Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
10 poäng
Att förstå längden i längden
En undersökning om hur elever uppfattar den matematiska storheten längd
To understand length in the long run
A study about how pupils perceive the mathematical quantity length
Karin Hierner
Mitra Vafadarafshar
Fritidspedagog- och lärarexamen 140 poäng Matematik och lärande
Höstterminen 2006
Examinator: Per Jönsson
Sammanfattning
Med utgångspunkt från kursplanen i matematik anser vi att storhetsuppfattning är ett betydelsefullt område. Det är vår uppfattning att bristande förståelse inom detta område hindrar eleverna att lösa problem och utvecklas vidare. Vår undersökning handlar om uppfattning av storheten längd och dess enheter. Vår målgrupp är elever i skolår 2 och 4. Vi har använt oss av enkätstudie med 8 frågor som behandlar förkunskaper, samt observation med längdrelaterade aktiviteter med 10 elever. Vidare har vi observerat två lektioner som behandlar längd på en friskola där eleverna är vana vid laborativt arbete. Resultatet visar att eleverna i vår undersökning hade brister i förståelse kring längd och längdenheterna. De hade även svårigheter med att samarbeta och var inte vana vid praktiska aktiviteter. Vi fann att begreppsspiralen är ett hjälpmedel, där man kan ta reda på var eleven ligger kunskapsmässigt.
Nyckelord:
Innehållsförteckning
1 Inledning... 7
2 Syfte och frågeställningar ... 8
2.1 Syfte... 8 2.2 Frågeställningar ... 8 3 Teoretisk bakgrund ... 8 3.1 Vad är en storhet? ... 8 3.2 Vad är en enhet? ... 8 3.3 Analysschema i matematik... 9 3.3.1 Längd... 9 3.4 Kursplanen i matematik... 9
3.5 Dagens skola och konstruktivismen ... 10
3.6 Mäta längd ... 10
3.7 Forskningen ... 12
3.7.1 Matematiskt kunnande... 12
3.7.2 Tidigare forskning gällande matematisk begreppsbildning... 13
3.7.3 Längdbegreppet ... 13
3.7.4 Instrumentell förståelse och relationsförståelse... 14
3.8 Praktisk matematik ... 15
3.8.1 Laborativt arbetssätt och laborativa hjälpmedel... 16
3.9 Inlärningsnivåer i matematik... 17
3.10 Begreppsspiralen ... 19
3.11 Matematiskt tänkande... 20
3.12 Lärarens roll och fritidspedagogens roll... 21
3.13 Grupparbete ... 22 4 Metod ... 22 4.1 Avgränsningar ... 22 4.2 Urval ... 23 4.3 Genomförande ... 23 4.3.1 Enkät... 23 4.3.2 Observationerna... 26 Observation 1 på skola B... 26 Observation 2 på skola A ... 26
4.4 Reliabilitet och validitet ... 28
5 Resultat ... 28
5.1 Resultat av enkät skola A ... 28
5.2 Resultat av observation på skola B... 30
5.3 Resultat av observation på skola A ... 32
6 Diskussion och analys... 34
6.1 Diskussion och analys av enkät... 34
6.2 Diskussion och analys av observation: skola B... 35
6.3 Diskussion och analys av observation: skola A ... 37
7 Slutsatser ... 38
Aktiviteter i samarbetet skola-fritidshem ... 45 Bilaga1 Enkät
1 Inledning
Med våra erfarenheter från Irans och Sveriges skolor, kan vi påstå att
matematikproblem finns överallt och är av varierande slag hos olika individer. Att inte ha förståelse för storheter och dess enheter är ett vanligt problem. Längd kan kännas som ett enkelt begrepp som man har lärt sig genom att mäta. Barns vardag är rik på situationer där de använder sig av längdmätningar. Mätning kan handla om att jämföra och uppskatta olika föremål. Barns omedvetna uppfattning av längd kan variera, men om eleverna förstår innebörden vet vi inte förrän vi undersökt det i praktiken. En god längduppfattning i de tidigare åren i grundskolan, kan underlätta elevernas förståelse för även area och volym samt dess enheter. Elever i grundskolans senare år har ofta också problem med enheter och enhetsbyten. I ett test med elever i skolår 5-6 valde 40 % av eleverna 22 cm³ som svarsalternativ på omkretsen av en burk istället för 22 cm
( Från Lisbeth idélåda, sidoämneskurs matematik från början 6-15p BUV – studenter). Primgruppens video Tala om kunskap (2003) berättar också om hur elever har uppfattat frågor på nationella provet i matematik.
Med detta arbete vill vi granska elevers förståelse för storheten längd och dess enheter. Vi vill även undersöka om det finns någon undervisningsmetod som ökar förståelsen hos eleverna inom kunskapsområdet.
Under vår vft har vi märkt att eleverna visar intresse för praktiska aktiviteter både i klassrummet och på fritidshemmet. Vi såg också att många pedagoger arbetar med färdighetsträning utifrån läroböckerna i matematik istället för att utgå ifrån elevernas erfarenheter. I stället borde man utgå från läroplanens mål att uppnå: ”skolan ansvarar
för att varje elev efter genomgången grundskola behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet” (Utbildningsdepartementet, 1998).
Vi som två blivande pedagoger, lärare respektive fritidspedagog inom matematik, anser att den nya lärarutbildningen utmanar oss att utnyttja vår ämneskompetens i arbetslaget. Vårt motto är att ”Förståelse kan utvecklas och förstärkas genom variation, laboration
och diskussion i ämnet”.
Vi anser att den nya lärarutbildningen ger oss blivande lärare och fritidspedagoger bättre möjlighet till samarbete utifrån vår ämneskompetens i matematik. Vi har lättare att gemensamt planera målinriktade och praktiska aktiviteter inom ämnet matematik.
2 Syfte och frågeställningar
2.1 Syfte
Syftet med arbetet är att undersöka vilka förkunskaper som behövs för att få en bra förståelse av storheten längd samt hur de utvecklas eller byggs på.
Att få ökad kunskap om utvecklingen av begreppet längd borde leda till att vi förstår var en elev befinner sig och på så sätt kunna stödja och hjälpa eleven påett bättre sätt så att eleven blir säkrare på begreppet.
2.2 Frågeställningar
Utifrån vårt syfte har vi formulerat följande frågor:
1) Vilka förkunskaper har några utvalda elever i skolår 2 och 4 om storheten längd
och dess enheter?
2) Hur kan dessa elevers längduppfattning stärkas av praktiska aktiviteter?
3 Teoretisk bakgrund
3.1 Vad är en storhet?
En mängd eller kvantitet av något som kan mätas och beräknas är en storhet till exempel en viss längd, area, volym, massa eller tid. Storheter kan också kombineras med
varandra, till exempel hastighet som är kombination av längd och tid. (www.ne.se)
3.2 Vad är en enhet?
En enhet är ett fastlagt jämförelsevärde av en storhet. Exempel på formella längdenheter är meter (m), millimeter (mm) eller engelsk fot, foot (ft). En storhets storlek,
storhetsvärdet, uttrycks genom att ett mätetal beskriver hur många gånger man upprepar en bestämd enhet, till exempel i längden 2 m är 2 mätetalet och m är enheten meter. Äldre enheter utgick från kroppsmått till exempel tum och fot. De var lättare att
från franska revolutionen och tillhör det internationella enhetssystemet SI som står för
Système International d’Unités (www.ne.se).
3.3 Analysschema i matematik
3.3.1 Längd
Analysschemat i matematik för åren före skolår 6 (2000) vill att begreppsförståelsen för
längd fokuseras. Författarna till analysschemat menar att avståndsförståelsen tillhör längdbegreppet, så även omkrets. Eleverna ska förstå att längden av ett snöre är densamma om snöret är en öppen eller en sluten kurva. Analysschemat för längd omfattar även sortering, jämförelse och mätning av längder. Eleverna ska kunna använda lämpliga måttsystem och metoder.
Enheten kan vara informell som en barnfot, eller formell som meter. Barn använder naturligt kroppsmått som referenser då de mäter.
Då pedagogen analyserar sina elevers kunskaper är det viktigt att uppmärksamma om barnen förstår idén med mätandet, samt kan välja en lämplig enhet. När barnen
använder linjal är det viktigt enligt analysschemat i matematik att barnen förstår att det är mellanrummen mellan markeringarna som är längdenheten. Aktiviteter med
uppskattningar av längder är också viktigt enligt analysschemat eftersom här kan barns referenser utvecklas.
Om pedagogerna använder sig av analysschemat i matematik då de lägger upp lektionerna om storheten längd, tror vi att eleverna skulle få bättre förståelse.
