Effekter av laborativa material i bråkundervisning. : En litteraturstudie om elevers matematiska förståelse kring bråk.

Examensarbete

Grundlärare F-3 240 hp

Effekter av laborativa material i

brakundervisning. - En litteraturstudie om

elevers matematiska forstaelse kring brak.

Matematik 15 hp

Halmstad 2020-07-07

Titel

Effekter av laborativa material i bråkundervisning.

- En litteraturstudie om elevers matematiska

förståelse kring bråk.

Författare

Charlotta Reitmaier & Evelina Persson

Akademi

Akademin för lärande, humaniora och samhälle

Sammanfattning

I detta examensarbete ställs frågan vilka effekter

laborativ matematikundervisning har på elevers

matematiska förståelse när det gäller matematikområdet

bråk. Examensarbetet är en forskningsstudie där

sammanlagt 8 avhandlingar och vetenskapliga artiklar

lyfts fram för att söka svar på frågan kring laborativt

material och elevers matematiska förståelse. Studierna

samlades in via sökmotorerna ERIC (Escbo),

DiVA-portalen samt SwePub. Studierna lyfter olika exempel

på hur lärare arbetat med laborativa material i sin

matematikundervisning,

till

exempel

med playdough och berättande som hjälpmedel. De

lyfter också vikten av att elever tidigt behöver förstå att

det finns fler tal än heltal. Forskare menar att det

laborativa materialet måste ha ett mål och syfte för att

det ska bli meningsfullt och bidra till elevers förståelse.

Annars finns det en risk att det bara blir underhållande

eller skapar förvirring bland eleverna och de går miste

om den matematiska förståelsen. Slutsatsen som dras är

att elevers förståelse för bråk kan bli djupare av att

använda laborativa metoder i undervisningen. Studierna

visar att förståelsen för bråktals delar och helhet,

addition av bråk samt jämförelser av bråk kan gynnas.

Nyckelord

Laborativ matematikundervisning, laborativa material,

bråk

Handledare

Patrik Lilja

Förord

De flesta som gått i skolan skulle nog påstå att matematik är ett ämne som kan innefatta blandade känslor. Den frustrerande känslan när man inte förstår eller den härliga känslan när man löser ett problem. När matematikkursen skulle börja på högskolan var det många studiekamrater som kände sig oroliga inför hur matematikkursen skulle gå, eftersom studenterna inte hade positiva minnen från matematiken när de själva gick i skolan. Vår lärare sa att detta var vanligt. En student uttryckte till och med att hon vill undervisa, speciellt i matte, för att hon vill ge eleverna en positiv upplevelse av matematik och inte en negativ som hon själv varit med om. Oavsett vilken känsla som har stannat kvar hos eleven eller studenten tror vi att det har mycket att göra med vilken lärare man hade och hur hen la upp undervisningen.

Under de VFU-perioder vi haft sedan hösten 2017 har vi sammanlagt haft åtta handledare. När klasserna arbetade med matematik och området bråk uppmärksammade vi båda två att våra handledare utgick ifrån ett teoretiskt arbetssätt när bråk lärdes ut. Material att ta del av utanför matematikboken var endast stenciler. Eleverna uttryckte svårigheter kring bråkets struktur, d.v.s. delarna och helheten.

När vi själva blickar tillbaka på vår skolgång kan vi sammanfatta våra erfarenheter av matematikundervisningen enligt följande:

Jag minns hur matematik var ett av mina favoritämnen redan i lågstadiet upp till och med nionde klass. Jag tyckte det var spännande att lära sig nya saker, utmanas och arbeta både själv och med andra. Undervisningen bestod mest av arbete i matematikboken, genomgångar på tavlan och matematikspel. En del av matematiken som jag upplevde som klurig var när vi arbetade med bråk. Det tog lång tid för mig att lära mig vad bråk var och hur man skulle tänka för att förstå. Läraren kunde visa lite former på tavlan som hon ritade upp och delade in i olika delar med sin stora linjal. Sedan fick vi räkna bråk i matematikboken. /Charlotta

Matematikundervisningen under min skolgång minns jag som en frustrerande och samtidigt väldigt känslig del när det gäller självförtroendet till mitt eget kunnande. Jag tror det främst berodde på att ”misstagen” man gjorde blev så tydliga eftersom undervisningen vanligtvis utgick ifrån matematikboken. Undervisningarna under låg-, mellan-, och högstadiet präglades ofta av en muntlig genomgång av läraren som sedan avslutades med räkning i matematikboken. En del i matematiken som jag tyckte var problematisk var vid räkning med bråktal. Svårigheter som jag upplevde var bland annat förståelsen för bråkets uppbyggnad samt storleks ordna bråk. För att lära mig detta fick jag i uppgift att nöta olika stenciler som jag fick utdelat av min lärare, vilket ledde till att jag till slut lärde mig vilka bråktal som skulle placeras var. /Evelina

Utifrån våra respektive berättelser och erfarenheter ovan kan vi konstatera att vi har liknande upplevelser kring matematikundervisningen kring bråk. Utifrån detta och de observationer vi gjort på VFU-skolorna kan vi se en koppling mellan lärares undervisning då och nu. De svårigheter som eleverna uttrycker nu ligger i linje med de svårigheter vi också upplevde. Lärarutbildningen på Högskolan i Halmstad och matematikkursen har innefattat både teoretiska och praktiska inslag. Lärarna på högskolan har förespråkat att våga gå utanför matematikbokens ramar och använda ett laborativt arbetssätt. Vi har tagit del av olika praktiska material som kan användas i matematikundervisningen på lågstadiet. Det har gjort att vår syn på

matematikundervisningen har vidgats, dock har vi inte sett så mycket av detta ute på VFU-skolorna.

Detta är bakgrunden till varför vi valt att studera matematikundervisningen och bråk. Om undervisningen lagts upp på ett annorlunda sätt än att räkna i matematikboken, hade vi förstått oss på bråk mer då? Förmodligen, ja. Därför vill vi i det här examensarbetet studera hur ett laborativt arbetssätt kan bidra till matematisk förståelse av bråk i matematikundervisningen. Under arbetets gång har samarbetet varit konstant, vissa delar har dock en student ansvarat för mer ingående. Därför har uppdelningen blivit följande:

Charlotta: innehållsförteckning, Giota (2013), Florin Sädbom (2015), (Wernberg, 2009), Andrews och Larson (2017), Torbeyns, Schneider, Xin och Siegler (2015),

metod, Caswell (2007), Purwadi, Sudiarta och Suparta (2019), Lemonidis och Kaiafa (2019) och Sveider (2016).

