Programmering som medel för fördjupad relationell problemlösning i matematik

NATURVETENSKAP– MATEMATIK–SAMHÄLLE

Självständigt arbete i fördjupningsämnet Matematik och

lärande

15 högskolepoäng, grundnivå

Programmering som medel för fördjupad

relationell problemlösning i matematik

Programming as a tool for further development in relational

problem solving in mathematics

Imanh Nikontovic

Kelly Jamett Menjivar

Ämneslärarexamen med inriktning mot arbete i årskurs 7–9, 240 högskolepoäng

Ämneslärarexamen med inriktning mot arbete i gymnasieskolan, 300 högskolepoäng

Självständigt arbete i fördjupningsämnet, 15hp 2020-01-22

Examinator: Peter Bengtsson Handledare: Rickard Wester

Förord

Under en nioveckorsperiod under HT 2020 har följande självständiga arbete på grundnivå skrivits inom fördjupningsämnet matematik. Kursen har hållits på Malmö Universitet och utformats i par om två där bidraget till arbetet har varit likbetydande från båda parter. Syftet med arbetet har varit att utforma en kunskapsöversikt kring vilken påverkan programmering har på relationell problemlösning.

Vi vill framföra ett speciellt tack till vår handlare Rickard Wester, vetenskapligt stöd till lärare i Lunds kommun, som har tagit sin tid och stöttat oss genom hela arbetet. Stort tack för alla givande, intressanta och utmanande diskussioner och genomgående respons.

Sammandrag

Avsikten med denna kunskapsöversikt är att undersöka hur programmering som didaktiskt medel i matematikundervisningen kan fördjupa relationell problemlösning. Programmering är ett aktuellt digitalt medel som numera ingår i matematikkurserna både på grundskole- och gymnasial nivå (Skolverket, 2018; Skolverket, 2019). Skolinspektionen (2019) pekar trots detta på en utebliven användning av programmering på skolorna. Det gjorde oss fundersamma att programmeringstillägget å ena sidan anses aktuellt att införa medan det å andra sidan inte implementeras i undervisningen i någon längre utsträckning. Funderingarna kom sedermera att inspirera oss till att undersöka vilken påverkan programmering har på elevernas lärprocess.

Kunskapsöversikten fokuseras kring det matematiska delmomentet problemlösning där Richard R. Skemps artikel Relational Understanding and Instrumental Understanding (1976) har fungerat som ett genomgående stöd. Skemp beskriver problemlösningsförmågan genom begreppen relationell respektive instrumentell förståelse. De studier som granskats i detta arbete har framför allt fokuserats kring den relationella förståelsen. Enligt diverse forskare såsom Bostic och Yee (2014), Castledine och Chalmers (2011) samt Stigberg och Stigberg (2020) utvecklar programmering bl.a. elevers resonemangsförmåga, logiska tänkande, kontextualisering och kommunikativa förmåga, vilket Ardito, Mosley och Scolling (2014), Loong (2014), Utomo (2020) m.fl. i sin tur menar utvecklar den relationella förståelsen. Cervesato, Gonzalez och Kumar (2014) beskrev problemlösning som sker genom relationell förståelse som relationell problemlösning, vilket är det begrepp som används i detta arbete. Då frågeställningen utgörs av två delar - relationell problemlösning samt programmering - anpassades sökningarna därefter.

Sökprocessen baserades på de rekommendationer som anges i Backmans (2016), Fribergs (2017a) samt Thuréns (2019) metodlitteratur. Sökningarna genererade källor som till större del behandlade en av de två delarna åt gången vilket gjorde att vi fick jämföra samt synkronisera resultaten med varandra och därefter dra slutsatser. De slutsatser som drogs visade att användning av programmering i matematikundervisningen främjar ett långt större antal kompetenser och förmågor än enbart stärkning av elevernas digitala kompetens vilket Regeringskansliet (2017) framförde som huvudsakligt argument för programmeringstillägget.

Nyckelord: lärandeprocess, matematik, problemlösning, programmering, relationell förståelse, relationell problemlösning.

Innehållsförteckning

1. INLEDNING ... 4 2. SYFTE ... 6 2.1PROBLEMFORMULERING ... 6 3. METOD ... 7 4. RESULTAT ... 11 4.1RELATIONELL PROBLEMLÖSNING ... 11

4.2PROGRAMMERINGFÖR ATT FÖRDJUPA RELATIONELL PROBLEMLÖSNING ... 15

5. SLUTSATSER OCH DISKUSSION ... 19

5.1SLUTSATSER ... 19

5.2DISKUSSION ... 21

5.3FÖRSLAG PÅ VIDARE FORSKNING ... 23

1.

Inledning

Programmering som digitalt medel utgör numera en del av det centrala innehållet för matematikkurserna på såväl grundskole- som gymnasial nivå (Regeringskansliet, 2017). Tillämpningen av digitala resurser för kunskapsutveckling har blivit ett allt vanligare inslag inom skolvärlden genom åren. I ett samhälle likt det vi lever i idag, där digitaliseringen både utgör en del av vår nutid men framför allt vår framtid samt gör sig alltmer aktuell ju längre teknikutvecklingen når, blev tillägget i styrdokumenten en minst sagt tidsenlig förändring.

I Skollagen (2010) 4 § anges att utbildningen ska syfta till att elever ska “inhämta och utveckla kunskaper och värden. Den ska främja alla barns och elevers utveckling och lärande samt en livslång lust att lära”. För att kunna utveckla förmågan att lära behöver en som elev lära sig effektiva lärstrategier samt veta när och hur dessa ska användas (Skolverket, 2020). I termer av elevers utveckling och lärande samt effektiva lärstrategier föll det, för oss som blivande matematiklärare på högstadie- samt gymnasienivå, naturligt att undra över hur tillägget om digitala medel förändrat matematikundervisningen. En särskilt intressant fråga vi ställde oss var hur elevernas matematiska förståelse påverkas av just programmering som digitalt medel, då programmeringen som ovan nämnt numera ingår som en del av matematikundervisningen. Denna fråga kom sedermera att bli vår inspiration inför skrivandet av detta arbete. I regeringens förtydliganden av styrdokumenten anges att programmeringen ska integreras som en del av matematik- och teknikämnet med bl.a. stärkning av elevernas digitala kompetens som huvudsakligt argument (Regeringskansliet, 2017). Det finns dock ingen forskning presenterad som Skolverket lutar sig på avseende användningen av programmering inom matematikämnet.

På de skolor där det finns inslag av programmeringsundervisning lärs olika programmeringsspråk ut beroende på syftet med lektionen. Bland dessa är exempelvis Python, Java, Scratch m.fl. vanligt förekommande (Stigberg & Stigberg, 2020; Humble, Mozelius & Sällvin, 2019). Omställningen som programmeringstillägget i Lgr11 samt i ämnesplanen för matematik i Lgy11 (Skolverket, 2019; Skolverket, 2018) har kommit att innebära för såväl lärare som elever har dock lett till kritiska diskussioner vid ett flertal tillfällen på senare tid. Studier gjorda av Skolinspektionen (2019) visar att programmeringsundervisningen inte integreras i så lång utsträckning som riktlinjerna anger. Enligt Skolinspektionen har det ur generell synpunkt uppstått en uppenbart utebliven användning av programmering som digitalt medel på skolorna. Detta är även något vi själva har uppmärksammat under vår VFU samt diverse vikariat på olika grund- och

gymnasieskolor. Statistiskt sett menar Skolinspektionen att tre av fyra skolor brister i att efterfölja riktlinjerna som anges enligt läroplan (Skolinspektionen, 2019).

Genom vår egen skolgång och diverse vikariat och praktik på skolor har vi uppmärksammat att matematikundervisningen ter sig genomföras i olika etapper där de ingående delmomenten behandlas var för sig i klassrummet. En vanlig uppfattning är att delmomentet “problemlösning” utgör ett av de större, men även svårare, för elever att erhålla kunskaper inom (Skolverket, 2015). Problemlösning i sig är ett vitt begrepp som förekommer inom många varierande sammanhang, dock finns det i matematiska sammanhang en allmänt känd begreppsbeskrivning som myntades av Richard R. Skemp år 1976. Skemp (1976) beskrev problemlösning genom att använda sig av begreppen “relationell förståelse” samt “instrumentell förståelse”. Han menar att matematisk förståelse i problemlösningssammanhang antingen kan beskrivas som att man vet vad man gör och varför man gör det (relationell förståelse), eller att man lär in s.k. "regler utan skäl" (instrumentell förståelse).

