Hur presenteras likhetstecknet i
matematikläroböcker?
- En analys av läroböcker för årskurs 1
How is the equal sign presented in
mathematics textbooks?
- An analysis of textbooks for grade 1
YOSIF FAHMI OCH TIM GOMES
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Pedagogik Självständigtarbete i lärarutbildningen Avancerad nivå 15 hp
Handledare: Simon Sjölund
Examinator: Andreas Ryve Vårterminen 2021
Akademin för utbildning Examensarbete kultur och kommunikation MAA037 15 hp
VT 2021 SAMMANDRAG
_______________________________________________________________ Tim Gomes och Yosif Fahmi
Hur presenteras likhetstecknet i matematikläromedel? En analys av läromedel för årskurs
1.
Årtal 2021 Antal sidor: 31
Studiens syfte var undersöka likhetstecknets förekomst och presentation för elever i åk1 i den svenska grundskolan. Studiens vägleddes av frågeställningen Vilka
förklaringsmodeller används i läroböckerna och lärarhandledningarna för att presentera likhetstecknet och i vilken utsträckning används de? För att uppnå detta valdes fem böcker ut som analyserades med tillhörande lärarhandledningar. I studien användes ett ramverk av Matthews et., al. som modell för att analysera materialet. Resultatet visar att det behövs pedagogiska förklaringsmodeller i läromedlen för att få en djupare förståelse kring begreppet likhetstecknet. Vidare är det betydelsefullt att det finns större omfattning av icke-standardekvationer då eleverna i de fallen får arbeta med båda sidor av likhetstecknet. Resultatet visade också att de fem utvalda matematikböckerna innefattade likhetstecknet i olika mängd. Alla läroböckerna hade ekvationer med standardform, medan fyra av böckerna hade uppgifter som även hade icke-standardekvationer.
____________________________________________________________
____
School of Education, Course code: MAA037 15hp Culture and Communication Semester: VT
Year: 2021
________________________________________________________________ Yosif Fahmi and Tim Gomes
How is the equal sign presented in mathematics teaching books? An analysis of textbooks for Grade 1.
Year 2021 Number of pages: 31
The purpose of this study is to gain a deeper understanding of how teaching books in the subject mathematics present the equals sign in grade 1. To achieve this, five textbooks were selected and analysed with accompanying teacher guides.
We conclude that the need for educational explanations of teaching materials to gain a deeper understanding of the concept of the equal sign. Furthermore, it is important that there is a greater extent of non-standard equations as students can work with both sides of the equal sign.
_______________________________________________________________ Keywords: Explanatory models, equal sign, teaching books, teacher's guide, mathematics.
Innehållsförteckning
1. Inledning ...7
1.1 Syfte & frågeställningar ...8
2. Litteraturgenomgång ...8
2.1 Läroböcker ...8
2.2 Lärarhandledningar ...9
2.3 Missuppfattningar kring likhetstecknet...9
2.4 Elevers förståelse kring likhetstecknet ...10
3.Teoretiska utgångspunkter ...11
4. Metod ...12
4.1 Urval ...12
4.1.1. Favorit matematik 1A...13
4.1.2. Rik matematik ...13
4.1.3 Eldorado ...13
4.1.4 Mondo ...13
4.1.5 Nya Matematikboken 1 A Grundbok ...13
4.2 Dataanalys...14
5. Resultat ...16
5.1 Hur elevers läroböcker presenterar likhetstecknet ...17
5.1.1 Favorit matematik 1A...17
5.1.2 Rik matematik ...18
5.1.3 Matte Eldorado 1A ...18
5.1.4 Den nya matematikboken 1A ...19
5.1.5 Mondo 1A ...20
5.1.6 Sammanfattning ...20
5.2 Hur lärarhandledningar presenterar likhetstecknet ...23
5.2.1 Eldorado ...23 5.2.2 Favorit ...23 5.2.3 Nya matematikboken ...23 5.2.4 Rik matematik ...24 5.2.5 Mondo ...25 5.2.6 Sammanfattning ...25
6. Diskussion ...25
6.1 Metoddiskussion ...25
6.2 Forskningsetik...26
6.3 Validitet, Reliabilitet och Generaliserbarhet...26
6.4 Elevers förståelse av begreppet likhetstecken samt missuppfattningar kring begreppet. ...27
6.5 Elevers förståelse av likhetstecken när det gäller standard och icke-standardekvationer ...27
6.6 Förklaringsmodeller ...28
7. Slutsats och vidare forskning ...29
1. Inledning
Matematik som ämne leder lätt tankarna till siffror och tal och i viss mån bokstäver som x, y och z eller a, b och c, men symboler och olika ord är en minst lika viktig del av den matematiska undervisningen. En av de allra mest förekommande symbolerna är likhetstecknet. Symbolen är mycket viktig bland annat för ekvationslösningar och betyder helt enkelt att det ska vara lika mycket på båda sidor. Elever har dock svårt för att förstå likhetstecknet, menar McIntosh (2008). McIntosh skriver att den svenska matematikundervisningen till stor del genomförs på ett traditionellt sätt. Med detta menar författaren att läraren introducerar matematiska uppgifter i början av undervisningen varefter eleverna själva arbetar med uppgifterna. Detta kan leda till att eleverna snarare lär sig att mekaniskt lösa matematiska uppgifter efter mallar istället för att förstå den bakomliggande matematiken. Pettersson (2010) menar att en av de vanligaste missuppfattningarna är att eleverna tolkar likhetstecknet som ”blir” snarare än ”lika med”. Ifall eleverna tolkar likhetstecknet som ”blir” kan det enligt Pettersson (2010) få negativa konsekvenser för deras matematiska lärande i framtiden.
Att inte förstå innebörden av likhetstecknet kan leda till att eleverna utvecklar olika missuppfattningar i matematik, något som även framhålls av Rockström (2000). Författaren nämner att hennes elever hade problem med att utveckla sin
matematiska förståelse. En av anledningarna var att eleverna saknade en förståelse för likhetstecknet. Dessutom lyfter Rockström betydelsen av att behärska skriftliga räknestrategier som uppställning för att minska elevers missuppfattning kring likhetstecknet. Det är, enligt Rockström, viktigt att eleverna får lära sig olika räknestrategier för att minimera risken att missförstå likhetstecknets innebörd. Exempelvis kan de vara svårt för elever med begränsad begreppslig förståelse av likhetstecknet att lösa algebraiska uppgifter, eftersom eleverna inte förstår att tal eller kvantiteter på tecknets båda sidor är lika mycket.
I denna studie har vi valt att fokusera på hur läroböcker och lärarhandledningar presenterar likhetstecknet och vilken möjlighet som ges till eleverna att lära sig dess innebörd. Detta blir viktigt eftersom förståelsen för likhetstecknet är fundamental för att förstå mer avancerad matematik. Vi har valt böcker för lågstadiet eftersom
Skolverket (2011) beskriver att eleverna ska förstå betydelsen av likhetstecknet redan under årskurs 1–3. Läroböcker blir viktiga att undersöka då det är det material som lärare använder sig av för att planera och genomföra sin undervisning (Johansson, 2006). Eleverna sitter orks själva med boken i klassrummet i stor utsträckning, varför det blir av än större vikt att materialet uppfyller kraven som ställs på vad eleven ska lära sig utifrån läroplanen, (Boesen m.fl., 2010). Vi märkte under vår praktik (VFU) att eleverna inte hade en gedigen begreppsförståelse och detta väckte vårt intresse kring att analysera likhetstecknets förekomst och användning i olika läroböcker.
1.1 Syfte & frågeställningar
Syftet med denna studie är att undersöka likhetstecknets förekomst och presentation för elever i åk1 i den svenska grundskolan. Studien vägleds av följande frågeställning:
• Vilka förklaringsmodeller används i läroböckerna och lärarhandledningarna för att presentera likhetstecknet och i vilken utsträckning används de?
2. Litteraturgenomgång
I detta kapitel presenteras tidigare litteratur av relevans för studien. Det handlar om läroböcker, lärarhandledningar, elevers förståelse och missuppfattningar avseende likhetstecknet samt standard- och icke-standardekvationers påverkan på elevers förståelse av likhetstecknet.
2.1 Läroböcker
Läroböcker är benämningen för det som läraren använder för sin planering och genomförande av undervisningen. Ett samlingsnamn för det som eleverna arbetar i (elevboken) och det som läraren använder för sin planering (lärarhandledningen). Detta ställer höga krav på materialets utformning och innehåll. En viktig
förutsättning för att skriva en lärobok är att författaren förhåller sig till både den senaste forskningen och forskning som är relevant för ämnet. Ahl m.fl., (2014) påtalar att författaren även bör utvärdera och diskutera den respons andra
läroböcker har fått från skolor som har använt dessa. Författarna belyser två viktiga faktorer som ligger till grund för en lyckad lärobok: här ska finnas en struktur som är begriplig för eleverna och boken ska redogöra för innehållet med hjälp av lämpliga presentationsformer. Utöver dessa har språket en betydelsefull roll eftersom eleverna måste förstå vad uppgifterna handlar om, men språket får inte bli såpass förenklat att bokens syfte försvinner. Författare som skriver böcker i ämnet matematik bör vara utbildade inom området och ha ämnesdidaktiska kompetenser för att skapa material som gynnar elevers matematiska utveckling. Vidare anser Ahl, Koljonen & Hoelgaard (2014) att läroboksförfattarna måste ha en kännedom om svårigheter och vanliga missuppfattningar som kan förekomma inom ämnet matematik.
