Malmö högskola
Lärarutbildningen Natur Miljö SamhälleExamensarbete
10 poäng
Betydelsen av praktisk
matematikundervisning
The importance of practical
mathematics education
Annika Sturesson
Lärarexamen 140 poäng Handledare: Maj Törnvall Matematik och lärande
Sammanfattning
Syftet med min undersökning är att ta reda på hur lärare förhåller sig till praktisk matematik, hur de tar sig an undervisningen och vad de vill uppnå med tanke på elevernas utveckling och förståelse för ämnet. Med studien vill jag också se hur praktisk matematik fungerar i
undervisningen.
För att få svar på mina frågor har jag intervjuat lärare på olika skolor, från årskurs 1 till 5. Jag har gjort klassrumsobservationer för att se hur lärare tar sig an undervisningen och därefter jämfört med intervjusvaren.
Praktisk matematik grundar sig på att eleverna får arbeta på ett konkret sätt, där de ser kopplingen mellan skolmatematiken och vardagsmatematiken. Med arbetssättet vill man skapa en varierande undervisning där eleverna lär sig på olika sätt och får använda alla sina sinnen. Resultatet visar att det är vanligt med praktisk matematik när lärarna ska gå igenom något nytt moment, så att eleverna får en förståelse. Med undersökningen fann jag att samtal har en betydande roll när man arbetar praktiskt, speciellt för elever som har svenska som andraspråk och matematiksvårigheter. Får eleverna samtala och vara delaktiga i
undervisningen, leder det till att de får en tydligare inblick i matematiska begrepp.
Innehåll
1. INLEDNING... 6 1.1 Bakgrund... 6 2. SYFTE ... 7 2.1 Frågeställningar ... 7 3. TEORETISK BAKGRUND ... 8 3.1 Styrdokument... 8 3.2 Skolmatematik ... 93.3 Möte med matematik ... 10
3.3.1 Matematikens övergång till de senare skolåren ... 11
3.4 Det matematiska språket... 12
3.5 Verklighetsanknytning... 15 3.6 Problembaserad inlärning ... 16 3.7 Praktisk matematik ... 18 3.8 Lärarens roll... 19 4 METOD... 20 4.1 Urval ... 20 4.2 Datainsamlingsmetoder ... 22 4.2.1 Intervju ... 22 4.2.2 Observation ... 22 4.3 Genomförandet ... 22 4.4 Pilotstudie... 23 4.5 Databearbetning ... 23 4.6 Tillförlitlighet... 25 5 RESULTAT ... 27
5.1 Vad innebär praktisk matematik för lärare? ... 27
5.2 I vilka situationer/matematikavsnitt arbetar man med praktisk matematik? ... 28
5.3 Vilka fördelar och vilka svårigheter medför det att arbeta med praktisk matematik? ... 28
5.4 Hur arbetar man med praktisk matematik?... 31
5.5 Vad avser lärare att uppnå genom ett praktiskt och konkret arbetssätt?... 32
5.6 Klassrumsobservationerna ... 32 6 DISKUSSION ... 36 6.1 Slutsatser... 41 LITTERATURFÖRTECKNING ... 44 BILAGA 1 ... 46 BILAGA 2 ... 47
1. Inledning
Under min tid på lärarutbildningen med inriktning mot matematik och lärande, har vikten av att barn inser betydelsen kunskaper i matematik tydliggjorts. För att uppnå detta är det viktigt att vi som lärare lägger en bra grund för det matematiska lärandet där elever sedan kan bygga vidare sina erfarenheter. Vidare har vi i vår utbildning lärt oss att det är av stor vikt att vi utgår från elevernas verklighet och arbetar på ett konkret och praktiskt sätt.
Min egen definition av praktisk matematik är att eleverna ska få arbeta utifrån deras egna erfarenheter och på ett verklighetsförankrat sätt, för att få en förståelse den formella
matematiken. Ett praktiskt arbetssätt för mig är också att de får använda sig av olika material och kunna utöva det inne i klassrummet och utomhus. Att de får arbeta på olika sätt, där de använder alla sina sinnen. Det är också viktigt att de får samtala i grupp och tillsammans lösa matematiska problem, för att utveckla tilltro till det egna tänkandet.
1.1 Bakgrund
Det anses (skolutvecklingsenheten, 2003) att många elever i dag har blivit sämre i matematik, vilket särskilt visar sig, när de kommer upp i de högre skolåren. Anledningen till detta kan vara att undervisningen i matematik är alltför teoretisk och inte alltid verklighetsanknuten. Detta kan då leda till att elever känner sig omotiverade och tycker att matematik är svårt och ointressant. Som lärare vill jag göra matematikämnet roligt och intresseväckande, så att eleverna inte tappar lusten för ämnet. Det är även av stor betydelse att eleverna känner tillit till sitt matematiska kunnande genom att uppnå förståelse för vad de gör. Regelbundna inslag av praktiska och konkreta övningar i undervisningen skulle gynna den matematiska
kunskapsutvecklingen och minska risken för ovilja mot matematik.
Under min verksamhetsförlagda tid på lärarutbildningen har jag uppmärksammat att eleverna i stor utsträckning arbetar med abstrakta övningar och mekaniskt räknande i sina läroböcker. Därför vill jag utöka min kunskap om hur praktisk matematik kan fungera och framförallt vad ett sådant arbetssätt leder till för elevers vidkommande, d.v.s. vilken betydelse det har för deras matematiska kunnande. En annan fråga är om den traditionella undervisningen och användandet av läroböckerna kan kompletteras genom mera varierande konkreta och aktiva inslag under matematiklektionerna.
Själv känner jag en viss osäkerhet om hur man ska gå tillväga med att arbeta med praktisk matematik. Därför vill jag med detta arbete stärka min tro på att det går att arbeta på ett praktiskt arbetssätt, genom att ta reda på hur man ska gå tillväga och även varför. Jag skulle också vilja sätta mig in i varför man inte ser så mycket av praktisk matematik ute på skolorna.
Det är många frågor som har dykt upp under de sista åren på lärarutbildningen och som jag hoppas får svar på. Jag vill inte själv vara den bidragande faktorn till att mattelektionerna blir för abstrakta och att eleverna tappar lusten.
2. Syfte
Syftet med undersökningen är att ta reda på vad det innebär att arbeta med praktiskt
matematik. Jag vill därför veta vilka idéer kring praktisk matematik som finns bland lärare, hur de förhåller sig till praktisk matematik och hur de lägger upp sin undervisning utifrån detta. Jag vill även se vilken betydelse det har med att arbeta på ett praktiskt sätt för att utveckla elevers matematiska kunnande.
Under min utbildning har jag kommit till insikt om att man bör arbeta mycket med praktisk matematik, men samtidigt inte behöver använda sig lika mycket av läroboken. Eventuellt kan jag få veta om det är möjligt. Mitt antagande är att det genom denna undersökning även framkommer om det finns hinder, då det gäller att arbeta med praktisk matematik. I så fall finns det anledning att begrunda och ta lärdom av sådan upplysning.
2.1 Frågeställningar
1. Vad innebär praktisk matematik för lärare?
2. I vilka situationer/matematikavsnitt arbetar man med praktisk matematik?
3. Vilka fördelar och vilka svårigheter medför det att arbeta med praktisk matematik? 4. Hur arbetar man med praktisk matematik?
3. Teoretisk bakgrund
I min teoridel kommer jag att ta upp olika områden som berör min undersökning. Framförallt är det teorier om vad lärare ska tänka på när de ska börja undervisa matematik i de första skolåren. Eftersom det är här eleverna möter det matematiska språket är det då viktigt att läraren stöttar eleven när han eller hon ska tillägna sig det formella språket. Jag kommer också att ta upp om hur man ska går tillväga för att eleverna ska få en förståelse för tal- och begreppsuppfattningen. Teoridelen kommer att handla om varför man bör arbeta praktiskt för att eleverna ska få en förståelse av den formella matematiken, och kunna gå från praktik till teori.
3.1 Styrdokument
Skolan har olika styrdokument som läraren ska följa, Läroplaner för det obligatoriska
skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet (Lpo 94, Skolverkets läroplan från 1994) och kursplaner (Skolverket, 2000). Här följer några olika punkter i ämnet matematik som
behandlar min undersökning, praktisk matematik.
Enligt kursplanen i matematik gäller att:
• ••
• Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundande beslut i vardagslivets många valsituationer, för att kunna tolka och använda det ökande flödet av information och för att kunna följa och delta i beslutprocesser i samhället. •
••
• Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem (Skolverket, 2000 s. 26).