I detta arbete ligger fokus på att beskriva relationell förståelse inom matematiken och dess betydelse vid problemlösning - s.k. relationell problemlösning (Cervesato, Gonzalez & Kumar, 2014) - samt undersöka relationen mellan programmering och relationell problemlösning. Då digitala medel betraktas som resurser ur didaktisk synvinkel (Willermark, 2018) och programmering numera specifikt anges som en del av matematikundervisningen, föreföll det sig naturligt att med denna utgångspunkt undersöka hur användningen av programmering kan påverka elevernas matematiska problemlösningsförmåga. I arbetet granskas således elevernas lärandeprocess.

2.

Syfte

Syftet med denna kunskapsöversikt är att undersöka hur programmering som didaktiskt medel i matematikundervisningen kan fördjupa relationell problemlösning. Arbetet utgår från ett elevperspektiv och baseras på objektiv och valid forskning. Arbetet har skrivits med hänsyn tagen till den gällande tidsramen samt befintlig forskning inom området.

2.1 Problemformulering

Arbetets huvudsakliga problemställning grundas i frågan “hur kan programmering fördjupa relationell problemlösning?”.

3.

Metod

Enligt Backman (2016) är en datorbaserad sökmetod att föredra eftersom det både spar tid och kostnad. Databaserna vi valde att använda var ERIC och ERC via EBSCO, MUEP samt SwePub då dessa enligt Östlundhs (2017) beskrivningar utgör akademiska databaser som används ambitiöst av forskare. Databaserna har enkla funktioner för att avgränsa sökresultatet, vilket Backman (2016) rekommenderar vid sökning. En av dessa funktioner möjliggjorde avgränsning i form av att en kunde välja att enbart söka på material som är “peer-reviewed”, dvs. objektivt samt vetenskapligt granskade arbeten, vilket förstärkte de valda källornas reliabilitet (Backman 2016; Östlundh, 2017; Thurén, 2019). Under sökprocessen användes boolesk söklogik enligt Östlundhs (2017) rekommendationer. Boolesk söklogik innebär att en genom att använda diverse sökfunktioner/operatorer såsom AND och OR, vilka vi använt oss av i våra sökningar, enklare kan sålla mellan olika källor. Genom olika kombinationer av sökord och operatorer kunde vi avgränsa vår sökning till att generera vetenskapliga arbeten som var mer relevanta än andra för vårt syfte. Dessa vetenskapliga arbeten utgjordes i sin tur av såväl fristående avhandlingar som artiklar i vetenskapliga tidskrifter vars publicerade, "peer-reviewed", artiklar behandlar bl.a. didaktiska, metodiska och pedagogiska frågor inom matematikämnet.

För att bedöma de valda källornas relevans för vår frågeställning började vi med att läsa titlarna på de sökträffar som våra sökord genererade. Med stöd av Fribergs (2017b) rekommendationer markerades källor som intressanta om titlarna innehöll relevanta nyckelord. Därefter läste vi källornas abstract för att få en uppfattning om innehållet men även den infallsvinkel studierna har samt vilka termer som behandlas. På så vis kunde vi sålla bort mindre relevanta studier (Östlundh, 2017). Det perspektiv vi har valt att titta på i vårt arbete är hur användningen av programmering kan fungera som en metod för att fördjupa relationell problemlösning och inte att exempelvis undersöka ingående hur olika program fungerar eller är uppbyggda, vilket vissa av arbetena som dök upp bland sökträffarna fokuserade på. Efter att ha granskat titel och abstract tittade vi på syfte och frågeställning i respektive arbete och jämförde dessa med de resultat och slutsatser som dragits i desamma. Genom att jämföra syfte med resultat och slutsatser kunde vi försäkra oss om källornas validitet enligt den metod som beskrivs av Thurén (2019). Den beskrivna urvalsmetoden har tillämpats genomgående i alla sökningar.

Då arbetet centreras kring användningen av programmering i matematikämnet blev det tidsmässiga perspektivet en viktig faktor att ta hänsyn till vid informationssökningen. Programmeringsutvecklingen har förändrats mycket sedan dess början, både sett till mängden

aktuella programmeringsspråk samt kvalitén på, och användningen av, dessa. Med detta i åtanke valde vi att främst använda oss av de arbeten i våra sökningar som publicerats mellan år 2010-2020 för att erhålla aktuell forskning inom området. I vårt undersökningsmaterial är dock även tre äldre arbeten inkluderade som vi ansåg relevanta trots att de var något år äldre än övriga utvalda källor. Dessa är Caspersen (2007), Hershkovitz, Nesher och Novotna (2003) samt Hussain, Lindh och Shukur (2006).

Vår första sökning utgick ifrån sökorden “programmering AND problemlösning”. Dessa sökord blev våra främsta nyckelord då de utgör grunden till den frågeställning vi formulerat. Vi gjorde en identisk sökning i samtliga databaser (ERIC och ERC via EBSCO, MUEP och SwePub). De engelska databaserna genererade inga sökträffar med dessa sökord. I MUEP erhölls ej heller några sökträffar under inställningen “forskningspublikationer”, däremot fick vi fram två sökträffar i SwePub. Av dessa valdes en relevant källa ut, Nordström (2010), som diskuterar övergången från imperativ/procedurell programmering till objektorienterad programmering och dess konsekvenser i undervisningssammanhang där Nordström bl.a. observerat nybörjares lärande som en specifik utgångspunkt i sina studier. Bland Nordströms referenser hittade vi Caspersen (2007) som beskriver imperativ kontra objektorienterad programmering.

För att åtgärda den resultatlösa sökningen i MUEP testade vi att söka på “alla publikationer” och fick då 61 sökträffar. Resultaten bestod främst av examensarbeten, vilka vi insåg att vi inte kunde använda som valida primära källor till vårt arbete då de ej uppfyller kravet “peer-reviewed”. Ett fåtal av dem tycktes dock innehålla relevant information för vårt arbete. Genom att följa Östlundhs (2017) rekommendationer om att granska referenslistorna i sådana arbeten kunde vi genom ett examensarbete i MUEP, Merhi (2019), trots allt hitta en källa med relevans för den egna kunskapsöversikten. Det var Bly, Leatham och Rich (2014) som bl.a. undersöker elevers matematikförståelse - särskilt problemlösningsförmåga - i samband med programmering. Denna sökmetod gav oss en möjlighet att urskilja ett flertal valida källor även i den andra sökningen.

Inför den andra sökningen i de svenska databaserna ville vi avgränsa sökningen till att omfatta ämnesområdet matematik för att få fram studier som specifikt behandlar vårt intresseområde. Vi testade att exkludera termen “problemlösning” då problemlösning är ett vitt begrepp som förekommer inom varierande sammanhang, och lade istället till “matematik” som sökord. Vi inkluderade även begreppen “gymnasiet” och “högstadiet” för att samtidigt avgränsa sökningen till att omfatta arbeten som behandlar den målgrupp vi var intresserade av att undersöka. Sökorden kom således att utgöras av “programmering AND matematik AND gymnasiet” samt “programmering AND matematik AND högstadiet”. Dessa gav oss 238 i respektive 38 stycken sökträffar i MUEP. Bland dessa fann vi två stycken intressanta arbeten baserat på den sökmetod

vi använde där vi utgick ifrån titeln. Vid en närmare observation av examensarbetenas referenslistor hittade vi dock ingenting vi ansåg relevant, varför dessa sökträffar slutligen uteslöts.