Evelina: Florin Sädbom (2015), Rydstedt & Trygg

(2010), Reeder och Utley (2017), Löwing (2004), Thurlings, Koopman, Brok och Pepin (2019), Loong (2014) och Nagy (2017).

Vi vill tacka vår handledare Patrick Lilja, för den stöttning och hjälp vi fått kontinuerligt under arbetets gång. Pernilla Enochson Granklint och Caroline Nagy vill vi tacka för givande samtal som förde oss in på nya spår och gjorde att arbetet fick ett mer specifikt innehåll.

Innehållsförteckning

Kapitel 2: Forskning inom området ... 3

2.1 Läroplansperspektiv ... 3 2.2 Klassrumsperspektiv ... 3 2.3 Laborativ matematik ... 4 2.4 Bråk i undervisningen ... 4 Kapitel 3: Metod ... 6 3.1 Databaser ... 6

3.2 Sökord och avgränsningar ... 6

3.3 Sökprocess ... 7

3.4 Metoddiskussion ... 7

Kapitel 4: Resultat och analys ... 9

4.1 Matematisk förståelse för bråk ... 9

4.2 Olika material eller arbetssätt i laborativ undervisning ... 12

4.3 Kritiska aspekter med laborativt material och bråk ... 14

4. 4 Resultat tabell ... 16

4. 5 Analys av resultat ... 17

Kapitel 5: Diskussion ... 19

Kapitel 6: Implikationer inför Examensarbete II ... 21

Kapitel 1: Inledning

1.1 Bakgrund

Läroplanen har förändrats över tid, vilket bland annat har resulterat i att lärarens uppdrag har tydliggjorts. Florin Sädbom (2015) menar att läraren idag har en tydligare utgångspunkt i vad undervisningen ska innefatta och hur det kan göras. Eleverna ska få ta del av flera olika arbetssätt. Ur en intervju med gymnasieelever framkommer det att den typiska matematiklektionen innehåller genomgång av lärare och eget arbete i läromedlet (Andrews & Larson, 2017). Wernberg (2009) menar att det under matematiklektionen sällan förekommer diskussioner eller arbete tillsammans med klasskamrater.

Enligt Rydstedt och Trygg (2010) har ett laborativt arbetssätt ett flertal fördelar för elevernas matematiska förståelse. Bland annat får eleverna ta del av olika uttrycksformer samt möjligheten att utveckla deras matematiska språk och intresse för matematiken. I arbetet med bråk behöver eleverna ha en annan förståelse än för naturliga heltal eftersom heltal och bråktal skiljer sig åt. Därför kan det vara en stor fördel att tidigt i lågstadiet lära sig att det finns andra tal än naturliga heltal (Torbeyns, Schneider, Xin och Siegler, 2015).

1.2 Läroplanen

Det centrala innehållet i matematik under 1–3 tar upp att eleverna ska kunna förstå del av helhet, benämna enkla bråk och hur dessa förhåller sig till naturliga tal (Skolverket, 2018). De ska även förstå hur enkla tal i bråkform används i vardagliga situationer.

Enligt läroplanen ska den matematiska undervisningen ge eleverna möjlighet att känna förtroende för att tillämpa matematiken i olika kontexter (Skolverket, 2018). Det är alltså vårt uppdrag som lärare att möjliggöra flera olika arbetssätt för eleverna. Genom att låta eleverna arbeta utifrån olika matematiska metoder ger vi eleverna fler möjligheter att lära sig samt att finna matematiken som ett intressant ämne (Rydstedt & Trygg, 2005).

Eleverna ska även använda det matematiska språket genom att resonera och argumentera för sina frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2018). Rydstedt och Trygg (2005) lyfter fram att användningen av ett laborativt arbetssätt tillåter eleverna att kommunicera och resonera sig fram till sina lösningar.

Kunskapskrav i Lgr 11 tar upp att eleven kan beskriva matematiska begrepp med symboler, konkret material eller bilder. Eleven ska visa grundläggande kunskaper om bråk, dela upp helheter i antal delar, jämföra och namnge enkla bråk (Skolverket, 2018).

1.3 Centrala begrepp

I denna studie används följande centrala begrepp: laborativ matematikundervisning,

laborativt material och bråk. En laborativ matematikundervisning skiljer sig från den

traditionella på det sättet att eleverna får tillfälle att samarbeta, reflektera samt undersöka matematik, med hjälp av olika laborativa material. Laborativt material har inte någon klar definition, men går vanligtvis att dela in i två undergrupper som innefattar

vardagliga föremål och pedagogiska material. Skillnaden mellan dessa två är att vardagliga föremål kan vara i princip vad som helst som finns i vardagen medan pedagogiska material är speciellt tillverkade för att användas i matematikundervisningen (Rydstedt och Trygg, 2005). Enligt Solem, Alseth och Nordberg (2011) är bråk ur en matematisk synvinkel a/b, a och b motsvarar heltal. Bråk behövs då det ger möjlighet att uttrycka tal mellan heltal, både som delar av ett objekt eller som tal på en tallinje mellan heltal (Solem et al., 2011).

1.4 Problemområde

När det kommer till matematik och området bråk skiljer det sig från andra heltal som barn träffat på (Solem et al., 2011). Eftersom tankesättet skiljer sig åt så pass mycket när det gäller heltal och bråktal trycker Torbeyns et al. (2015) på att det är viktigt att i tidig ålder få en förståelse för skillnaden mellan de olika talen.

Vanligtvis skiljer det sig lika mycket mellan heltal som till exempel ett, två, tre, men i bråk skiljer det inte lika mycket mellan 1/3 och ¼ som mellan 1/3 och 1/2. Dessutom kan värdet av bråket förändras när helheten ändras, 1/3 av 15 är inte samma som 1/3 av 100 (Solem et al., 2011). Efter årskurs 3 ska eleverna kunna uttrycken för enkla bråk samt kunna jämföra dessa med heltal. Undervisningen på lågstadiet ska lägga grunder för vidare utveckling och svårare bråk. Därför behöver eleverna få en förståelse för bråk, inte bara regler i räkningen av bråk utan en djupare förståelse.

