Örebro Universitet 2007-05-31 Institutionen för Ekonomi, Statistik och Informatik
Magisteruppsats, Finansiering 10p. Handledare: Håkan Persson
Examinator: Håkan Persson VT-07
Tre Value at Risk modeller för riskvärdering av köpoptioner
Andreas Johansson, 821023 Daniel Johansson, 781110
Förord
Under våren 2007 genomförde vi vår Magisteruppsats i Företagsekonomi vid Örebro Univer-sitet. Då våra ekonomistudier har haft inriktningen finansiering tog vi tillfället i akt att fördju-pa våra kunskaper inom riskhantering. Det har varit 10 mycket snabba och lärorika veckor som vi har arbetat med den här uppsatsen. Under arbetets gång har vi stött på flera hinder och dagar då vi undrat om vi någonsin kommer hinna klart. Det är under sådana stunder som vår handledare Håkan Persson har varit en hjälpande hand och rätat ut de frågetecken som upp-stått. Därför vill vi tacka honom för all hjälp och vägledning som han har bistått med.
Sammanfattning
Riskvärdering har under 90-talet blivit ett allt mer medvetet begrepp. Ett populärt instrument vid riskvärdering är Value at Risk då denna modell skapar ett gemensamt riskmått för olika typer av portföljer och derivat. VaR mäter den maximala värdeförändringen för en portfölj där sannolikheten och tidshorisonten är förutbestämd. I uppsatsen har en konfidensnivå på 95 procent antagits vilket medför att de verkliga förlusterna ska överstiga VaR en gång av tjugo. Icke-linjära instrument, såsom optioner, är svåra att riskvärdera då dess pris förändras opro-portionerligt gentemot dess underliggande. För att beräkna VaR kan flertalet modeller appli-ceras och dessa har olika egenskaper.
Det är därför av intresse att ta reda på om Delta-Normal metoden, Monte Carlo simulering och Historisk simulering ger samma svar vid riskvärdering av optioner. Vidare syftar denna uppsats till att söka svar på om dessa tre VaR-modeller ger ett tillfredsställande resultat på 95 procentig konfidensnivå. För att få svar på dessa funderingar har vi i empiriavsnittet genom-fört två hypotesprövningar.
Den första slutsatsen som kan dras av undersökningen är att det inte går att skilja på det VaR som Delta-Normal metoden och Historisk simulering tagit fram. Vid ett hypotestest för pro-portioner blev resultatet att endast för Monte Carlo simuleringen kunde inte nollhypotesen förkastas. Detta innebär att det finns stöd för att de verkliga förlusterna överstiger Monte Car-lo simuleringens beräknade VaR en gång av tjugo.
Innehållsförteckning
1. INLEDNING 1 1.1. BAKGRUND 1 1.2. PROBLEMOMRÅDE 2 1.2.1.PROBLEMFORMULERING 3 1.3. SYFTE 4 1.4. AVGRÄNSNING 4 2. DISPOSITION 5 3. METOD 63.1. DEDUKTIVT ELLER INDUKTIVT ARBETSSÄTT 6
3.2. DATAINSAMLING 6 3.3. URVAL 7 3.4. TILLFÖRLITLIGHET 7 3.4.1.KÄLLKRITIK 7 3.4.2.RELIABILITET 8 3.4.3.VALIDITET 8 3.4.4.KRITIK TILL UNDERSÖKNINGENS TILLFÖRLITLIGHET 8
4. TEORI 10
4.1. VAR 10
4.2. PARAMETRISK ANSATS 11
4.2.1DELTA-NORMAL METODEN 11
4.3. ICKE-PARAMETRISK ANSATS 12
4.3.1.HISTORISK SIMULERING 12 4.3.2. MONTE CARLO SIMULERING 13
4.4. OPTIONER 14
4.4.1.AKTIEOPTIONER 14 4.4.2.FÖRKLARING TILL OPTIONENS NAMN 14
4.5. BLACK-SCHOLES MODELL 15
4.5.1PRISRÖRELSER FÖR UNDERLIGGANDE 15 4.5.2.ANTAGANDE OCH PRISSÄTTNINGSFORMEL 16
4.6. SKATTNING AV VARIANS 17
4.7. STATISTIK 18
4.7.1.KLASSISK HYPOTESPRÖVNING 18 4.7.2.HYPOTESTEST FÖR PROPORTIONER 19
5. TILLVÄGAGÅNGSSÄTT SAMT BERÄKNINGAR 20
5.1. GEMENSAMMA BERÄKNINGAR FÖR TESTERNA 20 5.2. BERÄKNINGAR TEST 1 20
5.2.1.DELTA-NORMAL METODEN 20 5.2.2.MONTE CARLO SIMULERING 20 5.2.3.HISTORISK SIMULERING 21
5.3. BERÄKNINGAR TEST 2 21
5.3.2.MONTE CARLO SIMULERING 22 5.3.3.HISTORISK SIMULERING 22 6. EMPIRI/ANALYS 23 6.1. TEST 1 23 6.1.1.EXEMPEL TEST 1 24 6.2. SAMMANSTÄLLNING/ANALYS, TEST 1 24 6.3. HYPOTESPRÖVNING, TEST 1 24
6.3.1.ALTERNATIVT HYPOTESTEST,TEST 1 26
6.4. TEST 2 27
6.4.1.EXEMPEL TEST 2 27
6.5. SAMMANSTÄLLNING/ANALYS, TEST 2 28 6.6. HYPOTESTEST FÖR PROPORTIONER, TEST 2 30
7. SLUTSATS 32
7.1. SLUTSATS, TEST 1 32 7.2. SLUTSATS, TEST 2 32 7.3. EGNA REFLEKTIONER 33 7.4. FÖRSLAG TILL FORTSATT FORSKNING 33
Källförteckning
Bilaga 1. Skattning standardavvikelse Bilaga 2. Delta-Normal metoden Bilaga 3. Monte Carlo simulering Bilaga 4. Historisk simulering Bilaga 5. Data Test 1
1. Inledning
I bakgrunden ges en introduktion till ämnet riskhantering och begreppet Value at Risk (be-nämns hädanefter VaR). I andra stycket, problemområde, ges en övergripande presentation av tre modeller för att mäta VaR samt dess för- och nackdelar.
1.1. Bakgrund
“You had all better take a very, very hard look at off-balance sheet activities. The growth and complexity of [these] activities and the nature of the credit settlement risk they entail should give us cause for concern.... I hope this sounds like a warning, because it is”1
I början av 1990-talet gav VD: n för Federal Reserve Bank of New York uttryck för sin oro beträffande vikten av riskhantering. Inom några år efter detta uttalande drabbades flera stora bolag av enorma förluster, ofta på grund av bristfällig hantering av risker. Dessa extrema för-luster medförde att betydelsen av bra riskhantering belystes. Även om riskhantering kan vara kostsamt är denna obetydlig i jämförelse med de extrema förluster som kan uppstå om hanter-ing av risker inte anses betydelsefulla2.
Riskhantering är ett begrepp som blivit allt vanligare och har sin grund i Harry Markowitz teorier från tidigt 50-tal. Det är en rad olika faktorer som har påverkat ämnets framfart. De senaste 50 åren har det skett en markant ökning av finansiell handel. Tillväxten av denna typ av handel har ökat trots den osäkra tillvaron som den medför. Finansiella instrument har även spridits och nått mindre marknader och även nya derivat har tillkommit. Dessa osäkra förhål-landen skapar incitament för företag att ständigt förbättra sin hantering av risk3.
På 70- och 80-talet utvecklade ett antal stora företag egna modeller för att förenkla den interna riskhanteringen. Affärerna blev flera och mer komplicerade vilket försvårade företagens sätt att hantera risken. Det blev problematiskt att bestämma hur risken i de olika affärerna påver-kade varandra och detta försvårades ytterliggare när antalet affärer öpåver-kade. Företagen behövde alltså ett bättre sätt att få grepp om den övergripande risken för deras affärer4.
Ett av de mer kända systemen för att hantera risk, RiskMetrics, skapades av JP Morgan. Sy-stemet påstås ha uppstått när företagets styrelsechef, Dennis Weatherstone, önskade daglig rapportering om sannolikheten för förlust imorgon för bankens samtliga tillgångar. För att lösa Weatherstones krav skapades ett system för att mäta risken mellan bankens olika innehav av finansiella instrument, vilket även skulle inkludera bankens samtliga positioner. Riskerna för de olika positionerna skulle även sammanställas till ett enskilt riskmått, som alltså är VaR5.
VaR är ett sannolikhetsmått över den maximala förlusten som kan inträffa från en dag till en annan. Modellen har sin grund i portföljteori, där standardavvikelser och korrelationer
1 Dowd, Kevin (2005): Measuring Market Risk (2nd Edition). West Sussex, England, John Wiley & Sons, Ltd.
s.4.
2 Ibid. s.4. 3 Ibid. s.1-3. 4 Ibid. s.9. 5 Ibid. s.9.
vänds för att ta fram risken för en portföljs ingående positioner. På grund av de många ingå-ende funktionerna blev det ett hårt arbete att konstruera RiskMetrics. Exempelvis skulle sy-stemet innehålla delar såsom statistiska antaganden och hur skattningar skulle genomföras m.m. 1993 blev det nya systemet uppmärksammat och ett intresse skapades hos andra företag att nyttja RiskMetrics6.
