan man se lite lättare, för vissa sitter ju ihop också så att man inte räknar dom flera gånger. Intervjuare: Vad menar du med det, att vissa sitter ihop?
Emma: Tillexempel dom två (pekar på kantbitarna) sitter ihop, så att man inte räknar dom två gånger.
Intervjuare: Varför blev det tydligare att se detta med den här utvecklade bilden? Lisa: Man ser tydligare var de sitter ihop, eller man kunde typ tänka att man tar ihop den igen och då ser man vart det är.
Ett annat elevpar använde sig av samma strategi. Deras ritning visas i mitten nedan (Bild 1). De tyckte strategin blev för krånglig när de skulle få fram antalet kuber med två respektive tre målade sidor och valde istället att fortsätta med en modell. Eleverna upplevde det svårt att se var kanterna möttes och därmed avgöra vilka delar som de redan hade räknat med. Ytterligare ett alternativ var att tänka sig kuben ur olika vinklar där sida för sida ritades upp var för sig. Några elever förklarade att det var slumpen som gjorde att denna strategi användes då det inte fanns utrymme på pappret att rita en tredimensionell kub som varit tanken från början. Strategin visade sig sedan effektiv vilket gjorde att eleverna fortsatte att använda sig av denna strategi vidare genom lösningsprocessen.
Bild 1
Exempel på ritningar
Kommentar: Bilderna visar olika varianter av strategin rita. Från vänster visas en
tredimensionell kub, en utvecklad tvådimensionell kub, dels en ritning över kubens sidor framställda var för sig.
Bygga
En annan strategi eleverna använde gick ut på att bygga en modell av den beskrivna kuben. Även denna strategi utvecklades på olika sätt. Liksom vid strategin rita fanns det ett sätt som dominerade framför de andra. Det flesta elever valde att bygga en direkt och fullständig kopia av kuben med dess alla delar, det vill säga 3·3·3 mindre kuber. En annan variant av modell var uppbyggd av enbart de yttre kuberna och var i sin konstruktion ihålig. Modellen
18
utgjorde således enbart ett skal. Dessa två varianter visas på bilden nedan (Bild 2). Jag observerade även att några elever hade ett löstagbart lock vilket gjorde att de kunde se inuti modellen.
Erik: Vi märkte också sen att om man har den ihålig kan man öppna och så kan man verkligen se hur många som ska va där inne. De som är inga målade alltså. Då kan man ju se det… ganska enkelt.
Bild 2
Exempel på modeller
Kommentar: Bilderna visar olika varianter av strategin bygga. Från vänster visas en tredimensionell kub och till höger visas en ihålig kub.
En tredje modell utgjordes endast av en ram till en sida eller ett av kubens lager. Jag iakttog när eleverna använde sig av denna sida för att resonera sig fram till såväl tre, två, en som noll målade sidor. De fann hörnen och kantbitarna som hade tre respektive två målade sidor. De kunde även se hur många som hade en målad sida samt resonera sig fram till de dolda kuberna i mitten.
Visualisera
De elever som använde sig av strategin visualisera tänkte sig kuben framför sig utan vare sig ritning eller modell. I dessa fall räckte det med att skapa sig en inre bild för komma vidare i problemlösningsprocessen. En elev valde att använda sig av ett tidigare känt föremål genom att visualisera en Rubiks kub. Det var vanligt att denna strategi kompletterades med logiska resonemang som förde eleverna till insikt. Under intervjuerna frågade jag flera elever efter deras förklaringar om de hade ”tänkt detta i huvudet” och det var flertalet elever som
bekräftade detta. Nedan följer två utdrag ur intervjuerna där elever beskriver hur de föreställt sig kuben på olika sätt.
19
Intervjuare: Kommer ni ihåg hur ni tänkte, hur började ni?
Erik: Jag började tänka att det var tre sidor, okej. Då tänker jag en kub här framför mina ögon.
Intervjuare: Om vi börjar med den första, hur många har tre sidor målade. Hur tänkte ni där?
Edvin: Om man tänker såhär… har du sett en Rubiks kub någon gång? Intervjuare: Mmm
Edvin: Och då om man tänker sig den, då är det dom här hörnen. Dom kuberna som är här uppe och här nere, längst ut på hörnen (tecknar i luften) dom har ju tre målade sidor för dom går ju runt på… om vi säger att det är den här längst uppe på ett hörn så är det den uppe på toppen, på en sida och sen framåt som är målade.