Kvaliteten och innehållet i läroböckerna som beskrivs ovan blir kritisk eftersom lärare har en tendens att förlita sig på dem i sin matematikundervisning (Prytz, 2017). Under tidigt 1900-tal granskade man läroböcker för att säkerställa att de täckte in allt som fanns med i läroplanen. Granskningen var obligatorisk och detta gjorde att alla bokförlag och författare skapade läroböcker utifrån kunskapskraven som fanns i läroplanen (Prytz, 2017). 1974 valde dock Skolmyndigheten att ta bort granskningen. Detta ledde till att bokförlag inte hade samma krav på sig att förhålla sig till läroplanen när de skapar läroböcker. Prytz (2017) skriver att den enskilda skolan idag därför har ett stort ansvar över vilken lärobok de ska välja eftersom de själva måste granska boken och bedöma om den innehåller alla delar som nämns i kursplanen. Lärarna behöver även vid behov komplettera de delar som saknas i läromedlet (ibid.).
Johansson (2006) har i en studie analyserat och intervjuat lärare kring läroböckers inflytande i matematikundervisningen och undersökt huruvida läroböcker uppfyller kraven enligt läroplanen. Studien visade att respondenterna utgick från en gemensam uppfattning kring att kunskapskraven och läroböckerna var sammankopplade. I likhet med Prytz (2017) så visar Johanssons (2006) resultat att lärarna tycker att läroböckerna är en nödvändighet i undervisningen. I studien Johansson utfört gav resultatet att de sex läroböcker i matematik som undersökts inte alls täckte hela kursplanens krav trots att förlagen bakom böckerna hävdar detta. Johansson (2006) belyser därför vikten av att lärare ska utvärdera de böcker som används eftersom de
utgör en stor del av undervisningen och har ett stort inflytande på den. Lärare behöver därutöver veta hur de kan använda böckerna och ha förståelse för vilka arbetssätt eller metoder som rekommenderas av lärarhandledningen till respektive bok.
2.2 Lärarhandledningar
Lärarhandledningen är en del av läroboken och finns till som stöd för att
konkretisera elevböckerna och guida läraren till att använda boken. Detta ger en möjlighet för författarna att fördjupa innehållet mer på valda områden. Ibland har författarna inte möjlighet att fördjupa böckerna inom ett visst matematiskt område. Lärarhandledningar ska vid sådana tillfällen finnas som ett verktyg för läraren att använda för att kunna ge eleverna möjligheten att fördjupa sig i dessa områden. Lärarhandledningen är ett kompletterande verktyg för att ge eleverna möjlighet att utveckla sin matematiska förståelse. Lärarhandledningen kan förse läraren med olika didaktiska synvinklar för att planera sin undervisning. Dessa handledningar kan se olika ut. En del lärarhandledningar erbjuder uppgifter som en lärare ska dela ut till eleverna, andra lärarhandledningar erbjuder flera didaktiska material som kan vara såväl konkreta som abstrakta uppgifter (Ahl, Koljonen & Hoelgaard, 2013). Davis och Krajcik (2005) menar att lärarhandledningar ska vara tydliga och erbjuda samman-kopplingar mellan matematikens olika delar, detta för att underlätta för lärarens planering av undervisningen. Det ska finnas vägledning över hur lärare kan anpassa sin undervisning till den enskilda eleven men även hur bedömning av elevernas matematikkunskaper kan ske.
2.3 Missuppfattningar kring likhetstecknet
I en studie som genomfördes av Essien (2009) argumenterade forskaren för att de Sydafrikanska läroböckerna samt deras lärarhandledningar för årskurs 1 bör omprövas eller förnyas när det gäller hur dessa läroböcker introducerar det
matematiska begreppet likhetstecken. Essien menade också att det är grundläggande för lärare att få stöd i sin undervisning, till exempel genom välutvecklade
lärarhandledningar för att främja elevers förståelse av begreppet likhetstecken. Essien (2009) betonar även vikten av att använda sig av icke-standardekvationer, exempelvis ekvationer med formaten c=a+b för att förstärka elevers förståelse för likhetstecknet. Vidare nämner Essien att kan det vara bra för lärare att använda sig av läromedel samt lärarhandledningar som innehåller ekvationer av olika former för att främja elevers rationella resonemangsförmågor, genom att utveckla deras
förståelse för det matematiska begreppet likhetstecken.
I en studie av Matthews, Rittle-Johnson, McEldoon & Taylor (2012) framgår det att forskarna själva upplevt olika missuppfattningar samt svårigheter som förekommer bland elever när det gäller att förstå likhetsteckens innebörd. Missförstånden
förekommer dock oftast bland låg- och mellanstadieelever. Detta leder till
matematiska svårigheter och en förklaring kan vara att eleverna oftast förknippar likhetstecknet med ett operationellt resonemang istället för att förstå att
likhetstecknet används för att representera likheten mellan uttryck och kvantiteter i beräkningen. Vidare nämner Matthews et al. (2012) att sådana missförstånd leder till att elever misslyckas med att lösa beräkningar av följande slag: 5+2= ◻+3 och
kan alltså handla om att eleverna inte förstår att antalen på båda sidorna av
likhetstecknet ska vara lika. Dessutom leder sådana missförstånd till att elever inte förstår eller kan lösa ekvationer som a+b=c, vilket är ett standardformat. Exempelvis förstår eleverna inte beräkningar av dessa slag: 7=7 eller 2+3+5=5+5 och anser att de är falska. Problematiken kan också ligga i att uppställningsformaten i grunden är formade på ett visst sätt, exempelvis 5+4=9 vilket begränsar elevernas rationella resonemangsförmåga och skapar svårigheter för dem att uppnå högre
kunskapsnivåer inom matematik Matthews et al. (2012).
2.4 Elevers förståelse kring likhetstecknet
Joengsuk Pang och Jongwon Kim (2018) utförde en studie på 695 sydkoreanska elever i åk 2-6. Resultatet visade att majoriteten av eleverna hade en korrekt
förståelse av likhetstecknet. Drygt 80 % av eleverna tolkade likhetstecknet som ”lika
med”. Machaba (2017) utförde en liknande studie där forskaren ville skapa en
förståelse kring hur eleverna uppfattar likhetstecknet. Resultatet gav att eleverna tolkar likhetstecknet operationellt, eleverna såg likhetstecknet som ”svar”. Att
eleverna tolkade likhetstecknet som ett svar märktes eftersom eleverna hade svårt för att lösa algebraiska uppgifter. Ett exempel där eleverna skulle svara på en uppgift var 3+5=[] - 1. Totalt 40 % procent av eleverna skrev in svaret 8 och 36 % procent skrev att svaret var 7.
Elevernas tolkning är betydelsefull då det påverkar elevernas matematikförståelse i framtiden. Studier visar tydligt att en stor del elever tolkar likhetstecknet som operationellt när de löser uppgifter (Pang & Kim, 2018; Machaba 2017). Ahl et al (2017) är eniga om att elever med välutvecklad förståelse för likhetstecken i årskurs 1–6 även har en rationell resonemangsförmåga. Med detta menar forskarna att dessa elever själva ser likhetstecknet som en matematisk symbol som representerar både relation samt likhet mellan siffrorna på båda sidor av likhetstecknet. Dessutom anser forskarna att elever med en välutvecklad förståelse för likhetstecknet har goda
algebraiska kompetenser, då eleverna kan resonera kring algebraiska uppgifter samt lösa dem. I en studie genomförd av Powel (2012) lyfte forskaren fram hur de åtta vanligast förekommande läromedelsserierna i matematik i den amerikanska staden Chicago presenterar det matematiska begreppet likhetstecken inom olika sorters standard samt icke-standardekvationer. Som exempel ser en standardekvation ut som följande: ◻+5=15, medan en icke-standardekvation ser ut som: 15=◻+10. Endast 1 av 47 böcker inom de åtta utvalda läroboksserierna i matematik innehöll fler ekvationer i icke-standardform än standardform. Den enda bok i matematik som hade fler icke-standardekvationer bestod av 66% ekvationer i icke-standardform. Nio av böckerna saknade helt icke-standardekvationer.