Inför övriga sökningar valde vi att enbart söka via de engelska databaserna för att kunna få fram avhandlingar. Östlundh (2017) menar att de flesta vetenskapliga arbetena är skrivna på engelska vilket torde ge oss fler sökträffar. Vi breddade därmed sökningen genom att söka på den engelska motsvarigheten till vår första svenska sökning, dvs. “programming AND problem solving” i både databasen ERIC via EBSCO samt ERC via EBSCO. Sökningen i ERIC genererade totalt 1 510 st sökträffar, medan vi fick fram 671 stycken sökträffar i ERC. Vid en första anblick såg vi fyra intressanta källor i ERIC. Den ena var Yildiz Durak (2018), på första sidan bland sökresultaten, som undersöker användningen av programmeringsverktygen Scratch och Alice och i sitt arbete skriver om hur detta kan utveckla diverse matematiska kompetenser och förmågor. Arbetet utgår ifrån ett elevperspektiv vilket är i linje med syftet för vårt arbete, varför vi inkluderade denna källa bland våra referenser. Den andra källan var en kvalitativ undersökning gjord av Lemieux, Li, Nathoo och Vandermeiden (2016) som observerat effekten av programmeringsanvändning bland elever som läser matematik på högstadie- och gymnasienivå. Den tredje var Castledine och Chalmers (2011) som undersökte om programmering kan användas som ett verktyg för att lära sig problemlösning. Den fjärde källan var Hussain, Lindh och Shukur (2006) som gjort en studie kring utvecklingen av kommunikations- och problemlösningsförmågan i samband med användningen av LEGO Robotics.

Genom sökningen i ERC fann vi Ardito, Mosley och Scollins (2014) undersökning där de undersöker hur programmering kan fördjupa elevernas förståelse för matematik och förmåga att lösa problem. Vi förmodade dock att de tre valda källorna i ERIC respektive en källa i ERC enbart utgjorde enstaka relevanta källor bland de breda sökträffarna. I optimalt fall hade vi granskat samtliga sökträffar men vi insåg att vi var tidsmässigt begränsade och inte skulle hinna med detta då antalet sökträffar var allt för många. Därmed avgränsade vi sökningen enligt nedanstående för att få fram färre men mer specifika sökträffar istället. Enligt samma resonemang som tidigare avgränsade vi sökningen i ERIC genom att inkludera termen “mathematics”, dvs. “programming AND problem solving skills AND mathematics”, och fick då 53 stycken sökträffar. Av dessa valdes två stycken arbeten ut, Kallia och Psycharis (2017) samt Stigberg och Stigberg (2020), som verkade relevanta. I Kallia och Psycharis studie inkluderas ett flertal tester där de undersöker programmeringens påverkan på elevers utveckling av diverse matematiska förmågor, medan Stigberg och Stigberg genom en fallstudie dels beskriver utvecklingen av matematiska förmågor hos svenska elever som för första gången introducerats till programmering i matematikkurser men även elevers egna uppfattning vad gäller förhållandet mellan programmering och matematik.

Slutligen använde vi oss av den engelska motsvarigheten till vår andra svenska sökning genom att använda sökorden “mathematics OR math AND high school OR upper secondary school AND computational thinking” i ERC vilket gav oss 19 stycken sökträffar. Bland dessa hittade vi ett intressant arbete - Beheshti, Horn, Jona, Orton, Trouille, Weintrop och Wilensky (2015) där forskarna argumenterar för tillägget av programmering i matematikkurser genom att förklara begreppet computational thinking och dess betydelse för förståelse inom matematiken.

I de allra första sökningarna erhöll vi sökträffar som behandlar matematisk problemlösning på ett mer generellt plan. För att få fram sökträffar som specifikt behandlar infallsvinkeln i vår frågeställning - relationell problemlösning - använde vi oss till en början av sökorden “relational problem solving AND high school OR upper secondary school” i ERC, vilket gav oss 22 stycken sökträffar. Två intressanta arbeten valdes; Bostic och Yee (2014) som lyfter fram kontext och struktur i samband med problemlösning, samt Brehmer, Ryve van Steenbrugge (2015) som även de skriver om matematiska problemuppgifters kontext och struktur och den påverkan dessa har på elevers problemlösningsförmåga. Därefter sökte vi på “relational problems” i samma databas och fick då 253 stycken träffar. Ett arbete ansågs relevant för vår kunskapsöversikt, Cervesato, Gonzalez och Kumar (2014), eftersom forskarna i sitt arbete definierar begreppet relationell problemlösning. Den tredje sökningen blev “relational understanding OR relations AND mathematics AND problem solving OR solving problems” och denna gjordes i ERIC. Den gav 140 stycken träffar varav två valdes ut. Dessa var Utomo (2020), som i en kvalitativ studie har undersökt relationell förståelse i relation till elevers förutsättningar för att lösa matematiska problem, samt en artikel skriven av Hershkovitz, Nesher och Novotna (2003) vilka lyfter diverse faktorer som påverkar elevers problemlösningsförmåga. Artikeln är publicerad i Educational Studies

in Mathematics, en vetenskaplig tidskrift som “presents new ideas and developments of major

importance to those working in the field of mathematical education [...] It deals with didactical, methodological and pedagogical subjects [...] All contributions to this journal are peer reviewed” (Springer Nature, 2021).

För att avgränsa sökträffarna gjordes en sista sökning, “instrumental AND relational mathematics”, som endast gav fem träffar. Ett arbete valdes ut, Loong (2014), som även hon skriver om relationell förståelse i samband med problemlösning.

4.

Resultat

I detta avsnitt ges en redogörelse för de resultat som forskningen presenterar gällande hur programmering kan fördjupa relationell problemlösning. För att kunna besvara denna fråga definieras till att börja med begreppet relationell problemlösning. Därefter följer ett avsnitt om programmering. Först ges en framställning av de matematiska kompetenser som programmering har möjlighet att utveckla, därefter sätts programmering i relation till relationell problemlösning.

4.1 Relationell problemlösning

Skemp (1976, s.2) definierade till en början begreppet förståelse som “att både veta vad man gör samt varför man gör det”. Detta begrepp kom han därefter att dela upp i två underkategorier: relationell

förståelse samt instrumentell förståelse. Av de två är det relationell förståelse som numera definieras

enligt Skemps (1976) förstnämnda definition av förståelse - elevens medvetenhet om vilka procedurer (matematiska operationer) som behöver tillämpas för att kunna lösa olika problem, där eleven även förstår varför ett specifikt tillvägagångssätt är lämpligt och inte ett annat. Instrumentell förståelse, å andra sidan, beskrev Skemp som “regler utan skäl”. Utomo (2020) och Loong (2014) benämner det senare som ett slags utantillärande, där förståelsen grundas i att eleverna lär in specifika regler som tillämpas i diverse inlärda, bekanta situationer för att få svar på olika matematiska problem.

Att uppnå relationell förståelse inom matematiken innebär bl.a. att som elev kunna utveckla sin resonemangsförmåga, kritiska samt reflekterande tänkande på ett djupare plan (Ardito, Mosley & Scollins, 2014; Castledine & Chalmers, 2011; Hershkovitz, Nesher & Novotna, 2003; Kallia & Psycharis, 2017; Yildiz Durak, 2018). Hershkovitz, Nesher och Novotna (2003) har i en studie observerat olika lösningsstrategier som elever använder och i samband med observationerna jämfört komplexitetsnivån på elevernas lösningar. Forskarna konstaterar att det förekommer flera slags alternativ för att lösa ett problem och att resultaten visar att eleverna föredrar att använda sig av korta, simpla lösningar snarare än utförliga, längre lösningar. I sitt resonemang beskriver forskarna ett samband mellan frågorna vad är känt?, vad är okänt?, vilka är de givna villkoren? samt

känner du till en lösning på ett liknande problem sedan tidigare? där de menar att det uppstår en skillnad

med att lyckas lösa ett problem som utgörs av en text. Utifrån den studie de genomfört med 167 st lärare och 132 st högstadieelever anger forskarna att resultaten pekar på att de relationella begreppen utgör en av de utmanande delarna inom matematisk problemlösning. Forskarna framför att det är ytterst svårt att överföra den expertkunskap en lärare besitter till en elev, särskilt när det kommer till att eleven ska lära sig relationella begrepp inom matematiken. De menar att det föreligger en skillnad mellan att endast lära eleverna att använda sig av matematiska operationer och att göra det, enligt forskarna, betydligt svårare - att lära dem att förstå matematiken. Loong (2014) beskriver det i sin vetenskapliga artikel som att relationell förståelse växer fram i samband med att eleven utvecklar sin förmåga att lösa ett matematiskt problem genom att använda lämpliga strategier och metoder för att hitta en lösning på detsamma. I sin artikel presenterar Loong olika slags fysiska och virtuella manipulationer som kan tillämpas på grundskole- samt gymnasienivå och som främjar förtydligandet av grundläggande matematiska begrepp. Loong menar att matematiska begrepp upplevs som abstrakta och därmed måste utarbetas för att eleverna ska kunna utveckla god relationell förståelse och således kunna lösa kognitivt utmanande problem, vilket överensstämmer med den åsikt Hershkovitz, Nesher och Novotna (2003) presenterat.