Enligt Solem et al. (2011) behöver läraren lägga stor vikt vid att visa eleverna olika representationsformer av bråk i undervisningen. Reeder och Utley (2017) menar dock att lärare idag inte har förmågan att använda sig av olika gestaltningsformer i sin undervisning när det kommer till bråk. Som tidigare nämnts ska eleven enligt kunskapskrav i Lgr 11 (Skolverket, 2018) kunna beskriva matematiska begrepp med t.ex. konkret material, bilder eller symboler. Vår förhoppning är att denna forskningsstudie ska bidra med fördjupade kunskaper om vilken inverkan laborativ matematikundervisning har på elevernas förståelse för bråk. I denna studie ges exempel på laborativa arbetssätt, och vad som är viktigt att tänka på när detta tillvägagångssätt tillämpas i undervisningen.

1.5 Syfte och frågeställning

Med stöd i tidigare forskning går det, som framgått ovan, att konstatera att det är av stor vikt att lärare visar eleverna olika representationsformer av bråk i undervisningen. Samtidigt pekar också forskningen på att lärare inte har den förmåga som krävs för att göra detta. Eftersom vi båda upplevt svårigheter med att hitta en djupare förståelse för bråktal är detta något vi valt att undersöka vidare.

Syftet med denna litteraturstudie är att, med stöd i tidigare forskning, belysa vilken betydelse laborativ matematikundervisning kan ha när det gäller elevernas förståelse av bråk. Frågeställningarna som fokuseras i studien är följande:

• Hur kan elevernas förståelse för bråk främjas genom ett laborativt tillvägagångssätt i matematikundervisningen?

Kapitel 2: Forskning inom området

2.1 Läroplansperspektiv

Ett sätt för samhället att påverka skolan är via läroplanen. Läroplanen har funnits i flera olika upplagor och har förändrats under tidens gång för att hela tiden följa samhällets utveckling. I Florin Sädboms (2015) avhandling ”I det didaktiska spänningsfältet mellan styrning och

elevers lärande: en studie av lärares tal om och iscensättning av kursplanemål i en mål- och resultatstyrd skola” beskriver hon hur de olika läroplanerna sedan Lgr 69 till och med dagens

Lgr 11 har korrigerats och hur det i sin tur påverkat skolans undervisning.

Florin Sädbom (2015) beskriver Lgr 69 som utförlig med flera olika direktiv men där läraren är fri i valet av vilken typ av undervisning som ska tillämpas. Vilken undervisningsform som tillämpas i klassrummet var upp till läraren då läroplanen inte angav anvisningar för varje situation (Florin Sädbom, 2015). Hon belyser vikten av att undervisningen skulle vara tydlig för eleverna, vilket enligt Lgr 69 kunde genomföras genom att ta utgångspunkt i det konkreta och sedan övergå till en mer abstrakt undervisning. Den konkreta undervisningen skulle uttryckas genom: “en livfull framställning i tal eller skrift” av läraren (s.60 i Lgr 69).

Även i Lgr 80 tas det upp att läraren ska konkretisera innehållet då det är en motivationsfaktor för eleverna. Det var centralt att ha tydliga etappmål att sträva mot. Eleverna skulle få känna att de kan lyckas och gör framsteg, och på så vis motiveras. Utgångspunkten, till skillnad från föregående läroplan (Lgr 69), var elevernas förståelse istället för målen (Florin Sädbom, 2015).

I senare läroplan, Lpo 94, beskriver Florin Sädbom (2015) hur den skiljer sig från tidigare läroplaner, då den ej innehåller formuleringar som berör undervisning, undervisningsformer eller arbetssätt. Fokusen ligger istället på olika målnivåer i form av nationella mål samt strävans- och uppnåendemål. Denna utformning av läroplan innebär ett stort ansvar för lärarna då det var målen som styrde lärarnas planering och genomförande av undervisning, vilket resulterade i ett större tolkningsutrymme av vad undervisningen skulle innehålla och hur den skulle utföras. I Lpo 94 står det att lärarna ska ge eleverna möjligheten att pröva olika arbetssätt och arbetsformer, men eftersom det inte formulerades några direkta direktiv på hur var det upp till lärarna att tolka vilka tillvägagångssätt som de skulle använda sig av.

Läroplanen som är verksam i dagens skolverksamhet är Lgr 11. I Lgr 11 har målen ersatts av kunskapskrav och centralt innehåll. Utformningen av den senaste läroplanen lägger stor vikt på hur läraren utifrån kursplanernas krav ska utvärdera varje elevs kunskapsutveckling i både muntlig och skriftlig form (Florin Sädbom, 2015). Vidare beskriver Florin Sädbom (2015) att ämnesinnehållet har återkommit eftersom det centrala innehållet på kursplanenivå, är utförligare angivet än i Lpo 94. Därmed resulterar det i en förskjutning från att eleverna ska nå vissa måltyper till att eleverna ska utveckla vissa kunskapsrelaterade förmågor.

2.2 Klassrumsperspektiv

I sin avhandling “Lärandets objekt: vad elever förväntas lära sig, vad görs möjligt för dem att

lära och vad de faktiskt lär sig under lektionerna” skriver Wernberg (2009) hur eleverna

takt. Diskussioner och arbete tillsammans med klasskamrater sker sällan (Wernberg, 2009). Eleverna berättar att det är viktigt att räkna samtliga uppgifter i boken, dock kan det vara så att eleverna har kommit olika långt i läromedlet. Wernberg (2009) menar att det kan tolkas som att läromedlets plats i undervisningen har ökat. Eleverna arbetar i sin takt, eget arbete, och självständigt. Vidare lyfter Wernberg att eleverna inte är med om så många situationer i undervisningen där de får diskutera i helklass då lärarens roll är mer handledande än undervisande, vilket innebär att ge instruktioner till eleverna.

En artikel av Andrews och Larson (2017) vid namn “Swedish Upper Secondary Students'

Perspectives on the Typical Mathematics Lesson” är en studie av gruppintervjuer av svenska gymnasieelevers perspektiv på den typiska matematiklektionen. En analys av elevernas svar visade att de överlag uppfattade att en typisk matematiklektion bestod av en genomgång, där läraren förklarar något, och därefter eget arbete i boken. Andrews och Larson (2017) lyfter att även om det fanns en viss variation i elevernas svar var ändå beskrivningarna av den typiska matematiklektionen väldigt lika varandra.

