Lärande och samhälle
Skolutveckling och ledarskap
Examensarbete
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Vardagsnära rika problem i matematik-
för vem?
Everyday rich Problems in Mathematics- for whom?
Lina Pfannenstill
Erika Tengrud
Speciallärarexamen, Matematikutveckling 90 hp Slutseminarium 2018-05-21
Examinator: Bernt Gunnarsson Handledare: Birgitta Lansheim
Förord
Detta examensarbete har utförts som avslutning på vår speciallärarutbildning med inriktning matematikutveckling. Vi vill här ta tillfället i akt och tacka de personer som har bidragit till vårt examensarbete. Vi vill tacka de elever som har ställt upp på intervjuer och de personer som gett oss möjlighet att utföra våra observationer. Vi vill också tacka vår handledare, Birgitta Lansheim, för akademiskt stöd och vägledning under arbetets gång.
I upplägget av vårt examensarbete valde vi att använda oss av Google Drive, så att vi båda kunde ha insyn och möjlighet att skriva arbetet tillsammans. Med anledning av detta har vi båda tagit del av och utformat alla arbetets kapitel tillsammans.
Sammanfattning/Abstract
Pfannenstill, L., Tengrud, E. (2018). Vardagsnära rika Problem i Matematik- för vem? Speciallärarprogrammet, Institutionen för skolutveckling och ledarskap, Lärande och samhälle, Malmö universitet, 90 hp.
Förväntat kunskapsbidrag
Examensarbetet förväntas bidra med kunskap om hur viktig lärarens roll är i undervisningen och hur lärare kan undervisa så att alla elever inkluderas genom att vi förstår vikten av att vardagsanknyta matematiken så att alla elever kan vara med på ordinarie klassrumsundervisning. Undersökningen förväntas också kunna bidra med att klargöra hur ett rikt problem definieras samt vad matematiska problem kan handla om ifall eleverna själv får välja.
Syfte och frågeställningar
Syftet med examensarbetet är att ur ett elevperspektiv undersöka om de vardagsnära eller de icke vardagsnära problemlösningsuppgifterna tilltalar eleverna mest. I studien finns det även definierat vad ett rikt problem karaktäriseras av och om de problem vi testat med eleverna uppfyller dessa kriterier. I arbetet har vi också tittat på om eleverna verkar kunna hålla sig till det matematiska innehållet då de löser uppgifter med vardagsanknytning eftersom forskningen går isär inom denna fråga.
Teori
Examensarbetet utgår ifrån den socialkonstruktivistiska teorin vilket innebär att eleven bygger sin egen kunskap tillsammans med andra elever genom att aktivt delta i problemlösning och kritiskt tänkande. Läraren verkar som en guide åt eleven, stimulerar och framkallar kritiskt tänkande och analyserar sammanhang genom lärandeprocessen. Eleven arbetar problemorienterat, undersökande och delvis självständigt, men i en social gemenskap, för att konstruera sin kunskap.
Metod
Arbetet är inspirerat av en fenomenologisk ansats vilket innebär att vi varit intresserade av att lyfta fram tankar och upplevelser från elever i årskurs två och tre som utgår ifrån de rika problemuppgifter som de arbetat med i undersökningen. Genomförandet har innefattat observationer av fyra elevgrupper samt enskilda intervjuer. Därefter har sedan intressanta samband utifrån frågeställningarna lyfts fram och analyser av dessa har genomförts.
Resultat
Ett av resultaten av undersökningen visade hur viktig lärarens roll i matematikundervisningen är för att inkludera alla elever på olika matematiska nivåer. I undersökningen kom det även fram att det är elever på en lägre matematisk nivå som oftast gynnas av en vardagsnära kontext, och som har förslag på vad problemuppgifter kan handla om för att vara intressanta, medan elever på en medel- eller hög matematisk nivå inte föredrog vardagsnära problem i lika hög grad och brydde sig inte heller om vad problemen handlade om i samma utsträckning.
Specialpedagogiska implikationer
Specialläraren i matematikutveckling får en viktig roll både på organisations, grupp och individnivå då kunskap som vilar på vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet behöver spridas till alla nivåer inom skolan. En viktig del av speciallärarens roll är att arbeta förebyggande med ledning och stimulans så att behovet av särskilt stöd minskar. Genom att inspirera och handleda lärare att undervisa på ett sätt som inkluderar alla elever kan fler elever få ett gott självförtroende i matematik och nå de uppsatta kunskapskrav som råder.
Nyckelord
Innehållsförteckning
Förord 1
Sammanfattning/Abstract 2
Inledning 6
Syfte och preciserade frågeställningar 9
Centrala begrepp 9
Problemlösning 9
Vardagsnära 9
Rika problem 10
Skolverkets bedömningsstöd i matematik 10
Låg matematisk nivå 10
Hög matematisk nivå 10
Teoretiska perspektiv och tidigare forskning 11
Teoretisk förankring 11 Forskningsöversikt 12 Problemlösning i matematik 12 Rika problem 14 Vardagsnära matematik 16 Lärarens roll 18 Sammanfattning 19 Metod 21 Undersökningsgrupp 22 Genomförande 23
Bearbetning och analys 24
Trovärdighet och tillförlitlighet 25
Etiska aspekter 26
5
Rika problem 27
Uppgifterna 31
Det matematiska innehållet 32
Om eleverna får välja 34
Sammanfattning 35
Diskussion och implikationer 36
Resultatdiskussion 36
Specialpedagogiska implikationer 39
Metoddiskussion 41
Förslag på fortsatt forskning 42
Referenser 43 Bilaga 1 46 Missivbrev 46 Samtyckesblankett 48 Bilaga 2 49 Bilaga 3 51 Bilaga 4 52
6
Inledning
“Ingen lärobok i världen kan ensam användas för att uppfylla kursplanens mål eller ge en elev
de högsta betygen” (Taflin 2007, s 3)
I Skolverkets utvärdering av matematiksatsningen, ett nationellt initiativ för att utveckla och förbättra matematikundervisningen i grundskolan, mellan 2009-2011 (Skolverket, 2012) framkom det att undervisningen överlag är alltför ensidig och läroboksstyrd och att matematik ofta uppfattas som synonymt med att lösa uppgifter ur läroböcker. Forskning visar, enligt Skolverket (2012), att traditionell svensk matematikundervisning har stort fokus på att följa läromedel. I Skolverkets (2012) kunskapsöversikt “Vad påverkar resultaten i svensk grundskola?” konstateras att undervisningsmönstret i svensk grundskola har förändrats i riktning mot individualisering som övergripande kan beskrivas som en förskjutning av ansvar från lärare till elev. Rapporten visar på att förändringar i riktning mot mer eget arbete inte gynnar elevernas kunskapsutveckling. Elevens motivation och engagemang påverkas negativt. Dessa resultat kan relateras till både internationell och nationell forskning som pekar på betydelsen av en tydlig och aktiv lärare som kan engagera och uppmuntra alla elever. Matematiklärare är de lärare som i minst utsträckning anser att de anknyter sin undervisningen till vardagen. Studier visar, enligt Skolverket (2012), även att elever som har lätt för matematik anser att det generellt är för få utmaningar och för mycket upprepningar i matematikundervisningen.
Vår erfarenhet av matematikundervisning är att den problemlösning som förekommer i skolan sker som ett moment vid sidan om ordinarie undervisning. Problemlösningsuppgifter är ofta till för de snabbräknande eleverna eller som ett inslag för att göra matematikundervisningen roligare och i de läromedel som används är dessa uppgifter oftast korthuggna och tillrättalagda. Problemen i läromedlen är ofta av typen benämnda uppgifter, textuppgifter som handlar om en inövad räknemetod. Problemuppgifterna finns ofta i slutet av ett bestämt matematiskt område varpå eleverna på förhand vet vilken matematik de ska använda för att lösa uppgiften. I läroböckerna, som dominerar undervisningen, är de flesta problem också slutna dvs. de har ett enda rätt svar. Holgersson och Wästerlid (2018) poängterar att om man får bort fokus på rätt och fel som av tradition finns i klassrummen hade många fler elever kunnat bli problemlösare. I Lgr11 (Skolverket 2011) finns fem förmågor som eleverna ska
7
utveckla inom matematik. Dessa förmågor att kunna t.ex. resonera, analysera, samtala, argumentera och redogöra för beräkningar och slutsatser hänger alla ihop med problemlösning. Förmågorna innefattar mycket kommunikation men i kontrast till detta går enligt Löwing (2010) och Pettersson och Wistedt (2013) ofta den svenska undervisningen ut på att eleverna arbetar individuellt och tyst i sitt läromedel. För att utveckla förmågorna behöver eleverna kommunicera mer matematik tillsammans.