• ••
• Andra problem behöver lyftas ur sitt sammanhang, ges en matematisk tolkning och lösas med hjälp av matematiska begrepp och metoder. Resultaten skall sedan tolkas och värderas i förhållande till det ursprungliga sammanhanget.
• ••
• För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskap om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. (Skolverket, 2000 s. 27-28)
Läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, förskolan och fritidshemmet (Lpo94)
Skolan ska ansvara för att varje elev efter genomgången grundskola: •
••
• behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet, •
••
• utvecklar nyfikenhet och lust att lära, •
••
• lär sig att utforska, lära och arbeta både självständigt och tillsammans med andra
• ••
• tillägnar sig goda kunskaper inom skolans ämnen och ämnesområden, för att bilda sig och få beredskap för livet. (Skolverket, 2003)
3.2 Skolmatematik
Unenge (1994) anser att matematiken i grundskolan har använt sig för lite av allmänbildning, som att kunna tolka information, kunna följa resonemang eller skatta rimligheter av storheter med mera. Detta anses som viktiga inslag i en demokrati, eftersom det förutsägs att varje individ ska kunna ta ställning i politiska eller andra viktiga frågor. Det har visats i undersökningar att människor har svårt för att tyda tidningsnotiser och kunna göra dessa hanterbara och översätta dem till en annan kontext.
Ett problem med ämnet matematik är att det verkar vara svårt att fånga elevernas intresse (Unenge, 1999). Sandahl (1997, s.6) skriver att man i de senaste läroplanerna, Lgr 80 och Lpo 94, har försökt påvisa hur viktigt det är att eleverna behåller ett intresse för och nyfikenheten på matematiken ”Matematikundervisningen skall ta tillvara elevernas nyfikenhet och
fantasi…” (Lgr 80,s99) Skolan skall sträva efter att varje elev utvecklar nyfikenhet och lust att lära” (Lpo 94,s 17). Unenge (1999) tror att en av orsakerna kan vara att det är svårt att
identifiera ämnet; vad är egentligen skolmatematik och vad ska ämnet innehålla? Han menar att ämnet ska ge kunskaper som ska leda till en allmän medborglig bildning. Samtidigt anser han att matematik inte finns i vardagen som ett eget ämne och det leder till att eleverna får en identitetskris. Därför måste matematiken i grundskolan utgå ifrån elevernas egna vardagliga situationer som är verkliga och rimliga.
Sandahl (1997) anser också att skolan bör klargöra matematikens roll i vardagen, genom att visa och respektera att den kan anta olika skepnader, utformas på olika sätt där räknandet, det tekniska, inte bör ha så framträdande roll. Matematiken i skolan har alltid presenterats likartat genom alla år för eleverna. De har blivit undervisade i ämnet, men aldrig blivit delaktiga i vad matematik är. ”Eleverna har oftast mött dekontextualiserade språkliga påståenden och
matematiska symboler i läroböckerna (s. 117)”. I alla kursplaner för matematik har betydelsen av praktisk färdighet i räkning betonats. Eleverna uppfattar att det viktigaste är att lära sig tekniken och att räkna så många uppgifter som möjligt.” Varför ska jag lära mig det här” är inte en ovanlig fråga, enligt Sandahl (1997).
Det verkar som om eleverna inte överger sina vardagliga föreställningar mot dem som presenteras i skolan. Sandahl tror att vardagskunskaper är funktionella, inte i ett skolsammanhang, utan i sin vardagliga kontext.
3.3 Möte med matematik
Ahlberg (2000) säger att när barnen börjar skolan kan de tycka att läroboken är rolig och spännande, men efter några års användande av boken kan elevernas lust successivt gå
förlorad. Eleverna kan till sist få den uppfattning att räkning är bara till för att lösa uppgifterna i boken, i stället för att försöka få en förståelse. Problemet kan leda till att eleverna inte inser att matematiken ska vara som ett redskap och som kan användas när de löser problem i skola och i vardagslivet. Undervisningen idag kan vara att eleverna uppfattar räkning på ett fel sätt, att det är viktigt komma fram till det rätta svaret på kortast tid.
Ljungblad (2001) finner att det är många lärare idag som oftast väljer bort läromedel under det första skolåret och kanske även andra skolåret. Istället arbetar man med antalsuppfattning och gemensamt med problemlösningar med olika svårighetsgrader. Det här gör att eleverna kan diskutera och dela med sig utav varandras olika tankesätt. När den formella matematiken börjar ta form kan man börja med flera läromedel i elevgruppen. Det är viktigt att tänka på elevernas individuella behov när man arbetar med den formella matematiken, inte efter vilken lärobok läraren tycker bäst om.
Eleverna har oftast egna erfarenheter och upplevelser ifrån sitt vardagsliv. När eleverna kommer till skolan har de oftast svårt att förklara hur de tänker när de ska lösa ett problem. Deras sätt att tänka skiljer sig markant ifrån den formella matematiken som finns i
läroböckerna som är uppbyggd på skriftliga symboler, räkneprocedurer och abstrakt tänkande. Om barnet utsätts för formell matematik för tidigt, kan det bidra till att barnets tidigare
erfarenheter kan upplevas som ett hinder och att deras eget tänkande inte accepteras. Det här kan leda till negativa följder för elevernas fortsatta skolgång. Barnet är van vid att använda sig av informella metoder när de löser matematiska problem i vardagslivet (Ahlberg, 2000).
Malmer (1992) anser att skolan bör ta vara på och utveckla elevernas kreativitet, genom att ge ett större utrymme åt elevaktiverande verksamhet.
Hedrén (2001) anser att eleverna måste lära sig att finna sin egen väg genom matematiken och lära sig att använda egna metoder för beräkningar innan de får lära sig algoritmer. Han anser också att man bör diskutera om och när man ska lära ut dessa algoritmer. Aktivitetsteoretikern Tolman (1999) (enl. Eriksson, 2004) påstår att ett för tidigt införande av aritmetisk kunskap kan leda till att elevens förmåga hämmas i deras vidareutveckling. Detta kan undvikas genom att läraren får en kännedom om elevens tidigare aritmetiska kunskap.
Efterhand som eleverna utvecklat sina egna tankegångar, kan läraren förfina dessa fram till standardalgoritmen. Därefter kan eleverna själva välja vilken metod de ska gå tillväga med. När eleverna kan lösa olika algoritmer på olika sätt, behöver de inte arbeta lika mycket praktiskt längre (Hedrén, 2001).
3.3.1 Matematikens övergång till de senare skolåren
I skolår 4-5 kan undervisningen börja kännas mer teoretisk och det är mycket mer enskild räkning än tidigare. Eleverna har byggt upp en kunskap som lärarna kan bygga vidare på. Här är det viktigt att försöka hålla elevernas motivation uppe för matematiken, eftersom det leder till en lust att lära.
I rapporten Lusten att lära (Skolverket, 2003) står det att i ämnet matematik märks det redan en skillnad mellan elevernas olika kunskapsnivåer i årskurs 4-5 och att det förstärks under resten av deras skoltid. Många elever upplever att de bara får göra det de kan och aldrig känna någon utmaning i matematiken. Istället hade eleverna gärna upplevt mer variation i
undervisningen. I grundskolans senare år har det genom intervjuer och observationer visats att en modell dominerar undervisningen. Den ser oftast ut som så att det ibland är genomgång av läraren, därefter arbetar eleverna enskilt med boken och läraren går runt och hjälper eleverna. Det här kan leda till att eleverna upplever undervisningen enformig och abstrakt och lusten för att lära försvinner lätt och kan leda till skoltrötthet. I Lusten att lära (Skolverket, 2003) och
Vän med matematiken (2003) står det skrivet att när eleverna arbetar enskilt kan det leda till
att de får en känsla av att de inte ska hinna med alla moment och inte få en förståelse av det de gör. Det här kan medföra att läraren försöker hjälpa eleven genom att ”lotsa” förbi alla
olika sätt att tänka kring ett problem. Förståelsen är viktig för att kunna lära sig matematik. Lärarna kan uppleva att det är svårt att hitta på andra arbetsformer, som ett planerat
elevsamarbete, gemensamma samtal kring ett matematiskt problem och logiska
lösningsstrategier eller laborationer. Det är viktigt att läraren tänker på att färdighet går före förståelse.
