En kvalitativ studie
om elevers kunskaper
om tal i decimalform
KURS:Examensarbete för grundlärare 4–6, 15 hp
PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i årskurs 4–6 FÖRFATTARE: Ronak Parmar
EXAMINATOR: Robert Gunnarsson TERMIN:VT21
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete, 15 hp School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med
inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6 VT21
SAMMANFATTNING
___________________________________________________________________________ Ronak Parmar
En kvalitativ studie om elevers kunskaper av tal i decimalform
Antal sidor: 30 ___________________________________________________________________________
Syftet med studien är att erhålla en djupare förståelse av elevers kunskaper om det decimala talsystemet. Frågeställningen som undersöks är; vilka olika tillvägagångsätt kan identifieras när eleverna beskriver hur de har löst operationer som behandlar det decimala talsystemet? Den här studien har använt sig av en kvalitativ innehållsanalys, där elevernas olika tillvägagångsätt att lösa uppgifter har analyserats. Studien har lånat ord som förståelse och kvalitativa skillnader från den fenomenografiska forskningsansatsen. I studien har 17 elever deltagit och genomfört ett arbetsblad. Därefter valdes 10 elever slumpmässigt ut för vidare intervjuer. Resultatet som presenteras baseras på de uppgifter där det förekommer skillnader i elevsvaren. I uppgifterna och i de efterföljande elevintervjuerna har flertalet tillvägagångsätt kunnat identifieras. Det huvudsakliga resultatet visar att eleverna löste uppgifterna med olika tillvägagångsätt. Elevsvaren har i diskussionsdelen jämförts mot tidigare forskning för att kunna behandla studiens syfte. Vidare problematiseras även resultatets relevans för yrkesrollen och hur matematiklärare kan använda sig av resultatet för att planera och genomföra sin undervisning.
___________________________________________________________________________ Sökord: Decimala talsystemet, Förståelse, Platsvärde, Decimaltal, Undervisning.
Abstract
___________________________________________________________________________ Ronak Parmar
A qualitative study of students' knowledge of numbers in decimal form
Pages: 30
___________________________________________________________________________
The aim of the study is to obtain a deeper understanding of students' knowledge of the decimal number system. The subject of interest is what different approaches can be identified when students describe how they have solved operations that deal with the decimal number system? This study has used a qualitative content analysis, where the students' different approaches to solving tasks have been analyzed. The study has borrowed words such as understanding and qualitative differences from the phenomenographic research approach. In the study, 17 students participated and completed a worksheet. Subsequently, 10 students were randomly selected for further interviews. The presented results are based on the data where there are differences in student responses. Through the task and the subsequent student interviews different approaches were identified. The main result is that the students solved the tasks with different approaches. In the discussion section, the student responses have been compared with previous research. Furthermore, the relevance of the result for the professional role and how the mathematics teacher is also problematized can use the results to plan and carry out their teaching.
___________________________________________________________________________ Keywords: Comprehension, Decimal number system, Education, Decimal numbers, Place-value. ___________________________________________________________________________
Innehållsförteckning
1. INLEDNING 1 2. SYFTE 2 3. BAKGRUND 3 3.1STYRDOKUMENT 3 3.2DET DECIMALA TALSYSTEMET 3 3.3PLATSVÄRDE 53.4TIDIGARE FORSKNING KRING ELEVERS KUNSKAPER OM DET DECIMALA TALSYSTEMET 5
3.4.1 Svårigheter med strukturella samband 5 3.4.2 Utveckling av en förståelse om tal skrivna i decimalform. 6
3.4.3 Språkets betydelse 7 3.5VETENSKAPLIG ANSATS 8 4. METOD 9 4.1DATAINSAMLINGSMETOD 9 4.2URVAL 10 4.3GENOMFÖRANDE 10
4.4DATA OCH ANALYS 12
4.5STUDIENS TILLFÖRLITLIGHET 13
4.6FORSKNINGSETISKA PRINCIPER 14
5. RESULTAT 15
5.1STORLEKSORDNING AV TAL SKRIVNA I DECIMALFORM 16
5.2NOLLANS FUNKTION 17 5.3BERÄKNINGAR 20 6. DISKUSSION 25 6.1METODDISKUSSION 25 6.2RESULTATDISKUSSION 26 6.3AVSLUTANDE ORD 29 REFERENSER 31 BILAGOR I
BILAGA 1:SAMTYCKESBLANKETT:EXAMENSARBETE I
BILAGA 2:ARBETSBLAD 1 I
BILAGA 3:RESULTAT FRÅN ARBETSBLAD 1 VI
BILAGA 4:INTERVJUGUIDE I
1
1. Inledning
Tal skrivna i decimalform är en central del av matematikundervisningen i skolan. Tal i decimalform förekommer i flera vardagssammanhang. I affärer är det vanligt att se att en chipspåse kostar exempelvis 14,95 kronor och när bilen ska tankas kan drivmedlet kosta 13,29 kronor per liter. En viktig del inom skolmatematiken är förmågan att kunna utföra beräkningar med såväl stora som små tal (Howe, 2019). För att kunna utföra beräkningar krävs det kunskaper om det decimala talsystemets uppbyggnad och funktion (Howe, 2019). Elever kan ha olika uppfattningar om det decimala talsystemet. Forskning har identifierat ett flertal olika uppfattningar som kan förekomma hos elever gällande det decimala talsystemet. Dessutom visar forskning att bristande förståelse av nollans betydelse och platsvärde i det decimala talsystemet kan leda till svårigheter för elever (Howe, 2019; Steinle & Stacey, 1998; Thomas, 2004).
McIntosh (2008) bekräftar att elever i den svenska skolan hamnar i liknande svårigheter när de ska utföra beräkningar med tal i decimalform. Enligt Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (Skolverket, 2019) ska undervisningen i skolämnet matematik behandla det decimala talsystemet. I läroplanens övergripande mål och kunskapssyn förtydligas implikationen av matematiken med skrivelsen: ”Skolan ska ansvara för att varje elev efter en genomgången grundskola kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet” (Skolverket, 2019, s.11). Ett matematisk tänkande och förmågan att utföra matematiska operationer förutsätter att elever utvecklar kunskaper om det decimala talsystemet (Howe, 2019).
Med utgångspunkt från den tidigare litteraturstudien (Parmar & Larsson, 2020) och studierna från (Howe, 2019; Steinle & Stacey, 1998; Thomas, 2004), genererades ett intresse att undersöka elevers kunskaper om det decimala talsystemet i Sverige. Denna studie kommer att undersöka några elevers kunskaper om det decimala talsystemet.
2
2. Syfte
Syftet med den här studien är att få en djupare förståelse av elevers kunskaper om det decimala talsystemet.
Utifrån detta syfte har följande frågeställning formulerats: Vilka olika tillvägagångsätt kan identifieras när eleverna beskriver hur de har löst operationer som behandlar det decimala talsystemet?
3
3. Bakgrund
Kapitlet inleds med ett avsnitt som behandlar styrdokumenten. Kapitlet behandlar även det som tidigare forskning identifierat som svårigheter eller aspekter, vilket kan påverka elevernas förståelse av det decimala talsystemet.
Utöver detta beskrivs studiens teoretiska utgångspunkt och hur teorin har använts i studien.
3.1 Styrdokument
Undervisningen i matematik ska syfta till att alla elever får möjlighet att utveckla kunskaper i skolämnet matematik. Eleverna ska under skolåren ges möjlighet att utvecklas till fungerande samhällsmedborgare, vilket innefattar att bland annat kunna utföra beräkningar i sin vardag. Tals relationer till varandra är en del av det matematiska innehåll som lärare ska behandla i sin undervisning (Skolverket, 2019). Vidare ska undervisningen även behandla det decimala talsystemets struktur. Eleverna i årskurs 4–6 ska specifikt undervisas om tal i decimalform. Detta är en vidareutveckling av matematiken i årkurserna 1–3 som fokuserar mer på heltal. Kommentarmaterialet i ämnet matematik skriver att undervisningen i matematik ska behandla det decimala talsystemets struktur och uppbyggnad. Kommentarmaterialet skriver även om att elever ska möta matematiken i vardagliga situationer (Skolverket, 2017). Enligt kunskapskraven för E nivå i slutet på årskurs 6 ska eleverna visa att de har kunskaper om matematiska begrepp och kunna utföra enkla beräkningar (Skolverket, 2019).
3.2 Det decimala talsystemet
Det decimala talsystemet utgår från basen tio. Ordet decima betyder var tionde och har sitt ursprung i det latinska språket. Talsystemet är även ett positionssystem där varje siffra får ett specifikt värde beroende på vilken position siffran har i talet (Hansson, 2019).
