EXAMENSARBETE INOM TEKNIK OCH LÄRANDE KOMPLETTERANDE PEDAGOGISK UTBILDNING, AVANCERAD NIVÅ, 15 HP
STOCKHOLM, SVERIGE 2020
Programmering som verktyg för problemlösning i matematik
- En innehållsanalys av gymnasieläroböcker i matematik
ROBERT CELIK
Programmering som verktyg för problemlösning i matematik
- En innehållsanalys av gymnasieläroböcker i matematik
ROBERT CELIK
EXAMENSARBETE INOM TEKNIK OCH LÄRANDE PÅ
PROGRAMMET KOMPLETTERANDE PEDAGOGISK UTBILDNING Titel på svenska: Programmering som verktyg för problemlösning i
matematik
Titel på engelska: Programming as a tool for problem solving in mathematics
Handledare: Kristina Andersson, Kungliga Tekniska högskolan, ITM .
Examinator: Per Norström, Kungliga Tekniska högskolan, ITM .
Sammanfattning
Som ett led i att stärka den digitala kompetensen i den svenska skolan så beslöt regeringen 2017 att införa användandet av programmering i matematikämnet. Sedan höstterminen 2018 så har flertalet matematikkurser för gymnasiet fått uppdaterade kursplaner med tillägget att programmering ska användas som verktyg för problemlösning. I praktiken innebär detta att drygt hälften av de nationella gymnasieprogrammen nu får programmering som antingen obligatorisk eller valbar genom någon av matematikkurserna i c-spåret eller matematik 3b. I samband med de uppdaterade styrdokumenten så har förlagen givit ut reviderade läromedel i matematik eller webresurser med programmeringsuppgifter. I detta arbete utreds i vilken utsträckning dessa programmeringsuppgifter relaterar till problemlösning. Analysen visar att endast en dryg fjärdedel av samtliga analyserade programmeringsuppgifter kategoriseras som problemlösningsuppgifter.
Metoden för dataanalys bygger på Lithners ramverk för imitativa och kreativa resonemang.
Metoden definierar tre olika lösningstyper (kategorier) av matematikuppgifter; High relatedness tasks (HR), Local low relatedness tasks (LLR) och Global low relatedness tasks (GLR). När lösningen till en uppgift är en procedur tagen från läroboken så räknas det till HR kategorin och räknas då som ett imitativt resonemang. När en uppgift tillhör någon av de två övriga kategorierna (LLR eller GLR) så innebär det att eleven själv behövt konstruera stora delar av lösningen till en uppgift. För att främja utvecklingen av problemlösningsförmågan som räknas som ett kreativt resonemang, så måste eleven få arbeta med uppgifter som tillhör LLR eller GLR kategorierna.
Metoden för datainsamling är en innehållsanalys av läromedel i matematik som utgörs av förlaget Natur & Kulturs serie Matematik 5000+ samt förlaget Gleerups serie Exponent med en tillhörande webresurs. I arbetet analyserades 86 programmeringsuppgifter ur Matematik 5000+ samt ytterligare 20 programmeringsuppgifter publicerade som en webresurs med hänvisning till Exponent. Ett antal av de 20 programmeringsuppgifterna relaterade till två läromedel vilket ledde till att det totala antalet analyserade programmeringsuppgifter blev 113. Det visade sig att en delmängd av de analyserade uppgifterna var sådana att någon lösningsalgoritm inte behövdes för att lösa uppgiften, exempelvis genom att facit varit givet i problemformuleringen. Eftersom den typen av uppgifter inte kunde kategoriseras till någon av de tre befintliga kategorierna så definierades en ny fjärde kategori None relatedness tasks (NR). Resultatet visar att nästan hälften av de analyserade uppgifterna (55 av 113) tillhör NR kategorin. En del av förklaringen ligger i att Matematik 5000+ introducerar eleverna till programmering genom färdiga exempel. Analysen visade att ytterligare 28 uppgifter hamnade i HR kategorin vilket således innebär att endast en dryg fjärdedel av samtliga analyserade programmeringsuppgifter klassas som problemlösning. För matematik 3c derivata och matematik 3c integraler så analyserades totalt tio uppgifter där ingen av dessa relaterade till problemlösning. Här används programmeringen istället som ett verktyg för att förklara viktiga begrepp som ingår i dessa kapitel. De matematiska moment som visade sig lämpa sig väl för problemlösningsuppgifter var bl.a. matematik 1c aritmetik och matematik 2c linjär algebra. Sammanfattningsvis så visar studien att en stor majoritet av programmeringsuppgifterna leder till att eleven introduceras till programmering eller leder till att eleven får arbeta med procedurförmågan. Exponent hade en jämförelsevis stor andel programmeringsuppgifter för problemlösning, med sina 44 %. Matematik 5000+ i sin tur presenterar ett större antal uppgifter för problemlösning med deras 18, vilket dock motsvarar endast 21 % av de totalt 86 uppgifterna.
Nyckelord:
Imitativt resonemang, kreativt resonemang, matematikläromedel,
gymnasieskolan, läromedelsanalys.
Abstract
As part of increasing the digital competence in the Swedish school, the government decided in 2017 to introduce the use of programming in the subject of mathematics. Since the autumn term 2018, several mathematics courses for upper secondary school have received updated syllabi with the addition that programming will be used as a tool for problem solving. In practice, this means that just over half of the national upper secondary school programs now receive programming that is either compulsory or elective through one of the mathematics courses in the c-track or mathematics course 3b. In conjunction with the updated governing documents, the publishers have published revised teaching aids in mathematics or web resources with programming tasks. In this thesis, it is investigated to what extent these programming tasks relate to problem solving. The analysis shows that only just over a quarter of all analyzed programming tasks are categorized as problem-solving tasks.
The method of data analysis is based on Lithner's framework for imitative and creative reasoning. The method defines three different solution types (categories) of mathematical problems; High relatedness tasks (HR), Local low relatedness tasks (LLR) and Global low relatedness tasks (GLR). When the solution to a task is a procedure taken from the textbook, it is considered part of the HR category and is then categorized as an imitative reasoning.
When a task belongs to one of the other two categories (LLR or GLR), it means that the student has had to construct large parts of the solution for the task. In order to promote the development of problem-solving ability, which is considered as creative reasoning, the student must be allowed to work with tasks that belong to the LLR or GLR categories.
The method of data collection is content analysis of teaching aids in mathematics, which consists of the publisher Natur & Kultur’s series Matematik 5000+ and the publisher Gleerups's series Exponent with an associated web resource. In this study, 86 programming tasks from Matematik 5000+ were analyzed and another 20 programming tasks published as a web resource with reference to Exponent. Some of the 20 programming tasks referred to two teaching aids, which led to the total number of analyzed programming tasks becoming 113. It turned out that a subset of the analyzed tasks was such that no solution algorithm was needed to solve them, for example by the fact that the results had been given in the problem formulation. As this type of data could not be categorized into any of the three existing categories, a new fourth category None relatedness tasks (NR) was defined. The results show that almost half of the analyzed tasks (55 of 113) belong to the NR category. Part of the explanation lies in the fact that Matematik 5000+ introduce the students to programming through ready-made examples. The analysis showed that a further 28 tasks ended up in the HR category, which thus means that only just over a quarter of all analyzed programming tasks are classified as problem solving. For mathematics 3c derivatives and mathematics 3c integrals, a total of ten tasks were analyzed, none of which related to problem solving. The programming tasks were instead used as a tool to explain important concepts from these chapters. The mathematical chapters that proved to be well suited for problem-solving tasks were e.g. mathematics 1c arithmetic and mathematics 2c linear algebra. In summary, this study shows that a large majority of the programming tasks rather introduce the student to programming or to tasks requiring mere procedural skills, than to tasks that require problem solving skills. Exponent had a comparatively large proportion of programming tasks for problem solving, with its 44%. Matematik 5000+ in turn presents a larger number of tasks for problem solving with their 18, which, however, corresponds to only 21% of the total 86 tasks.
Keywords: Imitative reasoning, creative reasoning, mathematics textbooks, upper
secondary school, textbooks analysis.