3.4 Det matematiska språket
Ahlberg (1995) nämner att det finns forskning som har visat att barn själva upptäcker och använder matematik när de löser t.ex. additions- och subtraktionsproblem i sitt vardagsliv. När barnen börjar skolan kan det uppstå problem som innebär att de inte känner igen den formella matematiken, eftersom den är olik barnets tidigare lösningsmetoder. Enligt Ginsburg (1983) (enl. Ahlberg, 1995) kan det uppstå en klyfta mellan barnets personliga språk och det formella matematiska symbolspråket och det kan leda till att elevernas informella kunskaper inte tas tillvara i undervisningen. Detta leder till att eleverna automatiskt övergår till skolans formella matematik (Ahlberg, 1995). Kronqvist (1993) anser att det är bättre att vänta med siffror och symboler och i stället koncentrera sig på ett muntligt arbetssätt med de fyra räknesätten.
Pedagogen bör möta eleven på vägen för att kunna nå fram till deras tänkande och språk. Detta leder till en möjlighet för eleven att förstå och utveckla den kunskap som de redan bär på (Solem & Rikerås, 2004).
Vid skolstarten är den formella matematiken ett okänt språk för eleverna. I Solem & Reikerås (2004) beskriver Johansen Høines (1998) en mall hur man kan stötta barnen i deras språk när de ska tillägna sig och kunna använda i matematiken det formella språket. Detta sker i tre faser:
Fas 1
Barnet arbetar med informell matematik.
Här ska barnet skaffa sig nya kunskaper inom redan kända språkstrukturer. Man ska stärka barnets begrepp och språk.
Fas 2
Barnet ska successivt tillföras ett formellt språk.
Barnet erbjuds det formella språket parallellt med att det använder egna språkuttryck. Fas 3
Barnet arbetar inom det matematiska symbolspråket. (Solem & Reikerås, 2004, s. 296)
Malmer (1990) är också intresserad av barns sätt att uttrycka sig och hur man utifrån detta kan lägga upp sitt arbete inom matematiken. Malmer bedrev under åren 1981-1984 GUMA-projektet, där hon arbetade med teori kring den informella matematiken och som några andra författare (Solem & Reikerås, 2004, Kronqvist, 2003) har tagit del av.
Projektbeskrivningen innehåller fyra steg, som kan beskrivas med följande processkedja:
Tanke - Man lär känna barns tankar och erfarenheter och ser till att deras matematikerfarenheter förmedlas på olika sätt.
Handling – Hur föremål i samspel med kreativitet utgör grunden för ett laborativt arbetssätt, det vill säga visuellt arbetssätt. Eleverna kan här pröva sig fram och göra iakttagelser i matematiken och komma fram till olika sätt att lösa ett problem.
Språk – Man övar på det matematiska berättarspråket, genom att använda sig av räkneberättelser både muntligt och skriftligt. Det inre språket är det som bygger upp
begreppsinnehållet, där i sin tur den verbala kommunikationen med andra elever styrker och utökar begreppen. Därefter skapar eleverna bilder som blir mer symbolliknande.
Symboler – Här i det fjärde och sista steget beskriver man hur barns räkneberättelser kommer i uttryck med sina erfarenheter och begrepp i symbolspråkets värld, dvs. det formella språket, som är ett mål med all matematikundervisning. (Solem & Reikerås, 2004, Kronqvist, 2003, Malmer 1990)
Genom dessa mallar vill Johansen Høines (1998) och Malmer (1990) visa att barnets
uttryckssätt skiljer sig från det formella matematikspråket. De anser att barns egna uttryck ska användas parallellt, eftersom de är värdefulla. I högre klasser anser Johansen Høines att de räknesvårigheter som många barn har, beror oftast på språkproblem (Solem & Reikerås, 2004).
Begreppsuppfattning
När läraren förmedlar begrepp förstår barnen inte alltid vad läraren försöker förmedla. Här kan språket vara ett hinder för elevens förståelse för begreppsbildningen. Eleven kan redan ha en kunskap om begreppet, men saknar den verbala förmågan att uttrycka sig (Malmer, 1992). Hedrén (2001) nämner att redan 1947 betonar Lindström (1997) i sin bok Räknemetodik att man istället bör börja med att koncentrera sig på att utveckla elevernas begreppsuppfattning och att det oftast leder till att deras räknefärdighet blir både säkrare och varaktigare. Ahlberg (2000) anser att eleverna även måste få möjlighet till att samtala och reflektera över sitt och andras tänkande. Förutom att tala behöver eleverna också få arbeta med olika uttrycksmedel
som att skriva och rita. Eriksson (2000) menar att begreppsbildning sker också bättre när eleverna får arbeta i par än vid individuellt arbete.
Vid begreppsinlärning bör eleverna enligt Ahlberg (2000) helst börja med konkreta handlingar där de använder sig av olika perceptionsvägar, som känsel, syn och hörsel. Därefter kan de övergå till språkliga formuleringar. Genom att använda sig av de olika perceptionsvägarna kan eleverna få olika synvinklar på tal som ”sammansatta enheter” och vidareutveckla en förståelse mellan talens delar och helheter. Kronqvist (1993) säger att om eleverna får arbeta med händerna kan det vara en hjälp till att strukturera sitt tänkande. Det är bra om läraren är som ett stöd under elevernas aktiva arbete, eftersom ord då kan bli
efterfrågade. Orden faller in i det eleven gör och upplever och får de en verklig innebörd.
Taluppfattning och samband
Taluppfattning är det grundläggande begreppet i matematik. Eftersom det är viktigt att ha all kunskap i matematik att man har en god uppfattning och bild av talen, deras storlek och inbördes relationer (Unenge m.fl., 1994). Det finns olika sätt att ge uttryck för ett talvärde, som att ta hjälp av verkliga föremål, räkneord som uttalas muntligt eller skrivs ner och symboler som kan bestå av siffror (Kronqvist, 1993).
Redan i 2-3 årsåldern lär barn sig de första räkneorden. Barnen är tidigt intresserade av att utforska sin omgivning, men också sin kropp (Kronkvist, 1993). När barnet börjar skolan har de en talrad, det vill säga de kan rabbla upp några tal, till exempel 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10 och så vidare. (Unenge m.fl., 1994). Malmer (1990) tror att det beror på att barn har mött tal i olika sammanhang. För att barnet ska få en god taluppfattning är det mycket som ska samspela. Man kan då tillämpa den monografiska metoden, som innebär att man låter de olika räknesätten samverka och ta stöd av varandra. Genom att använda talen allsidigt utan att samtidigt införa symboler, kan man på ett friare sätt ta vara på och samtala om olika räknehändelser från vardagslivet.
Vikten av konkretisering Språket är förbleknande metaforer. Nästan varje ord, som nu betecknar ett begrepp, var fordom en bild.
Esaias Tegnér
Det är viktigt att man konkretiserar matematiken, och gör den mer begriplig för eleverna, genom att använda konkret material eller andra tillvägagångssätt som till exempel spel och lek. Som lärare vill man gärna ge eleverna olika bilder av ett matematiskt begrepp, metaforer, det vill säga ge en yttre bild av ett matematiskt påstående. Det är viktigt att ge eleverna många exempel som kan bredda deras föreställningar av tal, geometri och andra begrepp och
sammanhang inom matematiken (Unenge m.fl., 1994). Upitis (1997) menar också att: “By using concrete objects and recording their findings, children are not only more likely to remember what they have been taught, but indeed, they are more likely to discover for themselves certain concepts that were previously presented solely by the classroom teacher” (Upitis & Higginsson 1997, s. 131).
För att synliggöra matematik för eleverna finns det bland annat färdigt material som kan användas konkret. Det finns till exempel talblock där de kan se talen, genom att på olika sätt dela upp en helhet i delar och därefter föra samman dessa till helheter igen. Dessa talblock ger eleverna ett sätt att förstå sambandet mellan addition och subtraktion. Eleverna kan också använda sig till exempel av naturligt material som de själva har plockat ihop i naturen. Utifrån detta kan de själva problematisera och reflektera utifrån sitt lärande (Ahlberg, 2000).
3.5 Verklighetsanknytning
Ordet vardagsanknytning kan brukas på två sätt. Dels genom att beskriva hur den enskilda eleven använder sina erfarenheter när han eller hon verklighetsanknyter. Det andra är hur lärarens ambitioner knyter an elevernas erfarenheter i ämnet matematik. När läraren vardagsanknyter undervisningen leder detta till att eleverna ”bygger broar” mellan sitt eget kunnande och kunskapen som de kommer fram (Wistedt, 1992).
