Matematiklaboration Aktivitets- och Förståelseskapande

(1)

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

15 poäng

Matematiklaboration

Aktivitets- och Förståelseskapande

Mathematical Group Exercise

Creation of Activity and Understanding

Christina Bjur

Lärarutbildning 90 poäng

2008-01-15

Examinator: Leif Karlsson

(2)

(3)

Sammanfattning

Matematik är ett ämne som många elever tycker är tråkigt och somliga är mindre aktiva på lektionerna. Eleverna är dessutom vana vid att arbetet i matematik till stor del styrs av det valda läromedlet och det är ovanligt att annan typ av undervisning förekommer.

Detta examensarbetes syfte är att studera elevernas uppfattning om hur en laboration i matematik och dess utformning påverkar deras aktivitet och matematiska förståelse. I arbetet finns en sammanställning av forskning inom området samt en analys av ett arbete där elever i år 7 videofilmats under en lektion i laborativ matematik. Dessutom har eleverna svarat på en enkät i samband med laborationen.

Arbetet har visat att vid en laboration där de flesta elever finner en utmaning upplever många elever att de arbetat mer aktivt än under andra lektioner och att grupparbetet fungerar bra. En del upplever att de kommer att minnas den nya matematiska förståelsen.

Nyckelord: elevaktivitet, laboration, matematik, matematisk förståelse

Abstract

Many students regard mathematics as a boring subject and several are showing low activity during lessons. The students are used to that the teaching in mathematics is ruled by static means of educational material and the use of alternative teaching methods is rare.

The purpose of this thesis work is aimed to see how a group exercise in mathematics will influence the student’s activity and perception of mathematics.

The work consists of a science year to date summary and an analysis of 7-grade student’s video film. The students corresponded to a survey in conjunction with the group exercise.

The thesis suggest that at a group exercise where most students feel the challenge, the spirit of increasing activity is encouraged during the lesson for the majority of the students. They also feel that group exercise works well. Several students experience that they will remember the new fundamental understanding.

(4)

(5)

Förord

För att möjliggöra det här examensarbetet har Eva Davidsson och de andra i gruppen varit till stor hjälp och har givit många goda råd, tack. Jag är även ett tack skyldig till läraren som ”lånat” mig sina elever under ett par lektioner och de elever som ställde upp på försöket med laborativ matematik. Utan deras medverkan hade inte detta examensarbete blivit möjligt.

(6)

(7)

Innehållsförteckning

1 Inledning... 9

1.1 Internationella studier... 9

1.2 Egna erfarenheter ... 10

2 Litteraturöversikt... 11

2.1 Inlärning och minne ... 11

2.2 Vanligt undervisningssätt... 11 2.3 Varierat undervisningssätt... 12 2.4 Matematisk förståelse... 13 2.5 Aktivitet... 14 2.6 Laboration ... 15 3 Syfte ... 17 3.1 Frågeställningar... 17 4 Metod ... 18 4.1 Undersökningens upplägg ... 18 4.2 Urval... 19 4.3 Laborationens utformning ... 19 4.4 Yttre påverkan ... 20 4.5 Bearbetning av informationen... 20 4.5.1 Videofilmerna... 21 4.5.2 Enkäterna... 21 5 Resultat... 22 5.1 Enkätsvar... 22

5.1.1 Elevernas upplevelse av sin matematiska aktivitet ... 22

5.1.2 Elevernas upplevelse av kunskapen om matematiken ... 23

5.2 Videoupptagningar ... 23

5.2.1 Dialog som underlättar förståelsen... 23

5.2.2 Visualisering som underlättar förståelsen ... 25

5.2.3 Utvecklande av ny kunskap med hjälp av gammal kunskap... 26

5.3 Laborationen... 26

6 Diskussion och slutsatser ... 28

6.1 Elevernas upplevelse av sin matematiska aktivitet ... 28

6.2 Elevernas upplevelse av kunskapen om matematiken ... 29

6.2.1 Dialog underlättar förståelsen ... 30

6.2.2 Visualisering underlättar förståelsen... 30

6.2.3 Utvecklande av ny kunskap med hjälp av gammal kunskap... 31

6.3 Laborationens utformning ... 31

6.4 Validitet och reliabilitet i undersökningen ... 32

6.5 Kompletterande undersökningar ... 32

6.6 Slutsatser ... 33

Referenser... 35 Bilagor

(8)

(9)

1 Inledning

I Statens offentliga utredning (SOU) 2004:97 ”Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens” skriver man att

”Alla ungdomar, oberoende av personlighet, kön, social och etnisk bakgrund skall få möjlighet och stöd att lära sig matematik. Denna likvärdighet innebär inte att alla skall få samma

undervisning, tvärtom förutsätter den en varierad undervisning där hänsyn tas till de studerandes särskilda möjligheter eller svårigheter” (sid. 82).

Man förordar en varierad undervisning i matematik för att alla elever ska kunna tillgodogöra sig kunskaper i matematik.

1.1 Internationella studier

Resultaten i internationella jämförbara studier av grundskoleelevers kunskaper i matematik visar att Svenska elever presterar strax över en genomsnittlig nivå men att prestationerna i algebra och geometri är under genomsnittet. Senare undersökningar har fastslagit att inga eller små skillnader i Sverige beror på könstillhörighet. I undersökningen, PISA2000-2003

(Programme for International Student Assessment), har en svag tendens kunnat visa att skillnaden mellan de bäst och sämst presterande eleverna har ökat (Skolverket, 2004). Detta visar sig också när man studerar svenska elevers slutbetyg där så många som 6-7 % numera saknar slutbetyg i matematik när de lämnar grundskolan.

Den första internationella jämförande studien av svenska elevers matematikförståelse, i jämförelse med andra länder, genomfördes 1964 av IEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievement). De har sedan fortsatt och numera genomförs TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study), ett IEA-projekt, vart tredje år och mäter elevernas kunskaper i matematik och naturvetenskap i år 8. En annan jämförande studie är PISA, ett OECD-projekt (Organisation for Economic Co-operation and Development), som mäter kunnande i matematisk problemlösning, naturvetenskap och läsförståelse hos

15-åringar. De genomför också mätningar vart tredje år med tonvikten lagd på ett av de tre kunskapsområdena.

Om man jämför de båda studiernas mätningar så mäter OECD (PISA) i större utsträckning de kunskaper som eleverna kommer att behöva som vuxna medborgare medan IEA (TIMSS) mäter matematikkunskaper i förhållande till kurs- och läroplaner i de undersökta länderna. Deras återkommande mätningar ger möjlighet till longitudinell jämförelse.

(10)

1.2 Egna erfarenheter

Under den verksamhetsförlagda tiden, VFT, har jag upplevt att många elever uttrycker att de saknar intresse för matematik och att de därför riskerar att underprestera i ämnet. De lägger helt enkelt inte ned mer tid på ämnet än vad som krävs för att hinna med de uppgifter som läraren säger åt dem att lösa. De som har svårt att hinna med det på lektionstid försöker lära sig standardlösningar så att de ska klara av godkändnivå i matematik.

I undervisningen har matematikboken styrt den största delen av undervisningen. En del elever som ännu inte utvecklat sitt abstrakta tänkande har sagt sig ha svårt att förstå delar av

undervisningen. Att få tvådimensionella bilder av en tredimensionell värld att räkna på i t.ex. geometri skapar onödiga svårigheter i matematikförståelsen. Svårigheter som troligen skulle underlättas av att eleverna fick arbeta med riktiga figurer istället för avbildningar. Så arbetar man ofta i de lägre åldrarna men den typen av aktivitet har många gånger försvunnit i grundskolans senare år (Skolverket, 2003).

Anledningen till att jag velat göra det här examensarbetet är att jag tror att ett laborativt arbete som stimulerar flera sinnen kan hjälpa elever till matematisk förståelse och skapa ett

undervisningsklimat där eleverna genom tillfredställelsen av att förstå motiveras till en ökad arbetsinsats.