Elever som endast besitter instrumentell förståelse kan enligt Skemp (1976) lösa problem som, till sin uppbyggnad, är identiska med problem de tidigare stött på och lärt in regler för att lösa. Detta överensstämmer med de slutsatser som även Bostic och Yee (2014) drar utifrån sina studier där de genom CMT- och representationsanalys har undersökt hur mellan- och högstadieelever kontextualiserar matematisk problemlösning. Bostic & Yee (2014), Loong (2014) och Skemp (1976) menar dock alla fyra på att skillnaden mellan instrumentell och relationell förståelse tydliggörs när en elev stöter på en problemuppgift som, sett till dess lösning, är identisk med tidigare lösta uppgifter men däremot är uppbyggd med en annan syntax eller förändrad kontext. Här konstaterar både Skemp (1976) samt Bostic och Yee (2014) att det blir betydligt svårare för eleven att hitta ett lämpligt tillvägagångssätt för att komma fram till svaret.

Cervesato, Gonzalez och Kumar (2014) har i en studie använt sig av begreppet relationell

problemlösning för att förklara ovanstående fenomen. I samband med att de observerat och relaterat

den mänskliga resonemangsförmågan till relational calculus, dvs. relationsberäkning, har forskarna utifrån sina observationer konstaterat att det krävs bl.a. en utvecklad resonemangsförmåga för att lyckas tillämpa rätt strategier och metoder för att finna en lösning till obekanta problem. I deras studie har studiegruppen fått i uppgift att lösa ett matematiskt problem. Till sin hjälp har de fått tillgång till viss känd information, ett antal strategier, s.k. “steps”, att använda sig av samt diverse matematiska relationella termer (addition, subtraktion, snitt m.fl.) som de skulle kombinera korrekt ur syntaktisk synpunkt för att få fram rätt lösning till problemet. Forskarna anger i sin slutsats att

förmågan att kombinera dessa delar samt resonera kring de kombinationer av strategier som tillämpas, är det som definierar tillvägagångssättet vid relationell problemlösning. Detta kan jämföras med Skemps (1976) resonemang kring matematisk problemlösning där han anger att problemlösning visserligen kan utföras även då eleverna enbart besitter instrumentell förståelse, dock menar Skemp på att det förekommer en skillnad mellan de resultat som erhålls vid problemlösning med instrumentell förståelse som grund jämfört med problemlösning med relationell förståelse som grund där det för relationell förståelse krävs att eleven har utvecklat en djupare resonemangsförmåga.

Brehmer, Ryve och Steenbrugge (2015) granskade i en kvantitativ studie 5 722 stycken olika matematiska problem ur svenska matematikböcker där de bl.a. observerade problemens svårighetsgrad och kontext i relation till det avsnitt de förekommer under i matematikboken och den målgrupp de är avsedda att lösas av, dvs. högstadieelever. Genom studien kunde de konstatera att svårigheten med förändrade kontexter och syntaxer baseras på att en elev vid matematisk problemlösning måste anstränga sig för att finna optimala lösningar. Förmågan att finna lämpliga strategier och metoder för att lyckas lösa ett problem menar forskarna utgör en kognitiv utmaning snarare än en “computational challenge” dvs. en rent beräkningsmässig utmaning, vilket kan jämföras med Loongs (2014) och Utomos (2020) resonemang kring utmaningarna som uppstår vid utvecklingen av relationell förståelse.

Utvecklingen av elevers resonemangsförmåga och logiska tänkande, där man skapar mening av abstrakta matematiska problem samt kan göra antaganden och dra logiska slutsatser, har Utomo (2020), Cervesato, Gonzalez och Kumar (2014) samt Bostic och Yee (2014) och Brehmer, Ryve och Steenbrugge (2015) i sina resultat lyft fram som grundläggande faktorer för att elever ska kunna uppnå relationell förståelse inom matematikämnet. Att kunna reflektera över, samt förhålla sig kritisk till olika strategier, metoder och lösningar är andra kompetenser som forskarna nämner i samband med utveckling av resonemangsförmågan i problemlösningsammanhang (Bly & Rich, 2014; Bostic & Yee, 2014; Brehmer, Ryve & Steenbrugge, 2015; Loong, 2014). I termer av problemlösning beskriver Bostic och Yee (2014) ett matematiskt problem genom en metafor där problemet liknas vid ett kärl i vilket känd information sitter inuti kärlet, medan lösningarna befinner sig utanför det. Skemp (1976) påpekar dock att det inte är självklart vad som kan räknas som känd information, eller hur denna ska tolkas. I sin artikel Relational Understanding and Instrumental

Understanding talar han om faux ami, vilket är det franska begreppet för homonyma ord, där han

anger att begreppsförståelse är en grundläggande kompetens som krävs för att kunna utveckla relationell förståelse. Denna uppfattning delas av bl.a. Brehmer, Ryve och Steenbrugge (2015), medan Bostic och Yee (2014) i sina resultat dock menar att det utöver begreppsmässig kontext

finns två till som måste analyseras vid observation av problemlösning; situationsbaserad samt kulturmässig kontext.

Matematisk problemlösning är komplex (Bostic & Yee, 2014; Brehmer, Ryve & Steenbrugge, 2015; Skemp, 1976). George Pólya skrev år 1945 att matematisk problemlösning kan ses som en heuristisk process vilket Bostic och Yee (2014) beskriver som att eleven själv ska söka, upptäcka samt nå ny kunskap och lösningar på problem. Att skapa mening för att kunna lösa ett matematiskt problem är enligt tidigare nämnda resultat ett villkor för att kunna utföra relationell problemlösning. Brehmer, Ryve och Steenbrugge (2015) skiljer på det generella begreppet problemlösning och matematisk problemlösning där de menar att det vid problemlösning finns tre viktiga nyckelfaktorer att ta hänsyn till; problemet måste vara meningsfullt eller värt att lösa, lösaren måste anstränga sig för att nå en lösning och ingen färdig lösningsmall får finnas till hands när uppgiften ska lösas. Detta kan liknas vid de villkor Skemp (1976) ställer för att uppnå relationell förståelse vid matematisk problemlösning. Loong (2014) anger att det vid matematisk problemlösning, i jämförelse med generell problemlösning, utöver de tre ovan nämnda nyckelfaktorerna även måste ske en tolkning av det matematiska problemet, vilket hon menar ofta ställer till det för eleven.