Det har skapats ett flertal andra riskhanteringssystem förutom RiskMetrics. Alla är dock inte baserade på portföljvalsteori, en del har sin grund i exempelvis Historisk simulering som be-räknar risken med stöd i historiska förändringar, och andra har sin grund i slumpgenerering såsom Monte Carlo simulering. De flesta riskhanteringssystem som skapats har behållits in-ternt på företagen men JP Morgan gjorde något helt annat och 1994 blev RiskMetrics ett sy-stem tillgängligt för allmänheten. Intresserade parter kunde därmed få tag i relevant informa-tion helt gratis via Internet. Detta innebar att även allmänheten kunde ta del av och använda systemet till den egna verksamheten. Denna snabba utveckling medförde att VaR blev ett medvetet begrepp, och därefter den mest använda modellen för att hantera risk7.
Efter att RiskMetrics blivit tillgängligt för allmänheten skedde en dramatisk ökning i antalet finansiella institutioner som började ägna sig åt VaR. Nu var det inte enbart stora finansiella företag utan även mindre finansiella institutioner och icke finansiella företag som gjorde VaR bedömningar. År 1995 genomfördes en undersökning av Wharton/CIBC Wood Gundy som inriktade sig på icke-finansiella företag i U.S.A. som sysslade med derivathandel. Undersök-ningen visade att 29 % av dessa använde VaR för att söka svar på risken vid handel med olika derivat. Under samma år genomfördes en undersökning av Institutional Investor som visade att 32 % av de undersökta företagen använde modellen för att ta reda på marknadsrisken. En tredje undersökning, även denna 1995, gjord av New York University Stern School of Busi-ness visar att vid hantering av pensionsfonder är det 60 % som nyttjar VaR8.
För att förstå genomslagskraften som VaR haft så är det intressant att nämna att 1995 föreslog Baselkommittén att samtliga banker skulle använda egna VaR modeller korrigerat efter kom-missionens parametrar vid beräkning av kapitalbehov för marknadsrisk9.
1.2. Problemområde
Finansiella tillgångar kan delas in i linjära och icke-linjära positioner. De instrument som ka-tegoriseras som linjära är vanliga aktier, obligationer, terminer samt swappar. Uppsatsen har för avsikt att behandla icke-linjära instrument och inom denna kategori hamnar optioner. Icke-linjära instrument är mer komplicerade att riskvärdera då priset på instrumentet, exempelvis optioner, ändras oproportionerligt gentemot förändringen i dess underliggande10.
Vid riskvärdering kan ett flertal modeller appliceras, dock består problemet i att välja den mest lämpade modellen för värderingen av instrumentet. För att beräkna VaR finns det ett flertal användbara modeller och tre av dessa är; Historisk simulering, Monte Carlo simulering
6 Dowd, Kevin (2005): Measuring Market Risk (2nd Edition). West Sussex, England, John Wiley & Sons, Ltd.
s.9-10.
7 Ibid. s.10.
8 Linsmeier, Thomas J & Pearson, Neil D (1996): Risk Measurement: An Introduction to VaR. University of
Illionois at Urbana-Champaign. s.2.
9 Ibid. s.2-3.
och de parametriska modellerna där Delta-Normal metoden ingår. De har olika egenskaper vilket gör dem till mer eller mindre passande beroende på i vilken situation de används11. Grundläggande för den Historiska simuleringen är, som namnet avslöjar, att den behandlar historisk information i de påverkande faktorerna för att räkna fram VaR. Modellen skapar hypotetiska portföljvärden för morgondagen, baserat på historiska förändringar i påverkande faktorer. VaR beräknas genom att rangordna dessa portföljvärden och därefter finna gränsen för de X procent sämsta utfallen beroende på vilken konfidensnivå som antagits12.
Monte Carlo simulering och Historisk simulering är väldigt lika, den största skillnaden ligger dock i hur de skapar förändringar i marknadsfaktorer. Monte Carlo simuleringen genererar ett stort antal slumptal som sedan används för att få fram förändringar i de påverkande faktorer-na. De slumpmässigt framtagna värdena används för att beräkna hypotetiska portföljvärden för morgondagen. Avslutningsvis rangordnas dessa för att komma fram till VaR13.
I de parametriska modellerna behövs inga historiska data eftersom här beräknas VaR utifrån volatilitet och korrelationer. För värdering av optioner används delta (Δ), som är derivatan på optionens pris med avseende på underliggande pris. En annan variabel som kan användas i kombination med delta för att värdera optioner är gamma (Γ), som tar hänsyn till hur delta förändras när priset på underliggande ändras14.
Historisk simulering och Monte Carlo simulering lämpar sig väl på alla typer av instrument, oavsett om de är linjära eller icke-linjära. De parametriska modellerna lämpar sig inte lika bra vid värdering av icke-linjära instrument då träffsäkerheten inte är lika bra som i simuleringar-na15. Dock fungerar de parametriska modellerna bättre för kortare tidshorisonter då föränd-ringar i optionen inte blir så kraftiga16.
1.2.1. Problemformulering
Optioner är ett mycket användbart instrument då förlusterna i detta derivat är begränsade till att investeraren endast kan förlora insatsen. Det komplexa är dock att kunna värdera den risk som finns vid innehavandet av dessa instrument. Då det finns ett brett utbud av riskhanter-ingsmodeller kan det vara av intresse att få en vägledning till vilken modell som lämpar sig bäst vid beräkning av VaR för optioner. Detta mynnar således ut i några intressanta funder-ingar:
• Spelar det någon roll vilken av modellerna som används vid riskvärdering av optioner eller ger de samma svar? Författarna har för avsikt att svara på denna fråga, som kommer att benämnas Test 1 i uppsatsen, både i egna reflektioner och genom en statis-tisk hypotesprövning.
11 Riskmetrics Group (1999): Risk Management A Practical Guide. s. 8.
12 Linsmeier, Thomas J & Pearson, Neil D (1996): Risk Measurement: An Introduction to VaR. University of
Illionois at Urbana-Champaign. s.7-9.
13 Ibid. s.15-16. 14 Ibid. s.10-11, 25-27.
15 Riskmetrics Group (1999): Risk Management A Practical Guide. s.8.
16 Linsmeier, Thomas J & Pearson, Neil D (1996): Risk Measurement: An Introduction to VaR. University of
• En andra fundering är om dessa modeller fungerar bra vid riskvärdering av optioner. Denna frågeställning kommer att besvaras genom att undersöka hur modellernas be-räknade VaR står sig mot verklighetens utfall. Detta kommer att utföras i Test 2, som ska genomföras med ett hypotestest för proportioner.
1.3. Syfte
Syftet med denna uppsats är att undersöka om Delta-Normal metoden, Monte Carlo simule-ring och Historisk simulesimule-ring ger samma resultat vid riskvärdesimule-ring av enskilda köpoptioner. Vidare ska denna uppsats söka svar på om dessa modeller fungerar vid beräkning av VaR med en konfidensnivå på 95 procent. För att modellerna ska fungera tillfredställande med en kon-fidensnivå på 95 procent ska förlusterna överstiga VaR en gång av tjugo.
1.4. Avgränsning
De optioner som ska ingå i undersökningen är endast köpoptioner på svenska aktier. Vidare har vi avgränsat oss till att endast granska Delta-Normal metoden, Monte Carlo simulering och Historisk simulering. Dessa testas enbart på 95 procentig konfidensnivå. Beräkningar av VaR är avgränsade till att endast ha en rörlig variabel, optionens underliggande.
Ytterliggare avgränsningar som är gjorda är rörande det tidsperspektiv som undersökningen är genomförd. Det första testet, beräkning av VaR från en dag till en annan, är avgränsad att en-dast genomföras 2007-01-15 till 2007-01-16. I det andra testet, beräkningar av VaR under 20 dagar, gäller begränsningen från 2007-01-15 och framåt.
2. Disposition
För att läsaren lättare ska få en överskådlig blick över uppsatsens delar och genomförande ges här en kort presentation över dess vidare upplägg.
Kap 3 - Metod
I metoden sker en beskrivning av hur författarna har gått tillväga för att uppnå uppsatsens syfte.
Kap 4 - Teori
I teoriavsnittet beskrivs grundläggande begrepp som är av vikt för att få ökad förståelse för det undersökta ämnet. I slutet av detta kapitel beskrivs de statistiska metoder som använts i undersökningen.
Kap 5 - Tillvägagångssätt samt beräkningar
Kapitel 5 har för avsikt att följa författarnas arbetsgång och de beräkningar som varit nödvän-diga för att nå uppsatsens syfte.
Kap 6 - Empiri/Analys
Här får läsaren ta del av det sammanställda materialet från undersökningen. Efter respektive test ges en analys av den genomförda undersökningen. Varje test avslutas med svaren från de statistiska undersökningarna.
Kap 7 - Slutsatser
I det avslutande kapitlet ges en redogörelse över det nya material som har tillkommit från un-dersökningen. I detta avsnitt ges även reflektioner som författarna har fått från undersökning-en.