Talsystemet innehåller tio olika symboler; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9 som benämns som siffror. Siffrorna bildar tillsammans tal skrivs och från vänster till höger. Siffrorna till vänster i ett heltal har ett värdemässigt högre platsvärde än siffrorna till höger. Siffrorna
4 går att upprepa och genom upprepning går det att skriva värdemässigt större eller värdemässigt mindre tal (Dietrich et al., 2016). När exempelvis talet 202 skrivs, har varje siffra ett specifikt platsvärde. I detta exempel hamnar den första tvåan på hundratalspositionen, nollan hamnar på tiotalspositionen och den sista tvåan på entalspositionen. Nollan i talet 202 anger inget värde till tiotalpositionen utan fungerar som en platshållare och betecknar att det finns noll tiotal i talet (Hansson, 2019). Symbolen noll har medfört att det decimala talsystemet möjliggör representation av oändligt antal tal. (Cady, Hopkins & Price, 2014; Dietrich et al., 2016; Howe, 2019).
Det decimala talsystemet kan representera heltal såsom 202, men även delar av hela tal. Tal skrivna i decimalform separeras från heltalen med hjälp av ett decimaltecken (,) eller med en decimalpunkt (.) (Kiselman & Mouwitz, 2008). Decimaltecknet medför att det går att urskilja heltalen från decimalerna (Dietrich et al., 2016). Exempelvis symboliserar talet 2,43 värdet två ental, fyra tiondelar och tre hundradelar. Tals delar definieras som tiondel (0,1), hundradel (0,01) och tusendel (0,001) och så vidare, av en helhet (Hansson, 2019; Howe, 2019). Det decimala talsystemets struktur är uppbyggt så att det är möjligt att representera oändligt stora eller små tal (Kullberg, 2004). Figur 1 visualiserar de strukturella sambanden i det decimala talsystemet. I figuren synliggörs det hur de olika talsorterna; hundratal, tiotal, ental, tiondel, hundradel och tusendel förhåller sig till varandra. Decimaltecknet i figuren symboliserar var heltalen slutar och talets delar tar vid (McIntosh, 2008).
Figur 1 .De olika talsorterna i det decimala talsystemet och relationerna mellan (Matteboken, u.å.)
5 3.3 Platsvärde
De olika talsorterna i det decimala talsystemet förhåller sig proportionerligt till varandra. Förhållandet mellan de olika positionerna i talsystemet går att beskriva som att ett siffran till vänster har tio gånger mer värde än siffran till höger. Exempelvis är talet 20 värdemässigt tio gånger mer värt än talet 2 samtidigt som det värdemässigt är tio gånger mindre värt än talet 200 (Howe, 2019). För att synliggöra platsvärdet på olika siffror i det decimala talsystemet kan talen skrivas ut i en utvecklad form. Med följande exempel förtydligas platsvärdet och strukturen i det decimala talsystemet: Talet 25,3 går att skriva om på utvecklad form som blir 25,3 = 20 + 5 + 0,3, vilket innebär att talet innehåller två tiotal, fem ental och tre tiondelar. Genom att byta plats på siffersymbolerna två och tre skapas ett helt nytt tal; 35,2. Skrivs talet i utvecklad form blir det möjligt att urskilja att det nya talet har ett högre värde; 35,2 = 30 + 5 + 0,2, vilket innebär att talet innehåller tre tiotal, fem ental och två tiondelar (Hansson, 2019). I exemplet ovan visas det att två olika tal kan ha samma siffersymboler men olika värden. Beroende på vilken ordning talen skrivs på kan talets värde förändras (Hansson, 2019).
3.4 Tidigare forskning kring elevers kunskaper om det decimala talsystemet
Tidigare forskning har identifierat svårigheter eller aspekter som kan förhindra elevers förståelse av det decimala talsystemet, vilket kan påverka elevernas kunskaper om det decimala talsystemet.
3.4.1 Svårigheter med strukturella samband
Det är avgörande att elever får syn på skillnaden mellan de olika talsorterna, exempelvis ental, tiotal och hundratal för att de snabbt ska kunna förstå värdet för de olika plasterna i det decimala talsystemet (Howe, 2019). En studie visade att elever kan få svårighet att identifiera de multiplikativa relationerna som finns i det decimala talsystemet (Thomas, 2004). Elever behöver inse att det decimala talsystemet är ett system där det finns strukturella samband och regler, “understanding the multiplicative nature of the base 10
6 system is critical to the development of numeration, place value and number sense” (Thomas, 2004, s. 4-305). Enligt citatet behöver elever kunskaper om talsystemets struktur och platsvärde i de olika talsortspositionerna. Om elever inte får syn på de strukturella sambanden minskar möjligheten för elever att använda sig av strategier (Howe, 2019; Thomas, 2004).
Moskal och Magone (2000) har identifierat tre fall av svårigheter. Det första fallet behandlar strukturen och de multiplikativa relationerna i det decimala talsystemet. Med strukturen och multiplikativa relationer i talsystemet menas det att exempelvis 1 är tio gånger större än 0,1. Det andra fallet innebär att elever uppfattar att tal som 0,002 är större än 0,2. Detta stämmer även överens med det som Steinle och Stacey (1998) beskriver som deras andra kategori av hur elever utvecklar en förståelse av tal i decimalform. Det tredje och sista fallet handlar om att elever generaliserar heltal med tal i decimalform. Ett exempel på generalisering är att eleverna uppfattar att decimalernas egenskaper kan likställas med heltalens egenskaper. Detta innebär att en tiondel kan tolkas som ett ental vilket i praktiken innebär att elever exempelvis kan tolka tre tiondelar som tre heltal (Moskal & Magone, 2000).
3.4.2 Utveckling av en förståelse om tal skrivna i decimalform.
Hur elever uppfattar tal skrivna i decimalform påverkar även deras kunskaper kring det decimala talsystemet. Forskarna Sackur-Grisvard och Lenoard (1985) har skapat en tankemodell och beskrivit fyra steg för att elever ska utveckla förståelse av det decimala talsystemet. Forskarna har beskrivit att eleverna behöver få syn på tal skrivna i decimalfrom i en viss ordning. När det gäller till tal skrivna i decimalform behöver eleverna få syn på steg 0: the rule of lenght, vilket innebär att exempelvis talet 6,567 tolkas som 6567 (Sackur-Grisvard & Lenoard, 1985). När elever sedan utvecklar en förståelse av decimaltecknets innebörd så anses de ha nått steg 1. Steg 1 innebär att elever läser av tal i decimalform på samma sätt som de läser av heltal. Talen utläses som en helhet exempelvis blir 23,52 utläses som; tjugotre komma femtiotvå (Sackur-Grisvard & Lenoard, 1985). Steg 2 innebär att elever har utvecklat en förståelse av de strukturella och multiplikativa sambanden i det decimala talsystemet (Sackur-Grisvard & Lenoard, 1985). Att en elev uppnått steg 2 stämmer överens med Thomas (2004) resultat om att elevernas uppfattning
7 om det decimala talsystemets struktur påverkar deras förståelse av det decimala talsystemet. En förståelse av de strukturella sambanden innebär att elever har kunskaper om de proportionerliga sambanden i det decimala talsystemets struktur. Med proportionerliga samband i denna kontext menas den struktur de olika talsorterna förhåller sig till varandra (figur 1). De multiplikativa relationerna som är en del av strukturen i talsystemet blir därav ännu viktigare att få syn på. Elever behöver även utvecklat en förståelse av att ju lägre talsortsplats (tiondel, hundradel etc.) från decimaltecknet en siffra befinner sig, desto värdemässigt lägre platsvärde har siffran (Sackur-Grisvard & Lenoard, 1985).
Steg 3 i utvecklingen av förståelse av det decimala talsystemet, innebär att eleverna har lärt sig de tidigare stegen och innebörden av siffersymbolen noll (Sackur-Grisvard & Lenoard, 1985). Som tidigare nämnts är nollans betydelse avgörande för att eleverna ska utveckla en helhetssyn av strukturen i det decimala talsystemet. Elever behöver även få syn på att nollan i tal i decimalform och heltal har samma funktion (Sackur-Grisvard & Lenoard, 1985). Nollan agerar platshållare och gör det möjligt att skriva ut exempelvis jämna tiotal (Howe, 2019). Nollan agerar som platshållare för att symbolisera en tom talsortsposition. I exemplet med talet 202 visar nollan att det finns noll tiotal i tiotalspositionen (Hansson, 2019). Vid heltal har nollan ingen betydelse om nollan står före den första talsorten med ett värde. Exempelvis fyller nollan ingen funktion i talet 035 och påverkar inte talets värde. Det är inte vanligt att skriva ut nollan om den inte fyller någon funktion, men ibland skrivs den ut ändå. Ett exempel på när nollan kan skrivas ut av elever kan vara när de beräknar med uppställning. Detta för att säkerställa att alla talsorter hamnar på rätt plats. Av detta skäl blir det avgörande för elever att förstå innebörden av siffersymbollens noll och dess funktion i de olika talen (Hansson, 2019; Sackur-Grisvard & Lenoard, 1985).