Taflin (2007) menar att genom att välja uppgifter som kan utvecklas mot olika nivåer och som innebär arbete under en längre tid får eleverna en chans att leva sig in i uppgiften med ökat intresse och en annan förståelse för att lösa matematiska problem. Taflin (2007) lyfter även att matematiska problem som kan lösas med flera olika metoder och som innehåller många svårighetsnivåer brukar ibland kallas rika matematiska problem. Vid lösning av rika problem får eleven lära sig matematik genom att upptäcka, utvidga, fördjupa och använda sina matematiska kunskaper samt öka sin matematiska medvetenhet. I ett klassrum, där det arbetas med rika matematiska problem, är det normalt sett god tillgång till alternativa lösningar, lösningar som bygger på flera olika matematiska idéer och är uttryckta med flera olika matematiska representationer. Detta skapar enligt Taflin (2007) stora möjligheter till intressanta diskussioner med matematiskt innehåll. På ett liknande sätt lyfter Boaler (2013) fram vikten av att låta eleverna lösa intressanta problem som tvingar dem att tänka självständigt och att låta dem diskutera matematik med varandra. Detta arbetssätt ökar elevernas intresse och engagemang, eleverna lär av varandra och är varandras resurser.
Boaler (2013) menar vidare att för att göra matematiken mer spännande och motiverande behöver den också vara vardagsnära, alltså ha en koppling till det verkliga livet. Mer verklighetstrogna uppgifter påverkar eleverna att i större utsträckning ge realistiska svar, å andra sidan innebär det inte nödvändigtvis att svaren är matematiskt korrekta, enligt Wistedt, Brattström och Jacobsson, som redan 1992 visade i sin studie att en matematikundervisning som fokuserar alltför mycket på vardag och verklighet faktiskt för många elever utgör ett hinder när det handlar om att utveckla matematisk kompetens. Den verklighet som beskrivs blir ett hinder för att lära sig matematik. Wistedt m.fl. (1992) menar att elevernas vardagstänkande blir överordnat matematiken och de funderar mer över vad som händer i verkligheten. Denna motsättning gjorde oss nyfikna på om elever verkligen behöver vardagsanknyta problemlösningsuppgifter i matematik och i så fall vilka problem som engagerar och tilltalar eleverna mest, eftersom en av förutsättningarna för lärande är
8
motivation. Detta examensarbete handlar om vardagsnära rika problem för de lägre årskurserna i grundskolan och om det är de vardagsnära eller icke vardagsnära problemen som tilltalar eleverna mest.
9
Syfte och preciserade frågeställningar
Den forskning vi hittat visar både på positiva och negativa aspekter på att eleverna arbetar med vardagsnära problemlösningsuppgifter. Vårt syfte är att ur ett elevperspektiv undersöka om de vardagsnära eller de icke vardagsnära problemlösningsuppgifterna tilltalar eleverna mest. Följande frågor ligger till grund för den undersökning vi gjort med elever i årskurs två och tre i grundskolan.
1. På vilka sätt uppnår uppgifterna i studien kriterierna för rika problem?
2. Vilken typ av rika problem tilltalar eleverna mest, de vardagsnära eller de icke vardagsnära?
3. Upplever eleverna att de håller sig till det matematiska innehållet eller påverkas de av sina erfarenheter i vardagen?
4. Vad kan ett problem handla om ifall eleverna får välja?
Centrala begrepp
Problemlösning
Problemlösning är ett centralt begrepp. Den matematiska uppgiften som ska lösas är inte av standardtyp utan den utgörs av ett för problemlösaren okänt problem. En uppgift är ett problem först när det kräver att problemlösaren gör en särskild ansträngning för att finna lösningen (Taflin 2007).
Vardagsnära
Skolverket (2017) betonar nödvändigheten av att arbeta med vardagsnära problem. I årskurs 1-3 ska eleverna få arbeta med problemlösning i enkla situationer, med enkla situationer avser kursplanen elevnära och bekanta sammanhang. I årskurserna 4-6 omfattar problemlösning vardagliga situationer och situationer som är en bit ifrån elevernas erfarenhetsvärld. I årskurserna 7-9 innebär motsvarande innehåll strategier för matematisk problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden.
10
Rika problem
Ett rikt problem består av ett första delproblem som alla elever borde kunna förstå och kunna arbeta med, sedan ett eller ett par mellansteg som skulle kunna leda eleverna mot ett mer generellt tänkande och slutligen, som sista steg, uppgiften att formulera ett matematiskt liknande problem (Taflin 2007).
Skolverkets bedömningsstöd i matematik
Bedömningsstöd i årskurs 1-3 i matematik är framtaget av Skolverket. Materialet är framtaget för att stödja lärarnas bedömning av elevernas taluppfattning och tidigt upptäcka om det finns elever med behov av extra anpassningar, men också identifiera elever som behöver extra utmaningar.
Låg matematisk nivå
Skolverkets bedömningsstöd i matematik (2016) menar att elever som klarar en låg nivå är elever som riskerar att få eller som redan har svårigheter i taluppfattning inom matematik.
Hög matematisk nivå
Skolverkets bedömningsstöd i matematik (2016) menar att elever som klarar en hög nivå är elever som har kommit långt i sin kunskapsutveckling i matematik och som behöver utmaningar.
11
Teoretiska perspektiv och tidigare forskning
Teoretisk förankring
Denna studie utgår från ett konstruktivistiskt perspektiv på lärande. Imsen (2006) lyfter konstruktivismen som både en teori om lärande och en teori om vad kunskap är. Det innebär att kunskap inte existerar i egenskap av sig själv utan att det är något som människan skapar i sin strävan att försöka förstå och förklara omvärlden. Mirza och Hussein (2014) lyfter på ett liknande sätt som Imsen (2006) konstruktivismen som en lärandeteori där elever tillåts konstruera sitt eget lärande genom att aktivt deltaga i problemlösning och kritiskt tänkande. Eleverna konstruerar sin egen kunskap genom att testa ideer byggda på sina förkunskaper och applicera dessa på en ny situation. Mirza & Hussein (2014) menar att det finns några karaktäristiska drag som utmärker den konstruktivistiska lärandeteorin, nämligen: läraren verkar som en guide åt eleven, stimulerar och framkallar kritiskt tänkande och analyserar sammanhang genom lärandeprocessen. Imsen (2006) betonar vikten av undervisningsmetoder som utgår från konstruktivistiska arbetsformer, det vill säga då eleven arbetar problemorienterat, undersökande och delvis självständigt.
Dewey (2017) såg på ett liknande sätt som Imsen (2006) sin pedagogik som en problemmetod. Det innebär enligt honom att eleven ska känna engagemang i sin uppgift. Uppgiften ska vara gjord på ett sådant sätt att elever ser svårigheten och kan sätta sig in i uppgiften och tänka efter hur den kan lösas. Detta ska leda till att eleven provar den hypotes som verkar bäst för att lösa problemet. Det sista steget, menar Dewey (2017), är det viktigaste eftersom eleven behöver vara aktiv i sitt lärande. Imsen (2006) lyfter att dessa undervisningsformer baseras på en induktiv metod, det vill säga utgår från konkreta situationer, arbetar sig mot det mer abstrakta och generaliserar genom att formulera regeln. Imsen (2006) menar vidare att på detta sätt synliggörs och befästs lärandeobjektet utifrån elevernas egna erfarenheter. Konstruktivistiska teorier betonar kunskap som en individuell process, fokus ligger på den enskilde elevens lärande.