Ahlberg (2000) anser att de olika individernas erfarenheter bör tas tillvara i skolan. Eleverna har rätt att få känna igen sig i skolan och få använda och vidareutveckla sitt kunnande. En rad studier tyder på att barn redan i början av skolåldern har hunnit utveckla en informell
kompetens med relevans för matematiken som inte skolan alltid tar tillvara på. Elevernas förståelse utvecklas när de upplever, urskiljer, ser samband eller relaterar saker till varandra. Wistedt (1992) tycker att inlärningen i skolan bör relatera till den utveckling som har skett och som fortlöpande sker i vardagslivet.
Malmer (1990) har en åsikt om att i läroböckerna finns tematiska avsnitt som t.ex. Posten, klockan, skogen med mera, som kan innehålla många övningsexempel. Men uppgifterna är strukturerade och tillrättalagda och dessutom försedda med facit. Verkligheten ser annorlunda ut och istället bör man utnyttja den som en utgångspunkt för undervisningen, för att få
eleverna inse att matematik är som ett redskap. När vi utgår från ”ett stycke verklighet” bör vi bryta ner den till begripliga delar och med detta tillämpar vi ett analytiskt arbetssätt. Inför den fortsatta bearbetningen av delmomenten har eleverna förhoppningsvis fått en uppfattning om sammanhanget. De vet varför de behöver tillägna sig en färdighet och kan därmed känna sig motiverade för inlärning. Malmer har gjort en skiss som visar den interaktion som kan vänta sig kunna tillämpa mellan verkligheten och matematikundervisningen i skolan.
Man utgår t.ex. från en verklig situation, en muntlig skildrad händelse eller från en textbunden information med fakta av olika slag. Sedan kan det vara beroende av vilken nivå
bearbetningen ligger på och i vilken utsträckning eleverna kan överföra verkligheten till ett matematiskt symbolspråk, äri sin tur beroende av vilka begrepp och tankestrukturer de förfogar över (Malmer, 1990).
3.6 Problembaserad inlärning
I kursplanerna har problemlösning för det mesta haft en betydande roll i ämnet matematik. Kursplanen ska även sträva efter att eleven ska utveckla ”tilltro till det egna tänkandet och
den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer”
(Skolverket, 2000). Problemlösning är ett medel för att nå matematiskt tänkande, det vill säga ett sätt att bygga en bro mellan det vardagliga och den traditionella skolmatematiken
(Ahlström, Bergius, m.fl. 2000)
Under matematiklektioner är det ovanligt att elever löser uppgifter gemensamt och diskuterar tillsammans. Fördelen med att låta elever lösa problem är att det leder till ett ökat intresse och att motivationen ökas. Genom att få lösa problem får eleverna även komma med egna förslag
VERKLIGHET Konkret situation Muntlig form Text PERCEPTION Undersökande Laborerande Språklig kompetens ”översätta” BEARBETNING Begrepp Färdigheter Matematisk modell Symbolspråk
och berätta om sina tankar. De får också lära sig att lyssna på vad kamraterna har för förslag och kunna diskutera utifrån detta. Många av eleverna idag kan känna sig osäkra med sin problemlösningsförmåga, speciellt om de redan har matematiksvårigheter. När elever löser problem får läraren ett utmärkt tillfälle att följa diskussionerna och tankegångar som uppstår, och även vara som ett stöd i elevernas formuleringar. Det är viktigt att läraren visar ett engagemang, eftersom det bidrar till elevernas lärande (Ahlberg, 1995).
Hagland med flera (2005) anser att när eleverna får arbeta med problemuppgifter utvecklar de en förmåga till att självständigt tänka, såväl logiskt, som systematiskt och strukturerat. Om eleverna får lösa utmanande problem leder det till en ökad lust till att lära sig mer och
dessutom ett ökat självförtroende. Målet med problemuppgifter i matematik är att ge eleverna en förberedelse för att i framtiden kunna lösa matematiska problem i sitt vardags- och
yrkesliv. En elev utvecklar också sitt lärande om hon utsätts för en kognitiv konflikt, d.v.s. när uppfattningar inte motsvarar andra elevers eller med redovisade fakta och slutsatser. Om läraren arbetar utifrån det här, leder det till att eleven själv upptäcker när hon eller han har fel eller inser sina misstag. Om man låter eleverna tillsammans diskutera kring ett problem eller betydelsen av ett matematiskt begrepp, får de en möjlighet att bygga på och fördjupa sina tidigare förvärvade kunskaper. Problemlösning är inte bara för de som har räknat färdigt i läroboken, utan det är även till för de som har svårigheter i matematik.
Berggren & Lindroth (1997) anser att problemlösning kan delas upp i två delar, den konkreta där det handlar om vardagsproblem med laborativa lösningar och den som kräver mer
formella matematiska lösningar. Om man arbetar med ett konkret laborativt problem och fördjupar det genom att söka den matematiska formeln för lösningen så har man ett problem som knyter ihop delarna. Haglund med flera (2005) menar att med problemlösning får eleverna träna upp sina färdigheter och sitt symbolspråk och även utveckla
begreppsförståelsen inom olika matematiska områden.
Malmer (1990) anser att det är ett för stort steg mellan det praktiska handlandet och förmågan att beskriva det med ord. Det är även ett stort steg att kunna formulera händelsen i ett
symbolspråk. Malmer har beskrivit hur man kan gå tillväga när du ska arbeta med problemlösning. Hon har delat in det tre olika lösningsnivåer:
Göra – pröva; Den praktiska lösningen, där eleverna förses med material, där de får plocka eller laborera själva. Läraren utformar undervisningen på ett sätt där eleverna får undersöka, upptäcka och uppleva räknehandlingen.
Tänka – tala; Den muntliga lösningen, där eleverna får beskriva med verbalt vad de har sett och gjort. Förser man eleverna med material så är det lättare för dem att beskriva vad de har gjort och beskriva slutsatser som de har kommit fram till.
Förstå – formulera; Den formella lösningen, menas med att när barnen kan behärska att muntligt berätta och beskriva räknehändelser, kan de övergå till det matematiska
symbolspråket. Börjar eleverna för tidigt med användandet av symboler kan det leda till att eleverna inte förstår sammanhanget.
3.7 Praktisk matematik
Det är vanligt att många frågor kan dyka upp i ett arbete med praktiskt matematik. Vågar man släppa fram och ta vara på elevernas kreativitet? Kanske är man som lärare oroliga att man inte ska hinna med kursen, att inte kunna svara på elevernas frågor eller att inte bli tagen på allvar (Malmer, 1992). Det hela handlar mycket om lärarens attityd för matematik, att man känner sig trygg i sin lärarroll (Malmer, 1990).
Kronqvist anser att många barn har svårigheter med de formella sidorna av matematikämnet samtidigt som de ser ner på laborativa inslag. Laborativ matematik kan vara en riskabel verksamhet om den används för att få fram rätta svar på meningslösa formella frågor.
Svårigheter med sådana frågor leder oftast till ett ointresse, olust. Därför är det viktigt att den formella matematiken beskrivs som ett mål och se till att arbetet med den informella
matematiken blir ett medel för att i framtiden bli säkrare på den formella (Kronqvist, 2003). I förskolan finns möjligheter att påverka barns kunskaps- och ämnessyn så att matematik också förknippas med föremål, handling, språk, samarbete och eftertänksamhet, lika väl som att finna ett svar. Förskolan har förutsättningar att medvetet arbeta för ett socialt, tålmodigt, förståelseinriktat och lekfullt synsätt på matematiska begrepp och färdigheter (Kronqvist, 2003).
3.8 Lärarens roll
När man vill förändra sin undervisning till ett mer praktiskt utövande anser Malmer (1990) att det är vanligt att läraren tar den vardagliga undervisningen som utgångspunkt. Förändringen måste ske i en långsiktig process där det är läraren som är drivkraften.
Det är viktigt att ingen praktik ska vara teorilös. Teorier kan tyckas ligga långt ifrån den konkreta verkligheten. Innan man börjar med arbetssättet är det viktigt att man först analyserar sitt arbete, genom att ta hjälp av följande punkter. Syftet med
matematikundervisningen är samhällets styrdokument och även viktigt att tänka på att de går ihop med lärarens värderingar. Läraren måste analysera och titta på målen, genom att titta på vad kursplanerna står för. Centralt utarbetade prov fungerar utmärkt som tecken där det visar elevens svårigheter. Även lärarens egna observationer och erfarenheter påverkar
utformningen av arbetet. Undervisningen bör ersättas mer av inlärning, det vill säga att lärarens roll ska minskas och ersättas mer av elevaktiverande arbetssätt. Där är stoffet och processen viktigare än formen och resultatet (Malmer, 1990).
