Huvudet är det enda redskap vi alltid bär med oss - en studie kring huvudräkningsstrategier i skolår fem

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

15 högskolepoäng Grundnivå

Huvudet är det enda redskap vi alltid

bär med oss

- En studie kring huvudräkningsstrategier i skolår 5

Our mind is the only tool we always carry

around

- A study on computational skills in year 5

Emelie Pamp

Lotta Sjölund

Lärarexamen 210hp Handledare: Ange handledare

Matematik och lärande Slutseminarium 2010-11-08

Examinator: Eva Riesbeck

3

Sammanfattning

Syftet var att undersöka vilka huvudräkningsstrategier några elever i skolår fem använde sig utav, om eleverna är konsekventa i val av metod, om läraren undervisat i huvudräkningsstrategier och om eleverna lättare löser uppgifter som är satta i ett sammanhang. För att ta reda på vilka huvudräkningsstrategier eleverna använde gjorde vi kvalitativa intervjuer med nio elever samt deras lärare. Undersökningsmaterialet bestod av sex additions- och subtraktionsuppgifter varav två var benämnda uppgifter. Resultatet visade en positiv bild där majoriteten av eleverna inte uppvisade några större svårigheter vid lösning av uppgifterna. Eleverna var i stort sett konsekventa i val av lösningsmetod vilket i vissa fall kunde ställa till problem med glömda minnessiffror samt hopblandning av räknesätten. Generellt visar vår studie att eleverna undersökningen omfattar hade en god taluppfattning.

Nyckelord: addition, huvudräkning, matematik, skolår 5, strategier, subtraktion,

5

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 7

2 Syfte och problemställning ... 8

2.1 Syfte ... 8

2.2 Problemställningar ... 8

3 Litteraturgenomgång ... 9

3.1 Huvudräkning ... 9

3.2 Varför huvudräkning? ... 10

3.3 Samtal som lärotillfälle ... 11

3.4 Styrdokument och kursplaner ... 13

3.5 HÖJMA – projektet ... 15 3.5.1 Resultat av HÖJMA ... 15 3.6 Skriftlig huvudräkning ... 16 3.7 Taluppfattning ... 17 3.8 Addition ... 18 3.8.1 Huvudräkningsstrategier – addition ... 18 3.9 Subtraktion ... 19 3.9.1 Huvudräkningsstrategier – subtraktion ... 20 3.10 Räknelagar ... 20

3.11 Svårigheter vid addition och subtraktion ... 21

4 Metod ... 22 4.1 Val av metod ... 22 4.2 Urval ... 23 4.3 Forskningsetik ... 23 4.4 Val av uppgifter ... 24 4.5 Genomförande av undersökning ... 25 4.6 Analysmetod – elevresultat ... 26 4.7 Diskussion av metod ... 27 5 Resultat ... 28 5.1 Lärarintervju ... 28

5.1.1 Lärarens svårighetsanalys av uppgifterna ... 29

5.2 Elevernas använda huvudräkningsstrategier ... 30

5.2.1 Är eleverna konsekventa i val av metod? – En jämförelse mellan uppgift 3 och uppgift 6 ... 34

6

6 Diskussion ... 36

6. 1 Diskussion av problemställningar ... 36

6.1.1 Är eleverna konsekventa i val av metod eller är metoden beroende av uppgiftens utformning? ... 36

6.1.2 Är subtraktionsuppgifterna svårare för eleverna att lösa än vad additionsuppgifterna är? ... 37

6.1.3 Har eleverna lättare eller svårare att lösa en uppgift som är satt i ett sammanhang – benämnd uppgift? ... 38

6.1.4 Använder eleverna sig av de strategier läraren undervisat dem i? ... 40

6.2 Jämförelsediskussion kring uppgift 3 och uppgift 6 ... 40

6.3 Slutsats ... 42

6.4 Vidare forskning ... 42

7 Referenser ... 44

7

1 Inledning

Många forskare anser att det tränas för lite huvudräkning i skolorna (Hedrén, 2000). Under vår lärarutbildnings gång har det vid flertalet tillfällen påpekats hur viktigt det är att eleverna kan använda sig av matematiken i vardagssituationer. Många elever har bristande kunskaper i huvudräkning och kan således inte använda sig av huvudräkning för att förenkla vardagslivet (Malmer, 2002).

Under 1990-talet när vi själv gick i grundskolan har vi båda minnen av att det inte skedde någon direkt undervisning i huvudräkningsstrategier. Det enda vi minns av huvudräkning är multiplikationstabellen och den hade vi i läxa med ett skriftligt förhör på tid. Övrig matematikundervisning skedde enbart genom räkning i matematikboken och genomgång på tavlan vid nya kapitel.

Upplevelserna under vår verksamhetsförlagda tid (när vi varit ute och praktiserat på skolor och förskolor) har skiljt sig mellan perioderna beroende på vilken lärare vi haft som handledare. Generellt sett är matematikundervisningen relativt lik våra egna skolupplevelser. Vi har även sett att vid genomgång av uppgifter får eleverna delge varandra och läraren sina olika strategier och tankesätt.

Anledningen att huvudräkningsstrategier intresserar oss är att vi har sett att en del elever har bristande kunskaper i huvudräkning. Vi vill genom vår undersökning få en djupare förståelse för elevernas strategier och tankesätt vid huvudräkning. Detta för att i framtiden kunna bidra till att våra kommande elever får de bästa förutsättningarna för att utveckla goda huvudräkningsstrategier.

I början av 1980-talet genomfördes en studie vid Högskolan i Jönköping. Studien fick namnet HÖJMA – projektet som står för Högskolan i Jönköping, projekt Matematik. Projektet handlade från början om elevers talbegrepp och taluppfattning, grundhypotesen var ju bättre taluppfattning desto bättre huvudräkningsstrategier. Det visade sig däremot att eleverna hade så pass dåliga metoder vid huvudräkning och projektet omvändes istället till undervisningsproblem vid huvudräkning (Unenge, 1988).

8

2 Syfte och problemställning

2.1 Syfte

Syftet är att kartlägga vilka olika huvudräkningsstrategier och tankar kring dessa som eleverna i en femteklass använder sig av. Vi ska även se om eleverna är konsekventa i val av metod samt om och hur läraren undervisat eleverna i huvudräkningsstrategier. I det fall läraren anser sig ha undervisat sina elever i huvudräkningsstrategier ska vi ta reda på om eleverna använder sig utav de av läraren utlärda strategier. Enligt Unenge (1988) har elever svårare för subtraktion än addition och vi ska undersöka om detta även gäller vår undersökningsgrupp. I HÖJMA – projektet erbjöds eleverna som uppvisade svårigheter vid den aritmetiska uppgiften samma uppgift fast i benämnd form (Unenge, 1988). Vi ska se om eleverna i vår undersökningsgrupp lättare löser exakt samma uppgift om de får den i ett sammanhang och om uppgiften löses på samma sätt som den aritmetiska uppgiften.

2.2 Problemställningar

 Är eleverna konsekventa i val av metod eller är metoden beroende av uppgiftens utformning?

 Är subtraktionsuppgifterna svårare för eleverna att lösa än vad additionsuppgifterna är?

 Har eleverna lättare eller svårare att lösa en uppgift som är satt i ett sammanhang – benämnd uppgift?

9

3 Litteraturgenomgång

Litteraturgenomgången kommer att behandla och presentera relevant forskning och annan litteratur som rör vårt undersökningsområde. Detta för att ge en bakgrund till vår studie.

3.1 Huvudräkning

Huvudräkning är när en person utför beräkningar i huvudet utan hjälp av papper, penna, miniräknare eller övriga hjälpmedel. Det finns olika strategier för huvudräkning och det är viktigt att varje elev hittar sina metoder (Primgruppen, 2000). Kilborn (1991) menar att många lärare anser att det bara finns en bästa metod för att lösa en viss typ av uppgifter. Dessa lärare anser att eleverna bara kan hålla reda på en sak i taget och bör därför endast lära sig en metod. Om eleverna inte förstått ”den bästa metoden” kommer de även glömma bort den då eleverna saknar förståelse för vad de gör. Elever som inte förstår känner sig ofta avskräckta och slutar försöka lära sig genom förståelse och den inre motivationen försvinner (Lester & Lambdin, 2006). En djupare förståelse för det eleverna arbetar med leder till en djupare kunskap, meningsskapande och större engagemang. När detta sker leder det till att eleverna känner en inre motivation att fortsätta lära sig. (Lester & Lambdin, 2006).