I tidigare nämnd studie kring relationell problemlösning pekar Cervesato, Gonzalez och Kumars (2014) resultat på att människor gör stora, systematiska, icke slumpmässiga fel i sina beräkningar. Utomo (2020) lyfter utifrån sin kvalitativa studie fram att det är det logiska tänkandet som en del av den relationella förståelsen som är avgörande för elevens förutsättningar att lösa ett matematiskt problem. Utomos undersökning baseras på en fallstudie med tre elever i årskurs fem där han mäter elevernas relationella förståelse inom matematikämnet genom diverse interaktiva metoder. Enligt Utomo (2020) samt Cervesato, Gonzalez och Kumar (2014) är de vanligast förekommande misstagen som elever gör i problemlösningssammanhang att bli förvirrade gällande relationella termer, använda samtliga tal ur uppgiftstexterna samt tillämpa felaktiga operatorer i olika lösningsexempel. Skemp (1975) framförde diverse exempel där han visar hur olika matematiska symboler och tecken översätts till olika ord och begrepp i textuppgifter och menar att elever ofta missförstår innebörden av dessa. Skemp förklarar bl.a. att i en uppgift där ordet ”av” förekommer i texten som en relationell term kan denna å ena sidan tolkas till att den matematiska operationen division ska tillämpas, medan det i andra fall snarare kan tolkas som multiplikation. I samband med detta exemplifierande konstaterar han att matematisk problemlösning dels kräver att eleven lär in en stor mängd regler men även att eleven vet hur dessa ska sättas ihop och formar olika slags strategier inför olika problemlösningsuppgifter, vilket stämmer överens med de resultat

som tidigare presenterats utifrån bl.a. Cervesato, Gonzalez och Kumars (2014) samt Utomos (2020) studier.

4.2 Programmering för att fördjupa relationell problemlösning

Nordström (2010) skiljer mellan två paradigm, imperativ respektive objektorienterad programmering, som har varit avgörande för hur programmering lärs ut och vilka kunskaper eleverna besitter efter avslutad kurs. Den imperativa programmeringen är instruktionsorienterad vilket resulterar i att eleverna endast lär sig att följa “ett recept”, något forskarna menar är mindre gynnande för lärandeprocessen än den som sker vid objekt- och projektorienterad programmering där eleverna snarare får testa sig fram till olika metoder och lösningar (Nordström, 2010; Caspersen, 2007). Denna skillnad i lärandeprocessen kan liknas vid den Skemp menar sker vid problemlösning i situationer där eleven endast besitter instrumentell förståelse och tillämpar “rules without reasons”, dvs. regler utan skäl kontra problemlösning där eleverna besitter relationell förståelse (Skemp, 1976, s.2). Jämfört med imperativ programmering är objektorienterad programmering svårare att lära sig, där Nordström (2010) anger att svårigheten med objektorienterad programmering beror på att decentraliseringen av kontroll är svår för eleverna att komma underfund med samt att det är kognitivt mer krävande.

I Lemieux m.fl. (2016) kvalitativa undersökning framgår det att individers kreativitet ökar markant i samband med lärandet av programmering. Denna förbättrade kreativitet menar Lemieux m.fl. även ökar förmågan att finna metoder och lösningar till problem. Att kunna kombinera rätt strategier och metoder samt självständigt resonera kring dessa för att finna en lösning framhöll Cervesato, Gonzalez och Kumar (2014) som huvudsakliga förutsättningar för att utföra relationell problemlösning. När eleverna ges utrymme till att testa olika algoritmer och själva upptäcka lösningar till uppgifter aktiveras samt utvecklas ett flertal förmågor parallellt (Nordström, 2010; Yildiz Durak, 2018; Ardito, Mosley & Scollings, 2014). En matematisk kompetens som direkt påverkas av programmering menar Stigberg och Stigberg (2020) är det logiska tänkandet, vilket bl.a. Bostic och Yee (2014) samt Utomo (2020) tar upp som en förutsättning för att uppnå relationell förståelse inom matematiken. Stigberg och Stigberg (2020) har i sin studie genomfört intervjuer med grundskoleelever och har utifrån resultaten av dessa dragit slutsatsen att elevernas förmåga att logiskt resonera kring ett problem förbättrades påfallande i samband med programmeringstillägget i matematik. Även Castledine och Chalmers (2011) studie påvisar ett

liknande resultat. I sin studie observerade de diskussioner som 23 stycken elever i årskurs sex förde, samt granskade enkäter som samtliga elever besvarade angående LEGO Robotics. Resultatet visade att aktiviteterna vägledde eleverna till att reflektera över sina beslut vilket de menar resulterade i ett mer logiskt tänkande (Castledine & Chalmers, 2011).

Lemieux m.fl. (2016) genomförde en undersökning där 27 stycken individer fick programmera ett datorspel för att sedan kunna granska vilken effekt programmeringen hade på individerna. Undersökningsgruppen ansåg att programmeringen bidrog till autentisk och intressant användning av matematiken, vilket Castledine och Chalmers (2011) menar är nödvändiga förutsättningar för att en elev ska kunna förstå hur matematik kan tillämpas i praktiken. Detta kan i sin tur jämföras med Skemps (1976) definition av relationell förståelse - att veta vad man gör samt varför man gör det. Även undersökningen som Yildiz Durak (2018) genomförde med 110 elever i årskurs fem visade att det logiska tänkandet och elevernas förmåga att resonera samt reflektera kring ett problem främjas genom användningen av programmeringsverktyg. Yildiz Duraks undersökning utgick ifrån användningen av programmeringsverktygen Scratch och Alice där eleverna delades upp i två grupper varav grupperna endast fick använda ett program och på så vis kunde forskaren jämföra resultaten dem emellan. I termer av relationell förståelse kan resultaten även ställas i relation till de som tidigare presenterats av Utomo (2020), Bostic och Yee (2014) samt Brehmer, Ryve och Steenbrugge (2015) där forskarna relaterar såväl utvecklingen av elevers resonemangsförmåga som deras logiska tänkande till relationell förståelse inom matematiken.

Kallia och Psycharis (2017) har i en undersökningsstudie med 66 stycken högstadieelever kommit fram till att elevers resonemangsförmåga främjas genom användningen av programmering i undervisningssammanhang. I deras studie har de deltagande delats upp i två grupper där den ena gruppen fått genomgå en programmeringskurs medan den andra inte givits denna möjlighet. Forskarna kunde baserat på sina resultat jämföra elevgrupperna och konstatera en väsentlig skillnad avseende resonemangsförmågan där den grupp som deltagit i programmeringskursen påvisade en betydligt mer utvecklad förmåga än den andra gruppen. Forskarna genomförde flera olika slags tester där de jämförde flera förmågor såsom kreativitet, logiskt tänkande, kommunikation samt förmågan att finna lämpliga lösningar och metoder och även där fick fram positiva resultat för gruppen som undervisades i programmering. Dock genomfördes även ett problemlösningstest som inte påvisade någon väsentlig skillnad vid jämförelse av resultaten före och efter användningen av programmering. Trots det negativa resultatet på problemlösningstestet menar forskarna att den positiva utvecklingen av de andra observerade förmågorna bland eleverna gör det svårt att dra en generell slutsats om att datorprogrammering inte har en signifikant påverkan på elevers problemlösningsförmåga.

Under höstterminen 2011 då Ardito, Mosley och Scolling (2014) följde en klass i årskurs sex observerade de att oberoende om eleverna arbetar i grupp eller enskilt då de använder ett programmeringsverktyg utvecklas den kommunikativa förmågan. När en programkod skrivs måste den följa bestämda regler för programmet och genom att förhålla sig till detta lär sig eleven att kommunicera matematik med programmet (Ardito, Mosley & Scolling, 2014; Castledine & Chalmers, 2011; Lemieux m.fl., 2016). Hussain, Lindh & Shukura (2006) har i en studie undersökt effekten av ett års regelbunden utbildning inom, samt användning av, LEGO Robotics i tolv olika mellan- och högstadieklasser på svenska skolor där de framhåller att användningen av verktyget utvecklade elevernas kommunikations- samt problemlösningsförmåga. Ett total om 332 stycken elever deltog i studien och de resultat som erhölls jämfördes med resultaten av en kontrollgrupp om 169 stycken elever ur tolv andra klasser. Forskarna understryker dock även i samband med sina resultat att det krävs att den undervisande läraren kan stötta eleverna för att LEGO-användandet ska göra verklig nytta.