I de tidiga skolåren kan de Diagnostiska uppgifterna i matematik från Skolverket (2000) användas för att se var eleverna har för kunskaper, dessa uppgifter är kända som
”Måns och Mia”.
3.4 Kursplanen i matematik
Ur kursplanens mål att sträva mot har vi valt följande:
”Skolan ska se till att eleven
utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda – olika metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma storleken av viktiga storheter,”
Ur mål som eleven ska ha uppnått i slutet av femte skolåret har vi valt följande:
”- kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar, massor och tider samt kunna använda ritningar och kartor.”
Dessa strävans och uppnåendemål passar bäst till vår undersökning som behandlar längd och dess enheter.
3.5 Dagens skola och konstruktivismen
Enligt Engström (1998) är dagens skola är uppbyggd enligt en konstruktivistisk undervisning. Med detta menas ungefär för matematik att skolan ska:
Utgå från elevernas egna erfarenheter, eleverna ska stimuleras att reflektera över sina matematiska aktiviteter. Laborativa aktiviteter ska ha ett stort inslag i undervisningen. Dessa ska möjliggöra för eleverna att konstruera sin egen matematik.
Gruppdiskussioner ska ha ett stort utrymme i undervisningen, eleverna kan då utbyta erfarenheter med andra och detta utvecklar elevernas förmåga att motivera sina idéer. Lärandet ska vara en problemlösande aktivitet, eleverna ska kunna formulera egna problem och detta ska ha ett stort utrymme. Elevernas egen verklighet ska råda, situationerna ska inte vara påhittade. Eleverna ska få möjlighet att bygga upp sin egen matematik. Symboler och uträkningar ska bygga på det eleverna själv får fram
efterhand. Kreativa aktiviteter låter eleverna utveckla möjligheter istället för att producera svar. Problemlösande aktiviteter ska vara öppna och stimulera fram olika lösningar. Vår strävan är att aktiviteterna i vår undersökning ska vara uppbyggda i största möjliga mån efter Engströms (1998) beskrivning av konstruktivismen i skolan. Gruppdiskussioner och utvecklande av egna idéer för att lösa uppgiften ska förekomma. Aktiviteterna ska vara så verklighetstrogna som möjligt.
3.6 Mäta längd
Vi använder oss av mätning när vi vill bestämma hur mycket något är, till exempel längd och tjocklek. Vid mätning jämförs en storlek med en annan egen referens. Då kan man avgöra om det är större eller mindre än den egna referensen (Johnsen Høines, 2000). Meterlinjalen behöver inte enbart användas för mätning den är till exempel ett bra verktyg vid tillämpning av tal i decimalform. Den kan delas in i tiondelar det vill säga decimetrar, hundradelar (centimetrar) och tusendelar (millimetrar). Hela linjalen
blir alltså en hel meter (Malmer, 1990). Då kan eleverna förstå att en hel kan delas upp i mindre bitar och att decimaltal även har nära samröre med bråktal.
För att få en förståelse för vad mätning är bör vi tillåta eleverna att se, undersöka, känna och jämföra olika föremål genom relevanta laborativa uppgifter. Eleverna lär sig bättre om mätning och enheter vid användning av det i vardagslivet. När längder mäts behöver eleverna inte endast använda sig av linjalen utan de kan också mäta med kroppsdelar till exempel antal fötter, armar, händer (Ahlberg, 2000).
Enligt Kilborn (1992) används för lite tid i skolan åt mätning och mätmetoder. Detta får till följd att eleverna använder sig av komplicerade mätmetoder som egentligen inte hade behövts. Enligt Malmer (2002) har ofta eleverna problem med prefixen till metern, såsom milli, centi, deci och kilo. De har inte fått lära sig vad prefixen betyder. Kilo betyder tusen (kilometer = tusen meter). Deci betyder tiondel (en decimeter = en tiondels meter). Centi betyder hundradel (en centimeter = en hundradels meter). Milli betyder tusendel (en millimeter = en tusendels meter). Eleverna kan ha problem vid enhetsbyte, då de blandar ihop prefixen, kommatecken eller ”nollor” hamnar på fel plats. Ofta blandar de ihop enheter för volym och area med längdenheterna och det leder senare till problem, vilket olika nationella prov utvisat. Enligt Kilborn (1992) gör
eleverna ibland mätningar och uträkningar av bara farten utan att tänka efter om det är nödvändigt eller inte. I vissa fall ställer mätetalen till med problem då elever ska lösa uppgifter, mätetalet blir avgörande. Kilborn (1992) menar att då barn använder ett måttband på ett, som det ser ut, rätt sätt, utgår vi ifrån att barnet behärskar mätandets teknik och idé. Barnet kanske gör rätt, men förstår i själva verket inte hur måttbandet är uppbyggt. Kilborn (1992) menar dessutom att många barn faktiskt mäter från 1 och inte 0 på en linjal.
Enligt Heiberg Solem &Lie Reikerås (2004) är den enklaste formen av mätning direkt jämförelse. Två barn kan ställa sig rygg mot rygg för att ta reda på vem som är längst av dem. Det finns även indirekt jämförelse, det går att sätta ett märke på till exempel ett kvastskaft så går det att använda detta för att jämföra med. Små barn mäter gärna sig själv med primitiva metoder som till exempel med hjälp av en pinne. Problemet blir då pinnarna de mäter med inte har samma storlek. Det behövs ett standardmätredskap. Ett redskap som har ett mätetal som går att jämföra med. Barn jämför ofta i sin vardag långt
innan skolan tar upp ämnet. Ofta är något för kort eller för långt. Eller så är något lika långt. Barn får ofta erfarenheter av andra längder såsom sträckor eller avstånd. Vägen till förskolan eller skolan kan kännas olika lång beroende på vilket fortskaffningsmedel de använder. Ofta förknippar de avstånd med tid, då det tar olika lång tid att ta sig mellan två platser beroende på fortskaffningsmedel. Detta enligt Heiberg Solem & Lie Reikås (2004).
Enligt Kronqvist & Malmer (1993) är det naturligt att längd kommer före andra
storheter som handlar om mätning. Enheterna är tydligt ordnade. När eleverna ska börja med mätning får de jämföra olika föremål samt använda jämförelseord, till exempel lång/kort, längst/kortast. Detta går bra när det gäller direkt jämförelse. Men om inte sakerna är bredvid varandra, då får indirekt jämförelse användas. Eleverna kan själv komma på något att jämföra med och det går bra att använda enheter som inte är
standardiserade, såsom pennor eller suddgummi. Under övningarna kommer eleverna på själva principen för mätning. Uttrycket ”ungefär” införs vilket betyder att mätningen aldrig kan bli exakt. När måttband införs måste pedagogen förklara att eleverna ska börja på 0 och inte på 1. Men det är viktigt när eleverna kan detta att de även kan mäta med en trasig linjal. Om eleverna får träna med praktiska övningar ofta får de bättre förståelse för storheten längd (Kronqvist & Malmer, 1993).
3.7 Forskningen
3.7.1 Matematiskt kunnande
Enligt Ahlberg & Hamberger (1995) uppkommer inte barns matematiska kunnande då de får förståelse för talens innebörd och positionssystemet. Deras tidigaste matematiska kunnande kommer genom deras egna erfarenheter som de får då de träffar andra
människor. Det matematiska kunnandet kommer i tidig ålder genom fysiska och språkliga aktiviteter. Det byggs upp vid lek och samtal, då barn delar mat eller jämför storlekar och längder samt likheter och skillnader. Detta tidiga kunnande inom
matematiken måste dock integreras med tal och räkning för att uppnå vidare färdigheter och för att kunna övergå till den abstrakta matematiken. I dag glömmer tyvärr många pedagoger att ta tillvara på barnens egna erfarenheter. Enligt Lpo 94 om fyra
Fakta är kunskap som fås via undervisningen till exempel i matematik de fyra räknesätten.
Förståelse är kunskap som det skall finnas mening med, en kunskap som eleverna måste reflektera för att få riktig förståelse för. Till exempel att eleverna vet att långa längder mäts i meter och korta i centimeter eller millimeter.
Färdighet är kunskap i hur saker görs, till exempel mäta längder. Denna kunskap måste tränas och övas tills eleverna kan.
Förtrogenhet är kunskap om omdöme eller rimlighet och har sitt ursprung i erfarenheter, gärna elevernas egna.
I skolan skall eleverna enligt Ahlberg (1994) nästan alltid lösa problem själva speciellt i matematik. I vardagslivet löses ofta problem i grupp. Skall till exempel ett nytt hus eller en produktionslinje byggas, arbetar projektörerna ofta ihop och bestämmer var
elledningar respektive rör ska dras. Hade detta samarbete inte fungerat hade elektriker och rörmontörer fått huvudbry vid monteringen och allting hade krockat.