Förord
Det sägs att i tider av kris så kommer vårt rätta ansikte fram. För en del har det handlat om att hamstra toalettpapper för andra har det möjliggjort att skriva färdigt ett examensarbete tack vare deltidspermittering.
Tack till min handledare Kristina Andersson på KTH för den vägledning och stöttning du givit mig under skrivandets gång. Tack även till opponent och examinator för den värdefulla feedback ni levererat som bidragit till förbättringar i det slutliga arbetet.
Till sist, ett stort tack till min familj som gjort det möjligt för mig att fullfölja min dröm att
utbilda mig till lärare. Utan er stöttning och förståelse så hade detta inte varit möjligt.
Innehåll
1 Inledning ... 1
2 Syfte och forskningsfråga ... 2
2.1 Avgränsning ... 2
3 Bakgrund ... 3
3.1 Programmering införs i den svenska skolan ... 3
3.2 Förändringar i styrdokumenten för gymnasieskolan ... 4
4 Tidigare forskning ... 6
4.1 Hur läromedel förhåller sig till styrdokument ... 6
4.2 Läromedlens roll för undervisning i matematik ... 6
4.3 Programmering i matematikdidaktisk forskning ... 7
4.4 Problemlösning i matematikdidaktisk forskning ... 8
5 Teoretiskt ramverk ... 9
5.1 Imitativa och kreativa resonemang ... 9
6 Metod ... 10
6.1 Urval ... 10
6.2 Analysmetod baserad på Lithners ramverk ... 10
6.3 Analysmetod för programmeringsuppgifter ... 11
6.4 Validitet och reliabilitet ... 12
7 Analysresultat ... 14
7.1 Matematik 5000+ ... 14
7.2 Exponent ... 15
7.3 Uppgifter för imitativa resonemang ... 16
7.4 Programmering som verktyg för problemlösning ... 22
8 Diskussion ... 25
8.1 Förslag till vidare studier ... 27
9 Referenser ... 28
10 Appendix A - Analys av programmeringsuppgifter ... 31
10.1 Matematik 5000+ 1c ... 31
10.2 Matematik 5000+ 2c ... 37
10.3 Matematik 5000+ 3c ... 43
10.4 Exponent 1c ... 47
10.5 Exponent 3b ... 51
10.6 Exponent 3c ... 53
1 Inledning
Vi lever idag i ett alltmer teknikintensivt samhälle. De flesta av oss, unga som gamla, använder internet dagligen genom våra datorer och smartphones. Det finns knappast någon del av samhället som idag inte är programmerad på ett eller annat sätt.
Skollagen (2010:800) formulerar skolans demokratiska uppdrag som innebär att eleverna ska få utveckla kunskaper kring de förmågor som krävs för att leva och verka i ett demokratiskt samhälle. Eleverna ska ges möjlighet att tillämpa matematik vilket ger dem större möjlighet att fatta välgrundade beslut där matematiska kunskaper är nödvändiga (Skolverket, 2017).
Vidare skriver Skolverket (2017) att det kommer krävas kunskaper i programmering för att bättre kunna ta del av och medverka i samhällsdebatten. Eftersom programmering är en central del i teknik och matematik så ger dessa argument att den svenska skolan i sitt demokratiska uppdrag behöver inkludera programmering i undervisningen.
Programmering och matematik har många gemensamma beröringspunkter, exempelvis genom bådas användning av logik och funktioner. Skolverket (2018c) uttrycker även att det finns överlapp mellan datalogiskt och matematiskt tänkande. Att matematik är och har varit viktigt i den svenska skolan kan förstås genom dess status som kärnämne. Sedan hösten 2018 har Skolverket (2018a) bestämt att programmering ska vara del av matematikinnehållet i både grund- och gymnasieskolan. Därigenom har man givit en tydlig signal till samhället att programmering kommer att bli allt viktigare för oss alla i framtiden.
Den svenska skolans kunskapsuppdrag syftar till att utbilda vår framtida arbetskraft.
Samtidigt kan man läsa att det råder stor brist på programmerare på arbetsmarknaden (Balanskat & Engelhardt, 2015). Vid tidpunkten för sin rapport beskriver Balanskat och Engelhardt (2015) att över hälften av EU:s länder redan inkluderat programmering som en del av sin grund- och/eller gymnasieutbildning, inklusive båda våra nordiska grannländer Finland och Danmark. Införandet av programmering i matematikämnet syftar i huvudsak till att stärka elevernas matematikkunskaper. Det hindrar förstås inte att en del får upp ögonen för programmeringens magiska värld och ett intresse väcks som för vissa kan innebära ett karriärsval som blivande programmerare.
I de kurser som programmeringen ingår i är syftet att det ska användas som verktyg för
problemlösning. Att programmering är väl lämpat som verktyg för problemlösning
diskuterades redan på 80-talet (Björk, 1983).
2 Syfte och forskningsfråga
Problemlösning beskrivs av Skolverket (2017) som en central förmåga som eleverna ska få möjlighet att utveckla under sina matematikstudier. Det handlar om att formulera eller lösa problem med hjälp av matematik samt att kunna se alternativa lösningar. Vidare skriver Skolverket om programmering i samband med problemlösning i matematik. Med programmeringen så ska man använda algoritmer, dvs en uppsättning instruktioner, för att formulera och lösa matematiska problem (Skolverket, 2017).
Som blivande matematiklärare med mångårig bakgrund inom programvaruutveckling så är det av särskilt intresse att ta reda på hur programmering presenteras i matematikläromedel.
Syftet med detta arbete är alltså att ta reda på hur förlagen presenterar programmering i sina matematikläromedel.
Denna studie behandlar programmering som verktyg för problemlösning i gymnasiematematik. Det studien ämnar besvara är i vilken mån läromedel behandlar detta ämne. Detta mynnar ut i följande forskningsfråga:
• I vilken utsträckning leder programmeringsuppgifterna i läromedlen till problemlösning?
2.1 Avgränsning
Fokus för denna studie är införandet av programmering i matematikämnet på gymnasienivå.
Det innebär att de renodlade programmeringskurserna Programmering 1 och Tillämpad
programmering inte behandlas i detta arbete. Istället avgränsas underlaget i denna studie till
följande matematikkurser: Matematik 1c, 2c, 3b och 3c. En eller flera av dessa kurser är
antingen obligatoriska eller valbara för 10 av de 18 svenska nationella gymnasieprogrammen.
3 Bakgrund
I en artikel så tidigt som 1975 diskuterar Björk, Loftrup och Nilsson (1975) frågan hur datorer påverkar elevers förmåga och attityd till matematik. I artikeln kan utläsas att elever som fick möjlighet att lära sig programmering visade mer positiva attityder mot matematik. Vidare sammanfattar Rolandsson och Skogh (2014) utvecklingen i den svenska skolan på 70-talet som att man under den tidsperioden identifierat en potential att inkludera programmering i matematikämnet och på så vis göra den tillgänglig för den breda massan. Enligt Nilsson i Emanuel (2008) så fanns det initialt en farhåga att införandet av datorer i matematiken kunde innebära att eleverna skulle bli sämre på matematik. Det visade sig genom jämförelser mellan skolor som använde programmering och de som inte gjorde det att resultatet var tvärtom.
Enligt Nilsson så fick eleverna som använde programmering ett logiskt tänkande som var till stor nytta för dem (Emanuel, 2008).
Under 70- och 80-talet diskuterades det huruvida det var av vikt att kunna programmera för att förstå hur en dator fungerar. Dåvarande Skolöverstyrelsen ansåg att programmeringskunskaper var nödvändigt för ökad datorkunskap (Rolandsson & Skogh, 2014). År 1984 fattade vårriksdagen ett första beslut kring grundskolans användning av datateknik, i dåvarande skolämne datalära (Riis, 2000). Den satsningen på grundskolans högstadium var första gången man gjorde något kring datalära med syfte att nå samtliga elever. Beslutet innebar att 80 timmar datalära skulle undervisas i grundskolan och elementär programmering skulle ingå som ett moment i ämnena SO, NO och matematik. Från 90-talet fram till mitten på 2010-talet minskade fokus på programmeringen i de läroplaner som var aktuella då (Rolandsson & Skogh, 2014). Då lades istället vikt på en generell ökning av kunskaper kring informations- och kommunikationsteknik (IKT) (Rolandsson & Skogh, 2014). Men som framtiden fått utvisa så skulle alltså fokus på programmering att förändras ånyo.