2.3 Laborativ matematik

Rydstedt och Trygg (2010) lyfter fram i sin bok ”Laborativ matematikundervisning – vad vet

vi?” artikeln “A Conceptual Framework for Considering Learning with Multiple Representati ons” skriven av Ainsworth (2006). Hon beskriver vad laborativ undervisning

innebär samt elevers förmåga att använda olika representationsformer. Tillämpning av en laborativ undervisning medför att lärare på olika sätt går mellan det konkreta och abstrakta under utformningen av lektioner vilket innebär att användningen av olika representationsformer är värdefull för elevernas lärande (Ainsworth, 2006).

I den laborativa undervisningen är det till en stor fördel att använda sig av laborativa

matematikmaterial. Rydstedt och Trygg (2010) beskriver utifrån Heddens

(1997) artikel ”Improving mathematics teaching by using manipulatives” betydelsen av laborativt matematikmaterial. Heddens (1997) menar att ett laborativt matematikmaterial är konkreta redskap som kan undersökas och flyttas på vilket medför en aktivering av flera sinnen hos eleverna. Användningen av laborativt kan även begränsa elevernas matematiska tänkande vilket Rydstedt och Trygg (2010) lyfter fram med en utgångspunkt i Uttals studie ”Manipulatives as symbols: A new perspective on the use of concrete object to teach

mathematics” (Uttal, Scudder & DeLoache, 1997). Studien visar att användningen av ting som

de är vana vid i sin vardagsmiljö kan göra att eleverna blir känslomässigt befästa i tinget att deras matematiska tankar förhindras i aktiviteten som de ska utföra.

2.4 Bråk i undervisningen

I artikeln “Briding the Gap: Fraction Understanding is Central to Mathematics Achievement

in Students from Three Different Continents” skriver Torbeyns et al. (2015) om bråkförståelse

hos elever från 3 olika kontinenter. Torbeyns et al. (2015) menar att nummerförståelse och aritmetiska färdigheter är enklare för heltal än vad det är för just bråk. Att förstå bråk kräver en djupare förståelse än för vanliga tal, denna förståelse är viktigt för de kommande åren i skolan. Torbeyns et al. (2015) menar att skillnaden mellan heltal och bråk är så pass stor att när barn förstått sig på heltal kommer de senare ha svårt att förstå sig på bråk eftersom tankesättet skiljer sig åt. Eleverna behöver tidigt förstå att heltal inte är det enda talen som finns, att de

finns tal som är större och mindre än heltal är viktigt. Författarna lyfter att även om forskning inom bråkkunskap har ökat den senaste tiden så är det långt ifrån den forskning som finns och heltalsförståelse.

En förutsättning för elevernas matematiska förståelse för bråk, är att läraren som lär ut själv besitter på den kompetensen och förståelsen för att kunna undervisa i det arbetsområdet. Reeder och Utley (2017) har i sin artikel ”What Is a Fraction? Developing Fraction Understanding in Prospective Elementary Teachers” undersökt blivande

lärares förståelse av bråk genom två tester som fokuserar på lärarens förmåga att förklara vad ett bråktal är samt deras förmåga att identifiera det största bråktalet av tre olika bråktal (s.309).Det framkommer i resultaten att lärare har en väldigt begränsad förståelse för ett bråks uppbyggnad samt väldigt få verktyg på hur man kan förklara vad ett bråktal är och hur det kan gestaltas. Reeder och Utley (2017) nämner ett exempel från testerna där lärarna visar en bristande förmåga att på flera olika sätt gestalta ett bråktal i ett vardagligt sammanhang. Det visade sig att ingen av lärarna använde andra vardagliga kopplingar än mat (s.312). Ett annat exempel från testerna som lyfts fram är lärarnas osäkerhet i att se bråktalets storlek, det framkom att mindre än hälften (46 %) valde korrekt svar när det gällde att välja vilket bråk som var störst (Reeder & Utley, 2017, s.309-312).

Kapitel 3: Metod

I detta avsnitt presenteras det vilka databaser som använts för att söka efter studier, vilka sökord och avgränsningar som gjorts samt tre tabeller där de systematiska sökningarna framställs. I slutet av metoddelen diskuteras de svårigheter och val som gjorts under studiens gång. Denna litteraturstudie tar upp studier där forskarna har använt kvalitativa metoder när de genomfört sina studier. Kvalitativa metoder är lämpliga att använda sig av när forskaren är intresserad av att studera hur människor agerar hur de upplever något och hur de använder saker (Ahrne & Svensson, 2015).

3.1 Databaser

Vid sökandet efter forskning inom matematikämnet har olika databaser använts, dessa databaser har varit ERIC (Escbo), DiVA-portalen samt SwePub. Anledningen till varför dessa databaser användes är att via dessa kunde vi hitta både svenska och internationella studier som var relevanta för denna litteraturstudie.

3.2 Sökord och avgränsningar

När sökningen ägde rum användes följande sökord: concrete, teaching, matematical understanding, fractions, matematik och bråk. Under litteratursökningen har det genererats väldigt många träffar. Avgränsningar som gjordes var att endast söka efter artiklar som är peer reviewed och avhandlingar inom området. Vid en av sökningarna användes nyckelordet “bråk” för att undersöka vad som kom upp och vi fann då en licentiatavhandling som var relevant för studien.

Utifrån de inklusionskriterier och argumenten studien utgår ifrån valdes avhandlingar och artiklar som är relevanta för studiens syfte. I sökningen efter avhandlingar och vetenskapliga artiklar var ambitionen att finna studier kring matematikundervisning som ett laborativt arbetssätt i bråkundervisning som kunde visa på både möjligheter och utmaningar. Vi valde att använda texter där eleverna går på låg och mellanstadiet till resultatdelen och valde bort texter där elever gick på högstadiet och gymnasiet, vilket var ett exklusionskriterium som tillämpades för att avgränsa urvalet. Endast texter som var skrivna på svenska och engelska inkluderades på grund av språkliga barriärer.