Skillnaden mellan huvudräkning och algoritmräkning är att en algoritmberäkning alltid sker på exakt samma sätt oavsett vilka tal som ingår i beräkningen. Vid huvudräkning studeras uppgiften och därefter väljer personen i fråga ut den metod som för tillfället känns enklast för att genomföra beräkningen (Löwing & Kilborn, 2003).

10

3.2 Varför huvudräkning?

”Det är lätt att inse att huvudräkning är det mest grundläggande sättet att räkna på. Huvudet bär man ju alltid med sig.”

(Hedrén, 2001 ss. 142)

Eftersom miniräknaren har fått större plats i matematikundervisningen har räknandet med papper och penna minskat. Detta leder till att vikten av huvudräkning och då främst överslagsräkning ökat. Eleverna måste kunna se rimligheten i svaret då det är lätt att få ett felaktigt svar om man råkar slå in fel siffror eller tecken på miniräknaren (Löwing & Kilborn, 2003).

Huvudräkning bör ses som en väldigt viktig del av matematiken då det är en inkörsport till mer avancerad matematik. Om räknelagar och räkneregler diskuteras har man också lagt en god förståelsegrund för kommande algebraundervisning (Löwing & Kilborn, 2003). Huvudräkningen finns i alla slags beräkningar, exempelvis görs alla delberäkningar i en algoritmuppställning som en enskild huvudräkningsprocess (Löwing, 2008).

Huvudräkningen har många fördelar jämfört med algoritmräkning. Bland annat ger algoritmräkning fler felaktiga svar än vad huvudräkning gör och algoritmer utvecklar inte barns taluppfattning vilket huvudräkning gör (McIntosh, 2006). Om algoritmräkning introduceras för tidigt finns risken att eleverna inte minns alla regler vilket leder att eleverna hela tiden behöver fråga läraren hur de ska göra. Detta leder till att deras fallenhet för ett logiskt resonemang avtar (Ahlberg, 2008). Algoritmräkningen är en snabb väg till svaret och personen i fråga behöver inte förstå vad som egentligen görs. Algoritmräkning uppmanar eleverna att ge upp sitt självständiga tänkande (Clarke, 2006). Om huvudräkning används istället för algoritmer får eleverna en begreppsförståelse vilket leder till att de lättare tar till sig kunskaperna och minns (McIntosh, 2006).

Det finns två typer av förståelse för matematik. Instrumentell förståelse där eleverna lär sig regler för hur de skall räkna utan att förstå varför de gör som de gör och relationell förståelse där eleverna får en djupare förståelse för vad de lär sig och arbetar med. Elever som bara har en instrumentell förståelse och bara använder sig av regler för hur de skall räkna ut en viss uppgift gör lättare fel och kan inte själva hitta felen och förstå varför det blev fel (Skemp, 1976).

11

Ofta befinner vi oss i situationer där vi behöver göra exakta uträkningar, men vi har inte alltid tillgång till papper, penna eller miniräknare. Det är då viktigt att kunna använda huvudräkning eftersom det är den enda metod vi har tillgänglig vid dessa tillfällen (Hedrén, 2001).

3.3 Samtal som lärotillfälle

En amerikansk studie visar en jämförelse mellan två klasser, där den ena undervisats ”traditionellt” medan den andra klassen redan sedan förskolan arbetat mycket med taluppfattning och har diskuterat lösningsmetoder och strategier. Studien visade att eleverna som undervisats traditionellt presterade mycket sämre och var inte lika varierade i sina lösningsmetoder och använde oftast standardalgoritmer. För att utveckla goda huvudräkningsstrategier måste eleverna få tillfälle att diskutera strategier och metoder tillsammans med klasskamraterna och läraren (Carroll, 1996). Även Ahlberg (2007) menar att eleverna måste få möjlighet att göra upptäckten att de kan lära av varandra då många elever tror att det endast finns ett sätt att lösa en uppgift, det sättet läraren visat.

”När barn får ta del av hur kamraterna har löst olika uppgifter påverkas deras förhållningssätt till matematik positivt i flera avseenden.”

(Ahlberg, 2007 ss.33)

Dysthe (2003) menar att det sociokulturella perspektivet har sex centrala aspekter på lärande. Lärandet sker främst genom samarbete i en kontext inte individuellt. De sex aspekterna är:

1. Lärande är situerat

Det är inlärningskontexten som är det centrala.

2. Lärande är huvudsakligen socialt

12

3. Lärande är distribuerat

Varje individs kunskap är värdefull i en grupp och kan således utnyttjas av andra.

4. Lärande är medierat

Verktyg och hjälpmedel är viktiga och tillåtna i lärandeprocesser och utnyttjande av befintlig kunskap.

5. Språket är grundläggande i läroprocesserna

Kommunikation är en förutsättning för människans lärande och utveckling.

6. Lärande är deltagande i en praxisgemenskap

Lärandet pågår ständigt genom deltagande i olika sociala situationer.

Enligt den sociokulturella teorin från Vygotskij är en av de mest betydelsefulla delarna i varje individs intellektuella utveckling när den praktiska aktiviteten och problemlösning sammanlöper med talet. Kunskap uppstår när eleverna lär sig sätta ord och tecken på operationer de just genomfört (Dale, 1998). Den sociokulturella inriktningen där elever lär av varandra och sig själv har sina rötter i Vygotskijs teorier och tankar (Claesson, 2007).

”Det är genom att delta i ett sammanhang, vara i en kontext, som lärandet äger rum.”

(Claesson, 2007 ss 31)

Claesson (2007) menar att inom den sociokulturella inriktningen är det kommunikationen mellan individer och miljön som spelar en stor roll för inlärning av nya kunskaper. Atmosfären i klassrummet är viktig, eleverna måste känna att klimatet är tillåtande och att de bemöts med respekt och att deras frågor tas på allvar (Claesson, 2007).

Hedréns (2000) tolkning av social konstruktivism är att varje elev lär sig i ett sammanhang tillsammans med andra, lärandet är en aktiv process och eleverna lär sig i samspel och dialog med andra. Enligt Hedrén (2000) finns det framförallt tre viktiga budskap inom den sociala konstruktivismen:

1. Eleven kan inte passivt ta emot kunskap. Hon/han skapar eller konstruerar sin egen kunskap. Lärande är en aktiv process.

13

2. Elevens tidigare erfarenheter och tidigare kunskap har stor betydelse vid denna konstruktion.

3. Elevens samspel och dialog med andra är avgörande för hennes konstruktion av ny kunskap.

(Hedrén, 2000 ss 13)

När samtalet används som lärotillfälle är det inte endast eleverna som lär av varandra och läraren, även läraren kan ha stor nytta av elevers kunskaper och tankar kring ämnet (Strandberg, 2006). Även Ernest (1998) framhåller att samtalet är en mycket viktig del för kunskapskonstruktioner och matematiskt medvetande.

3.4 Styrdokument och kursplaner

I läroplanen för det obligatoriska skolväsendet Lpo94 finner vi stöd för utvecklandet av elevers tankesätt, tilltro till det egna tänkandet och förmåga att uttrycka sina tankar. Detta anser vi är viktiga punkter gällande det område vårt arbete behandlar. Här följer en rad viktiga punkter och utdrag ur kursplaner och styrdokument som behandlar delaktighet, lärande och matematisk medvetenhet.

”Skolan skall vara öppen för skilda uppfattningar och uppmuntra att de förs fram. Den skall framhålla betydelsen av personliga ställningstaganden och ge möjligheter till sådana.”

(Utbildningsdepartementet, 2009 ss 4)

”Skolans uppdrag att främja lärande förutsätter en aktiv diskussion i den enskilda skolan om kunskapsbegrepp, om vad som är viktig kunskap idag och i framtiden och om hur kunskapsutveckling sker.”

(Utbildningsdepartementet, 2009 ss 6)

I strävansmålen (Lpo94) beskrivs vid upprepade tillfällen vikten av att elever får möjligheter att skapa sin egen kunskap, utveckla nyfikenhet och lust att lära, utveckla tillit till sin egen förmåga, lära sig arbeta självsändigt och tillsammans med andra, lyssna, diskutera och använda sina kunskaper som redskap för att lösa problem.