I Bostic och Yee (2014) och Loongs (2014) studier framhålls vikten av struktur och kontextualisering vid matematisk problemlösning där de menar att elevens förutsättningar för att lösa ett problem försvåras när en uppgift är ostrukturerad eller får en förändrad kontext. Forskarna framför att den kognitiva utmaningen blir större och det då krävs att eleven utvecklat en djupare relationell förståelse för att kunna lösa problemet. Bly, Leatham och Rich (2014) framhåller att användning av programmering främjar individers kontextualisering, strukturskapande samt motivationsutveckling inom matematiken. Trots att undersökningen baserades på individer som självständigt valt att vara med i undersökningen framhåller Bly, Leatham och Rich att resultaten är representativa för den allmänna användaren av programmeringsverktyg.

Det reflekterande tänkandet och kommunikation gynnas även när eleverna är i behov av att nyansera sitt datalogiska tänkande (Yildiz Durak, 2018). Det datalogiska tänkandet, eller

computational thinking som Yildiz Durak benämner det, är när eleven förstår problemet, finner

lämpliga lösningar, resonerar och reflekterar över handlingsstrategier. Dessa förmågor överensstämmer även med det Cervesato, Gonzlez och Kumar (2014) anger som förutsättningar för att utföra relationell problemlösning. Computational thinking är direkt sammankopplad med användningen och lärandet av programmering och därför argumenterar Beheshti m.fl. (2015) för ett tillägg av programmering inom matematikkurser. Beheshti m.fl. lyfter fram att ett programmeringstillägg bygger på ett växelverkande förhållande mellan datalogiskt tänkande och matematik, där det ena påverkar och fördjupar förståelsen av det andra och vice versa. Genom att använda programmeringsverktyg på ett produktivt sätt framhåller Ardito, Mosley och Scolling (2014), Beheshti m.fl. (2015), Lemieux m.fl. (2016) samt Yildiz Durak (2018) att matematiken kan

appliceras på ett autentiskt samt lärorikt sätt och således skapa en förståelse för matematikens applicering i samhället samtidigt som matematiken skapar betydelsefulla kontexter för användningen av programmering. Lemieux m.fl. (2016) menar att trots att lärandet av matematik genom programmering är mer komplext och svårare bidrar det i längden till en bättre lärandeprocess eftersom eleverna får en djupare förståelse för matematiken genom kontextualiseringen.

5.

Slutsatser och diskussion

I detta avsnitt sätts de resultat som tidigare presenterats i relation till arbetets frågeställning: hur kan

programmering fördjupa relationell problemlösning?. Resultatets betydelse för lärarprofessionen diskuteras

och problematiseras. Därefter ges förslag till vidare forskning där denna kunskapsöversikt kan utgöra grund för en ny problemformulering.

5.1 Slutsatser

Utifrån de resultat som presenterats konstaterar forskarna att användningen av programmering gynnar elevernas lärandeprocess inom matematikämnet (Ardito, Mosley & Scolling, 2014; Beheshti m.fl., 2015; Castledine & Chalmers, 2011; Hussain, Lindh & Shukura, 2006; Lemieux m.fl., 2016; Nordström, 2010; Stigberg & Stigberg, 2020; Yildiz Durak, 2018). Forskarna nämner diverse matematiska kompetenser som de utifrån sina observationer menar främjas genom programmering. Dessa inkluderar bl.a. logiskt tänkande, resonemangsförmåga, kommunikativ förmåga, kontextualisering, strukturskapande, motivationsutveckling samt kreativitet (Ardito, Mosley & Scolling, 2014; Bly, Leatham & Rich, 2014; Bostic & Yee, 2014; Castledine & Chalmers, 2011; Hussain, Lindh & Shukura 2006; Lemieux m.fl., 2016; Stigberg & Stigberg, 2020; Utomo, 2020). Cervesato, Gonzalez och Kumar (2014) fann ett samband mellan elevers förståelse av ett problem, sökande efter lämpliga lösningar, resonemang samt reflektion över deras handlingsstrategier och deras möjlighet att utföra relationell problemlösning. Genom att jämföra dessa med de kompetenser och förmågor som forskarna enligt ovanstående resonemang menar utvecklas genom programmering, kan slutsatsen dras att programmering således utvecklar och fördjupar relationell problemlösning.

Hershkovitz, Nesher och Novotna (2003) tog i sin studie upp att elever föredrar att använda sig av korta, simpla lösningar snarare än utförliga och längre lösningar samtidigt som de problematiserade matematikuppgifters uppbyggnad där de, liksom Skemp, menade på att textuppgifter skapar större utmaningar i problemlösningssammanhang. Dessa resultat kan relateras till Brehmer, Ryve och Steenbrugge (2015), Loong (2014) samt Utomos (2020) presenterade resultat där forskarna anger att uppgifter med förändrade kontexter och syntaxer utgör kognitivt mer utmanande matematikuppgifter, vilka enligt forskarna kräver en utvecklad relationell förståelse

för att lösas. Enligt de studier och resultat som presenterats av Bostic och Yee (2014), Bly, Leatham och Rich (2014), Brehmer, Ryve van Steenbrugge (2015) samt Loong (2014) fungerar programmering som ett verktyg för strukturskapande samt kontextualisering av relationella problemlösningsuppgifter. Användningen av programmering vid matematisk problemlösning torde således skapa en ingång för elever att lära sig att tänka på matematik i förändrade kontexter och därmed underlätta tolkning samt lösning av kognitivt utmanande matematiska problem. Skemp (1976) beskrev tolkning av ett problem som en grundläggande faktor för den relationella förståelsen, vilken i sin tur Cervesato, Gonzlez och Kumar (2014) kopplade till relationell problemlösning. Utöver att skapa struktur, bidra med kontextualisering och underlätta tolkning av kognitivt utmanande uppgifter bidrar programmering även till att elevers kreativitet men framför allt resonemangsförmågan utvecklas enligt Lemieux (2016), vilket är en förmåga som Cervesato, Gonzalez och Kumar (2014) angav som en förutsättning för att kunna utföra relationell problemlösning. De resultat som Beheshti m.fl. (2015) presenterat visar även att användningen av programmering utvecklar det datalogiska tänkandet. Vidare beskrev Beheshti m.fl., liksom Yildiz Durak (2018), det datalogiska tänkandet som förmågan att förstå ett problem, finna lämpliga lösningar, resonera samt reflektera över användbara strategier och metoder, vilket stämmer överens med de kompetenser som forskarna kopplar till en utvecklad resonemangsförmåga (Bly & Rich, 2014; Bostic & Yee, 2014; Brehmer, Ryve & Steenbrugge, 2015; Cervesato, Gonzalez och Kumar, 2014; Loong, 2014). Baserat på ovan nämnda resultat samt de resultat Beheshti m.fl. (2015) presenterar kring programmeringens påverkan på datalogiskt tänkande, dras slutsatsen att programmering fördjupar relationell problemlösning.

Att finna betydelse för att nå en lösning menade Brehmer, Ryve och Steenbrugge (2015) är en av tre nyckelfaktorer som urskiljer matematisk problemlösning från generell problemlösning. Castledine och Chalmers (2011) argumenterade för att programmering bidrar till att skapa en autentisk situation i problemlösningssammanhang, vilket hjälper eleven att förstå varför och hur matematiken kan appliceras praktiskt. Detta står i linje med det Skemp (1976) skrev då han lyfte betydelsen av att veta vilka procedurer som ska tillämpas och varför för att uppnå relationell förståelse vid problemlösning. Därmed kan vi dra slutsatsen att programmering, genom att konstruera autentiska situationer, enligt tidigare resonemang bidrar till utveckling av relationell förståelse och därmed även fördjupar relationell problemlösning.

Samtliga hittills dragna slutsatser talar för att programmering fördjupar relationell problemlösning. Bland arbetets källor inkluderades dock en studie gjord av Kallia och Psycharis (2017) som genom sina resultat inte kunde dra slutsatsen att programmering bidrar till fördjupad problemlösning eftersom resultatet från för- och efter testerna i problemlösningstestet inte

specifikt visade på signifikant förbättring. Kallia och Psycharis nämner dock varken begreppet relationell förståelse eller relationell problemlösning i sin undersökning, men de förmågor som de testat är desamma som övriga forskare menar främjar utvecklingen av relationell förståelse och därmed fördjupar relationell problemlösning. Baserat på dessa fakta dras således slutsatsen att även Kallia och Psycharis, liksom övriga nämnda forskare, påvisar att programmering fördjupar relationell problemlösning inom matematiken genom att programmeringsanvändning utvecklar de förmågor som presenterats utifrån respektive forskares studier.

