Vad ska räknas först?
En litteraturstudie om elevers förståelse av prioriteringsreglerna.
KURS: Självständigt arbete för grundlärare 4–6, 15 hp.
PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurserna 4–6.
FÖRFATTARE: Oscar Frändén & Jesper Unger.
EXAMINATOR: Annica Otterborg.
Sammanfattning
Oscar Frändén, Jesper Unger
Vad ska räknas först?
En litteraturstudie om elevers förståelse av prioriteringsreglerna.
What should be calculated first?
A literature study about students’ comprehension of the order of operations.
Antal sidor: 20 Prioriteringsreglerna är en överenskommen konvention som beskriver räkneoperationers ordningsföljd. Reglerna har visat sig vara något som ställer till problem för elever. I många engelskspråkiga länder används så kallade minnesregler för att komma ihåg prioriteringsreglerna. Minnesregler används för att komma ihåg information med hjälp av akronymer. Trots att detta används frekvent i många läromedel har vetenskaplig forskning visat att det kan medföra missuppfattningar. Syftet med studien är att undersöka hur matematdidaktisk forskning beskriver elevers tillvägagångssätt vid beräkning av numeriska uttryck där prioriteringsregler behöver tillämpas.
Denna litteraturstudie baseras på databassökning efter vetenskapliga artiklar. Forskningen som analyserats visar att elever upplever svårigheter vid beräkningar av numeriska uttryck där flera operationer förekommer. Forskning har även visat att det finns missuppfattningar bland elever vad gäller prioriteringsregler och struktur. Det kan beskrivas som att elever missbrukar, missuppfattar, ignorerar, glömmer bort eller inte har kunskap om de regler och konventioner som grundar strukturen för numeriska uttryck.
Nyckelord: prioriteringsregler, numeriska uttryck, räkneoperationer, räkneregler, räknelagar, minnesregler.
Självständigt arbete för grundlärare 4–6, 15 hp. Grundlärarprogrammet med inriktning mot i arbete grundskolans årskurser 4–6. VT2020.
Jönköping University
Innehållsförteckning
1. Inledning ...1
2. Syfte och frågeställningar ...2
3. Bakgrund ...3 3.1 Prioriteringsregler ...3 3.2 Minnesregler ...3 3.2 Styrdokument ...4 4. Metod...6 4.1 Informationssökning ...6 4.2 Materialanalys ...9 5. Resultat ... 10
5.1 Prioriteringsregler och vänster till höger ... 10
5.2 Minnesregler ... 12
6. Diskussion... 15
6.1 Metoddiskussion ... 15
6.2 Resultatdiskussion ... 17
6.2.1 På vilket sätt påverkar minnesregler elevers inlärning av prioriteringsregler? ... 17
6.2.3 Vilka problem och missuppfattningar kan elever stöta på när de beräknar numeriska uttryck som innehåller flera operationer? ... 18
6.3 Vidare studier ... 20
Referenser ... 21 Bilaga ... I
1
1. Inledning
Matematik ses ofta som ett svårt ämne som väcker starka känslor och som många elever tar avstånd ifrån. Det är det enskilda skolämne som leder till flest underkända betyg (Grevholm, 2014, s. 27). Enligt McIntosh (2008, s. 3) möter alla elever svårigheter och skapar missuppfattningar när de lär sig matematik. Läraren och dess undervisning har en central roll för att elevernas motivation för matematik ska bevaras (Thorén, 2009, s. 57). Matematik är fullt av konventioner som grundar sig i val som gjorts långt bak i tiden (Hewitt, 1999, s. 3). Enligt Löwing (2008, s. 74) har alla räkneoperationer som utförs ett stöd i räkneregler och räknelagar. En räknelag är en lag som används för aritmetiska och algebraiska operationer (Kiselman & Mouwitz 2008, s. 23). En räkneregel är den regel som anger hur eller i vilken ordning beräkningar ska utföras (ibid.). Några av de räkneregler som används i matematiken är prioriteringsreglerna. Missuppfattningar om prioriteringsreglerna är ett vanligt förekommande hos elever (Zazkis 2017, 19). Prioriteringsreglerna kan beskrivas som regler för räkneoperationers ordningsföljd (Rennerfelt, 1979, s. 30). Reglerna följer i grunden inte någon logisk konstruktion utan har enbart bestämts precis som på samma sätt som att man har kommit överens om att symbolen 2 ska symbolisera antalet två eller att symbolen + ska beteckna operationen ”lägga ihop” (Gavel, 2017, s. 39). I skrivande stund genomförs en revidering av läroplanen för grundskolan. I det senaste förslaget från skolverket för kursplanen i matematik har prioriteringsreglernas betydelse uppmärksammats. I det centrala innehållet för matematik i årskurserna 4 - 6 har ett förslag lagts till, där man nu tydliggör (på ett sätt man inte gjort i tidigare kursplan) att eleverna ska utveckla förmågor baserat på användningen av prioriteringsreglerna (Skolverket, 2019b, s. 3).
Vi har därför valt att fokusera på detta aktuella och för elever svåra innehåll. Studien fokuserar på vad didaktisk forskning säger om hur elever gör när de ska beräkna numeriska uttryck där de måste följa prioriteringsreglerna. Man har sett att många elever använder någon form av minnesregel för att komma ihåg prioriteringsreglerna. Därför är det också intressant att se vad den didaktiska forskningen pekar ut som svårigheter och fallgropar för dessa minnesregler.
2
2. Syfte och frågeställningar
Syftet med studien är att undersöka hur matematdidaktisk forskning beskriver elevers tillvägagångssätt vid beräkningar av numeriska uttryck där prioriteringsregler behöver tillämpas.
• Vilka problem och missuppfattningar kan elever stöta på när de beräknar numeriska uttryck som innehåller flera operationer?
• Hur beskriver didaktisk forskning minnesreglers påverkan på elevers inlärning om prioriteringsreglerna?
3
3. Bakgrund
Detta avsnitt innehåller en översikt där bland annat centrala begrepp kommer att beskrivas.
3.1 Prioriteringsregler
Beskrivningen av prioriteringsreglerna är att parenteser beräknas först, sedan potenser, därefter utförs multiplikation och division, utan inbördes ordning, och sist utförs addition och subtraktion, även de utan inbördes ordning (Kiselman & Mouwitz 2008, s. 23). Enligt Löwing säger prioriteringsreglerna att multiplikation och division alltid ska utföras före addition (och subtraktion), såvida det inte förekommer parenteser som styr operationernas ordning (Löwing, 2008, s. 163). Beräkningen 3 + 4 × 5 ska alltså inte utföras från vänster till höger utan ska istället utföras som 3 + (4 × 5) där multiplikation räknas först (ibid). Eftersom prioriteringsreglerna kan vara något som ställer till problem för elever kan man understryka vilken innebörd som avses med hjälp av parenteser. Uttrycket 2 + 3 × 6 skrivs därför istället som 2 + (3 × 6) (Löwing, 2008, s. 163). Enligt McIntosh (2008, s. 3) har många av dessa problem sitt ursprung i brister i begreppsförståelsen, där eleven ofta använt logik som inte passar in i kontexten. McIntosh (2008, s. 85) framhåller att den överenskomna ordningen mellan räkneoperationerna är tämligen godtycklig. Med andra ord skulle det kunna vara fullt rimligt att reglerna följer en helt annan ordning, så länge alla följer samma konvention. Reglerna inte är något ”att förstå” utan är endast nödvändigt att lära sig (ibid.).