3.7.2 Tidigare forskning gällande matematisk begreppsbildning
Det finns många undersökningar som visar att det finns elever som har bristande begreppsuppfattning för storheter.
Doverborg & Pramling- Samuelsson (2000) menar att ”Att upptäcka, erfara och börja förstå olika aspekter är basen till allt kunnande”.
Vi vill i vår undersökning låta eleverna göra precis som de olika författarna skriver. Vi vill låta eleverna jämföra olika längder. Eleverna ska kunna få se likheter eller
skillnader på längder. Eleverna ska få hjälpas åt att lösa problemen. De ska precis som Doverborg & Pramling- Samuelsson (2000) skriver kunna upptäcka och erfara för att förstå grunden med längd och hur man mäter. Deras förståelse och uppfattning ska stärkas.
3.7.3 Längdbegreppet
Enligt Ahlberg (2000) måste barn för att utveckla förståelse för längdbegrepp, få se, känna, undersöka och jämföra verkliga saker. De ska utifrån sina egna erfarenheter få
upptäcka längd. På detta vis får de förståelse för längdbegreppets betydelse i
verkligheten. Ahlberg (2000) menar att elevernas matematiska förmågor och begrepp utvecklas genom mätning. Mätning är inte bara med måttband, det kan ske på olika sätt. Jämförelse av saker är en typ av mätning. Fötter och händer eller glasspinnar och pennor kan också användas för att mäta med. Förståelsen för längd och mätning ökar, genom att mäta med olika enheter samt genom att ställa olika hypoteser om längd. För att eleverna ska inse att det går att mäta på olika sätt och använda olika enheter, är det bra att arbeta i grupp. Olika matematiska aktiviteter kan vävas in i temaarbeten. Elevernas nyfikenhet och lust att lära bör pedagogerna ta tillvara på, det utvecklar elevernas förståelse för matematiska begrepp och metoder. Pedagogerna måste medvetet planera situationer där matematiskt innehåll problematiseras. Ahlberg (2000) menar att spontana situationer i vardagslivet samt skolans dagliga rutiner måste utnyttjas för att föra in matematik i arbetet. Hon hävdar att problemlösning är central i all matematik. Enligt en nationell utvärdering i matematik som PRIM-gruppen gjorde i början på 1990-talet i skolår 2 och skolår 5, framkom det att matematiklektioner till största delen bestod av att eleverna ställde upp tal samt räknade ut dem. Enligt Ahlberg (2000) har
problemlösning kopplad till vardagens matematik fått större utrymme i skolan. Eleverna möter matematik ofta i vardagen utan en tanke på att det är matematik. För att
vardagsmatematik ska bli tydlig för alla elever är det viktigt att lyfta fram den i undervisningen. För många barn är matematik lika med skolan och läroböckerna, matematik finns för dem inte någon annanstans, hävdar Ahlberg (2000).
Furness(1998) menar att ”Matematik kan beskrivas som kunskap om och förhållande
mellan tal, mätande och form” Mätandet har med jämförelse av olika längder att göra.
Dessa jämförelser är anslutna till ett talsystem vilket har sitt ursprung i måttsystemet. Han menar att när barnen är med själva och påverkar lekar eller undersöker, skapar de regler och ökar sin förståelse.
3.7.4 Instrumentell förståelse och relationsförståelse
Skemp (1976) menar att det finns skillnad mellan instrumentell förståelse och
relationsförståelse. Han tar som exempel upp skillnaden mellan engelska talad i olika delar av världen. De olika orden har olika betydelse beroende på var i världen det är. Ett kex eller en kaka i England har inte samma namn i Amerika. Han menar också att det
samma gäller i(i hans fall engelska) matematiken kontra vardagsspråket. Ord som fält, grupp, ring har inte samma betydelse i den engelska matematiken som i vardagsspråket. Skemp (1976) jämför också med två grupper som lär sig musik fast på olika vis. Den ena gruppen lär sig med penna och papper att känna igen och kunna noterna, samt vad de olika delarna heter och hur noterna läggs ihop. Han kallar det för en typ av
musikalisk multiplikationstabell. Deras musikundervisning gick bara till på detta vis. Eleverna tycker förr eller senare att undervisningen är tråkig och de tappar intresset. Den andra gruppen lär sig att känna igen olika ljud och får jämföra dessa med noterna på pappret. De får en relation mellan tonerna i verkligheten och hur de ser ut på pappret som noter. Undervisningen blir intressantare för eleverna men det kräver mer arbete och en förståelse för ämnet av pedagogen. Matematikundervisning med relationsförståelse är den Skemp (1976) strävar efter.
Med hjälp av de praktiska aktiviteterna i vår undersökning vill vi ge eleverna
relationsförståelse, precis som Skemp (1976) föredrar. Elevernas uppfattning av längd och dess enheter ska ha en naturlig relation till något verkligt. Något de förknippar längd med i framtiden.
3.8 Praktisk matematik
Enligt Heiberg Solem & Lie Reikerås (2004) är det för att möta det matematiska barnet viktigt att pedagogen har olika typer av kunskap. Pedagogen behöver ha kunskap om vad matematik är, var matematik förekommer, de ska även känna till matematikens olika former och sammanhang. Viktiga matematikkunskaper för pedagogen är också att de har kunskap om de aktiviteter och former som kan hjälpa och utmana barnets
matematik. Enligt Heiberg Solem & Lie Reikerås (2004) är det pedagogens uppgift att skaffa sig den kompetens som behövs för att kunna möta eleverna med aktivt intresse samtidigt som deras utveckling underlättas. Fritidshemmen bör involveras mer i den praktiska matematikundervisningen, skapande aktiviteter som har med
matematikundervisningen att göra kan mycket väl bedrivas på fritidshemmen under skoltid.
Enligt Ahlberg (1995) lär sig barn att lösa problem och räkna i hemmet, vid lek med andra barn och under sin förskoletid. Barns kunskaper är knutna till det vardagliga livet
och en mängd olika situationer som sker i det vardagliga livet. De flesta barn har enligt Ahlberg (1995) svårt att förklara hur de löser problem, beroende på att kunskapen om problemet är direkt relaterad till de handlingar barnen utför dagligen. Barnens sätt att räkna skiljer sig från matematikens, detta eftersom matematikens sätt att räkna är det formella uppbyggt på abstrakt tänkande samt skriftliga symboler. Barns sätt att räkna är informellt utan symboler och abstrakta räkneprocedurer. Pedagogens stora uppgift inom matematik är enligt Ahlberg (1995) att överbrygga klyftan mellan barns informella sätt att räkna och skolans formella sätt. Det väsentliga är att bygga vidare på barns tidigare erfarenheter och kunskaper. Barns sätt att lösa matematiska problem i vardagen och deras sätt att lösa den skrivna matematikens problem skiljer sig åt. Tyvärr tar matematikböckerna och skolans undervisning inte sin utgångspunkt i barnens värld, utan den sker oftast med skolans och matematikens krav på lösningsmetoder. Om eleverna i stället för att fokusera på tal och uppräkningar hade fått arbeta med fler problemlösande aktiviteter, anser Ahlberg (1995) att elevernas tidigare förståelse för matematik hade tagits tillvara och utvecklats.
I vår undersökning vill vi bland annat undersöka om eleverna klarat av övergången mellan barns egna informella sett att räkna och skolans formella sätt. Detta sker genom vår enkät. Med hjälp av aktiviteterna i undersökningen försöker vi stärka förståelsen för storheten längd.
3.8.1 Laborativt arbetssätt och laborativa hjälpmedel
Enligt Malmer & Adler (1996) har elever ett stort behov av att arbeta laborativt. Eleverna har ett behov av stimulans och omväxling. Eftersom många tycker att matematik är svårt så får de också ämnet till att vara tråkigt. Elever med svårigheter i matematik har ofta oklara föreställningar samt svårt för de abstrakta i matematiken. Mycket beror på att de har ett begränsat ordförråd. Dessa elever förstår bättre då de får prata om vad de gör samtidigt som de får arbeta med händerna och se vad de gör. Dessa elever behöver ha konkret material att arbeta med. För alla elever gäller att börja med en konkret laborativ uppgift, som leder över till förståelse för olika matematiska begrepp, modeller och samband, alla former ska finnas med. På detta vis blir inte matematiken svår och tråkig.