14

(Utbildningsdepartementet, 2009). Det är inte enbart i kursplanen för matematik vi finner stöd för att den vardagliga matematiken är viktig utan även i Lpo94. Eleverna skall utveckla sitt matematiska tänkande och kunna använda huvudräkning i vardagslivet. Genom att arbeta med olika arbetssätt får eleven möjlighet att finna egna vägar och metoder och utvecklar då sitt matematiska tänkande (Utbildningsdepartementet, 2009)

Mål att uppnå i grundskolan:

 Eleven behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet

(Utbildningsdepartementet, 2009 ss 10) Läraren skall:

 Svara för att eleverna får pröva olika arbetssätt och arbetsformer

(Utbildningsdepartementet, 2009 ss13)

Vi finner stöd i kursplanen för matematik att det är viktigt att eleverna arbetar med förståelse för matematik och ett matematiskt tänkande.

”Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer (…)”

(Skolverket, 2000) Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven:

- Utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.

- Utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer.

(Skolverket, 2000)

Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret:

- kunna räkna med naturliga tal – i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med miniräknare.

15

3.5 HÖJMA – projektet

I början av 1980-talet genomfördes en studie vid Högskolan i Jönköping. Studien fick namnet HÖJMA – projektet som står för Högskolan i Jönköping, projekt Matematik. Projektet handlade från början om elevers talbegrepp och taluppfattning. Grundhypotesen var ju bättre taluppfattning desto bättre huvudräkningsstrategier. Det visade sig däremot att eleverna hade dåliga metoder vid huvudräkning och projektet koncentrerade sig istället på undervisningsproblem vid huvudräkning (Unenge, 1988). Studien genomfördes i skolår fem och hade fyra grunduppgifter för att undersöka elevernas talbegrepp. Anledningen att så pass enkla uppgifter valdes ut var en teori om att eleverna har en god taluppfattning bör detta märkas i deras sätt att angripa uppgifterna. Även lärare som intervjuades delade denna uppfattning (Unenge, 1988). De fyra uppgifterna som användes i studien var:

1. 25 + 24 2. 39 + 13

3. 26 – 19 4. 401 – 397

Vid osäkerhet i subtraktionsuppgifterna fick eleverna samma problem i form av en textuppgift ställd som ett vardagsproblem. Uppgifterna presenterades både skriftligt och muntligt för eleverna (Unenge, 1988).

3.5.1 Resultat av HÖJMA

Elever som ansågs ”duktiga” lyckades oftast lösa uppgifterna utan större problem men deras metoder var ofta komplicerade eller stereotypa. I första uppgiften visade eleverna inga generella svårigheter medan den andra uppgiften visade sig vara desto svårare. Eleverna hade troligtvis klarat uppgiften om de hade haft tillgång till papper och penna, men utan detta överbelastades deras arbetsminne. I uppgift tre använde sig merparten av eleverna som gav ett felaktigt svar sig av algoritmmetoden vilket ledde till att de blandade ihop vilket ental som skulle subtraheras med det andra. Uppgift fyra blev HÖJMA – projektets mest uppmärksammade uppgift. Majoriteten av eleverna hade

16

mycket svårt att lösa uppgiften, eleverna såg inte att talen låg så pass nära varandra på tallinjen vilket vållade dem problem och många försökte lösa uppgiften genom en algoritmuppställning i huvudet vilket återigen överbelastade arbetsminnet. (Unenge, 1988). Eleverna som inte uppvisade några större svårigheter vid uppgifterna var inte heller sena i att variera sig i sina lösningsmetoder. Dessa elever gav även gärna fler alternativa lösningsmetoder på de olika uppgifterna. Detta ansågs bero på att just dessa elever besatt en mycket god taluppfattning (Unenge, 1988).

Med resultatet av undersökningen fortlöpte arbetet med HÖJMA – projektet till en serie av undervisningsförsök i att stärka elevers taluppfattning och påvisa skillnaderna mellan huvudräkning och algoritmräkning (Unenge, 1988).

3.6 Skriftlig huvudräkning

Skillnaden mellan huvudräkning och skriftlig huvudräkning är att den skriftliga huvudräkningen kännetecknas av att man skriver ner ett eller flera mellanled för att underlätta beräkningen (Rockström, 1991). Fördelarna med skriftlig huvudräkning är att den stärker elevernas taluppfattning, hjälper eleverna att se sambanden mellan räknesätten och ger en förståelse för positionssystemet och likhetstecknets innebörd. Eftersom det inte finns några direkta regler för hur beräkningen skall utföras sporrar detta eleverna att pröva sina egna tankeformer vilket stimulerar deras logiska tänkande, ger ett ökat självförtroende och uppmanar till kreativitet (Rockström, 2000). Trots de många fördelarna med den skriftliga huvudräkningen varnar Löwing & Kilborn (2003) om att man måste vara vaksam så att inte den skriftliga huvudräkningen spårar ur till algoritmräkning.

Definitionen på algoritmräkning är en uppställning som utförs med ett givet mönster (Löwing & Kilborn, 2003). Algoritmräkning passar oftast inte yngre elevers tankesätt då de av naturen är nyfikna och egentänkande. Detta leder till att eleverna upplever matematiken som tråkig (Rockström, 2000).

17

3.7 Taluppfattning

”Med taluppfattning menar vi en persons övergripande förståelse för tal och operationer parat med förmåga, färdigheter och lust att använda denna förståelse på olika sätt som underlag för beslut och för att utveckla användbara och effektiva strategier för att använda tal och operationer. God taluppfattning visar sig ofta i form av en förväntan att tal är meningsfulla helheter och att hanterandet av tal och resultat har betydelse och mening.”

(Reys m fl., 1995 ss. 23)

Malmer (2002) anser att en grundläggande taluppfattning innebär att man behärskar följande områden:

1. Klassificering – att kunna jämföra föremål och se deras likheter och olikheter. 2. Parbildning – ha förmåga att se att två föremål hör ihop.

3. Ramsräkning – kunna rabbla räkneramsan (ett, två, tre och så vidare)

4. Räkneorden i räkneramsan – räkneramsans ord kan urskiljas och får eget innehåll.

5. Antal (kardinaltal) – orden kopplas samman med ett antal (se att det är tre äpplen på bordet utan att behöva ramsräkna från ett).

6. Serial ordning – kunna ordna föremål efter en given egenskap.

7. Räkneorden som mätetal – talen används för att mäta något och måste kombineras med en enhet.

8. Räkneorden som ordningstal – första, andra, tredje.

9. Räkneord som identifikation eller beteckning – förstå innebörden av siffror utan numeriskt innehåll som i telefonnummer eller portkoder.

10. Siffersymboler – att börja skriva siffror.

Till skillnad från Malmer (2002) anser Löwing (2008) att grundläggande taluppfattning är av annan karaktär. Löwing (2008) menar att en grundläggande taluppfattning innefattar att man skall behärska talens ordning och dess grannar, positionssystemet och 10- och 100-talsövergångar, tillämpa de grundläggande räknelagarna, behärska tals uppdelning i termer och faktorer samt kunna arbeta med runda tal, avrundning och avgöra tals storleksordning. En god taluppfattning är en förutsättning för inlärning av matematik (Löwing, 2008).

18

3.8 Addition

Det finns två typer av addition, dynamisk och statisk. Den dynamiska additionen beskriver en ökning. En dynamisk additionsuppgift kan vara utformad på detta sätt ”Du har fem ballonger och får tre till, hur många ballonger har du?”. Den statiska additionen beskriver en sammanläggning av något som ”Du har fem rosa ballonger och tre gröna, hur många ballonger har du?” (Malmer, 1999).

Inom addition finns det fyra didaktiska steg, dessa steg är:

1. ”Uppräkning från början” eller ”räkna alla” – detta steg är det mest grundläggande men även mycket tidskrävande. Det är främst förskolebarn som ägnar sig åt den här metoden.

2. ”Räkna på” – här börjar eleverna räkna upp ifrån det ena talet.

3. ”Kända additionsfakta” eller tabellkunskaper i addition – eleven ”vet” vad svaret blir utan att behöva räkna genom att ha lärt sig additionstabellen.

4. ”Härledda additionsfakta” – genom kunskaper i den lilla och stora additionstabellen kan eleven koppla detta till additioner med högra tal.

(Ljungblad, 2001)

3.8.1 Huvudräkningsstrategier – addition

 Uppräkning – uppräkning kan ske på tre olika sätt. Räkna från början, räkna från första termen eller räkna från största termen. Elever som använder sig av räkna från största termen har även förstått kommutativa lagen (Löwing, 2008).