Den socialkonstruktivistiska inriktningen ser lärandet som en funktion av en social gemenskap. Denna inriktning är Vygotskyinspirerad och det innebär både ett individuellt och ett socialt perspektiv på lärande och betonar språkets betydelse. Kunskap är något som man “enas om”, inte något som finns i sig. På samma sätt som forskare som t.ex. Boaler (2013),
12
Schoenfeldt (1991) lyfter också Skolverket (2017) kommunikation och resonemang som viktiga förmågor för eleverna att utveckla. Socialkonstruktivismen handlar alltså om att eleverna konstruerar kunskap i en social kontext, till exempel i ett grupparbete. Vygotsky menar att man inte får glömma bort förutsättningar som är viktiga för lärande och syftar då på den närmaste utvecklingszonen och att en person bara kan få ny kunskap genom den som kan mer än sig själv om det som ska läras (Egidius 2009). Alltså krävs det i ett grupparbete att någon kan mer eller har andra kunskaper än de övriga om det som ska läras. Löwing (2010) betonar vikten av att sammansättningarna av grupper är en viktig del av planeringen och måste göras med omsorg. Slumpmässiga grupper eller grupper som satts samman av sociala skäl gynnar inte lärandet.
Skolverket (2017) lyfter att elever ska ges möjlighet att utveckla en medvetenhet om att det finns flera olika sätt att lösa problem på. När eleverna känner tilltro till sin förmåga att använda matematik vågar eleverna testa nya metoder och kan då reflektera över vad de gör och vad resultatet blir. Eleven ges möjlighet att formulera egna problem och lösa dessa under arbete med rika problem, vilket utvecklar deras kreativitet. Det knyter väl an till konstruktivismen som teori.
Forskningsöversikt
Problemlösning i matematik
Holgersson (2009) pekar på problemet med att den vanligaste arbetsformen i matematik är att läraren presenterar ett matematiskt område och därefter löser eleverna liknande problem som läraren visat i sin matematikbok var och en för sig. Matematikdelegationen (2012) tar avstånd från denna växande trend av enskild räkning i den svenska skolan. Enligt Matematikdelegationens rapport (2012) talar allt för att denna trend är skadlig. Holgersson (2009) menar att metoden gör att läraren blir mer aktiv än eleven. För att eleverna ska få lust för och vilja till att lära sig meningsfull matematik krävs att lärarens kompetens och tiden för matematikundervisning utnyttjas bättre. Diskussioner och samtal i och om matematik bör vara en naturlig del av matematikundervisningen. Piaget (1972) lyfte redan på sjuttiotalet att eleverna bör vara mer aktiva och handla mer, snarare än att sitta och lyssna för mycket på läraren.
13
Boesen, Lithner och Palm (2011) lyfter fram att mycket forskning visar att elever i olika åldersgrupper har stora svårigheter att lösa icke-rutinproblem. Det är också känt att många elever i alla grupper använder ett matematiskt ytligt resonemang med ett algoritmiskt fokus när de löser olika sorters uppgifter. Elever visar basfärdigheter men det finns inte mycket djup och förståelse. Enligt Boesen, Lithner och Palm (2010) går inte de benämnda uppgifterna i läroböckerna i linje med uppgifterna i de nationella proven eller läroplanens innehåll. Boesen m.fl. (2010) menar att läromedel har ett tungt fokus på algoritmiska procedurer och lämnar lite utrymme till olika sorters resonemang. Konstruktionen av de nationella proven ser ut på ett helt annat sätt än läromedlen. I de nationella proven är hälften av uppgifterna kreativa och hälften av uppgifterna sådant som eleverna klarar genom utantillinlärning. Boesen m.fl. (2011) poängterar att de nationella proven innefattar en stor del av uppgifter där det inte är tillräckligt att ha memorerat fakta och procedurer för att lösa uppgiften. Nordqvist (2016) lyfter fram att matematikuppgifter som främjar kreativt matematiskt resonemang, är mer effektiva för elevers matematikinlärning, än de som istället främjar algoritmiska resonemang. När eleverna tvingas tänka och kämpa fastnar också kunskapen. Nordqvist (2016) menar vidare att eftersom kreativa uppgifter är mer effektiva borde eleverna möta fler kreativa uppgifter i läroböcker samt under lärarnas genomgångar. På ett liknande sätt lyfter Pettersson och Wistedt (2013) att de matematiska förmågorna kan utvecklas ifall aktiviteterna är av en problemlösande karaktär där det krävs ett stort mått av kreativitet i motsats till standarduppgifter som eleverna kan lösa med algoritmer de redan lärt in. Nordqvist (2016) menar att eftersom elever använder mycket tid till att lösa uppgifter är det viktigt att studera dessa uppgifter från ett inlärningsperspektiv.
På liknande sätt som Boesen m.fl. (2010) framhåller Riesbeck (2000) att matematikbokens problemlösningsuppgifter ofta är omgärdade av tysta antaganden som exempelvis att uppgiften är lösbar, att uppgiften innehåller all nödvändig information för dess lösande, att uppgiften kan lösas med den kunskapen eleven redan har, att det finns en enda korrekt tolkning av problemet samt att det finns ett enda korrekt svar. Riesbeck (2000) menar att om eleven skolas in i en sådan ordning kan det sedan vara svårt och omotiverat att ingående reflektera över problemets faktiska karaktär. Boaler (1994) menar att historiskt sett har matematiken presenterats som ett ämne med absoluta sanningar där det bara finns ett rätt svar på ett problem. Holgersson och Wästerlid (2018) framhåller vikten av att få bort fokus på rätt eller fel vilket bidrar till att många elever kan slappna av och bli problemlösare när detta fokus försvinner, något som främst lågpresterande elever vinner på. Boaler (2013) lyfter
14
också fram vikten av att inte bara belöna ett korrekt svar och menar att det är viktigt att ha en bredare syn på vad matematik är och vad det innebär att vara “smart”. Det är av stor betydelse att prata med eleverna om det som värdesätts på matematiklektionerna d.v.s. hjälpa varandra, tolka problem och förklara sina lösningar. När det finns många sätt att vara framgångsrik på, så bli fler elever framgångsrika.
Riesbeck (2000) menar att anledningen till att undervisningen idag domineras av träning i räknerutiner kan bero på att lärarna inte vet tillräckligt om vad elever kan lära sig när de löser problem. Mirza och Hussein (2014) tar stöd i forskning genomförd av Yeo (2007) när de framhåller i sin forskning att lärare som använder matematikbokens problemlösningsuppgifter till eleverna inte inser att det inte är den typen av problemlösning som läroplanens förmågor betonar. Enligt Taflin (2007) visar flera forskare på nödvändigheten av att elever tränar för att klara olika räknerutiner och problemlösning. Eleverna behöver få lösa problem med en mängd olika metoder. För att få framgång i problemlösning fordras både kunskaper om särskilda matematiska moment och allmänna räknefärdigheter. Uppgifter i läroboken behandlas oftast under ett bestämt kapitel med ett avgränsat innehåll. Taflin (2007) framhåller att ett rikt problem kan därför få just rollen att visa på olika sätt hur matematik kan inrymmas i och tillämpas på ett och samma problem.
Rika problem
Uttrycket ”rika problem” är ett begrepp, som enligt Taflin (2007), endast ett fåtal forskare använder och det är inte entydigt definierat i litteraturen. Rika problem blir den term som används i denna studie för problem som uppfyller vissa villkor. Övriga problemlösningsuppgifter är den typ av problem som i en situation inte uppfyller alla kriterier som gäller för de rika problemen. För att ett problem ska benämnas som ett rikt problem ska följande sju kriterier uppfyllas:
1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer.
2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.
4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer.
15
5. Problemet ska kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer.
6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare.
7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.