3.1 Programmering införs i den svenska skolan
Programmering har under flera decennier undervisats på många högskolor runtom i landet.
Frågan om huruvida programmering ska undervisas på grund- och gymnasieskolan har dock inte varit lika självklar och inte heller hur programmeringen ska införas. Beslutet som togs av regeringen (Utbildningsdepartementet, 2017) innebar en ämnesintegrering i bl.a. matematik- och teknikämnena med införande höstterminen 2018. Detta var inte ett helt okontroversiellt beslut då man tidigare generellt sett ställt sig kritiska till just integrering mellan ämnen eftersom man menade att matematiken då blir en annan matematik (Skolverket, 2001).
Skolverket har publicerat diverse texter i samband med de förändringar som införandet av programmering medfört. En av dessa texter (Skolverket, 2018a) beskriver vilka didaktiska frågor lärare kan ställa sig vid införandet av programmering i sin matematikundervisning.
Texten är medförfattad av Rolandsson som i sin egen avhandling forskat på just införandet av
programmering i läroplanen. Rolandssons (2015) skriver i sin avhandling om att IT i skolan
har ändrats minimalt sedan ämnet introducerats på 1970-talet samtidigt som IT i samhället i
övrigt har ändrats väldigt mycket under samma tid. Den tekniska förändring som skett i
samhället har inte påverkat skolan nämnvärt menar Rolandsson. En stor fråga enligt
Rolandsson är hur man får skolsystemet att motsvara samhällets behov av en modern syn på
IT, dvs. att IT i undervisningen inte enbart ska vara ett medel (jmf. IKT) men även vara ett
mål. En viktig aspekt i den processen är enligt Rolandsson att noggrant följa den
internationella utvecklingen kring digital kompetens och programmering. Balanskat och
Englehardt (2015) klargör i sin studie att över hälften av EU:s länder redan inkluderat
programmering i sina skolsystem. Rolandsson (2015) föreslår i likhet med den brittiska
strategin att införa ett nytt skolämne för att överbrygga skillnaden mellan skolan och samhället; exempelvis ämnet ”Datalogiskt tänkande”.
I en annan text av Skolverket (2018c) så hänvisar man till forskning som genomfördes av Misfeldt och Ejsing-Duun (2015). Deras forskning visar hur elevers programmerings- aktiviteter kan bidra till lärande i matematik. Man nämner algoritmiskt tänkande som en viktig överlapp mellan programmering och matematik. De skriver att algoritmiskt tänkande är nära besläktat med matematisk problemlösning i att båda innebär att på ett systematiskt sätt beskriva och lösa uppgifter.
Fokus i denna uppsats är programmeringsinnehållet i läroplanen för matematik. Det problem som avses lösas med införandet av programmering är att uppfylla det behov som finns av ökat datalogiskt tänkande, en generell ökning av intresset för programmering samt framför allt att programmering ska användas som problemlösningsverktyg i matematikämnet.
3.2 Förändringar i styrdokumenten för gymnasieskolan
Den läroplan som är aktuell för dagens gymnasieskola benämns Gy11. Införandet av Gy11 innebar stora förändringar inom ämnesplanerna samt ett nytt betygssystem A-F (Skolverket, 2011b). Begreppet programmering finns överhuvudtaget inte benämnt i matematikämnet i Gy11 (Skolverket, 2011a). Programmering finns benämnt endast en gång och det är i en av teknikprogrammets fem inriktningar, Informations- och medieteknik. I den inriktningen är kursen Programmering 1 obligatorisk för alla elever.
I Regeringsredovisningen som Skolverket kom ut med i juni 2016 kunde man läsa om förändringar i läroplanerna kring programmering (Skolverket, 2016). För grundskolan så innebar förändringarna att programmering skulle integreras i bland annat ämnena matematik och teknik. Vidare skriver Skolverket (2016) att syftet för gymnasieskolan har varit att programmering ska användas som verktyg för problemlösning i matematikämnet.
Gy11 reviderades för matematikämnet 2018 i och med införandet av programmering (Skolverket, 2011c). De berörda matematikkurserna är 1c, 2c och 3c, dvs hela c-spåret, 3b samt matematik 4, 5 och specialisering. Av de 18 nationella gymnasieprogram som finns i den svenska skolan så utgörs tolv av dessa yrkesprogram. Elever som läser på ett yrkesprogram läser matematikkurser ur a-spåret. Detta innebär således att elever på yrkesprogram inte har någon obligatorisk programmering i sina matematikkursplaner. I tabellen nedan listas gymnasieprogrammen med inriktningar som har obligatoriska matematikkurser där programmering ingår.
Tabell 1. Obligatoriska matematikkurser per gymnasieprogram och programinriktningar där programmering ingår. Inget av de tolv yrkesprogrammen har programmering som obligatorisk undervisning i matematikundervisningen. Av de sex högskoleförberedande programmen så är det häften som har obligatorisk programmeringsundervisning, om än inte i samtliga inriktningar
Gymnasieprogram Programinriktning Matematikkurser
Ekonomi Ekonomi 3b
Övriga inriktningar -
Naturvetenskap Samtliga inriktningar 1c, 2c, 3c Naturvetenskap även 4 Teknik Samtliga inriktningar 1c, 2c, 3c
Teknikvetenskap även 4
Tabell 2. Valbara matematikkurser per gymnasieprogram i programfördjupningen där programmering ingår. Programmering erbjuds som valbar undervisning för samtliga sex högskoleförberedande program. Utöver dessa program så erbjuds programmering i fyra av de 12 yrkesprogrammen, dvs. i en tredjedel av dessa. Dessutom så har Skolverket (2018b) inkluderat de två renodlade programmeringskurserna Programmering 1 och Tillämpad programmering som valbara för samtliga gymnasieprogram.
Gymnasieprogram Matematikkurser
Ekonomi 3b, 4
El och energi 3b, 3c
Estetiska 3b, 4
Hantverk 3b, 3c
Humanistiska 3b, 4
Industritekniska
Naturbruk 3b, 3c, 4
3b, 3c
Naturvetenskap 4, 5, specialisering Samhällsvetenskap 3b, 4
Teknik 4, 5, specialisering
Ett av matematikämnets långsiktiga mål handlar om att kunna formulera och lösa problem, vilket benämns problemlösningsförmåga. Eftersom Skolverket valt att programmering ska användas som verktyg för problemlösning så skrivs innehållet för programmering under centralt innehåll för problemlösning. Formuleringen lyder: ”Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg och programmering” (Skolverket, 2011c). Skolverket (2017) skriver vidare att i arbetet med matematisk problemlösning så måste eleverna pröva sig fram för att finna lösningar. Det passar väl in med hur programmeringen kan användas enligt Skolverket, dvs att genom algoritmer (en uppsättning instruktioner för att lösa problem) kunna lösa en uppgift. Vidare skriver Skolverket (2017) att eleverna med hjälp av programmering och algoritmer ska ges möjlighet att skapa, testa och förbättra dessa algoritmer.
Som kan utläsas ur Tabell 1 så är det i princip i NV- och Teknikprogrammet som
programmering i matematiken är obligatorisk. Detta kan ställas i relation till hur det såg ut
på 80-talet då Datateknik/datakunskap erbjöds på NV-linjen på gymnasiet (Rolandsson,
2015). Målgruppen är i stort alltså relativt oförändrad.
4 Tidigare forskning
Läroboksförfattare har att förhålla sig till kurs- och ämnesplanen för den bok som ska författas. I bakgrundskapitlet presenterades hur matematikämnet, dvs. den ram som läroboksförfattare har att förhålla sig till, har förändrats i och med införandet av programmering. I det här kapitlet skiftas nu fokus från läroplanen och forskningen inom den till att diskutera forskningen kring läromedel.
4.1 Hur läromedel förhåller sig till styrdokument
Granskningen av läromedel har i den svenska skolan tidigare varit en statlig angelägenhet.
Sedan 1991, samma år som Skolverket ersatte Skolöverstyrelsen, så genomförs enbart punktvis granskningar av läromedel. Den rollen har sedan 2008 Skolinspektionen fått ta över och granskningarna handlar då om i vilken mån läromedlen förhåller sig till styrdokumenten.