Lösningar av delproblem a-d: strategier för att identifiera synliga och osynliga delar
Nästa steg i problemlösningsprocessen innefattade frågorna: Hur många av de små kuberna har a) Tre sidor målade? b) Två sidor målade? c) En sida målad? d) Ingen sida målad?
Eleverna utgick här från de huvudstrategier som beskrivits ovan och kompletterade dessa med nya strategier som ledde dem vidare till lösningar av de olika delproblemen.
Peka och räkna
Den vanligaste strategin att lösa delproblem a-c på var att peka och räkna antalet målade sidor utifrån en ritning eller modell. Vissa par markerade systematiskt på sin ritning de kuber de hade räknat för att strukturera och kontrollera att de räknat rätt. Några elever som hade valt att bygga en kub beskrev att de höll kvar sina fingrar på de kuber de hade räknat för att inte tappa bort sig. Jag uppfattade att denna strategi föll sig naturligt för eleverna efter att flertalet överblickat förutsättningar med hjälp av ritning eller modell. En elev uttryckte det ”sen räknade vi bara”.
Sortera
Under observationen uppfattade jag att ett elevpar valde en annorlunda strategi vilken jag benämner för sortera. Efter att paret byggt en modell av den minsta kuben monterade de bit efter bit ned den igen och sorterade de mindre kuberna efter egenskaper, det vill säga tre, två en eller noll målade sidor i olika högar. Detta skedde systematiskt bit för bit tills alla delar var nedmonterade. Slutligen räknade eleverna hur många kuber som låg i varje hög.
20
Resonera
Det var även vanligt förekommande att eleverna förde logiska resonemang utifrån en inre visualisering. Eleverna beskrev och resonerade om hur det måste vara utifrån de fakta som de hade identifierat så långt. Ett exempel på strategin resonera kommer till uttryck i utdraget nedan.
Intervjuare: Och sen då? Hur gick ni vidare? Niklas: Då var det ju en sida målad.
Viktor: Då var det ju den som inte hade någon kant, som inte kunde ses från två håll. Utan som bara kunde ses från ett håll vilket är den i mitten på varje sida. Niklas: Och det är ju sex sidor och då blir det sex stycken som bara har en sida målad.
Intervjuare: Och sen var det ju de i mitten då?
Viktor: Om man bygger upp en kub säger vi… som är 3·3·3 så är det ju… om man bara bygger väggarna, över, under och åt sidorna så blir det ju liksom en bit kvar i mitten som inte syns alls.
En elev förde sitt resonemang utifrån kubens måttangivelser. Efter att paret kommit fram till att varje hörn utgjorde de delar som hade tre målade sidor tog de sig nu an de delar som hade två målade sidor. De konstaterade ganska direkt att det måste vara kantdelarna som var målade på två sidor. När de skulle ta reda på hur många kantdelar som fanns använde de den information de fått om kubens mått. Eleven beskrev det som att vardera hörn utgjorde 1 cm, tillsammans utgör då två hörn 2 cm på en av kubens sidor. Då kvarstår 1 cm av de totala 3 cm som var längden för en sida. Utifrån detta konstaterade eleverna att eftersom varje del var 1 cm³ är det en del mellan de två hörnen.
Plocka isär
De dolda mindre kuberna som inte hade några sidor målade uppfattade jag under
observationen som ett av de största hindren för eleverna så långt. Av elevernas förklaringar framgick att detta berodde på att deras ritningar eller modeller inte längre var till hjälp. De var istället tvungna att visualisera i sitt inre och resonera kring hur det borde vara.Några elever gick runt detta problem genom att plocka isär kuben igen och titta efter. De kunde då se att de endast fanns en mindre kub i mitten.
Utesluta
En annan strategi för att få fram de osynliga kuberna har jag benämnt utesluta. Eleverna subtraherade då summan av de synliga kuberna med det totala antalet för att få fram hur många som fanns innanför. Detta gav uträkningen 8 + 12 + 6 = 26 följt av 27 – 26 = 1.
21
Lösningar av delproblem e: generaliseringar och växande mönster
Nästa delproblem bestod av frågan: Hur många små kuber är målade på 0, 1, 2, 3 sidor om den stora kuben delas i 64 eller 125 mindre kuber? De första delproblemen a-d innebar inte några större svårigheter för de flesta av eleverna. När kubens delar nu ökade i antal var det vissa som körde fast. Först och främst behövde eleverna komma fram till kubernas utformning, det vill säga 4·4·4 respektive 5·5·5 delar.