I det första kriteriet lyfter Taflin (2007) att eleverna ska introduceras för matematiska idéer, något som borde kunna uppfattas som självklart. Kriterium två, att problemet ska vara lätt att förstå är nödvändig för att alla elever ska ges möjlighet att delta. Kriterium tre innebär att problemet skiljer ut sig från standarduppgifter, problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och få ta tid. Kriterium fyra innebär att problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer och behandlar även problemlösning på en mer generell nivå. Kriterium fem anger att problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på elevernas olika strategier, representationer och matematiska idéer. Det sjätte kriteriet, att problemet ska kunna fungera som brygga, skiljer ut ett rikt problem från de typexempel man ofta kan återfinna i läroböcker, det vill säga det ska kunna visa på samband mellan olika matematiska idéer och skilda matematiska områden. Det sjunde kriteriet, att problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem, är något som särskilt Schoenfeld (1991) framhållit som ett viktigt mål vid problemlösning. Taflin (2007) menar att genom att formulera ett eget problem ges eleven möjlighet att för sig själv förtydliga matematiken genom att välja att formulera ett liknande men enklare problem eller att utmana sig själv genom att välja att formulera ett mer komplicerat problem.
På liknande sätt som Taflin (2007), definierar Schoenfeldt (1991) värdefulla problemuppgifter enligt följande kriterier: Problemet ska vara lätt att förstå för eleven, dessutom ska problemet vara möjligt att lösa på flera olika sätt. Eleven ska inte heller bara kunna nå svaret, utan också se matematiska kopplingar. Ett kriterium handlar om att problemen ska introducera viktiga matematiska idéer och slutligen lyfter Schoenfeldt (1991) att bra problem ska leda till fler problem. Eleverna kan börja med kärnproblemet och slutligen fortsätta med att göra egna problem av samma karaktär. Björkqvist (1999) beskriver rika problem liknande Taflin (2007) och Schoenfeldt (1991), nämligen att rika problem har egenskaper som gör att de fungerar som brobyggare mellan olika matematiska områden. Ett rikt problem ska man kunna komma tillbaka till när man har mer matematisk kunskap och då lösa på ett nytt sätt. Rika problem hör inte hemma i ett specifikt matematiskt område utan passar alltid in. Björkqvist (1999)
16
menar att uppgifterna är värdefulla på grund av sitt matematiska innehåll och att uppgifterna ska användas för att koppla olika tillvägagångssätt och vara utgångspunkt för att utveckla skilda teman inom matematik.Rika problem kan ses som viktiga hjälpmedel för att bygga upp kognitiva scheman och de kan då även fungera som nyckeluppgifter för förståelse, för minnet och för generalisering.
Taflin (2007) lyfter att det är en utmaning för lärare att möta tjugo eller trettio elevers olika behov på en gång. Ett sätt är att introducera rika problem. Rika problem har allt det viktiga innehållet som behövs för att möta elever på olika nivåer. Taflin (2007) menar att de är enkla nog att möta elever på en lägre kunskapsnivå men ändå erbjuder de rika problemen fördjupning så att elever på högre nivå kan utmanas av dem.
Vardagsnära matematik
Boaler (1994) menar att det finns några olika skäl till att man bör lära sig i en kontext, vilket vanligtvis är dessa tre kategorier: Kontexten används oftast för att ge eleven en känd metafor eftersom kända erfarenheter gör lärandet mer tillgängligt för eleven. Kontexter används också för att motivera och väcka intresse hos eleven och dessutom som en bro mellan skolans matematik och vardagsmatematik.
Problemlösning omfattar många delar av matematiken, till exempel att använda matematiska begrepp, metoder och uttrycksformer samt kunna resonera matematiskt. Schoenfeldt (1991) beskriver matematiken som modellering, symboler, kommunikation, analyser, upptäckter och bevis. Taflin (2007) betonar att denna verksamhet skall vara till för alla elever och eleverna ska se att problemlösning är användbart i verkligheten. Mirza & Hussein (2014) lyfter att ett sätt att få elever bättre på problemlösning är att introducera matematiska problem i en meningsfull kontext. I sin tur menar Palm (2006) att många forskare och studenter pekar på att det finns en brist på realism i uppgifter med kontext. Oron handlar om att många av dem inte är verkliga simuleringar av vardagsnära situationer utan endast vanliga matematikuppgifter ”förklädda” till vardagsnära i en symbolisk kontext. På grund av bristen på realism kan de ha en negativ effekt på elevens lärande, inställning och tilltro. Palm (2006) lyfter att några av problemlösningsuppgifterna inte är menade att efterlikna vardagsnära situationer utan bara inkludera vardagsnära objekt som stöd för elevens tänkande om olika koncept och modeller. Det är inte heller möjligt, enligt Palm (2006), att simulera alla aspekter
17
som involverar en vardagsnära situation och inte heller är det möjligt att simulera en vardagssituation på ett sådant sätt att förutsättningarna för att lösa problemen blir exakt samma i skolsituationen.
I kontrast till Palm (2006) belyser Johansson (2015) fördelarna med att ha en vardagsnära kontext i matematiska uppgifter när kreativt matematiskt resonemang krävs. På ett liknande sätt som Johansson (2015) lyfter Boaler (1994) vikten av att ta in vardagsnära kontext i problemlösningsuppgifterna då det kan verka som en brygga mellan matematikens abstrakta värld och elevens värld utanför klassrummet, men hon menar också att vardagsnära kontext bara är värdefull om eleverna behöver ta hänsyn till de vardagsnära variablerna i uppgiften. Johansson (2015) menar att det är lättare för en elev att lösa en uppgift där det krävs kreativt resonemang om uppgiften är vardagsnära eftersom eleven kan relatera till den. Den vardagsnära kontexten hjälper dem att komma på möjliga lösningar att lösa problemet på.
Ett problem som Boaler (2013) lyfter fram är de orealistiska, löjliga uppgifterna som används i matematikundervisningen. Om eleverna ska lyckas lösa uppgifterna, vet de att de tillfälligt måste frångå verkligheten. I matematikundervisningen kan tåg färdas emot varandra på samma spår och badkar fyllas med vatten med exakt samma hastighet varje minut. En konsekvens av att arbeta med orealistiska uppgifter är att matematikundervisningen blir svårbegriplig och verklighetsfrämmande, vilket gör eleverna mindre intresserade av ämnet. Boaler (2013) menar att om man tagit bort dessa uppgifter skulle eleverna istället inse att de lär sig ett viktigt ämne, som de kan ha nytta av i verkliga livet.
Redan 1992 hävdade Wistedt m.fl. att en matematikundervisning som fokuserar alltför mycket på vardag och verklighet faktiskt för många elever utgör ett hinder när det handlar om att utveckla matematisk kompetens. Om problemet handlar om en vardagsföreteelse innebär det att de som löser problemet får svårigheter att uppfatta att det handlar om ett matematiskt problem, d.v.s. vilken matematik de ska använda för att lösa problemet. Den verklighet som beskrivs blir ett hinder för att lära sig matematik. Elevernas vardagstänkande blir överordnat och de funderar mer över vad som händer i verkligheten än över matematiken i problemet. Johansson (2015) poängterar i sin avhandling att fördelarna med en vardagsnära kontext i matematikuppgifter är väldigt komplex och inga generella slutsatser kan dras.
18
Engström och Magne (2008) lyfter i sin studie “Medelsta-projektet” som är en av de största forskningsstudier som gjorts under de senaste åren på grundskoleelevers matematikkunskaper, att de lägst presterande eleverna själva tycker att de har framgång i att lära matematik när de möter enkla, konkreta vardagsproblem, inom elevernas erfarenhetsvärld och intresse. På ett liknande sätt menar Johansson (2015) att särskilt elever med lägre förmågor verkar vara i större behov av att kunna relatera till verkligheten och för att ge alla elever möjligheten att lära sig matematik är det önskvärt att använda relevanta kontexter från elevernas vardagsliv när matematiska koncept introduceras.
Lärarens roll
Eleverna möter inte bara ett läromedel och uppgifter i sin matematikundervisning. Holgersson och Wästerlid (2018) menar att eleverna framför allt möter en lärare som spelar rollen som introduktör och arrangör av olika aktiviteter som kan bidra till att eleverna får erfarenheter som ger dem förutsättningar att förstå olika matematiska begrepp och viktiga ideer. Palmer (2012) menar att det har betydelse om läraren uppfattar sig själv som matematisk, detta speglar hur läraren arrangerar lärandesituationer med eleverna, samt hur eleverna upplever dessa situationer. Lärarens intresse för matematik smittar av sig på eleverna och gör eleverna nyfikna.