3. Metod
Metodavsnittet har för avsikt att beskriva hur vi har gått till väga för att uppnå syftet med uppsatsen. Den tar även hänsyn till vilken trovärdighet och eventuella brister som finns i upp-satsen.
3.1. Deduktivt eller induktivt arbetssätt
Vid skrivandet av en uppsats kan man antingen börja med ett verkligt fenomen och sedan bygga upp frågeställningar för att slutligen finna en teori som kan förklara detta fenomen. En andra ingång är att studera en teori för att finna en verklighet som passar till teorin17.
När arbetet antar en induktiv inriktning arbetar författaren utifrån verkligheten och söker svar genom att anpassa denna till befintliga teorier och samband. Vid ett deduktivt arbetssätt utgår författaren från en intressant teori som testas på viss data18.
Enligt kriterierna ovan har författarna antagit ett deduktivt arbetssätt då befintliga teorier prö-vas på insamlade data. Teorier såsom riskhanteringsmodeller används och beräknar VaR på insamlade data för att undersöka om modellerna ger samma svar och hur de fungerar i verk-ligheten.
3.2. Datainsamling
Det material som används i uppsatser är antingen av kvantitativ eller kvalitativ karaktär. Kvantitativa data är av sådant slag att de kan beräknas eller ordnas i olika former. Statistiska analyser kan göras på kvantitativ data. Kvalitativ data däremot brukar främst innefattas av ord19. Denna uppsats har en kvantitativ ansats, vilket innebär att vi mäter och analyserar op-tioners VaR genom tre modeller och jämför dessa mätningar med det verkliga utfallet för att komma fram till uppsatsens resultat.
För att finna material till vår empiri, optionsdata, vände vi oss till OMX Group och därifrån fick vi en CD-skiva innehållande det material som vi eftersökte. CD-skivan innehöll aktieop-tionsdata för den undersökta perioden, 2007-01-15 till 2007-02-22. För de utvalda optionerna hämtades aktiekurser från OMX Groups hemsida20. Aktiekurserna har i sin tur använts vid Historisk simulering och vid skattning av aktiernas standardavvikelse under perioden 2002-01-02 till 2007-02-21. I de fall där företagen har genomfört en splitt har aktiekursen korrige-rats efter denna.
Samtliga beräkningar har skett i kalkylprogrammet Excel.
17 Rienecker, Lotte & Jørgensen, Peter Stray (2002): Att skriva en bra uppsats. Liber, Malmö. s.160. 18 Ibid. s.160.
19 Höst, Martin & Regnell, Björn & Runeson, Per (2006): Att genomföra examensarbete. Studentlitteratur,Lund.
s.30.
3.3. Urval
Undersökningen för det första testet startade 2007-01-15 och syftade till att beräkna VaR för nästa dag. Utgångspunkten var att detta urval skulle bli så brett som möjligt, med olika tid till förfall och lösenpris. Därför tittade vi på samtliga underliggande den 15 januari för att välja ut fyra stycken köpoptioner per underliggande. Det fanns dock tre aktier där optionsdata sakna-des helt och sakna-dessa var Securitas Direkt B, Securitas Systems B samt Kaupthing Bank. De fyra optioner per underliggande valdes ut genom att ta två stycken med kort löptid (1-3 månader) och två med längre löptid (3-6 månader). Av dessa två med kort löptid valdes en med lägre lösenpris och en med högre, likadant gjordes för de med längre löptid. Urvalet uppgick totalt sett till 146 stycken köpoptioner.
Det andra testet startade 2007-01-15 och löpte 20 dagar framåt. Anledningen till att undersök-ningen sträcker sig över en 20-dagars period är för att se om förlusterna överstiger VaR en gång av tjugo vilket en konfidensnivå på 95 procent förutsäger. Eftersom flera optioner med samma underliggande inte är inbördes oberoende valde vi att slumpmässigt välja ut en option per underliggande från Test 1. Majoriteten av optionerna hade kurser noterade för de 20 dagar som undersökts dock fanns det ett fåtal där det var bristfälligt med optionsdata. Dessa optio-ner undersöktes under en längre tidsperiod för att få tillräckligt med data till undersökningen. Utgångspunkten i det andra testet var att få ihop 42 stycken optioner, en för varje underlig-gande, och att följa dessa under 20 dagar. Då vissa optioner helt saknade data under en allde-les för lång period uppgick det slutliga urvalet till 30 stycken optioner. Detta anser vi dock som tillräckligt för att uppnå ett rättvist resultat vid jämförelse av VaR modellerna.
3.4. Tillförlitlighet
3.4.1. Källkritik
Inom källkritiken ska läsaren ha utgångspunkten att allt som är skrivet inte nödvändigtvis är sant. Därför är det av vikt att avgöra hur tillförlitligt det material som samlats in är, alltså vil-ken äkthet som finns21.
För att få ett mångsidigt och passande faktaunderlag till uppsatsen har författarna använt sig av böcker skrivna inom ämnet. Då detta ämne är förhållandevis nytt är utbudet av böcker be-gränsat, vilket ställer ännu högre krav på att kritiskt granska den knappa information som finns tillgänglig. För att vara säkra på att det material som används i uppsatsen är riktig har författarna i största möjliga utsträckning försökt jämföra två eller flera av varandra oberoende källor.
Inom detta ämne finns det många olika rapporter och undersökningar skrivna och spridda på Internet. Denna information ställer ännu högre krav på kritisk granskning för att uppnå en objektiv tolkning. Författarna har därför granskat det materialet noggrant och även försökt jämföra dessa med andra källor för att på så vis kunna säkerställa informationens riktighet.
21 Hartman, Sven (2003): Skrivhandledning för examensarbeten och rapporter. Bokförlaget Natur och Kultur,
3.4.2. Reliabilitet
Med ett arbetes reliabilitet avses hur pass tillförlitlig den insamlade informationen är, samt hur den har analyserats. Detta kan bland annat visas genom att göra det enkelt för läsaren att följa arbetets tillvägagångssätt22. För att uppnå bra reliabilitet i detta arbete har vi så detaljerat som möjligt försökt att förklara hur vi har gått tillväga i vår datainsamling och analys.
3.4.3. Validitet
Med validitet avses att arbetet mäter det som är relevant för att undersökningen ska bli så till-förlitlig som möjligt23. Vi anser att uppsatsens undersökning stämmer väl överrens med det syfte och problemområdet som är valt. Undersökningarna har som syfte att se om samma svar ges i de tre utvalda VaR-modellerna men även att undersöka huruvida dessa fungerar i verk-ligheten.
3.4.4. Kritik till undersökningens tillförlitlighet
Vad som kan kritiseras i detta arbete är dels den period som undersökningen är avgränsad till. Det är i Test 1 enbart en dag och i Test 2 endast 20 dagar som undersökts. Det stora antalet av optioner ger dock ett tillfredställande resultat för uppsatsens syfte.
Vad som även kan ses som negativt i denna uppsats är att i det första testet används fyra op-tioner per underliggande. När materialet undersöks finns det en viss risk att opop-tioner med samma underliggande inte är inbördes oberoende. För att vara säkra på att resultatet i sökningens första statistiktest var korrekt har författarna genomfört ett extra test för att under-söka om svaret blir det samma vid ett färre antal optioner under en längre tidsperiod. Detta genomfördes på ett smidigt sätt genom att använda samma optioner och dagar som i Test 2. Detta redovisas mer utförligt i empirin under avsnittet 6.3.1. Alternativt hypotestest, Test 1. Ytterliggare kritik till denna uppsats kan vara det bortfall av optioner som uppstått p.g.a. av-saknad av data. Detta var något som författarna var medvetna om i startskedet av uppsatsen och valde därmed att ha ett stort urval av optioner för att få ett tillräckligt underlag för under-sökningen.
I denna uppsats har beräkningar av VaR skett med endast en rörlig variabel. I verkligheten är det betydligt fler variabler än optionens underliggande som påverkar modellernas VaR. Dock är det problematiskt nog att undersöka dessa modeller med enbart en rörlig variabel, vilket medförde att författarna valde att avgränsa sig till just detta.
Vid skattning av varianser har en 5-års period använts, dock har endast ett års data använts vid beräkningar av hypotetiska portföljvärden i den Historiska simuleringen. I och med att olika tidslängder har använts kan detta leda till att fel uppstår i den Historiska simuleringen. Anled-ningen till att endast ha ett års data i simuleringen är för att inte ny data ska hamna i
22 Höst, Martin & Regnell, Björn & Runeson, Per (2006): Att genomföra examensarbete. Studentlitteratur, Lund.
s.41-42.
dan för den äldre. För skattning av varianser ansåg vi däremot att längre tidsserier skulle vara mer passande.
4. Teori
I teoriavsnittet sker en beskrivning av nödvändigt material som rör forskningsområdet. Först sker en inledning till VaR för att därefter ta upp de utvalda riskhanteringsmodeller som ska undersökas i uppsatsen. Därefter sker en redogörelse om optioner, och då främst köpoptio-ner, för att sedan ta upp Black-Scholes formel. Teorierna avslutas med en skattningsmodell för volatiliteter samt beskrivning av hypotesprövning.