1. Material för sortering, klassificering och jämförelse kan vara: Logiska block, träklossar, mattekuber, träkulor med hål i samt piprensare och plockmaterial. 2. Relationsmateriel för att visa vissa relationer till exempel Cuisenaires
färgstavar. Dessa är utmärkta att mäta med och jämföra med. Dessa kan även användas för bråkräkning, procenträkning och till algebra.
3. Utrustning för övning av olika enheter och enhetsbyte.
4. Geobräde för att träna olika sorters omkrets och omkretsmätning, beräkningar med mera.
De logiska blocken kan i längdsammanhang användas för jämförelse och sortering i storleksordning.
Med Cuisenaires färgstavar kan eleverna jämföra och sortera som till exempel längst/kortast samt vilken stav ligger mittemellan. Storleksjämförelse och längduppskattning av andra saker kan också göras med färgstavarna. Eleverna kan även träna hälften/dubbelt samt lägga stavar så att det blir lika långt.
Laborativt material kan delas upp i två grupper:
• Vardagliga föremål, föremål som finns i naturen eller som vi använder i vår vardag. • Pedagogiska material, är särskilt framtaget för ett pedagogiskt ändamål
(Rystedt & Trygg, 2005).
Elevernas måste se matematiken i uppgiften de gör samtidigt som de ska utmanas i sin förståelse om begreppen (Rystedt & Trygg 2005).
Det är det roliga från lektionerna som fastnar i minnet. All undervisning borde göras rolig och innehållsrik även om eleverna inte vet varifrån deras förståelse kommer (Berggren & Lindroth, 1997).
I vår undersökning använder vi oss av laborativt material såsom vardagliga föremål i aktiviteterna att dekorera ett klassrum inför jul.
3.9 Inlärningsnivåer i matematik
Enligt Malmer (2002) finns det olika inlärningsnivåer i matematik. Hon delar in dem enligt följande:
1. Tänka - tala nivån. Det gäller att utgå från elevernas egna erfarenheter. För att få nödvändiga förutsättningar måste pedagogen skapa sådana inlärningstillfällen. Eleverna
måste kunna öva upp sin förmåga i att kunna undersöka, upptäcka och upptäcka
matematiken. Eleverna upptäcker ofta sådant de ej kan namnet på. Då måste pedagogen öka deras ordförråd genom att prata matematik. De kan få några matematikord i veckan i läxa.
2. Göra – pröva nivån. För att eleverna ska få något meningsfullt sammanhang av att arbeta med olika material, måste dessa användas i meningsfulla sammanhang. Arbetet ska vara strukturerat och väl genomtänkt för att eleverna ska kunna skapa ett ”inre
bildarkiv” detta ger i sin tur stöd för elevernas logiska tänkande.
3. Synliggöra nivån. I denna nivå ska eleverna ha möjlighet att själv kunna berätta och beskriva hur de själv tänker. De ska kunna strukturera sina tankar och visa hur de löst sina uppgifter. De svaga eleverna behöver här handledning för att få rätt på sina tankar. 4. Förstå – formulera nivån. Många pedagoger och de flesta läroböcker börjar på den här nivån, eftersom det är enkelt att uttrycka sig i text och bilder på denna nivå. Många elever har svårt att hänga med, de förstår inte vad det är för något som beskrivs i matematikböckerna. Det abstrakta symbolspråket är svårt att förstå när eleven inte fått någon bakgrund till varför det står och är som det är. Pedagogerna bör lägga ner tid på att få fram ett lättförståligt arbetsmaterial utan abstrakt språk. Detta material kan fungera till många lektioner under lång tid. Matematikböckerna borde kompletteras med laborativt material och tips och idéer för matematiska samtal.
Vissa pedagoger har inte den utbildning de behöver för att undervisa i matematik. Detta problem löser sig till viss del då alla blivande pedagoger ska läsa minst 10 poäng
matematik på högskolan.
5. Tillämpningsnivån. Det är i detta moment många som ej lärt sig matematiken från grunden faller av. Svårigheten i både text och själva matematiken ökar samtidigt. Många elever anser uppgifterna för svåra och försöker inte ens lösa dem.
6. Kommunikationsnivån. Vid denna nivå är oftast inte läroboken med längre, den tar inte upp det viktiga i att integrera matematiken med andra ämnen. Detta kan
pedagogerna på skolan göra ändå genom bland annat temaarbeten, vid dessa kan många pedagoger samverka och fritidshemmen kan involveras (Malmer, 2002).
Använder sig pedagogerna av dessa nivåer i matematikundervisningen för varje avsnitt, tror vi att elevernas förståelse förstärks. Det är viktigt att pedagogerna även går in på de nivåer som inte täcks av matematikboken för att elevernas förståelse ska stärkas. I vår undersökning gäller detta speciellt för storheten längd.
3.10 Begreppsspiralen
Vi arbetade mycket med begreppsspiralen i geometrikursen. Då fick vi bland annat lära oss följande: När vi talar om begrepp, menar vi människans sätt att ordna och
klassificera omvärlden genom att referera till gemensamma egenskaper hos saker och företeelser. Många barn kan mäta och avläsa linjaler, klockor etc. men de har inga klara begrepp om storheten.(Fritzén & Sjöström, 1992) För storheter finns en generell
utvecklingsgång som vi kallar begreppsspiralen:
1. Upptäcka 2. Jämföra 3. Mäta
4. Arbeta med enheter 5. Beräkna - Värdera
De tre första punkterna kan endast tillgodoses genom erfarenheter och praktiska övningar, genom kommunikation och språkutveckling, genom att ställa hypoteser och pröva dem. I läroböcker för skolan är det ofta punkt 4 och 5 som tränas. Det är dessa som går att arrangera i tryck. Många barn klarar en mängd mäta, beräkna och värdera utan att ha fått sätta sig in i storheten och dess egenskaper.
Genom att använda begreppsspiralen får pedagogerna kunskap om vilken nivå och förståelse eleven har inom en storhet. Med storhet menas sträcka, area, volym och tid, d.v.s. allt som går att mäta. Begreppsspiralen är en generell utvecklingsgång för storheter. Den följer ett visst mönster. För varje ny storhet börjar pedagogen med att eleverna får upptäcka storheten, de pratar om den. Senare går pedagogen in på området att jämföra. Eleverna ska alltid kunna jämföra något okänt med något redan känt för att få bättre förståelse. Därefter går pedagogen in på att eleverna ska kunna mäta först med informella metoder och sedan med formella till allra sist kommer enheterna till
storheterna in. Då tränas även enhetsbyte. För varje ny storhet som tas upp måste pedagogen börja med, upptäcka - nivån och gå vidare till, jämföra - nivån. Till slut
upptäcker eleverna sambanden mellan de olika storheterna och då måste pedagogen börja om på samma sätt som tidigare för att eleverna ska få bästa förståelse (Fritzén & Sjöström, 1992).
Begreppsspiralen för storheten längd:
1. Upptäcka
Innebär att upptäcka begreppet och uppfatta dess egenskaper. Förmåga att diskutera uttrycksformer som lång och kort finns kopplade till begreppet längd.
2. Jämföra
Sortera (rangordna) med avseende på till exempel längre eller kortare än något annat. Klassen kan exempelvis sortera sig i storleksordning, sen kan eleverna diskutera om vem som är längst eller kortast
3. Mäta med informella metoder
Uppskatta längd i förhållande till informella mätningar och visa på olika sätt att mäta och uppskatta längd. Eleverna kan använda sig av steg eller kroppen som mätmetod.
4. Mäta med formella metoder
Uppskatta och mäta olika längder.
5. Enheter (värdera och beräkna)
Känna till olika längdenheter, som centimeter, decimeter och meter. Kunna välja lämplig längdenhet och göra rimliga värderingar. Förstå växling mellan olika längdenheter.
I vår undersökning har vi använt oss av begreppsspiralens olika nivåer för att göra frågorna till enkäten.
3.11 Matematiskt tänkande
Enligt Lpo 94 ska barnen behärska matematiskt tänkande samt kunna behärska detta i vardagslivet.
Enligt Malmer (2002) ska barn få en möjlighet att tänka matematik. De måste kunna lösa ett problem matematiskt. Detta kan tränas genom att de får prata matematik samt att de kan träna på olika matematiska ord och ta reda på vad de betyder. Alla saker och ting som används för att beskriva matematik ska få ett matematiskt namn som enbart ska användas för att eleverna ska få bättre förståelse för det abstrakta i matematiken.
I det matematiska tänkandet kan även logiskt tänkande nämnas, kan själva uppgiften eleverna löser, vara rimlig. Kan det verkligen stämma, använder jag rätt enhet med mera. Elever behöver mycket hjälp med struktur och strategi för att träna upp sitt logiska tänkande (Malmer & Adler, 1996).