Pettersson och Wistedt (2013) lyfter att det är viktigt att en lärare deltar i elevernas diskussioner och att lärarens agerande kan vara avgörande för hur långt eleverna utmanas i sina matematiska resonemang. Taflin (2007) menar att ifall det endast förekommer en enda lösningstyp är det givetvis meningslöst att presentera, granska och jämföra olika elevers lösningar, eftersom de inte förekommer, och den matematiska diskussionen uteblir därför. Lektionens innehåll kan då bli information och förtydligande av lärarens egna idéer. Läraren kan efter en sådan lektion inte veta särskilt mycket mer om sina elevers matematiska idéer och resonemang. Taflin (2007) menar att det som skulle kunna hända är att eleverna blir varandras konkurrenter och medtävlare snarare än resurser för varandra i en matematisk kommunikation.
Pettersson och Wistedts (2013) forskningsresultat visar att ett varierat utbud av undervisningsmetoder såsom matematiska diskussioner, undersökande aktiviteter, problemlösning och laborativa övningar varvat med enskilt arbete i läromedel ger eleverna
19
störst möjlighet att utveckla matematiska förmågor. Pettersson och Wistedt (2013) menar att en elev kan utveckla sina matematiska förmågor genom att arbeta med rika matematiska problem.
Taflin (2007) poängterar att om ett problem är ett rikt problem eller inte går bara att besvara genom att pröva det i en elevgrupp. Först efter att lärare och elever har arbetat med problemet kan läraren få reda på om det var ett rikt problem i just den situationen. Det är flera faktorer som måste uppfyllas för att problemet ska fungera som ett rikt problem i klassrumsmiljö och läraren är den mest avgörande faktorn. Häggblom (2000) framhåller liksom Taflin (2007) att det ställer stora krav på lärarens ämnesdidaktiska kunskaper för att läraren ska kunna vardagsanknyta undervisningen. Det gäller för läraren att inte förstöra problemet genom att ge ledtrådar som tar bort elevens idéer eller missa de idéer som eleverna själva har. Taflin (2007) framhåller att om problemet ska fungera som en brygga mellan olika matematiska områden måste läraren vara medveten om elevernas olika idéer och förslag till lösningar. Skolverket (2012) lyfter på ett liknande sätt som Taflin (2007) att om ett problem ska fungera optimalt krävs det att läraren har valt ett lämpligt problem och att lärarens genomgångar utgår från olika kategorier av elevlösningar och att läraren har kunskap om elevers vanligaste missuppfattningar. Skolverket (2012) menar att läraren behöver ha tänkt igenom hur man bäst bemöter eleverna utan att lotsa dem och hur man kan ge dem utmaningar så att de utvecklar sina matematiska kunskaper. Läraren bör aldrig ge eleverna något tips om lösningsstrategi, då förvandlas problemet till en rutinuppgift.
Sammanfattning
Det konstruktivistiska perspektivet utgår ifrån att eleven aktivt medverkar till att konstruera sin kunskap. Den socialkonstruktivistiska inriktningen innefattar både ett individuellt och socialt perspektiv på lärande. Hagland, Hedren och Taflin (2009) framhåller att genom att elever ges möjlighet att arbeta med rika problem skapas förutsättningar för eleverna att få en djupare förståelse av matematiken vilket i sin tur skapar motivation och engagemang hos eleverna. Hagland m.fl. (2009) lyfter också att matematikundervisningen genom problemlösning ska bygga broar mellan elevens uppfattning av matematiken i vardagen och de mer formella matematikkunskaperna. Engström och Magne (2008) menar att för de lägst
20
presterande eleverna i matematik är det extra viktigt att matematiken har en vardagsanknytning.
Taflin (2007) framhåller att flera forskare lyfter vikten av både problemlösning och rutinuppgifter i matematikundervisningen. Däremot förordar till exempel Boesen m.fl. (2010) och Taflin (2007) inte problemlösningsuppgifterna i matematikboken då de är tillrättalagda och inte utmanar elevernas kreativitet. Rika problem är ett arbetssätt som kan utmana varje elev på sin nivå och kan fungera som brobyggare mellan matematiska begrepp och olika matematiska områden. Flera forskare som till exempel Johansson (2015) och Palm (2006) är inte eniga om huruvida vardagsnära problemlösningsuppgifter är en fördel eller nackdel för elevens förmåga att lösa problemet.
21
Metod
Utifrån syftet attur ett elevperspektiv undersöka om de vardagsnära eller de icke vardagsnära problemlösningsuppgifterna tilltalar eleverna mest har vi valt att observera och intervjua sexton elever i årskurs två och tre. Vi har i denna studie valt att fokusera på elevens perspektiv på vilken typ av problemlösningsuppgifter som motiverar dem mest eftersom motivation är en av förutsättningarna för att lärande ska ske.
Metodval
Bryman (2008) menar att fenomenologi handlar om att få kunskap om olika fenomen och förtydliga det som framträder och beskriva på vilket sätt detta sker. Fenomenologin beskriver alltså skillnader i upplevelse av fenomen. Bryman (2008) menar också att för att kunna förstå en människa försöker fenomenologen se saker och ting utifrån den personens perspektiv. Det slutliga valet av metodansats resulterade i att låta oss inspireras av en fenomenologisk forskningsansats. I denna studie betyder inspirationen av den fenomenologiska ansatsen att vi försöker ta reda på hur eleverna upplever, och tänker om, de olika matematiska problemlösninguppgifterna.Kvale & Brinkmann (2014) lyfter att fenomenologin fokuserar på innebörden av informanternas livsvärld.
Valet av metod föll på att dels göra observationer av eleverna och dels genom att göra kvalitativa forskningsintervjuer. Barajas, Forsberg och Wengström (2013) lyfter att eftersom syftet med metoden är att få reda på hur någon upplever sin omvärld är intervjun den vanligaste datainsamlingsmetoden. Genom att kombinera observationer och kvalitativa forskningsintervjuer menar Ahlberg (2009) att de olika fördelarna som båda datainsamlingsmetoderna erbjuder kan tillvaratas. Eftersom studien inbegriper mer än en metod är detta att betrakta som triangulering. Enligt Bryman (2008) innebär triangulering en ökad trovärdigheten då datan kontrolleras med hjälp av intervjuer.
Den deltagande observatören tar en aktiv roll i den situation som ska observeras och observatören går in som medlem i den aktuella gruppen. I denna studie intas rollen som en observatör som har för avsikt att föra samtalet kring uppgiften framåt och för att observera om uppgiften fungerar som ett rikt problem i elevgruppen. Observationerna som genomförs är strukturerade och utgår från ett observationsschema (bilaga 3). Observatörens närvaro kan
22
visserligen komma att påverka eleverna så att deras beteende förändras till att börja med men Patel och Davidson (2003) menar att efterhand, när eleverna vänjer sig vid observatören, kommer deras beteende att återgå till det vanliga. Vi som observatörer engagerar oss i elevgruppen och iakttar elevernas beteende, lyssnar på vad som sägs i samtal både mellan individernaoch med oss som observatörer.
Efter observationerna ställs intervjufrågor till eleverna enskilt. Syftet med den kvalitativa forskningsintervjun är att förstå vardagsvärlden ur elevens eget perspektiv. Kvale och Brinkmann (2014) lyfter att strukturen är ungefär samma som i ett vardagligt samtal, men som forskningsintervju har den ett syfte och innefattar en specifik teknik, vilket i detta fall är den halvstrukturerade intervjun. Kvale och Brinkmann (2014) menar vidare att den halvstrukturerade intervjun är varken ett öppet vardagssamtal eller ett slutet frågeformulär. Den utförs enligt en semistrukturerad intervjuguide (bilaga 4) som fokuserar på vissa teman vilket i vårt fall är elevens upplevelse av problemlösningsuppgifter. En semistrukturerad intervju utgår enligt Bryman (2008) från förutbestämda frågor som kan kompletteras med fler frågor om det behövs under tiden. Syftet är att med hjälp av intervjuerna förtydliga och komplettera det som inte är observerbart vid en observation till exempel elevernas beteenden, känslor och tankar, och därigenom få ett rikare och mer fokuserat material.