4.1. VaR
VaR är ett riskmått som avser att mäta den maximala värdeförändringen i en portfölj där san-nolikheten och tidshorisonten är förutbestämd. Man kan alltså säga att VaR svarar på frågan hur mycket kan jag förlora med en viss sannolikhet över en bestämd tidsperiod. Vid en konfi-densnivå på 95 procent multipliceras standardavvikelsen med 1,65 för att erhålla VaR24.
Figur 125
Vid beräkning av VaR är det viktigt att bestämma vilken konfidensnivå (1), tidsperspektiv (2) samt valuta (3) som är tänkt att användas:26
(1) Konfidensnivå – bestämmer vilken sannolikhet för förlusten som ska antas. Ett vanligt intervall brukar vara mellan 90 % och 99 %. Om en konfidensnivå på exempelvis 95 % antas kommer förlusterna att överstiga VaR ungefär en gång av tjugo.
(2) Tidsperspektiv – vilken tidshorisont eftersöks. Exempelvis väljer banker ofta 1-dags hori-sont för att beräkna VaR för deras positioner. För banker är det i egentligen ganska menings-löst med längre tidshorisonter då deras positioner ofta har stora förändringar från en dag till en annan.
(3) Valuta – vanligtvis används den valuta som företaget handlar mest med, exempelvis be-räknar Bank of America sin VaR i amerikanska dollar.
24 J.P. Morgan/Reuters (1996): RiskMetrics – Technical Document (4th Edition). New York. s.6. 25 Ibid. s.70.
En fördel med VaR är att den ger ett mått på risk i pengar, till skillnad från andra riskmått såsom duration och beta. Detta medför att användaren av VaR enkelt kan jämföra olika port-följer med varandra, exempelvis en obligationsportfölj med en aktieportfölj. VaR beaktar även förändringar i marknadsfaktorer som är av betydelse för de specifika positionerna, såsom räntor, valutor, aktiekursrörelser m.fl. Måttet tar även hänsyn till hur dessa marknadsfaktorer korrelerar med varandra27.
Vidare kan värdering enligt VaR delas in i parametrisk och icke-parametrisk ansats.
Figur 228
4.2. Parametrisk ansats
Den enda Parametriska ansatsen som undersöks i uppsatsen är Delta-Normal metoden, dock ges en kortfattad beskrivning av Delta-metoderna.
4.2.1 Delta-Normal metoden
Den grundläggande tanken bakom Delta-metoderna vid riskvärdering är att ersätta optionens position med en liknande position i dess underliggande. Därefter används variabelns första eller andra derivering för att kunna värdera dess VaR29.
I den parametriska ansatsen, där Delta-metoderna ingår, antas avkastningen vara normalförde-lad vilket innebär att den söker svar på förluster under en normalt sett dålig dag30.
Inom kategorin metoderna finns en av de enklare varianterna, som benämns Delta-Normal metoden. I denna modell ersätts den riktiga positionen med en liknande linjär position och då behandlas den i enlighet med linjära instrument31.
27 Asgharian, Hossein & Nordén, Lars (2007): Räntebärande instrument – Värdering och riskhantering.
Stu-dentlitteratur, Pozkal, Polen. s.122-123.
28 Ammann, Manuel & Reich, Christian (2001): VaR for Nonlinear Financial Instruments – Linear
Approxima-tion or full Monte-Carlo? University of St. Gallen and University of Basel. s.2.
29 Dowd, Kevin (2005): Measuring Market Risk (2nd Edition). West Sussex, England, John Wiley & Sons, Ltd.
s.256-257.
30 Riskmetrics Group (1999): Risk Management A Practical Guide. s.10.
31 Dowd, Kevin (2005): Measuring Market Risk (2nd Edition). West Sussex, England, John Wiley & Sons, Ltd.
Vid värdering av en köpoption, c, finns det ett flertal faktorer som påverkar dess värde. Ex-empel på faktorer är aktiepriset, lösenpris, underliggandes volatilitet m.fl. I Delta-Normal metoden hanteras samtliga påverkande faktorer, förutom underliggandes pris, som icke på-verkande variabler. För att beräkna förändringen i optionens värde deriveras förändringen i underliggandes pris32.
Figur 333
Fördelarna med Delta-Normal metoden är främst att den är enkel och snabb att tillämpa, men även att användaren inte behöver använda en stor mängd historisk data utan endast volatilite-ter och korrelationer34.
4.3. Icke-parametrisk ansats
I den icke-parametriska ansatsen kommer två stycken modeller beskrivas, Historisk simule-ring och Monte Carlo simulesimule-ring.
4.3.1. Historisk simulering35
Den Historiska simuleringen tillhör en av de mest populära icke-parametriska modellerna, eftersom den används i stor utsträckning och är lätt att arbeta med. Den Historiska simule-ringen är en modell där ingen fördelning (normal eller icke-normal) antas, utan här ska data tala för sig själv i största möjliga utsträckning. Den grundläggande tanken är att de framtida vinsterna/förlusterna kommer att spegla den historiska utvecklingen. Detta medför att histo-riska data kan användas för att göra förutsägelser om risken i framtiden.
Det första steget är att ta fram historisk information, exempelvis kursdata, för den specifika positionen. Avkastningen beräknas på följande sätt:
Figur 436
Avkastningen används sedan för att beräkna hypotetiska värden för framtiden. Därefter rang-ordnas de hypotetiska vinsterna och förlusterna. Om vi exempelvis har 1000 observationer med en konfidensnivå på 95 procent så är VaR gränsen för de 5 procent sämsta utfallen. Av de 1000 data kommer VaR således att vara nummer 51 av observationerna.
32 Dowd, Kevin (2005): Measuring Market Risk (2nd Edition). West Sussex, England, John Wiley & Sons, Ltd.
s.256-257.
33Ibid. s.257.
34 Riskmetrics Group (1999): Risk Management A Practical Guide. s.9.
35 Dowd, Kevin (2005): Measuring Market Risk (2nd Edition). West Sussex, England, John Wiley & Sons, Ltd.
s.83-86, 100.
Den största nackdelen med den Historiska simuleringen kan vara att resultatet bygger för mycket på just de historiska data. Om det under den observerade perioden inte hänt speciellt mycket blir VaR lågt, vilket kanske inte speglar den verkliga risken. Likaså om observations-perioden varit mycket svängig kan ett för högt VaR ges.
Vidare är det av vikt att fundera kring hur mycket datamaterial som krävs för att få en bra noggrannhet i riskbedömningen. Dock kan för långa tidsserier av data leda till problem såsom att vissa observationer är för gamla och att nyare data hamnar i skymundan för alla äldre ob-servationer.
4.3.2. Monte Carlo simulering
Monte Carlo simulering har använts inom finansieringsområdet sedan sent 70-tal för att vär-dera olika derivat. Numera används modellen frekvent för att beräkna VaR. Fördelar med Monte Carlo simulering är att den har ett brett användningsområde och är tillämpbar för många olika typer av problem. Det unika med denna simuleringsmodell är att genom slump-generering simulera priser för finansiella instrument. Vid värdering av VaR genereras ett stort antal slumpvärden som i sin tur används för att ta fram lika många portföljvärden, som an-vänds för att ta fram VaR37.
Monte Carlo simuleringen kan delas in i ett antal olika moment:
1. I det första steget väljs en modell för de stokastiska variablerna, i vissa fall icke nor-malfördelning. Bestäm påverkande faktorer, däribland volatilitet och korrelationer, och använd dessa för att skapa ett stort antal värden för framtiden.
2. För dessa framtida värden beräknas portföljvärden.
3. Värdena behandlas för att antingen ta fram portföljvärden eller VaR38.
Monte Carlo modellen skiljer sig från övriga simuleringsmodeller då användaren kan välja fördelning i de påverkande faktorerna. Med andra ord behöver inte normalfördelning antas, dock är det oftast enklare att anta normalfördelning för de påverkande faktorerna. Den känsla riskhanteraren har om framtida förändringar baseras oftast på historiska förändringar. Det är därför av vikt att välja den fördelning som bäst speglar den historiska förändringen i påver-kande faktorer39.
Simuleringen bygger på att generera slumpvärden, dock kan man inte påstå att dessa tal är särskilt slumpmässiga. De är ”pseudo” slumptal, som är skapade från en algoritm med ett för-utbestämt antagande. Genom att detta antagande är förför-utbestämt går det inte att producera riktiga slumpvärden. Antagandet bestämmer ett startvärde och från detta genereras värden som verkar slumpmässigt utvalda40. I uppsatsen kommer dessa värden att tas fram med hjälp av en slumpfunktion i Microsofts Excel.
37 Dowd, Kevin (2005): Measuring Market Risk (2nd Edition). West Sussex, England, John Wiley & Sons, Ltd.
s.209.
38 J.P. Morgan/Reuters (1996): RiskMetrics – Technical Document (4th Edition). New York. s.151.
39 Linsmeier, Thomas J & Pearson, Neil D (1996): Risk Measurement: An Introduction to VaR. University of
Illionois at Urbana-Champaign. s.15.