3.4.3 Språkets betydelse
Något annat som kan leda till svårigheter är sättet eleverna utläser ett tal på. Beroende på hur eleverna utläser ett tal, kan de få det svårt med att tolka platsvärdet i talet (Mårtensson, 2015; Resnick et al., 1989). Tal i decimalform, exempelvis talet 0,35, kan utläsas som noll komma trettiofem eller noll hela komma tre tiondelar och fem hundradelar. Beroende på hur elever utläser ett tal i decimalform kan de få en mental representation av platsvärdet
8 (Steinle, 2004). Elevers uppfattning av tal skrivna i decimalform kan förtydligas om eleven utläser alla delarna i talet. Däremot kan det bli svårt till att få elever att förändra sitt språkbruk när de ska utläsa av tal skrivna av decimalform (Mårtensson, 2015). En språklig strategi som elever kan använda när ett tal skrivna i decimalform ska utläsas, är att utläsa talet som det vore ett heltal. Då kan talet 0,35 utläsas som trettiofem hundradelar (Resnick et al., 1989).
3.5 Vetenskaplig ansats
För att behandla studiens syfte har en kvalitativ innehållsanalys genomförts med inslag av fenomenografi. Fenomenografi är en vetenskaplig ansats där uppfattningar och förståelse undersöks (Nilholm, 2016; Larsson, 1986). Den här studien har undersökt elevers olika tillvägagångsätt att lösa uppgifter på. Beroende på vilka tillvägagångsätt eleverna i studien använde sig av för att lösa uppgifterna, kunde deras förståelse av det decimala talsystemet synliggöras. Begrepp som används från fenomenografi i min studie är förståelse och
kvalitativa skillnader som syftar till att beskriva elevernas kunskaper om det decimala
talsystemet.
För att kunna identifiera de olika tillvägagångsätten eleverna visade samt vilken förståelse av det decimala talsystemet de har visat, användes en kvalitativ innehållsanalys. I en kvalitativ innehållsanalys är det den insamlade empirin som utgör grunden för analysarbetet (Bryman, 2018, kap 21). Det som tidigare forskning har kommit fram till, kan i kvalitativa innehållsanalyser användas som ett ramverk för att analysera data. I denna studie har den tidigare forskning legat till grund för att kunna undersöka elevernas kunskaper om det decimala talsystemet.
9
4. Metod
Kvalitativa studier försöker systematiskt besvara tilltänka hypoteser med hjälp av enkäter eller andra datainsamlingsmetoder såsom experiment och observationer (Larsson 1986; Larsson 2005). Studien vill erhålla en djupare förståelse av elevers kunskaper om det decimala talsystemet och utgår från en kvalitativ metod eftersom frågeställningen använder sig av elevbeskrivningar.
4.1 Datainsamlingsmetod
Med utgångspunkt ur studiens syfte och frågeställningar har metodvalet begränsats till kvalitativa intervjuer i kombination med ett datablad (bilaga 1).
Med hjälp av kvalitativa intervjuer där elevernas olika sätt att lösa uppgifter belyses, gick det att uppfatta elevernas förståelse av tal i decimalfrom (Bryman, 2018, kap 20). Kvalitativa intervjuer utifrån en kvalitativ innehållsanalys bidrog till att kunna behandla studiens syfte och att hitta de kvalitativa skillnaderna från respondenternas svar (Bryman, 2018, kap 21). Elevernas beskrivningar medverkade till att olika tillvägagångsätt gällande hur de har löst uppgifterna kunde identifieras (Larsson, 2005).
Intervjuformen är det Bryman (2018, kap. 9) definierar som semistrukturerade intervjuer, där intervjuformen är mindre styrd och samtalen håller sig till en viss uppgift/ämne åt gången. En kvalitativ intervju försöker ”förstå världen från undersökningspersonernas synvinkel” (Kvale & Brinkman, 2014, s. 17). Intervjuerna utgick från en intervjuguide (bilaga 2) där ramarna för de frågorna som intervjun behandlade var skrivna. Intervjuguiden var till viss del strukturerad. Det var väsentligt att de olika frågorna i databladet behandlades, eftersom arbetsbladets (bilaga 3) frågor behandlade olika aspekter av det decimala talsystemet. Utan intervjuguide kan samtalet under intervjun leda iväg till icke önskvärda områden som studien inte undersöker (Ryen, 2004). Kvale & Brinkman (2014) beskriver att skillnaden mellan ett samtal och en semistrukturerade intervju är att i den semistrukturerade intervjun behöver intervjuaren vara mer förberedd på intervjun.
10 4.2 Urval
Valet med att genomföra studien i två klasser i årskurs fem gjordes med urvalsmetoden som Bryman (2018, kap. 8) kallar för bekvämlighetsurval. Ett bekvämlighetsurval kan till exempel innebära att forskaren använder informanter som för tillfället råkar finnas till hands (Bryman, 2018, kap 18). Två klasser valdes ut med anledning av studien inte ska bli för stor. Två kriterier ställdes upp. Det ena var att respondenterna gick årskurs 5 och det andra var att eleverna skulle ha undervisats om tal i decimalform tidigare.
Utöver antal klasser begränsades även urvalet av den samtyckesblankett (bilaga 4) som skickades ut till 48 elever. Alla elever i klasserna tackade inte ja till ett deltagande i studien, vilket bidrog till en mindre urvalsstorlek. 17 föräldrar gav sitt samtycke till att låta deras barn delta i studien. Dessa 17 elever genomförde det första arbetsbladet (bilaga 1). Utifrån de bedömda elevsvaren valdes 10 elever ut för intervju. Ett ytterligare kriterium gjordes där skribenten valde slumpmässigt ut några elever som hade besvarat samma uppgift i arbetsblad 1 fel och några som besvarade uppgifterna korrekt. Det bidrog till att skribenten genom intervjuer kunde identifiera olika sätt eleverna hade löst uppgifterna på. Detta eftersom en variation av elevsvar från elevbeskrivningarna eftersöktes då studiens frågeställning var att identifiera olika tillvägagångsätt elever löser samma uppgift på. Eleverna intervjuades medan de svarade på arbetsblad 2 (bilaga 3) som innehöll färre uppgifter men med liknande karaktär som arbetsblad 1. Dessutom begränsades studien genom att skribenten var tvungen att ta hänsyn till tidsaspekten. Studien som genomfördes på tio veckor var tvungen att begränsas med hur mycket data som skulle samlas in. Det slutgiltiga urvalet hamnade på ca 17 databladsinsamlingar och 10 elevintervjuer.
4.3 Genomförande
Efter att ha erhållit ett godkännande från skolans rektor påbörjades studien. Studien började med att skapa en samtyckesblankett som skickades ut till alla elever i de utvalda klasserna (bilaga 4). Eleverna informerades kring studiens syfte och hur studien skulle genomföras och varför skribenten skulle genomföra studien, varefter samtyckesblanketten lämnades till eleverna för vårdnadshavares godkännande.
Den första empirin samlades in genom arbetsblad 1. Alla elever som hade fått tillstånd att delta i studien följde med till ett annat klassrum. Klassrummet var möblerat så att fusk
11 minimerades vid genomförandet av arbetsblad 1. Eleverna fick instruktioner om att de skulle genomföra arbetsbladet som vilken skoluppgift som helst och skribenten fanns till hands om de inte förstod frågan. Eleverna erhöll 50 minuter på sig att genomföra arbetsbladet och alla var klara inom 35 minuter.
Arbetsbladet rättades och eleverna som deltog i studien fick fiktiva namn och elevnummer och resultaten fördes in i en tabell (bilaga 5). Utifrån resultaten valdes 10 elever för vidare intervjuer. Eleverna valdes ut utifrån kriterier nämnda under urvalsavsnittet. Datainsamlingens andra steg inleddes två veckor efter den första datainsamlingen (bilaga 4). Fördröjningen berodde på att eleverna som skulle intervjuas hade ett skollov och även andra schematekniska aspekter bidrog till förseningen av datainsamlingens andra steg. Under intervjun fick eleverna arbeta med ett nytt arbetsblad (bilaga 3) som grundade sig på det föregående arbetsbladet (bilaga 1), dock hade arbetsbladet skalats av till de uppgifter där det förekom olika tillvägagångsätt på hur eleverna löste uppgifterna.
Genom de kvalitativa intervjuerna gavs eleverna en möjlighet att beskriva hur de tänkte vid lösningen av arbetsblad 2. Elevernas beskrivningar möjliggjorde det att synliggöra de olika tillvägagångsätt eleverna löste uppgifterna på. Intervjuerna dokumenterades med ljudinspelning och informationen transkriberades. Ryen (2004) skriver: ”Ett mycket vanligt sätt att lösa dilemmat med reproduktionen av samtal är att använda sig av en bandspelare, enbart eller tillsammans med anteckningar. På det sättet ser man till att få med allt på intervjun” (Ryen, 2004, s. 56). Det slutgiltiga steget innan analysen påbörjades var att transkribera intervjuerna (Bryman, 2011, kap 17). Nedan visas en figur där genomförandet beskrivs på ett övergripande vis.