En annan tanke är om ett laborativt arbete kan stimulera dialogen i klassen och skapa en sociokulturell lärandemiljö där elevernas dialog, med stöd från läraren, hjälper dem att skapa kunskap och matematisk förståelse.

Att skapa en undervisning som leder till tillfredställelse och glädje och intresse för att lära följer också kursplanerna i matematik som säger att

”Utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik och möjligheter att

kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. Den skall också ge eleven möjlighet att upptäcka estetiska värden i matematiska mönster, former och samband samt att uppleva den tillfredsställelse och glädje som ligger i att kunna förstå och lösa problem.”

(11)

2 Litteraturöversikt

Nedan följer en sammanfattning av litteratur och undersökningar som har studerat inlärning och elevers arbete med varierad matematikundervisning.

2.1 Inlärning och minne

Vid inlärning, registrerar sinnesregistret, perception och uppmärksamhet, de intryck som man utsätts för. Om inte en bearbetning av sinnesintrycken genast påbörjas så försvinner innehållet i sinnesregistret. Från sinnesregistret går den bearbetade informationen till korttidsminnet, KTM. Korttidsminnet är det så kallade arbetsminnet. Här lagras informationen och bearbetas innan den överförs till långtidsminnet, LTM. Från långtidsminnet hämtar vi information för att bearbeta informationen i korttidsminnet. Ju större förståelse man fått av informationen desto tydligare minne skapas i LTM, vilket gör det lättare att senare hämta och använda kunskapen.

Förmågan att koncentrera sig på uppgiften och att kunna plocka ut den väsentliga delen av informationen i stimulusfältet påverkar lösningsförmågan av en uppgift. Även hur väl utvecklade strategier vi har för att hämta nödvändig information i långtidsminnet, det strategiska minnet, påverkar lösningsförmågan (Evenshaug, Hallen, 2001).

2.2 Vanligt undervisningssätt

I Nationella utvärderingen av grundskolan 2003 Matematik årskurs 9, har man bland annat studerat hur matematikundervisningen bedrivs i Sveriges skolor. I den undersökningen har man visat att Sverige hör till de länder där störst andel lärare har läroboken som huvudsaklig grund för undervisningen. Många lärare känner en press att få alla elever att uppnå godkänt så undervisningen styrs av kursplanernas mål att uppnå. Man påpekar att en stor risk med denna typ av undervisning är att fokus läggs på resultat och facit istället för förståelse och inblick i ämnet.

Liten tid läggs också på diskussion och samtal som kan leda till fördjupad förståelse. Idag i Svenska skolor är den vanligaste arbetsformen att eleverna arbetar enskilt. År 2003, i klasser år 9, var det en fjärdedel av lärarna som hade genomgångar i matematik enbart någon gång per månad. Samtidigt är det en fjärdedel av eleverna som aldrig eller mycket sällan redovisat en lösning för sina kamrater (Skolverket, 2005).

(12)

Även i internationellt jämförande studier som TIMSS 2003 visar man på att det är vanligare i Sverige än i andra jämförbara länder att eleverna arbetar enskilt och att större lärarledda genomgångar är ovanligare i Sverige. I skolverkets undersökning (2005) svarade 68 % av lärarna och 79 % av eleverna att enskilt arbete förekommer vid varje eller de flesta lektionerna i matematik.

2.3 Varierat undervisningssätt

Studier visar att vinster finns i ett mer varierat undervisningssätt. En studie utförd av Boaler (2002) i England har visat att elever som har fått en mer varierad undervisning med mycket grupparbeten i form av projekt av olika slag kommer ihåg sina matematikkunskaper under en längre tid. De arbetade med mycket öppna matematiska problem, det vill säga problem som kan lösas på flera sätt beroende på förkunskaper. I undersökningen ingick två årskurser. Totalt följde Boaler ungefär 570 elever men alla elever har inte deltagit i alla hennes

undersökningar. I denna undersökning fick eleverna göra om sina prov sex månader efter det första provet och då visade det sig att de elever som hade en undervisning som till stor del styrdes av lärobok och formelkunskap hade glömt 2/3 respektive hälften av vad de kunnat sex månader tidigare. De elever som haft en mer varierad undervisning med grupparbeten och projekt hade glömt 1/3 respektive 1/6 sex månader senare, alltså mindre. Boaler (2002) visade också att de elever som fått en mer varierad undervisning inte kunde mer matematik vad gällde matematiska regler och fakta men de hade större matematiska färdigheter när det gällde att använda kunskaperna i andra matematiska situationer. Eleverna uttryckte det ungefär med att de kanske inte kunde svaret men de kunde använda sina kunskaper för att komma fram till det.

I samma undersökning beskrev 43% av de elever som fått en varierad undervisning lektionerna som positiva medan 23% av eleverna i den andra gruppen var positiva till

lektionerna. Det stämmer överens med skolverkets undersökning ”Lusten att lära – med fokus på matematik” som påpekar att de mött många elever som uppvisat lust att lära i

undervisningssituationer där det funnits utrymme för

”både känsla och tanke, upptäckarglädje, engagemang och aktivitet hos både elever och lärare. Dessa undervisningssituationer har kännetecknats av variation i innehåll och arbetsformer. Eleverna har arbetat individuellt men också i olika gruppkonstellationer. Elever och lärare har

(13)

gemensamt reflekterat och samtalat om olika sätt att tänka kring och lösa, i detta fall, matematiska uppgifter” (Skolverket 2003, s.14)

En studie hade undersökt hur eleverna upplevde grupparbete och funnit att 69% av eleverna och 76% av lärarna var positiva till det. Eleverna hade tyckt att samarbetet fungerat väl och att de funnit många olika sätt att räkna på genom samarbetet. Lärarna svarade att de gärna skulle göra mer av detta arbete men att tidsbrist ofta var orsaken till att det inte blev av (Skolverket, 2005).

2.4 Matematisk förståelse

I Boalers (2002) undersökning arbetade den skolan som inte hade en traditionell undervisning mycket med grupparbeten i form av projekt. Eftersom det var så kallade öppna uppgifter så var det en utmaning för alla elever oberoende av förkunskaper och det visade sig också att det ledde till utveckling för eleverna oberoende av social tillhörighet. Den andra skolan som hade en mer traditionell form av undervisning visade dock på att klasstillhörigheten till stor del avgjorde framgången i matematik.

Löwing (2004) har i sin studie visat att de flesta elever inte ens de duktiga vill ha en djupare förklaring från läraren när de frågar, de vill bara lotsas fram till ett svar och lärarna verkar acceptera det. Boaler (2002) har också studerat detta men hon fann att flickorna hade en starkare vilja till förståelse och var glada åt matematisk problemlösning som fick dem att förstå varför de skulle lära sig matematiken och hur den skulle användas. Resultat se tabell 2.

Tabell 2. Boalers (2002) undersökning om vad eleverna tyckte var viktigast när de lärde sig matematik

Flickor Pojkar Tycker förståelsen är viktigast 91% 65% Viktigast komma ihåg regler och metoder 4% 24% Viktigast eller näst viktigast att göra så mycket som

möjligt

5% 19%

Hennes resultat visade att 91 % av flickorna tyckte att förståelse var det viktigaste när de lärde matematik medan 65 % av pojkarna svarade samma. 4 % av flickorna mot 24 % av pojkarna tyckte att det viktigaste var att komma ihåg regler och metoder. 5 % av flickorna och 19 % av pojkarna tyckte att det viktigaste eller näst viktigaste var att hinna med att göra så mycket som

(14)

möjligt. Boalers slutsats stärks av Staberg (Grevholm, Hanna 1995) som studerat flickor och sett att de efterfrågar förståelse i skolan i år 7 och anger att brist på förståelse kan var en av anledningarna till att flickor är osäkrare i skolarbetet.

