Relativitetsteori

1. Den närmaste fixstjärnan på den södra stjärnhimmeln är Alfa-Centauri. Avståndet till stjärnan är 4,5 ljusår.

a) Hur lång tid tar det för ett rymdskepp, sett från jorden, att åka till Alfa -Centauri om rymdskeppets hastighet är halva ljushastigheten?

b) Hur lång tid skulle samma resa ta för astronauterna ombord?

2. En astronaut påbörjar vid 25 års ålder en rymdresa. Han färdas i snitt med hastigheten v = (12/13)c. När hans tvillingbror är 69 år gammal tillfrågas astronauten hur gammal han är. Vad blir svaret?

3. I en linjär accelerator accelereras en elektron till hastigheten v=0,60c. Efter accelerationen passerar elektronen med konstant hastighet ett rör med längden 9,0 m.

a) Hur lång tid tar det för elektronen att flyga genom röret? b) Hur lång är denna sträcka i elektronens vilosystem? c) Hur lång tid tar rörflykten i elektronens vilosystem?

4. Solens utstrålningseffekt är 4 · 1026 W.

a) Hur mycket minskar solens massa per sekund?

b) Hur länge till skulle solen kunna skina om man antar att 80 % av dess massa kan omvandlas till energi

5. En ljuskälla rör sig med hastigheten 0,5c bort från jorden

a) Vilken ljushastighet uppmäter en resenär som följer med ljuskällan? b) Vilken ljushastighet uppmäter en observatör på jorden?

6. Beräkna värdet i kronor av den energi som motsvarar massan 1,0 kg om energipriset är 50 öre/kWh.

7. Beräkna den minsta tänkbara energikostnad som skulle krävas om man kunde ge en kropp med massan 2,5 g en hastighet som vore 90% av ljushastigheten. Räkna med ett energipris på 70 öre/kWh. Som jämförelse kan nämnas att en bordtennisboll väger 2,5 g.

Facit

_________________________________________________________________

1. Färden tar 9 år sett från jorden och 7,8 år sett av astronauterna.

_________________________________________________________________

2. Astronauten är 42 år

_________________________________________________________________

3. Passagen tar i rörets vilosystem 50 ns.

I elektronens vilosystem är röret 7,2 m och passagen tar 40 ns.

_________________________________________________________________

4. Solen förlorar 4,4·109 kg/s. 80 % av massan skulle räcka 1,1·1013 år. (Vätet försvinner inte utan blir helium vilket har ca 0,5 % mindre massa. Detta skulle ge en tid i storleksordningen av 1011 år.)

_________________________________________________________________

5. Båda uppmäter samma ljushastighet nämligen c.

_________________________________________________________________

6. Den totala energin i 1,0 kg motsvarar ca 13 miljarder kronor.

_________________________________________________________________

7. Det skulle kosta minst 57 miljoner kr att ge 2,5 g hastigheten 0,90c. _________________________________________________________________

________________________________________________________________________ 1. a) t = s v = 1 c t c 2 ⋅ _{= 2t} 1 = 9 år b) t = 0 2 2 t 1 v c−

där t₀ är tiden i observatörernas system vilka här är astronauterna.

⇒ t0 = t 1 v c− 2 2 = t 1 (c / 2) c− 2 2 = t 1 1 4− =

= t 3 4 = 3 t

2⋅ = 3 92⋅ = 7,794 år

Svar: Färden tar 9 år sett från jorden och 7,8 år sett av astronauterna.

________________________________________________________________________

2.