12 4.4 Data och analys
Analysen av det insamlade materialet påbörjades redan vid insamling av arbetsbladet. Där väcktes nya funderingar kring studiens djup och om frågeställningarna hade lyckats synliggöra de skilda tillvägagångsätten eleverna löste uppgifterna på. Den kvalitativa innehållsanalys som genomfördes började med en transkribering (Bryman, 2018, kap 21). Det andra steget var att läsa igenom alla transkriberingar flera gånger. Bryman (2018, kap 21) beskriver meningskategorisering som ett angreppsätt att använda sig av vid genomläsning. Angreppsättet handlar om att försöka analysera och koncentrera transkriberingarna så att studiens frågor besvaras (Bryman, 2018, kap 21).
Analysen av elevintervjuerna genomfördes i syfte att identifiera olika tillvägagångsätt om hur eleverna löste uppgifterna. Den insamlade empirin i studien var arbetsbladen 1 och 2 (bilaga 1 & 3) och de transkriberade ljudinspelningarna från elevintervjuerna. Utifrån arbetsbladen och det transkriberade elevmaterialet gick det att identifiera olika tillvägagångsätt eleverna beskrev när de löste uppgifterna. Bryman (2018, kap 21) skriver att en kvalitativ innehållsanalys kan användas för att analysera och tematisera den insamlade empirin. Transkriberingarna har dokumenterats i separata dokument och färgkodning har använts för att markera elevernas olika tillvägagångsätt de beskrev när elever löste uppgifterna på.
Genomförande
arbetsblad 1. Analys arbetsblad 1.
Skapandet av intervjuguide och arbetsblad 2. Genomförande av intervjuer. Bearbetning och analys. Prentation av studiens resultat och diskussion.
13 Arbetsbladet samlades in och bedömdes med rätt och fel. Informationen fördes över till ett separat dokument där eleverna som deltog erhöll fiktiva namn och elevnummer. Arbetsblad 1 analyserades genom att skribenten gick igenom alla felaktiga elevsvar. Utifrån elevernas svar på arbetsblad 1 valdes de uppgifter där det förekom mest variation kring hur eleverna på olika sätt löst uppgiften ut för vidare intervju. Utifrån elevernas svar tematiserades de olika sätten eleverna löste uppgiften. Ett exempel är uppgift fem från arbetsblad 1. Där valde cirka hälften av eleverna att inte skriva ut nollan vilket resulterade i temat nollans funktion. Utifrån analysen av intervjuerna har elevsvaren tematiserats efter tre teman; storleksordning av tal skrivna i decimalform, nollans funktion och beräkningar. Dessa teman kommer att presenteras mer under resultatet.
4.5 Studiens tillförlitlighet
Tre centrala begrepp vid genomförandet av vetenskapliga studier är validitet, reliabilitet och generaliserbarhet (Bryman, 2018, kap 3; Ryen, 2004).
Begreppet valdidet kan tolkas som att studien undersökte det den vill undersöka. Validiteten i studien har stärkts med hjälp av att både arbetsbladet och intervjufrågorna utgick från tidigare forskning om det decimala talsystemet och att studiens syfte har varit vägledande för alla steg i denna studie.
Begreppet reliabilitet definieras som att tillvägagångsättet i undersökningen ska vara så tydligt att en annan forskare ska kunna åstadkomma ett liknande resultat (Bryman, 2018, kap 3). Den här studien har en relativt hög reliabilitet eftersom studiens alla steg finns beskrivna. I studiens bilagor finns intervjuguide, arbetsblad och samtyckesblankett. Det tredje begreppet generaliserbarhet behandlar om resultatet från denna studie går att överföra till andra grupper (Bryman, 2018, kap 3; Ryen, 2004). Resultatet av studien är delvis generaliserbar. Studiens resultat kan användas som en anvisning till lärare, angående vilka skilda uppfattningar elever kan ha av tal skrivna i decimalfrom. De elevsvar och efterföljande analys som skribenten har gjort i denna studie kan användas i andra undersökningar.
I studien har även en triangulering skett. En triangulering sker när flera datainsamlingsmetoder används. Triangulering hjälper till med att öka studiens validitet
14 (Bryman, 2018, kap. 17). I denna studie har datainsamlingsmetoderna arbetsblad och intervjuer bidragit till en triangulering.
4.6 Forskningsetiska principer
Det finns ett antal generella forskningsetiska principer som måste beaktas för att studien ska anses vara etisk hållbar. Dessa fyra principer förklaras med hjälp av Vetenskapsrådet, (2017) och Bryman, (2018, kap. 6) nedan:
• Informationskravet innebär att den som genomför studien måste alltid informera alla inblandade om studiens syfte och hur informationen som de deltagande ger ska samlas in, förvaras och användas. I denna studie har alla deltagare informerats muntligt och skriftligt innan studien påbörjades (Bryman, 2018, kap. 6; Vetenskapsrådet, 2017).
• Samtyckeskravet innebär att alla deltagarna måste medge att de vill vara med och delta i studien. Deltagarna i studien är under 15 år, vilket medförde i att skribenten har skickat hem en samtyckesblankett (bilaga 4) till elevernas vårdnadshavare. I samtyckesblanketen framgick det tydligt att alla deltagare kunde avbryta sitt deltagande i studien (Bryman, 2018, kap 6; Vetenskapsrådet, 2017).
• Konfidentialitetskravet innebär att alla deltagare som har varit med i studien ska vara anonyma. I min studie har skribenten valt att namnge eleverna med fiktiva namn. Skribenten har även valt att inte namnge skolan där studien genomfördes eftersom namnet i sig inte tillför något i studien samt det skulle kunna gå att identifiera skolan och de enskilda individerna som deltog i studien. Vidare har allt insamlat material förvarats oåtkomligt för obehöriga. Den insamlade informationen raderas efter att uppsatsen är godkänd.
•
Nyttjandekravet innebär att det insamlade materialet inte får lånas ut eller erbjudas till någon utomstående och får endast användas i denna studie (Bryman, 2018, kap. 6; Vetenskapsrådet, 2017).15
5. Resultat
Resultatet kommer att presenteras utifrån tre teman. Inledningsvis börjar resultatet med att upprepa studiens syfte: Syftet med den här studien var att få en djupare förståelse av elevers kunskaper om det decimala talsystemet. Frågeställningen som studien behandlade var: Vilka olika tillvägagångsätt kan identifieras när eleverna beskriver hur de har löst operationer som behandlar det decimala talsystemet?
I resultatet har uppgifter där det inte förekommer någon större variation av elevsvar exkluderats. Resultatet har tematiserats i tre teman (figur 3) där eleverna visade olika tillvägagångsätt att lösa uppgifterna på. Figur 3 ger en översikt över hur resultatet presenteras. Utdrag från elevintervjuerna presenteras utifrån beteckningen I som står för intervjuaren och elevernas svar deras tilldelade fiktiva namn.
Figur 3 Hur resultatet har tematiserats och presenterats.
Resultat - olika
sätt att lösa
uppgifter
Storleksordning
av tal skrivna i
16 5.1 Storleksordning av tal skrivna i decimalform
Uppgift tre i arbetsblad 1 behandlade tal skrivna i decimalform. Eleverna skulle storleksordna några tal och börja med det minsta. Figur 4 visar talen som eleverna behövde storleksordna.
Resultatet visade att 13 av 17 elever lyckades storleksordna talen och lösa uppgiften korrekt. Resterande eleverna (4 stycken) besvarade frågorna felaktigt. Eleverna visade olika tillvägagångsätt att storleksordna tal skrivna i decimal form. Det gick att skilja på två sätt från elevsvaren. Det ena var att ett decimaltal inte behöver vara värdemässigt större bara för att det innehåller fler decimaler. Detta kan exemplifieras med att talet 1,1 är större en 1,001. Det andra var att eleverna inte insåg platsvärdet i det decimala talsystemet. Genom att inte inse platsvärdet på hundadelspositionen i talen 0,07 och 0,017 visade eleverna i denna uppgift en bristande förståelse av platsvärde i det decimala talsystemet. Figur 5 visar ett exempel på en elevlösning som beskriver hur en elev löste uppgiften. Uppgiften gick ut på att storleksordna de olika talen och börja med det minsta.
Figur 5 En elevlösning på fråga 3 i arbetsbladet där eleven svarar fel. De röda markeringarna är skribentens egna
markeringar som användes vid rättningsarbetet.
Figur 5 synliggör att eleven uppfattade talet 0,07 som mindre än talet 0,017. Resterande fyra elever som svarade fel på uppgiften löste frågan på liknande sätt. Genom intervjuerna
0,17
0,017 0,07
1,1
1,10
1,001
0,98
1,00
17 fördjupades frågan och olika tillvägagångssätt kunde identifieras från elevernas beskrivningar. Alex beskrev att han löste uppgiften så här:
I: Hur tänker du när du löser uppgiften?