I rapporten Vän med matematiken (2003) anser författarna att det i matematikundervisningen är viktigt att en röd tråd sträcker sig genom alla stadier. Läraren måste känna till innehållet, målen och didaktiken i de övriga årskurserna, genom att följa detta får eleverna en kontinuitet som behövs för de ska kunna konstruera och strukturera sin kunskap. Lärarna bör använda sig av samma begrepp så att de matematiska uttrycken blir tydliga. Kronqvist (2003) menar att det är lika viktigt att skolans personal tar del av barnens tidigare matematiska utveckling, som att förskolan tar del av skolans matematik och styrdokument. De lärare som arbetar med en formell matematik måste ta reda på de tidigare informella egenskaperna i de matematiska begreppen. Det krävs kunskap och förmåga att analysera barns utveckling av barns
matematiska begrepp. Ljungblad (2001) beskriver också att för varje gång eleven byter lärare förloras det information om hur långt eleven är i sin matematiska utveckling. Det är inte speciellt utvecklande för barnet att börja om hela tiden. Ljungblad nämner att Vygotskij formulerade med följande ord: ”Pedagogiken måste orientera sig mot morgondagen i barnets utveckling och vända sig bort från gårdagen” (s. 39).
4 Metod
Genom min undersökning vill jag ta reda på hur lärare arbetar med praktisk matematik och vad eleverna anses uppnå genom ett praktiskt och konkret arbetssätt. För att finna svar på detta utgår jag från följande frågeställningar:
• ••
• Vad innebär praktisk matematik för lärare? •
••
• I vilka situationer/matematikavsnitt arbetar man med praktisk matematik? •
••
• Vilka fördelar och vilka svårigheter medför det att arbeta med praktisk matematik? •
••
• Hur arbetar man med praktisk matematik? •
••
• Vad avser lärare att uppnå genom ett praktiskt och konkret arbetssätt?
Inledningsvis har jag studerat litteratur om tidigare rön och teorier, som är relevanta för denna undersökning.
4.1 Urval
Undersökningen fokuseras på lärare och elever i skolår 1 – 5 med tyngdpunkt i år 3. Varför jag valde just denna åldersspridning var för att se en kontinuitet i matematikundervisningen. Jag vill också se hur lärare förhåller sig till praktisk matematik och i vilken omfattning de använder sig utav läroböcker. I årskurs 3 har lärarna oftast följt eleverna från årskurs 1. Därför kan man även se hur de har lagt upp sin undervisning utifrån detta, på ett sätt där eleverna har utvecklat sin begrepps- och taluppfattning. I årskurs 4 och 5 kommer jag att undersöka hur lärare byggt vidare på sin undervisning, för att eleverna ska utveckla sitt matematiska kunnande.
För att uppnå så god tillförlitlighet som möjligt för en studie av denna storlek vände jag mig till tre skolor (skola A – C) belägna i olika typer av bostadsområden. Skola A ligger i utkanten av en mellanstor stad och skolorna B och C är belägna i olika typer av bostadsområden i en lite större stad.
Skola A ligger i ett villaområde och är en F-9 skola.
Skola B är en 2-parallellig år F - 6 skola och ligger i ett villaområde i utkanten av staden och anses som ett lugnt område. Ett fåtal av eleverna har invandrarbakgrund.
Skola C ligger i ett höghusområde med hög invandrartäthet och har lite mer problem på skolan. Här undervisas elever i alla åldrar i 2 - 3-parallelliga klasser. Övervägande antal elever har inte svenska som första språk.
På dessa skolor valde jag klasslärare som undervisar i matematik. Eftersom jag ville göra en pilotstudie, för att få en bättre bakgrund för min studie, vände jag mig först till en år 6- lärare, som jag visste arbetade mycket med praktisk matematik. Övriga lärare är inte heller
slumpmässigt utvalda, utan är valda via kontakter. Meningen var att jag skulle intervjua åtta lärare, men en av dem fick förhinder. Slutligen blev det sju lärare på tre skolor som ligger i två olika städer, där två av skolorna är belägna i olika stadsdelar i samma stad och där den ena skolan består av många nationaliteter. Det kan vara av intresse att se hur lärarna lägger upp sin undervisning när det finns så många nationaliteter, eftersom språket kan ha en speciell betydelse.
Jag valde också att göra klassrumsobservationer för att se hur lärare tar sig an undervisningen jämfört med vad de berättade i intervjun. Observationerna genomfördes i årskurserna 2A, 3B, 4C och 6A. Valet av observationer blev slumpmässigt, eftersom det blev där det passade bäst för läraren. Det fanns inget tillfälle att vara hela dagar på skolorna p.g.a. tidsbrist. Jag hade frågat om tillstånd vid samma tidpunkt som när jag bestämde möte med lärarna.
Presentation av lärarna
Läraren i pilotstudien är en man. För övrigt är alla utom en lärare, som jag intervjuade kvinnor. Nedan följer en beskrivning av lärarna utifrån utbildning och antal arbetsår som lärare. De benämns med skola och siffra, som anger i vilken årskurs de arbetar. I skola B intervjuades två lärare (= B3:1 och B3:2)
Lärare A6 (pilotstudie): har idrott som huvudämne, men dragit ner på sitt ämne, eftersom han läste en breddkurs på lärarutbildningen med inriktning matematik. Han går in några gånger i veckan i mellanstadieklasser och utövar praktisk matematik.
Lärare A1: har arbetat i ett år och har matematik som inriktning. Lärare A2: har sv/so som inriktning och har arbetat i 30 år Lärare B3:1: har arbetat i ca 20 år och har inriktning matematik. Lärare B3:2: har arbetat i ca 30 år och har inriktning matematik.
Lärare C3: har arbetat i 3 ½ år och har sv/so som inriktning, men har läst 5 poäng matematik. Lärare C4: har också arbetat som lärare i 3 år och har följt sin klass sedan årskurs 1. Hon är utbildad till 1-7 lärare med inriktning ma/no.
4.2 Datainsamlingsmetoder
Jag valde att använda mig av intervju och observation som undersökningsmetoder.
4.2.1 Intervju
Undersökningen grundar sig på strukturerade intervjuer, d.v.s. att jag använde mig av fasta frågor som ställdes till lärarna (Johansson & Svedner, 2004). Jag använde mig av frågor där den svarande kunde formulera sig med egna ord. För att få en struktur i samtalet hade jag en intervjuguide att utgå ifrån (bilaga 1). Metoden användes för att ta reda på lärarnas syn på praktisk matematik. Eftersom jag ställde öppna frågor till lärarna fick jag ett bredare svar om deras ståndpunkter. Genom att ställa liknande frågor till samtliga sju lärare blir det lättare att jämföra svaren.
4.2.2 Observation
För att få tydligare svar på mina frågeställningar valde jag att utföra klassrumsobservationer. När jag utförde mina observationer använde jag mig utav ett löpande protokoll (Johansson & Svedner, 2004), där man observerar och med egna ord beskriver ett skeende. Varför jag valde att använda mig utav observation var för att få reda på hur lärarna arbetade med praktisk matematik och dra paralleller med vad de sa under intervjun. Jag ville även se hur eleverna arbetade, om de använde sig av konkret material och iaktta hur de tycktes uppleva
undervisningstillfället.
Som underlag hade jag ett observationsschema (bilaga 2).
4.3 Genomförandet
Intervjuerna
Innan jag genomförde mina intervjuer ringde jag först lärarna och frågade om lov och berättade vad undersökningen skulle handla om, så att de kände sig förberedda. Varför jag utförde intervjun var för att se hur lärarna arbetade och även se vad deras syfte var bakom praktisk matematik. Intervjun gjordes ostört i grupprum eller klassrum. Jag använde mig av en diktafon under intervjuerna, för att det inte skulle bli en stapplande intervju och framförallt att man inte missar något viktig information. Fördelen med diktafon var också att det är lättare att koncentrera sig på vad intervjuaren berättar och följdfrågor kunde komma mer spontant.
Observationerna
Genomförandet av klassrumsobservationerna utfördes hos lärarna i årskurs 2A och 6A, åk 3B och hos läraren i 4C. Att det blev så få observationer, berodde på att de andra lärarna inte kunde lägga in en matematik lektion när jag var där. När jag utförde mina observationer satt jag i framför klassen och studerade både läraren och eleverna, genom att använda mig av papper och penna. De klasser som jag studerade bestod av ungefär 25-30 elever.