Gissa och pröva
Majoriteten av eleverna valde här att gissa och pröva för att komma fram till rätt svar. Vissa elever prövade sig fram genom att testa en sifferkombination för att därefter utvärdera svaret i förhållande till det antal delar som angavs. Den tidigare kuben bestod av 3·3·3 delar. För många föll det sig ganska naturligt att testa med nästkommande siffra vilket gjorde denna process kort. Nedan följer ett utdrag där eleverna beskriver hur de kom fram till uppbygganden av kuben med 64 delar.
Intervjuare: Hur kom ni fram till att det skulle vara fyra på bredden, längden och höjden?
Edwin: Egentligen var det bara en chansning, och sen visade det sig att det var rätt.
Intervjuare: Och vad grundar ni den chansningen på? Edwin: Jag vet inte riktigt… vi bara…
Max: Hjärnan!
Generalisera och förfina
Nästa steg i lösningsprocessen innebar att eleverna återigen skulle identifiera hur många delar som hade tre, två, en respektive noll målade mindre kuber. En del elever valde att fortsätta med samma strategi de hade använt tidigare. Det var även vanligt att eleverna generaliserade sina inhämtade kunskaper om problemet. De förfinade sina strategier rita, bygga och visualisera genom att exempelvis endast rita en sida eller förenkla modellen till att enbart bestå av en ram eller skal. Eleverna kunde sedan utifrån denna tänka sig kuben i tre dimensioner. Flera elever uttryckte att de föredrog den senare modellen där de kunde se både invändigt och utvändigt framför en exakt kopia. En elev förklarade att det återigen var yttre omständigheter som gjorde att de tvingades ändra sin strategi av modellbygge då det inte fanns tillräckligt med byggdelar tillgängliga. Eleverna fann det inte svårt att utröna en ny väg att gå och de föredrog även i det här fallet den senare varianten av modell. För vissa elever som hade byggt en modell räckte det nu att rita en sida av kuben samtidigt som de elever som hade ritat kunde visualisera och tänka i huvudet. Denna strategi benämns generalisera och förfina. Flera elever uttryckte att de inte hade några svårigheter med kuberna med ett högre antal delar då de hade hittat en strategi och tankebana som för dem gjorde
22
svaret uppenbart. De visste nu hur de kunde gå tillväga och applicerade samma tankebanor som de hade använt för den lilla kuben.
Intervjuare: Och här gjorde ni på samma sätt? (kuben med 125 delar) Men här tänkte ni att det räcker med att vi målar en sida?
Lisa: Mmm, vi orkade inte riktigt måla.
Intervjuare: Men det kanske inte behövdes heller? Lisa & Emma: Nee…
Finna samband och likheter
Några elever upptäckte även samband och likheter mellan kuberna som de använde för att beräkna antalet. Denna strategi kallar jag för finna samband och likheter. Flera elever insåg exempelvis att oavsett kubens delar så finns det alltid åtta hörn. Vilket medförde att det alltid kommer vara åtta kuber som har tre målade sidor. Likaså var det flera elever som upptäckte att antalet kuber med en målad sida var de som befann sig innanför de yttre raderna på en sida, vilket sedan alltid kunde multipliceras med kubens sex sidor. Ytterligare en variant av denna strategi var att räkna ut de delar som hade två målade sidor genom att dubbla och multiplicera med tre. Två elever insåg att när kubens sida ökade till fyra blev det två delar mellan hörbitarna och när kubens sida ökade till fem blev det istället tre delar däremellan. Eftersom de hade antalet med två sidor (12) från den minsta kuben använde de sig av den siffran och räknade matematiskt fram det nya antalet. Denna kunskap ledde fram till
uträkningarna: 12 · 2 = 24 för kuben med 64 delar och 12 · 3 =36 för kuben med 125 delar. Representationsformer och redovisning av lösning
Eleverna använde sig även av olika representationsformer för att redovisa och kommunicera sina lösningar. Den vanligaste representationsformen utgjordes av en kombination mellan text och matematiska symboler. Det förkom även svar angivna enbart genom det ena, text, eller det andra, matematiska symboler. Några elever valde även att redovisa genom en bild vilket exemplifieras i utdraget nedan.