De olika sökorden gav olika antal träffar beroende på kombinationen, bland dessa studerades titel, abstract och nyckelord för att hitta forskning som är relevant för litteraturstudien. Genom detta tillvägagångssätt valdes avhandlingar och artiklar ut för att vidare analyseras i relation till studien syfte och frågeställningar.

3.3 Sökprocess

Söktabell för systematiska sökningar i ERIC:

Sökord

Avgränsning/ar

Antal

träffar

Urval efter

abstract och

titel

Full text och peer reviewed 23 1 Fractions and Mathematical understanding Peer reviewed 157 1 Fractions Teaching

Peer reviewed och Full text

255 2

Fractions

And mathematical understanding

Peer reviewed och full text

20 1

Understanding

And mathematics and communication

Full text

och peer reviewed

175 1

Söktabell för systematiska sökningar i SwePub:

Sökord

Avgränsning/ar

Antal träffar

Urval efter

abstract

Madeleine Löwing

Snöbollseffekten

Doktorsavhandling 1 1

Bråk 46 1

Söktabell för systematiska sökningar i DiVA-portalen:

Sökord

Avgränsning/ar

Antal träffar

Urval efter

abstract

Nyckelordet laborativ har en viktig roll i studiens rubrik men är något som vi inte använt när vi sökt efter forskning om bråkundervisningen. När ordet laborativ användes som sökord kom det mest upp forskning inom naturvetenskap och laborativa experiment i undervisningen. Det är en av anledningarna till varför detta sökord inte är med i de tre söktabellerna ovan. Detta kan ha bidragit till att eventuella studier om laborativ matematik inte hittats.

Vid sökningen efter forskning inom matematik, bråk och laborativt arbetssätt bestämdes det att åldrarna på eleverna skulle hålla sig inom låg- och mellanstadiet. Detta för att avgränsa de texter vi fick fram under sökningarna samt för att dessa åldrar känns mer relevanta för oss då vi kommer arbeta i grundskolan på lågstadiet.

I början sökte vi på flera nyckelord samtidigt och testade kombinationerna av de olika sökorden. Detta genererade i att vi fick ett lågt antal träffar, omkring tio. När vi sedan använde oss av

färre sökord i taget resulterade det i att vi ett större antal träffar, ibland över 100. Detta medförde att vi kunde välja mellan de olika för att hitta de som kändes mest relevanta för studien.

En svårighet som vi upplevde under sökandet efter studier var att hitta studier som hade en kombination av laborativt arbetssätt och bråk. Ofta när vi sökte kom det upp texter med antingen det ena eller det andra, inte båda begreppen tillsammans. Det kändes kritiskt, och vi ställde oss frågan om vi hittat tillräckligt med bra studier för att svara på våra frågeställningar. I efterhand upplever vi att forskningen som vi ramat in i sökprocessen var relevant och bidrog till att vi kunde besvara våra frågeställningar. Analysdelen är uppdelad i två delar med fokus på matematisk förståelse samt vad det finns för hinder med laborativ matematikundervisning.

Kapitel 4: Resultat och analys

I denna del av studien presenteras artiklar och avhandlingar som sökningarna i databaserna genererat. Studierna följs av en resultattabell som sammanfattar avhandlingarnas/ artiklarnas titel, författare, forskningsfrågan, metod samt ett kort resultat för att tydligare få en bild av de olika studierna som presenterats ovan tabellen. Avslutningsvis följer en analys av resultatet som är indelad i två fokusområden.

4.1 Matematisk förståelse för bråk

Löwing har i sin avhandling “Matematikundervisningens konkreta gestaltning – En studie av

kommunikationen lärare – elev och matematiklektionens didaktiska ramar” valt att studera hur

lärare i grundskolan hjälper elever att förstå matematik. Studiens empiri bygger på observationer av nio grundskolelärare i olika årskurser. Lektionerna spelas in, transkriberas och analyseras sedan med fokus är på kommunikationen mellan elev och lärare och hur läraren försöker göra matematiken förståelig för den enskilde eleven.

I Löwings (2004) studier av vissa lektioner framgår det bland annat att det är viktigt för elevernas matematiska förståelse att läraren har en tydlig relation mellan användandet av artefakter och det aktuella matematiska begreppet. För att eleven inte bara ska utföra en aktivitet utan också i samband med aktiviteten ta del av ett meningsfullt lärande vill hon lyfta fram vikten av att synliggöra sambandet mellan laborativ undervisning och den mer abstrakta undervisningen. Det visade sig att lärarna använde laborativa metoder i sin undervisning men hade svårt att veta hur man ska arbeta med dessa olika metoder och förankra dem i tidigare erfarenheter.

I Artikeln “The Effect of Concrete Pictorial Abstract Strategy toward Students' Mathematical

Conceptual Understanding and Mathematical Representation on Fractions” skriven av Purw

adi, Sudiarta & Suparta (2019) undersöks hur ett visst arbetssätt kan påverka elevernas matematiska förståelse. Studien riktar in sig på att se om en vad författarna kallar Concrete-Pictorial-Abstract, “CPA” översatt konkret-bildligt-abstrakt, strategi har en positiv inverkan på elevernas matematiska förståelse och representation av bråk. Totalt 66 elever deltog i studien under åtta tillfällen. Resultatet jämfördes sedan med en kontrollgrupp för att bedöma utfallet av studien. Studien var både kvantitativ och kvalitativ, empirin samlades in via intervjuer, enkäter och observationer som tittade på elevernas uppförande i klassrummet.

Det är enligt Purwadi et al. (2019) viktigt att förstå sig på bråk om man senare ska förstå mer komplexa matematiska begrepp. Bråkdelar är delar av en helhet, att alla delar är lika mycket värda är viktigt att veta för att förstå bråk. Författarna tar upp att det tyvärr är många elever som har svårt med att förstå bråk och nämner några vanliga fel som elever kan göra vid arbete med bråk, om de inte förstått sig på konceptet med bråk. Dessa missförstånd handlar bland annat om hur elever ritar upp bråkdelar eller jämför olika bråk med varandra. Enligt Purwadi et al. (2019) behövs representationer av matematiken, då den är abstrakt, för att bygga upp en förståelse. Bråk kan visas via många olika representationer och därför behöver läraren visa bråk i de enklaste former för att enklare skapa en förståelse.