5.2 Diskussion

I och med att programmering numera utgör en del av det centrala innehållet för matematikkurser i grundskolan och gymnasieskolan (Skolverket, 2019; Skolverket, 2018), menar Skolinspektionen (2019) att det är problematiskt att riktlinjerna för integrering av programmering inte efterföljs kraven. Inledningsvis tog vi upp argument för att digitala medel kan användas som resurser i undervisningen. Regeringskansliet (2017) angav stärkning av elevernas digitala kompetens som huvudsakligt argument, medan Willermark (2018) drog det längre och anger att digitala medel utgör resurser ur didaktisk synpunkt. Trots att Skolverket inte har presenterat någon forskning kring just programmeringens nytta som undervisningsmedel, visar de resultat som framförts i denna kunskapsöversikt hur programmering som digitalt medel kan fördjupa den relationella problemlösningen inom matematikämnet.

Lemieux m.fl. (2016) nämner att matematiklärande genom programmering innebär en mer komplex och svårare process jämfört med traditionell matematikundervisning. Detta anser vi vara en uppfattning som delas av flertalet yrkesverksamma matematiklärare, men en viktig punkt att nämna i sammanhanget är att resultaten faktiskt visar att det i längden är en bättre lärandeprocess då programmeringsanvändning gynnar elevernas relationella förståelse för matematiken (Cervesato, Gonzalez och Kumar, 2014; Utomo, 2020). Kallia och Psycharis (2017) hade visserligen genom sitt problemlösningstest inte kunnat konstatera att programmering bidrar till fördjupad problemlösning. Genom testet hade de dock inte undersökt den relationella förståelsen utan enbart observerat om eleverna lyckats lösa problemet och fått fram korrekt svar. Detta resultat kan kopplas tillbaka till ovanstående resonemang som Lemieux (2016) fört där forskaren anger att den matematiska lärandeprocessen med programmering är mer komplex. En mer komplex lärandeprocess borde i sin tur även innebära en mer komplex bedömningsprocess då lärare behöver

ta hänsyn till ett flertal faktorer som inverkat på elevernas resultat. Här bör dock nämnas att programmeringstillägget ännu är ett relativt nytt inslag i skolvärlden, i synnerlighet inom matematikämnet (Skolverket, 2019; Skolverket, 2018). I denna kunskapsöversikt har vi visat hur komplext det kan vara att undersöka elevers relationella problemlösningsförmåga då den relationella förståelsen är svår att kvantifiera. En potentiellt underliggande faktor som kan ligga till grund för Skolinspektionens (2019) statistiska resultat angående den bristande integreringen av programmering i undervisningen kan således vara att lärare inte besitter förmågan att bedöma den komplexa verkan programmering har på lärsituationen och därmed inte heller kan stötta eleverna i lärandeprocessen.

En genomgående referens vi använt oss av är Skemps vetenskapliga artikel från 1976 som både har fungerat som inspiration och stöd under arbetsprocessen. De resultat och slutsatser Skemp presenterar i sin artikel är än idag aktuella och används av matematiker världen över - även de universitetslärare vi stött på under vår lärarutbildning - för att beskriva matematisk förståelse, vilket är av hög relevans i ett arbete som behandlar relationell problemlösning. Trots att Skemp (1976) i sin artikel inte behandlar programmeringsämnet i sig kunde en del likheter urskiljas mellan Skemps definition av instrumentell respektive relationell förståelse och de förutsättningar Nordström och Caspersen anger som nödvändiga vid imperativ respektive objektorienterad programmering. För att utföra objektorienterad programmering krävs det att eleven besitter en djup förståelse för matematik för att kunna lösa det problem som uppgiften presenterar (Caspersen, 2007; Nordström, 2014). Detta liknades vid relationell förståelse som Skemp (1976) beskriver att elever behöver för att lösa kognitivt utmanande problem. Enligt Skemp inkluderar dessa ofta obekanta eller förändrade kontexter och syntaxer och utgör därmed problem som “rules without reasons” inte är tillräckliga till för att lösa. Det krävs istället att eleverna lär in en större mängd regler och lyckas kombinera dessa genom rätt strategier och metoder för att lösa uppgifterna, vilket flertalet forskare (Brehmer, Ryve & Steenbrugge, 2015; Cervesato, Gonzalez & Kumar, 2014; Utomo 2020) lyfter fram som viktiga förutsättningar för att kunna lösa abstrakta matematiska problem, särskilt vid relationell problemlösning.

De studier vi använt som grund för vår kunskapsöversikt sträcker sig över grundskolan t.o.m. gymnasial nivå. Flera av arbetena vi använt oss av inkluderar observationer av elever i mellanstadiet vilket i sig inte utgör den målgrupp vi var intresserade av att undersöka. Dock uppmärksammade vi att de förmågor som forskarna tagit upp i sina studieresultat var desamma som de som omnämns i det centrala innehållet för de äldre årskurserna, och således är relevanta även för oss. Vidare utgår flera av de använda källorna från kvalitativa studier där studierna baseras på observationer av mindre grupper, något Thurén (2019) uppmärksammar kan göra det svårt att

dra generella slutsatser. Jämfört med kvantitativa studier kan dock forskare genom kvalitativa studier specificera sina studier och undersöka relevanta saker som annars kan vara svåra att mäta kvantitativt (Thurén, 2019) - exempelvis relationell förståelse som utgjort huvudsakligt fokus i denna kunskapsöversikt. Utöver detta har de studier som inkluderats i detta arbete pågått under en längre period, med en bred geografisk spridning samt oberoende av varandra, vilket stärker tillförlitligheten för resultaten.

Avslutningsvis vill vi återigen nämna att det är stärkning av den digitala kompetensen som ges som huvudsakligt argument för införandet av programmering i kursplanerna (Regeringskansliet, 2017). Utifrån de resultat vi framhållit i denna kunskapsöversikt framgår det dock tydligt att det är betydligt fler kompetenser och förmågor som främjas vid användning av programmering som resurs i matematikundervisningen (Ardito, Mosley & Scollins, 2014; Bly, Leatham och Rich, 2014; Brehmer, Ryve och Steenbrugge, 2015; Caspersen, 2007; Castledine och Chalmers, 2011; Cervesato, Gonzalez och Kumar, 2014; Kallia och Psycharis, 2017; Lemieux m.fl., 2016; Nordström, 2010; Stigberg och Stigberg, 2020; Yildiz Durak, 2018). Med det sagt anser vi att resultat likt de vi presenterat borde lyftas och uppmärksammas som en del av framtida kompetensutbildning för såväl yrkesverksamma som blivande matematiklärare, för att skapa väg för tidsenlig och givande framtida matematikundervisning.

5.3 Förslag på vidare forskning

I denna kunskapsöversikt har programmering ställts i relation till relationell problemlösning. Inför framtida forskning föreslår vi att det undersöks vidare huruvida det är en eventuell avsaknad av ämneskompetens bland lärarna eller otydliga mål och forskningsbrist som ligger till grund för den aktuella undervisningssituationen. Ett annat förslag på vidare forskning är att undersöka hur användningen av programmering kan främja matematiska samtal på en än mer komplex nivå.

Referenser

Ardito, G., Mosley, P., & Scollins, L. (2014). WE, ROBOT Using Robotics to Promote

Collaborative and Mathematics Learning in a Middle School Classroom. Middle

Grades Research Journal, 9(3), 73–88. Hämtad från: https://web-a-ebscohost- com.proxy.mau.se/ehost/pdfviewer/pdfviewer?vid=10&sid=247707e3-9d5a-4e38-b7a6-ce5d2d5a0c75%40sdc-v-sessmgr02

Backman, J. (2016). Rapporter och uppsatser. Lund: Studentlitteratur.