Med t0 som tiden för observatören vilken här är astronauten får vi:

t0 =t 1 v c− 2 2 = 2 2 12c t 1 c 13 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 144 t 1 169 − = t 25 169 = 5 t 13 = 5 44 13 = 16,92 år Ålder = 25 + 16,9 = 41,9 år Svar: Astronauten är 42 år ________________________________________________________________________ avstånd tid för ljusstråle ljushastighet hastighet skepp

s = 4,5 ljusår = c·t1 t1 = 4,5 år c = 2,998·108 m/s v = c/2

tid för resa ljushastighet hastighet rymdskepp t = 69-25 = 44 år c = 2,998·108 m/s v = (12/13)c

3. a) t = L0 v = 0 L 0,60c = 8 9,0 0,60 2,998 10⋅ ⋅ = 5,0·10 -8 s

b) Med L som längden vid hastigheten v får vi:

L = L 1 v c₀ − 2 2 = L 10 −

(

0,60c

)

2 c2 = L 1 0,360 − =

= L 0,64₀ = 0,8L0 = 0,8·9,0 = 7,2 m

c) Med t0 som tiden för observatören vilken här är elektronen.

t0 = t 1 v c− 2 2 = t 1−

(

0,60c

)

2 c2 = t 1 0,36− =

= t 0,64 = 0,8t = 0,8·5,0·10-8 = 4,0·10-8 s Svar: Passagen tar i rörets vilosystem 50 ns.

I elektronens vilosystem är röret 7,2 m och passagen tar 40 ns.

________________________________________________________________________ 4. a) P = E t = 2 mc t ⇒ mʹ′ = m t = 2 P c =

₍

₎

26 2 8 4 10 3,00 10 ⋅ ⋅ = 4,44·109 kg/s b) b) t = 0,8M mʹ′ = 30 9 0,8 1,989 10 4, 44 10 ⋅ ⋅ ⋅ = 3,6·10 20 _{s =} 3,6 10 s20 365 24 3600s / år ⋅ ⋅ ⋅ = 1,1·10 13 _år

Svar: Solen förlorar 4,4·109 kg/s. 80 % av massan skulle räcka 1,1·1013 år.

(Vätet försvinner inte utan blir helium vilket har ca 0,5 % mindre massa. Detta skulle ge en tid i storleksordningen av 1011 år.)

vilolängden ljushastighet hastighet elektron L0 = 9,0 m c = 2,998·108 m/s v = 0,60c

utstrålad effekt jordmassa omvandlad massa P = E/t = 4·1026 W M = 1,989·1030 kg ΔM = 0,8M

Då ljushastigheten är en universell konstant mäter båda samma hastighet c. Observatören på jorden uppfattar dock både sträckor och tider som längre med samma faktor 1 v c− 2 2. Detta gör att de kan uppmäta samma hastighet för ljuset.

Svar: Båda uppmäter samma ljushastighet nämligen c.

________________________________________________________________________

6. .

Pris = E · p = mc2p = 1,0 · (3,00·108)2 · 1,39·10-7 = 1,251·1010 kr Svar: Den totala energin i 1,0 kg motsvarar ca 13 miljarder kronor.

________________________________________________________________________ 7.

Då hastigheten nära ljushastigheten räknar vi relativistiskt

Pris = Ek · p = (E – E0) p = (mrc2 – mc2)p = 2 2 2 1 mc p 1 1 v c ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ = = 2 2 2 1 mc p 1 1 (0,90c) c ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ = _{mc p}2 1 ₁ 1 0,81 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = _{mc p}2 1 ₁ 0,19 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = _{0,0025 3,00 10}

₍

8

₎

2 _{1,94 10} 7 1 ₁ 0,19 − ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅_⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ = 5,649·107 kr

Svar: Det skulle kosta minst 57 miljoner kr att ge 2,5 g hastigheten 0,90c. ________________________________________________________________________

ljushastighet hastighet ljuskälla c = 2,9979·108 m/s v = 0,5c

ljushastighet massa energipris

c = 3,00·108 m/s m = 1,0 kg p = 0,50kr_{1kWh 1000}0,50kr_{J 3600s} 1,39 10 kr / J7 s

−

= = ⋅

⋅

ljushastighet hastighet massa energipris

c = 3,00·108 m/s v = 0,90c m = 0,0025 kg p = 7 0,70kr 1,94 10 kr / J 1kWh − = ⋅