Rätt utformade laborationer kan också hjälpa elever att komma ifrån sitt stela tänkande kring hur matematiska problem ska lösas. Enligt Magne (1998) så uppvisar många svagpresterande elever just sådana svårigheter. De har lärt sig matematiska rutiner utantill och försöker följa dem men eftersom det alltid dyker upp små variationer så blir det ofta fel för dem eftersom de inte har förstått vad de gör och varför. Exempelvis kan 3+18 bli 12 om de ställer upp talet med trean överst. Eftersom det inte finns någon tiotalssiffra att skriva minnessiffran över så adderas den till entalen. Ett icke reflekterande sätt att arbeta som skapar matematiska felaktigheter.

Även Sjöberg (2006) visade i sin undersökning att de diskussioner som följer av grupparbetet var viktiga för eleverna med matematiksvårigheter som han följde. I hans grupp av 13 elever med matematiska svårigheter så angav åtta av dem att en av orsakerna till deras vändning till att klara matematik kom i och med att det blev accepterat med hjälplärare. Elever tilläts att fråga varandra istället för läraren. Själva angav de att det berodde på att kamraterna förklarade bättre men Sjöberg sammanfattar det i tre termer efter att ha studerat videoupptagningar, vänskap, trygghet och gemensam inlärning.

2.5 Aktivitet

Matematik är tillsammans med fysik och kemi de ämnen som svenska elever uttrycker lägst intresse för. Drygt 40 % anger i skolverkets undersökning att de saknar intresse för ämnet. Nästan lika stor andel elever anger att de ger upp om uppgifterna är för svåra (Skolverket 2005)

Elevernas aktivitet i klassrummet är låg. Enligt skolverkets (2003) Lusten att lära, arbetar många av de uttråkade eleverna mindre än 25 % av lektionstiden. Flera av dem kan inte svara på vad de arbetar med i matematik fastän boken ligger uppslagen framför dem. Sjöberg (2006) har bekräftat detta i sin avhandling där han visat att de elever med

matematiksvårigheter som han studerade ägnade ca.30 minuter till matematikarbete per vecka. Det är inte tid som räcker till någon djupare förståelse speciellt inte om man tycker att matematik är svårt. Även Boaler studerade hur stor del av lektionerna som eleverna ägnade åt

(15)

matematiskt arbete. I den skola som arbetade med problemlösning var fördelningen

normalfördelad där de flesta arbetade 31-40 minuter per 60 minuters lektion. Genomsnittet låg på 37 minuter. Samma genomsnitt hade eleverna som hade läroboksstyrd undervisning men deras fördelning var mer linjär förutom de sista 10 minuterarna som väldigt få arbetade. Boaler som även följde deras matematiska kunnande upptäckte att flera av de elever som inte lade ned så mycket tid på matematiklektionerna ändå klarade testerna bra. Hon anser därför att

”making students work is not a particularly effective way to get students to think about mathematics.”(Boaler 2002, sid.73)

Laborationer ger möjlighet till större egen aktivitet i klassrummet och rörelse kan underlätta tänkandet för elever med koncentrations- och perceptionsstörningar anser Malmer (1999). Eftersom svårigheten ökar med abstraktionsnivån så är den individuella anpassningen väldigt viktig. Också dialogen som blir ett naturligt inslag i det laborativa arbetet är stimulerande för de här eleverna. Att eleverna är aktiva stimulerar det egna tänkandet och hindrar eleverna från att bli passiva, en extra svårighet som många gånger drabbar elever som fått för mycket hjälp för att utvecklas eller som förlorat intresset för matematik.

2.6 Laboration

Elevernas upplevelse av hur en bra lärare är visas av att ” Cirka hälften av eleverna som ger sina lärare goda omdömen på ett gemensamt mått på lärarinsatserna har också lärare som stimulerar dem till undersökande och diskuterande samarbete” ( Skolverket 2003, s.22).

Att tydligt veta vad ”målet är för undervisningen” är viktigt vid all undervisning även vid laborationer annars blir det aktivitet istället för inlärning som skett vid de laborationer som Löwing (2004) studerat där målen var otydliga. Det är därför viktigt att vara klar över vad målet för laborationen är innan man påbörjar arbetet med att utforma den.

För att laborationer ska ge inlärning mot ett mål bör de vara utformade så att inga givna svar finns och att de kan ge upphov till fördjupning så att alla elever oberoende av förkunskaper kan känna utmaningen och tillfredställelsen av att få arbeta med uppgifter på ”sin” nivå.

(16)

Beprövade riktlinjer lämpliga för laborationen har Taflin (2007) arbetat med i sitt arbete för så kallade rika problem. För att ett problem ska benämnas som ett rikt problem ska följande sju kriterier uppfyllas:

”1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer.

2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid. 4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer.

5. Problemet ska kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer.

6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare.

7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.” (Taflin, 2007 s.22)

Hon betonar också att det är viktigt att man avslutar arbetet med en genomgång där man kan diskutera alla lösningar och ge tillfälle till ytterliggare diskussioner.

Den sista punkten som Taflin visat är viktig, är intressant då få elever har denna typ av uppgifter i sin undervisning. Av elever i år 9 som tillfrågats om de var vanligt att man i matematik fick i uppgift att formulera egna problem att undersöka tillsammans så svarar bara 24 % positivt (Skolverket, 2003).

(17)

3 Syfte

Syftet med examensarbetet är att låta elever i år 7 genomföra en laboration och samtidigt studera hur eleverna diskuterar och arbetar vid laborationen för att finna orsaker till att, om och hur elevernas matematiska kunskaper utvecklas. I anslutning till laborationen ska elevernas upplevelser av det laborativa arbetet undersökas.

För att utforma laborationen har jag tagit del av studier i hur s.k. rika matematiska problem och laborationer bör vara utformade. Detta för att laborationen på ett så bra sätt som möjligt ska stimulera elevernas lärande och intresse.

3.1 Frågeställningar

De frågeställningar som undersökningen fokuserat kring är,

-_{Hur upplever eleverna att deras matematiska aktivitet under lektionen påverkas av det} laborativa arbetet i matematik?

-_{Hur upplever eleverna att deras matematiska kunskap om sambanden mellan bråk- och} procenträkning påverkas av det laborativa arbetet?

(18)

4 Metod

De frågeställningar som undersökningen fokuserat kring är,

-_{Hur upplever eleverna att deras matematiska aktivitet under lektionen påverkas av det} laborativa arbetet i matematik?

-_{Hur upplever eleverna att deras matematiska kunskap om sambanden mellan bråk- och} procenträkning påverkas av det laborativa arbetet?

För att undersöka dessa frågor finns det flera olika metoder att använda.

4.1 Undersökningens upplägg

För att undersöka problemställningarna kan man göra intervjuer och enkäter för att söka svar på hur deltagare upplever en laboration i matematik. Man är vid båda dessa former beroende av de utfrågades beredvillighet att deltaga. En intervju ger ett större personligt engagemang och möjlighet till kompletterande frågor. Intervjuer är svårt att utföra i stora grupper eftersom materialet som ska värderas blir stort då många svarsalternativ blir möjliga. Enkäten ger däremot en större möjlighet att styra svaren till fasta svarsalternativ om det är önskvärt.

I arbetet genomfördes en enkätundersökning eftersom en i min mening hög grad av

strukturering och standardisering gav eleverna som besvarade enkäten lägre frihet att tolka frågorna och lättare gav en kvalitativ analys av resultatet. Dessutom gav det en rimlig arbetsbörda i förhållande till den tid som ges inom ramen för ett examensarbete. Frågorna i enkäten gavs med en fyrgradig inställning där ändpunkterna verbaliserades. För att undvika att svar drogs mot mitten, centraltendensen, valdes fyra skalsteg.