Alex: Jag vet att de två minsta är 0,07 och 0,17 men jag vet att 0,07 är ännu mindre. Sen (paus…) 0,17 (paus…) eller nej! 0,017 fanns med så det blir den minsta. Sen 0,07, 0,17 sen är det är det en kvar under ett 0,98, sen blir det 1,0, 1,001 1,009, 1,020, 1,1.
Alex svar kan antyda att han har förstått platsvärdet i de olika talsorterna och kan storleksordna talen korrekt. Inledningsvis uppmärksammade Alex inte nollan i tiondelspositionen i talet 0,017. Under intervjun insåg han sitt misstag och således visade Alex att han hade uppfattat både platsvärde i det decimala talsystemet, men även nollans betydelse. Jack visade däremot att han i denna uppgift eventuellt inte hade förstått platsvärdet i de olika talsorterna. Nedan redogörs det för hur Jack beskrev när han löste uppgiften.
I: Hur tänker du när du löser uppgiften?
Jack: Jag tänker att det är 0,07 och det är de minsta. Sedan efter de så borde 0,017 vara större. Efter det borde det vara 0,17, och efter 0,17 borde det vara 0,98. Efter det blir det 1,00. Efter det blir det 1,001, sen 1,009 och till sist 1,020 och 1,1.
Jack uppfattade att talet 0,017 borde vara större en 0,07. Jacks sätt att beskriva hur han tänkte indikerar på en begränsad förståelse av platsvärdet i det decimala talsystemet. Hans svar kan antyda även att han kanske inte har insett nollans betydelse som en platshållare samt att han ansåg att fler decimaler leder till ett större tal, eftersom han utryckte att talet 0,017 var större än talet 0,07.
5.2 Nollans funktion
Uppgift fem i arbetsblad 1 (bilaga 1) testade elevernas kunskaper om de olika talsorterna. Eleverna skulle skriva ut de talsorter som fanns med i olika tal. Fanns inte talsorten med, kunde en ruta lämnas tom. I denna uppgift hade siffran noll en avgörande betydelse om eleverna svarade rätt eller fel.
18 Talen som eleverna skulle dela upp var.
a) 102 b) 1002 c) 1135,2 d) 202,02 e) 2002,2 f) 9705,50
Resultatet från arbetsblad 1 (bilaga 5) visade att 9 av 17 elever klarade av att lösa uppgiften korrekt. Genom de olika elevlösningarna gick det att identifiera att några elever valde att inte skriva ut siffersymbolen noll i uppgiften, vilket kan antyda att de inte uppfattade nollans funktion som en platshållare i en tom talsortsposition. Vidare framgick det även att några elever valde att skriva ut decimaltecknet och andra gjorde inte det. Det vanligaste felet var att eleverna inte skrev ut en nolla i positionen där siffran noll skulle ha skrivits ut. Figur 6 visar det vanligaste felsvaret från elevsvaren.
Figur 6 Det vanligaste felsvaren som eleverna har gjort. Markeringarna med en blå penna är skribentens egna
markeringar som användes vid rättningsarbetet.
Figur 6 synliggör att eleven i exemplet inte skrev ut nollorna som fanns med i de olika talen. Vidare visas även att eleven inte hade placerat ut decimaltecknet för att särskilja heltal och decimaler. Detta skiljer sig mot resten av gruppens sätt att lösa uppgiften på, som istället valde att skriva ut nollorna i de olika talen.
Vid de efterkommande intervjuerna fördjupades frågan och olika sätt att lösa uppgiften på kunde identifierats bland eleverna. Nedan presenteras tre skilda tillvägagångsätt eleverna hade när de löste uppgiften som behandlade nollans funktion. Jack beskrev att han löste uppgiften och besvarade intervjufrågorna såhär:
I: Dela in talen i olika talsorter.
Uppgift c) (1135,2) Jack: ett tusental, ett hundratal, tre tiotal fem ental, två tiondelar. Ska jag ta med kommatecknet? (frågar Jack)
Uppgift d) (202,02) Två hundratal, ska jag ta med en nolla? (frågar Jack) Den finns med i talet. I: Du gör som du vill.
19
Jack: Då blir det noll tiotal, två ental och två tiondelar.
I: Titta på talet 202,02 vad har nollan för funktion? Behövs båda nollorna? Jack: Jag vet inte.
I: Vad händer ifall vi tar bort den sista nollan i talet 9705,50 (visar nollan för eleven) Jack: Jag vet inte
Utdraget kan antyda att Jack eventuellt inte har förstått aspekterna om nollans betydelse. De matematiska aspekter som kunde identifieras från Jacks svar, var nollans betydelse och innebörden av decimaltecknet. Frågorna som Jack ställde kring decimaltecknet och nollan visade att han eventuellt inte förstått innebörden av nollans funktion och decimaltecknets innebörd. Han var osäker om nollan skulle finnas med i talet men valde att skriva ut den ändå. Genom att skriva ut nollorna visade Jack att han delvis hade förstått nollans funktion som en platshållare. Däremot, när han besvarade de två sista frågorna kunde han inte förklara nollans funktion.
Nedan visas hur Lisa valde att lösa uppgiften och besvarade intervjufrågornorna.
Uppgift d) (202,02) Lisa: Inga tusental, 2 hundratal, ska jag skriva en nolla där? (frågar Lisa) I: Du gör som du vill.
Lisa: Då skriver jag en nolla, 2 ental, noll tiondelar och två hundradelar. I: Titta på talet 9705,50. Vilken funktion har nollorna i talet?
Lisa: Den andra nollan måste inte vara där (pekar på nollan i hundradelspositionen). Tar vi bort den så påverkas inte värdet. Men om man tar bort den första nollan blir talet 975,5 istället för 9705,5. I: Du var lite osäker tidigare, när du skulle skriva ut nollan eller inte, hur tänkte du då?
Lisa: Jag tänkte att nollan finns ju med i talet så jag måste skriva ut den.
Lisas förståelse av nollans funktion skilde sig i jämförelse med Jacks. Båda Jack och Lisa ställde liknande frågor i början av intervjun, dock kunde Lisa förklara nollans funktion med specifika exempel i fråga om vad nollan tillför i ett tal. Detta visade på att Lisa har en skild förståelse av nollans funktion i jämförelse med Jack som inte kunde förklara innebörden av nollan i uppgiften.
20 Fatima visade på ett tredje sätt att lösa uppgiften och besvara på intervjufrågorna.
Uppgift d) (202,02) Fatima: Det finns inga tusental, men det finns två hundratal, dock inga tiotal, inga tiondelar och det finns två hundradelar.
I: Vilken funktion har nollorna i de olika talen? Fatima: I talet 202,02 finns det två nollor. I: Ja, det stämmer.
Fatima: Nollan har en funktion för att den är efter en siffra, skulle vi ta bort nollorna blir talet 22,2 som är fel.
I: Jag blir lite fundersam. Du valde ändå att inte skriva ut nollan när du skrev talet 202,02 i uppgiften. Hur tänkte du då?
Fatima: Jag tänkte att den inte skulle finnas med eftersom den inte finns. I: Men då står det ju 22,2 istället för 202,02.
I: Var uppgiften otydlig?
Fatima: Nej, jag tänkte att i detta fall betyder noll ingenting.
I. Om du kollar på talet 9705,50 den sista nollan har den någon betydelse?
Fatima: När det är efter ett decimaltecken har nollan ingen betydelse (0,1 och 0,100). Om nollan kommer innan decimaltecken så har det betydelse. Den fyller då upp en tom position.
Fatima: Nollan har en betydelse! (utryckte Fatima bestämt).
Fatima hade till skillnad från både Jack och Lisa uppfattat att nollan har en stor betydelse. Hon har insett nollans betydelse i det decimala talsystemet och kunde även förklara nollans funktion i uppgiften. Hon beskrev även att beroende på vilken talsortsposition nollan placeras ut på fyller den en tom position. Vidare beskrev även Fatima att hon förstod aspekten; om det finns fler decimaler i ett tal, innebär det inte att talet är värdemässigt större. Fatima beskrev att oändligt många nollor kunde placeras ut i talet, med förutsättning att nollorna hamnar efter decimaltecknet och efter den sista talsorten med ett värde. Fatima beskrev även att ordet noll i uppgiften kunde likställas med den språkliga aspekten att noll inte betyder någonting. Uppgiftsbeskrivningen om talsorten inte finns med i talet lämna rutan tom, kunde ha påverkat hennes tankegång vid lösandet av uppgiften.