3.12 Lärarens roll och fritidspedagogens roll
Lärarna har det övergripande ansvaret för elevens individuella utbildning, men de kan i samarbete med fritidspedagogerna planera för till exempel matematikundervisningen. I många klasser är fritidpedagogerna med under lektionstid i klassrummet, de fungerar då som en extra resurs i rummet. Nackdelen kan vara att hela klassen alltid är samlad vid detta tillfälle. På andra skolor delas klassen under ett antal lektioner. Under dessa lektioner arbetar fritidspedagogerna och lärarna var för sig. Inför dessa lektioner skulle lärarna och fritidspedagogerna kunna samverka till exempel genom att planera ihop, ha lektioner med samma tema. Fritidspedagogerna kunde ansvara för den laborativa konkreta biten och utomhusmatematik. Bra exempel på utomhusmatematik finns i Molander m, fl. (2006). I denna bok finns många exempel på vad som tränas i de olika momenten. En övning är med ett 1-metersrep, vilket kan användas till mycket. Innan repen delas ut kan eleverna få visa med kroppen hur långt de tror att 1 meter är, sedan kan de jämföra med repet. Eleverna får med hjälp av repet leta upp saker ute som är 1 m, 2m, ½ m eller ¾ m. De kan mäta sin kompis eller få leta upp ett träd som är 1 m i omkrets. Eleverna kan få mäta upp en sträcka på 10 m (samarbetsövning), denna sträcka kan de sedan stega och med hjälp av detta räkna ut olika långa sträckor. Eleverna kan få fundera på hur man kan mäta höjden av ett träd som står upp. Med mindre barn kan man med hjälp av 1-metersrepet träna ”större än” och mindre än” 1 m. Med hjälp av äldre elever kan pedagogen undersöka om de gamla måtten som fot, aln och famn stämmer. Fortfarande anges till exempel en båts längd i fot. Hur lång är då en båt på 18 fot om en fot är cirka 30 cm? (Molander m, fl., 2006). Med den nya lärarutbildningen då det går att bli fritidspedagog med Matematik och lärande som huvudämne är detta en god idé. I Ahlberg (1999) finns ett bra samarbete mellan lärare och fritidspedagog beskrivet. Från början tror rektor att lärare och fritidpedagoger samarbetar eftersom de är i samma arbetslag. Från början stämmer inte detta eftersom var och en planerar sin verksamhet frikopplat ifrån varandra, men samarbetet och samplaneringen ökar gradvis och de praktiska momenten i matematiken tas in på fritidshemmen under skoltid.
av vanliga enkla material och i ett praktiskt sammanhang. Vi har som bilaga 2 lagt med några exempel på aktiviteter som kan användas vid samarbete mellan skola och
fritidshem, dessa är hämtade från Nämnaren Stävorna
3.13 Grupparbete
Ahlberg (1995) anser att grupparbete är en effektiv metod. Barn diskuterar sina förslag de kommer på nya problem och löser andra problem tillsammans Hur mycket barnen samarbetar beror på vad det är för problem. Gruppstorleken varierar beroende på vilket problem gruppen ska lösa. Vid gruppindelning ska det tas hänsyn till elevernas kunskap och personlighet, det ska inte vara för stora grupper och gruppsammansättningen ska kunna fungera under en längre tid enligt Ahlberg (1995)
4 Metod
Utifrån vårt syfte har vi valt enkät och observation som metod när vi söker svar på våra frågeställningar.
Begreppsspiralen finner vi vara ett relevant hjälpmedel i vår undersökning, eftersom vi får kunskap om vilken nivå och förståelse eleven har inom en storhet (Fritzén, Sjöström, 1992).
Enkäten använder vi oss av för att undersöka elevernas förkunskaper. Vidare väljer vi ut några elever att observera utifrån enkätsvaren. Vi observerar dem under några praktiska aktiviteter och ser hur deras längduppfattning kan stärkas. Vi har även observerat några praktiska lektioner om längd som hölls av en erfaren lärare.
4.1 Avgränsningar
För att avgränsa undersökningen valde vi att bara undersöka förkunskaper hos elever i skolår 2 och 4, som inte är vana med praktiskt matematik. Eftersom målet inte var att undersöka olika undervisningsmetoder valde vi att observera endast en lärare i vår undersökning inom storheten längd. Detta gav oss en bättre syn på hur en längdlektion kan planeras enligt begreppsspiralen. För att se hur praktiska aktiviteter kan påverka elevernas längduppfattning valde vi bara 10 elever till vår aktivitet och koncentrerade oss på deras förståelse enligt begreppsspiralen.
4.2 Urval
Skola A: En traditionell grundskola, här styr matematikboken undervisningen och lärarna
är inte vana att jobba i arbetslag. Vi vet från tidigare att dessa klasser inte haft praktiskt undervisning i matematik och vi ville se hur just dessa elever resonerar i vår
undersökning. Här har 24 elever deltagit i en enkät (12 elever i skolår 2 och 12 elever i skolår 4). Vi valde två åldersgrupper för att se hur deras uppfattning av storheten varierar. Utifrån enkätsvaren har vi valt ut10 elever till vidare undersökning i form av observation av aktiviteter. Vi valde ut elever som hade större variationer på enkätsvaren. Målet var att se hur deras förståelse stärks av våra aktiviteter. I denna skola har en av oss haft sin Vft (verksamhetsförlagd tid) och har kännedom om både elever och personal och vi blev väl mottagna av dem.
Skola B: En friskola, där eleverna är vana vid att arbeta på ett laborativt sätt ochmed
logiskt tänkande. I denna skola har en av oss följt lärarens matematiklektioner under Vft-fältdagar i några terminer. Lärarna arbetar i arbetslag och matematik undervisas av lärare med ämneskompetens. Här har vi observerat några matematiklektioner om längd. Läraren är känd för sitt laborativa arbetssätt i matematik och eleverna är involverade i
undervisningen. Grupparbete och diskussioner förekommer ganska ofta i undervisningen. Matematikboken används för färdighetsträning. Att observera hennes lektioner gav oss närmre syn på hur en praktisk lektion som behandlar längd kan se ut.
4.3 Genomförande
4.3.1 Enkät
För att få en uppfattning av elevernas förkunskaper om storheten längd, har vi gjort en enkät. Enkäten omfattar 7 uppgifter (se bilaga 1) formulerade ganska medvetet och noggrant efter elevernas vardagliga situationer, samt begreppsspiralens olika nivåer. Frågorna är utformade på ett tydligt språk och illustrerade med bilder som kan underlätta förståelsen för innehållet. Vi har även tittat på kursplanens mål i matematik och
analysschemat i matematik för åren före skolår 6. Föräldrarna och lärarna blev informerade om vår undersökning i förväg.
Enkäten börjar med att vi presenterar oss för deltagarna samt tackar alla som ville hjälpa oss med vår undersökning. Eleverna fick klart för sig syftet med vår undersökning.
Enkäten tog cirka 20 minuter där alla elever deltog enskilt med oss närvarande. Eleverna svarade med omsorg och intresse i en lugn lokal med avslappningsmusik i bakgrunden. Eventuella frågor angående enkäten besvarades av oss. Avsikten med vår närvaro var att få varje elev att svara på frågorna efter hur de själva tror är rätt och inte påverkas av kamraternas svar, samt att vi kunde samla in svaren direkt. Eleverna tyckte det var intressant att lösa uppgifter med färgglada bilder. För tolkningen av barnens svar har vi utgått från Doverborg & Pramling Samuelsson (2000), vilket innebär att frågorna inte får vara så svåra att de kan misstolkas. Enkäten får inte vara för lång eller ta för lång tid, då barnen kan tröttna och tappa koncentrationen.
Enligt Johansson & Svedner (2001) fungerar en enkät bäst om man vill undersöka samband mellan fakta. Frågorna ska vara konstruerade på ett sådant vis så att det är lätt att svara på fasta alternativ. En enkät är bra om man söker svar på faktafrågor. Enkät är bra om man avser att göra intervjuer och behöver underlag för att välja ut rätt personer till intervjun, eller som i vårt fall för att välja ut personer till olika grupper för att se var de ligger i en speciell kunskapsnivå. Utifrån enkätsvaren kan man dela in eleverna i olika undergrupper för att sen se hur varje grupp agerar eller svarar på frågor. Fördelen med enkäter är att de är enkla att dela ut och det är enkelt att nå ut till flera. Nackdelarna är dock att enkäter är mindre personliga och de kan lätt bli för långa. Det är viktigt att inte vara dubbeltydig när enkätfrågor görs, frågorna ska inte vara svårtydda. De öppna frågorna ska vara lagom svåra, för krångliga öppna frågor kan ge svårtolkade svar som är svåra att placera in i tabeller eller diagram.