 Tidigare känd kunskap – är att de drar nytta av tidigare kunskaper och erfarenheter för att göra nya beräkningar (Löwing, 2008)

 Metafor – eleverna får upp bilder i huvudet som bygger på erfarenheter och tidigare händelser (Löwing, 2008).

 Öka här/minska där – är en metod där en utjämning mellan talen sker så att 3+5 blir 4+4 och eleverna kan därifrån räkna med dubblor (Malmer, 2002).

19

 Runda tal – liknande öka här/minska där. Ett lån sker från den ena termen till den andra för att skapa ett runt tal och således blir beräkningen lättare att utföra (Löwing & Kilborn, 2003). Denna metod kallades låtsasmetoden i HÖJMA – projektet där i ett exempel vid beräkning av 24+25 sa eleven: -jag låtsas det står 25+25 men det gör det inte så det blir ett mindre (Unenge, 1988)

 1010-metoden – hundratalen, tiotal och ental beräknas var för sig som ett mellanled och adderas sedan (Hedrén, 2000).

 N10-metoden – eleven bygger upp en tallinje i huvudet och ”hoppar” i tiotalen och sedan entalen exempel 32+21=32+10+10+1 (Hedrén, 2000).

3.9 Subtraktion

Det finns två sorters subtraktion, dynamisk och statisk. I dynamisk subtraktion görs en minskning eller en borttagning något som i följande exempel ”Du har fem ballonger tre smäller, hur många har du kvar?”. Den statiska subtraktionen är ett resultat av en jämförelse som i uppgiften ”En pojke har fem ballonger och en flicka har tre ballonger, hur många fler ballonger har pojken?”. (Malmer, 2002).

Inom subtraktionen finns det fem didaktiska steg:

1. Separera, lägga till eller parbilda – I detta första steg arbetar elever med konkret material för att lösa problemuppgifter med vardagsanknytning.

2. Räkna bakåt eller räkna till måltalet – Eleven väljer omedvetet strategi (uppåt räkning eller neråt räkning) utefter hur problemet upplevs. Eleven kan uppleva en subtraktion som en addition.

3. Välj – Eleven väljer medvetet strategi (uppåt räkning eller neråt räkning) utefter hur problemet är utformat.

4. Kända subtraktionsfakta – Eleven har lärt sig subtraktionstabellen och kan tillämpa denna för att lösa uppgifter.

5. Härledda subtraktionsfakta – Eleven använder sig av tidigare kända kunskaper kring lägre beräkningar för att kunna härleda dessa till uppgifter med högre tal.

20

3.9.1 Huvudräkningsstrategier – subtraktion

 Ta bort – Eleven räknar bakåt på tallinjen och tar bort en enhet åt gången (Löwing, 2008).

 Komplettera, lägga till – Eleven räknar subtraktionen som en addition och lägger till det som saknas (Löwing, 2008).

 Jämföra – En jämförelse görs mellan två givna tal (Löwing, 2008).

 Addera eller subtrahera samma tal – Om samma tal adderas eller subtraheras till båda termerna och på så vis skapar en rund term kan hela beräkningen underlättas (Löwing & Kilborn, 2003). Denna strategi kallar Malmer (2002) för ”fast differens”. Differensen mellan termerna förblir oförändrad om man adderar eller subtraherar samma tal till båda termerna.

 1010-metoden – hundratalen, tiotal och ental beräknas var för sig som ett mellanled och subtraheras sedan (Hedrén, 2000).

 N10-metoden – eleven bygger upp en tallinje i huvudet och ”hoppar” i tiotalen och sedan entalen exempel 32 - 21=32-10-10-1 (Hedrén, 2000).

3.10 Räknelagar

Elever bör tidigt få upptäcka räknelagarna och få en förståelse för hur dessa skall användas (Malmer, 2002). Räknelagar och räkneregler kan kallas matematikens grammatik. Desto tidigare man uppmärksammar eleverna på räknelagar och räkneregler ju bättre blir eleverna på att använda dessa kunskaper inom nya områden. Elever som behärskar räknelagar och räkneregler kan dessutom lättare förenkla sina beräkningar, speciellt gällande huvudräkning (Löwing, 2008).

21

3.11 Svårigheter vid addition och subtraktion

Många elever har svårigheter att minnas de grundläggande additions- och subtraktionstabellerna vilket leder till att många beräkningar tar betydligt längre tid än vad det borde. En svårighet är att vid upp- eller nedräkning börjar eleven att räkna från det talet man startar på som i 19 – 17 räknar eleven 19, 18, 17 och kommer då svara tre. Ett annat vanligt fel vid upp- eller nedräkning är att eleven tappar räkningen, detta är främst ett problem när differensen mellan termerna är större (Wallby m fl., 2008). Om eleven försöker göra beräkningar i huvudet med samma metod som används för algoritmräkning skapar detta ofta problem, speciellt om eleven inte riktigt förstått algoritmräkning, det blir svårt att hålla reda på alla minnessiffror och mellanled i huvudet (Wallby m fl., 2008).

Hedrén (2000) har vid en undersökning märkt att det är vissa moment inom huvudräkningen som vållar eleverna problem. I addition, som i övrigt var det räknesätt som medförde minst problem, var svårigheten tiotalsövergångar. Även i subtraktion var det tiotals- och hundratalsövergångar som orsakade problem men i större utsträckning än inom addition. Hedrén (2000) menar att många elever har svårt att förstå att den kommutativa lagen inte går att tillämpa vid subtraktion på samma sätt som vid addition och att detta är ett vanligt fel eleverna gör. Precis som i addition kan eleverna tillämpa 1010 metoden för att lösa subtraktionsuppgifter. Hedrén (2000) vill dock uppmärksamma oss på att denna metod kan vålla svårigheter för eleverna som kan göra fel likt detta exempel, 82 – 38 beräknas som 80 – 30 = 50; 8 – 2 = 6 och får svaret 56.

22

4 Metod

I metodstycket kommer vi ta upp val av metod, urval, val av uppgifter, forskningsetik, genomförande av undersökning. Till sist kommer vi att diskutera undersökningens tillförlitlighet.

4.1 Val av metod

I vår datainsamling har vi valt att göra kvalitativa intervjuer med elever och lärare. Vi har valt att använda oss utav kvalitativa intervjuer. Detta för att försöka få förståelse för elevernas sätt att tänka vid huvudräkning (Trost, 2010). Genom kvalitativa intervjuer ges den intervjuade personen möjlighet att uttrycka exakt vad den vill ha sagt utan att behöva välja bland givna svarsalternativ som kanske inte helt överensstämmer med vad intervjupersonen faktiskt tycker (Trost, 2010). Med läraren genomfördes intervjun på ett semi-strukturerat sätt (Bryman, 2001). Detta för att kunna föra intervjun mer som ett samtal och inte ha helt fasta frågeområden utan kunna anpassa frågorna utefter lärarens svar.

Vi har valt att dokumentera våra kvalitativa intervjuer med hjälp av i första hand ljudupptagning men har även gjort stödanteckningar i bakgrunden. Fördelarna med ljudupptagning är enligt Trost (2010) att man slipper göra anteckningar vilket gör att man kan koncentrera sig på frågorna och svaren istället för att försöka anteckna under tiden. Anteckningar kan bli mycket svårtydda då man får väldigt bråttom vid antecknandet och därför är det bra att ha anteckningar som komplement till ljudupptagning istället för att enbart anteckna. En annan fördel med ljudupptagning är att man även får med tonfall och exakta ordval vilket man annars går miste om samt att man kan lyssna på intervjun flertalet gånger. Dessutom är det omöjligt att få med allt

23

som sägs och en konsekvens av detta är att man redan under intervjun gör en tolkning och kan missa värdefulla bitar (Doverborg, 1998).

Vi valde att plocka ut eleverna en och en från deras klassrum och genomföra intervjuerna i en lugn miljö där eleverna inte kunde se sina klasskamrater. Detta är en förutsättning för att eleverna ska kunna koncentrera sig (Doverborg, 1998). Vi har valt att inte lägga någon intervju under de praktiskestetiska ämnena då vi av erfarenhet vet att många elever är väldigt förtjusta i dessa ämnen och vid intervjutillfället vill vi att eleven ska vara så samarbetsvillig och så intresserad som möjligt.