Intervjuare: Och det kunde ni se inne i huvudet. Men ni har också målat en liten kub här, när använde ni den?
Love: När jag målade den så tänkte jag att vi behöver ju visa hur vi tänkt.
Samma elevpar som valde strategin sortera var även det enda par som redovisade sitt resultat genom en tabell. Exempel på redovisningsformer visas på bilderna nedan.
23
Bild 3
Exempel på representationsformer
Kommentar: Bilderna visar elevers olika sätt att kommunicera sin lösning. Ovan från vänster visas en representation med matematiska symboler följt av en representation med text. Den nedre bilden visar resultatet framställt i en tabell.
Strategier för att kontrollera lösningen
Få elever valde att kontrollera sin lösning. Jag observerade att de flesta nöjde sig med det visuella bevis de fick genom att peka och räkna på sin ritning eller modell. De elever som utförde en kontroll använde sig av två olika strategier. Den ena strategin innebar att eleverna på olika sätt markerade de kuber de räknat. Exempelvis genom streck, kryss, pilar eller siffror. Den andra strategin innebar en kontrollräkning där de olika delsvaren summerades för att jämföras med det totala antalet.
24
Bild 4
Exempel på strategier för att kontrollera sin lösning
Kommentar: Bilderna visar två olika varianter av hur eleverna kontrollerade sina lösningar. Bilden till vänster visar en kub där eleverna har markerat hörnbitarna vilka har tre målade sidor genom att fylla i samt är de delar med två målade sidor markerade med kryss. Bilden till höger visar en summering av kuberna med tre, två, en och noll målade sidor.
Resultatsammanfattning
Eleverna använde sig av tre huvudsakliga strategier för att lösa problemet, rita, bygga och visualisera. Utifrån denna grund använde eleverna sig av olika kompletterade strategier för att lösa de olika delproblemen. Bland annat genom att peka och räkna, sortera, resonera, plocka isär eller utesluta. Flera elever använde sig av den kunskap de inhämtade om problemet för att generalisera och förfina sina strategier under lösningsprocessens gång. De fann även samband och likheter som de kunde utnyttja för att ta sig vidare mot en lösning. Slutligen valde några elever att kontrollera sin lösning antingen genom att markera eller kontrollräkna. De olika
lösningarna kommunicerades främst genom tabell, text, matematiska symboler eller en kombination av de två senare representationsformerna.
25
Diskussion
I detta kapitel diskuteras studiens metodval och resultat. Inledningsvis presenteras motiv och överväganden kring de val som framgått i metodavsnittet. Därefter följer en diskussion av resultatet som knyts samman med forskning och teorier som lyfts fram i bakgrunden. Metoddiskussion
Enligt Bryman (2008) kan det vara problematiskt att i kvalitativa studier använda termerna reliabilitet och validitet, i den mening som begreppet används i kvantitativa studier.
Bakgrunden är att det i många fall är svårt att ”frysa” den sociala kontext som studien bedrivits i samt att i en socialt styrd verklighet som dessa studier genomförs i finns det inte enbart en absolut sanning. Denna tanke är högst aktuell i denna studie då det enbart mellan de deltagande klasserna kunde urskiljas olika strategier och representationsformer. Även valet av en semistrukturerad intervju gör det möjligt att resultatet skulle kunna variera om undersökningen genomfördes i en ny kontext. Bryman lyfter istället fram kriterierna tillförlitlighet och äkthet i bedömningen av kvalitativa studier. Det är utifrån dessa kriterier metodvalen i denna studie gjorts. Det föreligger därför ett stort intresse i att beskriva en fullständig och tillgänglig redogörelse för studiens alla faser samt tillhandahålla detaljerade och rättvisa beskrivningar av elevernas lösningar och resonemang kring dessa. Resultatet redovisas därmed bland annat med hjälp av bilder från lösningsprocessen och direkta utdrag från intervjuerna.