Även olika former av observationer är aktuella vid en undersökning som den här. En observation kan vara strukturerad där man bestämt vilka skeenden och beteenden som ska studeras eller så kan den vara ostrukturerad där man observerar för att få så mycket kunskap som möjligt. Eftersom jag hade väldigt lite kunskap om hur eleverna skulle komma att uppleva det laborativa arbetet så var det svårt att göra en strukturerad observation och därför valdes en ostrukturerad observation. En videofilmning av laborationsarbetet gjordes för att kunna samla så mycket information som möjligt om elevernas dialoger, idéer och förståelse av och kring den matematiska laborationen. Under laborationen, observationen, var jag en deltagande observatör eftersom jag fanns i klassummet som lärare och handledare under arbetet.

(19)

4.2 Urval

Eleverna som ingick i studien, två klasser år 7, utgjorde inte något slumpvis urval. De valdes utifrån att jag genom min VFT fått kontakt med deras lärare som också tyckte att det skulle vara intressant att få reda på elevernas reaktioner på ett laborativt arbetssätt. En av klasserna har jag träffat under min VFT så de känner mig. Den andra klassen har enbart sett mig på skolan tidigare. Urvalet blev bara två klasser eftersom min handledare och jag bedömde att det är ett rimligt stort material att behandla under den tid som ett examensarbete omfattar. Undersökningen utfördes under fyra lektioner i början av december 2007 då det var möjligt att ”låna” klasserna och utföra laborationerna vid övergången mellan två arbetsområden i matematik.

4.3 Laborationens utformning

Elevernas lärare ville att de gärna skulle arbeta med procent under laborationen eftersom de skulle arbeta med det framgent. För att knyta an till tidigare delar av elevernas undervisning så syftar laborationen till att utveckla elevernas kunskaper om sambanden mellan bråk- och procenträkning. Vid laborationen hade eleverna tillgång till ett stort A3-ark där cirklar och kvadrater kunde fyllas med olika läggplattor för att representera deras tankar och idéer om hur uppgifterna skulle lösas.

Laborationen utformades utifrån de sju kriterier som Taflin (2007) arbetat med. (Laboration se bil.I)

1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer.

2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.

4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer.

5. Problemet ska kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer.

6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare.

7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.

Eftersom laborationen knyter ihop begreppen bråk och procent så uppfyller den det första kriteriet att introducera matematiska idéer. Svårighetsgraden på uppgifterna och elevernas

(20)

möjlighet att använda tidigare kunskap samt möjligheten att visualisera uppgifterna gör att de blir lätta att förstå och att alla har möjlighet att arbeta med dem. Eftersom uppgifterna har olika svårighetsgrad så kommer de också att kunna kräva utmaningar för alla och ge möjlighet till olika lösningar beroende på vilka förkunskaper man har. Exempelvis kan uppgift 4 (se bil.I), om jeansen som får nytt pris, lösas på olika sätt, även genom förändringsfaktor som kan beskrivas med hjälp av läggplattorna. Diskussioner tillsammans med läggplattorna kan hjälpa eleverna att skapa förståelse för sina olika idéer och lösningar. Sista uppmaningen, den kompletterande uppgiften, att skapa ett eget problem ska inspirera eleverna till eget matematiskt tänkande.

Den punkt som var svår att styra över var tiden som bör vara lång men tyvärr så hade varje klass bara en lektion på sig och lektionstiden var mellan 40 och 50 minuter.

4.4 Yttre påverkan

Elevernas arbete påverkades givetvis av att de filmades, det var en för dem ovanlig situation som skapade nervositet och allmän oro. Alla som ska delta i vetenskapliga undersökningar ska informeras i förväg om undersökningen. Eftersom eleverna är minderåriga så skickades information, med eleverna, till vårdnadshavarna. De informerades om möjligheten att avböja från deltagande (se bil.IIa). Denna information gav eleverna en liten möjlighet till

förberedelse inför den ovana situationen.

Annat som påverkade var att de är ovana vid att arbeta på laborativt sätt i matematik. Det skapade mycket frågor om hur de skulle göra och ledde till onormalt mycket prat. En del elever upplevde att det var konstigt att deras ordinarie matematiklärare inte var närvarande.

Angående enkäten fanns det en risk att alla elever inte svarade så sanningsenligt som möjligt. (Enkät se bil. III)

4.5 Bearbetning av informationen

Det var sammanlagt 15 grupper på totalt 44 elever som utförde laborationen. Två elever valde att avstå från deltagande. De utförde laborationerna en halv klass i taget och var uppdelade i grupper om två till fyra elever. Eftersom närvaron av videokameror påverkade en del elever så

(21)

starkt att de inte utförde något egentligt laborativt arbete så har studien följt 38 av dessa elever, 19 flickor och 19 pojkar. Vid två tillfällen fungerade inte kameran så dessa två grupper filmades inte men deras arbete och enkätsvar har ändå kunnat utvärderas.

4.5.1 Videofilmerna

Videofilmerna studerades och den matematiska diskussion som fanns på dem transkriberades. Sedan generaliserades materialet till tre grupper med påverkan av de frågeställningar som arbetet hade. Grupperna var: Dialog som underlättar förståelsen, Visualisering som underlättar förståelsen och Utvecklande av ny kunskap med hjälp av gammal kunskap.

Tyvärr så gjorde det ständiga sorlet i bakgrunden det svårt att följa diskussionerna på

videofilmerna. En hel del diskussioner och förklaringar till hur de tänkte framkom ändå både genom dialogerna och genom att se hur de använde läggplattorna och att studera hur de löste uppgifterna.

4.5.2 Enkäterna

Enkäterna sammanställdes för att kunna analysera resultaten utifrån frågeställningarna.

Eftersom underlaget inte var så stort så slogs skalstegen samman två och två så att exempelvis svaret att de jobbat mycket flitigare och flitigare än på andra matematiklektioner slogs ihop till att de jobbat flitigare. Även om frågan om kön ställdes och det var 19 flickor och 19 pojkar sammanlagt så har underlaget betraktats som för litet för att göra en bedömning av hur elevernas kön påverkar deras svar.

Eftersom elevgrupperna endast hade en lektion till förfogande så var eleverna tvungna att fylla i enkäten under lektionen. För att alla skulle göra det, gjorde de det innan den

gemensamma genomgången. En del grupper som vid genomgången insåg att de gjort misstag eller löst uppgiften på ett ovanligt sätt fick därför inte möjlighet att ta med de tankarna i sina svar av enkäten.

(22)

5 Resultat

Enkätsvaren gav som resultat att många elever upplevde att de arbetade flitigare på lektionen med laborativt arbete än på en vanlig matematiklektion. De flesta eleverna tyckte att

samarbetet fungerade bra och av de elever som gjorde tre av de fyra uppgifterna upplevde flera också att deras möjligheter att komma ihåg vad de lärt sig på laborationen hade ökat i förhållande till vanligt matematiskt arbete.

5.1 Enkätsvar

För att få en uppfattning om elevernas svar i förhållande till deras lösningsfrekvens så har enkätsvaren sammanställts efter hur många uppgifter de löste. För en sammanställning av hela enkäten se bilaga IIIb.

Tabell 3. Tabell över elevernas svar på enkäten om deras upplevelser av det laborativa arbetet.

Gjort uppgift 1 & 2 1, 2 & 3 1, 2, 3 & 4

Jag tycker matematik är roligt

7 tråkigt 7 roligt 8 tråkigt 6 roligt6 tråkigt 4 Jag tycker att jag är duktig i ma.