3.2 Minnesregler
Minnesregler översätts på engelska till begreppet mnemonic. Begreppet mnemonic används för att komma ihåg information med hjälp av akronymer. Exempelvis kan en strategi för att minnas ordningen på regnbågens alla färger vara ordet ROGGBIV (röd, orange, gul, grön, blå, indigo och violett.) Begreppet mnemonic går att tolka på många vis men kommer i denna litteraturstudie att beskrivas med ordet minnesregel.
För att undvika missuppfattningar om prioriteringsreglerna har matematiker föreslagit att ordningen kan betecknas som akronymen PEMDAS (Musser, Burger & Paterson 2006 s. 145). Akronymen står för parentesis, exponent, multiplication, division, addition och subtraction (Taff, 2017, s. 127). I tidigare åldrar används minnesregeln “My Dear Aunt Sally”, vilket betecknar ordningen multiplikation och division som högsta prioritet där de genomförs utifrån i den ordning
4
de kommer i det matematiska uttrycket (Schrock, 1993, s. 29). Efterföljande utförs addition och subtraktion, vilket också beräknas utifrån den ordning de kommer i uttrycket. När elever i senare åldrar beräknar uttryck med parenteser kan minnesregeln uttryckas som frasen “Please My Dear Aunt Sally”. Vid den tidpunkt då potensräkning införs vid beräkningar, används istället minnesfrasen “Please Excuse My Dear Aunt Sally”, där ordet excuse står för ordet exponent och i vilken ordning det ska prioriteras (ibid.).
I vissa länder förekommer andra alternativa akronymer för att minnas prioriteringsreglerna. I Kanada används exempelvis akronymen BEDMAS som minnesregel, där ordet bracket används som motsvarighet till parentesis (Zazkis, 2017 s. 19). I akronymen justeras även ordningen mellan multiplikation och division (ibid.) I Storbritannien används istället förkortningen BIDMAS där I står för index (Hewitt, 2012, s. 2). I andra varianter av minnesregler används exempelvis ordet order istället för exponent och betecknas därför istället med bokstaven O (Zazkis, 2017 s. 19). Gemensamt med dessa är att de används i engelskspråkiga länder.
3.3 Räknelagar och räkneregler
Det kan finnas olika uppfattningar om vad som utgör räkneregler och vad som är räknelagar. Denna litteraturstudies utgångspunkt är att räknelagar betraktas som egenskaper hos de fyra räknesätten. Exempelvis att både addition och multiplikation är kommutativa och associativa räknesätt. För att genomföra beräkningar av de fyra räknesätten behöver elever ta hänsyn till både räknelagar och räkneregler (Kiselman & Mouwitz 2008, s. 22). Men medan räknelagarna är sådant som ofta bygger på logisk grund består räknereglerna av konventioner som eleverna måste lära sig. Vår beskrivning av en räkneregel är att det är en konvention över hur räknesätten ska beräknas och förhålla sig till varandra. Ett exempel på en sådan konvention för räknesätten är att i uttrycket 3 + 4 × 2 ska multiplikationen (4 × 2) räknas ut först för att därefter beräkna additionen. Detta kallas för en prioriteringsregel.
3.4 Styrdokument
Redan i grundskolans tidiga år förväntas elever utveckla förståelse för de fyra räknesättens egenskaper och samband, för att på så vis kunna utföra effektiva beräkningar (Skolverket, 2017, s. 5, 14). Det innebär att eleverna ska utveckla kunskaper om hur räknesätten förhåller sig till varandra och veta vilka räknesätt som är mest användbara i olika sammanhang (ibid.).
5
I kursplanen för matematik beskrivs det inte explicit att eleverna ska utveckla kunskaper om prioriteringsreglerna. Dock kan det tolkas som att eleverna ska utveckla kunskaper om prioriteringsreglerna när de lär sig de fyra räknesättens egenskaper. Det kan också tolkas som att eleverna ska utveckla kunskaper om prioriteringsreglerna när de lär sig att använda lämpliga metoder och strategier vid beräkningar. Lämpliga metoder kan beskrivas som tillvägagångssätt för att på ett mer effektivt vis göra beräkningar i metoder som exempelvis talkamrater eller prioriteringsregler (McIntosh, 2008, s. 97). Det är därför viktigt att eleverna förstår att de kan lösa en uppgift på flera sätt, så att de på ett naturligt sätt kan tillämpa de metoder de känner sig säkra på (McIntosh, 2008, s. 97).
Att eleverna ska utveckla kunskaper om de fyra räknesättens egenskaper står inte explicit beskrivet för årskurserna 4–6 i det centrala innehållet trots att det finns med i årskurserna 1–3. Det kan uppfattas som att eleverna redan förväntas ha kunskaper om dessa från årskurserna 1–3 och att det därför inte finns beskrivet i det centrala innehållet för årskurserna 4–6. Däremot ska eleverna fortsätta lära sig om centrala metoder vid beräkningar med naturliga tal vid huvudräkning och överslagsräkning, vid beräkningar med skriftliga metoder och digitala verktyg. Progressionen från årskurserna 1–3 till 4–6 ligger i att eleverna i de lägre årskurserna får möta och applicera några centrala metoder inom ett begränsat talområde, för att sedan i de högre årskurserna använda fler metoder i större utsträckning (Skolverket, 2017, s. 14).
6
4. Metod
I det här kapitlet beskrivs hur vi gick till väga för att samla in och välja ut material till litteraturstudien samt på vilket sätt materialet har analyserats.
4.1 Informationssökning
I litteraturstudien användes tre olika databaser för att hitta material. Söktjänsterna som användes var ERIC, Google Scholar och Primo. ERIC var den söktjänst där de flesta pedagogiska artiklarna fanns. Söktjänsten omfattar vetenskapliga artiklar, böcker, rapporter och avhandlingar inom utbildning, pedagogik och psykologi. Google Scholar är en databas från sökstjänsteföretaget Google och omfattar sökningar i vetenskapliga och akademiska webbkällor. Primo är en databas som tillhör biblioteket på Jönköping University. Där påträffas tryckta böcker och artiklar i digital form. Det förekom ibland att fulltexter på artiklar inte var tillgänglig i ERIC. Då användes istället Google Scholar där sökning gjordes på artikelns titel och på så vis kunde fulltexten hittas.Primo användes relativt sparsamt som komplement till de andra söktjänsterna. De sökord som användes var: precedence rule*, arithmetic, order of operations, misconceptions, concept*, pemdas, bedmas, bidmas, bodmas, pomdas och podmas. För att begränsa sökningen och inte finna ämnen utanför litteraturstudiens kontext kombinerades sökorden. För att finna artiklar som behandlade missuppfattningar om minnesregler valde vi att exempelvis att söka på ”pemdas AND misconcept*”.