Våra svar visas i form av ett diagram.
Enkätfrågorna utifrån begreppsspiralen
• Upptäcka begreppet längd, bredd och höjd
I uppgift 1 och 2 skulle längden, bredden och höjden av möblerna definieras. Vi vill enligt begreppsspiralen se hur eleven uppfattar längd på olika sätt.
• Jämföra och rangordna familjen efter längd
I uppgift 3 skulle människornas längd uppskattas och rangordnas. Här är det viktigt med logiskt tänkande och indirekt jämförelse. Vi har i efterhand insett att bilden till denna uppgift inte är den bästa för att rangordna familjen efter längd. Dels är kvinnorna på bilden svåra att skilja åt i ålder. Dels sitter huvudparten av
personerna ner. Det är då svårt att se vem som kan vara längst.
• Uppskatta längder i verkligheten
I uppgift 4 skulle höjden av ett hus uppskattas. Syftet är att se vilka referenser och enheter som eleverna spontant använder.
• Att mäta med informella metoder
I uppgift 5 skulle längden av två armband jämföras och mätas utan hjälp av linjal. Här gäller det att kunna förstå mätningen som idé genom att mäta med hjälp informella metoder.
• Att kunna referera till enheten centimeter
I uppgift 6 skulle längder av två soffor mätas med hjälp av centimeterlinjal. Tanken är att se om eleven kan använda sig av centimeterlinjalen som referens.
• Förståelse för längden av omkretsen hos några figurer samt att kunna
utföra enkla beräkningar och enhetsbyten
I uppgift 7 skulle omkretsen av pepparkakorna markeras, dessutom skulle omkretsen bestämmas genom mätning och beräkning och pepparkakornas mått skulle anges i cm och mm. Här gäller det att förstå vad omkretsen av en figur är. Enligt kursplanen i matematik så är strävansmålen att elever ska utveckla sin tal- och
rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda
- olika metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma storleken av viktiga storheter.
Enligt kursplanen i matematiks mål att uppnå i slutet av femte skolåret ska eleverna
- kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar, massor och tider samt kunna använda ritningar och kartor.
I vår enkät har vi tagit upp dessa mål från kursplanen i matematik gällande längd. Här har eleverna fått använda sig av olika metoder, de har fått jämföra, uppskatta och mäta. Dessutom har de fått fundera på rimligheten i sina svar.
4.3.2 Observationerna
Enligt Johansson & Svedner (2001) är att observera ett sätt att betrakta och utvärdera en aktivitet. En observation kan ske på många olika vis. Allt ifrån strängt strukturerade metoder till sådana metoder som hör till vardagen till exempel observerande av klassens rutiner med datum och almanacka. Observationerna kan dokumenteras på olika vis. Om vardagsrutiner i klassrummet studeras, kan dagboksanteckningar skrivas efter varje pass. Om till exempel interaktionen mellan elever och lärare ska dokumenteras kan ett fast protokoll användas. I detta antecknas då händelser i klassrummet. Kanske med en liten notis om hur eleverna agerar mot läraren eller tvärt om. I vårt fall har vi använt oss av löpande protokoll till observation av längdlektion. Till vår egen aktivitet har vi dessutom använt oss av videofilmning. Detta för att i efterhand bättre kunna se hur eleverna upplevde aktiviteterna, dessutom är fördelen med videofilmning att filmen kan ses många gånger.
Observation 1 på skola B
För att få en närmare syn på hur ett praktiskt arbetssätt kan se ut, kontaktade vi den skola där matematikläraren är känd för sitt laborativa undervissningssätt. I denna skola har en av oss följt lärarens matematiklektioner under Vft-fältdagar och känner läraren. Vi har diskuterat med henne om vår undersökning, då fick vi som förslag att följa hennes lektioner om längd och dess enheter. Eftersom vårt resultat av enkätsvaren hade visat tydliga brister på enhetsuppfattning, tyckte vi att denna observation kunde ge oss ett förslag på hur ett laborativt arbetssätt med längdenheter kan se ut. Vi tog chansen och observerade två lektioner i skolår 4.
Observation 2 på skola A
Utifrån elevernas svar på enkätfrågorna valde vi ut sammanlagt 10 elever till våra observationer. Vi valde ut elever som hade visat större variationer på svaren av frågorna och placerade dem i 2 grupper. Målet var att observera elevernas förståelse under några aktiviteter och se hur deras uppfattning stärks under aktivitetens gång. I varje grupp fick 5 elever utföra några aktiviteter som är relevanta för gruppen. I planeringen av
aktiviteterna har vi utgått från läroplanen (Lpo94) samt kursplanen och analysschemat i matematik. Vi har även haft teoridelens kunskap med oss när det gäller planeringen. Vi använder oss av namnet ”aktivitet” istället för ”lektion” eftersom vi sedan tidigare
dessutom att planeringen av aktiviteter kan involvera fritidshemmen i matematikundervisningen.
Uppgifterna bygger på begreppsspiralen och handlar om en konkret situation, där eleverna tillsammans ska dekorera ett rum till jul. Varje grupps aktivitet startas med en öppen fråga där eleverna samarbetar, diskuterar och provar tills de själva kommer fram till en lösning. Varje grupps aktivitet tog 45 minuter där en av oss videofilmade och den andre följde elevernas resonemang, samt antecknade under tiden. På detta sätt kunde vi komplettera videofilmningens resultat med anteckningarna för en bättre syn på
elevernas förståelse och uppfattning av området.
Doverborg & Pramling Samuelsson (2000) anser att om pedagogen låter eleverna berätta utifrån deras egna kunskaper, bidrar det till engagemang, som i sin tur påverkar elevernas lärande och tankeutveckling. Vår förhoppning var att aktiviteterna skulle öka elevernas förståelse för storheten längd och dess enheter.
Varje aktivitet sammanfattades muntligt och videofilmades. Tanken var att se hur eleverna upplevde aktiviteten och vad de fick lära sig.
Aktiviteter med grupp 1
Urval: 2 elever från skolår 4 och 3 elever från skolår 2
Uppgift: Klassrummet behöver nya gardinlängder till jul. Storleken är exakt samma som nuvarande gardinen som hänger i klassrummet. Vi behöver två likadana gardiner.
a) Uppskatta både längden och bredden tillsammans, skriv era svar på en lapp. b) Hur skulle ni ta reda på måttet utan att ta ner gardinen? Använd material från vår
korg.
Mål: Uppskattning och mätning med informella metoder vilket medför förståelse för
mätningen med formella metoder, samt för enhetsförståelse.
Aktiviteter med grupp 2
Urval: 3 elever från skolår 4 och 2 elever från skolår 2
a) placera 5 bord (rektangelform) på ett sådant sätt att 22 stolar kan få plats. b) söka referenser till en meter
Mål: Uppskatta största omkretsen och mäta längden med både formella och informella
metoder samt hitta referenser för en meter.
4.4 Reliabilitet och validitet
Enligt Johansson & Svedner (2001) innebär reliabilitet att någon annan ska kunna göra om samma undersökning och få samma resultat. Om någon annan gjort om vår
undersökning strax efter oss med samma elever så skulle de säkert ha fått liknande resultat. Men hade de gjort undersökningen senare eller med andra elever kanske inte resultatet hade blivit det samma, då eleverna kunnat komma längre i sin förståelse. Validitet innebär att man har gett en sann bild av det som undersöktes och att man har undersökt det som avsågs (Johansson & Svedner 2001).Vi anser att validiteten i vår undersökning är ganska hög då vi fått svar på de frågor vi ställt under syfte och frågeställningar.
.
5 Resultat
5.1 Resultat av enkät skola A
• Upptäcka begreppet längd, bredd och höjd
I uppgift 1 och 2 ska längden, bredden och höjden av möblerna markeras. Att markera längden, bredden och höjden på möblerna klarade skolår 4 eleverna av, medan de yngre eleverna hade lite svårighet med att skilja på höjden och bredden av saker.
• Jämföra och rangordna familjen efter längd
I uppgift 3 skulle människornas längd uppskattas och rangordnas.
Här sorterade mer än hälften av båda åldersgrupperna människorna efter deras ålder. Att en farfar är längre än pappa och en farmor är längre än mamma. Eleverna hade inte riktigt klart för sig skillnaden på ålder och längd. Eleverna sorterade efter vem som var äldst istället för längst. Svaren på denna fråga är inte pålitliga eftersom bilden som vi tidigare nämnt är missvisande. Huvuddelen av personerna på bilden sitter ner och då kan det vara svårt att veta vem som är längst, dessutom kan det vara svårt att veta vem som är äldst av kvinnorna på bilden.