9 mindre bra i ma 5 duktig i ma. 12 mindre bra i ma 2 duktig i ma. 9 mindre bra i ma 1 På den här laborationen har jag

jobbat flitigare än vanligt 6 mindre än vanligt 7 flitigare än vanligt 12 mindre än vanligt 2 flitigare än vanligt 7 mindre än vanligt 3 Jag tycker att samarbetet fungerat bra

7 inte fungerat 6 fungerat bra 14 inte fungerat 0 fungerat bra 10 inte fungerat 0 Jag tycker att laborationen var rolig

7 tråkig 7 rolig 10 tråkig 4 rolig 5 tråkig 5 Jag tror att jag kommer komma

ihåg vad jag lärt mig

längre än vanligt 6 kortare tid än vanligt 8 längre än vanligt 10 kortare tid än vanligt 4 längre än vanligt 2 kortare tid än vanligt 7

5.1.1 Elevernas upplevelse av sin matematiska aktivitet

En av frågeställningarna var

- Hur upplever eleverna att deras matematiska aktivitet under lektionen påverkas av det laborativa arbetet i matematik?

En majoritet av eleverna 25 av 37, 68 % (en svarade inte), har upplevt att de vid arbetet med laboration i matematik har arbetat flitigare än vid vanliga lektioner.

När filmerna studerades såg jag att den effektiva arbetstiden var relativt låg. De diskuterade mycket annat än matematik, vad kamraterna gjorde, om de syntes på videofilmen och om laborationen skulle komma att påverka betyget. Flera elever förflyttade kameran så att de själva syntes eller inte syntes på filmen och det var mycket angelägna om att filmerna inte

(23)

skulle visas för andra. Det är dock svårt att bedöma hur stor del av lektionen som de arbetade med matematik då det många gånger var så mycket bakgrundsljud i lektionssalen att man inte kunde avgöra vad de sa på videobanden. Dock hann fyra grupper om totalt 10 elever göra färdigt alla fyra uppgifterna. Tre av de grupperna hann också diskutera den kompletterande uppgiften som var att formulera ett eget problem, men bara en av dem hann slutföra den. 14 elever hann arbeta med 3 av uppgifterna och 14 elever gjorde enbart de två första uppgifterna.

Samarbetet upplevdes som positivt, 31 elever ansåg att samarbetet fungerade bra och bara 6 att det inte fungerat (en har inte svarat på frågan).

22 av 38 elever upplevde att arbetet med laboration i matematik var roligt, kan jämföras med att 21 av 38 anser att matematik är roligt. Av de elever som gjorde de tre första uppgifterna var det 10 av 14 som tyckte laborationen var rolig och 8 av 14 som tyckte att matematik är roligt.

5.1.2 Elevernas upplevelse av kunskapen om matematiken

Den andra frågan som undersöktes var

- Hur upplever eleverna att deras matematiska kunskap om sambanden mellan bråk- och procenträkning påverkas av det laborativa arbetet?

Flera av eleverna 18 av 38, 47 %, upplevde att de skulle komma ihåg det de lärt sig under längre tid än vid vanlig undervisning. Andelen elever som upplevde att de skulle komma ihåg längre tid ökade (10 av 14, 71 %) om man bara ser till gruppen som gjorde uppgift 1,2 & 3. Av de tio elever som gjorde alla uppgifter ansåg bara 2 att de skulle komma ihåg vad de lärt sig under en längre tid än normalt. Några i denna grupp påpekade att ”de redan kunde allt”.

5.2 Videoupptagningar

Videoupptagningarna gav inblick i hur eleverna gemensamt diskuterade sig fram till lösningar. Diskussionerna var ibland rent dialogiska och ibland tog eleverna hjälp av materialet de hade till hands för att visualisera vad de menade.

5.2.1 Dialog som underlättar förståelsen

En del av elevernas dialoger har fört samman under den här rubriken då jag upplever att de visar hur dialogen hjälpte eleverna att förstå matematiken i uppgifterna.

(24)

Den första uppgiften som gick ut på att förstå hur stor den svarta tårtbiten var (1/5) och sedan markera lika stor del av stapeln med tio rutor och kvadraten på 100 rutor löste de flesta lätt emedan en del diskussioner av förklarande slag uppkom.

Dialog 1:

En pojke bad mig om hjälp för att kamraten inte förstod honom.

Pelle1 _{”Jag försöker förklara för han, två stycken är en femtedel. Det är det ju, för där} är tio stycken.”

Anders ”Ja, men två stycken kan ju vara två tiondelar också.”

När de nu lyssnade på varandra insåg de att de sa samma sak på två olika sätt.

I tredje uppgiften där de skulle ta ställning till om Johan som gjort 5 mål på 20 straffkast eller Pelle som gjort 6 mål på 25 straffkast varit duktigast i straffläggning stötte många på problem. Många såg genast att Johan gjort 25% mål på sina straffkast. De såg att 5/20 är lika med ¼ som de visste var 25%. Men de vet inte hur 6/25 ska kunna jämföras med ¼ eller hur det kan omvandlas till procent.

Dialog 2:

I en grupp diskuterade de fram lösningen:

Maria ”Johan har gjort en fjärdedel. Aha det är Pelle som har gjort flest, han har gjort lite mer än en fjärdedel.”

Sara ”Nä!”

Maria ”Jo ¼ är 6/24.” Hörs dåligt någon annan säger

”Borde vara lika.”

Senare insåg de att 6/25 är lite mindre än 6/24.

Dialog 3:

En annan grupp löste problemet på ett annat sätt. Dragan ”Det är en fjärdedel men en över.”

Albin ”Men kolla, på fyra skott satte han Johan en och på fem skott satte Pelle en, så Johan äger han.”

(25)

De insåg att om de var lika så skulle Johan ha gjort sin sjätte straff på 24:e kastet men Pelle behövde då ett femte kast.

5.2.2 Visualisering som underlättar förståelsen

Andra elever tog hjälp av det laborativa materialet för att få kamraterna att förstå vad de menade, de visualiserade det som de ville förklara. Detta är en del av de dialogerna.

Dialog 4:

Johan förklarar för sina kamrater att en femtedel av tio är två genom att säga ”En femtedel på tio, det är två.”

Sedan lägger han ut två rutor och visar kamraterna att en stapel med två rutor kan flyttas i fem positioner för att täcka hela tiostapeln.

Dialog 5:

När jag frågar en grupp

”Kan man se något samband mellan 1/5, 2/10 och 20/100?” Anna ”De är värda lika mycket.”

Efter lite diskussion om att lägga ut och se så prövar man och ser att de är samma. Då säger Sofia ”Man kan gångra!”

De prövade med plattorna och såg plötsligt att man kan förlänga bråken.

Dialog 6:

Andra uppgiften som handlade om att markera 75% av cirkeln och hundrakvadraten tyckte många var lätt, många kunde sambanden mellan 25% och ¼ men inte alla var säkra.

Pia ”75% av det här ska jag färglägga, det är 25% över. Då ska jag färglägga alla förutom en, va? 4/5? ”

De var kvar i första uppgiftens femtedelar och försöker markera 75% med hjälp av femtedelar.

Jag gick förbi och vi börjar prata om kvadraten och de visste att 75 rutor skulle markeras i den.

Jag lade en halvcirkel på cirkeln, de visste att det var 50%. Jag frågade hur mycket mer som ska markeras de svarade

(26)

” 25%. ”

Jag frågade ”Vilken bit är det?”

De tog först fram 1/3 men såg att den var för stor och såg sen ¼. Jag frågade ”Hur många får plats”

Pia ”1,2,3,4.”

Jag frågade ”Vad heter då dessa?” Pia ”Fjärdedelar.”

5.2.3 Utvecklande av ny kunskap med hjälp av gammal kunskap

I uppgiften med straffkasten var det ingen grupp som löste problemet, utan vägledning, genom att förlänga bråket till hundradelar. De förstod inte hur de skulle kunna jämföra det procentuellt. De verkade inte medvetna om att de arbetade och hur de arbetade med de sambanden i första och andra uppgiften.