5.3 Beräkningar
Uppgift 9 på arbetsblad 1 (bilaga 1) behandlade elevernas förmåga att kunna utföra beräkningar med tal skrivna i decimalform. De uppgifter som eleverna skulle räkna ut var följande:
21 9d) 0,46 + 0,04 9f) 0,65 + 0,65 9g) 0,98 + 0,03
9h) 9,8 + 1,02
Uppgift 9d) 0,46 + 0,04 var det fyra elever av 17 som beräknade fel. Fatima löste uppgiften och svarade att 0,46 + 0,04 = 50. Hon skrev varken ut nollan eller decimaltecknet. Dock hade hon beräknat operationen rätt på ett annat papper, så hennes felaktiga svar gick att räknas bort som ett slarvfel. Lisa visade även ett liknande slarvfel. De andra två eleverna Jack och Klara löste uppgifterna på skilda sätt. Jack löste uppgiften med 0,46 + 0,04 med svaret 0,49, vilket kunde antyda att han kanske inte insåg de strukturella sambanden i det decimala talsystemet. Klara visade däremot ett skilt sätt att lösa uppgiften. Figur 7 förtydligar hur hon löste uppgiften.
Figur 7 Hur Klara valde att beräkna uppgift 9d
Figuren visar att Klara hade i detta fall förväxlat talen 0,04 och 0,40. Det felaktiga svaret kunde eventuellt baseras på en felaktig använd av algoritmuppställning. Detta kan antyda att Klara möjligen inte uppfattade platsvärdet i de olika talsorterna eller var ouppmärksam vid algoritmuträkningen. En annan elev, Ellen, beskrev hur hon löste uppgiften enligt följande;
I: Hur tänker du när du löser uppgiften 0,46+ 0,04?
Ellen: Då behöver man bara ta 4+4 eftersom det är bara en nolla där…. Det blir i alla fall ...(paus) … Nej vänta! ... de blir 0,5 eftersom 0,4 + 0,0 är 0,4 men 0,06+0,04 blir en… en helt ny
övergång. Svaret blir 0,50.
Genom Ellens beskrivning synliggjordes det att hon i denna uppgift har en förståelse kring aspekterna om platsvärde och nollans funktion. Till skillnad från Ellens beskrivning beskrev Hanna att hon löste uppgiften med ett annat tillvägagångsätt. Hon svarade att: ”det finns inga ental så jag tog 46 + 4 och det blir 50. Svaret blir alltså 0,50 (Hanna). Både Ellen och Hanna har genom sina resonemang visat att de har förstått att platsvärdet i tiondels och hundradelspositionen skiljer sig åt. Ellen uppfattade platsvärdet i de olika talsorterna
22 (hundradel och tusendel) och valde att addera dem. Hannas tillvägagångsätt skiljde sig från Ellen och hon valde att bortse från nollan och beräkna 46 + 4.
Uppgift 9f) 0,65 + 0,65 = 1,3 var det fyra av 17 elever som svarade fel på uppgiften. Cesar löste uppgiften och svarade att 0,65 + 0,65 = 0,130. Detta kan tolkas att Cesar inte har uppfattat de olika talsorternas platsvärde. Eleven hade i detta fall valt att beräkna operationen 65+65 och kommit fram till att det blir 130. Dessutom hade Cesar möjligtvis inte förstått var han skulle placera ut decimaltecknet. Tre andra elever visade att de löste uppgiften på linkande sätt som Cesar. Dessa tre elever valde att endast svara 0,65 + 0,65 = 130. Nedan visas hur Cesar resonerade vid lösandet av uppgiften;
I: Hur tänkte du när du beräknade operationen 0,65 + 0,65. Cesar: 0.65 + 0,65: denna var lite svår.
I: Den kan vara svår.
Cesar: Är inte det 120 (60+60)? Då blir det 130 (skriver 0,130).
Både Cesar och Hanna valde att bortse från decimaltecknet och att se operationen som en heltalsoperation. När de sedan var klara med beräkningen av operationen valde Hanna att placera decimaltecknet mellan 1 och 3 (1,3) till skillnad från Cesar som placerade decimaltecknet före talet (0,130). Hanna beskrev att ” Jag tog 65 + 65 och det fick jag till 120. Nej 130 och då blir det 1,3 men man kan skriva ut en nolla om man vill. Den är dock inte värd något” (Hanna). Genom Hannas beskrivning gick det att identifiera att hon möjligtvis har uppfattat aspekten om decimaltecknet betydelse och platsvärde i de olika talsorterna. Cesar, som svarade 0,130 visade följaktligen att han eventuellt inte hade uppfattat dessa aspekter.
Uppgift 9g) 0,98 + 0,03 var det sex av 17 elever som svarade fel på uppgiften. Dessa fel gick att tematisera i tre olika teman. Den första temat visades samma fel som Cesar visade under uppgift 9f. Svårigheten som Gabriel, Jack och Cesar visade gick att koppla till att de eventuellt inte förstod decimaltecknets betydelse och platsvärdet i talsorterna. Det korrekta svaret på operationen 0,98 + 0,03 är 1,01. De olika elevsvaren var följande; Cesar 0,101, Jack och Lisa svarade 101. Resterande tre elever svarade 1,1. De tre visade svårigheterna kan alla kopplas till platsvärde, nollans betydelse som en platshållare samt innebörden av decimaltecknet. Under intervjuerna synliggjordes två skilda sätt att lösa uppgiften. Ellen beskrev hur hon har tänkt vid genomförandet av operationen enligt följande:
23
I: Beskriv hur du tänker när du löser uppgiften.
Ellen: 0,98+0,03 då blir det ju bara 0+0 men eftersom 98+3 blir mer än hundra så blir det ju 1,1 eller 1,01.
I: Då ska vi se, du tänker … hm. Jag får inte hjälpa dig, men om du resonerar vad det står om du lägger ihop talet.
Ellen: Då blir det 101.
I: Om du bara räknar på platserna (talsorter för sig själv). Då måste du flytta över tiondelen till heltalen.
Ellen: Så då blir det 1,1 I: 1,01 skulle jag få det till
Ellen: Aa juste! .. nu förstår jag tiondelsplatsen blir ju tom efter 9.
Ellen valde att addera 98 + 3 som blev 101. Ellen uppvisade en osäkerhet om var hon skulle placera ut nollan och visste inte om svaret skulle bli 1,1 eller 1,01. Däremot beskrev Fatima att: ”Jag behöver inte räkna med nollan 98 + 3 = 101 och nu sker det en växling och jag flyttar över ettan till nästa talsort” (Fatima). Fatima som även svarade rätt på uppgiften resonerade om nollans funktion och talsorternas platsvärde, vilket kan i sin tur antyda att Fatima hade uppfattat dessa aspekter.
Uppgift 9h) 9,8 + 1,02 = 10,82 svarade åtta elever av 17 fel. Eleverna visade två separata svårigheter. Den första gruppen på 6 elever löste operationen 9,8 + 1,02 med svaret 11. Eleverna visade svårigheter med uppgiften genom att beräkna 0,8 + 0,02 fel. Eleverna hade eventuellt i detta läge inte uppfattat att åttan i 0,8 står i tiondelspositionen medan tvåan i 0,02 står i hundradelspositionen. Detta kan tyda på att eleverna inte förstod de olika positionernas platsvärde. Den andra gruppen av elever som svarade fel löste uppgiften på ett annat sätt valde att besvara operationen 9,8 + 1,02 med svaret 10. Dessa två elever visade att de inte uppfattade platsvärdet i tal skrivna i decimalform. På den här uppgiften fanns det många elever som såg svaret direkt. Dennis valde dock att lösa uppgiften med hjälp av uppställning. Nedan visas hur Dennis löste uppgiften och besvarade intervjufrågorna;
I: Hur tänker du när du beräknar 9,8 +1,02.
Dennis: Jag gör en uppställning. Man kan alltid lägga till en nolla efter ett komma I: Varför gör du det?
Dennis: Jag vill att alla talsorterna hamnar på rätt ställe och att jag inte räknar fel. Dennis: Svar 10,82.
24 Dennis visade en viss osäkerhet i uträkningen och för att vara på den säkra sidan valde han att ställa upp operationen. Han resonerade att det inte spelade någon roll om han lägger till en nolla på hundradelspositionen på talet 9,8. Han ville att talsorterna ska hamna på rätt ställe så att han inte räknar fel. Med hjälp av resonemanget gick det att tolka som att Dennis eventuellt hade insett aspekten av nollan betydelse. Ett ytterligare skilt sätt att lösa uppgiften var Hannas. Hon insåg att decimalerna 0,8 och 0,02 har olika platsvärde. Hon sa att: ”9,8 + 1,02: först tog jag 1+9 och det är 10, 82 eftersom de är olika talsorter slog jag bara ihop talet” (Hanna). Med hjälp av hennes beskrivning kunde det antydas att hon eventuellt hade förståelse av platsvärdet i det decimala talsystemet.
25
6. Diskussion
Följande kapitel diskuterar metodvalet och resultatet i förhållande till vad tidigare forskning har kommit fram till. Vidare diskuteras även studiens relevans för professionen och förslag till fortsatta studier ges.