Vidare nämner Powel (2012) att presentationen av likhetstecken i de flesta lärarhandledningarna är strukturella samt rationella. Dock finns det vissa lärarhandledningar som presenterar likhetstecken på ett operationellt sätt,
exempelvis som ”numret mellan siffrorna samt summan” eller ”summan av”. Ju högre upp man går i årskurserna desto mindre presenteras samt definieras
likhetstecknet i lärarhandledningarna. Med detta menar Powel (2012) att
likhetstecknet presenteras och definieras oftare i lärarhandledningarna för förskolan samt årskurs 1–2, medan likhetstecknet nämns mer sällan i lärarhandledningarna för årskurs 3–5.
3.Teoretiska utgångspunkter
Vi har valt att beskriva förståelsen för likhetstecknet utifrån ett ramverk utvecklat av Matthews, et al. (2012). Detta ramverk vilar på en bedömningsmodell indelad i fyra olika nivåer. Dessa nivåer är indelade som rigid operational, flexible operational,
basic rational och comparative rational. Anledningen till att i uppsatsen använda de
engelska namnen för dessa nivåer är för att vissa nivåer inte på ett likställt vis kan översättas till svenska. Vi har analyserat våra utvalda böcker samt
lärarhandledningar utifrån dessa fyra nivåer för att se vilka förklaringsmodeller böckerna erbjuder i sina presentationer av likhetstecknet. Vi har använt dessa kategorier för att identifiera vilken typ av förståelse som fostras av läroböckers
förklaringsmodeller. Därför är vår kategorisering av läroböckers förklaringar baserad på en modell för elevers förståelse.
Rigid operational
I nivå ett, som är ridgid operational, kan eleverna enbart förklara begreppet likhetstecken på ett operationellt sätt. Med detta menas att elever på denna nivå endast kan utföra algebraiska ekvationer i standardmodeller som a+◻=c där ekvationen ligger på vänster sida av likhetstecknet och man skriver svaren på högersidan av tecknet, exempelvis 5+◻ = 8.
Flexible operational
I nivå två, som är flexible operational, har eleverna en bredare operationell syn på begreppet likhetstecken. Med detta menar Matthews et al. (2012) att elever på denna nivå vet att tal eller kvantiteter på vänster sida av likhetstecknet betyder “samma som” på höger sidan och att de därmed inte alltid behöver räkna från vänstersidan av likhetstecknet. Exempelvis 8 =◻ +3, vilket tyder på att elever på denna nivå börjar förstå ekvationer i både formatet a+b=c och c=a+b.
Basic rational
I nivå tre, som är basic rational, börjar eleverna utveckla en grundläggande rationell förståelse av begreppet likhetstecken. Med detta menas att eleverna förstår att
likhetstecknet mellan kvantiteterna av likhetstecknet ska vara lika, vilket framhålls av Matthews et al. (2012). Uppgifter som kräver att eleverna ligger på denna nivå för att utföra dessa kan exempelvis vara 2+7= ◻+5 eller 4+◻+7=12+3.
Comparative rational
I nivå fyra, som är comparative rational, har eleverna utvecklat en rationell förståelse av det matematiska begreppet likhetstecken. Med detta menar Matthews et al. (2012) att elever på denna nivå exempelvis förstår att det ska stå 4 i den tomma rutan för ekvationen 6+5-◻= 3+4 utan att räkna ut hela vänstersidan av ekvationen. Elever förstår själva att summan 5+6 som är lika med 11 minus 4 i den tomma rutan är lika med kvantiteten för 3+4 på vänstersidan av ekvationen, svaret blir 7 på båda sidor.
4. Metod
Nedan kommer vi att redogöra för vårt urval, analys av data, studiens validitet, reliabilitet och generaliserbarhet, samt forskningsetiska överväganden.
4.1 Urval
Under denna rubrik har vi redogjort för de utvalda läroböcker som analyserades och enligt läromedelsförfattarna förhöll sig dessa läromedel till läroplanen (Skolverket, 2018). Det kan vara bra för läsaren att få en översikt kring läroböckernas innehåll för att läsaren ska få en djupare uppfattning kring böckerna, något som även framhålls av Bryman (2018). Vi analyserade totalt fem matematikböcker och fem
lärarhandledningar vilka presenters kort i tabell1 nedan. Matematikböckerna är ämnade för elever i årskurs 1 under höstterminen. Vi har valt dessa läroböcker samt lärarhandledningar då de enligt de utgivande förlagen förhåller sig till den senaste läroplanen. “Rik matematik” har inte kommit ut som offentligt läromedel men det finns vissa skolor i Eskilstuna som är de första att arbeta med boken. Vi valde att använda dessa läroböcker då de är vanligt förekommande i den svenska skolan. Ytterligare ett skäl till att välja rik matematik var att boken förekom i vår praktik (VFU). Vi fick testa boeka där och insåg också att den har en bred spridning och används i många skolor i Eskilstuna. De resterande böckerna valdes ut från skolor i Stockholm.
Namn Författare och utgivningsår
för elevboken Författaren och utgivningsår för lärarhandledningen Favorit matematik 1A
(Favorit) Ristola, Tapaninaho & Tirronen (2012) Haapaniemi (2012)
Rik matematik Andreas Ryve
Manuel Tenser Hillevi Gavel Jannika Lindvall Patrik Gustafsson Fredrik Blomqvist (u.å)
Andreas Ryve Manuel Tenser Hillevi Gavel Jannika Lindvall Patrik Gustafsson Fredrik Blomqvist (u.å) Eldorado 1A Ingrid Olsson & Margareta
Forsbäck (2015) Ingrid Olsson & Margareta Forsbäck (2015) Nya Matematikboken 1 A
Grundbok Karin Andersson & Eivor Johansson (2013) Karin Andersson & Eivor Johansson (2013)
Mondo 1A Åsa Brorsson (2015) Åsa Brorsson (2015)
4.1.1. Favorit matematik 1A
Favorit matematik 1A av Ristola, Tapaninaho & Tirronen (2012). Ny upplaga 2018 som anpassats efter nya läroplanen. Denna innefattar digital kompetens. Boken är uppdelad i A och B där 1A används eder höstterminen och 1B på vårterminen.
Ristola, Tapaninaho & Tirronen (2012) har i boken skapat ett system för eleverna att arbeta med fyra sidor per lektionstillfälle. Två av sidorna innehåller praktiska
övningar vilket ska ge eleverna möjligheten att arbeta vidare med innehållet för att både utveckla samt fördjupa sina kunskaper inom arbetsområdet.
4.1.2. Rik matematik
En forskningsbaserad lärobok framtagen av forskare från Mälardalens högskola tillsammans med lärare från årskurs 1–3. Boken innefattar totalt 10 kapitel som eleverna får arbeta med under ett helt läsår. Varje kapitel inleds med en introduktion kring innehållet som eleverna ska arbeta med, sedan följs kapitlen av olika uppgifter inom arbetsområdet tillsammans med bilder. Till boken finns två lärarhandledningar som är uppdelade till höst- respektive vårterminen. Syftet med boken är att motverka tidigare negativa resultat från internationella studier. Denna bok har ännu inte
publicerats offentligt och är under utvecklingsfas, den prövas även i skolor belägna i Eskilstuna kommun (Mälardalens högskola, 2021).
4.1.3 Eldorado
Eldorado av Olsson & Forsbäck, Natur & kultur. Enligt författarna (2015) förhåller sig boken till läroplanen (Skolverket, 2018). Två lärarhandledningar ingår. Dessa
innefattar planeringshjälp och konkreta råd för genomförande av lektioner. Boken låter eleverna arbeta med flertalet matematiska arbetsområden i taget per kapitel. Dessa kapitel inleds med en introduktion som låter eleverna tillsammans testa kunskapsområdet varpå de får arbeta enskilt med textuppgifter. Varje kapitel avslutas med plats för elevens feedback.
4.1.4 Mondo
Mondo, Åsa Brorsson (2017), Gleerups utbildning, förhåller sig till Läroplanen. En lärarhandledning och två böcker, uppdelat på termin. Eleverna ska stimuleras till diskussion och samverkan kring bokens uppgifter. På detta vis ska de skapa förståelse för de olika begreppen. Varje kapitel inleds med en praktisk uppgift som påvisar det område eleverna ska arbeta resten av kapitlet. Kapitlen är nivåanpassade efter elevens individuella förmåga. Varje kapitel avslutas med diagnos.
4.1.5 Nya Matematikboken 1 A Grundbok
Nya Matematikboken 1A Grundbok, Andersson & Johansson (2013), Liber förlag. Boken förhåller sig till läroplanen (Skolverket, 2018). Två lärarhandledningar för höst- och vårtermin. Kapitlen inleds med målbeskrivning och gemensamma uppgifter för eleverna. Därefter får eleven muntligt beskriva konkreta matematiska händelser för utveckling av matematisk förståelse. Varje kapitel avslutas med gemensamma uppgifter kring problemlösning samt diagnos.