4.2 Urval

Skolan vi har genomfört studien på är en skolår 3-5 skola i en stad i Skåne. På grund av klassens storlek har vi valt att begränsa antalet intervjupersoner till 5 pojkar och 5 flickor som klassens lärare valt ut till oss. Både skola, lärare och elever är valda utifrån ett bekvämlighets urval. Med bekvämlighets urval menas att informanterna väljs utefter vad som finns tillgängligt för forskaren för tillfället (Bryman, 2001). Skolan och läraren fick vi kontakt med en bekant som hade kontakter på skolan. Läraren i sin tur valde ut tio elever utan inbördes betydelse. Innan den riktiga undersökningen påbörjas kommer en pilotstudie på tre elever att genomföras.

Klassens lärare har arbetat på skolan sedan 1996 och det var drygt tjugo år sedan hon tog sin lärarexamen. På senare år har hon gått en fortbildning och fördjupat sig mot matematik och naturvetenskap.

4.3 Forskningsetik

Enligt vetenskapsrådet finns det fyra grundläggande krav att följa vid forskning för att skydda sina informanter och tillämpa en god forskningsetik. Dessa fyra krav är informationskravet, samtyckskravet, konfidentialitetskravet samt nyttjandekravet (Vetenskapsrådet). Elever, föräldrar och läraren kommer att informeras om vår undersökning och dess syfte. Eleverna kommer att informeras om att deras deltagande

24

är högst frivilligt och att de när som helst får avbryta en pågående intervju samt att ingen bedömning av deras kunskaper kommer ske utan det endast är deras tankegångar och strategier som vi är intresserade av. Läraren kommer inte heller att få ta del av den individuella elevens resultat. På grund av elevernas ålder kommer vi genom en blankett (se bilaga 1) be om vårdnadshavarens samtycke för varje elevs deltagande. Elevernas svar och resultat kommer att behandlas på ett sådant sätt att ingen elev kommer kunna identifieras. Vi kommer att erbjuda involverade personer att ta del av vårt slutarbete.

4.4 Val av uppgifter

Vi har valt att endast behandla addition och subtraktion, detta för att begränsa studiens omfattning. Anledningen att vi valt dessa två räknesätt är för att de hör samman, addition och subtraktion är varandras motsatser.

Vi har konstruerat uppgifter med en relativ låg svårighetsgrad då vi vill att eleverna ska känna att uppgifterna inte är för svåra och bli villiga att försöka lösa uppgifterna. Våra uppgifter är valda med samma typ av svårigheter som i HÖJMA – projektet. Anledningen till att vi inte har valt att utnyttja alla HÖJMA – projektets uppgifter är delvis för att vi ville ha något högre svårighetsgrad samt att vi ville att detta skulle bli vår undersökning och inte en kopia av HÖJMA – projektet.

Våra huvudräkningsuppgifter:

Uppgift 1: 19 + 127

Svårigheten i denna uppgift är tiotalsövergången och att det lägre talet står först, intrycket av talet blir enklare om det högre står före det lägre. Vi vill se om eleverna exempelvis räknar uppgiften som ren addition eller om de tänker att 19 är nästan 20 och löser det som 20+127-1.

Uppgift 2: 75 + 74

Talet innehåller ingen direkt svårighet utan vi är intresserade av om eleverna räknar talet som ”nästan dubblor” eller om de lägger ihop tiotalen för sig och entalen för sig eller löser uppgiften på ett annat sätt.

25

Uppgift 3: 401 – 397

Detta är en uppgift direkt hämtad från HÖJMA – projektet. Anledningen till att vi valde just denna var att den anses vara en klassiker i HÖJMA – projektet (Unenge, 1999). Vi är intresserade av att se om eleverna i vår studie har liknande svårigheter som eleverna i HÖJMA – projektet. Vi vill se om eleverna använder sig av uppräkning eller nedräkning eller om de löser den på annat sätt.

Uppgift 4: 52 – 35

Svårigheten i denna uppgift är tiotalsövergången. Vi är intresserade av att se hur eleverna hanterar tiotalsövergången vid subtraktion.

Uppgift 5: Sara samlar på kulor. Hon har 168 stenkulor och 156 glaskulor. Hur många kulor har hon totalt?

En addition med tiotalsövergångar av något högre svårighetsgrad än uppgift 1 men i textuppgiftsform. Vi vill ta reda på om de tänker annorlunda vid uppgifter i textform.

Uppgift 6: Kalle har under helgen samlat burkar och flaskor och har tjänat 401 kronor. Han har hittat ett tv-spel som kostar 397 kronor. Hur mycket har Kalle kvar om han köper spelet?

Detta är samma beräkning som uppgift 3 men som textuppgift. Vi vill se om eleven har lättare eller svårare att lösa en uppgift i ett sammanhang samt om lösningsmetoden skiljer sig.

4.5 Genomförande av undersökning

Vi valde att kontakta en för oss tidigare okänd skola för att kunna ha ett öppet förhållningssätt vid intervjuerna. Vid vårt första besök träffade vi enbart läraren och förklarade syftet med vår undersökning och hur vi ville genomföra den. Läraren fick blanketter till elevernas vårdnadshavare angående elevernas deltagande i studien (se bilaga 1).

26

Intervjuerna genomfördes med eleverna en och en i ett grupprum där eleverna inte kunde se sina klasskamrater. Under första dagens intervjuer fanns det ett fönster i rummet ut mot skolgården där det passerade andra elever lite då och då. Under andra dagens intervjuer satt vi i ett grupprum utan fönster och eleverna verkade vara mer fokuserade i jämförelse med dagen innan.

Vår tanke var att intervjua tio elever men en elev var sjuk under båda intervjudagarna. Innan eleverna fick uppgifterna förklarade hur undersökningen skulle gå till, att det var tankesättet och inte svaret som vi främst var intresserade av. Vi informerade även om att ingen mer än vi två skulle kunna ta del av deras personliga svar och att de när som helst kunde avbryta och gå tillbaka till klassrummet. Innan intervjun försäkrade vi oss om att eleven samtyckte med att vi spelade in samtalet för att vi inte skulle missa något som sades. Som komplement till inspelningen förde vi även anteckningar ifall något skulle gå fel med tekniken men även så att vi kunde gå tillbaka till vad de sagt under intervjun.

Uppgifterna presenterades separat först muntligt och sedan skriftligt med anledning att eleverna skulle vara fokuserade på just den uppgiften vi arbetade med för tillfället och inte blicka framåt eller tillbaka mot andra uppgifter. Efter varje uppgift frågade vi eleverna om uppgifternas svårighetsgrad.

Först gjorde vi en pilotstudie med tre elever, sedan diskuterade vi vad vi kunde förbättra under intervjuerna, vilka frågor vi borde tänka extra mycket på och vi bytte även ordning på de två benämnda uppgifterna.

Under första dagen genomförde vi fem intervjuer och andra dagen fyra intervjuer. Det var planerat att vi skulle genomföra fem intervjuer även dag två men en i urvalsgruppen var sjuk och kunde inte delta. Läraren intervjuades dag tre efter att eleverna hade slutat. Detta för att läraren inte skulle känna sig stressad eller behöva avbryta för att återgå till klassen och lektioner.

4.6 Analysmetod – elevresultat

Alla intervjuer transkriberades för att sedan analysers och kategoriseras i samråd med vår handledare Ingrid Dash. Alla elevers svar strukturerades upp tillsammans med varje uppgift var för sig. Därefter bestämdes vilka elever som använt sig av samma metod.

27

4.7 Diskussion av metod

Vi har valt metod utifrån ett sociokulturellt perspektiv som belyser vikten av dialog och samspel mellan individer för utveckling och lärande. Samtalet är elevernas enda

möjlighet att redogöra för sina tankeprocesser och lösning av uppgifterna.

Vi anser att det finns både för och nackdelar med vårt val av metod. Till fördelarna hör att vi inte känner eleverna sedan tidigare och därför är helt fördomsfria kring deras kunskaper och vad de bör klara av. Detta är även en nackdel då eleverna kan känna sig otrygga när de är helt ensamma i ett rum med två okända personer. Vi kunde hos några elever ana en tendens till nervositet. Frågan är om detta berodde på att vi var okända personer eller om det var situationen som i sig gjorde det.

Gällande inspelningen är det en stor fördel att vi inte missar något som sägs och att vi kan lyssna på undersökningen vid flertalet tillfällen. Eleverna kan dock tycka att det är obehagligt att bli inspelade. Presentation av uppgifterna gjorde vi både muntligt och skriftligt vilket vi valt med tanke på att eleverna har olika förutsättningar för att ta till sig information och ett sätt kan passa en bra medan ett annat passar en annan bättre. Vi hade föredragit om platsen för intervjuerna hade varit lite mer avskild första dagen så att eleverna inte haft skolgården som utsikt. Det fanns inga gardiner som vi kunde dra för för att skärma av med. Rummet andra dagen var betydligt bättre, här fanns inga fönster som kunde stjäla uppmärksamheten. Att eleverna verkade känna sig tryggare där kan också bero på att det låg precis i anslutning till deras klassrum vilket det andra rummet inte gjorde.