Dialog 7:

Flera grupper hade kunskap om att 1/5 är 20%, ¼ är 25% och ½ är 50% men det var färre som förstod hur omvandlingen till procent skulle utföras. En grupp såg genast att Johans mål är ¼ och börjar markera 25 i ”hundrarutan”. Men de hade svårt att se hur de skulle förändra 6 av 25 till hundradelar. När jag visade att de gjorde det i bland annat första uppgiften svarade

Amalia ”Det kunde jag ju redan i huvet så det var inte så svår.”

De hade ändå svårt att komma vidare och när jag tittade till dem lite senare frågade jag hur de fick Johans 20 kast att motsvara 100.

”Om du har 20 rutor vad ska göra för att det ska bli 100?” Amalia ”Fem!”

Och nu förstod de och räknade ut att Pelle hade fått 24% utdelning på sina straffkast medan Johan varit duktigare som klarat 25%.

5.3 Laborationen

Det var fyra grupper som hann med att göra färdigt de fyra uppgifterna och tre av dem började arbeta med den kompletterande uppgiften att skapa en egen uppgift. 14 elever gjorde de två första uppgifterna och 14 gjorde de tre första uppgifterna.

(27)

De flesta elever hade lätt för att komma igång och fick möjlighet att testa sina

gränsöverskridande kunskaper. Flera olika lösningar presenterades och gav intressanta diskussioner vid genomgången. Ingen grupp löste några uppgifter med hjälp av

förändringsfaktor, en metod som ännu inte är presenterad för dem.

Tiden var en begränsande faktor som gjorde att alla inte löste alla uppgifter och genomgången efteråt blev kort så det var bara tid för korta diskussioner.

(28)

6 Diskussion och slutsatser

De intressanta resultaten som indikerades i undersökningen var att de allra flesta eleverna var positiva till samarbetet och att fler än hälften upplevde att de arbetade mer aktivt under laborationen än vad de vanligen brukar göra på en matematiklektion.

Många diskussioner som uppstod mellan eleverna under arbetet visade på att de är duktiga på att lära av varandra och att möjligheten att samtidigt visa vad de menade underlättade för dem när de förklarade.

Elevernas upplevelse om hur länge de skulle komma ihåg det de lärt sig hängde ihop med hur många uppgifter de löste på laborationen.

6.1 Elevernas upplevelse av sin matematiska aktivitet

En av frågeställningarna var

- Hur upplever eleverna att deras matematiska aktivitet under lektionen påverkas av det laborativa arbetet i matematik?

Sjöberg (2006) visade i sin undersökning att de svagpresterande elever som han följde i matematik endast arbetade ca.30 min. per vecka, vilket motsvarar ca.10 minuter per lektion. I Boalers (2002) undersökning fanns elever som arbetade lite på lektioner precis som i

Skolverkets (2003) undersökning som visade att många arbetar mindre än 25 % av

lektionstiden. Även i denna undersökning fanns det elever som bara arbetade en liten del av lektionstiden. Det har inte varit möjligt att mäta den exakta tiden de arbetat på grund av att ljudstörningar gjort det svårt att följa all dialog men om man ser till arbetsinsatsen så var det 10 elever som gjorde alla fyra uppgifter och 14 stycken som enbart gjorde de två första uppgifterna. Intressant är att se att många av de gruppernas lösningar visar på bra kunskaper i matematik. Det överensstämmer med Boaler (2002) som visade att många av eleverna som arbetade lite på lektionerna ändå hade relativt goda matematiska kunskaper, det är viktigare med kvalitet, matematisk förståelse, än kvantitet i arbetet.

Elevernas egen bedömning var att 25 av 37, 68 %, upplevde att de arbetat mer aktivt under laborationen än under andra matematiklektioner. Det kan finnas flera orsaker till att de upplevt att de arbetat flitigare men jag finner ett par orsaker som kan ha påverkat dem i en positiv riktning.

(29)

Av alla elever så var det ca 40 % som tyckte att matematik är tråkigt, nästan lika många upplevde laborationen som tråkig. Siffrorna är jämförbara med skolverkets (2005) siffra drygt 40 % saknar intresse för ämnet. Men av de elever som gjorde de två och tre första uppgifterna upplevde 18 av 27, 67 %, att de arbetade flitigare än på vanliga lektioner och 21 av 27 var positiva till samarbetet. I den gruppen var det dessutom två fler som tyckte att laborationen var rolig (17 av 28) jämfört med hur många som tyckte att matematik som ämne var roligt. Om arbetsformen, grupparbete upplevs som positivt och om en fler upplever uppgiften som roligare än vanligt matematiskt arbete så kan arbetsinsatsen öka.

En annan faktor är att så många som 10 av 14 av eleverna som gjorde de tre första uppgifterna, upplevde att de skulle minnas den matematiska förståelse av bråk och

procenträkning som de erhållit under lektionen under längre tid än vad de vanligen minns matematikkunskaper. En orsak kan vara att det laborativa materialet med möjlighet till visualisering gav dem en ökad matematisk förståelse som då blir ett tydligare minne i

långtidsminnet än vad formelkunskap som man inte har förstått ger. Att känna att man får en ökad förståelse ökar självtilliten och det kan givetvis påverka inställningen till arbete positivt.

6.2 Elevernas upplevelse av kunskapen om matematiken

Den andra frågan som undersöktes var

- Hur upplever eleverna att deras matematiska kunskap om sambanden mellan bråk- och procenträkning påverkas av det laborativa arbetet?

Det finns flera saker i den här undersökningen som indikerar vad som kan vara orsaken till att 16 av 28 av de elever som gjorde de två och tre första uppgifterna upplevde att de skulle komma ihåg det de lärt sig under en längre tid. Dialogen och möjligheten till visualisering är de främsta orsakerna som jag sett i studien men även elevernas förmåga att se att de kan använda tidigare kunskap för att skapa ny gör att de upplevde en förståelse som de upplever kommer bestå under längre tid. Deras upplevelse överensstämmer med den undersökning som Boaler (2002) gjort som visade att matematisk kunskap som utvecklats i grupparbeten kring öppna problem gav en varaktigare kunskap.

(30)

6.2.1 Dialog underlättar förståelsen

Många av diskussionerna som uppkom visade på att de hade aha-upplevelser under arbetet och 31 av 37, 84 %, tyckte att samarbetet fungerade vilket är en förutsättning för att dialoger ska uppstå. Att så många tyckte att samarbetet fungerat bra är högre än i skolverkets

undersökning där 69% var positiva (Skolverket, 2005) men underlaget är inte tillräckligt stort för att dra statistiska slutsatser men indikationen överensstämmer.

Dialogerna, 1-3, visar på en stor vilja från elevernas sida att hjälpa sina kamrater till förståelse och de verkade också lära sig att lyssna på varandra som den pojke som trodde han behövde min hjälp för att få kamraten att förstå att 1/5 av tio rutor är 2 rutor. När jag kom lyssnade de på varandra och insåg att de sa samma sak 1/5 = 2/10. Jag upplever att sådana här

diskussioner är viktiga eftersom om de bara rättat sina svar i facit så finns en risk att de trott att 2/10 var fel och skrivit dit ”det rätta svaret” 1/5 utan att fundera över det.

Ibland blev det långa diskussioner speciellt när de skulle jämföra Johans och Pelles straffkast. De hade svårt att bestämma förhållandet mellan 5/20 och 6/25 men två grupper gjorde först fel och trodde att 6/25 var mer än 6/24 men båda grupperna kom fram till att de tänkt fel och varför. Utan dialog hade troligen inte alla kommit fram till rätt svar.

Viljan att ta hjälp av och hjälpa kamrater visade även Sjöberg (2006). Eleverna i hans undersökning sa att de hellre frågade en kamrat än läraren för att de förklarade bättre

sammanfattade han i termerna vänskap trygghet och gemensam inlärning. Samma saker syns på videoupptagningarna. De ger varandra tid att förklarar och lyssnar på vad kamraten undrar över.