• Uppskatta längder i verkligheten
I uppgift 4 skulle husets höjd uppskattas i meter.
Varierande svar lämnades på uppskattningen av husets höjd med meter som enhet. Äldre elever hade uppskattat betydligt bättre än yngre elever. Att Lisas hus kunde vara mellan 3- 5 meter uppskattades av yngre elever och många av dem hade angett enhet, medan äldre elevers uppskattning av husets höjd låg på mellan 8-15 meter, bara två av de äldre eleverna hade glömt att ange enhet. Däremot var alla elevers uppskattning av husets höjd rimlig. Dessutom använde alla elever enheten meter. Vi har upptäckt i efterhand att bilden av huset kanske inte var den bästa för att uppskatta höjden. I förhållande till huset är dörren väldigt liten och fönster saknas. Svaren kan därför vara något missvisande.
• Att mäta med informella metoder
I uppgift 5 skulle längden av två armband jämföras och mätas utan linjal. Här hade båda grupperna jämfört längden genom att räkna pärlorna. Det märkliga var att yngre elever hade mindre slarvfel än de äldre eleverna vid räkning av antalet pärlor. Däremot visade de äldre eleverna bättre förståelse för att använda varje pärla som enhet. Mer än hälften av de äldre eleverna hade angett rätt svar i form av ”17 pärlor”, några hade skrivit bara mängd utan att ange enhet. Många av de yngre eleverna förstod inte uppgiften om hur långt armbandet var utan hade bara skrivit att rosa armbandet var längre än den blå armbandet.
• Att kunna referera till enheten centimeter
I uppgift 6 skulle längder av två soffor mätas med hjälp av linjal.
Här hade alla visat förståelse och det var bara några enstaka elever, som hade svarat utan måttenhet. De som svarat med måttenhet hade alla svarat i cm.
• Förstå omkretsen av olika figurer samt arbeta med enkla beräkningar och
enhetsbyte
I uppgift 7 skulle omkretsen av pepparkakorna markeras samt omkretsen av pepparkakorna beräknas i cm och i mm.
Yngre elevers omkretsuppfattning varierade. Många hade markerat bara delar av figuren, några hade markerat kanterna. Ingen av de yngre eleverna hade svarat rätt på den frågan. Däremot de äldre eleverna hade blandat ihop omkretsen med arean. Mer än hälften hade färgat inuti figurerna istället för på sidorna. Hälften av de äldre eleverna hade visat riktigt förståelse för uppgiften.
Vid beräkning och mätning av pepparkakornas omkrets har de yngre eleverna bara kunnat mäta sidorna utan att kunna beräkna omkretsen och angivit svar i cm och inte i mm. Många av de äldre eleverna hade beräknat omkretsen fel. Istället hade de bara mätt sidorna i cm och mm. Det var bara två elever bland skolår 4 som hade beräknat omkretsen korrekt och angivit svar i cm och mm.
Enkät undersöknings resultat
0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 Frågor A n ta l E le v e r s o m S v a ra d e R ä tt ( M a x 1 2 ) Åk 2 Åk 4
5.2 Resultat av observation på skola B
Vi har besökt klassen vid två observationstillfällen. Vid första besöket var det bara flickorna i klassen som blev undervisade och vid andra tillfället var det enbart pojkarna. Vid dessa tillfällen var det samma lektion om längd som genomfördes. Eftersom
eleverna har blivit undervisade om längd i tidigare skolår blev de genast inlotsade på enheterna. Lektionerna började med repetition av vad som skett på tidigare
matematiklektion. Förra lektionen hade de pratat om gamla längdmått som använts förr i-världen. Bland annat togs måtten tum, aln, fot, tvärhand och famnmått upp. Eleverna fick göra jämförelser eller förklara hur långa dessa mått är. En famn till exempel är ungefär lika långt som en själv. Dessa gamla mått ställde till problem, läraren frågar eleverna om vilka. De svarar att måtten blir olika i varje by och i varje land eftersom det inte fanns något standardmått på den tiden. Läraren involverar hela tiden barnen i sin
undervisning, de får ta aktiv del i själva lektionen. Hon kommer in på fransmännens klokhet i att komma på metern. Hon frågar eleverna om olika saker och de kommer hela tiden vidare i undervisningen. Hon får dem att på ett lustfyllt vis komma vidare precis som det står i Lpo 94. ”Skolan skall sträva efter att varje elev utvecklar nyfikenhet och
lust att lära, utvecklar sitt eget sätt att lära, utvecklar tillit till sin egen förmåga,”
Läraren frågar eleverna om när standardmetern kom till och de får komma med olika förslag. Hon skriver upp de olika förslagen på tavlan samt berättar tillslut det rätta årtalet 1798. Fransmännen övertalade även omkringliggande länder att övergå till det nya metersystemet. Eleverna får gissa på olika årtal för de olika länderna. Precis som tidigare får eleverna tillslut reda på det rätta året. Efter denna repetition från föregående lektion, delar läraren ut snören som är en meter långa. Hon talar om för eleverna att de ska leta upp någon plats på sin kropp där det är en meter, eleverna får en minut på sig. Efter en minut frågar hon eleverna var på kroppen de hittat en meter. Förslag kommer som ett visst antal varv runt huvud, fingrar eller hals. Någon har en viss sträcka på benet. Det är noga att jämföra något inte känt med något som redan är känt. Läraren tar upp ett ordspråk, ”man skjuter inte myggor med kanoner”. Hon frågar eleverna vad som menas med detta uttryck. Läraren får olika svar ifrån eleverna, som att det behövs inte något så stort till något så litet. Någon svarar att det är lättare att skjuta en mygga med ett luftgevär än en kanon. Läraren skriver upp olika matematikord på tavlan sådana som mycket och stort samt litet och mindre. Alla eleverna verkar väldigt intresserade och glada, de har gott humör och är med på lektionen. Speciellt pojkarna kommer med olika förslag. Till slut kommer de in på mätning och att det inte är så lätt att mäta en mygga med en meter. Eleverna får lämna förslag på mindre mått än en meter som används idag. Förslagen, bland annat centimeter och decimeter, skrivs upp på tavlan. Läraren förklarar sedan att centi betyder hundradel och deci betyder tiondel. Läraren och eleverna kommer överens om att dela snöret i tio delar för att lättare kunna mäta mindre föremål med detta. De får spänna fast metersnöret på bänken med hjälp av tejp för att kunna märka ut detta i tio delar. Många av eleverna har gott samarbete och de hjälps åt med sina snören. Vissa elever tramsar lite, men skärper sig efter ett tag. Flickgruppen är lugnare på sin lektion. De deltar fritt i diskussionen.
Läraren föreslår att de ska märka ut tiondelarna med hjälp av linjalen. Eleverna har olika metoder för detta, vissa använder sig bara av tiondelen och flyttar efter detta. Andra utnyttjar hela linjalen och flyttar inte förrän de har använt alla tiondelar på denna. En pojke föreslår att man ska märka ut första tiondelen och sen vika resten av snört efter
detta. Han får prova och gör detta. Han kommer på att det är svårt att få alla delar lika stora och att det är viktigt i detta fall. När alla märkt ut hela snöret med tiondelar, får de berätta hur många streck de ritat ut. Vissa svarar 10 streck andra svarar 9. Läraren undrar hur eleverna har kunnat få olika antal streck. Det visar sig att vissa elever markerat både i början och i slutet av snöret. Läraren förklarar att matematiker är lata och inte gör något i onödan. Markering i början och slutet behövs inte. De flesta eleverna som förklarat vad de gjort har svårt att förklara vad de menar, men de vet varför de gjort som de gjort.
Nu ska de klippa upp snöret i decimetrar vilket betydde tiondelar. Eleverna får sedan räkna sina bitar. På detta vis får de reda på att en decimeter verkligen är en tiondels meter. Eleverna får förklara hur decimeter förkortas. De får förklarat att detta kan skrivas på olika vis bland annat som 1/10 vilket är lika med 0,1. Detta är ett bra sätt för eleverna att kunna se enhetsbyte samtidigt som de kommer ihåg att deci betyder tiondel. Eleverna får sedan ge exempel på om det finns deci framför någon annan enhet. Förslag som deciliter vilket betyder en tiondels liter kommer. Läraren kommer sedan med förslag som att man kan ta en deci elev eller en deciskoldag. Eleverna får förklara att detta betyder en tiondels elev och en tiondels skoldag. Efter detta är lektionen slut och eleverna lämnar klassrummet med kommentaren att matematik är jättekul. Läraren förklarade senare för oss att om hon haft mindre elever hade hon gått åt lektionen på ett annat vis och börjat utan enheter. En lägre nivå enligt begreppsspiralen, som den första upptäcka nivån.