40 Dowd, Kevin (2005): Measuring Market Risk (2nd Edition). West Sussex, England, John Wiley & Sons, Ltd.
4.4. Optioner
Optioner brukar delas in i köp- respektive säljoptioner. En option ger innehavaren rätten men inte skyldigheten att köpa/sälja en tillgång till ett förutbestämt pris vid en given tidpunkt. Op-tioner kan ytterliggare delas in i två kategorier, amerikansk och europeisk option. Den först-nämnda har egenskapen att innehavaren kan lösa in optionen innan lösendagen. Den sist-nämnda har dock inte den egenskapen utan den kan endast lösas in på lösendagen41.
4.4.1. Aktieoptioner42
Priset på en köpoption är en funktion av aktiens dagskurs (S), lösenpris (K), riskfri ränta (r), tid till förfall (T), aktiens risk (σ) och av utdelning för aktien.
• Om en köpoptions aktiekurs (S) är större än dess lösenpris (K) kommer detta leda till att innehavaren löser in optionen. Alltså blir köpoptionen mer värd desto mer aktiekur-sen stiger.
• När räntan (r) ökar leder detta till att investerarnas förväntade avkastning på aktierna ökar. Av detta följer att nuvärdet av framtida intäkter minskar vilket även medför att värdet på köpoptionen sjunker.
• Amerikanska köpoptioner tenderar att öka i värde om tid till förfall (T) ökar. Detta grundar sig i att innehavaren får fler möjligheter att lösa in optionen än vid ett kortare förfall.
• En volatil (σ) aktie har egenskapen att den rör sig kraftigt upp eller ned. Fördelen med en köpoption är att om aktien tenderar till att gå upp tjänar innehavaren på detta. Om aktien skulle röra sig nedåt har innehavaren en begränsad förlust, då denne endast kan förlora insatsen för optionen.
• Om det sker en aktieutdelning brukar detta leda till att aktiens pris sjunker. Detta på-verkar i sin tur köpoptionen negativt.
4.4.2. Förklaring till optionens namn
Viktigt när man handlar med optioner är att förstå den seriebeteckning som optionen innehar. I optionens namn ges information om den underliggande aktien, lösenpriset, vilken slutmånad som gäller samt vilket optionsslag43. Exempel på en seriebeteckning kan vara ABB7B115. Den aktie, underliggande, som gäller för optionen i detta exempel är ABB. Siffran som kom-mer efter aktien visar det slutår som optionen har, alltså när optionen går ut. I detta fall är det siffra 7 som då betyder att optionen förfaller år 2007. Efter slutåret står det en bokstav som bestämmer om det är en köpoption eller säljoption samt vilken månad kontraktet går ut. Detta kan utläsas av tabellen nedan:
41 Hull, John C (2005): Fundamentals of Futures and Options Markets (5th edition). Pearson Education Inc, New
Jersey. s.6.
42 Ibid. s.205-209.
43http://www.omxgroup.com/nordicexchange/marknaden/derivatmarknaden/vadaroptionerochterminer/Seriebete
Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec
Köpoptioner A B C D E F G H I J K L
Säljoptioner M N O P Q R S T U V W X
Figur 544
I exemplet är det bokstaven B, vilket innebär att det rör sig om en köpoption som förfaller i februari. Seriebeteckningen avslutas med några siffror, vilket innebär optionens lösenpris som i detta fall blir 115 kronor45.
Optioner förfaller den tredje fredagen i dess slutmånad. Är denna dag inte en bankdag förfal-ler optionen på den föregående bankdagen46.
4.5. Black-Scholes modell47
Black-Scholes är en modell som fick sitt genombrott på 70-talet, och används för att prissätta aktieoptioner. I denna uppsats kommer Black-Scholes att användas vid samtliga tre modeller för att beräkna optionens pris, och är därmed ett värdefullt instrument vid beräkning av VaR för optioner.
4.5.1 Prisrörelser för underliggande
I Black-Scholes modellen så antas den relativa förändringen i aktiepriser, d.v.s. avkastningen, under kort tid vara normalfördelade. Dock förutsätts att det inte förekommer några utdelning-ar. Förändringar i aktiekurser påverkas av aktiens avkastning och av en oberoende slumvaria-bel som följer random walk. Därför antas att avkastningen för en aktie följer random walk.
Figur 648
ΔS/S: förändringen i aktiepriset S μ: förväntad avkastning för aktien / år σ: volatilitet / år
μΔt: medelvärdet för förändringen över tid
ø (m,s): normalfördelad med väntevärde m och standardavvikelse s
Aktiepriser i Black-Scholes modell är dock inte normalfördelad, eftersom vid normalfördel-ning kan både positiva och negativa värden erhållas. En icke-normalfördelnormalfördel-ning kan användas
44http://www.omxgroup.com/nordicexchange/marknaden/derivatmarknaden/vadaroptionerochterminer/Seriebete
ckning_for_optioner_och_terminer/ (2007-05-08)
45 Ibid. (2007-05-08)
46 http://www.avanza.se/aza/kunskapscenter/depahandbok.jsp?page=shght_optioner (2007-05-09)
47 Hull, John C (2005): Fundamentals of Futures and Options Markets (5th edition). Pearson Education Inc, New
Jersey. s.263-273.
för att skapa enbart positiva värden. En icke-normalfördelad term kan omvandlas till normal-fördelad genom dess naturliga logaritm. I Black-Scholes modellens antagande för aktiekur-serna kan man se att ln ST är normal.
Normalfördelning Icke normalfördelning
Figur 749 Figur 850
4.5.2. Antagande och prissättningsformel
Black-Scholes modellen bygger på ett antal antaganden:
• För aktiepriser gäller icke normalfördelning, där μ och σ är konstanta • Inga transaktionskostnader eller skatter
• Inga utdelningar • Arbitragefrihet • Kontinuerlig handel
• Kan låna och placera till riskfri ränta • Konstant kort riskfri ränta
Black-Scholes formel för prissättning av en europeisk köpoption är följande:
Figur 951
N(x) är en standardiserad normal variabel med egenskaperna ø(0,1), som innebär väntevärde noll och varians ett. Eftersom den amerikanska köpoptionens pris, C, är lika med den
49Hull, John C (2005): Fundamentals of Futures and Options Markets (5th edition). Pearson Education Inc, New
Jersey. s.265.
50 Ibid. s.264. 51 Ibid. s.273.
iska köpoptionens pris för aktier utan utdelning kan formeln således även brukas för ameri-kanska köpoptioner.
4.6. Skattning av varians52
Vid beräkning av varianser används ibland en modell där den insamlade historiska data viktas exponentiellt och då med egenskapen att senare observationer bär större vikt vid skattningen. Denna metod kallas för exponentially weighted moving average model (EWMA). Motsatsen till denna metod är equally weighted där datamaterialet viktas lika över tid. Fördelarna med EWMA är att den reagerar snabbare på stora förändringar i marknaden och efter dessa föränd-ringar korrigeras variansen exponentiellt i takt med att förändringen i marknaden avtar. I EWMA används en decay factor (λ) som bestämmer vikterna för varje observation. Denna faktor kommer alltid att ligga mellan 0 och 1. Exempelvis använder RiskMetrics en decay factor på 0,94 vid skattning av 1-dags volatiliteter och 0,97 vid 1-månads volatiliteter. Vid skattningar av exempelvis volatiliteter är det en fördel att använda sig av en stor datamängd. Exponentially weighted:
Figur 1053
En annan egenskap med EWMA är att den kan användas för att göra skattningar för framti-den. För att ändra i ovanstående formel förmodas att oändligt med data är tillgängligt och att väntevärde 0 antas. I och med detta kan morgondagens varians tas fram med data tillgängligt idag.
Figur 1154
52 J.P. Morgan/Reuters (1996): RiskMetrics – Technical Document (4th Edition). New York. s.78-82, 100. 53 Ibid. s.78.
4.7. Statistik
Två olika hypotestest kommer att genomföras i undersökningen för att besvara uppsatsens syfte. Klassisk hypotesprövning kommer att användas för att statistiskt se om VaR modellerna ger samma svar eller inte. Hypotestest för proportioner kommer i undersökningen att använ-das för att statistiskt se om de verkliga förlusterna överstiger modellernas beräknade VaR en gång av tjugo vilket de ska göra när en konfidensnivå på 95 procent antagits.
4.7.1. Klassisk hypotesprövning55
En statistisk hypotesprövning görs om man vill bedöma en populations trovärdighet med hjälp av hypoteser. Detta kan göras på flera olika sätt och ett av de mest frekvent använda är så kal-lad klassisk hypotesprövning. Här formuleras en nollhypotes, H0, och en alternativ hypotes som i dessa sammanhang benämns mothypotes, H1. Hypoteserna ställs därefter mot varandra vilket i slutändan ska leda till att nollhypotesen antingen förkastas eller inte.