4.4 Pilotstudie
Syftet med pilotstudien var att belysa möjligheten till hur man kan arbeta med praktisk matematik i skolan. Jag ville också ta reda på mer om vad praktisk matematik innebär och varför man använder sig av arbetssättet. Jag ämnade också pröva mina intervjufrågor för att se om de skulle ge svar på mina frågeställningar. Därför genomfördes både en intervju och två observationer i klass 6A, där läraren arbetar mycket med praktisk matematik.
Det första passet hade läraren först en gemensam Task-uppgift i en helklass där eleverna satt parvis för att lösa uppgiften. När läraren och jag kom in i klassen fick eleverna avbryta det de höll på med. Under tiden som läraren höll i lektionen var klassen engagerad i Task-uppgiften. I det andra passet hade läraren tagit fram några problemlösningsuppgifter som utfördes med 4 elever. Att det var så få elever i sista passet var för det var elevens val. När jag utförde de båda observationerna satt jag vid sidan om gruppen och i helklassen gick jag runt i klassrummet och tittade på hur eleverna löste uppgiften.
Pilotstudien kommer jag att komplettera med min nuvarande undersökning i resultat delen, genom att använda mig utav intervjun och observationerna i årskurs 6.
4.5 Databearbetning
För att få svar på mina forskningsfrågor har jag studerat och jämfört resultaten i
intervjuguiden mot varandra. Jag började med att skriva ner svaren och bearbetade dessa. Därefter analyserade jag intervjusvaren för att få en inblick på hur lärarna tog sig an
undervisningen och även finna om det fanns några olikheter och likheter mellan lärarnas syn på praktisk matematik. Sedan tog jag ut de svar som var relevanta för mina forskningsfrågor och för att se om det fanns samband mellan svaren.
Mina observationer renskrevs och bearbetades på ett samma sätt som intervjusvaren. Observationerna jämfördes också med intervjuguiden för att få reda på hur lärarna arbetade med praktisk matematik och även kunna dra paralleller utifrån vad de sa under intervjun.
4.6 Tillförlitlighet
För att få så god uppfattning som möjligt om lärares inställning till och erfarenheter av att använda sig av praktisk matematik i undervisningen, valde jag två kvalitativa
undersökningsmetoder, nämligen intervju och observation. Genom att intervjua lärare och följa upp och komplettera svaren genom att observera vid undervisningstillfällen, ökas tillförlitligheten av metodval och resultat.
Intervjuerna
Den intervjuguide jag utgick ifrån var strukturerad med öppna frågor, vilka samtliga intervjupersoner svarade på. Detta innebar att det vid en jämförelse mellan svaren underlättade att urskilja, om/vilka speciella svarskategorier som förekom.
Uppföljningsfrågorna byggde på de individuella svaren. För att få så hög relevans i frågeställningarna som möjligt gjordes en pilotstudie och därefter modifierades de ursprungliga frågorna något.
Samtliga utvalda intervjupersoner ställde sig positiva till undersökningen och var villiga att deltaga. Min uppfattning är att lärarna svarade uppriktigt och engagerat, vilket stärker tilltron till resultatet.
Observationerna
Vid observationerna utgick jag från ett fast observationsschema för att minska risken att förbise de företeelser jag avsåg att observera. Direkt efter de enskilda observationstillfällena skrev jag ner mina iakttagelser så detaljerat som möjligt. Vid senare bearbetning beaktades de händelser, som var relevanta för studien.
Möjligheten att observera en hel dag på varje skola fanns tyvärr inte till följd av tidsbrist. Genomförandet av observationerna kan ha påverkat mitt resultat, eftersom observationerna plockades ut i samråd med lärarna och att alla lärarna inte kunde planera in någon
matematiklektion när jag var där. Resultatet kan också ha påverkats av att lärarna kan ha planerat de genomförda matematiska momenten enbart p.g.a. mitt besök.
Generaliserbarhet
I och med att jag inte kunde genomföra den sista intervjun med den ena matematikläraren i årskurs 3 på den invandrartäta skolan, kan resultatet ha påverkats. Eftersom läraren har
inriktning matematik och dessutom har fler års erfarenheter än vad lärare 3C har. Det jag ville se var om det finns skillnader på hur lärare förhåller sig till praktisk matematik, beroende på vilken sorts skola de arbetar på.
Jag anser att mina frågeställningar, antalet intervjuer och observationer på skilda typer av skolor utgör ett tillräckligt underlag för att ge svar på mina forskningsfrågor.
För att generalisera resultaten till att gälla andra skolor är underlaget för litet. Utfallet av analysen och tolkningen av resultaten hade kanske blivit bredare, om
undersökningen utförts tillsammans med en samarbetspartner, då det getts möjligheter till diskussioner och ev. öppnats ytterligare infallsvinklar.
5 Resultat
Efter att ha sammanställt mina intervjuer och bearbetat mina klassrumsobservationer, kunde jag dela in svaren i olika kategorier. Resultatet av undersökningen kommer att redovisas utifrån mina frågeställningar. I resultatet kommer jag att lägga till intervjusvar och
observationerna ifrån min pilotstudie, för att få en helhet och även få svar på mina frågor. Lärarna och skolorna är anonyma i resultatet och för att underlätta för läsaren har jag döpt om dem till;
Skola A (Pilotstudien) klass: 1A, 2A, 6A
Skola B klass: B3:1, B3:2
Skola C klass: 3C, 4C och 5C
Resultatet redovisas utifrån frågeställningarna: •
••
• Vad innebär praktisk matematik för lärare? •
••
• I vilka situationer/matematikavsnitt arbetar man med praktisk matematik? •
••
• Vilka fördelar och vilka svårigheter medför det att arbeta med praktisk matematik? •
••
• Hur arbetar man med praktisk matematik? •
••
• Vad avser lärare att uppnå genom ett praktiskt och konkret arbetssätt?
5.1 Vad innebär praktisk matematik för lärare?
Definitionen av praktisk matematik
Alla lärarna var eniga om vad definitionen av praktisk matematik var. De ansåg att det var när de använder sig av olika typer av material som eleverna kan laborera med t.ex. klossar och logiska block. Det leder till att eleverna får en bättre förståelse. Läraren i årskurs 4B påstod däremot att ”eleverna måste få använda de sju sinnena och uppleva matematik, för att arbeta fram förståelsen för matematik”. Hon menade att det kunde vara till exempel att rita, använda sig av naturen för att få en bättre uppfattning om matematiken.
Lärarna i pilotstudien var samstämmiga om att praktisk matematik är när de kopplar ett tal eller en uppgift till verkligheten, det vill säga bakom siffror och begrepp ser de något som är levande. Det kan vara exempelvis att gå ut på skolgården och mäta, plocka olika saker från naturen, räkna på kroppen eller genom att ta pulsen på varandra. Praktisk matematik är när man kopplar ihop teori och praktik, det man kan se och ta på.
De menar att praktisk matematik kan vara när eleverna får arbeta med olika material på ett konkret sätt. Med ett praktiskt arbetssätt är det viktigt att eleverna får använda sina sju sinnen där de får uppleva matematiken, genom detta får de en förståelse och kan därefter koppla praktik till teori.
5.2 I vilka situationer/matematikavsnitt arbetar man med praktisk
matematik?
Praktisk matematik i undervisningen
Lärarna var eniga om att praktisk matematik oftast kommer in i undervisningen när de påbörjat något nytt moment, för att de ska få en förståelse. Läraren i årskurs 4C ansåg att det också var för att få elever att bli intresserade och få aha-upplevelser. Praktisk matematik behöver inte bara komma in i början av något nytt moment, utan läraren i årskurs 3C menar att det kan även komma in till exempel när svårighetsgraden ökar eller om eleven bara behöver repetera något som han eller hon inte har förstått. Sen är det de elever som är svaga i matematik som fortfarande använder sig av material.
När läraren i årskurs 3B:1 arbetade med praktisk matematik i en längre period, upplevde hon att eleverna kunde bli otåliga efter ett tag, eftersom de istället ville jobba i räkneboken. Matematik för eleverna är att få hålla på med räkneboken.
Situationer där man arbetar praktisk matematik är oftast när läraren ska gå igenom något nytt moment eller om eleverna behöver repetera något igen. Arbetssättet används också vid tillfällen där svårighetsgraden i matematik ökar och för att fånga elevernas intresse för matematik. Det är också bra att det finns material till hands för elever med
matematiksvårigheter.
5.3 Vilka fördelar och vilka svårigheter medför det att arbeta med
praktisk matematik?