5.3 Resultat av observation på skola A
Aktivitet 1)
a) Varje elev fick uppskatta längden och bredden med ögonmått och skriv sina svar på tavlan. Längdmåttet uppskattades till 2- 3 meter medan bredden till 1-2 meter. En pojke i skolår 4 uppskattade längden till 3-4 meter och bredden till cirka 1meter.
b) Här fick gruppen till hjälp att mäta med några garnnystan, samt några band vi lagt i en korg till dem. Gruppen hade till en början väldigt svårt att samarbeta, men efter en stund hade de resonerat ihop en plan. Sedan valde de några band av tyg ur korgen och klättrade upp på en bänk för att mäta de gamla gardinerna. De mätte med bandet och klippte av rätt längd av bandet. Sen tog de ett nytt band och mätte bredden på gardinen
två gardiner i klassrummet behövde de två band av varje. Eleverna började med att mäta de band som de redan klippt. Sen lade de ut en ny omgång band som var lika långa. Något eleverna inte var medvetna om var att bredden på tyget alltid är samma, så därför mätte de ut dubbel bredd också. En elev i skolår 2 sprang och hämtade alla linjaler som fanns i klassrummet för att mäta med. De hade olika metoder att mäta med linjalerna. Några diskuterade om att lägga ut alla linjalerna utefter bandet eller att bara mäta med en linjal. Tillslut använde de sig bara av en linjal. De mätte gardinens längd till 3,60 m och bredden till 90 cm. Eleverna hade i det här fallet förståelse för meter respektive centimeter. Eleverna sa att de behövde två bitar tyg med dessa längder och bredder. Tillslut fick de jämföra sina svar på tavlan och det blev väldigt intressant för dem som hade uppskattat närmst de rätta svaret.
Vi avslutade lektionen med en sammanfattning och utvärdering. Hela gruppen tyckte att det var kul med uppgiften och de lärde sig samarbete och hitta lösning tillsammans. Gruppen var stolt över sina svar och ville gärna vara med i fler aktiviteter.
Aktivitet 2)
a) Uppgiften var att eleverna skulle placera 5 bord på ett sådant sätt att 22 personer kunde sitta vid det. De skulle sedan uppskatta och jämföra och mäta för att se hur långt bordet är. Först provade eleverna att placera borden i E form. De använde stolarna som
måttenhet för att kunna mäta om 22 stolar skulle kunna få plats. Eleverna insåg att detta inte skulle kunna fungera. De börjar möblera om igen. De sätter ihop fyra av borden dubbelt samt ett bord på tvären. Sen provar de med stolarna igen. Eleverna inser snart att omkretsen blir alldeles för liten för att detta ska fungera. En pojke i skolår 4 kommer på att de ska sätta ut borden som ”ett streck”, då blir omkretsen störst och alla stolar får plats vid bordet. Eleverna tänker noga efter att detta är det bästa sättet för att alla ska få plats. Tidigare fungerade det inte då borden satt ihop. Eleverna tyckte att det mer liknade en kvadrat än en lång rektangel. Eleverna insåg att omkretsen blev för liten. När borden satt ihop som ett långt streck fungerade det bättre, det blev längre omkrets och fler stolar kunde ställas runt borden.
Nästa punkt var att uppskatta hur långt bordet var. En yngre elev kom på att det går att stega längden. Han fick ihop 9 steg. Äldre elever provade detta och fick ihop 8 steg, eller snarare kliv, även om dessa nio steg blev varierande beroende på elevernas olika längd. En pojke i skolår 4 sa för att få reda på längden av bordet, om man vet hur långt en meter är så kan man mäta med en meter och se hur många meter som behövs.
b) En flicka i skolår 4 visade med famnen, medan en pojke i årskurs2 visade med stegen. Här fick alla elever uppskatta i meter. Sedan fick de markera sina meter på golvet. De hade många bra idéer. Eleverna fick först uppskatta hur långt en meter kunde vara. En flicka i skolår 4 som använde armarna som ett stort famnmått tyckte att hennes famn kändes som 2 meter. Här fick de med hjälp av en meters måttband, kontrollera sina mått. Deras uppskattningar varierade mellan 80-150 cm.
Eleverna fick veta att deras steg var mindre än en meter medan flickans famn var längre än en meter. En pojke i skolår 4 hade sin bröstkorg som referens och detta var ungefär en meter. Helt plötsligt fick alla använda sin längd som referens och markera sin meter. Skolår 2 elevernas meter var nästan på axeln, medan skolår 4 elevernas referens var nära midjan.
Till slut fick gruppen mäta bordets längd med hjälp av måttband. En pojke i skolår 4 tyckte att det räckte bara med att mäta längden av ett bord och sedan multiplicera med 5, eftersom alla 5 borden hade samma storlek. Han skrev på tavlan att 120 x 5 = 605 cm De yngre eleverna markerade en meters storlek på borden, sedan tog de sin meter med hjälp av ett band och såg hur många meter som behövdes till längden. Svaren blev ungefär 6 meter. Här var det att en flicka i skolår 2 som hämtade sin linjal och sa att den lilla biten som var mer var 6 cm.
Samarbetet i denna grupp fungerade bättre och gruppen jobbade automatiskt med de i sin egen ålder.
Aktiviteten avslutades med sammanfattning och muntligt utvärdering.
6 Diskussion och analys
6.1 Diskussion och analys av enkät
Enkätresultatet visar att eleverna skolår 2 har förståelse för mätning, men de har inte någon förståelse för måttenheter. Eleverna i skolår 4 har både förståelse för mätning och känner till måttenheterna, men de kan inte se samband mellan de olika måttenheterna. De äldre elevernas uppfattning av längd, bredd och höjd är bättre än yngre elevers. Här anser vi att yngre elever behöver mer diskussioner kring uppfattning av olika längder. Deras uppskattning av egen längd varierar. Mer än hälften av eleverna har bara angett mätetal utan att skriva enhet. Resten har angett fel enhet. Detta kan ha många orsaker, bland annat att olika storheter tas ofta upp samtidigt i läroböckerna i matematik för de
klassrummen om prefixens betydelse i matematiken bland annat Malmer (2002) nämner detta. Enligt kursplanen i matematik så ska eleverna i slutet av det femte skolåret ”
kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar, massor och tider samt kunna använda ritningar och kartor”.
Mer än hälften av eleverna har rangordnat människorna efter deras ålder i stället för att rangordna dem efter deras längd. Detta är intressant eftersom åldersuppfattning och längduppfattning är två skilda storheter. Ålder hör till storheten tid och längden är en egen storhet i sig. Detta resultat kan vara missvisande då bilden inte var lämplig för att jämföra längden på familjen.
Resultatet av svaren på enkäterna visar att eleverna enbart var vana vid att använda formella metoder med linjal som redskap. Men eleverna förstår inte vad och varför de mäter. De har ingen direkt förståelse för måttenheterna samt har aldrig fått någon egen referens att jämföra metern med. Enligt Johnsen Høines (2000) behövs egna referenser för att förstå mätning.
Att många av eleverna i undersökningen har svårt med enhetsförståelse såg vi också. Detta kan enligt Malmer(2002) bland annat bero på att flera storheter introduceras samtidigt och eleverna lätt blandar ihop de olika storheternas enheter. Att eleverna visar dålig förståelse för omkretsuppfattning kan bero på att de inte riktigt fått klart för sig att omkrets är en längd och inte hör ihop med area. Att omkrets uppfattas som area, är vanligt, det visar olika nationella prov som Skolverket utformat. Vi har märkt under vår Vft (Verksamhetsförlagd tid) att pedagogerna använder matematikböckerna som ända läromedel. I matematikböckerna introduceras omkrets och area samtidigt eftersom dessa tillhör geometrin inom matematiken.
Sammanfattningsvis kan vi påstå att eleverna i vår undersökning har svårigheter med användningen av matematiska jämförelseord, samt uppskattning av längden av obekanta föremål. Vi anser att praktiska mätningar både med informella och formella metoder, samt jämförelse mellan metoderna kan stimulera elevernas längduppfattning. Bland annat Ahlberg (1995) och Malmer & Adler (1996) menar att klyftan mellan det informella och formella sättet måste överbryggas.
6.2 Diskussion och analys av observation: skola B
Läraren tog på lektionerna upp vad som hänt förut, hon återknöt undervisningen till elevernas erfarenheter sedan tidigare. Hon ställde frågor till dem och de fick jämföra