Vidare bestäms vid vilken gräns som nollhypotesen ska förkastas, vilket kallas för signifi-kansnivå. Denna nivå brukar vanligtvis vara 5, 1 eller 0,1 procent och benämns i statistiska samband med den grekiska bokstaven α. Finns det ett intresse att undersöka om medelvärdet är skiljt från nollhypotesen kan detta genomföras på olika sätt. Det går att undersöka om delvärdet är antingen mindre eller större än nollhypotesen. En tredje variant är de fall då me-delvärdet kan vara både mindre och större än nollhypotesen och då används en tvåsidig mot-hypotes. Detta förklaras med bilden nedan:
Figur 1256
I exemplet ovan är mothypotesen tvåsidig och en signifikansnivå på 5 procent råder. Nollhy-potesen förkastas om värdet hamnar i de kritiska områdena, d.v.s. om värdet är större än1,96 eller mindre än -1,96. Däremot går det inte att förkasta nollhypotesen om värdet hamnar inom intervallet. Om testvariabeln är normalfördelad och standardavvikelsen är känd används for-meln:
Figur 1357
55 Körner, Svante & Wahlgren, Lars (2000): Statistisk dataanalys. Studentlitteratur, Lund. s.180-191. 56 Ibid. s.191.
För att genomföra ett hypotestest kan en lämplig arbetsgång se ut på följande sätt: • Skapa en frågeställning
• Göra om denna frågeställning till hypotesform • Genomföra beräkningarna
• Förkasta/Inte förkasta nollhypotesen
4.7.2. Hypotestest för proportioner58
Vid hypotestest för proportioner ska urvalet vara minst 30 observationer (n ≥ 30), och då an-vänds följande formel:
Figur 1459
= den proportion som hamnar utanför det önskade intervallet = den proportion som ska hamna utanför intervallet
= testets standardfel.
Figur 1560
Det värde som ska genereras är Z, alltså det värde som används vid acceptering eller förkast-ning av nollhypotesen. Vid en signifikansnivå på 5 procent går det inte att förkasta nollhypo-tesen om Z antar ett värde mellan -1,96 < och < 1,96. Detta finns även beskrivet i figur 12 på föregående sida.
58 Bradley, Teresa (2007): Essential Statistic for Economics, Business and Management. John Wiley & Sons,
Ltd. West Sussex, England. s.334-335.
59 Ibid. s.335. 60 Ibid. s.335.
5. Tillvägagångssätt samt beräkningar
Då uppsatsen består av många simuleringar och beräkningar ägnas följande kapitel åt för-klaringar av dessa för att enklare förstå den empiriska undersökningen.
5.1. Gemensamma beräkningar för testerna
I uppsatsen används Black-Scholes formel vid optionsvärdering då den både är enkel att till-lämpa samt är ett mycket nyttjat instrument. Då uträkningarna i de tre VaR-modellerna är komplexa används endast optionens underliggande som rörlig variabel. För samtliga modeller har en riskfri ränta, statsskuldsväxlar, använts från Riksbankens hemsida61. Räntan som har använts är den genomsnittliga årsräntan för den 15 januari 2007, 3,478 %.
Vidare har standardavvikelsen beräknats på samma sätt för samtliga modeller. Vi har funnit att exponentially weighted moving average model (EWMA) varit en lämplig metod för be-räkning av varians. Eftersom de data som använts för att beräkna varianser sträcker sig över en längre tidsperiod (5 år) anses EWMA vara lämplig då den metoden tar större hänsyn till observationer närmare idag. Faktorn, decay factor, som påverkar vikterna för varje observa-tion ligger mellan 0 och 1. Vi har valt en decay factor på 0,94, då denna enligt RiskMetrics lämpar sig för att skatta 1-dags volatiliteter.
5.2. Beräkningar Test 1
För att förstå hur undersökningen har genomförts förtydligas detta genom att förklara de be-räkningar som använts i avsnittet nedan.
5.2.1. Delta-Normal metoden
I Delta-Normal metoden ersätts optionens position med en liknande position i dess underlig-gande. Den formel som har använts för att beräkna standardavvikelsen för förändringen i op-tionen är:
( C) S0*dC* S
dS S
σ Δ = σ⎛⎜Δ ⎞⎟
⎝ ⎠
Under antagandet om normalfördelning multipliceras därefter σ(∆C) med 1,65 för att erhålla VaR en dag av tjugo.
5.2.2. Monte Carlo simulering
I Monte Carlo modellen har vi börjat med att generera 1000 slumptal för varje underliggande och dessa har skapats i Excel med hjälp av en slumpfunktion.
Slumptalen har väntevärde noll och varians ett vilket innebär att vi har antagit normalfördel-ning. Med hjälp av dessa tal och aktiens dagskurs har vi genererat 1000 olika värden för un-derliggande till morgondagen enligt följande formel:
(
)
0* 1 * / 252
S S= +σ X
X = Slumpvariabel skapad i Excel
Sedan har vi använt Black-Scholes formel för att ta fram lika många data för optionens värde. De 1000 nya optionsvärdena subtraheras med dagens skattade optionsvärde för att få fram 1000 potentiella vinster och förluster för morgondagen. Dessa rangordnas och gränsen för de fem procent sämsta blir vårt VaR.
5.2.3. Historisk simulering
I den Historiska simuleringen har arbetet börjat med att samla in historiska kurser för ett år (252 arbetsdagar). Hur lång tidsserie som är lämplig brukar variera, vi ansåg dock att ett års kursdata skulle ge ett fullt tillräckligt resultat. I den Historiska modellen är det alltså inte nå-gon normalfördelning, utan här ska de historiska data tala för sig själv i största möjliga ut-sträckning.
Med hjälp av de historiska kurserna har avkastningen för varje dag beräknats. Underliggandes dagskurs i kombination med de uträknade avkastningarna har skapat potentiella framtida vär-den för underliggande enligt följande formel:
S = S0 * (1 + avkastning)
Precis som i Monte Carlo simuleringen används Black-Scholes formel för att beräkna lika många framtida värden för optionen. Därefter subtraheras de nya potentiella optionsvärdena med dagens skattade optionsvärde. Dessa rangordnas och gränsen för de fem procent sämsta blir vårt VaR.
5.3. Beräkningar Test 2
För att förstå hur undersökningen har genomförts förtydligas detta genom att visa beräkningar i avsnittet nedan.
5.3.1. Delta-Normal metoden
I det andra testet, beräknas VaR för den första dagen på exakt samma sätt som i det första testet. För dagen efter ändras några variabler som i sin tur påverkar VaR i Delta-Normal me-toden. De variabler som ändras är dagens aktiekurs, optionens tid till förfall samt aktiens standardavvikelse. Standardavvikelsen ändras enligt de beräkningar som förklarats i avsnittet 4.6. om EWMA. Ovan nämnda förändringar görs för varje dag för att uppdatera VaR för de 20 undersökta dagarna.
5.3.2. Monte Carlo simulering
I Test 2, har VaR tagits fram för den första dagen på precis samma sätt som beskrivits för den-na simulering i Test 1. För nästkommande dag sker ändringar i datamaterialet från föregående period. De faktorer som förändras är aktiens dagskurs, aktiens standardavvikelse och optio-nens tid till förfall. Nästa steg var att rangordna de nya vinster och förluster för optionen för att få fram vårt VaR vid fem procents gränsen. Hela förfarandet upprepades sedan för att få fram nya VaR för optionen under 20 dagar.
5.3.3. Historisk simulering
I Test 2, har vi tagit fram VaR för den första dagen på precis samma sätt som beskrivits för denna simulering i Test 1. För nästkommande dag ändras datamaterialet från föregående peri-od. Förändringar sker i aktiens dagskurs, aktiens standardavvikelse och optionens tid till för-fall. Vidare har även den äldsta av de historiska dagskurserna ersatts med den senaste dagens kurs. Slutligen sker en rangordning precis på samma sätt som tidigare för att få fram det nya VaR för optionen under 20 dagar.
6. Empiri/Analys
Empiriavsnittet behandlar uppsatsens undersökning, d.v.s. om riskvärdering enligt Delta-Normal metoden, Monte Carlo simulering och Historisk simulering ger samma svar. Vidare undersöks om dessa modeller fungerar tillfredställande vid VaR bedömningar. De båda tes-terna avslutas med en statistisk prövning för att ge svar till undersökningen.
6.1. Test 1
I Test 1 jämförs de tre VaR modellerna för att se skillnader mellan dem. Optionerna jämförs utifrån dess VaR som beräknats från perioden 2007-01-15 till 2007-01-16. Totalt sett har 146 stycken köpoptioner från Stockholmsbörsen använts i testet. Modellernas beräknade VaR kommer även att jämföras sinsemellan och statistiskt testas för att se om de ger samma svar. För att modellerna ska ge samma svar ska deras mellanskillnader inte statistiskt kunna skiljas från noll.