4.2 Dataanalys
Den teoretiska utgångpunkten som denna studie förhåller sig till berör elevers resonemangsförmågor kring likhetstecknet i samband med olika ekvationstyper i de utvalda läroböckerna. Vi valde att analysera både lärarhandledningarna och
läroböckerna tillsammans för att säkerställa att all insamlad data kategoriserades utifrån vald teoretisk utgångspunkt.
Bryman (2011) beskriver innehållsanalys som en kvalitativ dataanalys, han redogör för kodningsscheman som metod för att kategorisera insamlad data. Med hjälp av syftet och vår preciserade frågeställning analyserade vi böckerna samt kategoriserade all analyserad data utifrån en bedömningsmall. Nedan visas ett exempel på en uppgift från en lärobok.
Figur 1: Avbildning av uppgifter inom fälten rigid- samt flexible operational från Favorit Matematik 1A (Haapaniemi, 2012, s.173).
I figur 1 handlar uppgiften om att eleverna ska beräkna ekvationen. Det finns både standard och icke-standardekvationer. I uppgiften ska eleverna ta reda på vad en skridsko, skidglasögon, hjälm och släde är värda genom att lösa både standard samt icke-standardekvationer. Därför krävs det att eleverna har en resonemangsförmåga utifrån nivåerna rigid- samt flexible operational utifrån Matthews (2012)
bedömningsmodell.
Inledningsvis började vi med att notera alla ekvationer i böcker och lärarhandledningar. Sedan markerade vi för varje ekvation om det var en standardekvation eller en icke standardekvation. Ekvationer på formen a+b= c
benämndes som standardekvation och ekvationer på formen a+b+c= d+e benämndes som standardekvation. Vidare finns olika typer av standard och
icke-standardekvationer som hamnar inom olika kategorier av förklaringsmodeller. Till exempel så hamnar standardekvationer på formen a+b+c= d inom kategorin flexible operational medan ekvationer på formen a+b= c hamnar inom kategorin rigid
operational. Dessa samband visas i sin helhet i tabell 2. Tabellen är baserad på Matthews et. al., (2012). När vi markerat de olika ekvationerna och därefter kodat typerna för respektive ekvation, valde vi att ta oss an en bok i taget. Där räknade vi antalet förekomster av ekvationer som återfanns i respektive bok. Vi valde också att räkna ut förekomsten av dessa i procent. Detta för att på ett överskådligt vis kunna få en bild av den totala mängden ekvationer per typ i varje bok när böckerna jämförs med varandra. Fokus här låg på att ta fram procentsatserna för standard respektive ickestandard-ekvationer. Detta redovisas under rubriken Resultat. Vidare granskade vi hur presentationen av likhetstecknet kunde variera i form av textbaserade
uppgifter som kunde vara problemlösning eller genom konkreta uppgifter som hade bildstöd, även i abstrakta uppgifter som ekvationer. I lärarhandledningen noterades, i de fall det förekom, stöd för hur man kan presentera likhetstecknet.
Tabell 2. Bedömningsmodellen för denna studie baserad på Matthews et. al., (2012).
Resonemangstyper Betäckning Form Exempel
Standardekvation Rigid operational a+b= c 2+◻= 5
Standardekvation Icke-
standardekvation
Flexible
operational a+b+c= d c = a+b 2+◻+5 = 10
5= ◻+3 Icke-
standardekvation
Basic rational a+b+c= d+e 2+3+5 = ◻+5
Icke-
standardekvation Comparative rational d+e= a+b+cd+e+f= a+b d+e-f= a+b
◻+3= 2+3+3 2+◻+3= 5+5 6+5-◻= 3+4
Tillägg: det aritmetiska tecknet (+) i ekvationerna som finns i tabellen är utbytbart
5. Resultat
Nedan kommer vi att redogöra för resultaten från vår analys av läroböcker samt de medföljande lärarhandledningarna. Nedan presenteras först en tabell med
sammanfattning av resultatet med hjälp av Matthews bedömningsmodell. Därefter redogör för hur läroböckerna respektive handledningarna presenterar likhetstecknet och slutligen summeras detta.
Tabell 3. Sammanfattning av resultat.
Läromedel (årskurs 1) Ridgid operationa l Flexible operationa l Basic rationa l Comparativ e rational Standard- och icke- standardform Favorit
matematik 1A Finns Finns Finns ej Finns ej 56% av alla ekvationer var standardekvationer, medan 44% av alla ekvationer var icke-standardekvationer
Rik matematik Finns Finns Finns
ej Finns ej 61% av alla ekvationer var standardekvationer, medan 39% av alla ekvationer var icke- standardekvationer.
Matte Eldorado
1A Finns Finns Finns ej Finns ej 66% av alla ekvationer var standardekvationer, medan 34% av alla ekvationer var icke- standardekvationer. Nya Matematikboke n 1 A Grundbok Finns Finns Finns
ej Finns ej 100% av alla ekvationer var standardekvationer. Det fanns inga icke-standardekvationer.
Mondo 1A Finns Finns
Finns
ej Finns ej 92% av alla ekvationer var standardekvationer, medan 8% av alla ekvationer var icke- standardekvationer.
5.1 Hur elevers läroböcker presenterar likhetstecknet
5.1.1 Favorit matematik 1A
Favorit matematik 1A består av 5 kapitel och innehåller 197 sidor. Likhetstecknet introduceras redan i första kapitlet i boken genom begreppen lika många och lika
med, tillsammans med andra matematiska begrepp såsom fler än, färre än, större än
och mindre än. I första kapitlet förekommer uppgifter där elever lär sig den
matematiska symbolen för likhetstecknet (=) tillsammans med tecken för större än (>) och mindre än (<). I andra kapitlet introduceras det aritmetiska räknesättet
addition (+) i form av ekvationer i standardform (ex. 2+ ◻=5), vilket kräver att
eleverna ligger på den Ridgid operational resonemangsnivån för att kunna utföra dessa ekvationer. Däremot förekommer ekvationer i icke-standardform i vissa
PRÖVA sidor som finns i slutet av varje avsnitt i kapitel 2 och enligt vår teoribildning
bedömer vi att eleverna behöver ligga på den flexible operational resonemangsnivån för att kunna utföra dessa beräkningar. I kapitel 3 förekommer det aritmetiska räknesättet subtraktion (-) i form av ekvationer i standardform (ex. 5–◻= 2), vilket även kräver att eleverna ligger på den Rigid operationella nivån. Det förekommer även ekvationer i icke-standardform i vissa PRÖVA sidor som finns i slutet av varje avsnitt i kapitel 3 och för att utföra dessa ekvationer behöver eleverna ligga på den flexible operational nivån. I både kapitel 4 och 5 förekommer blandade ekvationer av räknesätten addition och subtraktion i standardform som exempelvis är (5+ ◻=2) eller (◻+3=5), vilket kräver att eleverna ligger på den flexible operational nivån för att kunna utföra dessa beräkningar i både standard samt icke-standardform.
I boken Favorit matematik 1A förekommer uppgifter där elever lär sig den
matematiska symbolen för likhetstecknet (=), som erbjuder elever förutsättningar att utveckla förståelsen för begreppet likhet. Det finns även uppgifter där elever ska lära sig att rita likhetstecknet. Dessa uppgifter fokuserar på att eleverna ska lära sig att rita två lika långa sträck som heter likhetstecknet och symboliserar likheter mellan samma och olika föremål i samma antal på båda sidor. Dessutom får elever
möjligheten att lära sig om andra relaterade begrepp såsom större än (>) samt
mindre än (<) och jämföra olika matematiska uttryck för at kunna bedöma om de är
lika eller olika. I boken finns det bilder på varje sida som konkretiserar dessa begrepp för eleverna. I boken förekommer ekvationer i standardform (ex. 5+ ◻=2). Detta är
troligtvis för att dessa uppgifter utvecklar elevernas förmåga att enbart förklara begreppet likhetstecken på ett operationellt sätt och endast utföra algebraiska ekvationer i standardmodeller a+b=c, där ekvationen ligger på vänster sidan av likhetstecknet och man skriver svaren på högersidan av tecknet, exempelvis (5+◻ = 8). Därför krävs det att eleverna ligger på den Ridgid operational resonemangsnivån för att kunna utföra dessa ekvationer i standardform.
Icke- standardform (Flexible operationella) förekommer endast på PRÖVA sidor som finns i slutet av varje avsnitt i alla kapitel. Detta kanske är för att eleverna ska få möjligheten att utmana sig att utföra dessa ekvationer, då dessa uppgifter kräver att eleverna har en bredare operationell syn på begreppet likhetstecken. Ekvationer i icke- standardform som finns i PRÖVA sidorna i boken erbjuder elever möjligheten att bli utmanade till att tänka djupare om begreppet likhet. Med detta menar vi att elever på denna nivå vet att siffor eller kvantiteter i vänster sidan av likhetstecknet betyder “samma som” höger sidan och inte behöver räkna från vänstersidan av likhetstecknet. Exempelvis (5+3 = ◻) eller (◻=3+5), vilket tyder på att elever i denna nivå håller på att begripa ekvationer med formaten a+b=c eller c=a+b.