Studiens syfte var att beskriva elevers skilda sätt att lösa ett matematiskt problem. Problemet valdes ut efter Taflins (2007) kriterier för ett rikt matematiskt problem. För att öka studiens trovärdighet gjordes valet att använda triangulering, vilket innebär att data samlas in genom flera olika metoder (Bryman, 2008). Resultatet grundar sig därför på empiri insamlat genom deltagande observation, kvalitativ innehållsanalys av elevers lösningar följt av
semistrukturerade parintervjuer i två klasser i årskurs 6. Undersökningen eftersträvar således djup snarare än bredd och jag är medveten om att resultatet därmed inte kan generaliseras till att uttala sig om elever i årskurs 6 i allmänhet. De tre datainsamlingsmetoderna
kompletterade varandra på ett bra sätt genom de olika infallsvinklar de gav. Den deltagande observationen gav möjlighet att följa elevernas lösningsprocesser i stunden vilket gjorde att strategier och resonemang uppmärksammades som inte framkom på de insamlade
lösningarna. Innehållsanalysen av de färdiga lösningarna gav möjlighet till att fånga in fler elever och följa hela deras tankeprocess. Slutligen gav intervjuerna tillfälle att fördjupa och klargöra elevernas tillvägagångssätt. Jag fick genom dessa datainsamlingsmetoder både en helhetsbild och en fördjupning vilket kunde tas tillvara i analysarbetet. I resultatet framgår tre huvudstrategier, varav den ena innebar att eleverna visualiserade sig kuben i sitt inre. Det hade varit intressant om det av intervjuerna hade framkommit mer data om hur denna visualisering yttrade sig. Intervjuguiden kunde således utvecklas genom följdfrågor om visualisering, som exempelvis ”Kan ni beskriva hur ni föreställde er kuben?”.
26
Databearbetningens fokus riktades mot materialet som följde av de semistrukturerade intervjuerna, således fick materialet från den deltagande observationen en underordnad prioritet men kunde ändå anses bidra med intressanta inslag. Särskilt med tanke på att konkret material användes visade sig observationen vara till stor nytta då jag kunde se hur de byggde upp olika modeller och använde dessa för att lösa problemet.
Jag fann den deltagande observationen givande. En fördel med denna metod är att du kan fånga elevernas resonemang i stunden vilket inte alltid blir detsamma i en rekonstruerad intervju. En deltagande observation i en hel klass blir dock inte tillräckligt täckande då alla elever omöjligt kan observeras samtidigt. Ett alternativt tillvägagångssätt skulle kunna vara att endast genomföra en deltagande observation som spelas in av ett mindre antal elever. Då fångas deras exakta problemlösningsprocess, hur strategier växer fram och de resonemang som för arbetet framåt.
Resultatdiskussion
I detta avsnitt diskuteras hur resultatet förhåller sig till bakgrunden samt några aspekter som för mig förefaller intressanta och värda att begrunda. För det första tycker jag det är
intresseväckande att eleverna utvecklade och förfinade sina strategier allteftersom de arbetade med de olika delproblemen. För det andra är det fascinerande hur lärandet blir synligt genom att eleverna mot slutet av lösningsprocessen har så väl fungerande strategier som utvecklade tankebanor vilket gör att svaret blir uppenbart för dem. För det tredje är det av största intresse att begrunda vad som utgör ett hinder för de elever som kör fast vilket inte leder till lärande och utveckling.
Reflektioner om elevers valda strategier och representationsformer
I resultatet framgår tre huvudstrategier som eleverna använde för att lösa problemet. Den ena strategin gick ut på att rita genom att på olika sätt avbilda den beskrivna kuben. Den andra strategin innebar istället att eleverna byggde olika former av modeller. Ytterligare en strategi innebar att eleverna visualiserade kuben i sitt inre. Eleverna använde därmed två av de strategier som Lester (1996) och Eriksson (1991) framhåller, vilka var rita och bygga en modell. Deras funktion i det här specifika problemet var att överblicka och urskilja
förutsättningar vilket även stämmer överens med Larssons (1991) beskrivning av när dessa strategier är lämpliga att använda. Resultatet av elevernas valda strategier stämmer såldes överens med Lesters och Larssons resonemang om dessa strategiers lämplighet. Min
upplevelse av dessa strategier är att de på ett betydande sätt hjälpte eleverna på flera punkter. Förutom de funktioner som tidigare nämnts kunde eleverna med hjälp av antingen ritning eller modell gemensamt kommunicera på ett mer exakt och tydligt sätt med varandra. Detta skulle kunna ses som att strategierna fungerade som ett verktyg för att föra kreativa
matematiska resonemang vilket enligt Lihtner (2019) krävs för att skapa en för eleverna ny lösningsmetod.