6.2.2 Visualisering underlättar förståelsen

En laboration möjliggör visualisering av de frågeställningar man har. Flera elever upplevde att de kunde förklara sig tydligare om de samtidigt visade på bilden vad de menade, dialog 4-6. En pojke visade sina kamrater att 1/5 av tio var två genom att samtidigt lägga två plattor på tiostapeln och visa att den gick att flytta fem gånger. När han gjorde det förstod alla att 1/5 av tio var 2. Utan att kunna visa hade det troligare varit svårare att förklara sambandet.

(31)

Gruppen som jag bad förklara hur de visste att 1/5, 2/10 och 20/100 var samma sak hade utnyttjat sina tidigare kunskaper för att klara uppgiften men när de nu skulle förklara tog de fram läggplattorna och när de lagt ut dem såg en av dem att man genom multiplikation, förlängning, kunde se att det var samma sak.

En grupp hade svårt för att färglägga 75% av cirkeln men det visade sig att de kunde halvcirkelns storlek och då kom de fram till att 1/4 är 25%.

Dialogerna indikerar att flera elever upplevde att de lättare kunde förstå sambanden om de samtidigt visualiserade det som de skulle beskriva.

6.2.3 Utvecklande av ny kunskap med hjälp av gammal kunskap

I kursplanerna i matematik står det att eleverna ska utveckla nya ”insikter och lösningar på problem” (Kursplan i matematik, 2000-07) men för att klara det behöver de utveckla sin förmåga att förstå vad de gjort och utifrån det skapa ny kunskap eller återskapa den som de glömt. Jag har upplevt att många elever lär sig formler utantill och använder dem på proven men eftersom de inte förstått bakgrunden till formlerna så kan de inte återskapa dem om de glömt dem. Boaler (2002) visade på att projektarbeten i grupp med öppna problem i

matematik gjorde att eleverna hade en större matematisk förmåga att använda sina kunskaper i andra mer matematiskt krävande uppgifter.

Eleverna behöver träna på att se hur den kunskap som de har kan användas i nya situationer. De visste i uppgiften om Johans och Pelles straffkast att 5/20 var ¼ alltså 25% men eftersom de inte ”visste” hur de kom från ¼ till 25% genom förlängning så kunde de inte omvandla 6/25 till 24/100, alltså 24%. Men de grupper som hann med och ville diskutera uppgiften löste den sedan. Min tro är att de nästa gång står bättre förberedda när de ska lösa ett mer komplext problem.

6.3 Laborationens utformning

Löwing (2004) har i sin studie påpekat vikten av att känna till elevernas förkunskaper för att kunna individualisera undervisningen och för att dialogen med eleven ska leda till

(32)

innan så att jag hade haft större kunskap om den stora spridning i förkunskaper som fanns i klassen.

Eftersom tiden var knapp hann jag inte uppmuntra, de elever som tyckte att det var för lätt, att försöka lösa uppgifterna på flera sätt. Eftersom de flesta var ovana vid arbetssättet så hade jag inte tid att se att de hade behov av den typen av vägledning. De var mer inriktade på att lösa uppgiften än att förstå den och jag hann inte med att styra upp det. Troligen var deras svar på enkäten mer negativ eftersom de inte upplevde någon större matematisk utmaning i

laborationen. De hann med alla uppgifter och var som undersökningar visat nöjda med att ha fått rätt svar.

Tiden var också en begränsande faktor. Mycket tid gick åt till att starta upp själva arbetet, troligen på grund av ovana vid situationen och arbetssättet. Om eleverna får en större vana vid laborativt arbete kommer de fortare igång och fler kommer att få möjlighet att slutföra alla uppgifter och en vana vid att hitta alternativa utvecklande lösningar kommer troligen att infinna sig.

6.4 Validitet och reliabilitet i undersökningen

Genom att frågorna i enkäten kunde tolkas på olika sätt så kan validiteten i undersökningen ifrågasättas. Jag vet inte om elevernas tolkning av att de lärt sig, förstått eller jobbat flitigt är densamma som jag gör. Undersökningsmaterialet, 38 elever, ger inte heller en statistisk tillförlitlighet, reliabilitet, men de resultat som framkommit kan ändå fungera som underlag för en fortsatt undersökning då man utifrån denna studie kan välja ut frågor som lämpar sig för en strukturerad observation.

Resultaten har också påverkats av att det troligen var stökigare i klassrummet under dessa lektioner än vad det vanligtvis är pga. att arbetssituationen var ny. De var ovana vid läraren och närvaron av videokameror skapade många tillfällen till att ägna sig åt annat än matematik.

6.5 Kompletterande undersökningar

Givetvis skulle det vara intressant att mäta elevers aktivitet under deras matematiklektioner och sedan mäta om den förändras då de blir vana vid matematiskt laborativt arbete. Om möjlighet fanns för en långtidsstudie skulle det vara intressant att undersöka hur mycket av

(33)

deras matematiska förståelse som finns kvar efter en längre tid och jämföra resultaten med Boalers (2002) undersökning.

De frågor som inte togs upp i denna undersökning om gender, social tillhörighet, etnisk bakgrund och elevens matematiska förkunskaper och hur de påverkar utfallet vid laborativt arbete skulle vara intressant att studera om man hade möjlighet att göra en större studie. Hur kan ett laborativt arbetssätt påverka svagpresterande elevers matematikförståelse? Kanske kan ett laborativt arbetssätt hjälpa till att överbrygga språkproblem hos elever med

invandrarbakgrund.

6.6 Slutsatser

I dagens läroplaner så betonas förståelsen, för alla inser att skolan inte kan lära ut allt som man behöver kunna utan skolan ska idag lära ut verktygen så att eleverna kan använda sin kunskap i många olika situationer. Därför behöver undervisningen använda sig av sätt som utvecklar förståelse så att eleverna uppnår strävansmålen istället för som det ofta är idag formelinlärning för att uppnå målen. Boaler (2002) har visat att projektarbeten i grupp ger ökad matematisk förståelse och förmåga att använda sina kunskaper i andra sammanhang. Matematiska grupplaborationer kan vara en väg att uppnå denna förståelse.

Grupparbeten i matematik har jag inte sett under min VFT och det var väldigt positivt att se och uppleva att eleverna är så positiva till samarbetet. Under arbetet har jag lärt mig mycket om hur bra elever kan förklara för varandra, speciellt om de har möjlighet att visualisera det de förklarar. I enlighet med skolverkets undersökning är eleverna positiva till grupparbete. Undersökningen har visat på dialoger som skapat förståelse för samband mellan bråk- och procenträkning och dialoger som tagit hjälp av visualiseringar för att skapa denna förståelse. Det betyder inte att det är visat att en laboration alltid kan fungera som ett hjälpmedel för att skapa matematisk förståelse för sambanden mellan bråk och procenträkning men jag tycker att det visats att elever kan finna att det är ett sätt för dem att skapa förståelse. SOU (97) pekar på att olika elever lär på olika sätt och variation behövs i undervisningen för att alla ska få matematisk förståelse. Jag tycker att jag har fått belägg för att man alltid bör ha visualiserande material tillgängligt vid undervisningen i matematik. Material som både eleverna och läraren kan använda i den dagliga undervisningen och genom sin tillgänglighet underlättar förståelsen för de elever som har lättare för att lära med hjälp av visualiserande material.

(34)

Att kommunicera är också ett av syftena med matematikundervisningen enligt kursplanerna. Dessutom står det i kursplanerna att matematikundervisningen ska ge eleverna möjlighet ”att uppleva den tillfredsställelse och glädje som ligger i att kunna förstå och lösa problem” (Kursplan, matematik 2000-07). Ett sätt att åstadkomma lust glädje och kommunikation tycker jag har visat sig vara att genomföra laborationer i matematik.