Samtidigt skriver Johansson (2003) att till skillnad från lärare så måste inte läromedels- författare nödvändigtvis följa läroplanen. Detta har lett till att lärarna givits ett stort ansvar att använda läromedel som ger eleverna möjlighet att lära sig innehållet i läroplanen (Johnsson Harrie, 2009). Vidare skriver Johansson att utgivning av läromedel till stor del handlar om affärer och att ta marknadsandelar kan ibland väga tyngre än att följa styrdokumenten till punkt och pricka.
Johansson (2003) definierar två olika nivåer av läroplanen; den avsedda läroplanen samt den potentiellt genomförda läroplanen. Den avsedda läroplanen utgörs av Skolverkets skrifter och den potentiellt genomförda läroplanen är läromedelsförfattarnas tolkning av den.
I lärarnas uppdrag ingår den avsedda läroplanen som ett krav att följa i undervisningen.
Däremot ställs inget krav på att lärare skall använda någon särskilt lärobok i sin undervisning.
Det är därför relevant för föreliggande arbete att presentera forskning kring matematikbokens roll i undervisningen. Det går däremot inte att på ett enkelt sätt härleda lärares användning av programmering i matematikboken på samma sätt eftersom det är ett relativt nytt fenomen.
I och med matematiklärares begränsade kunskaper i programmering så föreligger det inte som osannolikt att de tar stöd i den.
4.2 Läromedlens roll för undervisning i matematik
Skolverket (2003) skriver att matematik tycks vara det ämne där undervisningen är mest beroende av läroboken. Skolinspektionens (2009) rapport visar även den att matematik- undervisningen är starkt styrd av läroboken. Rapporten visar vidare att en stor del av lärarna hade bristfälliga kunskaper om kursplanen i matematik med avseende på de matematiska kompetenserna, det som i Lgy11 kallas för förmågorna. Samtidigt så framkom i rapporten att många lärare litar blint på att läroboken följer kursplanen och att de därför anser sig inte ha användning för kursplanen. Som skrivet i föregående avsnitt så är detta något som inte kan tas för givet (Johansson, 2003).
Johansson (2006) skriver att läroboken används i stor utsträckning av lärare vid planering
och genomförande av undervisningen för att bl.a. säkra innehållet men även ordningen på
hur matematiken undervisas. Enligt Johansson påverkar läroboken i hög grad lärares och
elevers uppfattningar om matematikämnet. Vidare diskuterar Johansson (2006) i sin
avhandling huruvida lärare verkligen behöver vara beroende av matematikläroboken i sin
undervisning. Hon skriver att det är viktigt att läroboksförfattarna fortsätter att utveckla sina
läroböcker men att det är lärarna som är centrala för undervisningen. Hon skriver vidare att
det är än viktigare att lärare är säkra i sina kunskaper i matematikdidaktik.
4.3 Programmering i matematikdidaktisk forskning
Skolverket (2011c) fastställer de långsiktiga målen i matematik som eleverna ska ges möjlighet att utveckla. Matematiska problem definieras som uppgifter som eleverna inte direkt känner till hur de ska lösas (Skolverket, 2017). I arbetet med uppgiften så måste eleven pröva sig fram för att nå en lösning (Skolverket, 2017). Motsatsen är rutinuppgifter där eleven kan använda en färdig procedur som lösningsmetod. Skolverket (2017) skriver vidare att programmering kan användas för matematisk problemlösning genom att skapa eller ändra programkod.
Papert (1980b) skriver i sin artikel om att användningen av ny teknik i undervisningen inte enbart ska förbättra skolan utan närmast transformera den till något helt nytt. Han beskriver det som att en ny kultur skapas i vilken datorer kommer vara en naturlig och integrerad del av undervisningen. På det viset menar Papert att matematik och annat formellt lärande kan uppstå på ett naturligt sätt. För att åstadkomma detta bidrog Papert till utvecklandet av ett nytt programmeringsspråk LOGO vars syfte är att elever ska programmera på ett enkelt och intuitivt sätt. Papert menar att om eleverna får möjlighet att växa upp i en teknikintensiv miljö så kommer de få förutsättningar att ”tala matematiskt”. Den fråga Papert ställde sig i sin forskning var: ”under vilka förhållanden kommer barn att prata i matematiskt språk med matematikspråkiga datorer”. Det är den frågan som är central i den bok (Papert, 1980a) som han har som självreferens i sin artikel samt som Skolverket (2018a) refererar till.
Papert (1980a) ifrågasätter varför det ska vara svårt för ett barn att lära sig tala det språk en dator förstår, dvs. programmeringsspråk, när barn generellt sett är väldigt duktiga på att lära sig tala nya språk. Papert gör liknelsen att en elev som ska lära sig ett främmande språk (i sitt exempel franska) gör detta enklast i en franskspråkig miljö, dvs inte genom klassrums- undervisning. För att barn ska kunna lära sig att kommunicera med datorer så menar han att datorn behöver designas på ett sådant sätt som främjar just detta. När denna kommunikation sker då lär sig barnen matematik som ett levande språk menar Papert. Detta kan relateras till Skolverkets syfte att använda programmering som ett verktyg i matematikundervisningen för att underlätta elevernas lärande i matematik.
Datalogiskt tänkande (Computational thinking) är ett begrepp som myntades av Wing (2006). Begreppet har sitt ursprung från det arbete som Papert genomförde (Shute, Sun, &
Asbell-Clarke, 2017). I begreppet ingår att beskriva och lösa problem, varav algoritmer i programmering anges som ett exempel. Wing menar att datalogiskt tänkande borde vara en lika självklar del i undervisningen för elever, precis som det är med att läsa, skriva och räkna.
Shute, Sun och Asbell-Clarke (2017) artikel utgår ifrån Wings arbete. I artikeln visas att datalogiskt tänkande och matematiskt tänkande har flera beröringspunkter varav problemlösning är en av dessa. Vidare skriver de om vikten av att lösa problem på ett systematiskt sätt genom att bryta ner ett problem i mindre delar.
I en studie av Psycharis och Kallia (2017) forskas om huruvida programmering i skolan har en tydlig effekt på elever resonemangs- och problemlösningsförmåga i matematik. I studien delas 66 sistaårselever på en grekisk gymnasieskola in i två olika grupper där experimentgruppen läser en programmeringskurs medan kontrollgruppen inte gör det.
Resultatet visar att experimentgruppen får en tydlig positiv effekt på sin resonemangs- förmåga, däremot misslyckas studien med att påvisa en tillräckligt förbättrad problemlösningsförmåga för eleverna i experimentgruppen i jämförelse med kontrollgruppen. Med det sagt så visar studien ändock att eleverna som läser programmering får en betydande förbättrad problemlösningsförmåga i matematik.
En annan studie genomförd av Scherer, Siddiq och Sánchez Viveros (2018) visar att det sker en viss transfereffekt vid användning av programmering för att öka matematiska förmågor.
Man skriver om transfer som överföring av lärande som påverkar problemlösning i en ny
situation. Det kan till exempel vara en strategi för att lösa ett slags problem som sedan kan användas för att lösa ett annat slags problem. Enligt Psycharis och Kallia (2017) visar en studie av Soloway (2003) att när man lär sig programmera så lär man sig samtidigt kraftfulla problemlösningsstrategier. Detta eftersom när eleverna programmerar så måste de först hitta lösningen till ett problem och därefter behöver de kunna kommunicera med datorn genom den programkod som skrivs ner för lösningen till problemet.
4.4 Problemlösning i matematikdidaktisk forskning
Skolverket (2011c) benämner problemlösningsförmågan som en av sju långsiktiga mål som eleverna i matematikundervisningen ska få möjlighet att utveckla. Problemlösning innebär till skillnad från rutinuppgifter att eleverna inte på förhand vet hur dessa ska lösas, dvs lösningsmetoden är inte på förhand given (Taflin, 2007). Bentley (2008) skriver att läroböcker riktar sig främst på procedurkunskaper för att lösa rutinuppgifter.
Skolinspektionens (2009) rapport visar också att en starkt läroboksstyrd undervisning i matematik begränsar elevers möjlighet att utveckla problemlösningsförmåga.