Begränsningar när man arbetar praktiskt
Lärarna i 3B:1 och 2 önskade att det fanns mer tid till ett praktiskt arbete och att det fanns fler resurser för att kunna halvera klassen, eftersom det är lättare att arbeta praktiskt med mindre grupper. De önskade också att det fanns en matteverkstad på skolan där eleverna kunde få laborera och undersöka någon gång i veckan.
I årskurs 4C önskade man att det fanns fler lokaler eller grupprum, där eleverna kunde sitta ostört och arbeta till exempel när de ska undersöka och involvera en massa material. Läraren ansåg också att arbetssättet kräver mer planering, men att tiden tyvärr inte räcker till. Läraren i årskurs 3C menade att ett hinder kunde vara ljudet. Hon ansåg att ett arbete med praktisk matematik kunde bli rätt högljutt om de arbetade till exempel med klossar. Eleverna kunde även bli stimmiga efter ett tag. Att inhandla en massa material är en dyr kostnad. Läraren ansåg sig själv som ett hinder, eftersom hon bara har läst 5 poäng matematik på högskolan. Hon försökte dock ta tips och idéer ifrån andra kolleger och använde sig mycket av
lärarhandledningsböckerna.
I årskurs 5C upplevde läraren att han inte har allt material till alla. Eleverna måste också klara av att arbeta självständigt och det måste de ha fostrats till sedan tidig ålder. Han berättade om en klass som han haft tidigare, där eleverna inte vara vana att arbeta praktiskt. Det urartade många gånger när han försökte arbeta på ett praktiskt sätt. Eleverna var väldigt speciella, eftersom en del hade varit med om fruktansvärda händelser. Efter ett tag blev det mindre praktiskt arbete. Har man extremt jobbiga och stökiga barn, så är det svårt att utföra praktisk matematik.
Hinder:
De svårigheter som medför att arbeta med praktisk matematik är att lärarna upplever att eleverna blir okoncentrerade av högljutt/störande ljud som uppkommer vid arbetssättet. Lärarna känner att de vill ha fler lokaler där de kan dela upp klassen, eftersom det är lättare att utföra något praktiskt när man arbetar med mindre grupper. Då medför det att det finns
resurser som till exempel fler pedagoger till hjälp, mer material som är dyrt att köpa in. Det som också krävs är mer planering.
Fördelar med ett praktiskt arbete
I årskurs 4C upplevde många elever inte alltid någon entusiasm och kände att de inte har någon koll på räkningen. Läraren ansåg om man utför praktisk matematik kan eleverna känna att det är roligt. När man arbetar med barn som inte har svenska som första språk och vars föräldrar inte har gått i skolan i sitt hemland, så är oftast många ord abstrakta. Ju mer praktisk undervisning man använder, desto lättare är det att få en tydligare begreppsbild. På skola C finns det 85 % invandrare och här upplever lärarna att de är tvungna till att använda mer praktiskt matematik.
Många av lärarna är eniga om att eleverna upplevde att det är kul med praktisk matematik och att de får med de flesta, men samtidigt anser lärarna att de måste arbeta praktiskt parallellt med boken.
Att arbeta på ett praktiskt sätt medför att elevernas motivation ökar för matematik och att ämnet upplevs roligare. Fördelen är också att 2:a språks elever får en tydligare begreppsbild genom att arbeta på ett praktiskt arbetssätt.
Lärarhandledningsböckerna
Lärarna i årskurs 3C och 3B:1 och 3B:2 ansåg att lärarhandledningsböckerna kan ge bra tips på praktiska övningar och försökte ta tillvara av det som erbjuds. Medan läraren i årskurs 5C med många års erfarenheter av olika lärarhandledningsböcker, ansåg att böckerna inte hade några kompletta nyheter. Han tyckte istället att lärarhandledningsböckerna är bra när man är nyexaminerad lärare.
Läraren i årskurs 4C tittade inte heller så mycket i lärarhandledningsböckerna, eftersom hon hittar på mer egna praktiska övningar. Anledningen till varför hon inte använder sig så mycket av lärarhandledningsböckerna är för hon anser att de inte är skrivna för en sådan klass som hon har. Hon menade att författarna oftast har utgått från en medelklass med ett visst antal elever och sociala förutsättningar. Läraren anser istället att det är viktigt att utgå från de elever man har och tänka på att alla övningar inte fungerar hos alla elever.
Räkneböcker
Alla lärare använder sig av läroböcker i undervisningen, men önskar mer praktisk undervisning än vad de har i dag. När det behövs kompletterar de boken med praktiska övningar.
Läraren i årskurs 4C sade att eleverna älskade räkneböckerna, eftersom det är en trygghet för dem. Hon ansåg också ”att det är viktigt att tillgodogöra sig teoretisk kunskap. För vilken högskola och utbildning i vuxet liv är utan böcker! Och hur ska vi kunna förbereda eleverna för gymnasiet om de inte kan ta till sig teoretisk kunskap”. När de ska få begreppen när de räknar i böckerna behöver de flesta arbeta på ett konkret sätt för att få en förståelse.
Lärarna på skola A upplevde att de var styrda av läroboken. Läraren i årskurs 2A tyckte att i dagens läroböcker kunde mycket praktisk matematik komma in. Hon menade att man inte behöver avveckla läroböckerna, eftersom det finns mycket där som man kan utnyttja för att gå vidare med praktisk matematik. Lärarhandledningsböckerna är utmärkta, därför att de tar upp bra exempel på uppgifter som man kan göra. Hon kände också att allt inte går att visa
laborativt, eftersom det fanns vissa saker som man måste se på pappret och lära utantill.
5.4 Hur arbetar man med praktisk matematik?
Läraren i årskurs 4C berätta att det är viktigt att eleverna får diskutera med varandra och att man är med dem, men upplevde att det nästan aldrig förekommer i undervisningen.
När lärarna arbetar med praktisk matematik använder de sig av olika sorters material, både köpt och egentillverkat. Lärarna i årskurs 3B:1 och 2 använde sig mycket av knappar, kastanjer och kottar. De berättade också att i ettan var de mer flitiga med att ha praktisk matematik, än vad de är nu i trean. Här håller läraren i B3:1 också med om att det är mer praktiskt i de första skolåren. I skolår tre blir det mer att eleverna räknar enskilt. De olika skeendena i matematik går att illustrera med material och det blir också en helt annan karaktär. Lärarna menade att i trean uppskattar eleverna kanske inte lika mycket arbeta med knappar som i ettan. Det blir mer arbete med till exempel pengar.
Läraren i årskurs 4C tillverkade mycket eget material, eftersom hon ansåg att skolan resurser är begränsade. Det tar också mycket tid när man ska tillverka eget material. Läraren i 5C:an försökte inskaffa material efterhand och genom lån av kollegerna. Han hoppades att om tio år har ett gemensamt förråd med sina kolleger som består av komplett material.
I övrigt använde de flesta lärarna sig av mycket köpt material som centikuber, måttband, vågar, olika mattespel och stavar av ental, tiotal osv.
Begrepps- och taluppfattning
Alla lärare var eniga om hur de arbetar för att eleverna ska få en god begrepps- och
taluppfattning. När de introducerade ett begrepp börjar de kanske med att diskutera det och därefter får eleverna arbeta på ett undersökande sätt. Eleverna får en verklighetskänsla när de får göra det konkret, än att man visar det på tavlan. Därefter kopplar man det till det
de gör. Läraren i årskurs 5C påpekade att han har många svaga elever och för dem är det ett ständigt dilemma att komma ihåg saker. Många barn har svårt för att veta till exempel hur många millimeter det går på en centimeter.
Läraren i årskurs 1A beskrev ett exempel på hur eleverna kunde arbeta med begrepp genom att vara i klassrummet eller ute på skolgården. Där kunde de få öva på att röra sig fritt och placera sig någonstans, när de övade på ord som över, under eller bredvid med mera. Om barn får röra sig på olika sätt och i olika riktningar, utvecklas deras rumsförståelse (Solem & Reikerås, 2004). Läraren ansåg att eleverna får en mer verkighetskänsla när de får göra det konkret, än om de visar det på tavlan.
5.5 Vad avser lärare att uppnå genom ett praktiskt och konkret
arbetssätt?
Praktisk matematik i de tidigare skolåren
Genom att arbeta på ett praktiskt sätt i de lägre skolåren avser lärarna att kunna åskådliggöra matematiken för eleverna. Man vill verklighetsförankra undervisningen och kunna utgå från elevernas egna erfarenheter. Genom ett praktiskt och konkret arbetssätt kan eleverna koppla teori och praktik. Lärarna vill också i de lägre åldrarna att eleverna ska ha fått en tydligare begrepps- och taluppfattning. Med praktisk matematik uppnår eleverna även att kunna se olika mönster och samband i matematiken. Praktisk matematik hoppas man också ska leda till ett ökat intresse och nyfikenhet för matematiken.