5.1.2 Rik matematik
Rik matematik består av 5 kapitel och innehåller 147 sidor. Likhetstecken
introduceras i kapitel 2 då det första kapitlet består av uppgifter som handlar om taluppfattning. Likhetstecken presenteras tillsammans med begrepp såsom ”större
än”. ”mindre än”, ”fler”, ”färre”, “lika” samt dess respektive matematiska symboler,
exempelvis (>), (<) och (=). Dessutom introduceras ekvationer av räknesätten addition samt subtraktion i standard (ex. 2+◻=5) samt icke-standardformer (ex.
5=◻–2) som anses vara antingen Rigid- eller Flexible operational enligt Matthews et
al. (2012) bedömningsmodell. Kapitel 3 innehåller flera standard samt
icke-standardekvationer inom räknesätten addition samt subtraktion, exempelvis 7+◻= 10, ◻-3 = 5 eller 8 = 6+◻. Kapitel 4 innehåller inga ekvationer eller andra uppgifter där likhetstecken används, utan i detta kapitel förekommer endast uppgifter om mått, geometri samt tallinjer. Kapitel 5 innehåller både standard samt
icke-standarekvationer i addition samt subtraktion tillsammans med andra matematiska uppgifter om tallinjer samt problemlösningar.
I boken förekommer uppgifter där elever lär sig den matematiska symbolen för likhetstecknet (=), som erbjuder elever förutsättningar att utveckla förståelsen för begreppet likhet. Exempelvis finns det uppgifter i boken där elever ska räkna på antalet för olika föremål som finns på höger samt på vänster sidan av tomma rutor, där de ska sätta likhetstecken om antalen på båda sidor är lika. Sådana konkreta uppgifter kan hjälpa elever att utveckla förståelse för likhetstecknet som begrepp på ett operationellt sätt och lära sig att använda likhetstecken genom att förstå
innebörden av den matematiska symbolen för likhet. I boken finns det bilder på varje sida som konkretiserar dessa begrepp för eleverna. I boken förekommer ekvationer i standardform (ex. 7+ ◻= 9) och icke- standardform (ex. 8 =◻-4) inom räknesätten addition samt subtraktion. Dessa uppgifter kan hjälpa elever att fördjupa sina kunskaper inom begreppet likhet. Med detta menar vi att det krävs att elevernas resonemangsförmåga ligger på den Rigid operational samt Flexible operational för att de ska kunna utföra dessa typer av ekvationer
5.1.3 Matte Eldorado 1A
Denna bok består av 6 kapitel och innehåller 144 sidor. Likhetstecken introduceras i kapitel 2 då första kapitlet består av uppgifter om taluppfattning. I detta kapitel introduceras ekvationer av räknesätten addition samt subtraktion i standard (ex. 2+◻= 3) samt icke-standardformer (ex. 9 =12–◻). För att utföra dessa ekvationer krävs det att eleverna har utvecklat resonemangsförmågan till den Rigid- eller Flexible operational resonemangsnivån enligt Matthews et al. (2012)
bedömningsmodell. Dock finns det även ekvationer i detta kapitel som består av både siffror samt antal olika tecken eller föremål (ex. *** + 2= ◻) eller endast föremålen (◻-**=*****) med likhetstecken mellan för att symbolisera dessa uttryck som ekvationer. Kapitel 3 innehåller även ekvationer i både standard samt
icke-standardform inom räknesätten addition samt subtraktion. Dessutom finns det även ekvationer i detta kapitel som består av bilder om olika föremål, där antalen av dessa föremål ska adderas eller subtraheras beroende av räknesätten som ska användas i ekvationen. Kapitel 4 handlar om de matematiska begreppen ”hälften”, ”jämna- samt
udda tal” och ”talet 10”. Vissa delar av kapitel 4 innehåller ekvationer i både standard
och icke-standarform i addition samt subtraktion. Kapitel 5 handlar om geometriska kroppar och begrepp såsom ”månghörningar” och ”talet 7 samt 8”. Vissa delar av kapitel 5 innehåller ekvationer i både standard och icke-standarform i addition samt subtraktion. Kapitel 6 berör matematiska begrepp som ”dubbelt”, ”talsymboler” ”talet 9” och problemlösningar. Vissa delar av kapitel 6 innehåller ekvationer i både standard och icke-standarform i addition samt subtraktion.
I detta läromedel presenterades begreppet likhetstecknet (=) med hjälp av bilder av olika föremål. I boken förekommer uppgifter där elever lär sig den matematiska symbolen för likhetstecknet (=), som erbjuder elever förutsättningar att utveckla förståelsen för begreppet likhet. I boken förekommer ekvationer i standardform (ex. 4+ ◻= 7) och icke- standardform (ex. ◻-5= 5) inom räknesätten addition samt subtraktion. Dessa uppgifter kan hjälpa elever att fördjupa sina kunskaper inom begreppet likhet. Med detta menar vi att det krävs att elevers resonemangsförmåga ligger på den Rigid operational samt Flexible operational nivån för att de ska kunna utföra dessa typer av ekvationer. Dessutom finns det även ekvationer i boken som består av både siffror samt antal olika föremål (ex. *** + ◻= 5) eller endast
föremålen (◻-**= ****) med likhetstecken mellan dem för att symbolisera dessa uttryck som ekvationer. Vi anser att sådana uppgifter kan hjälpa elever att förstå begreppet likhetstecknet på ett logisk samt operationellt sätt. Ekvationer som
innehåller både siffror och bilder av olika antal föremål hjälper eleverna att förstå att likhetstecknet går att använda även om det inte finns siffror, då likhetstecknet
symboliserar likheter mellan olika siffor och olika antal föremål.
5.1.4 Den nya matematikboken 1A
Detta läromedel består av 6 kapitel och innehåller 128 sidor. Likhetstecken introduceras i kapitel 2 då första kapitlet består av uppgifter som handlar om taluppfattning för talen 0–2 och räknesätten addition samt subtraktion. Begreppet likhetstecknet (=) presenteras med hjälp av bilder med olika föremål, tillsammans med uppgifter om taluppfattning för talen 3 och 4. I detta kapitel introduceras ekvationer av räknesätten addition samt subtraktion i standardform (ex. 2+◻= 5, 4-◻= 1) som kräver att elevers resonemangsförmåga ligger på den Rigid operational
nivån enligt Matthews et al. (2012) bedömningsmodell. Kapitel 3 innehåller även ekvationer i standardform inom räknesätten addition samt subtraktion, tillsammans med uppgifter om taluppfattning för 5 och 6. Dessutom finns det även ekvationer i detta kapitel som består av bilder om olika föremål, där antalen av dessa föremål ska adderas eller subtraheras beroende av räknesätten som ska användas i ekvationen. Kapitel 4 och 5 innehåller även ekvationer i standardform inom räknesätten addition samt subtraktion, tillsammans med uppgifter om taluppfattning för 7–10. Kapitel 6 berör den matematiska begreppen ”Symmetri” som handlar om likheter. Även i detta kapitel förekommer ekvationer i standardform inom räknesätten addition samt subtraktion.
I detta läromedel presenterades begreppet likhetstecknet (=) med hjälp av bilder om olika föremål. I boken förekommer uppgifter där elever lär sig den matematiska symbolen för likhetstecknet (=), som erbjuder elever förutsättningar att utveckla förståelsen för begreppet likhet. I boken förekommer ekvationer i standardform (ex. 4+ ◻= 7) inom räknesätten addition samt subtraktion. Dessa uppgifter kan hjälpa elever att fördjupa sina kunskaper inom begreppet likhet. Med detta menar vi att det krävs att elevers resonemangsförmåga ligger på den Ridgid operational nivån för att de ska kunna utföra dessa typer av ekvationer. Dock förekommer ingen icke-
standardekvationer i denna bok.
5.1.5 Mondo 1A
Detta läromedel består av 3 kapitel och innehåller 159 sidor. I kapitel 1 introduceras likhetstecknet med hjälp av symboler där elever ska placera likhetstecknets symbol om det är lika många figurer i båda sidorna. Eleverna får möjligheten att använda symbolen (=). I kapitel 1 finns det inte ekvationer utan istället uppgifter som handlar om att eleverna ska få lära sig begrepp och lägesord. I kapitel 2 finns det standard samt ekvationer som är Rigid operational och Flexible operational, ekvationerna presenteras just under kapitel 2. Eleverna ska räkna ut ekvationer med räknesätten som addition eller subtraktion. I den första sidan av kapitel 2 får eleverna stöd att räkna ekvationerna med hjälp av en linje med runda kulor. I detta kapitel finns det uppgifter som har talområdena 0 till 10. Kapitel 3 har likadan struktur som kapitel två men skillnaden är att ekvationerna har större tal än tidigare. Det finns även vissa ekvationer där talen är utbytta mot bokstäver som x och y. Denna bok innehåller endast standard och icke-standardekvationer som kräver att eleverna ligger på den Rigid- samt Flexible operational resonemangsnivån. I det sista kapitlet finns det uppgifterna inom talområdet mellan 0 och 100.