Lester (1996) menar att förmågan att lösa problem utvecklas långsamt under lång tid. Han skriver vidare att eleverna måste lösa många problem för att utveckla sin problemlösningsförmåga. Men den faktor som Lester (1996) menar har den största betydelsen för hur elever lär sig problemlösning är att de måste tro på att läraren tycker att problemlösning är betydelsefullt. Lärarens undervisning ligger utanför det här arbetets omfattning men som föregående avsnitt visade så torde alltså läromedlet indirekt ha betydelse för hur framgångsrik undervisningen blir. Lester (1996) skriver vidare om att eleverna måste få använda många olika problemlösningsstrategier. I ett första steg ska eleven undervisas i hur man kan använda strategin och i nästa steg får de tillämpa strategin (Lester, 1996). Det handlar alltså om att eleverna ska få lära sig många olika sätt att lösa problem. Detta kan relateras till att Skolverket menar att programmering ska vara en strategi för problemlösning.
Kaufmann och Stenseth (2020) diskuterar i sin forskning huruvida lärare designar
matematiska problem som använder programmering som verktyg för bättre förståelse för
matematiken, eller om de använder matematiken till att förbättra problemlösningsförmågan
i programmering. Forskarna menar att båda delar görs samtidigt, dvs att eleverna i sina försök
att förbättra sina program samtidigt förbättrar sin problemlösningsförmåga. Hagland, Taflin
och Hedrén (2005) skriver att ett syfte med matematisk problemlösning är att stimulera
elevers förmåga att tänka kreativt. Kreativitet i samband med elevers uppgiftslösande
förklaras av Lithner (2008) som tankeprocesser som är flexibla och som anpassas till rådande
situation.
5 Teoretiskt ramverk
Lithner (2008) presenterar i sin artikel ett ramverk för hur man kan kategorisera matematik- uppgifter med avseende på vilket slags resonemang som krävs för att lösa dessa. Ramverket delar in lösningsmetoderna i två grupper; imitativa respektive kreativa resonemang. Den fundamentala frågan är vad elever lär sig av respektive uppgift och vilken eller vilka förmågor som eleven i så fall visat prov på.
Begreppet resonemang definierar Lithner (2008) som den tankegång som används för att framställa påståenden och nå slutsatser i uppgiftslösning. Resonemang beskrivs vidare av Lithner som en tankeprocess och resultatet av denna.
5.1 Imitativa och kreativa resonemang
När lösningen på ett problem är en procedur tagen från läroboken så räknas det in i den imitativa kategorin (Lithner, 2008). Detta kan relateras till en av de sju förmågorna i matematikämnet som benämns procedurförmågan (Skolverket, 2011c). Till den imitativa kategorin finns två underkategorier; memorerade resonemang (MR) och algoritmiska resonemang (AR). Studien visade att elever som memorerar lösningar ofta inte förstod innebörden av dem (Lithner, 2008). AR innebär till skillnad från MR att lösningen utgörs av en sekvens av instruktioner. Det betyder alltså att eleven behöver erinra sig om vilken algoritm som skall användas för att fullständigt kunna lösa problemet.
Till skillnad mot imitativa resonemang så innebär kreativa resonemang att lösningsmetoden inte är given på förhand utan istället behöver eleven själv konstruera stora delar av lösningen (Lithner, 2008). Jonsson, Nordqvist, Liljekvist och Lithner (2014) skriver i sin artikel att alla elever behöver få kämpa med matematikuppgifter och inte enbart använda imitativa resonemang, för att främja utvecklingen av problemlösningsförmågan. Vidare kan en och samma matematikuppgift för en elev tillhöra kategorin kreativa resonemang medan det för en annan elev blir ett imitativt resonemang (Jäder, Lithner, & Sidenvall, 2019). Jäder (2015) skriver att procedurkunskaper behövs för att skapa en bred matematisk kompetens. Vidare visar Jäders forskning att bara ungefär en tiondel av uppgifterna i matematikböcker från tolv olika länder kräver ett kreativt resonemang för att lösas. Han skriver att läraren bör lägga stor vikt vid vilka läromedel som ska användas med särskild fokus på matematisk förståelse.
Problemlösning kan ge elever motivation att utvidga sina matematikkunskaper (Hagland,
Taflin, & Hedrén, 2005). Vidare skriver de att det motsatta kan ske med elever som har
svårigheter i matematik och dessa blir då istället tilldelade lättare uppgifter. Detta bekräftas
av Sidenvall (2015), dvs att eleverna blir tilldelade rutinuppgifter som enbart kräver imitativa
resonemang för att lösas. Vidare skriver Sidenvall att eleverna använde sig av kreativa
resonemang i mindre utsträckning vid användning av läroboken. Föreliggande arbete ämnar
undersöka huruvida liknande resultat kan skönjas för matematikläromedlens
programmeringsuppgifter.
6 Metod
I följande kapitel presenteras de metoder som används som medel för att besvara uppsatsens forskningsfråga. Insamlingsmetoden som används är kvantitativ innehållsanalys. Det empiriska underlaget i föreliggande studie utgörs av läromedel. Bryman (2008) skriver att innehållsanalysen innebär att på ett systematiskt och replikerbart sätt kvantifiera innehållet utifrån några på förhand bestämda kategorier. Denna studie är en läromedelsanalys där huvudkategorierna är imitativa respektive kreativa resonemang.
6.1 Urval
I kursplanerna för matematik (Skolverket, 2011c) så beskrivs syftet med undervisningen men inte hur undervisningen ska gå till. Det finns alltså inget krav på att lärarna i sin undervisning ska använda exempelvis en lärobok eller annat tryckt material som läromedel. Samtidigt vet vi från Ryve, Hemmi och Kornhall (2016) att de läromedel som lärarna använder har stor påverkan på undervisningen. De förlag som granskats som en första sondering är i tur och ordning Natur och Kultur, Liber och Gleerups.
Urvalet av läromedel i denna studie väljs med avseende på studiens syfte och forskningsfråga.
Bryman (2008) benämner den urvalsmetoden som strategiskt urval, även kallat målstyrt urval. Vid valet av läromedel så användes det Bryman kallar bekvämlighetsurval. Det innebär att de läroböcker som fåtts tag på genom sökning i bibliotek i hemkommunen samt kringliggande kommuner kommer att utgöra en begränsande faktor. Här har dessutom givits möjlighet att låna läromedel från den tidigare VFU skolan vilket därtill ger relevans eftersom dessa verkligen används i undervisningen.
Förlaget Natur & Kultur har valt att komma ut med ny upplaga av sin serie Matematik 5000.
Den nya serien heter Matematik 5000+ och nya upplagor för kurserna 1c, 2c och 3c har givits ut. Däremot har ny upplaga för kurs 3b skjutits fram till augusti 2022 (Natur & Kultur, 2020).
Således begränsas urvalet för Matematik 5000+ till c-spåret.
Förlaget Liber har valt att inte komma ut med ny upplaga av sin M-serie. Man har istället valt att ge ut läromedlet Greppa programmering (Liber, 2020) vilket riktar sig till grundskolan och ingår således inte i urvalet för detta arbete.
Förlaget Gleerups har valt att komma ut med ny upplaga av c-spårets kurser för sin serie Exponent. För kursböckerna 1c, 2c och 3c hänvisas till en webresurs för programmeringsdelen (Gleerups, 2020).
Tabell 3. Urval av matematikkursböcker per förlag. Tabellen visar de sex matematikkursböcker från de två förlagen som slutligen används som underlag i detta arbete.
Förlag Matematikkursbok
Gleerups Exponent 1c (2012)
Exponent 3b (2013) Exponent 3c (2012)
Natur & Kultur Matematik 5000+ 1c (2018) Matematik 5000+ 2c (2019) Matematik 5000+ 3c (2019)
6.2 Analysmetod baserad på Lithners ramverk
Lithners ramverk för kategorisering av matematikuppgifter ligger till grund för den
analysmetod som Jäder et al. (2019) använde i sin läromedelsanalys. I Jäder et al. (2019)
forskning så valde man att definiera tre olika lösningstyper (kategorier) av matematikuppgifter;
1. High relatedness tasks (HR), vilket förklaras som matematikuppgifter som kan lösas genom en given mall eller algoritm. För att uppgiften ska klassas som HR krävs dessutom att lösningsalgoritmen ska vara enkel att identifiera, dvs genom att den finns tillgänglig i föregående sidor i samma delkapitel.