(35)

Referenser:

Boaler, Jo (2002). Expericing School Mathematics Lawrence Erlbaum Associates, Inc. ISBN 0-8058-4005-2

Evenshaug, Oddbjørn & Hallen, Dag (2001). Barn och ungdomspsykologi. Studentlitteratur ISBN 91-44-01595-X

Grevholm, Barbro & Hanna, Gila (1995). Gender and Mathematics Education. Lund: University Press ISBN 91-7966-276-5, ISBN 0-86238-408-7

Löwing, Madeleine (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning, ACTA Universitatis Gothoburgensis ISBN 91-7346-491-0, ISSN 0436-1121

Magne, Olof (1998). Att lyckas med matematik i grundskolan. Studentlitteratur ISBN 91-44-00205-X

Malmer, Gudrun (1999). Bra matematik för alla Nödvändig för elever med

inlärningssvårigheter. Studentlitteratur ISBN 91-44-01287-X

Sjöberg, Gunnar (2006) Om det inte är dyskalkyli – vad är det då? Arkitektkopia AB, Umeå ISBN 91-7264-047-2, ISSN 1650-8858

Skolverkets aktuella analyser (2004). Internationella studier under 40 år Svenska resultat och

erfarenheter ISBN 91-85009-52-0, ISSN 1652-2508 Hämtad på www.skolverket.se

2007-11-18

Skolverket, Nationella kvalitetsgranskning 2001-2002 Rapport 221 (2003). Lusten att lära –

med fokus på matematik ISSN 1103-2421. Hämtad på www.skolverket.se 2007-11-18

Skolverket, Kursplaner i Matematik 2000-07. Hämtad på www.skolverket.se 2008-01-02

Skolverket Ämnesrapport till RAPPORT 251 (2005). Nationella utvärderingen av

grundskolan 2003 Matematik årskurs 9 ISBN: 91-85009-80-6 Hämtad på www.skolverket.se

(36)

Statens offentliga utredningar 2004:97. Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens. ISBN 91-38-22218-3, ISSN 0375-250X. Hämtad på www.skolverket.se 2007-11-18

Taflin, Eva (2007) Matematikproblem i skolan – för att skapa tillfällen till lärande ISBN 978-91-7264-397-0, ISSN: 1102-8300 Hämtad på Umeå Universitet 2007-11-12

(37)

Bil. I

Matematiklaboration

Namn:________________

Diskutera varje uppgift och gör dem först på stora papperet.

1. Lägg ut en svart ”tårtbit” på cirkeln och rita in lika stor del på bilden nedan.

Markera en lika stor del av stapeln.

Markera en lika stor del av kvadraten.

Hur stor del av cirkeln är färgad?

________________________________________________________________

Hur många rutor har kvadraten?

________________________________________________________________

Hur stor del av kvadraten är färgad?

________________________________________________________________

Hur kom ni fram till hur stora delar av stapeln och kvadraten som skulle

färgläggas?

___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

(38)

2. Markera 75% av kvadraten.

Markera lika stor del av cirkeln.

Kan ni markera lika mycket av stapeln? Varför?

________________________________________________________________

Hur stor del av cirkeln är färgad?

________________________________________________________________

Hur stor del av kvadraten är färgad?

________________________________________________________________

Hur kom ni fram till hur stor del av cirkeln som skulle färgläggas?

___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

(39)

3. Johan har gjort 5 mål på 20 straffkast i basket. Pelle har gjort 6 mål på 25

straffkast. Vem har varit duktigast på att göra mål?

Diskutera era uträkningar?

________________________________________________________________

Ange talen ovan i bråkform, procentform och decimalform

________________________________________________________________

(40)

4. Ett par jeans kostar 450 kr. Vad blir priset om det ökar med 10%

Diskutera era lösningar

________________________________________________________________

Samma jeans säljs med 12% rabatt. Vad blir priset?

Diskutera era lösningar

________________________________________________________________

(41)

Kompletterande uppgift:

Formulera ett eget problem!

________________________________________________________________

(42)

Till föräldrar/vårdnadshavare i 7a och 7b Bil. II

Hej, jag heter Christina Bjur och utbildar mig till lärare. Under förra läsåret och denna termin har jag gjort min praktik, verksamhetsförlagda tid, på skolan.

Nu gör jag mitt examensarbete, om laborationer i matematik, och skulle vilja studera hur eleverna upplever att arbeta med ett mer laborativt material i matematik. För att kunna följa elevernas diskussioner och arbete kommer jag att spela in deras arbete på video eller enbart använda ljudupptagning.

Inspelningarna kommer endast att användas av mig, ingen annan kommer att se/höra dem, och elevernas identitet kommer inte att anges i mitt arbete.

Om ni inte vill att ert barn ska vara med på den laborativa matematiklektion som jag kommer att ha i klasserna under vecka 49 och 50 så var vänlig och återsänd talongen nedan.

Med vänliga hälsningar

V{Ü|áà|Çt U}âÜ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Jag/vi vill inte att vår son/dotter _______________________deltar i laborationen i matematik. elevens namn

_____________________________________ Vårdnadshavares underskrift

(43)

Bil.IIIa

Frågor:

Jag är flicka pojke

Jag tycker matematik är

jätteroligt jättetråkigt

Jag tycker att jag är

duktig i matematik mindre bra i matematik

I matematik brukar jag

jobba mycket flitigt jobba så litet som möjligt

På den här laborationen har jag

jobbat mycket jobbat mycket mindre

flitigare än vanligt än vanligt

Jag tycker att samarbetet vid laborationen har fungerat

jättebra inte alls

Jag tycker att den här laborationen var

jätterolig jättetråkigt

Jag tycker att jag på laborationen lärt mig

jättemycket jättelite

Jag tycker att jag genom laborationen förstått matematiken

mycket bättre mycket mindre

Jag tror att jag på den här laborationen förstått

mycket mer än mycket mindre än

på en vanlig lektion på en vanlig lektion

Jag tror att jag efter laborationen kommer komma ihåg vad jag lärt mig

(44)

Enkätsvar Bil. IIIb

Gjort uppgift _{1 & 2 1, 2 & 3 1,2,3 & 4} Jag tycker

matematik är

roligt

7 tråkigt 7 roligt 8 tråkigt 6 roligt6 tråkigt 4 Jag tycker att

jag är duktig i ma. 9 mindre bra i ma 5 duktig i ma. 12 mindre bra i ma 2 duktig i ma. 9 mindre bra i ma 1 I matematik brukar jag jobba flitigt 9 så litet som möjligt 5 flitigt 12 så litet som möjligt 2 flitigt 9 så litet som möjligt 1 På den här laborationen har jag jobbat

flitigar e än vanligt 6 mindre än vanligt 7 flitigare än vanligt 12 mindre än vanligt 2 flitigare än vanligt 7 mindre än vanligt 3 Jag tycker att

samarbetet funger at bra 7 inte fungerat 6 fungerat bra 14 inte fungerat 0 fungerat bra 10 inte fungerat 0 Jag tycker att

laborationen var Rolig 7 tråkig 7 Rolig 10 Tråkig 4 Rolig 5 Tråkig 5 Jag tycker att

jag på laborationen lärt mig mycke t 7 lärt mig lite 7 lärt mig mycket 8 lärt mig lite 6 lärt mig mycket 1 lärt mig lite 9 Jag tycker att

jag genom laborationen förstått matematik

bättre

6 mindre 7 bättre 8 mindre 6 bättre 1 mindre 9 Jag tror att jag

på den här laborationen förstått mer än på en vanlig lektion 4 mindre än på en vanlig lektion 10 mer än på en vanlig lektion 8 mindre än på en vanlig lektion 6 mer än på en vanlig lektion 3 mindre än på en vanlig lektion 7 Jag tror att jag

kommer komma ihåg vad jag lärt mig längre än vanligt 6 kortare tid än vanligt 8 längre än vanligt 10 kortare tid än vanligt 4 längre än vanligt 2 kortare tid än vanligt 7