Nedan visas vilka optioner som avgränsats att ingå i det första testet:
ABB7B115 ELUXB7F115.22X KINB7B110 SEBA7B210 SWMA7B125 ABB7B130 ELUXB7F123.75X KINB7B125 SEBA7B240 SWMA7B130
ABB7F115 ENRO7B85 KINB7E110 SEBA7F210 TEL2B7B90
ABB7F130 ENRO7B100 KINB7E125 SEBA7F240 TEL2B7B105
ALFA7B290 ENRO7E85 LUPE7B65 SECUB7B95X TEL2B7F90
ALFA7B330 ENRO7E100 LUPE7B80 SECUB7B115X TEL2B7F105
ALFA7E290 ERICB7B26 LUPE7E65 SECUB7F95 TLSN7B50
ALFA7E330 ERICB7B30 LUPE7E80 SECUB7F115 TLSN7B65
ASSAB7B135 ERICB7F26 MTGB7B470 SKAB7C140 TLSN7F50 ASSAB7B160 ERICB7F30 MTGB7B490 SKAB7C150 TLSN7F65 ASSAB7E135 FABG7B180 MTGB7E470 SKAB7G140 TIEN7B200 ASSAB7E160 FABG7B210 NOKI7B125 SKAB7G150 TIEN7B230
AZN7C370 FABG7E180 NOKI7B145 SKFB7C120 TIEN7E200
AZN7C430 FABG7E210 NOKI7I130 SKFB7C140 TIEN7E230
AZN7G370 HMB7C310 NOKI7I140 SKFB7E120 TRELB7B150
AZN7G430 HMB7C370 NDA7C105 SKFB7E140 TRELB7B180
ATCOA7C200 HMB7E310 NDA7C115 STER7B110 TRELB7F150 ATCOA7C230 HMB7E370 NDA7G105 STER7B120 TRELB7F180 ATCOA7G200 HOLMB7B290 NDA7G115 STER7E110 VOLVB7C450 ATCOA7G230 HOLMB7B330 OLDM7C19.78Y STER7E120 VOLVB7C490 ALIV7B410 HOLMB7E290 OLDM7C29.67Y SHBA7C200 VOLVB7G450 ALIV7B450 HOLMB7E330 SAND7B90 SHBA7C220 VOLVB7G490
ALIV7F410 HUSQB7B100 SAND7B110 SHBA7G200 VOST7B450
ALIV7F450 HUSQB7B115 SAND7F90 SHBA7G220 VOST7B490
BOLI7C150 HUSQB7F100 SAND7F110 SSABA7B140 VOST7E450 BOLI7C170 HUSQB7F115 SCAB7B350 SSABA7B160 VOST7E490
BOLI7E160 INVEB7B150 SCAB7B390 SWEDA7B240
BOLI7E170 INVEB7B180 SCAB7F350 SWEDA7B280
ELUXB7B115.22X INVEB7E150 SCAB7F390 SWEDA7E240 ELUXB7B123.75X INVEB7E180 SCVB7B510 SWEDA7E280
6.1.1. Exempel Test 1
För att enklare förstå hur sammanställningen har skett visas härmed ett utdrag från undersök-ningen. Diagrammet visar beräknat VaR för ABB och Alfa Laval. För resterande optioner och dess beräknade VaR i Test 1 hänvisas till uppsatsens bilagor.
Monte Carlo simulering Delta metoden Historisk simulering Option Value at Risk Value at Risk Value at Risk
ABB7B115 -2,542464143 -2,633964 -2,681376673 ABB7B130 -0,698713733 -0,851855 -0,729982121 ABB7F115 -2,222919741 -2,271642 -2,347025954 ABB7F130 -1,271611108 -1,349812 -1,339607322 ALFA7B290 -6,934233928 -7,497687 -7,8536024 ALFA7B330 -2,060016828 -2,571812 -2,285750624 ALFA7E290 -6,289145433 -6,656619 -7,15173477 ALFA7E330 -3,570984967 -3,932743 -4,037265585 6.2. Sammanställning/Analys, Test 1
I det första testet, bestående av VaR från de tre utvalda modellerna, finns det egenskaper som gör att dessa skiljer sig åt. Monte Carlo simuleringen är i denna undersökning normalfördelad och beroende av slumptal som styr det beräknade VaR. Däremot i den Historiska simulering-en så styrs fördelningsimulering-en helt av hur dsimulering-en tidigare kursutvecklingsimulering-en varit (i dsimulering-enna undersökning sträcker sig kursdata för aktier i Historisk simulering ett år bakåt i tiden). Den parametriska modellen, Delta-Normal, är normalfördelad och påverkas enbart av förändringen i dess under-liggande.
De tre modellerna som undersöks skiljer sig avsevärt åt när det gäller den tidsåtgång som varit nödvändig. De icke-parametriska modellerna, Monte Carlo simulering och Historisk simule-ring, är betydligt mer tidskrävande än den undersökta parametriska modellen. Den modell som krävt mest tid är den Historiska simuleringen, då mer data behövs än för de övriga två. Vid jämförelse mellan de tre modellerna med avsikt att se skillnader i det VaR som beräknas finns det en del noterbart. Det som först och främst bör nämnas är att generellt sett genereras lägst VaR i Monte Carlo simuleringen om den jämförs med de andra två modellerna. Däremot vid en jämförelse mellan Delta-Normal metoden och Historisk simulering var det hugget som stucket, det vill säga ungefär hälften av gångerna hade Delta-Normal metoden ett högre värde och vice versa.
6.3. Hypotesprövning, Test 1
Den statistiska prövningen för Test 1 hade för avsikt att se huruvida jämförelsen mellan mo-dellerna går att skilja åt från noll. Detta innebär således att vid ett resultat där två modeller inte kan skiljas från noll så ger båda modellerna i princip samma svar och det spelar ingen roll vilken modell användaren väljer vid beräkning av VaR. Monte Carlo simuleringen benämns X1, Delta-Normal X2 och Historisk simulering X3. Termen, , är exempelvis medelvärdet för X1 subtraherat med X2. Data som ligger till grund för det första statistiska testet finns
tillgängligt i bilaga 5. För att två variabler inte ska kunna skiljas från noll ska kvoten Z hamna inom intervallet -1,96 < Z < 1,96.
Antagande:
Nollhypotes: Det finns ingen skillnad mellan variablerna andra än de som orsakats av slum-pen.
Mothypotes: Skillnader finns mellan variablerna. Signifikansnivå (α): 5 % X1-X2 X1-X3 X2-X3
I det första testet, mellan X1 och X2, förkastas nollhypotesen. Detta innebär att stöd finns för mothypotesen vilket medför att det finns skillnader mellan Monte Carlo simulering och Delta-Normal metoden.
Även i det andra testet, mellan X1 och X3, förkastas nollhypotesen och därigenom finns stöd för att mothypotesen gäller. Således finns det skillnader mellan Monte Carlo simulering och Historisk simulering.
I det tredje testet, mellan X2 och X3, kan inte nollhypotesen förkastas. Det vill säga att det inte går att påvisa några skillnader mellan Delta-Normal metoden och Historisk simulering andra än de som orsakats av slumpen.
0,21324 0 15,0977 0,170665/ 146 − Z = = 0,31215 0 5,4001 0,69845/ 146 − Z = = 0,09890 0 1,79293 0,66653/ 146 − Z = =
6.3.1. Alternativt hypotestest, Test 1
Som tidigare nämnts, under avsnittet om kritik i metoddelen, uppstod en tveksamhet då vissa optioner i Test 1 inte är inbördes oberoende och kan därmed ge ett snedvridet resultat. Med detta i beaktande utfördes ytterliggare ett test för att bättra på riktigheten i undersökningen. Det alternativa hypotestestet består av de 30 optioner som använts i Test 2, och som under-sökts under 20 dagar vilket medför lite drygt 600 data per modell.
Antagande:
Nollhypotes: Det finns ingen skillnad mellan variablerna annat än de som orsakats av slum-pen.
Mothypotes: Skillnader finns mellan variablerna. Signifikansnivå (α): 5 % X1-X2 X1-X3 X2-X3
Resultatet i det alternativa testet påvisar samma resultat som tidigare beskrivits. Det är endast mellan Delta-Normal metoden (X2) och Historisk simulering (X3) som nollhypotesen inte kan förkastas och därmed går det inte att påvisa någon statistisk skillnad mellan dessa.
0,23720 0 28,4213 0,207981/ 621 − Z = = 0,17971 0 4,4445 1,00765/ 621 Z = − = -0,05748 0 -1,31012 1,0934/ 621 Z = − =
6.4. Test 2
I Test 2 undersöks de utvalda VaR modellerna under 20 dagar. Perioden startar 2007-01-15 och löper 20 dagar framåt. Slutdagen varierar för optionerna då det under vissa dagar varit bristfälligt med optionsdata. Totalt sett är det 30 stycken köpoptioner som beräknas under perioden. Undersökningen avslutas med att statistiskt pröva om de verkliga förlusterna över-stiger modellernas beräknade VaR en gång av tjugo. Detta görs genom ett hypotestest för pro-portioner.
De optioner som används i Test 2 är följande:
ABB7B115 ELUXB7B115.22X KINB7E125 SEBA7B240 TEL2B7F90 ALIV7B410 ERICB7F30 LUPE7B80 SHBA7C200 TIEN7E230 ALFA7E330 HMB7E310 NDA7C105 SKAB7G150 TLSN7B50 ATCOA7C230 HOLMB7E330 NOKI7B145 SKFB7E120 TRELB7F150 AZN7C370 HUSQB7B100 SAND7F110 STER7E120 VOLVB7C490 BOLI7C170 INVEB7B150 SCAB7B390 SWEDA7E240 VOST7E490
6.4.1. Exempel Test 2
För att enklare visa hur sammanställningen av data har skett visas nedan ett exempel på en option, ABB7B115. För de övriga optionernas VaR hänvisas till uppsatsens bilagor.