2. Local low relatedness tasks (LLR), definieras som HR med skillnaden att lösningsmallen inte kan användas rakt av utan istället krävs mindre justeringar för att den ska passa till matematikuppgiften.
3. Global low relatedness tasks (GLR) innebär att ingen lösningsmall finns i matematikboken eller om en mall finns men att man anser att eleven inte rimligen kan förväntas göra kopplingen till den specifika uppgiften.
Analys av programmeringsuppgifter som visar sig inte relaterar till någon av dessa tre kategorier kommer att hamna i en ny fjärde kategori kallad:
4. None relatedness tasks (NR) innebär att programmeringsuppgiften inte relaterar till problemlösning.
Den avgörande faktorn i att denna analysmetod passar bra för att besvara forskningsfrågan är att uppgifter av den första kategorin anses av Jäder et al. (2019) som uppgifter av rutinkaraktär, dvs de anses tillhöra Lithners kategori för imitativa resonemang. Vidare skriver Jäder et al. (2019) att för att elever ska få utveckla sin problemlösningskompetens så krävs uppgifter av typerna LLR eller GLR, vilka alltså är de två kategorierna som utgör kreativa resonemang.
För att avgöra vilken av de tre kategorierna som en uppgift tillhör så genomförde Jäder et al.
(2019) i sin analys följande steg:
1. Skriv ner generell information om uppgiften, exempelvis att uppgiften beskrivs som
”problemlösning” eller att uppgiften kategoriserats som nivå c (av a-c).
2. Skriv ner en rimlig lösning.
3. Leta igenom uppgifter i föregående sidor i samma delkapitel om en lösningsmall kan hittas för den specifika uppgiften.
4. Om ingen lösningsmall kunnat hittas i föregående punkt så utökas sökningen till fler delkapitel. Här sker en diskussion kring om man anser att det är rimligt att en elev kan förväntas hitta och använda den lösningsmallen.
5. Med argumentation avgöra vilken kategori uppgiften tillhör; dvs någon av HR, LLR eller GLR.
6.3 Analysmetod för programmeringsuppgifter
Det finns en väsentlig skillnad mellan Jäder et al. (2019) underlag och det underlag som
används i föreliggande arbete. Båda fokuserar visserligen på problemlösningsförmåga i
matematikläromedel men i detta arbete analyseras programmeringsuppgifter medan det i
deras forskning gällde matematikuppgifter. Huruvida en uppgift bedöms tillhöra HR
kategorin eller inte avgörs av om det finnas en tydlig lösningsmall eller lösningsalgoritm för
uppgiften. Dessutom ska eleven på ett enkelt sätt kunna identifiera lösningsmallen genom att
den finns tillgänglig i föregående sidor i samma delkapitel. Jäder et al. (2019) skriver att elever
behöver få arbeta med uppgifter från LLR eller GLR kategorierna för att öva på sin
problemlösningsförmåga. I och med att de programmeringsuppgifterna som föreslås av
Gleerups inte återfinns i någon kursbok utan istället finns som webresurs så skulle en möjlig
slutsats vara att samtliga uppgifter alltså inte tillhör HR kategorin och således borde räknas
som problemlösningsuppgifter. Denna slutsats är inte rimlig då ett troligt scenario är att
läraren hänvisar till en specifik programmeringsuppgift ur webresursen när eleverna arbetar
med ett matematiskt moment som passar för den. Ytterligare en anledning är att det ur uppgiftsformuleringen kan te sig självklart vilket matematiskt moment den tillhör.
Utgående från Jäder et al. (2019) metod för läromedelsanalys följer här en ny reviderad analysmetod som är lämpad för programmeringsuppgifter.
Figur 1. Flödesdiagram över stegen i analysmetoden för programmeringsuppgifter.
Första punkten är ändrad eftersom i föreliggande studie ska samtliga programmerings- uppgifter relatera till problemlösning. Dessutom analyseras inte kopplingen mellan avsedd svårighetsgrad på uppgiften och kategori eftersom forskningsfrågan inte berör detta.
Eftersom programmeringsuppgifterna för Matematik 5000+ återfinns i respektive lärobok så gäller punkt 3 endast för Exponent. Exponent har valt att ge ut en webresurs (Gleerups, 2020) för sina programmeringsuppgifter där man hänvisar till en eller flera av sina kurser i matematik. I vissa fall är det uppenbart vilket kapitel en programmeringsuppgift tillhör utifrån uppgiftslydelsen. Men för de fall det inte är uppenbart så tillkommer alltså detta steg i analysen.
De fall analysen visar att uppgiften tillhör NR kan exempelvis vara för att uppgiften istället hjälper eleven förstå ett matematiskt begrepp, eller att programmeringen är målet istället för medel.
6.4 Validitet och reliabilitet
Validitet och reliabilitet är två begrepp som används när man värderar studier. Hög validitet innebär att den data som samlats in besvarar forskningsfrågorna. Hög reliabilitet innebär att någon annan som genomför samma studie, dvs. med samma metod och empiriska data, ska kunna få samma resultat.
En viktig orsak till utökandet av analysmetodens kategorier genom tillägget av NR kategorin är för att det i annat fall skulle innebära att många programmeringsuppgifter felaktigt skulle kategoriseras som HR. Det skulle leda till lägre validitet för studien. Vidare finns delar av
1. Skriv ner generell information om
programmeringsuppgiften.
2. Skriv ner en rimlig lösning.
NR kategori?
3. Koppla programmerings- uppgiften till ett visst kapitel i läroboken (endast för Exponent).
Ja
Nej
4. Leta igenom uppgifter i föregående sidor i samma delkapitel om en lösningsmall kan hittas för den specifika uppgiften. Då anses uppgiften tillhöra HR.
5. Om ingen lösningsmall kunnat hittas i föregående punkt så utökas sökningen till fler delkapitel. Om en lösningsmall då hittas alternativt om mindre justeringar krävs för att den ska kunna användas så räknas uppgiften till LLR. Om det anses orimligt att en elev kan förväntas hitta och använda den lösningsmallen så räknas den till GLR.
6. Med argumentation avgöra vilken kategori uppgiften tillhör; dvs någon av HR, LLR eller GLR.
4. Motivera varför uppgiften tillhör kategori NR samt vilket annat eventuellt lärande som uppgiften istället medför.
analysmetoden som är bitvis subjektiva som punkt 5: ”Om det anses orimligt att en elev kan förväntas hitta och använda den lösningsmallen…”. Den formuleringen innebär sannolikt att reliabiliteten minskar eftersom någon annan kan tänkas dra en annorlunda slutsats.
Ytterligare en viktig aspekt är att i föreliggande studie har programmeringsuppgifter
analyserat från ett begränsat antal matematikläromedel. Eftersom läromedlen är begränsade
så ger förstås även resultatet en begränsad bild över verkligheten och det är således inte
möjligt att kunna dra generella slutsatser. Eftersom delar av analysmetoden är bitvis
subjektiva så har det varit än viktigare att en större mängd programmeringsuppgifter
analyserats (kvantitativ analys) och som forskningsfrågan i studien indikerar så är det en
övergripande bild som eftersträvas. Ett annat sätt att minimera risken för subjektiva
skillnader hade varit att genomföra analysen tillsammans med en annan student och på så vis
kunna diskutera eventuella skillnader i resultatet.
7 Analysresultat
Skolverket (2011c) formulerar det matematiska innehåll som skall ingå i respektive kurs.
Förlagen till matematikläromedelen väljer själva i vilken ordning samt hur innehållet presenteras. Enligt vald metod för dataanalys så räknas uppgifter ur NR och HR kategorierna som imitativa resonemang. Uppgifter ur LLR och GLR kategorierna räknas som kreativa resonemang vilket utgör den grupp som räknas till problemlösningsuppgifter. Den fullständiga analysen på uppgiftsnivå återfinns i Appendix A.