I resultatet av de kvalitativa intervjuerna lyfts det fram att eleverna som använt metoden “CPA” har en djupare förståelse för bråk. Dessa elever kunde förklara bråk med egna ord och

även ge exempel. Enligt Purwadi et al. (2019) visade observationerna att elevgruppen som använde konkret material var mer engagerade i inlärningsprocessen. Författarna kommer fram till att effekterna av att använda metoden “CPA” är att elevernas förståelse ökar och de kan själva ge representationer på bråk. Metoden hjälper också till att minska den oro som finns över att lära sig abstrakta bråk.

”Portraying Primary Fraction Teaching:A Variety of Mathematical Richness, Pedagogic Strategies, and Use of Curriculum Material” är en artikel där Thurlings, Koopman, den Brok

och Pepin undersöker undervisningskvalitén i ämnet matematik som berör just bråkräkning. Thurlings et al. (2019) lyfter fram Nicksons (2000) forskning som handlar om vilka svårigheter eleverna kan möta när de arbetar med bråk. Han uppmärksammar att elevernas förståelse för att ett bråktal består av en nämnare och en täljare kan komma att bli ett problem när de räknar med bråk samt att bråk inte är en del av elevernas vardag vilket kan utgöra ett bekymmer för eleverna.

I undersökningen deltog 24 lärare som alla jobbade i årkurs fem. Vid tre tillfällen observerades alla lärarna under deras matematiklektioner där eleverna arbetade med begreppet bråk. Data som samlades in i form av anteckningar och videoinspelningar analyserades med en utgångspunkt av MQI-instrumentet (Learning Mathematics For Teaching Project) som justerades till att inkludera allmänna pedagogiska instruktionsstrategier “QIFI”. QIFI består av nio koder, alla koder hade olika fokus som berörde undervisningens kvalité, där de i varje kod graderades utifrån en skala.

Lärarna som deltog i undersökningen delades in i olika “grupper” utifrån hur deras lektioner var uppbyggda (Thurlings et al., 2019). I resultatet utgår man ifrån sex olika lektionsupplägg där en diskussion av undervisningens kvalitet förs. Det framgår i resultatet att det två “lärargrupper” som ej var för bundna till läroplanen och hade ett varierande klassrumsklimat i form av bl.a. gruppdiskussioner och problemlösning hade en mer positiv effekt av elevernas förståelse av begreppet bråk (Thurlings et al., 2019).

En forskare som har skrivit om matematisk förståelse är Loong (2014). Hon beskriver i sin artikel “Fostering mathematical understanding through physical and virtual

manipulatives” fördelen med att arbeta med ett konkret material i ämnet matematik. Många

elever i dagens skola känner till proceduren för att komma till svaret när man löser matematiska problem men kan ej förklara varför man gjort vissa utföranden (Loong, 2014). I artikeln lyfter hon fram Skemp (1976) som förklarar innebörden av instrumentell och relationell förståelse. Han menar att när en elev har en instrumentell förståelse kommer hen fram till svaret utan att ifrågasätta eller undersöka betydelsen av reglerna som används för att finna lösningen på ett matematiskt problem, medan med en relationell förståelse ser man en koppling till varför hen går tillväga på ett visst sätt i sitt svar. För att få en större förståelse för ett abstrakt matematiskt begrepp och bilda en relationell förståelse av dessa begrepp är det till en stor fördel att använda sig av konkret material (Loong, 2014).

I sin licentiatavhandling “Lärares och elevers användande av laborativt material i

bråkundervisningen i skolår 4–6: Vad görs möjligt för eleverna att erfara?” skriver Sveider (2016) om lärares och elevers användande av laborativa material i

matematikundervisningen om tal i bråkform. Sveider (2016) beskriver att det empiriska materialet samlades in via matematiklektioner som videoinspelades. Till detta fördes fältanteckningar där Sveider var observatör. Observationerna gjordes vid 20 tillfällen på 9 olika

skolor i 4 olika kommuner, i årskurserna 4–6. Sveider (2016) beskriver hur laborativa material har fungerat som hjälpmedel i olika kulturer när matematiska vardagsproblem ska lösas. Enligt den svenska kvalitetsgranskningen NUs –03 (Skolverket, 2004) lyfter Sveider (2016) fram rekommendationer, för alla åldrar, att laborativt material kan användas för att variera matematikundervisningen. Undervisningen blir inte bara varierad, de laborativa inslagen bidrar

till att utmana och motivera eleverna, vilket förbättrar och utvecklar

matematikundervisningen.

I Sveiders (2016) studie beskrivs laborativt material som något som upplevs som meningsfullt för eleverna. Det laborativa materialet gör det möjligt att visualisera till exempel tal i bråkform. Hon beskriver att det finns olika typer av laborativa material, undergrupperna är vardagliga

material och pedagogiska material. Skillnaden mellan de båda är att vardagliga material går

att finna i vardagen eller naturen medan pedagogiska material är speciellt tillverkade för att användas i undervisning. Laborativa material kan även bestå av tryckta bilder på objekt, alltså kan laborativa material bestå av antingen fysiska objekt eller tryckta bilder som går att vrida och vända på. Sveider (2016) beskriver ytterligare att laborativa material kan delas in i enkla

laborativa material, till exempel klossar, stavar och geobräden, och perceptuellt rika laborativa material som innefattar låtsaspengar som liknar riktiga pengar.

Ett argument för laborativa material i undervisningen som Sveider (2016) lyfter i sin studie är att det utvecklar elevers olika förmågor inom matematik. Användningen kan delas in i tre kategorier: (1) begreppsförmåga, (2) kommunikations- och resonemangsförmåga och (3) attityd till matematik. Sveider (2016) beskriver olika studier som kommit fram till att laborativa material i matematikundervisningen har visat bättre prestationer från elever som arbetat med laborativa material än de elever som inte arbetat på detta vis.