I detta läromedel presenterades begreppet likhetstecknet (=) med hjälp av bilder om olika föremål. I boken förekommer uppgifter där elever lär sig den matematiska symbolen för likhetstecknet (=), som erbjuder elever förutsättningar att utveckla förståelsen för begreppet likhet. Som läromedelsboken Nya matematikboken 1A förekommer det endast ekvationer i standardform (ex. 4+ ◻= 7) inom räknesätten addition samt subtraktion. Dessa uppgifter kan hjälpa elever att fördjupa sina kunskaper inom begreppet likhet. Med detta menar vi att det krävs att elevers
resonemangsförmåga ligger på den Ridgid samt Flexible operational nivån för att de ska kunna utföra dessa typer av ekvationer. Dock förekom icke- standardekvationer endast i fåtal sidor.
5.1.6 Sammanfattning
Som tidigare nämnts baseras analysen av denna studies resultat på Matthew et al.s (2012) bedömningsmodell. I denna modell förekommer olika ekvationstyper, både standard och icke-standardekvationer. Dessutom består denna bedömningsmodell av fyra olika resonemangsnivåer som kan innehålla uppgifter som är både standard och icke-standardekvationer. Relationen mellan ekvationstyperna och de fyra nivåerna i bedömningsmodellen kräver en viss resonemangsförmåga i både standard och icke-standardekvationer för att klargöra elevernas förståelse av likhetstecknet utifrån bedömningsmodellen.
I läroboken Favorit Matematik 1A fanns både standard och icke-standardekvationer. Utifrån alla ekvationer var det 56 % av standardform medan resterande 44 % av ekvationerna var icke-standardform. I boken fanns ekvationer som var i nivåerna rigid- samt flexible operational. Det förekom inga ekvationer av basic- samt
comparative rational nivåer i boken. 73% av alla uppgifter handlade om eller innehöll likhetstecknet.
I Rik Matematik 1A förekom både standard- och icke-standardekvationer. I läroboken fanns både nivåer av rigid- samt flexible operational. Det förekom inte ekvationer av nivåerna basic- eller comparative rational. Utifrån alla ekvationer var det 61 % som var av av standardform och 39 % av icke-standardform. Dessutom var det 69% som handlade om eller innehöll likhetstecknet.
I Matte Eldorado 1A fanns det både standard- icke-standardekvationer. Av alla uppgifter var det 44 % som handlade om eller innehöll likhetstecknet. Av alla
ekvationer var det 66 % som var standardekvationer medan det fanns 34 % som var icke-standardekvationer. I läroboken förekom nivåer som rigid- samt flexible operational. Men det förekom inte nivåer som basic- eller comparative rational. I Nya matematikboken 1A förekom inga ekvationer i icke-standardform, vilket betyder att alla ekvationer var i standardform. I boken fanns ekvationer på rigid- samt flexible operational-nivåer, dock fanns det inga ekvationer på resterande två nivåer som är basic rational och comparative rational. Av alla uppgifterna i läroboken handlar 58% om likhetstecken eller innehåller likhetstecknet.
I Mondo 1A var majoriteten av alla ekvationer i standardform, 92 % av alla ekvationer var standardform medan resterande av ekvationerna var icke-standardekvationer. I läroboken var det 28% av alla uppgifter som handlade om eller innehöll
likhetstecknet. Det förekom nivåer som rigid- samt flexible operational, men det fanns inga nivåer som basic- eller comparative rational.
Genom vår analys kunde vi konstatera att likhetstecknet ofta presenterades i början av de utvalda läroböckerna. Vissa introducerade likhetstecknet redan i första kapitlet medan andra presenterade likhetstecknet i andra kapitlet. Nästan alla böcker
presenterade likhetstecknet med hjälp av textbaserade uppgifter samt bildstöd. Efter presentationen av likhetstecknet har dessa böcker i ett senare skede introducerat uppgifter som innehåller likhetstecknet, exempelvis abstrakta uppgifter både med och utan bildstöd.
I resultatet framkom att majoriteten av förklaringsmodellerna presenterar
majoriteten av ekvationerna i de utvalda läromedlen var i standardform. Nedan finns exempel på rigid- samt flexible operational ekvationer.
Figur 1: Avbildning av uppgifter inom fälten rigid- samt flexible operational från Favorit Matematik 1A (Haapaniemi, 2012, s.173).
I figur 1 handlar uppgiften om att eleverna ska beräkna ekvationen. Det finns både standard och icke-standardekvationer. I uppgiften ska eleverna ta reda på vad en skridsko, skidglasögon, hjälm och släde är värda genom att lösa både standard samt icke-standardekvationer. Därför krävs det att eleverna har en resonemangsförmåga utifrån nivåerna rigid- samt flexible operational utifrån Matthews (2012)
bedömningsmodell.
Figur 2: Avbildning av uppgifter inom fälten rigid operational från Eldorado 1A (Olsson & Forsbäck, 2015, s.73)
I figur 2 finns ekvationer som eleverna ska lösa genom att fylla rätt siffra i den tomma spalten för att det ska bli lika på båda sidor. Denna uppgift klassas som en
standardekvation som kräver att eleverna har en resonemangsförmåga som ligger på rigid operational-nivån enligt Matthews (2012) bedömningsmodell.
Figur 3: Avbildning av uppgifter inom fälten rigid- samt flexible operational från Mondo 1A (Brorsson, 2015, s.121)
I figur 3 finns ekvationer som eleverna ska lösa genom att fylla i rätt siffra i den tomma spalten för att det ska bli lika på båda sidor. Jämfört med figur 2 där svaren på ekvationerna ligger på den högra sidan har denna uppgift ekvationer som också kan ha svaret på vänstra sidan. Därför klassas denna uppgift som standard- samt icke-standardekvation och det krävs att eleverna har en resonemangsförmåga som ligger på rigid-samt flexible operational-nivå, utifrån Matthews (2012)
bedömningsmodell.
5.2 Hur lärarhandledningar presenterar likhetstecknet
5.2.1 Eldorado
Lärarhandledningen uppmuntrar läsaren att introducera likhetstecken genom samtal eftersom det finns elever som inte kan läsa när de går i årskurs 1. Vidare uppmanas läsaren att arbeta konkret med hjälp av bilder och symboler för att göra elever medvetna om likhetstecknets betydelse. Ett konkret förslag är att ha en lektion där eleverna får prata tillsammans om varför det blir lika många på båda sidorna med hjälp av figurer som eleverna får se. Vidare nämns en aktivitet där eleverna ska skapa ekvationer med hjälp av tärningar som går ut på att skapa ekvationer som är lika på båda sidorna om likhetstecknet. Lärarhandledningen beskriver svårigheter och missuppfattningar om likhetstecknet. Om en elev har glömt bort likhetstecknet eller inte förstår vad symbolen innebär finns det en risk att eleverna tolkat likhetstecknet som ett resultattecken. Därför menar författarna att likhetstecknet betydelse bör upprepas under terminens gång.
Aktiviteten där eleverna ska tolka likhetstecknet genom bilder och symboler uppmuntrar förståelse av likhetstecknet som operationell och inte relationell.
Övningen med tärningarna ger förutsättningar för att arbeta med ekvationstyper som är både Rigid operational och Flexible operational.
5.2.2 Favorit
Favorits lärarhandledning nämner att likhetstecknet är en symbol som eleverna ofta inte känner till väl. Författarna ger tips på hur man kan arbeta med begreppet. Lärarna uppmanas fråga eleverna över vad begreppet innebär, och sedan rita två påsar med äpplen på tavlan där syftet är att eleverna ska få en ökad förståelse av begreppet likhetstecknet. Även ger lärarhandledningen frågor till motsatsen av likhetstecknet för att eleven ska känna till motsatsen av likhetstecknet. I
lärarhandledningen finns det en aktivitet där läraren exempelvis ska fråga eleverna
”Tillsammans har du och Tommy 14 kronor. Om du har 3 kronor, hur många kronor har Tommy?” Eleverna får således ett tillfälle att uppfatta begreppet som
operationellt och inte enbart relationellt. Det framgår inte i lärarhandledningen vilka missuppfattningar som eleverna kan ha kring likhetstecknet. Vidare framgår det inte vilka arbetssätt en lärare kan arbeta med.