6.1 Metoddiskussion
Metoden kvalitativa intervjuer i kombination med arbetsblad bidrog till att studiens syfte och frågeställningar kunde besvaras. Empirin som samlades in genom arbetsblad 1 gav möjlighet att behandla frågeställningen samt att begränsa urvalet av frågor och elever till de efterföljande intervjuerna. De semistrukturerade intervjuerna bidrog till mer djupgående samtal med eleverna som intervjuades, vilket medförde att studiens frågeställning kunde behandlas. Användandet av två separata datainsamlingsmetoder säkrade studiens validitet jämfört med om bara en metod hade använts. Ifall studien skulle ha genomförts med en kvantitativ forskningsansats med enbart en enkät, hade det blivit svårt att urskilja de olika tillvägagångsätten som eleverna löste uppgifterna på. Studien hade då begränsats och haft problem att identifiera skillnaderna från elevsvaren. Förvisso skulle det vara möjligt att genomföra en liknande studie med enbart enkät. Under dessa förutsättningar skulle mer data behöva samlas in med exempelvis en enkät med öppna frågor, för att sedan analysera och identifiera de olika tillvägagångsätten.
Svagheter med metodvalet var att eleverna genom arbetsblad 1 fick reda på vad studien efterfrågade. Frågeställningarna i arbetsblad 1 och 2 kunde även ha påverkat hur eleverna besvarade uppgifterna. Beroende på hur eleverna uppfattade vad de i uppgiften förväntades göra kunde de besvara frågorna på skilda sätt, vilket i sin tur kan leda till ett missvisande resultat. En annan svaghet med metodvalet var att urvalet av elever för intervjuerna baserades på hur de presterade på arbetsblad 1. Detta kan i sin tur ha bidragit till att studien blev riktad och alla elevers kunskaper om det decimala talsystemet inte togs tillvara på. Under veckorna som studien pågick arbetade eleverna med tal skrivna i decimalform, under den ordinarie matematikundervisningen. Detta bidrog till att vid intervjutillfället hade eleverna fått mer undervisning och en säkerligen ökad förståelse av tal skrivna i decimalform. Det fanns även andra faktorer som exempelvis elevernas dagsform som kan ha påverkat resultatet. Min egen tolkning av elevintervjuerna hade eventuellt influerats av den tidigare inlästa forskningen vilket kunde påverkat framställningen av resultatet.
26 Resultatet har visat att det genom elevbeskrivningar gick att identifiera flertalet olika sätt eleverna löste de olika uppgifterna på. Genom inslag av kvalitativ innehållsanalys gick det att identifiera de olika tillvägagångsätt som eleverna beskrev när de löste uppgifter som behandlar det decimala talsystemet.
I denna studie konstruerades ett arbetsblad (bilaga 1) som testade eleverna utifrån vad tidigare forskning beskrev som svårigheter eller aspekter kring det decimala talsystemet. Om arbetsbladen (bilaga 1 och 3) inte skulle ha varit centrala i studien, hade det eventuellt medfört att andra elevsvårigheter och tillvägagångsätt eventuellt hade kunnat identifieras. Det är först när en aspekt eller svårighet hamnar i relation till elevers kunskaper som det är möjligt att identifiera olika tillvägagångsätt som elever kan visa. Denna studie har med hjälp av en kvalitativ innehållsanalys försökt att identifiera kvalitativt skilda tillvägagångsätt som eleverna löste uppgifter på.
Studien som har undersökt 17 elevsvar och 10 elevintervjuer skapade en översikt över elevers kunskaper om det decimala talsystemet i en skola. Således kan resultatet inte generaliseras och inga generella slutsatser kan dras från studien. Däremot bidrar studien med en värdefull kunskap kring hur elever tolkar och förstår tal skrivna i decimalform. 6.2 Resultatdiskussion
I det första temat av resultatet, storleksordning av tal skrivna i decimalform visade eleverna varierande kunskaper som gick att relatera till platsvärdet i det decimala talsystemet. Moskal & Magone (2000) har framställt tre skilda svårigheter med det decimala talsystemet. De två första svårigheterna behandlade strukturen och platsvärdet i talsystemet. De elever som svarade fel på frågan hade eventuellt inte en förståelse av platsvärde i det decimala talsystemet (Dietrich et al., 2016; Moskal & Magone, 2000; Ross, 1989). Den tredje svårigheten som eleverna i studien visade behandlade decimaltal. Eleverna som svarade fel insåg förmodligen inte att ett decimaltal kan ha ett större värde, även om det innehåller färre siffror exempelvis talen 0,2 och 0,123. Denna typ av uppfattning har tidigare forskning (Moskal & Magone, 2000; Steinle & Stacey, 1998) benämnt som: longer is larger. Med detta menas att elever ser ett decimaltal med fler decimaler som värdemässigt större än ett tal med färre decimaler.
27 Under temat storleksordning av tal skrivna i decimalform visades två sätt att lösa uppgiften. När eleverna skulle storleksordna tal skrivna i decimalform beskrev Alex att han efter ett tag hittade ett mindre tal. Med hjälp av elevens beskrivning och att han visade en självsäkerhet när han löste uppgiften, kan det antas att han förstod platsvärdet i det decimala talsystemet. Tidigare forskning (Howe, 2019; Sackur-Grisvard & Lenoard, 1985; Thomas, 2004) har beskrivit att elever behöver förstå platsvärdet i det decimala talsystemet. Hansson (2019) skriver om nollans funktion som en platshållare för en tom position. Genom Alex resonemang gick det även att antyda att han har haft förståelse av nollans betydelse i uppgiften. När Jack löste uppgiften framkom det att han antog att talet 0,017 var värdemässigt större än talet 0,07. Detta kan antydas att Jack har en skild uppfattning gentemot Alex som resonerade annorlunda. Att se ett tal med många decimaler, exempelvis att talet 1,0121 som värdemässigt större än tal skrivna med få decimaler 1,1 är en aspekt som kan vara svår för elever (Sackur-Grisvard & Lenoard 1985; Steinle & Stacey, 1998).
De kvalitativt skilda sätten mellan Jacks och Alexs tillvägagångsätt att lösa uppgiften gick att sammanställa enligt följande: Alex har genom sitt resonemang och beskrivning av hur han löste uppgiften visat på en förståelse av platsvärdet och nollans betydelse. Jack visade däremot inte samma förståelse. Hans beskrivning om tal skrivna i decimalform tyder på att han eventuellt inte i denna kontext förstår det som Steinle och Stacey (1998) kallar för longer is larger. Tyvärr räcker inte elevernas resonemang för att kunna dra slutsatsen om att de har insett innebörden av nollans betydelse, eftersom fler test behöver göras för att kunna säkerställa resultatet. Eftersom det tog en stund innan Alex hittade det minsta talet anser jag att lärare behöver uppmärksamma liknande beteende hos sina elever. Eleverna behöver få tid på sig att besvara liknande frågor. Matematikläraren behöver dessutom anpassa undervisningen på ett sådant sätt att eleverna som genomför ett test eller arbetsblad får den tid de anses behöva (Skolverket, 2019).
I det andra temat av resultatet gick uppgiften ut på att skriva ut de olika talsorterna i talet 202,02. Det förekom två skilda sätt hur eleverna i studien valde att lösa uppgiften. Det ena sättet var att eleverna inte placerade ut nollorna. Eleverna visade även en osäkerhet om decimaltecknet skulle skrivas ut eller. Under de uppföljande intervjuerna identifierades tre skilda sätt eleverna löste uppgiften på.
28 När Jack skulle lösa uppgiften var han tvungen att fråga om han skulle ta med ett decimaltecken och om nollan skulle vara med. Elevens osäkerhet kring nollans funktion och om han skulle skriva ut decimaltecknet kan det antydas att han inte har förstått de aspekter som berör nollans funktion och decimaltecknet (Hansson, 2019; Howe, 2019; Kiselman & Mouwitz, 2008; Ross, 1989). När en annan elev, Lisa, skulle svara på frågan om nollans funktion i talet 9705,50 visade att hon löste uppgiften på ett annat sätt gentemot Jack. Med hjälp av specifika exempel på vad nollan har för funktion uppvisade Lisa att hon känner till nollans funktion som platshållare i en tom position. Tidigare forskning har beskrivit nollans funktion som en platshållare för en tom position (Hanson, 2019; Howe, 2019). Fatima beskrev att noll i uppgiften betyder ingenting och löste uppgiften genom att inte skriva ut nollorna i talet. Tidigare forskning (Mårtensson, 2015; Resnick et al., 1989; Steinle, 2004) har beskrivit att språkliga aspekter kan bidra med hur elever svarar på uppgifter. Beroende på hur en elev väljer att utläsa talen kan eleven få en annan tolkning av uppgiften. Således har Fatima eventuellt uppfattat nollan i uppgiften som ingenting, vilket stämmer överens med de aspekter om språket som tidigare forskning skriver om (Mårtensson, 2015; Resnick et al., 1989; Steinle, 2004).