Sökningarna bestod endast av artiklar som var “peer reviewed”. Att artiklar är “peer reviewed” betyder att de genomgått en process där de är lästa och kritiskt granskade av experter inom ämnet innan de kan accepteras för publicering. Sökningen avgränsades även genom att endast finna artiklar skrivna på engelska.För att hitta vetenskapliga artiklar användes kedjesökning och sökning med hjälp av citering. Genom att använda oss av kedjesökning kunde vi hitta andra relevanta vetenskapliga studier som refererats i de artiklar som granskades. Genom sökning med hjälp av citering kunde nyare artiklar hittas som ansågs relevanta för studien. Hittades en artikel som behandlade det ämne som efterfrågades kunde undersökningen utvidgas genom att finna artiklar som refererat till denna. Genom att söka på det sättet påträffades även studier från senare år. Ett exempel på en sökning som gjordes var att använda sökorden ”Order of operations”, i databasen ERIC, vilket resulterade i 71 artiklar, se figur 1.Efter filtreringen genom ”peer reviewed” återstod sedan 43 vetenskapliga texter som var aktuella för litteraturstudien. Ett urval gjordes sedan utifrån
7
de vetenskapliga artiklarnas rubriker. Efter detta urval återstod därefter 15 artiklar. Avslutningsvis gjordes ett urval på ytterligare 6 artiklar efter att studiernas sammanfattning granskats. Detta resulterade i att 9 artiklar återstod som senare användes i litteraturstudien. Hela processen visas i figur 1. Denna begränsade sökning gav många relevanta träffar där titeln granskades, för att sedan läsa igenom författarens syftesdel samt sammanfattning för att få en uppfattning om vad deras typ av publikation behandlade. Den sammanlagda uppsättningen av vetenskapliga texter som filtrerades genom sökningen återges i tabell 1.
Sparade artiklar. Avlägsnade artiklar.
Figur 1. Övergripande illustration hur de vetenskapliga artiklarna valdes ifrån databasen Eric.
9 15 43 71 6 28 28 G R A N S K N I N G A V S A M M A N F A T T N I N G S E L E K T I O N E F T E R T I T E L " O R D E R O F O P E R A T I O N S " P E E R R E V I W E D * " O R D E R O F O P E R A T I O N S "
ARTIKELSÖK I ERIC
8
Tabell 1. Översikt över de vetenskapliga texter som blivit utvalda i sökprocessen.
Författare År Titel Publikationstyp
Ameis 2011 The truth about PEMDAS. Journalartikel
Bay-Williams & Martinie
2015 Order of Operations: The Myth and the Math.
Tidskriftsartikel
DeLashmutt 2007 A study of the role of mnemonics in learning mathematics.
Tidskriftsartikel
Dupree 2016 Abandon mnemonics and make stronger connections between the
operations and properties of arithmetic.
Journalartikel
Glidden 2008 Prospective elementary teachers’
understanding of order of operations.
Tidsskriftsartikel
Headlam 2013 An investigation into children’s
understanding of the order of operations.
Doktorsavhandling
Headlam & Graham 2009 Some initial findings from a study of children’s understanding of the order of operations.
Tidsskriftsartikel
Hewitt 2003 Notation Issues: Visual effects and ordering operations
Konferensbidrag
Papadopoulos 2016 The rules for the order of operations: The
case of an inservice teacher.
Konferensbidrag
Sari & Ernawati 2020 Arithmetic thinking: Reflect on the order of operation.
Tidsskriftartikel
Tabak 2019 6th, 7th and 8th grade students’ misconceptions about the order of operations.
Tidsskriftsartikel
Zazkis, & Rouleau 2018 "Order of operations: On convention and met-before acronyms."
9
4.2 Materialanalys
För att säkerhetsställa en hög tillförlitlighet i analysen av material lästes de vetenskapliga texterna av båda författarna var för sig. Först delades varje text upp och lästes individuellt. Sedan granskades texterna av den andra författaren för att på så vis bidra till nya perspektiv och komplettera med andra synvinklar.
I analysprocessen användes en tabell (se bilaga) för att tydliggöra likheter och skillnader mellan de olika texterna. Artiklarnas syfte, metod och resultat granskades av båda författarna där noteringar gjordes på det som ansågs vara viktigt för litteraturstudiens resultat. Noteringar kunde exempelvis göras på testgruppens storlek, ålder, nationalitet och studiens varaktighet. Dessa noteringar gjordes bland annat för att bedöma textens tillförlitlighet. Exempelvis ansågs en studie på 200 elever under tre månaders tid ha mycket högre trovärdighet jämfört med en studie på 20 elever vid endast ett tillfälle. Noteringar på ålder och nationalitet hos de individer som deltog i studien gjordes för att eventuellt finna mönster mellan årkurs och undervisning bland olika länder. Texterna grupperades efter konventioner, exempelvis vänster-till-höger-regeln eller minnesregler. I analysarbetet ansåg vi att flera av studierna pekade i samma riktning. Många av dem kom exempelvis fram till liknande slutsatser. Men det finns också avgörande skillnader mellan de olika studierna.
10
5. Resultat
Detta kapitel presenterar de huvudsakliga resultat som visar vilka problem och missuppfattningar elever kan stöta på när de beräknar numeriska uttryck. Kapitlet presenterar även hur didaktisk forskning beskriver om minnesreglers påverkan på elevers inlärning om prioriteringsreglerna.
5.1 Prioriteringsregler och vänster till höger
Enligt Dupree (2016, s. 154) finns det fyra olika missuppfattningar som elever gör vid beräkning av numeriska uttryck där prioriteringsreglerna behöver tillämpas. Den första missuppfattningen är att addition alltid beräknas före subtraktion. Den andra missuppfattningen är att multiplikation alltid beräknas före division. Den tredje missuppfattningen är att parenteser beräknas först och den fjärde är att beräkningar alltid måste utföras från vänster till höger.
Elever ordnar generellt operationer som de läser, från vänster till höger (Hewitt 2003, s. 66). I en studie med 29 elever från årskurs 7, svarade 20 elever talet 9 i uppgiften: 2 + 1 x 3. Studien visade alltså att merparten av eleverna avläste och utförde operationerna från vänster till höger (ibid.). En annan studie gjord av Papadopoulos (2016, s. 328) visade resultat på liknande missuppfattningar. Studien gjordes med 22 grekiska elever i årskurs 6 där syftet var att undersöka hur elever från denna klass gick till väga för att lösa uppgifter med relation till prioriteringsreglerna. Papadopoulos (ibid.) uppmärksammade att eleverna, i deras tidiga skolgång, endast fått övningar som bortsågs från prioriteringsreglerna. På grund av detta lärde de sig inkorrekt att endast beräkna uppgifter från vänster till höger.Studien visade att missuppfattningar av prioriteringsreglerna inte endast förekom bland eleverna. Studien utformades i två steg där det första steget var att låta elevernas matematiklärare genomföra ett test som behandlade uttryck där prioriteringsreglerna behövde tillämpas (Papadopoulos, 2016, s. 328). I det andra steget fick sedan lärarens 22 elever genomföra samma typ av test. Resultatet visade att där eleverna svarat inkorrekt hade även läraren svarat inkorrekt (ibid.). Att lärare utför inkorrekta beräkningar visades även i en studie gjord bland 30 lärarstudenter i Indonesien med inriktning mot grundskola och matematik. (Sari & Ernawati 2020, s. 16). Endast 18 lärarstudenter svarade korrekt på uttrycket 2 − 3 × 5 + 4 × 3 − 1 + 3. Enligt Sari och Ernawati (2020, s. 17) är undervisning om prioriteringsreglerna viktigare än att endast fokusera på att lära ut minnesregler. Studien belyser även vikten av att diskutera strukturen och ordningen för prioriteringsreglerna tillsammans i klassen när aritmetiska operationer ska läras ut (Sari & Ernawati, 2020, s. 17).