Eleverna som arbetat med laborativa material, istället för skrivna uppgifter som den andra gruppen, visade sig ha en större begreppslig förmåga för tal i bråkform. Enligt Sveider (2016) bidrar interaktion med det laborativa materialet till att eleverna lär sig de abstrakta begreppen. För att eleverna ska utveckla sin förståelse för abstrakta begrepp inom matematik behöver de möta olika representationsformer, varav laborativa material är en sådan. Dock har laborativa material sina begränsningar beskriver Sveider (2016). Vissa material kräver ingen kognitiv tanke utan går att läsa av direkt, beroende på hur läraren använder materialet avgörs det om eleverna får med sig en begreppslig förståelse eller inte. Därför är det ingen garanti att eleverna får en begreppslig förståelse bara för att ett laborativt material används (Sveider, 2016). Enligt Sveider (2016) gynnas elevernas kommunikations- och resonemangsförmåga av ett laborativt arbetssätt och studier visar att elever som arbetat med laborativa material är mer benägna att samtala, skriva och resonera kring matematik. Dessutom redogörs det för att arbete med laborativt material kan förbättra elevers attityd till matematik. Hon betonar att laborativa material kan tillämpas på både laborerande arbetssätt och konkretiserande arbetssätt. En balans mellan de båda är att föredra. Via det laborerande arbetssättet är eleverna undersökande medan vid det konkretiserande arbetssättet är läraren handledare. I resultatdelen av sin studie uppmärksammar Sveider (2016) användningen av de laborativa materialen när bråk ska läras ut. En aspekt som eleverna ska lära sig är att alla bråkdelar behöver vara lika stora inom samma objekt (en helhet), detta visas på olika sätt och begreppet diskuteras.

Det beskrivs hur en lärare konkretiserar med bilder på kvadrater som har olika bråkdelar. Eleverna ges möjlighet att erfara att alla bråkdelar ska vara lika stora. Läraren använder inte

bara geometriska former för att visa bråk utan även frukt. Under lektionen konkretiserades bråkdelar och helhet på två olika sätt, med laborativa material vid bägge tillfällena, med det pedagogiska materialet kunde eleverna erfara bråkdelar av en helhet. Vid situationen med frukten, det vardagliga materialet, blev fokus för eleverna annat.

Slutsatsen som Sveider (2016) kommer fram till är att användande av laborativa material i bråkundervisningen kan medverka till variationer på olika sätt, vilket bidrar till att eleverna får fler möjligheter att utveckla och fördjupa sina kunskaper om tal i bråkfrom.

4.2 Olika material eller arbetssätt i laborativ undervisning

Caswell (2007) skriver i artikeln “Fractions from concrete to abstract using playdough

mathematics” om hur hon började använda playdough i matematikundervisningen för att öva

elevernas förståelse om bråk. Hon skriver om sin upptäcktsresa och lärandet som engagerade lärare och elever, ålder 9–12 år, på skolan hon arbetade. Med tiden började hon kalla arbetssättet playdough matematik. Enligt Caswell (2007) används abstrakta arbetssätt när eleverna räknar bråk, de använder siffror, symboler och bilder. Dock menar Caswell att många elever är i behov av något konkret där de använder motoriken för att kunna associera till vardagliga situationer med bråk. Hon lyfter argument kring konkret material och menar att det inte bara är hon som ser positivt på användandet. Eleverna får en djupare förståelse för

matematiska begrepp och koncept. Caswell (2007) framför sina erfarenheter

med playdough matematik och menar att eleverna får en brygga från det konkreta till det abstrakta med detta arbetssätt. I klassrummet bad Caswell (2007) eleverna att tänka på något verkligt som de associerar bråkdelarna med, t.ex. pizzabitar när de och familjen ska dela upp så alla får lika stora bitar. Något som ligger nära elevernas verklighet. Då blir det enklare att förklara varför eleverna ska lära sig om bråk. Hon framför att när eleverna arbetat på detta sätt blir de med tiden mer självständiga och börjar arbeta både med ekvationer (abstrakt sätt) och playdough (konkret sätt). När de kommer till abstrakta uppgifter längre fram har de en förståelse och kan föra diskussioner kring sina tankar de fått med sig från arbetet med konkret material.

En annan studie som också lyfter fram konkret material som något positivt för elevernas förståelse är artikeln: The Effect of Concrete-Pictorial Abstract Strategy toward Students'

Mathematical Conceptual Understanding and Mathematical Representation on Fractions.

I artikeln av Purwadi et al. (2019) skriver författarna om att använda konkret material i undervisningen för inlärning och för bästa resultat. Vilket används i “CPA” som är en innovativ metod för att lära sig bråk. Metoden delas in i tre olika delar. Den första är “Concrete” där eleverna arbetar med konkreta objekt. Den andra är “Pictorial”, eleverna gör bråkrepresentationer i former av bild och ritningar. Den sista delen är “Abstract” där eleverna lär sig bråk genom abstrakt skrivande. Genom att arbeta med denna metod kan den frustration som elever kan känna minska då förståelsen ökar (Purwadi et al., 2019). Författarna menar att denna strategi är bra att använda i grundskolan där eleverna fortfarande är i ett kognitivt stadie i det konkreta lärandet. Användandet av konkret material är väldigt viktigt när det kommer till elevers förståelse (Purwadi et al., 2019).

Ett ytterligare arbetssätt som gynnar eleverna i deras lärande är

in Fractions” beskriver Lemonidis och Kaiafa (2019) hur berättande kan användas som ett

effektivt hjälpmedel för ett meningsfullt sammanhang och att skapa motivation hos eleverna inom matematik.

Syftet med interventionsstudien var att undersöka hur berättande spelade roll i inlärningen av bråk hos tredjeklassare. I studien medverkade 76 tredjeklassare från två olika skolor i Grekland. Eleverna var indelade i 2 grupper, en experimentell grupp och en kontrollgrupp där undervisningen skiljde sig åt. Det var endast den experimentella gruppen som blev undervisade med berättande metoden. Kontrollgruppen fick använda sig av konkreta material och matematikboken. Innan eleverna började undervisas på olika sätt gjordes ett test för att se hur kunskaperna var. Studien pågick i 4 veckor med 4 lektioner varje vecka, 10 dagar efter avslutad undervisning gjordes ett test som testade elevernas bråkkunskap (Lemonidis & Kaiafa, 2019). Under matematikundervisningen som kontrollgruppen hade fick eleverna använda konkret material och göra övningar utifrån matematikboken. Matematikundervisningen för den experimentella gruppen började med en berättelse där eleverna var aktiva och med i berättelsen snarare än att de var passiva, efter berättelsen diskuterades innehållet följt av aktiva övningar som behandlade innehållet och de matematiska begreppen (Lemonidis & Kaiafa, 2019). När matematik kombineras med berättande tillåts eleverna att utgå från det kognitiva stadie som de befinner sig på och utgå från sina starka sidor för att lära sig nytt. Enligt Lemonidis och Kaiafa (2019) bidrar berättande till ökat minne, ger en inlärningsmotivation och tränar förmågan att analysera. Berättandet gör matematiska begrepp logiska för eleverna då de sätts i ett sammanhang, det ger även upphov till diskussioner kring hur matematiska begrepp är kan vara vardagliga och elevernas egna erfarenheter utifrån berättelsen (Lemonidis & Kaiafa, 2019).