Undersökningsgrupp
Eleverna i studien går i årskurs två och tre på två medelstora skolor i södra Sverige. Vi som deltagande observatörer och intervjuare är kända sedan tidigare för eleverna. Utifrån resultaten från Skolverkets bedömningsstöd och i samråd med elevernas matematiklärare har sexton elever med varierande matematikkunskaper valts ut, men också elever som läraren upplever lätt “ger upp” eller tröttnar vid motgångar under lektionerna. Eleverna delades upp i fyra grupper om fyra elever i varje där elevernas olika matematiska nivåer representerades på ett liknande sätt i varje grupp. I vår studie ser vi inget syfte att välja deltagare på ett slumpmässigt sätt utan grupper med varierande förmågor i matematik sätts medvetet ihop tillsammans med matematikläraren för att spegla flera olika elevperspektiv. Vi väljer alltså ett målinriktat urval enligt Bryman (2008). Målet är att på ett strategiskt sätt välja elever som är relevanta för de forskningsfrågor som formulerats. De fyra grupperna vi observerat och
23
intervjuat består av fyra elever eftersom mindre grupper rekommenderas av Bryman (2008) om deltagarna förväntas ha mycket att säga eller är engagerade i ämnet, vilket vi förväntar oss att eleverna är. Mirza & Hussein (2014) tar upp fördelarna med att arbeta med rika problem i grupp. Eleverna blir mer produktiva och kommunicerar tankar, delar arbete och presenterar gärna sina ideer. Goda matematiska argument och förklaringar kommer lättare upp i ett grupparbete.
Genomförande
Lärarna och skolornas rektorer tillfrågades i god tid innan studiens genomförande. De informerades om studiens syfte och frågeställningar samt hur den var tänkt att genomföras. Samtyckesblankett (bilaga 1) till elevernas föräldrar skickades hem i god tid inför studien med frågan om deras barn fick lov att medverka vid observationer och intervjuer i samband med studiens genomförande. Undersökningen genomfördes av praktiska skäl endast av en observatör per elevgrupp. Detta för att öka effektiviteten och för att elevgruppen skulle känna sig trygg med den observatör de redan kände.
Varje grupp om fyra elever träffades vid två tillfällen för att bli observerade och intervjuade. Både observationen och intervjun skedde i grupprummen som tillhörde elevernas egna klassrum för att eleverna skulle känna sig trygga i en bekant och lugn ljudfri miljö, något som också Bryman (2008) lyfter fram som goda förutsättningar för en lyckad observation. Vi använde oss av metoden “observatör som deltagare” som lyfts av Bryman (2008), vilket innebar att vi kunde delta i samtalet och hjälpa eleverna vidare om de fastnade i ett problem och inte kom vidare själva. Under observationen använde vi oss av observationsschema (bilaga 3) för att ha samma fokusområde då vi genomförde observationer på olika skolor. Alla samtal spelades in på en Ipad. Vid varje tillfälle fick eleverna göra två uppgifter (bilaga 2), en vardagsnära och en icke vardagsnära. Observationerna och intervjuerna skedde på förmiddagarna vilket Doverborg & Pramling (1992) lyfter som en bra tidpunkt eftersom eleverna då sannolikt inte är trötta och hungriga. Dessutom har eleverna precis haft sin rast.
Vid genomförandet av problemlösningsuppgifterna fick eleverna problemet uppläst samtidigt som de fick tillgång till problemet skriftligt. Därefter fick de ett par minuter att fundera själva innan de tillsammans började diskutera uppgiften. Eleverna fick endast tillgång till papper och
24
penna för att skala av så många påverkansfaktorer som möjligt. Endast i uppgift ett (bilaga 2) fick eleverna tillgång till laborativt material i form av tärningar. Under tiden som eleverna arbetade med uppgiften fylldes observationsschemat i. Samtalen spelades in på en Ipad. Direkt efter varje observationstillfälle genomfördes enskilda intervjuer med eleverna, vilka utgick från intervjuguiden (bilaga 4). Varje intervju tog 5-10 min och intervjuerna spelades in med Ipad. Eleverna intervjuades enskilt eftersom syftet var att få fram hur den enskilda eleven tänkte kring, eller uppfattade, ett visst fenomen vilket i deras fall handlade om vardagsnära samt icke vardagsnära problem. Eleverna fick god tid på sig att svara på intervjufrågorna vilket Doverborg & Pramling (1992) framhåller som viktigt att tänka på vid intervjuer av barn. Vi som intervjuare visade intresse och tog också en aktiv roll i samtalet och ställde följdfrågor som uppmanade eleverna till att fortsätta berätta om sina tankar. Doverborg och Pramling (1992) trycker på vikten av att vid intervjuer med barn bör den som intervjuar tänka på att växla mellan specifika och övergripande frågor efter att först ha inlett intervjun med en mer vida och övergripande fråga. Vi har också undvikit ja-och nejfrågor samt blandat svåra och lätta frågor.
Bearbetning och analys
Bearbetningen av det empiriska materialet inspireras av en fenomenologisk ansats där Bryman (2008) menar att fenomenologi handlar om att få kunskap om olika fenomen och förtydliga det som framträder och beskriva på vilket sätt detta sker. Fenomenologin beskriver alltså skillnader i upplevelse av fenomen. Bryman (2008) menar också att för att kunna förstå en människa försöker fenomenologen se saker och ting utifrån den personens perspektiv.
Vid analysen av vårt empiriska material letade vi efter mönster och intressanta samband där eleven beskriver sin upplevelse av vardagsnära och icke vardagsnära problemlösningsuppgifter. Vi lyssnade igenom inspelningarna från observationerna samt intervjuerna efter indikationer på att uppgifterna uppfyllde de sju kriterierna för rika problem.
Barajas m.fl. (2013) framhåller vikten av att göra datan lättförståelig. Det är viktigt att datan sammanställs och mönster identifieras. Intervjuerna transkriberades och svaren sammanställdes för att få en överblick och möjlighet till att se mönster i elevernas svar på de olika intervjufrågorna. För att ge en bättre överblick så att läsaren bättre ska förstå
25
sammanställdes datan i tabellform och även med citat. Vi valde att presentera intervjufråga 3 (Vilken uppgift tyckte du bäst om?), intervjufråga 6 (Vad tycker du att en uppgift ska handla om för att den ska vara intressant?) och intervjufråga 7 (Vad tänkte du på när du hörde uppgiften?) i tabellform eftersom de besvarade våra forskningsfrågor. Doverborg och Pramling (1992) trycker på vikten av att växla mellan specifika och övergripande frågor samt att inleda intervjun med en mer övergripande fråga, därför representeras övriga frågor endast av citat. Intressanta citat från observationer sammanställdes också. Utifrån observationer och intervjuer har de rika problemen analyserats med utgångspunkt i de sju kriterierna. När empirin blev lättöverskådligt i tabellerna kunde tankar utifrån resultatet börja växa fram och ideér antecknades.
Trovärdighet och tillförlitlighet
Innan intervjun med eleverna gjordes en mindre pilotstudie på två barn i samma ålder som eleverna som skulle intervjuas. Detta gjordes eftersom Doverborg & Pramling (1992) lyfter att det ibland kan vara svårt att föreställa sig hur ett barn kommer att svara så att den som intervjuar får reda på det som är relevant för studien. Pilotstudien resulterade i att frågorna omformulerades till viss del. Även observationsschemat reviderades något.
Bryman (2008) lyfter att observatören kan förändra situationen som studeras genom samspel och samtal med deltagarna som inte hade ägt rum om det inte var en undersökning. Både observation och kvalitativ intervju kan ge upphov till påverkanseffekter, eller reaktiva effekter av olika slag. Det kan vara en svår balans hur pass engagerad observatören ska vara och i vilken utsträckning densamme ska påverka. Enligt Barajas m.fl. (2013) och Patel och Davidsson (2003) måste observatören vara opartisk och lägga sina egna tidigare erfarenheter, kunskaper och förutfattade meningar om fenomenet åt sidan för att kunna komma fram till en förutsättningslös beskrivning av fenomenet. Barajas m.fl (2013) lyfter att detta kan vara svårt i verkligheten och att det därför är viktigt att ha med detta perspektivet i alla faser i undersökningen.