11
En annan studie som också visade att många elever endast beräknar operationer från vänster till höger gjordes på elever från årskurs 6, 7 och 8 i Turkiet. Studien genomfördes med totalt 240 elever vilka valdes ut genom ett stickprov. Resultatet visade att eleverna inte hade en god förståelse för prioriteringsreglerna (Tabak, 2019, s. 372). Studien, som bestod av ett skriftligt diagnosiskt test om 25 uppgifter, konstaterade att de deltagande eleverna tenderade att inte följa prioriteringsreglerna där multiplikation och division beräknades före addition och subtraktion. Endast 45 av de 240 deltagande eleverna angav ett korrekt svar på den första uppgiften. Uppgiften bestod av uttrycket 6 + 5 × 2, där majoriteten av deltagarna angav det inkorrekta svaret 22. Det visades sig att eleverna endast beräknade operationerna från vänster till höger (Tabak, 2019, s. 366). Denna missuppfattning genomsyrade i stort sett hela studien där liknande konstruktion av uttryck, när addition eller subtraktion kom före multiplikation eller division, resulterade i omkring 80% felaktiga svar (ibid.). Genom att eleverna beräknade uttryck där multiplikation eller division kom före addition eller subtraktion likt 60 ÷ 4 + 23, kunde samma missuppfattning uppmärksammas. I dessa uttryck var andelen av korrekta svar betydligt högre. I den ovannämnda uppgiften var det exempelvis 222 av de 240 eleverna som angav det korrekta svaret 38. I studien konstaterades missuppfattningen, att alltid beräkna operationer från vänster till höger. De flesta elevers korrekta svar sågs därför endast som en tillfällighet då operationerna i dessa uppgifter uppträdde i den ordning som prioriteringsreglerna ska följas (Tabak, 2019 s. 366–371). Enligt Tabak (2019, s. 364, 372) är orsaken till elevers missuppfattningar om prioriteringsreglerna en brist i processuella kunskaper, det vill säga den kompetens som eleverna besitter av att endast memorera det förlopp som råder för prioriteringsregler. Studien påvisar att missuppfattningar lätt uppstår där elever använder minnesregler som är abstrakta och icke relaterbara (Tabak, 2019, s. 372).
Två andra missuppfattningar påträffades i en studie på 20 elever från Storbritannien som var 12– 13 år gamla (Headlam 2013, s. 118–119). Eleverna visade missuppfattningar även i uppgifter som tycktes enkla på förhand (Headlam 2013, s. 128). I studien valde vissa elever felaktigt att ignorera parenteserna vid uttryck likt (1 + 2)². Eleverna valde istället att beräkna uttrycket som 1 + 2² vilket resulterade i ett annat svar (ibid.). I studien uppmärksammades även andra typer av missuppfattningar. Vissa elever valde att beräkna addition före multiplikation (Headlam 2013, s. 120). Exempelvis valde en elev att i uppgiften 2 + 3 × 4 + 5 skriva det som (2 + 3) × (4 + 5)
12
vilket resulterade i svaret 45 istället för det korrekta svaret 19 (vilket hade varit väntat utifrån matematikens konventioner) (ibid.).
Ameis (2011, s. 418) rekommenderar istället att presentera prioriteringsreglerna som en triangel där operationen högst upp har störst prioritet. Ett exempel på hur triangeln kan se ut visas i figur 2. Genom att illustrera prioriteringsreglerna på detta sätt åskådliggörs vilken eller vilka operationer som ska prioriteras först (ibid.). En annan alternativ illustration är att presentera hierarkin för operationerna som en lista eller tabell, där multiplikation och division förekommer på samma plan, ovanför nivån där addition och subtraktion förekommer (Van de Walle, Folk, Karp, & Bay-Williams, 2011, s 492), se figur 3.
5.2 Minnesregler
För att elever ska utveckla matematiska färdigheter krävs att de i alla sammanhang förstår vad de lär sig (Bay-Williams & Martinie, 2015, s. 24). Kunskaper om prioriteringsreglerna är fundamentalt i förståelsen för aritmetik (Headlam & Graham, 2009, s. 37). Minnesregler kan hjälpa elever att memorera prioriteringsreglerna. Enligt Bay-Williams och Martinie (2015, s. 24) bör dock dessa regler läras ut rent begreppsligt innan elever tar till sig metoder och minnesregler.
En studie gjord på ett universitet i USA hade som mål att undersöka hur blivande lärare löste fyra utvalda aritmetiska problem där prioriteringsreglerna behövde följas. I studien ingick totalt 381 lärarstudenter som studerade en matematikkurs. Studien visade exempelvis att många av studenterna alltid beräknade addition före subtraktion. Många studenter valde även att alltid beräkna multiplikation före division. Detta visade att dessa elever strikt följde minnesregeln
× ÷
+ −
Figur 2. Illustration som visar operationernas
prioritet hierarkiskt (Ameis 2011, s. 418).
Figur 3. Illustration som visar operationernas prioritet
hierarkiskt (Van de Walle, Folk, Karp, & Bay-Williams, 2011, s 492).
13
PEMDAS oavsett vilken operation som kom först i uttrycket (Glidden, 2008, s. 130). Majoriteten av studenterna angav korrekt svar på endast två eller färre av de fyra presenterade problemen. Endast 27 av alla 381 studenter, svarade korrekt på alla de fyra uppgifterna (Glidden, 2008, s. 135). Undersökningen påvisade även att en stor mängd av lärarstudenterna, cirka en tredjedel, uppfattade akronymerna i minnesregeln PEDMAS ordagrant, alltså att operationen skulle komma just i den ordningen. Med detta menas att studenterna alltid utförde multiplikation före division eller addition före subtraktion, utan att ta hänsyn till vänster-till-höger-regeln. De studenter som på det här sättet missuppfattade minnesreglerna, visade i bästa fall, endast ha en grundlig förståelse av prioriteringsreglerna (ibid.).
När det gäller användningen av minnesregler är många forskare samstämmiga om att de riskerar att skapa missuppfattningar av prioriteringsreglernas konstruktion. Exempelvis beskriver Ameis (2011, s. 416) och Headlam (2013, s. 326) att minnesregler inte ökar förståelse för prioriteringsreglerna. Detta kan också vara en förklaring till varför elever gör aritmetiska misstag vid beräkning av numeriska uttryck (ibid.). Headlam (2013, s. 197) har gjort intervjuer med elever i Storbritannien om deras relation till BIDMAS och BODMAS. Ofta användes minnesreglerna felaktigt där flera elever inte visste vad akronymerna I och O representerade. Trots att vissa elever kom ihåg BIDMAS beräknade de ändå uttrycket i fel ordning (Headlam, 2013 s. 198). Headlam (2013, s. 326) framhåller att undervisningen bör syfta i lärandet av struktur och mönster istället för att lära ut minnesregler.
En studie som kommit fram till liknande slutsats genomfördes i en brittisk och en japansk klass med elever i åldrarna 13–14 år. Studiens syfte var att jämföra och studera skillnader i elevernas tillvägagångssätt vad gäller användningen av minnesregler (Headlam & Graham, 2009, s. 41). Det visade sig att de japanska eleverna förlitade sig på den algebraiska strukturen vilket de allt som oftast beräknade korrekt. De brittiska eleverna förlitade sig istället på användning av minnesregeln BIDMAS, vilket fungerade bra om de kom ihåg den korrekt, men blev fel när de inte kom ihåg vad bokstäverna representerade (ibid.). Exempelvis svarade en brittisk elev att hon tänkte på minnseregeln BIDMAS när hon arbetade med arbetsbladet. När hon senare fick frågan på vad akronymerna stod för svarade hon ”Brackets, individual, divided, multiply, addition and subtraction”. Även när hon fick frågan om vad ordet index stod för var hon inte säker på dess betydelse (Headlam & Graham, 2009, s. 40).