27
Under intervjuerna framgick att lösningsprocessen för det sista delproblemet, där kuben bestod av 125 delar, var relativt kort. Det blev här tydligt att eleverna hade utvecklat sin förståelse kring problemet i sådan omfattning att lösningsstrategin var självklar och de mycket enkelt kunde komma fram till ett svar. Min reflektion utifrån detta konstaterande ledde till insikt om att lärande måste ha skett. Eleverna hade nu utvecklat de kunskaper de behövde för att problemet inte längre kunde definieras som ett problem, vilket också måste innebära att de lärt sig något de tidigare inte kunde. Eleverna kunde under processens gång använda sig av tidigare kunskaper och använda dem i ett annat sammanhang för att finna en lösning. Eleverna har även utvecklat dels sin förmåga att lösa matematiska problem och dels sina kunskaper om olika strategier som kan tillämpas vid problemlösning.
Vidare var det förvånansvärt många elever som valde eller inte tänkte på att kontrollera sin lösning. En ritning eller modell gav dock större möjligheter till detta jämfört med att enbart använda sig av en inre visualisering. De strategier som användes för att kontrollera lösningen som framgår av resultatet innebar antingen att eleverna markerade de delar de räknat på sin ritning eller modell alternativt att en kontrollräkning där de olika delarna summerades. Såväl Pólya (1945) som Lester (1996) lyfter fram denna avslutande fas i problemlösningsprocessen som en viktig hörnpelare när det kommer till problemlösning. Det kan tyckas vara en
självklarhet att ett intresse finns av att undersöka om den lösning som använts är korrekt och därmed leder till ett rimligt svar. Flera av eleverna verkade nöja sig med att de kommit fram till ett svar och en reflektion över rimligheteten i detta verkade överflödig. Kanske kan detta förhållningssätt uppstå då detta är en tillrättalagd situation och inte ett problem som uppstått i verkligheten för eleverna. Jag menar att det inte är eleverna själva som stött på problemet och därmed inte heller ser ett eget behov av att finna en lösning. Istället är det en utomstående person som valt att eleverna ska ställas inför och försöka lösa detta problem i syfte att lära. Ett egenintresse av problemet skulle eventuellt kunna stärka elevernas
engagemang i den kontrollerande fasen. Detta skulle kunna ske genom att använda sig av problem posing (Silver 1994). Det vill säga inslag i undervisningen där eleverna får komma med förslag kring problem som de stött på och vill undersöka med hjälp av matematik. Ytterligare upplevde jag en brist på val av representationsformer. Det var få elever som på ett tydligt sätt kommunicerade vad de kommit fram till. Av resultatet framgår att eleverna använde sig av olika sätt att kommunicera sin lösning, exempelvis tabell, text, matematiska symboler eller en kombination av de två senare representationsformerna. Det var vanligt att strategier, uträkningar, tankeprocesser och lösningar varvades utan struktur (se Bild 5). I bakgrunden beskrivs hur undervisningen kan stödja elevernas användande av
repepresentationsformer genom att arbeta med olika ”fyrfältare” (Grevholm et al., 2014; Taflin, 2007). Utifrån studiens resultat ser jag snarare att detta stöd skulle hjälpa eleverna att reflektera över och kontrollera sin lösning, vilket resultatet även visar ett behov av, än att strukturera och förmedla sin lösning. Att arbeta med olika ”fyrfältare” kan därmed ändå ses som ett användbart inslag i undervisningen kring problemlösning. Men, det jag söker är istället en större säkerhet och tydlighet i sättet som eleverna kommunicerar sin lösning, där
28
det framgår vilka uträkningar eller strategier som använts, vilka bevis som stödjer resultatet och sedan resultatet självt.