Eftersom denna studie har en begränsad undersökningsgrupp är det svårt att generalisera resultaten. Ett alternativ hade varit att fråga ännu fler elever och eventuellt komplettera med
26
ett frågeformulär. Ett större underlag av matematiska problem hade också lett till större tillförlitlighet.
Etiska aspekter
Studien har utgått ifrån Vetenskapsrådets forskningsetiska rekommendationer vilka rör information, samtycke, konfidentialitet och nyttjande. Berörda personer är informerade om undersökningens syfte. Föräldrar och elever vet om att deras deltagande är frivilligt och att de har rätt att hoppa av om så önskas. De har också fått reda på vilka moment som ingår i studien. Eftersom deltagarna är minderåriga har föräldrar eller vårdnadshavares medgivande samlats in. Det material som samlats in har endast använts av undersökningens författare och inga namn på eleverna har använts i transkriberingar av intervjuerna. Även skolornas namn är avidentifierade i studien.
Enligt Kvale och Brinkman (2014) kan man överbrygga det skeva maktförhållandet mellan barn och vuxna genom att intervjua barn i deras naturliga miljöer. De lyfter också att det är viktigt att använda åldersanpassade frågor samt att ställa en fråga åt gången och att inte göra frågorna alltför komplicerade. Eftersom studien är inspirerad av en fenomenologisk forskningsansats är det av vikt att vi fokuserar på öppenhet för intervjupersonens erfarenheter och prioriterar exakta beskrivningar. För att komma fram till en förutsättningslös beskrivning av fenomenet, i detta fall att ur ett elevperspektiv undersöka om de vardagsnära eller de icke vardagsnära problemlösningsuppgifterna tilltalar eleverna mest, behöver intervjuaren lägga sina egna förutfattade meningar och vetenskapliga förkunskaper om fenomenet åt sidan.
27
Resultat och analys
I detta kapitel presenterar vi resultat och analys utifrån våra huvudfrågor. Resultat och analys av frågorna kommer att behandlas i tur och ordning i fyra teman:
1. Rika problem 2. Uppgifterna
3. Det matematiska innehållet 4. Om eleverna får välja
Rika problem
Som tidigare nämnts kan en lärare inte veta om ett problem är rikt förrän läraren testat det med en elevgrupp. Därför testas studiens rika problem mot kriterierna via en analys om huruvida det varit ett rikt problem för den observerade elevgruppen. Enligt Taflin (2007) definieras ett rikt problem av sju olika kriterier.
Kriterium ett: Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer.
Schoenfeldt (1991) lyfter att ett kriterium för rika problem handlar om att problemen ska introducera viktiga matematiska idéer. I Skolverkets syftestext i matematik (2011) kan man läsa att genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och metoder och deras användbarhet. Uppgifterna i studien ger möjlighet till att introducera viktiga matematiska ideer och begrepp som t.ex. generalisering.
Kriterium två och tre: Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid. Under observationen visade det sig att alla elever oavsett hur långt de kommit i sin matematikutveckling blev motiverade av att arbeta med uppgifterna och hade möjlighet att arbeta på sin nivå. Trots att eleverna uttryckte att uppgifterna var svåra gav ingen av eleverna upp utan fortsatte att arbeta tills det var dags att bryta arbetet. Ett annat kriterium för ett rikt problem är tidsaspekten, problemet ska tillåtas ta tid. En elev uttryckte “Det var kul att tänka och att få tid på sig”, däremot uttryckte en elev som är van vid att lösa matematikbokens problemuppgifter fort “Det känns konstigt när man inte kan lösa uppgiften direkt.” Under vår
28
observation visade det sig att de elever som vanligtvis inte öppet delger sina matematiska tankar och till synes inte är aktiva i undervisningen plötsligt visar en annan sida av sina matematiska kunskaper. Dessa elever visade ett större engagemang än under ordinarie klassrumsundervisning genom att aktivt deltaga i problemlösningsuppgiften på ett sätt som eleverna inte gjort under arbete med uppgifter i matematikboken. Schoenfeldt (1991) menar liknande Taflin (2007) att ett bra problem är ett problem som är lätt att förstå. Rika problem har allt det viktiga innehållet som behövs för att möta elever på olika nivåer. Taflin (2007) menar att de är enkla nog att möta elever på en lägre kunskapsnivå men ändå erbjuder de rika problemen fördjupning så att elever på högre nivå kan utmanas av dem.
Kriterium fyra: Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer.
I den genomförda studien löste eleverna problemlösningsuppgifterna med hjälp av olika metoder och representationer. Vi kunde se allt från enklare tillvägagångssätt som att räkna prickarna på tärningen till mer avancerad matematik som till exempel att en elev kom fram till en generell formel för att ta reda på antal prickar. Eleverna fick inte tillgång till laborativt material men visade på olika sätt hur de representerade problemet med hjälp av papper och penna. Schoenfeldt (1991) lyfter liksom Taflin (2007) att ett rikt problem ska kunna lösas på flera olika sätt och med olika representationer. Även Skolverket (2017) lyfter att undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier och metoder.
Kriterium fem: Problemet ska kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer.
I studien som genomfördes fick eleverna interagera med varandra, de visade och samtalade om sina lösningar, tankar och om sina matematiska ideér. En dialog mellan elever representeras genom detta elevsamtal. (Uppgift 1, bilaga 2):
- Jag har absolut ingen aning … vänta lite jag måste hitta 1:an. (Elev 1) - Hur mycket sa du att det skulle bli? (Elev 2)
- Summan av de prickar vi inte ser är 15. (Läraren) Efter en stunds räknande av tärningarnas prickar.
- JA, då hade jag rätt. (Elev 1)
29 - Nej! (Elev 1)
- Får jag fundera själv… om det är 1 på ena sidan är det oftast 6 på den andra sidan, 5 och 2 samt 3 och 4. (Elev 2)
- Ja, sidorna mittemot blir 7 tillsammans. (Elev 4) - Sen kan vi räkna ihop 3*7=21 (Elev3)
- Men… (Elev 1)
- Minus det som är överst. (Elev 4) - Ja, då får vi fram talet. (Elev 3) - Jag fattar inte. (Elev 1)
- Alla sidoytorna mittemot varandra blir 7, vi har 3 tärningar, 7+7+7=21. ( Elev 3) - Vi räknar med alla sidoytorna och sen tar vi bort den översta ytan. (Elev 4)
- Om jag lägger till en tärning måste man lägga till en 7:a till, och sen ta bort den översta. (Elev 1)
- Vi löste den, men den var jobbig. (Elev 2)
Som framgår av ovanstående citat visar elevernas resonemang skilda lösningar och hjälper varandra att tillsammans lösa problemet. Björkqvist (1999) betonar det interaktionistiska perspektivet som ett komplement till det rent konstruktivistiska perspektivet, det vill säga elevernas samtal och samarbete som en viktig faktor i lärandet. På liknande sätt som Björkqvist (1999) lyfter Dewey (2017) socialkonstruktivismen som en viktig faktor i lärandet. När Skolverket (2011) hänvisar till förmågorna i matematik ska eleverna bland annat använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.
Kriterium sex: Problemet ska kunna fungera som brobyggare.
I en dialog mellan två elever (uppgift 3, bilaga 2) framkom det att en elev hade kunskaper om negativa tal.
- 0 är det minsta. (Elev 1)
- Finns det inte något som heter typ -5? (Elev 2) - Ja, idag är det ju minusgrader ute. (Elev 3)
Dessa kunskaper skulle kunna verka som en brobyggare mellan olika matematiska områden. Taflin (2007) menar, för att problemet ska fungera som en brygga mellan olika matematiska
30
områden måste läraren vara medveten om olika idéer då läraren letar bland elevers olika lösningar. Den gemensamma diskussionen av de matematiska idéer som förekommer i elevlösningarna blir avgörande för hur de nya problemen kan och ska formuleras. Björkqvist (1999) menar att ett rikt problem ska man kunna komma tillbaka till när man har mer matematisk kunskap och då lösa på ett nytt sätt. Rika problem hör inte hemma i ett specifikt matematiskt område utan passar alltid in. Rika problem kan också ses som viktiga hjälpmedel för generalisering inom matematiken.