14
Zazkis och Rouleau (2018, s. 159) påvisar att användningen av minnesregler bör presenteras som pedagogiska hinder. I studien deltog lärarstudenter som alla hade erfarenhet av att undervisa matematik för mellanstadieelever. Arbetet med mellanstadieeleverna var kopplad till en matematikkurs de studerade, som framför allt behandlade didaktik. Lärarstudenterna tenderade att felaktigt beräkna uttryck med konstruktionen a ÷ b × c, där det frekvent visade att många beräknade multiplikation före division, oavsett vilken ordning operationerna kom i uttrycken. Dock var det endast 22 lärarstudenter som deltog och därför kan det inte hävdas att resultatet kan generaliseras. Sätts resultatet i jämförelse med hur prioriteringsreglerna tillägnas i länder där engelska inte är det officiella språket, finns det miljoner elever som lär sig reglerna utan att använda någon form av minnesregler (ibid.). Studien pekar på vikten av att belysa de fyra räknesätten och hur de uppträder i beräkningar med varandra, innan elever blir introducerade till exponenträkning (Zazkis & Rouleau, 2018, s. 161).
En studie där istället minnesregler visade ha god effekt genomfördes i en amerikansk klass om 15 elever i årskurs 5. Studien som varade i två månader visade att många elever fann minnesregler som goda hjälpmedel. Några elever föredrog att endast lära sig de matematiska begreppen istället för att tillägna sig dessa genom att använda sig av minnesregler (DeLashmutt, 2007, s. 22). DeLashmutt (2007, s. 2) förklarar att användningen av minnesregler hos många av eleverna inte bara hjälpte dem att minnas information under den korta testperioden, utan även hjälpte dem att kunna bevara det som lärts ut och ge uttryck för det på förhör och prov. Enligt DeLashmutt (2007, s. 2) är anledningen till att minnesregler behöver uppmärksammas en strategi som ger en visuell eller muntlig förståelse för elever som har svårigheter att bearbeta samt minnas information. I början av perioden genomförde även DeLashmutt (2017, s. 16–17) intervjuer med 10 av sina 15 elever om hur de själva såg på sin inställning och kunskapsutveckling till matematikämnet. Ungefär en månad senare genomfördes nya intervjuer med samma frågor för att undersöka om elevernas svar förändrades. I ett försök att få fram elevernas faktiska åsikter ställdes frågorna till hälften av gruppen av en annan lärare. Detta gjordes för att undvika att eleverna skulle ge de svar som de trodde läraren ville höra. Resultatet visade att samtliga elever, under den senare intervjun, uttryckt att de antingen utvecklat ett större intresse eller en större förståelse för matematikämnet efter användningen av minnesregler.
15
6. Diskussion
I det här kapitlet presenteras först en metoddiskussion sedan en resultatdiskussion.
6.1 Metoddiskussion
För att säkerhetsställa att analysen blev så objektiv som möjligt granskades och analyserades texterna av båda författarna. När båda hade analyserat och uppfattat innehållet lika ansågs då tolkningen ha en högre trovärdighet än om det endast hade tolkats av en av författarna. Samstämde inte författarnas tolkningar lästes texterna igen för att nå samstämmighet.
För att få så hög tillförlitlighet som möjligt gjordes valet att exkludera svenska artiklar och endast studera artiklar skrivna på engelska. Enligt Friberg (2012, s. 77) ger vetenskapliga artiklar skrivna på svenska oftast inte tillräckligt bra träffresultat eftersom så lite vetenskapligt material skrivs på svenska. Eftersom artiklarna lästes och tolkades först på engelska och sedan översattes till svenska fanns dock risken för feltolkning av vissa ord och begrepp. I vissa av de vetenskapliga artiklarna beträffades ord och begrepp som inte hade en direkt översättning till svenska. Detta resulterade att vi fick översätta begreppen utifrån vad vi ansåg var korrekt. Hade artiklarna istället varit skrivna på svenska kunde resultatet av litteraturstudien möjligtvis givit en säkrare utgång eftersom ord och begrepp därför redan hade haft en korrekt svensk översättning.
Genom att använda oss av kedjesökning kunde vi hitta vetenskapliga studier som användes i andra studier. Enligt Friberg (2012, s.78) är kedjesökning (även kallat sekundärsökning) en effektiv metod som bör tillämpas och är nödvändigt att använda för att få fram ett bra resultat. Görs inte detta finns risken att man går miste om bra litteratur och sökprocessen tar längre tid (ibid.). För att säkerställa att vi kunde hitta så ny och relevant forskning som möjligt kompletterades databassökningen och kedjesökningen med sökning via citering även kallat referering. Nilholm (2017, s.44) påvisar att ett objektivt mått på ett arbetes betydelse är antalet gånger det refererats av andra forskare. När vi hittade en artikel som behandlade det ämne som söktes, expanderades träffytan genom att söka relevanta artiklar som refererat denna. Det resulterade i att vetenskapliga artiklar hittades som behandlade liknande ämne som den ursprungliga artikeln. Genom att söka på det sättet påträffades flera vetenskapliga studier från senare år.
I de vetenskapliga artiklarna som granskades, indikerade data på liknande resultat. En orsak till detta kan ha varit att en del studier som granskades hittades genom kedjesökning. Trots att Friberg
16
(2012) förespråkar kedjesökning fanns möjligheten att studierna var vinklade, då referenserna till studien eventuellt kunde hänga ihop med författarens ställningstagande och därför peka på liknande slutsats och resultat. Att artiklarna pekade på liknande resultat kunde ses både som en svaghet och styrka. En negativ orsak var möjligtvis att datainsamlingarna inte påvisade tillräckligt med olika perspektiv och synvinklar. En positiv orsak kan istället ha varit att det hittades ett stort antal datainsamlingar som pekade på liknande resultat. Detta kunde möjligtvis ge litteraturstudien större chans att dra generella slutsatser utifrån data.
I de artiklar som granskades beskrevs användningen av minnesregler, för att komma ihåg prioriteringsreglerna, endast i länder med engelska som officiellt språk. Eftersom sökningar endast gjordes på engelska fanns därför risken att vi missade forskning som gjorts i länder där engelska inte är det officiella språket. Istället kunde artiklar i andra länder varit skrivna på ett annat språk än engelska. I andra länder som inte har engelska som officiellt språk kan användningen av minnesregler nyttjas på ett väl fungerande sätt men som vi ej tagit del av i vår sökning. Hade vi breddat sökningen till andra språk än engelska hade vi möjligtvis påträffat andra typer av minnesregler som används vid inlärning av prioriteringsreglerna.
Den enda läroplanen som studerades var den svenska läroplanen för grundskolan (Skolverket, 2019b). Vi anser oss därför inte kunna veta om eleverna, från de länder som deltog, förväntades ha utvecklat kunskaper om de fyra räknesättens egenskaper och prioriteringsreglerna. Om elever inte blir undervisade om prioriteringsreglerna, kan det ifrågasättas om det verkligen är missuppfattningar som härrör till de felaktiga svaren. En orsak till elevernas svaga resultat kan istället grunda sig i brist i undervisning. Endast en av de studier som granskades, påvisade tydligt att de deltagande eleverna tidigare hade blivit undervisade om prioriteringsreglerna och därför förväntades ha kunskaper om detta.