Att arbeta med aktiviteter som påsar med äpplen ger möjligheter för eleverna att lära sig flexible operational då man arbetar med båda sidorna av likhetstecknet. I
lärarhandledningen finns det föreslagna aktiviteter för hur man kan arbeta med flexible operational nivån genom material som låtsasmynt. Denna lärarhandledning uppmanar läsaren att arbeta med aktiviteter där eleverna får arbeta med
5.2.3 Nya matematikboken
I lärarhandledningen ges lärarna förslag på idéer för hur de kan arbeta med
likhetstecknet. Ett exempel är att man med hjälp av en våg kan visa att likhetstecknet betyder ”lika mycket på båda sidorna”. Vidare belyser författarna att lärare ska prata om begreppet likhetstecknet med eleverna och använda formella ord som”lika
mycket”. Författarna ger tips till läraren om att prata om likhetstecknet genom utsagor. I handledningen finns det flera utsagor för hur man kan prata om begreppet likhetstecknet. I lärarhandledningen ger de utsagor med exempel på vilken
ekvationstyp man kan berätta i en utsaga, men de uppmanar läraren att själv utveckla olika ekvationstyper.
Under ett kapitel finns det en uppgift där eleverna själva ska skapa olika
operationella tal. Exempelvis ska elever med stöd från läraren skapa ekvationer som ●●●=●+◻ (s.38).
Att arbeta genom att skapa olika ekvationstyper är ett arbetssätt som gör att man kan arbeta med exempelvis rigid och flexible operational, eftersom läraren kan hjälpa till och ge tips över vilka ekvationer man kan skapa. En aktivitet med laborativt material kan ge eleverna en förståelse kring olika ekvationstyper då eleverna får möjligheten att arbeta från båda sidorna av likhetstecknet. De aktiviteter som nämnts ger
eleverna möjlighet att lära sig om ekvationstyper som är operationella. Vidare ger lärarhandledningen exempel över hur man kan introducera ekvationstyper som flexible operational. Innan eleverna ska arbeta med flexible operational finns det aktiviteter som att arbeta med laborativt material. Det står inte vilket material utan läraren ska själv skapa material för att eleverna ska utföra aktiviteten.
5.2.4 Rik matematik
Genom lärarhandledningen får läraren stöd i form av förslag på olika lektioner som kan genomföras för att eleverna ska förstå likhetstecknet. Målet i kapitel två är att eleverna ska förstå innebörden av likhetstecknet genom att använda symbolen i jämförelse mellan ett antal föremål. Lärarhandledningen ger tips på aktiviteter som att elever ska arbeta med i par och placera ut korten = eller ≠. Om det är lika många symboler på båda sidorna ska eleven placera kortet = och ≠ ska placeras om det inte är lika många på båda sidorna.
Författarna tar även upp en balansvåg som exempel för att visa likhetstecknet. Balansvågen ger eleverna möjligheten att tänka operationellt då en aktivitet handlar om att placera kulor på en sida för att det ska bli lika många kulor på båda sidorna. Förenklingen är en viktig del som författarna nämner och det handlar om att läraren ska ge eleverna hjälpmedel i form av konkret material för att lösa ekvationer. De poängterar att det inte handlar om hur många uppgifter eleverna har klarat utan hur de uppfattar likhetstecknet. I kapitel 5 finns det aktiviteter som vi nämnt ovan, men de fokuserar inte på att använda begreppet lika många utan snarare ordet jämvikt. Med hjälp av en balansvåg kan läraren använda ordet jämvikt. Eleverna får
möjligheten att höra likhetstecknet fast genom olika synonymer.
Diskussioner är något som författaren nämner och genomsyras i varje föreslagen aktivitet, författarna vill att man ska diskutera likhetstecknet. I kapitel 10 tipsar lärarhandledningen om utsagor. Med hjälp av utsagor kan man diskutera olika påstående för att prata om huruvida det är sant eller inte. Ett exempel på ett påstående är ”4 är lika med 2+1” (s.104). När läraren har sagt påståendet ska eleverna tycka till om påståendet stämmer eller inte.
Aktiviteterna som nämnts ger eleverna förutsättningar för att förstå likhetstecknet operationellt. Detta gör att eleverna begriper ekvationstyper under flexible
operational. Genom balansvågen får eleverna chansen att förstå att det är lika många i båda sidorna och att det inte finns en specifik sida man ska fokusera på.
5.2.5 Mondo
Samtalsbilder och digitala uppgifter finns i Mondos lärarhandledningar för att diskutera matematiska begrepp. Lärarhandledningarna erbjuder stöd i form av olika konkreta arbetssätt. Det finns olika arbetsformer i form av spel, bilder och olika videos om matematik. I varje kapitel har finns det samtalsämne i lärarhandledningen som är kopplade till uppgifterna. Boken redogör dock inte aktiviteter som är
kopplade till kapitlen utan lärarhandledningen redogör alla matematiska områden systematiskt.
I boken finns det en aktivitet som kallas för ”vad är det i lådan?”, aktiviteten går ut på att eleverna ska räkna antalet bollar av olika färger som finns i lådan. Aktivitet är öppen i form av att läraren kan ställa varierande frågor som exempelvis ” Om det
finns 5 röda bollar och tre gröna bollar, hur många gröna bollar behöver man lägga till för att det ska bli lika många röda och gröna bollar i lådan?”. Till varje
kapitel upprepas matematisk terminologi för att använda olika matematiska begrepp, till likhetstecknet används ord som lika många och likhet.
Aktiviteten som nämnts i lärarhandledningen ger eleverna möjligheten att tänka utifrån ett operationellt sätt. När eleverna får arbeta med aktiviteten vad är det i
lådan får de arbeta med att placera in lika många bollar i lådan och det finns ingen
specifik ordning eller sida man börjar med, detta ger eleverna möjligheten att få arbeta med flexible operational.
5.2.6 Sammanfattning
Samtliga handledningar har instruktioner kring hur läraren ska arbeta med boken kring likhetstecknet. Dock så saknas det exempel på hur detta ska kunna utföras genom att arbeta med ekvationer som utvecklar elevers basic rational- och comparative rational-resonemangsförmåga. I en av handledningarna (Rik
Matematik) lyfts särkilt av författaren vikten av att verkligen diskutera likhetstecknet med eleverna.
6. Diskussion
Nedan diskuterar vi denna studies resultat kopplat till tidigare forskning. Avsnittet inleds med en metoddiskussion. Därefter avslutas kapitlet med en diskussion kring det resultat som framkommit utifrån vilka förklaringsmetoder som finns för
likhetstecknet i böckerna samt handledningarna. I slutdiskussionen diskuteras ifall böckerna innehåller uppgifter i tillräcklig utsträckning som ger möjlighet till att utveckla elevernas förståelse kring likhetstecknet.
6.1 Metoddiskussion
Vi har besvarat våra forskningsfrågor genom att förhålla oss till den teoretiska utgångspunkt som valdes. Vår teoretiska utgångspunkt var Matthews (2012) bedömningsmodell, en etablerad modell som har använts i tidigare studier för att svara på liknande forskningssyfte. Studien är en litteraturstudie vilket innebär att material och kriterier har varit förutbestämt innan studiens början. Den litteratur som undersökts har således varit ett begränsat urval. Detta kan göra att andra böcker
och lärarhandledningar som används i svenska skolor innefattar en helt annan bild av hur likhetstecknet presenteras. Matthews (2012) använde modellen som vi har utgått ifrån för att mäta elevers förståelse av likhetstecknet med hjälp av fyra olika nivåer. Skillnaden i vår studie är att vi använde bedömningsmodellen som en analysmetod och som teoretisk utgångspunkt. Dessutom användes den inte för att mäta förståelse utan för att kategorisera olika typer av förklaringar. Studien som Matthews (2012) gjorde var ämnad från årskurs två till fem. Vår studie avgränsades och fokuserade enbart på böcker och lärarhandledningar för elever som går i årskurs 1. Denna studie kunde ha fått ett annat utfall om vi valt att förhålla oss till en annan teoretisk utgångspunkt som skiljer sig från den valda bedömningsmodellen. Hade vi gjort en förstudie kring att skapa egna kategorier av förklaringar i stället för att modifiera en befintlig modell hade det möjligen kunnat formats ytterligare efter det analyserade materialet men hade också tagit mycket längre tid. Dessutom finns en vetenskaplig grund i att använda en välkänd etablerad modell som den av Matthews (2012). Vi hade kunnat använda oss av ett mer öppet och induktivt perspektiv i stället för att ha på förhand kodade data. I det fallet hade möjligen en ny förklaringsmodell av likhetstecknet kunnat etableras.