Kriterium sju: Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.
På grund av tidsbegränsningen under studiens genomförande hade eleverna inte möjlighet att konstruera liknande problem trots att uppgifterna erbjöd detta. Några elever var nyfikna på och ville fortsätta att konstruera liknande problem, vilket läraren gav möjlighet till på kommande matematiklektioner. Enligt skolverket (2011) ska problemlösning leda till att eleven upplever matematikens skönhet och känner tillfredsställelse med att lösa problem. Eleven ska också utveckla kreativitet, formulera egna problem och lösa dessa. Även Piaget (1972) lyfte att elever ska kunna konstruera problem, utforska dem och värdera resultaten av dessa. Enligt Schoenfeldt (1991) ska ett bra problem kunna leda till fler problem. Eleverna kan börja med kärnproblemet och slutligen fortsätta med att göra egna problem av samma karaktär.
31
Uppgifterna
Här presenteras resultatet från intervjuerna av vilka problemuppgifter som eleverna har föredragit, de vardagsnära eller de icke vardagsnära, i en tabell. Resultatet analyseras därefter.
Tabell 1. Tabellen visar hur många av de 16 eleverna som föredrar icke vardagsnära eller
vardagsnära uppgifter vid de två tillfällena. Tillfälle 1
Icke vardagsnära problem Tärningen Tillfälle 1 Vardagsnära problem Hemlisen 12 elever 4 elever Tillfälle 2
Icke vardagsnära problem Rutorna
Tillfälle 2
Vardagsnära problem Lego
10 elever 6 elever
Eleverna som valde tärningen som den uppgift de föredrog gav som anledning att uppgiften var kul för att man fick tänka mycket. Flera av eleverna motiverade sitt val med att det var kul att lära sig “tricks” som man kunde visa för andra. En elev tyckte det var kul att själv få lista ut de dolda sidoytorna. De som valde hemlisen motiverade detta med att de tyckte uppgiften var lätt. De tyckte om att de fick rita och en elev lyfte fram att det var den uppgiften där gruppen samtalade mest tillsammans. De elever som föredrog lego-uppgiften uttryckte att den var svårare, och mer utmanande. Eleverna som valde rutorna tyckte att det var kul att själv kunna komma på var siffrorna skulle vara. De tyckte också att denna uppgiften var lättare än lego-uppgiften. En elev tyckte att det var roligt att flera räknesätt var med.
Innan observationer och intervjuer var vi av uppfattningen att eleverna skulle föredra de vardagsnära uppgifterna och att vi skulle se ett större engagemang när de löste uppgifterna som var vardagsnära. I efterhand kan det konstateras att merparten av eleverna valde de icke vardagsnära uppgifterna som sina favoriter. Det fanns inte heller någon synbar skillnad i engagemanget när de löste de vardagsnära eller icke vardagsnära uppgifterna. De var till synes lika engagerade och uthålliga när de löste de olika uppgifterna.
32
Vid intervjuerna av eleverna framkom det att kommentarerna kring de vardagsnära uppgifterna inte handlade om uppgiftens matematiska innehåll utan snarare om andra omständigheter såsom att få rita, få samtala tillsammans eller om uppgiften var lätt eller svår. En av eleverna uttryckte det som “den var rolig för vi pratade mest tillsammans då”. När eleverna kommenterade de icke vardagsnära uppgifterna yttrade de sig, till skillnad från de vardagsnära uppgifterna, mer om det matematiska innehållet såsom t.ex. siffror, räknesätt, dolda sidor m.m. vilket representeras av citatet “det är kul att själv klura ut var siffrorna ska vara”. När vi tittar vidare på vilken elev som har svarat vad när det gäller vardagsanknytningen till problemlösning finner vi att de elever som inte kommit så långt i sin matematiska kunskapsinlärning, utifrån bedömningsstödet och klasslärarens bedömning, är de elever som har flest förslag på vad problemlösning kan handla om. Det är också dessa elever som tycker att det kan vara viktigt vad problemlösning handlar om. En elev som inte tyckte att matematik var det bästa ämnet uttryckte till exempel att hen tycker det är kul när matematik handlar om ett intresse man har utanför skolan och när man känner att man har nytta av sakerna man lär sig. Hen tycker att det har stor betydelse vad uppgiften handlar om. De elever som presterar på en lägre nivå är också de elever som tilltalas mest av de vardagsnära uppgifterna i studien. De elever som däremot har lätt för sig, eller presterar på medelnivå, när det gäller problemlösning och tycker att matematik är enkelt eller okej har inga särskilda önskemål om vad problemlösning ska handla om. En elev uttrycker till exempel att det inte har någon betydelse vad uppgiften handlar om utan tycker att det är siffrorna i uppgiften som är kul. Resultatet går hand i hand med vad Johansson (2015) framhåller i sin rapport. Johansson (2015) menar att elever som presterar på en lägre nivå i matematik verkar vara i större behov av att relatera till verkligheten.
Det matematiska innehållet
Här presenterar vi resultatet från intervjuerna avseende elevernas upplevelse av om de kunde hålla sig till det matematiska innehåller under arbetet med problemuppgifterna. Därefter analyseras resultatet.
I intervjuerna framkommer det att alla sexton elever svarar att de har fokuserat på uppgiftens innehåll och gjort vad de kan för att lösa uppgiften tillsammans med sina klasskompisar,
33
Ingen av eleverna upplevde att de började tänka på något annat under tiden som de löste uppgiften. Vid intervjuns sista fråga som handlade om vad eleven tänkte på när hen hörde frågan, och under arbetets gång, uttryckte flera elever det som “jag tänkte på uppgiften”. Under observationerna upplevde vi att eleverna höll sig till det matematiska innehållet, de upplevdes vara engagerade i uppgifterna och gav till synes inte heller upp trots att flera elever uttryckte att uppgiften var svår. Överlag upplevde vi att de visade glädje och vilja inför att lösa problemen. De ville inte ge upp utan de ville fortsätta trots att det var dags att gå vidare till nästa uppgift. De uttryckte även en glädje och tillfredsställelse över att ha löst problemet.
En av anledningarna till att eleverna i så stor grad kunde hålla sig till den matematiska uppgift de hade framför sig skulle kunna vara att de dels kände sig utvalda av att få vara med i en undersökning och dels för att de var medvetna om att deras röster spelades in på en Ipad och att vi som deltagande observatörer antecknade under tiden. Eleverna satt också i en liten grupp vilket gav dem stort utrymme att vara delaktiga i ett samtal. En elev uttryckte att det var “lugnt och skönt och man kunde vara med i snacket”. Detta upplever hen inte i den ordinarie undervisningen i klassrummet. Flera elever tog också upp att de uppskattade att arbeta tillsammans och få lyssna på varandras tankar vilket kan representeras av att eleverna bland annat uttryckt “bra att få höra vad de andra tänker” och “roligt att arbeta tillsammans”.
Det som eleverna lyfter fram som har betydelse för att man lättare ska kunna hålla sig till det matematiska innehållet är kriterier som Mirza och Hussein (2014) lyfter utifrån den konstruktivistiska lärandeteorin. Elever tillåts då att konstruera sitt eget lärande genom att aktivt deltaga i problemlösning och att tänka kritiskt. Flera elever lyfte t.ex. att “det är kul att själv komma på saker”. Eleverna konstruerar sin egen kunskap genom att testa ideer byggda på sina förkunskaper och applicera dessa på en ny situation vilket kan representeras av en elev som uttryckte “jag hjälptes av den första uppgiften när jag gjorde den andra, det var kul”. Den socialkonstruktivistiska inriktningen ser lärandet som en funktion av en social gemenskap. Detta kan kopplas till att flera elever menar att det är kul att arbeta tillsammans och bra att höra varandras tankar och åsikter.