17
6.2 Resultatdiskussion
I litteraturstudien kan det konstateras att de flesta undersökningar vad gäller elevers beräkningar av numeriska uttryck med hjälp av minnesregler pekar på liknande resultat men presenterar olika slutsatser. Många av de artiklar som ligger till grund för litteraturstudien uppskattades ha haft som syfte att problematisera minnesregler som använder akronymer. Detta var viktigt att ta hänsyn till, för den analys som gjordes av de vetenskapliga artiklarna, eftersom forskarens synpunkter eller urval i studien möjligen skulle kunna vara vinklade. Med hänsyn till detta fanns chansen att forskarna haft en liknande inställning till att problematisera minnesregler. Det var även möjligt att det fanns en koppling mellan deras studier eftersom de påträffades ha många gemensamma referenser. En forskare som, i en studie, kommer fram till ett visst resultat och drar en särskild slutsats, kan misstänkas söka efter studier som påvisar liknande resultat och drar liknande slutsatser. Det kan inte uteslutas att detta möjligtvis är ett sätt för forskare att stärka sin egen studie och på så vis ge ett mer trovärdigt resultat. För att denna litteraturstudie skulle ha en objektiv utgångspunkt var det viktigt att inte utesluta möjligheten att studierna var vinklade på detta vis.
6.2.1 På vilket sätt påverkar minnesregler elevers inlärning av prioriteringsregler?
Headlam (2013, s. 197) påvisar att elever, vid användning av BIDMAS och BODMAS, visat otillräckliga kunskaper eftersom de inte förstått akronymerna. Enligt Sari och Ernawati (2020, s. 17) är det viktigare att undervisa om prioriteringsreglerna än att endast fokusera på att lära ut minnesregler. Headlam och Graham (2009, s. 41) beskriver att minnesregler kan vara användbart när elever lyckas minnas akronymerna korrekt men blir fel när de inte kommer ihåg vad akronymerna representerar. Ameis (2011, s. 416) beskriver att minnesregler inte ökar förståelse för prioriteringsreglerna. Zazkis och Rouleau (2018, s. 161) förkastar användningen av akronymer och tycker istället att man ska fokusera på prioriteringsreglerna som en nödvändig, och inte en tillfällig, användning av konventioner. Headlam (2013, s. 326) drar liknande slutsatser där undervisningen borde fokusera på att elever ska utveckla en uppskattning av algebraiska beteckningar eftersom studien indikerade att eleverna visade otillräckliga kunskaper om prioriteringsreglerna när de följde akronymerna BIDMAS och BODMAS. I exempelvis BIDMAS, BODMAS och PEDMAS kommer räknesättet addition före subtraktion. I numeriska uttryck där både addition och subtraktion förekommer kan dessa akronymer göra att elever känner sig osäkra på vad som ska beräknas först.
18
Utifrån den vetenskapliga forskningen som analyserats funderar vi om lärare vid undervisning av minnesregler kan förtydliga att M:et och D:et i exempelvis PEMDAS står utan inbördes ordning. Vi reflekterar även över ifall läraren kan vara tydlig med att operationerna utförs från vänster till höger vid beräkningar där både multiplikation och division förekommer. För att tydliggöra operationernas ordning funderar vi över ifall akronymerna ska presenteras på ett annat sätt. Ett annat sätt att presentera prioriteringsreglerna kan vara med hjälp av en triangel eller lista/tabell som exemplen av Ameis (2011, s. 418), se figur 2, och Van de Walle m.fl. (2011, s 492), se figur 3. Möjligtvis kan detta få elever att förstå prioriteringsreglerna på ett enklare sätt.
Den artikel som skiljer sig mest från övriga granskade artiklar är studie gjord av DeLashmutt (2007), som värderar användning av minnesregler högt. Hon använde minnesregler för sin klass i årskurs 5 i flera ämnen under en två-månaders-period. Hon påstår även att strategier för minnesregler kan vara ett effektivt sätt för att höja elevers resultat i matematikämnet (ibid.). På grund av att endast en klass om 15 elever undersöktes, kan studien därför mycket väl upplevas vinklad. DeLashmutt (2007, s. 9) nämner att hon inte fann någon litteratur som behandlade minnesregler med anknytning till matematik, trots att hon själv implementerade flera uppgifter till sin klass som visade positiva resultat på just detta. En anledning till det goda resultatet kan vara att minnesregler hjälpt hennes elever att utveckla ett större intresse för matematikämnet. Detta kan möjligtvis fått eleverna att enklare engagera sig i undervisningen och på så vis gjort inlärningen effektivare.
6.2.3 Vilka problem och missuppfattningar kan elever stöta på vid inlärning av
prioriteringsreglerna?
För elever kan möjligtvis missuppfattningar skapas i vilken ordning operationer ska utföras om de frekvent beräknar uppgifter där multiplikation och division kommer före addition och subtraktion, likt 6 × 3 – 10. I de granskade studierna beräknade många elever liknande uttryck korrekt men gjorde det oftast genom att endast läsa och utföra operationerna från vänster till höger. Hewitt (2003, s. 66) och Tabak (2019, s. 372) påvisar att elever generellt ordnar operationer som de läser, från vänster till höger, utan att uppmärksamma prioriteringsreglerna. McIntosh (2008, s. 86) beskriver att ett vanligt fel är att elever börjar i vänstra kanten av ett uttryck och arbetar till höger, utan att ta hänsyn till prioriteringar mellan räknesätt. Headlam (2013, s. 128) beskriver att den mest förekommande missuppfattningen i sin studie, var att eleverna beräknade uttryck med flera
19
operationer från vänster till höger. I studien påträffades även två andra missuppfattningar som elever gjorde vid beräkning av numeriska uttryck som innehöll flera operationer (Headlam 2013, s. 118–119). Vissa elever valde att felaktigt ignorera parenteserna vid uttryck likt (1 + 2)². En annan missuppfattning var att elever valde att beräkna addition före multiplikation (Headlam 2013, s. 120). Exempelvis valde en elev att i uppgiften 2 + 3 × 4 + 5 skriva det som (2 + 3) × (4 + 5). Papadopoulos (2016, s. 328) studie visade att eleverna fått övningar, i sin tidiga skolgång, som bortsåg från att följa prioriteringsreglerna. Med anledning av detta hade eleverna inkorrekt lärt sig att endast beräkna uppgifter från vänster till höger (ibid.). I den svenska läroplanen beskrivs det redan i det centrala innehållet för årskurserna 1–3 att eleverna ska få kunskaper om hur räknesätten förhåller sig till varandra och få förståelse för vilka räknesätt som är mest lämpliga i olika situationer (Skolverket, 2017, s. 14). Man kan antyda att liknande innehåll bör stå skrivet i den grekiska läroplanen. Därför kan det möjligtvis förväntas att dessa elever redan ska besitta kunskaper om prioriteringsreglerna. Man kan anse att Papadopoulos (2016) studie inte kan generaliseras, då testgruppen endast bestod av en klass om 22 elever. Vi upplever dock studien som värd att uppmärksamma, då artikeln är vetenskapligt granskad.