Praktisk matematik i de senare skolåren
Lärarna i årskurs 4C och 5C ansåg att i de lägre skolåren leker eleverna fram begreppen, till exempel att fem äpplen är lika många som fem apelsiner. Läraren i 4C:an berättade att ”ju äldre barnen blir, desto mer teori kan du lägga in”. Att man bygger upp kunskap hos eleverna genom att använda mycket praktiskt är för att eleverna ska få en förståelse. Hon fortsätter med att ”det man en gång gjort kanske man inte behöver repetera”. Det vill säga att när man går i fyran kommer man in på andra aspekter. Eleverna associerar och blicka tillbaka genom att de får en bild i huvudet och detta underlättar förståelsen.
5.6 Klassrumsobservationerna
Läraren började med att introducera positionssystemet genom att rita upp fyra rutor som låg vågrätt på tavlan. Därefter visade hon upp ett visst antal tiostavar och frågade klassen hur många stavar hon höll upp och vad de symboliserade. Eleverna som svarade fick gå fram och skriva in i rätt ruta. Läraren gick igenom ental, hundratal och tusental tills det bildades ett tal. De gjorde proceduren några gånger tills hon såg att de flesta eleverna var med. Därefter fick de byta roller genom att en av eleverna fick vara lärare och göra samma sak. Under tiden som de utförde momenten verkade de flesta eleverna engagerade och tyckte att det var kul när de fick vara delaktiga. Det fanns några i klassen som inte riktigt lyssnade på vad läraren sa och gjorde något annat under tiden. Läraren förklarade senare att dessa elever hade svårigheter i matematik. Efter genomgången tog eleverna fram sina räkneböcker och arbetade i lugn och ro. De elever som hade matematiksvårigheter satt i ett hörn av klassrummet med en assistent som hjälpte dem. Det visade sig också att de hade problem med språket. Det ena barnet använde sig av samma bok som klassen och den andra hade en annan bok.
Läraren i årskurs 4C
Under lektionspasset höll klassen på med olika projekt som de skulle göra färdigt. Några av eleverna skulle arbeta med matematik gruppvis. Uppgiften var att de tillsammans skulle försöka rita upp flest metrar på ett papper. Eleverna använde sig av måttband, linjal och tre sorters färgpennor. För varje ny meter skulle de byta färg. Det fanns inte utrymme att göra detta i klassrummet, så eleverna fick sitta ute i korridoren som var strax utanför klassrummet. Eleverna tejpade upp sina stora ark på golvet och satt och arbetade, medan andra icke
tillhörande elever sprang förbi dem. Jag upplevde att de inte fick någon arbetsro, eftersom de som gick förbi kom fram och pratade med eleverna. Många av dem sprang runt efter ett tag och gjorde inget, mer än störde dem som ville arbeta. Läraren var ute några gånger och försökte reda upp det, men efter ett tag gav hon upp och skickade in sina elever i klasrummet. Målet med uppgiften var att arbeta med enheter och kunna omvandla dessa.
Läraren i årskurs 2A
Under observationen i 2:an visade sig att läraren använde sig av läroboken. Läraren började med att introducera begreppen kilo och hekto, genom att först visa hur man skrev dem. Det verkade som om eleverna hade arbetat med detta innan. Därefter togs det fram en våg och kilo- och hektovikter. Läraren skickade runt kilovikten så att alla fick känna känslan av tyngden. Läraren diskuterade tillsammans med barnen om hur många hekto som gick på ett kilo, genom att de fick testa sig fram på vågen för att komma fram till rätt svar. Alla var med
och diskuterade. Barnen plockade olika material från klassrummet och vägde och jämförde. I slutet av lektionen fick eleverna arbeta tillsammans med några sidor i boken som handlade om ämnet. Det visade sig att det fanns färdiga kolumner där de först skulle uppskatta vikten av fem valfria saker som fanns i klassrummet och därefter gick man igenom det tillsammans.
Läraren i årskurs 6A
När jag intervjuade läraren genomförde han två lektionspass i en årskurs sexa med praktisk matematik. Med observationen ville jag se hur han arbetade med praktisk matematik och hur eleverna arbetade och hur deras attityd var för ett sådant arbetssätt.
Under observationen använde han sig av TASKS och problembaserade frågor. TASKS är ett material som egentligen heter Problem Solving Task Center. Materialet är exempel på problembaserad inlärning (PBI) med praktisk tillämpning. Materialet bygger på att eleverna ska ha tillgång till konkret laborativt material som stöd för att lösa matematiska uppgifter. Han presenterade uppgifterna likvärt, genom att berätta vad de handlar om och därefter fick eleverna arbeta på ett undersökande arbetssätt. Läraren började med en uppgift ifrån TASKS, där han gav eleverna nya problem hela tiden, genom att t.ex. ställa frågor ”hur man kunde lägga markörerna för att få högsta poäng”. Under tiden försökte läraren hela tiden uppmuntra eleverna att de kunde få bättre poäng. Det jag fick se med uppgiften var att eleverna tränade på huvudräkning när de räknade ihop antalet poäng för varje rad de fick. Eleverna tränade också att lyssna på varandra och detta leder till att de tar åt sig vad andra har för lösningar. De övade också på att diskutera och samarbeta med varandra.
Under andra lektionen var det elevens val och det fanns betydligt färre elever, fyra stycken. De elever som var där hade olika nivåer i matematik. Någon hade lite lättare för matematik än vad de andra hade. Läraren hade plockat ut olika problem som de skulle lösa tillsammans. Han delade ut sex olika kort som bestod av ledtrådar, genom dessa skulle eleverna komma fram ett svar. Eleverna började med att läsa upp ledtrådarna. En utvald sekreterare gick fram på tavlan och bestämde vem som skulle få ordet och anteckna vad de kom fram till. De började med att diskutera vilket kort de skulle börja med. Eleverna diskuterade med varandra och alla sa ungefär lika mycket. De kom in på många olika begrepp, såsom produkt, summa och kubik. Läraren pausade om det var något de inte förstod så att de kunde förtydliga det
tillsammans. Eleverna verkade tycka det var roligt och intressant med problemlösningar. När läraren presenterade ett nytt problem var de igång direkt och läste och försökte lösa uppgiften.
Sammanfattning av observationerna
Syftet med klassrumsobservationerna var att få reda på hur lärarna arbetade med praktisk matematik jämfört med vad de sa i intervjun. Jag ville också se om det fanns några svårigheter och fördelar med att arbeta på ett praktiskt sätt.
Lärarna i årskurs 3B:1, 2A och 6A inledde sina lektioner på ett likvärt sätt, genom att introducera lektionen med någon praktisk uppgift som eleverna fick lösa gemensamt eller individuellt. Detta anses vara ganska vanligt, eftersom de flesta lärarna i intervjun påpekade att praktisk matematik oftast kommer in när något nytt moment ska inledas eller när något behöver repeteras. Det som upplevdes likvärt med vad som sades i intervjuerna var att det underlättar med att ha en halvklass när man utövar praktiska uppgifter. I observationerna kunde man se skillnader mellan de som hade helklass och halvklass. De lärare som hade helklasser fick inte med riktigt alla elever jämfört med vad läraren i 6A hade, eftersom det aldrig blev någon riktig diskussion med klassen. Diskussion leder oftast till att se om eleverna förstår uppgiften.
Det som upplevdes likvärt var också att de flesta eleverna verkade tycka det var roligt med praktisk matematik. De som var mest engagerade var eleverna i årskurs 6A, eftersom det var en mindre grupp och att de var involverade i uppgiften. Här fick eleverna prova sig fram till det rätta svaret och samtidigt ha en gemensam diskussion med läraren. Läraren i årskurs 4C hade också mindre grupper, men här fick eleverna sitta i korridoren och arbeta. Detta ledde till att det blev kaos, eftersom eleverna märkte att läraren inte hade riktigt uppsikt över vad de gjorde.
Genom observationerna framkom det att det är viktigt att ha mindre grupper när man ska arbeta med praktisk matematik, eftersom det blir lättare att få med de flesta eleverna i en diskussion. Det underlättar också för läraren att se om alla är med och även att de får en chans att testa saker själva. Det visades också att de flesta lärarna avslutade sitt lektionspass med att eleverna fick sitta och räkna i sina läroböcker. Det var bara läraren i årskurs 6A som enbart höll på med praktiska uppgifter under hela passet.