7.1 Matematik 5000+
Följande är de tre läromedel i serien Matematik 5000+ som analyserats: Matematik 5000+
1c (2018), Matematik 5000+ 2c (2019) och Matematik 5000+ 3c (2019). Samtliga tre läromedel presenterar programmeringsuppgifterna i ett specifikt delkapitel i varje kapitel.
Uppgifterna föregås av ett uppslag som presenterar hur programmering kan användas för problemlösning och följs därefter av en sida med programmeringsuppgifter där det också tydligt framgår att det berör problemlösning. Detta gäller för samtliga 14 delkapitel där programmeringen presenteras.
Tabell 4. I tabellen presenteras de tre läromedel från serien Matematik 5000+, deras matematiska innehåll kapitelindelat, samt i vilka delkapitel som programmeringsuppgifterna presenteras.
Läromedel Kapitel Programmeringsuppgifter (delkapitel)
1c 1. Aritmetik – om tal 2. Procent
3. Algebra 4. Geometri
5. Grafer och funktioner 6. Sannolikhet och statistik
1.4 Problemlösning
2.2 Procentuella förändringar och jämförelser
3.3 Potensekvationer 4.2 Geometri och bevis
5.2 Funktioner och matematiska modeller 6.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg
2c
3c
1. Algebra och linjära modeller 2. Algebra och ickelinjära modeller
3. Geometri 4. Statistik
1. Algebra och funktioner 2. Derivata
3. Kurvor, derivator och integraler
4. Trigonometri
1.4 Linjära ekvationssystem 2.2 Andragradsekvationer 3.3 Koordinatgeometri 4.2 Spridning och fördelning 1.1 Algebra och polynom 2.1 Ändringskvoter och derivata 3.3 Från derivata till funktion
4.3 Trigonometri för godtyckliga trianglar
Tabell 5. Sammanfattning av antalet uppgifter och andelen (inom parentes) för imitativa respektive kreativa resonemang, grupperat per läromedel samt summerat resultat.
Läromedel
- kapitel Imitativa
resonemang Kreativa
resonemang Totalt 1c - 1
1c - 2 1c - 3 1c - 4 1c - 5
2 5 8 4 3
3 0 3 2 1
5
5
11
6
4
1c - 6
∑ 2c - 1 2c - 2 2c - 3 2c - 4
∑ 3c - 1 3c - 2 3c - 3 3c - 4
∑
Totalt3 25 (71%) 2 10 8
3 23 (77 %)
6 6 4 4
18 (95 %) 68 (79 %)
1
10 (29%) 3
0 3 1 7 (23 %)
0 0 0 1 1 (5 %)
18 (21 %)4 35 5 10 11 4 30
6 6 4 5 21
86 (100%)
Tabell 5 visar att det totala antalet programmeringsuppgifter för problemlösning är 18 av 86, vilket motsvarar ungefär en femtedel av det totala antalet. Vidare kan man utläsa att läromedlen Matematik 5000+ 1c (2018) samt Matematik 5000+ 2c (2019) har ungefär en fjärdedel problemlösningsuppgifter medan det för Matematik 5000+ 3c (2019) endast är en uppgift för problemlösning. Av de totalt 14 kapitel i Matematik 5000+ serien som analyserats så är det endast två kapitel som har fler än hälften av uppgifterna för problemlösning, Matematik 5000+ 1c (2018) kapitel 1. Aritmetik samt Matematik 5000+ 2c (2019) kapitel 2.
Linjär algebra och linjära modeller. Samtidigt så innehåller hela fem av kapitlen uteslutande uppgifter för imitativa resonemang.
7.2 Exponent
Följande är de tre läromedel i serien Exponent som analyserats: Exponent 1c (2012), Exponent 3b (2013) och Exponent 3c (2012). Till serien Exponent hör en webresurs (Gleerups, 2020) innehållande 20 programmeringsuppgifter. Varje programmeringsuppgift relaterar till en eller två av förlagets läromedel vilket betyder att de totala antalet analyser blir 27.
Tabell 6. Tabellen presenterar de tre läromedel från serien Exponent, samt de kapitel som berörs av en eller flera programmeringsuppgifter.
Läromedel Kapitel för programmeringsuppgifter 1c (6 kapitel) 1. Taluppfattning
4. Procent
6. Sannolikhetslära och statistik 3b (5 kapitel)
3c (5 kapitel)
1. Geometrisk summa och linjär optimering 2. Funktioner och gränsvärden
1. Funktioner och gränsvärden
Tabell 6 visar att webresursen innehållande programmeringsuppgifter (Gleerups, 2020) berör endast sex av de totalt 16 kapitlen. Detta kan jämföras med Matematik 5000+ där samtliga 14 kapitel innehåller programmeringsuppgifter.
Tabell 7. Sammanfattning av antalet uppgifter och andelen (inom parentes) för imitativa
respektive kreativa resonemang, grupperat per läromedel samt summerat resultat.
Läromedel
- kapitel Imitativa
resonemang Kreativa
resonemang Totalt 1c - 1
1c - 4 1c - 6
∑ 3b - 1 3b - 2
∑ 3c - 1 ∑
Totalt0 0 5 5 (33 %) 0 5
23 (77 %) 5 (100 %) 15 (56 %)
3 3 4
10 (67 %) 2
0 7 (23 %) 0 (0 %)
12 (44 %)3 3 9 15 2 5 7 5
27 (100%)
Tabell 7 visar att det totala antalet programmeringsuppgifter för problemlösning är 12 av 27, vilket motsvarar drygt två femtedel av det totala antalet. Jämfört med Matematik 5000+
serien så är det alltså mer än dubbelt så stor andel. Vidare kan man utläsa att läromedlet Exponent 1c (2012) har hela två tredjedelar problemlösningsuppgifter medan Exponent 3c (2012) inte har en enda uppgift för problemlösning. Exponent 1c (2012) kapitel 1.
Taluppfattning (aritmetik) lämpar sig väl för problemlösningsuppgifter vilket stämmer väl överens med resultatet från Matematik 5000+ 1c (2018).
7.3 Uppgifter för imitativa resonemang
Programmeringsuppgifter som tillhör NR och HR kategorierna räknas som imitativa resonemang. Här följer en sammanfattning av resultatet i tabellform.
Tabell 8. Sammanfattning av antalet uppgifter och andelen (inom parentes) för imitativa resonemang (NR, HR, samt NR + HR) och kreativa resonemang (LLR + GLR), grupperat per läromedel samt summerat resultat.
Läromedel NR HR NR + HR LLR + GLR Totalt
Matematik 5000+ 1c Matematik 5000+ 2c Matematik 5000+ 3c
∑ Exponent 1c
Exponent 3b Exponent 3c
∑
Totalt17 9 17 43 (50 %) 2
5 5
12 (44 %) 55 (49 %)
8 14 3
25 (29 %) 3
0 0 3 (11 %) 28 (25 %)
25 23 20 68 (79 %) 5
5 5
15 (56 %) 83 (73 %)
10 7 1
18 (21 %) 10 2 0
12 (44 %) 30 (27 %)
35 30 21 86 15 7 5 27
113 (100%)
7.3.1 None relatedness tasks (NR)
Tabell 8 visar att närmare hälften av alla programmeringsuppgifter kategoriserats som NR.
I samtliga 14 kapitel i serien Matematik 5000+ så är första programmeringsuppgiften av
introducerande karaktär. Det innebär att eleven förväntas skriva av en kodsnutt och köra sin
kod och bli övertygad om att den fungerar enligt uppgiftslydelsen. Här följer ett exempel på
hur en sådan uppgift ser ut.
Figur 2: Urklipp från Matematik 5000+ 1c (2018, s. 82) som visar hur man presenterar en färdig programkod.
Figur 3: Urklipp från Matematik 5000+ 1c (2018, s. 83) som visar första programmeringsuppgiften i procentkapitlet som tillhör kategori NR med motiveringen att lösningen är given på samma uppslag.
Utöver de 14 programmeringsuppgifterna av introducerande karaktär som visas i figur 3 så återstår ytterligare 29 uppgifter som tillhör NR kategorin. Här följer ett exempel på en sådan uppgift.