Utifrån den vetenskapliga forskningen kan det tyckas att läraren behöver vara medveten om att missuppfattningar kan uppstå när elever beräknar numeriska uttryck som innehåller flera operationer. Frågan vi ställer oss är om elever i tillräckligt stor uträckning utsätts för uttryck där användning av prioriteringsreglerna behövs. Vi funderar över vikten av att lärare inte endast låter elever beräkna uttryck som behandlar en operation åt gången likt 3 x 2 eller 2 + 4. Detta eftersom eleverna då inte behöver ta hänsyn till prioriteringsreglerna. Vi funderar också över vikten av att tidigt introducera numeriska uttryck som innehåller flera operationer i elevernas skolgång. Genom att göra detta skulle elever kunna bli bekvämare med att hantera olika räknesätt i samma uttryck och även kunna undvika eventuella missuppfattningar.
Avslutningsvis kan det konstateras att missuppfattningar och svårigheter om prioriteringsreglerna uppkommer hos många elever. Ett problem vi upptäckt i litteraturstudien är att detta inte endast existerar hos elever i grundskolan. I den forskning som granskats kan det konstateras att liknande missuppfattningar även påträffats hos lärare och lärarstudenter. Exempelvis uppmärksammade vi tidigare i litteraturstudien att endast 27 av 381 lärarstudenter från USA angav korrekt svar på fyra numeriska uttryck där prioriteringsreglerna behövde användas (Glidden, 2008 s. 135). Man kan
20
därför inte utesluta att detta kan vara en orsak till att elever utför beräkningar, med flera operationer, felaktigt. Det vi också kan anmärka är att didaktisk forskning framförallt pekar på att minnesregler sällan ger upphov till förståelse om hur prioriteringsreglerna ska följas. Istället har det visat sig i många fall ha motsatt effekt. Eftersom det har visat sig att elever tenderar att missuppfatta minnesregler, kan man misstänka att detta orsakar ett kritiskt moment till elevers förståelse av prioriteringsreglerna.
Genom arbetet av denna litteraturstudie har vi uppmärksammat prioriteringsreglernas betydelse. Vi har noterat hur prioriteringsregler vanligtvis introduceras för elever och att de trots med användning av minnesregler uppvisat missuppfattningar. Denna insyn kan möjligtvis vara behjälplig i vår framtida roll som lärare i hur vi ordnar vår matematikundervisning och förklarar ordningen för prioriteringsreglerna. Genom den kännedom vi fått från detta arbete kan också eventuella missuppfattningar hindras.
6.3 Vidare studier
Litteraturstudien har visat att missuppfattningar och svårigheter om prioriteringsreglerna förekommer bland elever. Detta är något som vi vill studera vidare. I framtida forskning skulle det vara intressant att ta reda på om minnesregler kan konstrueras på ett annat sätt än hur det används i många engelsktalande länder. Ett möjligt tillvägagångssätt hade varit att intervjua matematiklärare angående hur de undervisar om prioriteringsreglerna. Ett annat sätt hade varit att låta elever fylla i en enkät gällande hur säkra de anser sig vara att följa prioriteringsreglerna. Dessa typer av undersökningar hade kunnat ge oss en uppfattning om hur prioriteringsreglerna presenteras i den svenska skolan och om möjligtvis elever upplever svårigheter om hur reglerna ska följas.
21
Referenser
Ameis, J. A. (2011). The truth about PEMDAS. Mathematics Teaching in the Middle School, 16(7), 414–420.
Bay-Williams, J. M., & Martinie, S. L. (2015). Order of operations: The myth and the math. Teaching Children Mathematics, 22(1), 20–27.
DeLashmutt, K. (2007). A study of the role of mnemonics in learning mathematics. Math in the middle Institute Partnership Action Research Project Report, Nebraska.
Dupree, K. M. (2016). Questioning the order of operations. Mathematics Teaching in the Middle
School, 22(3), 152-159.
Friberg, F. (red.) (2017). Dags för uppsats: vägledning för litteraturbaserade examensarbeten. (3. uppl.). Lund, Sverige: Studentlitteratur.
Gavel, H. (2017). Grundlig matematik: Inledande matematik för ingenjörer, naturvetare och
andra problemlösare. Lund, Sverige: Studentlitteratur.
Glidden, P. L. (2008). Prospective elementary teachers’ understanding of order of operations. School Science and Mathematics, 108(4), 130–136.
Grevholm, B. (Red). (2014). Lära och undervisa matematik – från förskoleklass till åk 6 (2. uppl.). Lund, Sverige: Studentlitteratur.
22
Headlam, C. (2013). An investigation into children's understanding of the order of operations.
(Unpublished doctoral dissertation). Plymouth, UK: Plymouth University.
Headlam, C., & Graham, T. (2009). Some initial findings from a study of children’s
understanding of the Order of Operations. Proceedings of the British Society for Research into
Learning Mathematics (37-42).
Hewitt, D. (1999). Arbitrary and necessary part 1: A way of viewing the mathematics curriculum. For the learning of Mathematics, 19(3), 2–9.
Hewitt, D. (2003). Notation Issues: Visual Effects and Ordering Operations. International Group
for the Psychology of Mathematics Education, 3, 63–69.
Hewitt, D. (2012). Young students learning formal algebraic notation and solving linear equations: are commonly experienced difficulties avoidable? Educational Studies in
Mathematics, 81(2), 139–159.
Kiselman, C., & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg, Sverige: Nationell centrum för matematikutbildning, NC.
Linchevski, L., & Livneh, D. (1999). Structure sense: The relationship between algebraic and numerical contexts. Educational studies in mathematics, 40(2), 173–196.
23
Löwing, M. (2008). Grundläggande aritmetik. Lund, Sverige: Studentlitteratur.
McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal: en handbok. (1. uppl.). Göteborg, Sverige: Nationellt centrum för matematikundervisning (NMC), Göteborgs universitet.
Moore, K. C., & Silverman, J. (2015). Maintaining Conventions and Constraining Abstraction. North American Chapter of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education.
Musser, G. L., & Burger, W. F. (1991). Mathematics for elementary teachers: a contemporary
approach. MacMillan Publishing Company.
Nilholm, C., (2017). Smart: ett sätt att genomföra forskningsöversikter. (1. uppl.) Lund, Sverige: Studentlitteratur.
Novotná, J., & Hoch, M. (2008). How structure sense for algebraic expressions or equations is related to structure sense for abstract algebra. Mathematics Education Research Journal, 20(2), 93-104.
Papadopoulos, I. (2016). The rules for the order of operations: The case of an inservice teacher. In CERME 9-Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 324-330).
Rennerfelt, B. (1979). Matematikterminologi i skolan. Stockholm, Sverige: Liber Utbildningsförlag.
24
Sari, A. F., & Ernawati, A. (2020, January). Arithmetic thinking: Reflect on the order of operation. In Ahmad Dahlan International Conference on Mathematics and Mathematics
Education (Vol. 2, No. 1, pp. 13-18).
Schrock, C., & Morrow, J. (1993). Wright or Wrong: Teaching the Order of Operations. School
Science and Mathematics, 93(1), 28–30.
Skolverket. (2017). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik (rev. 2017). Stockholm, Sverige: Skolverket.
Skolverket. (2019a). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Reviderad 2019. Stockholm, Sverige: Skolverket.
Skolverket (2019b). Slutgiltigt förslag kursplan matematik. Stockholm, Sverige: Skolverket.
Tabak, S. (2019). 6th, 7th and 8th Grade Students’ Misconceptions about the Order of Operations. International Journal of Educational Methodology, 5(3), 363-373.