Dag Monte Carlo simulering Deltametoden Historisk simulering Vinst/Förlust ABB7B115 ABB7B115 ABB7B115 för optionen
1 -2,54246 -2,63396 -2,68138 -1,5 2 -2,36169 -2,47379 -2,51328 1,25 3 -2,61672 -2,69995 -2,77107 0,75 4 -2,63144 -2,69924 -2,86424 -2,25 5 -2,40699 -2,52400 -2,55120 0,5 6 -2,47325 -2,57105 -2,68599 0,25 7 -2,46818 -2,55337 -2,75853 1 8 -2,58968 -2,64611 -2,93978 -0,25 9 -2,52787 -2,57962 -2,95330 -1,75 10 -2,35163 -2,44809 -2,70460 -0,5 11 -2,26539 -2,36564 -2,84661 1,5 12 -2,53805 -2,59250 -2,96302 -0,75 13 -2,42233 -2,49276 -2,87491 1,25 14 -2,61733 -2,64276 -3,10593 2 15 -2,83234 -2,81874 -3,29232 0,75 16 -2,81207 -2,78298 -3,59598 1 17 -2,82049 -2,78042 -3,41549 2,75 18 -3,07558 -3,02690 -3,50644 -3,5 19 -3,20910 -3,16740 -3,20199 2 20 -3,31474 -3,26255 -3,46506 -1,25
6.5. Sammanställning/Analys, Test 2
Totalt sett har det undersökts 30 optioner under 20 dagar, vilket medfört totalt 600 VaR be-räkningar per modell.
De köpoptioner som visade upp en förlust som var större än det beräknade VaR visas i följan-de tabeller. För respektive moföljan-dell visas även hur unföljan-derligganföljan-de har rört sig unföljan-der följan-dessa dagar.
Delta-Normal metoden
Option Dag Beräknat VaR Verklig förlust (kr) Relativ förändring underliggande
ABB7B115 08-feb -3,026898 -3,5 -2,60% ALIV7B410 08-feb -6,171392 -9,75 -2,30% ATCOA7C230 26-jan -1,865497 -2,75 -2,47% ATCOA7C230 01-feb -3,238159 -7,25 -3,70% ATCOA7C230 12-feb -3,292476 -4,75 -2,80% ERICB7F30 29-jan -0,187092 -0,25 -2% ERICB7F30 02-feb -0,117257 -0,45 -6% LUPE7B80 18-jan -0,213364 -0,35 -0,35% LUPE7B80 01-feb -0,096584 -0,1 -0,34% LUPE7B80 06-feb -0,044501 -0,14 -0,60% LUPE7B80 08-feb -0,005399 -0,09 -1% NOKI7B145 22-jan -1,128326 -1,2 -1% SCAB7B390 30-jan -1,201036 -2,95 -1,70% TIEN7E230 18-jan -1,829094 -5,6 -14% VOST7E490 12-feb -2,429602 -3,5 -3,50% VOST7E490 20-feb -1,880135 -2,25 -0,90%
Monte Carlo simulering
Option Dag Beräknat VaR Verklig förlust (kr) Relativ förändring underliggande
ABB7B115 08-feb -3,075575364 -3,5 -2,60% ALIV7B410 08-feb -5,553837171 -9,75 -2,30% ATCOA7C230 26-jan -1,599764874 -2,75 -2,47% ATCOA7C230 01-feb -2,849679539 -7,25 -3,70% ATCOA7C230 12-feb -2,841592564 -4,75 -2,80% ERICB7F30 29-jan -0,180181095 -0,25 -2% ERICB7F30 31-jan -0,143266852 -0,15 -1,20% ERICB7F30 02-feb -0,109721148 -0,45 -6% LUPE7B80 16-jan -0,321756992 -0,35 -0,60% LUPE7B80 18-jan -0,151822958 -0,35 -0,35% LUPE7B80 30-jan -0,087702423 -0,1 -0,35% LUPE7B80 01-feb -0,058780972 -0,1 -0,34% LUPE7B80 06-feb -0,023860171 -0,14 -0,60% LUPE7B80 08-feb -0,002316191 -0,09 -1% NOKI7B145 22-jan -0,91464175 -1,2 -1%
SCAB7B390 30-jan -0,869635966 -2,95 -1,70% SEBA7B240 05-feb -1,213577287 -1,6 -1,90% TIEN7E230 18-jan -1,654525044 -5,6 -14% VOST7E490 16-jan -5,129186578 -5,25 -2,30% VOST7E490 12-feb -2,101000922 -3,5 -3,50% VOST7E490 20-feb -1,587549426 -2,25 -0,90% Historisk simulering
Option Dag Beräknat VaR Verklig förlust (kr) Relativ förändring underliggande
ALIV7B410 08-feb -6,572413053 -9,75 -2,30% ATCOA7C230 26-jan -2,413559306 -2,75 -2,47% ATCOA7C230 01-feb -3,750984279 -7,25 -3,70% ATCOA7C230 12-feb -3,56735745 -4,75 -2,80% ERICB7F30 02-feb -0,14559378 -0,45 -6% LUPE7B80 18-jan -0,187744201 -0,35 -0,35% LUPE7B80 01-feb -0,074657639 -0,1 -0,34% LUPE7B80 06-feb -0,028960018 -0,14 -0,60% LUPE7B80 08-feb -0,002590425 -0,09 -1% NOKI7B145 22-jan -1,020173486 -1,2 -1% SCAB7B390 30-jan -0,953594055 -2,95 -1,70% SEBA7B240 05-feb -1,325788155 -1,6 -1,90% TIEN7E230 18-jan -2,020279699 -5,6 -14%
Vid värdering av dessa optioner visade Delta-Normal metoden upp 16 stycken tillfällen (2,66 procent) där den verkliga förlusten översteg det beräknade VaR. För Monte Carlo simulering-en var det 21 stycksimulering-en (3,5 procsimulering-ent) och slutligsimulering-en vid dsimulering-en Historiska simuleringsimulering-en uppgick antalet till 13 stycken (2,16 procent).
Resultatet visar att i de flesta fall där det verkliga utfallet blivit större än det beräknade VaR så ingår samma option i fler än en modell. Exempelvis visar Atlas Copco optionen AT-COA7C230, som finns med under samtliga tre modeller, upp en större förlust än modellernas beräknade VaR. De flesta av optionerna i figuren ovan har haft en kraftig nedgång i dess op-tionsvärde och detta kan om möjligt förklaras genom en likadan trend för dess underliggande. I Monte Carlo simuleringen har mer än hälften (11 st.) av optionernas underliggande fallit med minst 1,9 procent samma dag som optionens verkliga utfall översteg det beräknade VaR. För den Historiska simuleringen är det mer än hälften (7 st.) av underliggande som sjunkit med mer än 1,9 procent under förlustdagen och för Delta-Normal metoden är det 9 st. aktier som sjunkit mer än 1,9 procent.
Av samtliga optioner som visade upp en förlust var det dock Lundin Petroleum optionen LUPE7B80 som föll utanför ramarna för VaR flest gånger. Optionens underliggande har dock inte haft så kraftiga förluster under den undersökta tidsperioden, utan de har legat mellan – 0,34 till -1 procent. Optionens pris har dock varit väldigt lågt under perioden, allt från ett öre till 75 öre.
I Test 1 beskrevs att Delta-Normal metoden och Historisk simulering har haft högre beräkna-de VaR än Monte Carlo simulering. De två förstnämnda moberäkna-dellerna visar i Test 2 att beräkna-de har haft mindre antal optioner som hamnat utanför VaR än Monte Carlo simulering. Detta kan möjligtvis bero på att de haft en högre säkerhetsmarginal, d.v.s. att de nästan hela tiden haft ett högre beräknat VaR än Monte Carlo simulering.
6.6. Hypotestest för proportioner, Test 2
Hypotestestet hade för avsikt att undersöka om de tre riskhanteringsmodellerna gav en till-räckligt bra fingervisning vid beräkning av VaR. Kommer förlusterna överstiga det VaR mo-dellerna beräknat en gång av tjugo? Skulle Z hamna inom intervallet -1,96 < Z < 1,96 kan man inte förkasta att det verkliga utfallet kommer att överstiga VaR en gång av tjugo.
Delta-Normal metoden, 16 2, 66% 600
= =
Monte Carlo simulering, 21 3,5% 600 = = Historisk simulering, 13 2,16% 600 = = Antagande: H0: = 0,05 H1: ≠ 0,05 Signifikansnivå (α): 5 % Delta-Normal metoden
Monte Carlo simulering 0,0266 0,05 2,62244 0,0088975 p Z = − = − 0,035 0,05 1,68585 0,0088975 p Z = − = −
Historisk simulering 0,0216 0,05 3,18439 0,0088975 p Z = − = −
För det första testet, Delta-Normal metoden, förkastas nollhypotesen vilket medför att stöd finns för mothypotesen.
I det andra testet, Monte Carlo simulering, kan inte nollhypotesen förkastas eftersom Z ham-nar inom intervallet -1,96 < Z < 1,96.
I det avslutande testet, för Historisk simulering, förkastas nollhypotesen vilket gör att stöd finns för mothypotesen.