Figur 4: Urklipp från Matematik 5000+ 1c (2018, s. 155) som visar uppgift 2a som handlar
om att köra föregående program som är given för specifika värden för a, b och c. Uppgiften
tillhör kategorin NR eftersom den handlar om att använda en programkod. När
programkoden från uppgift 1 används så visas att ”3x - 5” är samma sak som ”3x + (-5)”, dvs
att b ska vara negativt.
Tabell 9. Sammanfattning av antalet uppgifter och andelen (inom parentes) för uppgifter av kategori NR, grupperat per läromedel samt summerat resultat.
Läromedel - kapitel NR Totalt
Matematik 5000+ 1c - 1 Matematik 5000+ 1c - 2 Matematik 5000+ 1c - 3 Matematik 5000+ 1c - 4 Matematik 5000+ 1c - 5 Matematik 5000+ 1c - 6
∑ Matematik 5000+ 2c - 1 Matematik 5000+ 2c - 2 Matematik 5000+ 2c - 3 Matematik 5000+ 2c - 4
∑ Matematik 5000+ 3c - 1 Matematik 5000+ 3c - 2 Matematik 5000+ 3c - 3 Matematik 5000+ 3c - 4
∑ Exponent 1c - 1
Exponent 1c - 4 Exponent 1c - 6
∑ Exponent 3b - 1
Exponent 3b - 2
∑ Exponent 3c - 1 ∑
Totalt2 2 7 2 1 3
17 (49 %) 1
6 1 1 9 (30 %) 5 6 4 2
17 (81 %) 0
0 2 2 (13 %) 0 5 5 (71 %) 5 (100 %) 55 (49 %)
5 5 11 6 4 4 35 5 10 11 4 30 6 6 4 5 21 3 3 9 15 2 5 7 5
113 (100%)
Tabell 9 ger en överblick över vilka kapitel som har en låg respektive hög andel uppgifter av kategori NR. Matematik 1c Aritmetik och Procent är två av dessa där båda förlagen visar en låg andel. Däremot tillhör hela 11 av 12 uppgifter från Matematik 3c – Funktioner kategori NR. Kapitlet har liknande siffror för båda serierna. Vidare kan man utläsa att Matematik 3c – Derivata samt Integraler har uteslutande programmeringsuppgifter ur NR kategorin. Här följer ett exempel på en sådan uppgift.
Figur 5: Urklipp från Matematik 5000+ 3c (2019, s. 89) som visar att en programkod är given
i uppgift 1 i samma kapitel.
Figur 6: Urklipp från Matematik 5000+ 3c (2019, s. 89) som visar uppgift 4 som tillhör kategorin NR eftersom den handlar om att använda en given programkod. Istället för problemlösning så innebär den här uppgiften att eleven får mer förståelse kring begreppet derivata.
Ett annat exempel på ett kapitel där samtliga uppgifter tillhör NR kategorin är Exponent 3b (2013) kapitel 2. Funktioner och gränsvärden. Här följer ett exempel på en sådan uppgift.
Figur 7: Urklipp från serien Exponents webresurs (Gleerups, 2020) för programmering som visar uppgift 304 som tillhör kategorin NR eftersom lösningen handlar om att köra en given kod. Uppgiften hjälper eleven förstå begreppet gränsvärde och det naturliga talet e.
Sammanfattningsvis kan man säga att tabell 9 visar att det går att dra slutsatser kring vilka kapitel som inte är lämpade som problemlösningsuppgifter medan författarna för dessa kapitel istället använder programmeringen för att förklara viktiga matematiska begrepp.
7.3.2 High relatedness tasks (HR)
Föregående avsnitt visar att hela 55 av 113 analyserade programmeringsuppgifter direkt kan uteslutas från kategorin problemlösningsuppgifter. Som framhållits i metodkapitlet så skriver Jäder et al. (2019) att för att elever ska få utveckla sin problemlösningskompetens så krävs uppgifter av typen LLR eller GLR. För att få reda på hur stor andel av de 113 analyserade uppgifterna som tillhör någon av dessa två kategorier så utesluts de 55 uppgifter från NR kategorin samt de uppgifter som presenteras i detta avsnitt. I detta avsnitt presenteras alltså mängden av uppgifter som tillhör HR kategorin.
Tabell 10. Sammanfattning av antalet uppgifter och andelen (inom parentes) för uppgifter av kategori HR, grupperat per läromedel samt summerat resultat.
Läromedel - kapitel HR Totalt
Matematik 5000+ 1c - 1 Matematik 5000+ 1c - 2 Matematik 5000+ 1c - 3 Matematik 5000+ 1c - 4 Matematik 5000+ 1c - 5 Matematik 5000+ 1c - 6
∑ Matematik 5000+ 2c - 1 Matematik 5000+ 2c - 2 Matematik 5000+ 2c - 3 Matematik 5000+ 2c - 4
0 3 1 2 2 0 8 (23 %) 1 4 7 2
5
5
11
6
4
4
35
5 10
11
4
∑ Matematik 5000+ 3c - 1 Matematik 5000+ 3c - 2 Matematik 5000+ 3c - 3 Matematik 5000+ 3c - 4
∑ Exponent 1c - 1
Exponent 1c - 4 Exponent 1c - 6
∑ Exponent 3b - 1
Exponent 3b - 2
∑ Exponent 3c - 1 ∑
Totalt14 (47 %) 1
0 0 2 3 (14 %) 0 0 3 3 (20 %) 0 0 0 (0 %) 0 (0 %) 28 (25 %)
30 6 6 4 5 21 3 3 9 15 2 5 7 5
113 (100%)
Tabell 10 ger en överblick över vilka kapitel som har en låg respektive hög andel uppgifter av kategori HR. Ett kapitel som sticker ut med en hög andel är kapitel 3. Geometri i Matematik 5000+ 2c (2019). Här följer ett exempel på en sådan uppgift.
Figur 8: Urklipp från Matematik 5000+ 2c (2019, s. 201) som visar uppgift 2a som tillhör kategorin HR eftersom avståndsformeln används för att beräkna om två sträckor är lika långa och den finns given i samma delkapitel (se nästa figur).
Figur 9: Urklipp från Matematik 5000+ 2c (2019, s. 194) som visar avståndsformeln. Enligt
fjärde punkten i analysmetoden så skall man leta igenom uppgifter i föregående sidor i samma
delkapitel om en lösningsmall kan hittas för den specifika uppgiften. Eftersom formeln är det
som behövs för att lösa uppgift 2a så bedöms den tillhöra kategori HR.
Vidare kan man ur tabell 10 utläsa att serien Exponent endast har totalt 3 uppgifter från HR kategorin och att samtliga dessa är för kapitel 6. Sannolikhetslära och statistik i Exponent 1c (2012). Här följer ett exempel på en sådan uppgift.
Figur 10: Urklipp från serien Exponents webresurs (Gleerups, 2020) för programmering som visar uppgift 101 som handlar om beräkning av sannolikhet för minst en sexa. Nästa figur visar den lösningsmall som används.
Figur 11: Urklipp från Exponent 1c (2012, s. 278) som visar en lösningsmall för beräkning av sannolikhet för en sexa som ett givet exempel.
Figur 11 visar beräkning av sannolikhet för en sexa. För att lösa uppgiften så krävs programmeringskunskaper i form av att iterera sex gånger och därefter ta reda på om det blivit en sexa minst en gång av dessa. Ett alternativt sätt att beräkna sannolikheten för minst en sexa av sex kast hade varit att beräkna komplementhändelsen för att inte få en sexa alls. Vi vet att sannolikheten för att inte få en sexa är 5/6, vilket ger att inte få en sexa alls på sex kast:
(5/6)
6vars komplementhändelse alltså är 1 - (5/6)
6≈ 66,5 %. Liknande resultat fås av det program som föreslås som facit (se nästa figur).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
from random import randrange def antal_sexor(antal_tärningar):
sexor = 0
for i in range(antal_tärningar):
if (randrange(1, 7) == 6):
sexor = sexor + 1 return sexor
samtliga = 100000 gynnsamma = 0 for i in range(samtliga):
if (antal_sexor(6) > 0):
gynnsamma = gynnsamma + 1
print("Sannolikheten för minst en sexa vid", samtliga, "försök:", round(gynnsamma/samtliga, 3))
# svaret blir: 0,664