Bild 5
Exempel på elevlösningar
Teoretiska resonemang
Problemet eleverna ställdes inför var uppbyggt av delproblem vilket innebar att eleverna kunde använda sig av samma strategier upprepade gånger. Jag fångades av det faktum att flera elever detta till trots utvecklade och förfinade sina strategier under processens gång för att på ett mer effektivt sätt komma fram till en lösning. Detta tyder på att eleverna har konstruerat sin egen kunskap och förståelse, vilket konstruktivismen framhåller (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). Eleverna har även tagit ett eget ansvar över lärandet som
Brousseau (1997) menar är avgörande för att lärande ska ske. Resultatet visar också att de elever som engagerade sig i problemet och ansträngde sig genom att exempelvis söka nya vägar kom längre i problemlösningsprocessen än de som inte gjorde detta. Eleverna ställdes genom problemet inför en utmaning som de inte direkt kunde se en lösning på. De arbetade sig metodiskt framåt genom att söka nya strategier. Flera elever förklarade att det var yttre omständigheter, exempelvis att det konkreta materialet till modellen inte fanns tillgängligt, som gjorde att de valde att utveckla sina strategier. Det visade sig att eleverna använde sig av den kunskap de hade erfaret och skapade därmed än bättre strategier än de som använts från början. Utifrån konstruktivismen skulle detta kunna förklaras genom att eleverna har
utvecklat och omarbetat sina kognitiva scheman efter den nya information som de tagit till sig. De kunde sedan utifrån dessa nya insikter skapa effektivare strategier för sitt ändamål. Konstruktivismen och Brousseaus teorier har en del gemensamt. Kritiken av den
konstruktivistiska läran uppfattar jag grundar sig mycket i att eleverna lämnas ensamma och utan stöd av läraren i sin kunskapsinhämtning. För egen del uppfattar jag istället att
29
saker till skillnad från att någon på förhand talar om hur något är eller ska vara. Detta innebär inte för mig att lärarens roll är obetydlig. Brousseau framhåller att läraren har en mycket viktig roll i att skapa en undervisning som möjliggör att eleven själv kan få syn på saker som leder till förståelse och lärande, men även att stötta och vägleda eleven i denna process. Oavsett om läraren överför sin kunskap till sina elever eller vägleder eleverna till egna insikter anser jag att lärarens roll är en betydande faktor oberoende av vilken lärandeteori som undervisningen bygger på. Min uppfattning är att elevernas lärande på många sätt fördjupas när de själva upptäcker nya matematiska samband och skapar sin egen förståelse i enlighet med såväl den konstruktivistiska hållningen som Brousseaus teori. Vidare överensstämmer resultatet med Brousseaus teori om didaktiska situationer (1997) i det avseendet att elever lär när de engagerar sig i och tar ansvar för sitt eget lärande.
Resultatet kan även tyda på att nya handlingar och erfarenheter kan leda till ny kunskap och förståelse. I kontrast till detta visade det sig även att det fanns elever som inte kom fram till en lösning. Några elever stötte på svårigheter redan i den inledande fasen när de skulle tyda och tolka problemet. Exempel på feltolkningar kunde innebära att eleverna uppfattade att det som frågades efter var antalet olika färger som modellen hade, uppgiften går ut på att bygga en ensidig, tvåsidig eller tresidig figur eller svårigheter med att förstå att kuben målades först och sedan delades och därmed kunde plockas isär.
Reflektioner om elevers svårigheter och vidare undervisning
Några elever hindrades av att de inte kom på en möjlig strategi för att urskilja antalet målade kuber med tre, två eller en målad sida. För andra tog det stopp när kubens mönster växte till 64 och 125 delar. Dessa elever kunde inte ta sig vidare när tillvägagångsättet var okänt och de behövde använda sig av vad Lihtner (2019) benämner kreativt matematiskt resonemang. När dessa elever ställdes inför en situation där ingen given metod fanns tillgänglig och de inte hade möjlighet till ett imitativt resonemang (Lihtner, 2019) var dessa elever oförmögna att vidga sina tankemönster genom att pröva sig fram och testa nya strategier. En orsak skulle kunna vara att eleverna är vana vid en tillrättalagd och förenklad didaktik likt den som Brousseau (1997) kritiserar. Det skulle i så fall kunna innebära att eleverna förväntar sig och vet att läraren ska och kan ge dem en strategi som fungerar. Om detta sker betyder det även att det didaktiska kontraktet bryts genom att eleven inte engagerar sig tillräckligt i uppgiften för att göra lärandet möjligt.
Utifrån en konstruktivistisk infallsvinkel, som framhåller att kunskapen byggs upp bit för bit, (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000) skulle orsaken till att eleverna inte kan komma vidare i problemlösningsprocessen kunna förklaras genom att hävda att elevernas förkunskaper befinner sig allt för långt ifrån den kunskap som behövs för att lösa det matematiska problemet. En viktig faktor i konstruktivismens lärandeteori är att kunskapen byggs upp del för del där den senare pusselbiten är beroende av att den första finns på plats. Teorin framhåller därmed att det behöver finnas en progression och plan för hur kunskapen hierarkiskt kan byggas upp. Detta skulle kunna bekräftas genom exempelvis en feltolkning som framkom under observationen där eleverna uppfattade av problemet innebar att de