Eleverna var inte borta någon längre stund från den ordinarie undervisningen. Varje intervju varade i 10-15 minuter och förhoppningsvis var det ingen elev som oroade sig för att missa för mycket av den ordinarie lektionen.

För att undersökning skall ha en hög tillförlitlighet har vi presenterat steg för steg hur vi har gått till väga under rubriken genomförande, se avsnitt 4.5.

Vid samtliga intervjutillfällena var vi båda med. En av oss var huvudintervjuare medans den andra gjorde stödanteckningar samt hjälpte till med frågor om huvudintervjuaren missade något väsentligt. Under intervjuerna har även ljudupptagning skett då vi ville vara säkra på att inte missa något våra informanter sagt. Detta anser vi ge en god trovärdighet i vårt insamlade material.

28

5 Resultat

Nedan kommer resultat och resultatanalyser att tillsammans presenteras. Först presenteras lärarintervjun och sedan elevresultat med citat kring olika lösningar som vår studie visat.

5.1 Lärarintervju

I klassen arbetar elever och läraren ganska mycket med huvudräkning utan hjälpmedel. Några elever kan behöva lite hjälp av miniräknare och tabellerna. På frågan varför de arbetar med huvudräkning blev svaret att läraren enligt erfarenhet har sett att elevernas taluppfattning stärks och att eleverna lättare klarar av de nationella proven i det femte skolåret. I klassen anser läraren att de talar mycket matematik genom att lyfta fram olika strategier och olika sätt att tänka vid genomgångar. Läraren har lärt ut olika strategier i addition och subtraktion, varje talsort för sig och överflyttning till runda tal. Läraren poängterar även att det är viktigt att eleverna får berätta och visa hur de tänker.

Läraren anser att det är viktigt att lära sig olika strategier för att räkna ut samma uppgift. Detta är en del i ledet att bli säkrare i matematik, att kunna bolla med siffror på olika sätt. Däremot för elever som har det lite svårare är det viktigare att just dessa elever lär sig en strategi som de kan känna sig säkra på och som alltid fungerar oavsett hur uppgiften ser ut. Trots att de i klassen lyft fram olika strategier tror läraren tyvärr ändå att många håller hårt fast vid varje talsort för sig. Några elever kan fångas av nya strategier och utveckla dessa själv.

Vid elevintervjuerna såg vi att några använde fingrarna och därför frågade vi läraren om hon upplevde detta som vanligt förekommande. Läraren menar att några fortfarande gör detta men att det främst är elever som är i behov av extra stöd i matematiken. Eleverna som har svårigheter i matematik uppvisar även problem med förståelsen vid

29

textuppgifter. Eleverna har svårt att tolka uppgiften och förstå vilken operation som efterfrågas. Läraren berättade att om uppgiften presenteras muntligt och de tillsammans kommer fram till hur beräkningen skall utföras så underlättar det för dessa elever. Generellt är det lättare för alla elever att lösa uppgifter och se rimligheten när det handlar om saker som är välkända för dem som exempelvis med pengar när du köper något. Vid beräkning med pengar kan man använda konkret material för att åskådlig göra beräkningen.

5.1.1 Lärarens svårighetsanalys av uppgifterna

Vi bad läraren att analysera vad svårigheterna var i våra sex uppgifter som eleverna fick lösa.

Uppgift 1: 19 + 127

Talen står i omvänd ordning än vad eleverna är vana vid. Eleverna ser lättare vilka siffror som symboliserar hundratal, tiotal och ental om 127 hade stått först.

Uppgift 2: 75 + 74

Svårigheten är att det blir ett hundratal. Någon elev kan till exempel tänka att det kan bli 140 och 9 och får då svaret till 1409. Läraren tror ändå att de flesta har klart för sig och att uppgiften inte vållar några större problem.

Uppgift 3: 401 – 397

Svårigheten skapar eleven själv genom att använda sig av varje talsort för sig. Detta kan leda till att eleverna vänder på räknesätten kan få ett orimligt svar utan att själv upptäcka detta eftersom eleverna inte ser att talen ligger så pass nära varandra på tallinjen.

Uppgift 4: 52 – 35

Det är svårare att upptäcka rimligheten i sitt svar eftersom differensen mellan dessa tal är större än i föregående uppgift. Risken finns även här att eleverna använder sig av addition i mellanledet.

30

Uppgift 5: Sara samlar på kulor. Hon har 168 stenkulor och 156 glaskulor. Hur många kulor har hon totalt?

Uppgiften är enkelt formulerad så språket bör inte vålla några problem. Däremot innehåller uppgiften både en 100-tals och en 10-tals övergång vilket gör det svårt att hålla reda på minnessiffrorna.

Uppgift 6: Kalle har under helgen samlat burkar och flaskor och har tjänat 401 kronor. Han har hittat ett tv-spel som kostar 397 kronor. Hur mycket har Kalle kvar om han köper spelet?

Den här uppgiften löser eleverna antagligen lättare än uppgift tre då de här lättare ser orimligheten om de får svaret till något över 100. Förmodligen använder eleverna även här varje talsort för sig vilket bidrar till en svårighet även här.

5.2 Elevernas använda huvudräkningsstrategier

Nedan kommer vi att presentera resultatet av vår undersökning. Uppgifterna kommer att presenteras en och en tillsammans med elevernas strategier och tankesätt. Vi kommer även ta upp lärarens förväntade elevstrategier efter varje uppgift. I samband med lärarintervjun svarade läraren även på frågor kring våra sex undersökningsuppgifter. I samråd med vår handledare, Ingrid Dash, har vi analyserat elevernas olika svar på uppgifterna för att kunna bestämma och kategorisera vilken av ovan nämnda strategier (se avsnitt 3.8.1 samt 3.9.1) eleverna nyttjar vid sina lösningar.

Den mest nyttjade metoden för lösning av uppgifterna är den redan nämnda 1010 – metoden. Eleverna och läraren benämner denna som ”varje talsort för sig”. Nedan presenteras ett urval av citat som visar på en variation i materialet.

Uppgift 1: 19 + 127

”Jag tänkte med fingrarna” – Elev 1

”Jag tänker bara över 1 från 7 till 9 så blir det 10 så har jag bara 6 kvar” – Elev 4

31

”Om man flyttar över 1 från 19 till 7 blir det 18 + 128. Då blir det lite lättare att tänka. Så lägger man till först tiotalen så blir det 130 och 8 + 8 är 16 så blir det 146” – Elev 6

”10+7 sen -1 nu tänker jag fort för jag kan det redan utantill” – Elev 8

Alla elever nyttjade 1010 – metoden som huvudmetod. I 1010 – metoden måste varje delberäkning ske separat. Här uppvisade eleverna på tre olika strategier vid delberäkningen 9 + 7. Elev 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 svarade snabbt och korrekt på delberäkningen. Deras tankebanor kretsade kring att bygga upp och låna för att skapa ett tiotal sedan addera det som fanns kvar. Eleverna nyttjar metoden runda tal. Elev 5 var den enda som gav ett felaktigt svar, 136, på uppgiften. Uppenbart försvann det ett tiotal ur arbetsminnet vid addering av delberäkningarna. Elev 1 nyttjar uppåträkning med hjälp av fingrarna och elev 6 använder sig av öka här/minska där för att kunna utnyttja sina automatiserade kunskaper i dubblering.

Läraren förväntade sig att majoriteten av eleverna använt 1010 – metoden och någon eventuellt nyttjat runda tal. Delberäkningen 9 + 7 trodde läraren att alla tänkt 10 + 6.

Uppgift 2: 74 + 75

”Jag behövde inte tänka så mycket. Jag hade svaret direkt i huvudet. Jag tittade bara och okej jag har svaret. Jag tänkte är det verkligen så…. Ähh jag chansar” – Elev 1

”75+74 då tar man 75+75 det är 150 -1 och det är 149. Pappa tog upp det med mig under valet och då var det 175. Och det är hälften av 350” – Elev 6

”Då tar jag 30 från 70 och lägger det till den andra sjuan så vi har 100

och då har vi 40 kvar så då är det 140 och sen plus 9 blir 149” – Elev 5

Elev 6 nyttjar tidigare känd kunskap som huvudmetod. Eleven ser sambandet mellan 175 + 175 och 75 + 75. Då eleven sedan tidigare vet att 175 + 175 är 350, en koppling görs då mellan elevens tidigare kända kunskap och den nya uppgiften som ska beräknas.