Vi ville få svar på vilka förklaringsmodeller används i läroböckerna och
lärarhandledningarna för att presentera likhetstecknet och i vilken utsträckning de används. Detta lyckades vi med. Studiens fokus på utvalda material för samma årskurs gjorde att vi kunde jämföra dessa med varandra på ett generellt vis men eftersom det finns fler läroböcker som används är studien inte alls heltäckande. Metoden har varit kvalitativ men med kvantitativa inslag då studien använts sig av en innehållsanalys men med kvantifierade data. Enligt Bryman (2018) innebär
innehållsanalysen att teman och mönster kan sammanställas. Data samlades in från urvalet och granskades utifrån studiens frågeställning. Dessa kvantifierades som standard och ickestandard-ekvationer för att därefter jämföras och mynna ut i ett resultat som uppfyller uppsatsens syfte och ge svar på frågeställningen.
6.2 Forskningsetik
Vid analys av läromedel är det viktigt att vara transperent i sin presentation av metod och resultat för att stärka reliabilitet och validitet hos studien. Vi har stärkt detta och uppfyllt de etiska krav som ställs av Vetenskapsrådet (2017) genom att på egen hand samlat in all data som använts i studien. Vi har granskat all insamlad data för att säkerställa studiens trovärdighet. Med den utgångspunkten har vi även tydligt redovisat studiens syfte, och tydligt beskrivit vår metod samt studiens resultat. Studien har ingen koppling med kommersiella intressen eller andra bindningar. Studien är enbart skriven av oss och vi har inte tagit data från andra studier. Genom att vi har dokumenterat vårt material med hjälp av olika verktyg har vi ytterligare säkerställt materialets validitet.
6.3 Validitet, Reliabilitet och Generaliserbarhet
Bryman (2011) menar att alternativa begrepp kan användas när man bedömer kvalitativ forskning i stället för de kvantitativa forskningsbegreppen. Som förslag skriver Bryman att man ersätter begreppen reliabilitet och validitet med
tillförlitlighet och äkthet. För att studien ska kunna bedömas vara tillförlitlig krävs en trovärdighet mellan använda begrepp och studiens empiri. Detta har kunnat
uppfyllas genom att använda en beprövad modell av Matthews et al., (2012) För att ytterligare säkerställa uppsatens tillförlitlighet har metoden beskrivit
tillvägagångssättet och samtliga källor preciserats noggrant. Detta gör att studien kan upprepas av annan part och uppfyller kravet om generaliserbarhet. Äkthet som
Bryman nämner har delvis kunnat styrkas i och med att materialet som analyseras är relevant för forskningsområdet och ett material som används i skolan idag (Bryman, 2011).
6.4 Elevers förståelse av begreppet likhetstecken samt
missuppfattningar kring begreppet.
Resultatet av studien visar att alla fem utvalda läroböcker som analyserades i denna studie innehåller uppgifter som erbjuder elever möjlighet till begreppslig förståelse av likhetstecken. Med detta menas att alla fem läroböcker hade mer eller mindre
uppgifter som handlade om likhetstecken. Däremot omfattar inte alla böckerna likhetstecknet i samma utsträckning. Exempelvis har Favorit Matematik 1A fler uppgifter som innehåller eller handlar om likhetstecknet, medan Mondo 1A hade färre uppgifter gällande likhetstecknet. Låg omfattning av uppgifter som handlar om eller innehåller likhetstecknet kan leda till att eleverna inte skapar en begreppslig förståelse kring likhetstecknet samt missförstånd gällande begreppet. En studie gjord av Joengsuk Pang och Jongwon Kim (2018) samt Machaba (2017), som nämndes i avsnitt Litteraturgenomgång, fokuserar på hur elever tolkar likhetstecknet. Dessa studier visar att de flesta deltagande elever tolkar likhetstecknet som ”lika med” eller svar, istället för att förstå innebörden av tecknet, vilket symboliserar att värden på båda sidor av uppgiften är lika. Studien påpekar att det ska finnas varierande uppgifter för att eleverna ska skapa en god förståelse av begreppet likhetstecknet.
6.5 Elevers förståelse av likhetstecken när det gäller standard
och icke-standardekvationer
Vår forskningsfråga gällande förklaringsmodeller och hur läroböcker presenterar likhetstecknet visade att det varierar kring standard och icke-standardekvationer. Studien resultat visar att dessa fem böcker mer eller mindre innehåller uppgifter som stödjer utvecklingen av begreppslig förståelse för likhetstecknet. Alla fem utvalda matematiska läroböckerna innehåller standardekvationer, vissa mer andra mindre. Däremot innehåller endast fyra av de fem utvalda läroböckerna icke-
standardekvationer i olika mängder och dessa böcker är Favorit matematik 1A, Rik matematik, Mondo 1A samt Matte Eldorado 1A. Genom att analysera dessa fem böcker kan man konstatera att de fyra böckerna innehåller färre
icke-standarekvationer, jämfört med de standardekvationer som finns i läromedlen. Utifrån studien gjord av Powel (2012) lyfter forskaren betydelsen av läromedel som presenterar innehållet som både standard- och icke-standardekvationer, för att utveckla elevernas förståelse för likhetstecknet. Resultatet av läromedelsanalysen lyfter fram att endast 1 av 47 böcker inom de utvalda 8 matematik-läromedelserierna innehöll fler ekvationer i icke-standardform än standardform. Dessutom visade Powel att 9 böcker helt saknade icke-standardekvationer. Utifrån en jämförelse av resultatet i Powels (2012) studie kan man konstatera att det liknar resultaten i denna studie. Att inte inkludera icke-standardekvationer i större mängder i
matematikläromedel kan leda till att eleverna inte ges förutsättningen att fördjupa sina kunskaper inom begreppet likhetstecken. Det kan också begränsa elevernas
förmåga att ta till sig mer avancerad matematik. Detta då icke- standardekvationer får eleverna att inse likheter mellan värden av siffror eller antalen för olika föremål oavsett om likhetstecknet ligger på höger eller vänster sidan i uppgiften. Därför är det viktigt att matematikläromedel innehåller fler icke-standardekvationer för att
erbjuda elever möjligheten att vidareutveckla sina kunskaper om begreppet likhetstecken.
6.6 Förklaringsmodeller
Resultatet visar att lärarhandledningar erbjuder olika mängd förklaringsmodeller för att presentera likhetstecknet. Exempelvis ger Rik matematik en aktivitet i form av en våg som eleverna ska få arbeta med. Eldorado ger tips på varför man i jämna
mellanrum ska arbeta med likhetstecknet, skälet till detta är enligt Eldorado för att undvika missuppfattningar en elev kan möta om den inte repeterar sådant arbete. Det finns ingen lärarhandledning som ger läraren exempel på hur de kan arbeta med ekvationer för att utveckla elevers basic rational eller comparative rational
resonemangsförmåga. Det finns en tydlig bild att alla lärarhandledningar fokuserar på både standard och icke-standardekvationer då alla lärarhandledningar nämner dessa. Tre av lärarhandledningarna introducerar likhetstecknet med hjälp av symbolen (=) och uppmanar läraren att visa att det är lika många på både sidorna med hjälp av konkret material. Denna aktivitet är ett sätt att visa vad symbolen betyder och att man kan börja från båda sidorna. Det ger möjligheten att utveckla elevers flexible operational resonemangförmåga, då elever får arbeta på båda sidor av likhetstecknet. Ahl Koljonen och Hoelgaard (2013) nämner möjliga scenarion som kan uppstå om en lärare inte använder lärarhandledningen, bland annat att eleverna inte utvecklar en matematisk förmåga. Det kan till exempel uppstå att en lärare inte presenterar matematik genom relevant material och aktiviteter. I
lärarhandledningarna finns aktiviteter och vägledning över vilket material som passar för att presentera en matematisk kontext. Denna studie påvisar att lärarhandledningar erbjuder lärare förklaringsmodeller för att presentera likhetstecknet. Därför bör lärare utgå ifrån lärarhandledningen.
I Eldorados lärarhandledning står det att elever i årskurs 1 under höstterminen inte behärskar att läsa och skriva. Därför nämner lärarhandledningen diskussion och konkret material som ett sätt att introducera likhetstecknet. Rik matematik och Eldorado går in på djupet och nämner aktiviteter där elever använder tärning och balansvåg. Essien (2009) nämner att elever utvecklar en förståelse av likhetstecknet när de får arbeta med aktiviteter som utvecklar deras resonemangsförmåga inom nivåerna ridgid- samt flexible operational. Med hjälp av en balansvåg får eleverna möjligheten att arbeta med matematiska begreppet likhet. Detta gör att eleverna skapar en förståelse kring likhetstecknets innebörd. Ahl Koljonen och Hoelgaard (2013) beskriver skillnader mellan lärarhandledningar och vilka uppgifter som eleverna får arbeta med. Elever behöver arbeta med material där de får möjlighet att utvecklas. Om en lärarhandledning inte har aktiviteter som passar en elev i årskurs 1, riskerar eleven att inte få matematisk förståelse kring begreppet likhetstecken.
Studiens resultat konstaterar att konkreta aktiviteter ska genomsyra lektionerna i ämnet matematik, då eleverna får möjligheten att skapa begreppslig förståelse kring begreppet likhetstecknet.