Matematiklärare behöver i sin undervisning vara uppmärksamma på när eleverna löser uppgifter. Genom att vara mer observanta på hur elever väljer att lösa uppgifter, kan lärare synliggöra elevernas kunskaper om nollans funktion. Matematiklärare behöver även ta hänsyn till uppgifters konstruktion och hur uppgifter kan tolkas av eleverna. Detta kan användas för att kunna stötta eleverna utifrån deras egen förmåga (Skolverket, 2019). De kvalitativa likheterna mellan eleverna Jack, Lisa och Fatima kan sammanställas med att alla tre gav intryck av att ha kunskaper kring aspekten om nollans funktion. Skillnaderna mellan de tre var att Fatimas beskrivning stämde mer överens mot den tidigare forskning som har skrivit om nollans betydelse, platsvärde och språkets betydelse (Hanson, 2019; Howe, 2019; Mårtensson, 2015; Resnick et al., 1989; Steinle, 2004). Jack och Lisa visade att de till viss del kände till nollans funktion som en platshållare för en tom position. Deras beskrivning kan antyda att de har förstått principen om nollan funktion, dock visar resultatet att de eventuellt inte befäst kunskaperna i denna nya kontext.
I det tredje temat av resultatet framgick det att eleverna löste uppgifterna med skilda tillvägagångsätt. Vissa elever besvarade operationen 0,98 + 0,03 på ett annat sätt jämfört med resten av urvalsgruppen. De olika tillvägagångsätten eleverna använde sig av vid
29 lösandet av uppgiften relaterade till att eleverna inte hade förstått aspekterna om platsvärde eller decimaltecknets betydelse. Tidigare forskning har identifierat att ifall elever inte har tillräckliga kunskaper om platsvärde, decimaltecknet och strukturen i det decimala talsystemet, kan det innebära att de utför felaktiga beräkningar (Cady, Hopkins & Price, 2014; Howe, 2019; Kiselman & Mouwitz, 2008; Thomas, 2004). I en annan uppgift behövde eleverna beräkna 9,8 + 1,02 = 10,82. I uppgiften svarade åtta elever fel. Det framgick att några elever adderade ihop de olika talsorterna tiondel och hundradel, men insåg inte att tiondelar och hundradelar har olika platsvärde. Genom elevernas felaktiga svar kunde det antydas att eleverna inte hade tillräckliga kunskaper om platsvärdet och strukturen i det decimala talsystemet (Ross, 1989; Sackur-Grisvard & Lenoard, 1985). En elev (Dennis) valde att utföra beräkningen med uppställning. Han resonerade att han kunde lägga till en nolla i slutet på talet 9,8 utan att det förändrar talets värde, vilket kan antydas att han har uppfattat nollans funktion i uppgiften (Hanson, 2019; Howe, 2019).
Mot denna bakgrund kunde det sammanställas att eleverna i studien löste uppgifterna med hjälp av deras kunskaper om det decimala talsystemet. Dessa kunskaper varierade och därav har elevernas beskrivningar av hur de har löst de olika uppgifterna varierat. Detta medgav i sin tur att jag betvivlade Sackur-Grisvard och Lenoard (1985) tankemodell med de fyra stegen till en utveckling av förståelse för tal skrivna i decimalform. Den insamlade data har visat fler skilda tillvägagångsätt när elever löser uppgifter kopplade till tal skrivna i decimalform. Därav ifrågasätter jag huruvida Sackur-Grisvard och Lenoard (1985) tankemodell kan avvändas rakt av för att kategorisera elevers förståelse om tal skriva i decimalform.
6.3 Avslutande ord
Denna studie avsågs att få en djupare förståelse kring elevers kunskaper om det decimala talsystemet. Resultatet av studien kan sammanfattas till att de aspekter och svårigheter som tidigare forskning beskrev, har även uppvisats i denna studie. Studien kommer att bidra matematiklärare med information med hur elever löser uppgifter kopplade till tal skrivna i decimalform. De olika tillvägagångsätten som eleverna i studien beskrev, kan påträffas enligt skribentens erfarenhet i flera klassrum runt om i landet. Enligt Skolverket (2019) ska matematikundervisningen under skolåren 4–6 behandla tal i decimalform. Skolan ska även erbjuda elever varierad en undervisning där diverse olika matematiska innehåll behandlas (Skolverket, 2019). Med hjälp av denna studie kan matematiklärare få insikter
30 om viktiga aspekter i det decimala talsystemet som eleverna behöver få syn på. När matematiklärare har tagit reda på vilka kunskaper om det decimala talsystemet eleverna har, kan denne planera och genomföra undervisning som behandlar de olika aspekterna i det decimala talsystemet. Undervisningen ska se till att stötta och utmana alla elever på deras nivå (Skolverket, 2019). Ett sätt att göra det är att anpassa undervisningen till elevers visade kunskaper. Kommentarmaterialet i ämnet matematik skriver att elever bör möta tal skriva i decimalform i vardagsnära situationer (Skolverket, 2017). Undervisning om tal skrivna i decimalform inom matematiken är en komplex historia där matematiklärare behöver använda sig av olika metoder och strategier. Utöver detta behöver även läraren ge eleverna tid och mängdträning till att befästa den nya kunskapen. Ett lärande möjliggörs först när en matematisk princip bearbetas av elever. Ytterligare forskning skulle exempelvis kunna vara att genomföra en jämförande studie mellan skolåren 4 och 6, där syftet kan vara att undersöka elevers förståelse av tal skrivna i decimalform.
31
Referenser
Bryman, A. (2018). Samhällsvetenskapliga metoder. (tredje upplagan). Liber.
Cady, J. A., Hopkins. T. M., & Price, J. (2014). Impacting Early Childhood Teachers ́
Understanding of the Complexities of Place Value. Journal of Early Childhood Teacher
Education. 35(2), 79-97.
Hansson, H. (2019). Betydelsen av att variera innehållsliga aspekter för yngre elevers
lärande av platsvärde. Forskning om undervisning och lärande, 7(3), 48–74.
Howe, R. Learning and using our base ten place value number system: theoretical
perspectives and twenty-first century uses. ZDM Mathematics Education 51, 57–68
(2019).
Kiselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. NCM och Göteborgs Universitet.
Kvale, S. & Brinkmann, S. (2014). Den kvalitativa forskningsintervjun. (Tredje [reviderade] upplagan). Studentlitteratur.
Kullberg, A. (2004). Tal, delar och oändlighet. En studie om avgörande skillnader i
undervisning och lärande om decimaltal. Numbers, parts and infinity. A study about differences in teaching and learning about decimal numbers: Institutionen för pedagogik
och didaktik, Department of education, Göteborg university.
Larsson, S., (1986) Kvalitativ analys - exemplet , Studentlitteratur.
Larsson, S. (2005) Om kvalitet i kvalitativa studier. Nordisk Pedagogik, s.16–35. McIntosh, A. (2008). Förstå̊ och använda tal: en handbok (1. uppl.). Nationellt centrum för matematikundervisning NMC, Göteborgs universitet.
Moskal, B., & Magone, M. (2000). Making Sense of What Students Know: Examining the
Referents, Relationships and Modes Students Displayed in Response to a Decimal Task. Educational Studies in Mathematics, 43(3), 313-335.
32 Mårtensson, P. (2015). Att få syn på avgörande skillnader. Lärares kunskap om
lärandeobjektet. (Doktorsavhandling) Jönköping, Sverige: School of Education and
Communication, Jönköping University.
Parmar, R., & Larsson, J. (2020). Platsvärde i det decimala talsystemet: en
litteraturstudie om hur platsvärde förhåller sig till addition och hur undervisning kan genomföras kring det decimala talsystemet
http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:hj:diva-49289
Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., & Peled, I. (1989).
Conceptual basis of arithmetic errors: The case of decimal fractions. Journal for
Research in Mathematics Education, 20, 8-27.
Ryen, A., & Torhell, S. (2004). Kvalitativ intervju: från vetenskapsteori till fältstudier (1. uppl.). Liber ekonomi.
Skolverket. (2017). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik (reviderad 2017). Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011:
reviderad 2019. (Femte upplagan). Stockholm: Skolverket.
Sackur-Grisvard, C., & Leonard, F. (1985). Intermediate cognitive organization in the process of learning a mathematical concept: The order of positive decimal numbers.
Cognition and Instruction, 2, 157-174.
Steinle, V., & Stacey, K. (1998). The incidence of misconceptions of decimal notation
amongst students in grades 5 to 10. In C. Kanes, M. Goos & E. Warren (Eds.), Teaching
25 mathematics in new times (Proceedings of the 21st annual conference of the
Mathematics Education Research Group of Australia, pp. 548-555). Brisbane, Australien: MERGA.
Steinle, V. (2004). Detection and remediation of decimal misconceptions. In B. Tadich, S. Tobias, C. Brew, B. Beatty, & P. Sullivan (Eds.), Towards excellence in mathematics (pp. 460–478). Brunswick: The Mathematical Association of Victoria
33 Thomas, N. (2004). The Development of structure in the number system. In M. J. Hoines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th annual conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 305–312). Bergen, Norway: Bergen University College.