32

Eleven subtraherar med de två hundratalen som är skillnaden 350 – 200 = (175 – 100) + (175 – 100) = 75 + 75.

Övriga elever har samtliga brukat 1010 – metoden och i delberäkningar tagit stöd av runda tal kring tiotal (elev 1, 2, 3, 4, 7, 8) och hundratal (elev 5, 9). Elev 1 utmärkte sig med sitt kvicka svar och förklaring. Vid vidare frågor förklarade elev 1 att man kunde tänka enligt 1010 – metoden och därför har elev 1 kategoriserats tillsammans med övriga elever som nyttjade runda tal kring tiotal.

Här trodde läraren att eleverna använde sig av 1010 – metoden. Någon kan ha tänkt 2 × 75 – 1 men förmodligen tycker eleverna att det är lättare att använda sig av addition.

Uppgift 3: 401 – 397

”400-300 är 100. 0-90 går inte så då blir det 100 – 90 då blir det 10. Och 1-7 går inte så det blir mellan 1 och 7 så är det 6. Och då blir det 10-6 och det blir 4. Men man kan även skriva så här för att få det till 400 så är det 3 och sen plus 1 så blir det 4” – Elev 4

”MINUS, eeh okej det här är jobbigt. 4 – 3 är 1 plus två nollor är 100 och så 0 – 9 blir 9 du tar inte bort någonting och 1 – 7 är 6. 100 + 90 + 6 = 196. Jag tänkte jag tar bort nollorna, det har min pappa lärt mig att så kan man räkna. Väldigt enkelt.” – Elev 1

”Jag tog först 3, alltså talen är ju så nära varandra så jag kollade hur långt ifrån. Först 3 så blir det 400 sen 1till så blir det 4” – Elev 7

Elev 1, 2, 4, 5, 8, 9 har alla använt sig av 1010 – metoden. Elev 1 gör precis samma fel som finns beskrivet i HÖJMA – projektet där subtraktionsuppgiftens delberäkningar adderas istället för att subtraheras, svaret blir således fel, 100 + 90 + 6 = 196. Även elev 5 har gjort liknande fel, 100 + 90 – 6 = 184. Elev 2 och 4 beräknar först uppgiften med 1010 – metoden och kommer sedan på att komplettera är ett bättre alternativ. Elev 3, 6, 7 har använt sig av metoden komplettera direkt.

Läraren var rätt så säker att de flesta eleverna använt sig av 1010 – metoden även här och att det inte var så vanligt att eleverna använde sig av komplettera.

Uppgift 4: 52 – 35

33

”50-30 är 20 sen så kan man inte ta… det saknas 3 där så 20-3 det är 17” – Elev 2

”5 – 3 känner vi igen från de här entalen som vi räknade med när vi var lite mindre och det blir 2 och så 2-5 det blir 3 då har vi 23 fast i och med att man inte kan ta bort 5 från 2 blir det istället 17” – Elev 5

Alla eleverna har använt sig av 1010 – metoden. Elev 1 gör även här samma fel som i uppgift 3 då delberäkningen adderas istället för att subtraheras. Resterande elever har delberäkningarna automatiserade och ger rätt svar direkt.

Lärarens åsikt här var att alla eleverna skulle beräknat uppgiften med 1010 – metoden.

Uppgift 5: Sara samlar på kulor. Hon har 168 stenkulor och 156 glaskulor. Hur många kulor har hon totalt?

”Då tänker jag så 100 + 100 är 200. 6 + 5 det är 11 då är det 110. 8 + 6 är 14. Så lägger man ihop varje talsort för sig” – Elev 3

”Då gjorde jag 100+100 är 200 och sen så 60+50 är 110 så blir det 210 tillsammans. Så 6+8 är 14 och sen plussar jag på det på 210 så 224” – Elev 7 ”168+156. Det är 200+110+14. Då är det samma sak där. Flytta över ett från 8 på 168 till 156 då blir det 7+7 i slutet. Och totalt blir det då 324” – Elev 6

Alla elever såg att det var en additionsberäkning av typen sammanläggning trots att detta inte direkt uttrycktes i texten. Samtliga elever använde sig av 1010 – metoden med några skillnader i delberäkningarna. Elev 1 använde sig av fingrarna precis som i uppgift 1. Elev 6 använder sig av dubblor precis som eleven gjort vid tidigare i uppgift 1. Elev 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 har delberäkningarna automatiserade men förklarar sitt tankesätt genom att referera till tiokompisarna. Elev 4 och 7 tappar ett hundratal i minnet och ger därför ett felaktigt slutsvar.

Läraren är övertygad om att alla elever kommer att se att uppgiften skall beräknas med hjälp av addition. Metoden för lösning kommer eleverna att välja 1010 – metoden och ta stöd av tiokompisarna vid delberäkningarna.

34

Uppgift 6: Kalle har under helgen samlat burkar och flaskor och har tjänat 401 kronor. Han har hittat ett tv-spel som kostar 397 kronor. Hur mycket har Kalle kvar om han köper spelet?

”Då börjar vi att ta 4-3 som är 1 då har vi 100kr sen går 0-9 går inte så då tar vi 100-90 så 10 så är detta ungefär likadant som vi hade innan så blir det 10-7 som blir 3 så har vi en 1a kvar på 401kr så blir det 4 den blir 4 också” – Elev 9

”Då tar jag 401-397 och 100-90 det är minus… Men det är ju samma som den förra…? Och ja det blir fyra kvar tror jag. Eller just ja jag kan ju räkna ännu snabbare. Så ska vi se här, eftersom de två talen är nära varandra så kan man ta 3+1 är 4 eftersom man kan ta 397+3 sen så 1” – Elev 8

”Det är minus. För om han köper det så betalar han med så mycket” – Elev 1 ”Man får ta upp där 397 till 400 och då blir det 3 kr. och sen 1 kr till” – Elev 4

Även om elev 1 direkt ser att det är en subtraktionsuppgift gör eleven samma fel som i uppgift 3 då eleven adderar delberäkningarna istället för att subtrahera dem. Elev 9 använder sig också av 1010 – metoden men ger ett korrekt svar. Resterande elever 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ser att talen ligger nära varandra och gör en komplettering genom att först komplettera 397 upp till 400 och adderar sedan 1. Samtliga elever såg att det var en subtraktionsuppgift av typen borttagning.

I och med att uppgiften handlar om pengar som är så pass konkret trodde läraren att eleverna skulle använda sig av samma metod som i uppgift tre, det vill säga 1010 – metoden. Rimligheten i svaret borde eleverna kunna se här och inte lika lätt kunna ge ett felaktigt svar och upptäcka om något skulle bli fel i beräkningen.

5.2.1 Är eleverna konsekventa i val av metod? – En jämförelse mellan

uppgift 3 och uppgift 6

I tabell 1 har vi gjort en sammanställning och jämförelse mellan uppgift 3 och uppgift 6 då dessa innehåller samma matematiska beräkning. Tabellen visar att fem av nio elever är konsekventa i val av metod och att fyra av eleverna väljer att byta strategi från uppgift 3 till uppgift 6. I tabellen har vi enbart tagit hänsyn till

35

huvudberäkningsmetoden. Hur eleverna valt att lösa delberäkningarna har vi inte tagit hänsyn till.

Uppgift 3 Uppgift 6 Konsekvent

1010-metoden Komplettering 1010-metoden Komplettering Ja/Nej

Elev 1 X X Ja Elev 2 X X Nej Elev 3 X X Ja Elev 4 X X Nej Elev 5 X X Nej Elev 6 X X Ja Elev 7 X X Ja Elev 8 X X Nej Elev 9 X X Ja Totalt 5 3 2 7 5/4 Tabell 1

36

6 Diskussion

I detta avsnitt kommer vi att besvara och diskutera våra problemställningar med hjälp av resultatet av vår undersökning och litteraturgenomgången. Diskussionen avslutas med förslag till vidare forskning kring ämnet som vårt arbete behandlat.