Taff, J. (2017). Rethinking the Order of Operations (or What Is the Matter with Dear Aunt Sally?). Mathematics Teacher, 111(2), 126–132.
Thompson, J., Martinsson, T., Martinsson, P. G., & Thompson, J. (1991). Wahlström &
25
Thorén, M. (2009). Motivation för matematik. Nämnaren tidskrift för matematikundervisning
nr, 2, 57–61.
Van de Walle, J. A., Folk, S., Karp, K. S. Bay-Williams, J. M. (2011). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally. 3rd Canadian Edition. Toronto: Pearson Kanada.
Zazkis, R., & Rouleau, A. (2018). Order of operations: On convention and met-before acronyms. Educational Studies in Mathematics, 97(2), 143-162.
Zazkis, R. (2017). Order of operations: On conventions, mnemonics and knowledge-in-use. For
I
Bilaga
Författare
Titel
Tidskrift
Publikationsår
Syfte
Design
Urval
Datainsamling
Land
Resultat
Tabak, S. 6th, 7th and 8th Grade Students’ Misconceptions about the Order of Operations. (2019) Fastställa missuppfattningar bland årskurserna 6–8 om prioriteringsregeln.240 elever från årkurs 6,7 och 8. 78 elever från åk 6, 80 från åk 7 och 82 från åk 8.
Eleverna utförde ett skriftligt test vilket var uppdelat i två delar. Turkiet.
Eleverna tenderade att endast utföra operationer från vänster till höger utan att ta hänsyn till
prioriteringsreglerna. Enligt studien härrör dessa missuppfattningar till att elever endast memorerar prioriteringsreglernas struktur och inte bildar någon förståelse av konventionerna.
Sari, A.F. & Ernawati, A Arithmetic thinking Reflect on the order of operation. (2020) Beskriva och problematisera elevers förståelse vid inlärning av prioriteringsregler och undersöka varför studenterna svarar olika. 30 st lärarstudenter, 4 st aritmetiska frågor samt 10 st sant-eller-falskt-frågor. Indonesien.
Det är viktigt att diskutera och samtala vid inlärning av prioriteringsreglerna inom matematiken.
II Papadopoulos, I
The rules for the order of operations: The case of an inservice teacher. Konferensbidrag (2016)
Visa hur elever I årskurs sex påverkas vid felaktig
undervisning av prioriteringsregeln.
Ett test i numeriska uttryck gjordes i två steg. Först med en lärare, senare lärarens 22 elever i årskurs sex med samma uppgifter.
Över hälften av eleverna begick samma misstag som läraren. 86 % hade svarat fel på en fråga där läraren också svarat fel.
Bay-Williams, J.M & Martinie, S.L Order of
Operations: The Myth and the Math. Teaching Children Mathematics. (2015) Problematisera teorier kring prioriteringsregler som skapar falska uppfattningar.
(Ingen studie) Att man kan lära sig prioriteringsreglerna utan minnesregler eller via andra mer rättvisande alternativ. Glidden, P.L. Prospective Elementary Teachers’ Undersöka hur lärarstudenter löser uppgifter med användning av
Studien bestod av 5 uppgifter varav 4 stycken krävde prioriteringsregeln som användning. 381 lärarstudenter undersöktes totalt. 280 studenter
Det var framförallt förekommande att studenterna följde en felaktig metod på minnesregeln PEMDAS. De följde det bokstavligen och tog därför
III Understanding of Order of Operations. (2008) minnesregler som kräver användning av prioriteringsregler na.
undersöktes höstterminen 2003 och 101 undersöktes år 2005 på ett universitet i närheten av West Chester. 86,4% var kvinnor.
Ameis, J. A. The truth about PEMDAS (2011) Indikera vad minnesregeln PEDMAS har för påverkan på elevers lärande av prioriteringsregler na och vad som eventuellt kan användas istället.
(Ingen studie) Att använda varianter av PEDMAS stödjer inte elevers lärande för begreppslig förståelse. Att introducera prioriteringsreglerna i en triangel av hierarki hjälper elever att utveckla förståelse av reglernas konstruktion. Det har också en potentiellt betydande vinst när elever lär sig algebra.
Zazkis, R & Rouleau A
Undersöka vad blivande lärare har för uppfattning om
22 lärarstudenter med inriktning grundskola.
Att många studenter förlitade sig på minnesregeln BEDMAS och att det i de flesta fallen blev
IV "Order of operations: On convention and met-before acronyms." (2018)
att division alltid ska användas före multiplikation.
Intervjuer med två stycken frivilliga lärarstudenter.
Båda studenterna var bland de bästa i klassen.
Två skriftliga uppgifter. Uppgift 1 bestod av fem uppgifter som kräver användning av prioriteringsregler. Uppgift 2 bestod av att bestämma sant eller falskt på fyra olika påståenden gällande reglernas konstruktion
England.
missvisande eftersom många räknade division före multiplikation. Headlam, C. An investigation into children’s understanding of the order of operations Doktorsavhandling
Syftet med studien är att undersöka varför elever upplever prioriteringsregler na som svårt och om även om elever i andra länder upplever samma
Studien gjordes under två år med sammanlagt 148 elever från fem olika skolor i England, USA, Japan och Nederländerna. Eleverna var mellan 12 och 14 år. Eleverna gjorde ett arbetsblad utan miniräknare och ett med miniräknare. Några intervjuer gjordes också efter testerna.
Det var vanligt att eleverna räknade från vänster till höger, utan att bry sig om vilket räknesätt som kom. Exempelvis adderade de innan de multiplicerade och trodde även att kommutativa lagen gällde för
V (2013)
problem som elever från Storbritannien. Syftet var även att undersöka hur elever använder prioriteringsregler na när de räknar och ta reda på vilka missuppfattningar eleverna har om reglerna. Hewitt, D. Notation Issues: Visual effects and ordering operations In N.A. Konferensbidrag (2003) En studie om hur elever tolkar numeriska uttryck.
Studien gjordes på 29 elever i årskurs 7.
Att eleverna i studien tenderade att räkna från vänster till höger.
VI DeLashmutt, K.
A study of the role of mnemonics in learning mathematics. Summative Projects for MA Degree. (2007) Studien undersökte effekten av minnesregler vid beräkning av numeriska uttryck. Undervisning av minnesregler för en klass i årskurs 5 under en 2-månadersperiod.
Resultatet visade att minnesregler kan hjälpa många elever, men inte alla. Några elever föredrog att endast minnas matematiska begrepp.
Headlam, C., & Graham, T. Some initial findings from a study of children’s understanding of the order of operations. (2009) Studien undersökte hur elever utförde beräkningar som krävde rätt användning av prioriteringsregler na och studerade även de missuppfattningar som kunde uppkomma. Två klasser. Storbritannien 20 elever 13 år. Japan 33 elever 14 år. Arbetsblad med flertal frågor ej användning av miniräknare och även intervjuer med några elever.
Läraren (UK) blev också intervjuad. Båda klasserna har blivit
undervisade om prioriteringsreglerna.
Resultatet visade sig att de japanska eleverna förlitade sig på den algebraiska strukturen vilket de allt som oftast utförde korrekt. De brittiska eleverna förlitade sig istället på användning av minnesregeln BIDMAS, vilket fungerade bra om de kom ihåg den korrekt men blev fel när de inte kom ihåg vad bokstäverna stod för.