Beheshti, E., Horn, M., Jona, K., Orton, K., Trouille, L., Weintrop, D. & Wilensky, U. (2015). Defining Computational Thinking for Mathematics and Science Classrooms. Journal

of Science Education and Technology, 25(1), 127–147. DOI: 10.1007/s10956-015-9581-5

Bly, N., Leatham, K. R. & Rich, P. J. (2014). Beyond cognitive increase: investigating the influence of computer programming on perception and application of mathematical skills.

Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 33(1), 103-128. Hämtad från:

https://eric.ed.gov/?id=EJ1030095

Bostic, J. D. & Yee, S. P. (2014). Developing a contextualization of students’ mathematical problem solving. The Journal of Mathematical Behavior 36, 1-19. Hämtad från: https://www-sciencedirectcom.proxy.mau.se/science/article/pii/S0732312314000492?via%3Dih ub

Brehmer, D., Ryve, A. & van Steenbrugge, H. (2016). Problem solving in Swedish mathematics textbooks for upper secondary school. Scandinavian Journal of Educational Research,

60(6), 577-593. DOI: 10.1080/00313831.2015.1066427

Caspersen, M. E. (2007). Educating Novices in The Skills of Programming. PhD thesis, Aarhus Universitet, Danmark. https://www.cs.au.dk/~mec/dissertation/Dissertation.pdf

Castledine, A., & Chalmers, C. (2011). LEGO Robotics: An authentic problem solving tool?. Design

And Technology Education: An International Journal, 16(3). Hämtade från:

https://eric.ed.gov/?id=EJ960118

Cervesato, I., Gonzalez, C. & Kumar, S. (2014). How people do relational reasoning? Role of problem complexity and domain familiarity. Computers in Human Behavior 41, 319-329.

https://doi.org/10.1016/j.chb.2014.09.015.

Friberg, F. (2017a). Dags för uppsats – vägledning för litteraturbaserade examensarbeten. Lund: Studentlitteratur.

Friberg, F. (2017b). Tankeprocessen under examensarbetet. I F. Friberg (red.), Dags för uppsats –

vägledning för litteraturbaserade examensarbeten (s.59–82). Lund: Studentlitteratur.

Hershkovitz, S., Nesher, P., & Novotna, J. (2003). Situation Model, Text Base and What Else? Factors Affecting Problem Solving. Educational Studies in Mathematics, 52(2), 151-176. Hämtad från: http://www.jstor.org/stable/3483174

Humble, N., Mozelius, P. & Sällvin, L. (2019). Teacher Challenges and Choice of Programming Tools For Teaching K-12 Technology And Mathematics. Education and new

developments 1, 431–435. Hämtad från: http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:miu n:diva-36494

Hussain, S., Lindh, J., & Shukur, G. (2006). The effect of LEGO Training on Pupils' School Performance in Mathematics, Problem Solving Ability and Attitude: Swedish Data.

Journal of Educational Technology & Society, 9(3), 182-194. http://www.jstor.org/stable/j eductechsoci.9.3.182

Kallia, M. & Psycharis, S. (2017). The Effects of Computer Programming on High School Students’ Reasoning Skills and Mathematical Self-Efficacy and Problem Solving.

Instructional Science: An International Journal of the Learning Sciences, 45(5), 583–602.

Lemieux, C., Li, Q., Nathoo, S., Vandermeiden, E. (2016). Secondary Students Learning

Mathematics Through Digital Game Building: A Study of The Effect and Students’ Perceptions. The International Journal for Technology in Mathematics Education. 23(1), 25-34. https://content.ebscohost.com/ContentServer.asp?T=P&P=AN&K=1147809 16&S=R&D=ehh&EbscoContent=dGJyMNHX8kSeqLQ4wtvhOLCmsEieprRSr qu4TLOWxWXS&ContentCustomer=dGJyMPGpt0mwqrdQuePfgeyx43zx

Loong, E. Y. K. (2014). Fostering mathematical understanding through physical and virtual Manipulatives. Australian Mathematics Teacher, 70(4), 3–10. Hämtad från: https://eric.e d.gov/?q=instrumental+AND+relational+mathematics&pr=on&ft=on&id=EJ10

93269

Merhi, N-M. (2019). Strategier för arbete med matematisk problemlösning genom programmering.

Examensarbete. Malmö Universitet. Institutionen för lärande och samhälle. Hämtad från: http://muep.mau.se/bitstream/handle/2043/29659/NourMariam%20Merhi % 20%20Examensarbete%20ÄL%202019-06-04.pdf?sequence=1&isAll owed=y

Nordström, M. (2010). Object Oriented Quality in Introductory Programming Education. PhD Thesis, Umeå Universitet, Sverige. http://umu.divaportal.org/smash/get/diva2:371709/F ULLTEXT02.pdf

Regeringskansliet. (2017). Stärkt digital kompetens i läroplaner och kursplaner. Hämtad från:

https://www.regeringen.se/pressmeddelanden/2017/03/starkt-digital-kompetens-i-laroplaner-och-kursplaner/

SFS 2010:800. Skollag. Stockholm: Utbildningsdepartementet.

Skemp, R. R. (1976). Relational and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching, Bulletin of

the Association of Teachers of Mathematics, 77, 20-26.

Skolinspektionen. (2019). Digitala verktyg i undervisningen Matematik och teknik i årskurs 7–9. Hämtad från: https://www.skolinspektionen.se/beslut-rapporter-statistik/publikationer/kv alitetsgranskning/2019/digitala-verktyg-i-undervisningen---matematioch-tekni k-i-arskurs-7-9/

Skolverket. (2015). Matematiksvårigheter. Hämtad från:

https://larportalen.skolverket.se/LarportalenAPI/apiv2/document/path/larportal en/material/inriktningar/1matematik/Vuxenutbildning/470_vuxendidaktiskapersp ektivpamatematiklarande/6_matematiksvarigheter/material/flikmeny/tabA/Artikla r/Vx_06A_01_matematiksvarigheter%20X.docx

Skolverket (2018). Ämnesplan för matematik i gymnasiet. Hämtad från:

https://www.skolverket.se/undervisning/gymnasieskolan/laroplan-program-och-amnen-i-gymnasieskolan/gymnasieprogrammen/amne?url=1530314731%2Fsyllab uscw%2Fjsp%2Fsubject.htm%3FsubjectCode%3DMAT%26tos%3Dgy&sv.url=1 2.5dfee44715d35a5cdfa92a3

Skolverket. (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad 2019 (6:e uppl.). Hämtad från https://www.skolverket.se/getFile?file=4206

Skolverket. (2020). Effektiva lärstrategier ett viktigt uppdrag för skolan. Hämtad från:

https://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning-och-utvarderingar/forskning /effektiva-larstrategier-ett-viktigt-uppdrag-for-skolan

Springer Nature. (2021). Educational Studies in Mathematics – An International Journal. Hämtad från:

https://www.springer.com/journal/10649

Stigberg, H. & Stigberg, S. (2020). Teaching programming and mathematics in practice: A case study from a Swedish primary school. Dataphilosophy and transcurricular praxis in the

digital society and education, 18(4). 483–496. https://doi-org.proxy.mau.se/10.1177/147 8210319894785

Thurén, T. (2019). Vetenskapsteori för nybörjare. Stockholm: Liber.

Utomo, D. P. (2020). The pattern of a relational understanding of fifth-grade students on integer operations. Journal of Research and Advances in Mathematics Education, 5(2). 119–129. DOI: 10.23917/jramathedu.v5i2.9545

Willermark, S. (2018). Digital Didaktisk Design: Att utveckla undervisning i och för en digitaliserad skola. (PhD Thesis). Trollhättan: Högskolan Väst. Hämtad från: http://www.diva-portal .org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A1174749&dswid=-5261

Yildiz Durak, H. (2018). The Effects of Using Different Tools in Programming Teaching of Secondary School Students on Engagement, Computational Thinking and Reflective Thinking Skills for Problem Solving. Tech Know Learn 25, 179–195. https://doi-org.proxy.mau.se/10.1007/s10758-018-9391-y

Östlundh, L. (2017). Informationssökning. I F. Friberg (red.), Dags för uppsats - vägledning för