6. 1 Diskussion av problemställningar

För bästa överblick presenterar vi svaren på våra problemställningar separat under rubriker tillsammans med ett kortfattat elevresultat. Avslutningsvis kommer vi att diskutera punkt 1 och punkt 3 av våra problemställningar gällande undersökningsuppgifterna 3 och 6 se tabell 1 (se tabell 1, avsnitt 5.2.1).

6.1.1 Är eleverna konsekventa i val av metod eller är metoden beroende av

uppgiftens utformning?

Det är endast två elever, elev 1 och elev 9, som inte varierar sina strategier. Det finns däremot en stor skillnad mellan dessa två elever, elev 1 gör upprepade misstag och ger fel svar på några av uppgifterna. Däremot är elev 9 väldigt snabb, säker och alla svar blir rätt. Elev 6 är den som varierar sina lösningsstrategier mest och använder sig av tidigare känd kunskap, 1010-metoden och komplettera. Resterande elever varierar mellan 1010 – metoden och komplettera.

Generellt varierar sig inte eleverna i val av lösningsstrategier, den enda märkbara skillnaden är gällande uppgift 3 och uppgift 6 där subtraktionens termer ligger nära

37

varandra på tallinjen. Detta kommer vi att diskutera i avsnitt 6.2. Att eleverna inte varierar sig kan bero på att läraren lagt störst fokus på just 1010 – metoden i sin undervisning. Kilborn (1991) menar att många lärare anser att det bara finns en bästa metod för att lösa en viss typ av uppgifter. Kanske kan detta vara så även i vår studie. Skemp (1976) beskriver två typer av matematisk förståelse, instrumentell och relationell (se 3.2 Varför huvudräkning). Eleverna som inte varierar sig har troligen mer en instrumentell förståelse för matematiken. Den elev som ligger mest åt det instrumentella hållet är elev 1 som inte har förmågan att varken variera sig eller se felen eller rimligheten i sina svar. Däremot elev 6 är den av eleverna som har störst förmåga att variera sig och är säker på sina svar lutar mer mot den relationella förståelsen. Unenge (1988) menar att en elev som varierar sina strategier eller ger exempel på olika lösningsmetoder för samma uppgift har en godare taluppfattning. Den enda som har gett exempel på mer än en lösningsstrategi på samma uppgift är elev 4 som först löser uppgift 3 (401 – 397) enligt 1010 – metoden men efter att ha gett svaret ger oss exempel på att uppgiften även kan lösas med komplettering. Vi har dock satt 1010 – metoden som lösningsstrategi för denna elev då detta var elevens förstahandsval.

Enligt Carroll (1996) måste elever få tillfälle att diskutera strategier och metoder tillsammans med klasskamraterna och läraren för att utveckla goda huvudräkningsstrategier. Elev 1 upplevde vi som väldigt öppen och villig att diskutera. Frågan är om elev 1 i klassrumssituationen har samma beteende eller är mer tillbakadragen där. Både läraren och alla elever har i undersökningen uttryckt att det pratas mycket matematik i klassrummet och att olika strategier har lyfts fram. Trots detta är eleverna konsekventa i val av metod men eleverna visar även att de har tagit till sig en metod utöver ”den vanliga”.

6.1.2 Är subtraktionsuppgifterna svårare för eleverna att lösa än vad

additionsuppgifterna är?

Generellt uttryckte alla elever att uppgifterna var lätta, uppgifterna som fick svaret ”sådär”, ”mittemellan” eller ”svårare” var framförallt subtraktionsuppgift 3, 401 – 397. På additionsuppgifterna fick vi svaren ”lätt” eller ”mycket lätt” medan subtraktionsuppgifterna oftare fick svaret ”ganska lätt” vilket tyder på att även om

38

eleverna inte tyckte subtraktionsuppgifterna var speciellt svåra var de dock något svårare än additionen. Elev 1 utbrister ”MINUS, det är jobbigt!”. Trots detta svarar eleven att alla uppgifterna är mer eller mindre lätta. Eleverna (elev 1 och 5) som svarade fel på uppgift 3, 401 – 397, uttryckte också att denna var lite svårare.

Vår allmänna bild är att eleverna inte har några större svårigheter med någon av uppgifterna, dock tog subtraktionsuppgifterna längre tid för eleverna att lösa. En svårighet vid subtraktionsberäkningar är om eleven försöker göra beräkningar i huvudet med samma metod som används för algoritmräkning. Detta skapar ofta problem, speciellt om eleven inte riktigt förstått algoritmräkning, som kan liknas vid 1010 – metoden. Det blir svårt att hålla reda på alla minnessiffror och mellanled i huvudet (Wallby m fl., 2008). Några av eleverna (elev 1 och 5) som använder sig av denna metod har inte helt klart för sig och gör således fel. Även Hedrén (2000) påpekar att just detta är ett vanligt fel speciellt vid subtraktion.

Vi tolkar att subtraktionsuppgifterna var något svårare än additionsuppgifterna då det förekom att någon elev (inte alltid samma elev) svarade fel på subtraktionsuppgifterna medan det endast förekom felsvar på en av additionsuppgifterna. De fel som gjorts vid additionsuppgifterna är vid tiotals- och hundratalsövergångarna detta är en av få svårigheter som finns vid addition påpekar Hedrén (2000). Om vi jämför vilka fel som begåtts är felen inom subtraktionerna ”allvarligare” än vid addition. Felen vid addition handlar enbart om glömda minnessiffror medan vid subtraktion har felen varit att fel räknesätt använts.

I HÖJMA – projektet (se resultat av HÖJMA 3.5.1) var det även subtraktionsuppgifterna som vållade svårigheter för eleverna dock i större utsträckning än vad vårt resultat visade.

6.1.3 Har eleverna lättare eller svårare att lösa en uppgift som är satt i ett

sammanhang – benämnd uppgift?

Vi frågade eleverna om vilka uppgifter de tyckte var lättast och föredrog (aritmetisk eller benämnd). Fyra av eleverna (elev 3, 4, 5, 6) föredrog benämnd uppgift några med motiveringen att det är roligare eller lättare. Elev 7 och elev 8 uttrycker att det beror på uppgiftens utformning. För elev 2 spelar det ingen större roll hur uppgiften är utformad.

39

Elev 1 och elev 9 föredrar aritmetiska uppgifter. Vid lärarintervjun berättade läraren att eleverna som hade generella problem i matematik även visar svårigheter att förstå vad som efterfrågas i textuppgifter men generellt ansåg läraren att det är lättare för alla elever att lösa uppgifter och se rimligheten när det handlar om saker som är välkända för dem, som exempelvis med pengar för inköp av något. Att elev 1 och elev 9 föredar aritmetiska uppgifter kan ha ett samband med vilken metod de väljer att lösa uppgift 6 (401 – 397) i benämnd form (detta diskuteras i avsnitt 6.2).

Vid arbete med benämnda uppgifter inbjuds eleverna mer än vid arbete med aritmetiska uppgifter, att arbeta med konkreta material, i samspel och i dialog med varandra. Vygotskijs sociokulturella perspektiv ser fördelarna med att den praktiska aktiviteten och problemlösning sammanlöper med talet. Då uppstår en djupare förståelse och kunskap (Dale, 1998). Vi ser det som positivt att det enbart är två elever som föredrar aritmetiska uppgifter då det finns större fördelar och fler lärotillfällen gällande benämnda uppgifter. I Kursplanen för matematik (utbildningsdepartementet, 2009) står det att eleverna skall behärska grundläggande matematiskt tänkande och kunna tillämpa det i vardagslivet. Om eleverna inte aktivt får arbeta med benämnda problemlösningsuppgifter tror vi att det är mycket svårt för dem att kunna göra dessa kopplingar och tillämpa sina kunskaper utanför skolan.

”Det är ju för att kunna hantera situationer i vardagen och i samhällslivet som kunskaper i matematik är så viktiga.”

(Unenge m fl., 1994 ss.194)

I vår undersökning kunde vi inte se någon skillnad på om eleverna hade lättare eller svårare att lösa additionsuppgifterna. Däremot i subtraktionsuppgifterna såg vi en märkbar skillnad då det gick både snabbare och lättare att lösa den benämnda uppgiften för majoriteten av eleverna.

Läraren verkar föredra benämnda uppgifter för att hon anser att det är lättare för eleverna att lösa uppgifter som är satta i ett sammanhang. Kan det vara så att även eleverna föredrar benämnda uppgifter för att det är lättare för dem att se rimligheten i svaren samt att de kan få upp inre bilder och använda dessa som hjälpmedel vid sina beräkningar?