I artikeln presenteras resultaten av studien som visar att berättande har en positiv effekt på hur elevernas lyckades med bråk. Den experimentella gruppen lyckades mycket bättre än vad kontrollgruppen gjorde. Lemonidis och Kaiafa (2019) lyfter fram att de eleverna med låga- och medelresultat, från första testet, var dem som gynnades mest av berättandet i matematikundervisningen. De tar även upp att användningen av berättande i matematikundervisningen visade positiv effekt på vissa specifika matematiska färdigheter, ett exempel är att jämföra bråk med varandra. Lemonidis och Kaiafa (2019) beskriver dock att det är viktigt att vara noggrann när man väljer ut en berättelse för matematikundervisning då den ska lära och bidra till elevers förståelse för matematiska koncept.

En forskare som riktat in sig på progression i matematikundervisning som berör tal i bråkform är Nagy (2017). Syftet med studien är att: “bidra med kunskap om undervisning när lärare tar

utgångspunkt i barns och elevers förståelse av bråk samt att synliggöra vad som kan påverka progression i undervisningen”(s.24). I sin avhandling ”Fler bråk i matematikundervisningen - En aktionsforskningsstudie där lärare lär om progression” (2017) uppmärksammar hon bland

annat forskarna Moseley och Okamata (2008) samt Löwing (2016) som beskriver den bristande förståelsen av tal i bråkform bland svenska elever i låg-och mellanstadiet. Vidare redogör Nagy (2017) olika faktorer som kan tänkas ligga till grund för svenska elevers begränsande kunskapsutveckling, där hon bland annat lyfter fram forskaren Kilborn (2013) som menar att en orsak kan vara bristande kontinuitet i undervisningen och/eller mindre bra val av undervisningsmetoder.

Jämförelser av undervisningskulturer mellan USA och Japan har studerats av Stigler och Hiebert (2009) vilket Nagy (2017) uppmärksammar i sin studie. I studien framgår det vissa olikheter mellan USA och Japan i val av undervisningsstrategier i matematik, där USA hade som mål att eleverna skulle bli skickliga utförare av procedurer genom att stegvis öka svårigheten i dom olika procedurerna medan i Japan fick eleverna utmanande problem

direkt som dom skulle lösa och sedan i helklass diskutera kring.

Enligt Stigler och Heibert (2009) hade Japan en högre nivå på undervisningsinnehållet än USA, vilket de tolkar som att progressionen i den japanska undervisningen var större och att dom två olika undervisningsstrategierna bidrog till olika progression. I Sverige arbetar eleverna ofta enskilt med en utgångspunkt i matematikboken, vilket Nagy (2017) beskriver som ett liknande arbetssätt som USA använder i det matematiska klassrummet.

4.3 Kritiska aspekter med laborativt material och bråk

En författare som Löwing (2004) lyfter fram är Szendrei (1996) som i sin artikel “Concrete

Materials in the Classroom” beskriver den forskning som bedrivits kring konkretisering av

undervisning. Hon menar att det är viktigt att förstå att när man konkretiserar sin undervisning med hjälp av ett material är det nödvändigt att som lärare se materialet enbart som en artefakt och istället fokusera på hur man presenterar och utnyttjar materialet i sin undervisning. Det är lärarens roll att artefakten får ett liv och blir användbar i elevernas förståelse för olika matematiska begrepp (Szendrei, 1996).

En annan forskare som lyfter fram olika faktorer att tänka på vid användandet av konkret material när det gäller området bråk är Nagy (2017). Hon beskriver tillvägagångsättet för att genomföra studien som bygger på aktionsforskningsspiralens fyra faser: planera, genomföra, observera och reflektera (Carr & Kemmis,1986; Kemmis & McTaggart 1988; Kemmis, McTaggart & Nixon 2014). Deltagarna i studien var fyra lärare som var verksamma i olika stadier. Inför studien utfördes en kartläggning i lärarnas respektive klass, vilket var för att få en slags uppfattning av elevernas förståelse av begreppet bråk. I första fasen samlades alla för att planera en undervisningssekvens av två lektioner i bråk som utformades i samband med relevant påläst litteratur. De planerade lektionerna som utfördes filmades, därefter valdes korta sekvenser ut som skulle användas till analysmötet. På analysmötet fick man tillfälle att diskutera de olika sekvenserna och därefter komma fram till nya undervisningsidéer. Reflektionsfasen inleddes med frågeställningar som problematiserade dilemman som uppstod vid aktionsforskningens gång. Lärarna fick möjlighet att reflektera över det som skett men även över möjliga handlingsalternativ som kan vara betydande för fortsatt arbete med bråk. Denna aktionsforskningsprocess dokumenterades genom skriftliga anteckningar, videoinspelningar eller ljudinspelningar.

I resultatdelen uppmärksammade Nagy (2017) de ständiga återkommande samtalen under analysmötena som berörde redskap i form av konkretiserande material samt betydelsen av att utgå ifrån vardagliga föremål för elevernas förståelse. Ett dilemma som diskuterades är hur man kan konkretisera bråk som handlar om att dela upp helheter i delmängder. I samtalen mellan lärarna uppkom det problem som behandlade elevernas uppfattning om att allt måste delas lika. De kom gemensamt fram till att som lärare är det viktigt att ge eleverna vardagsnära situationer som belyser vikten av att allt inte behöver delas lika. Nagy (2017) menar att det är betydelsefullt för elevernas förståelse att ta del av aktiviteter som behandlar likadelning och som kontrasterar likadelning. Det framkom även i samtalen att eleverna har svårt att föreställa sig att en helhet

kan se olika ut när det gäller olika former och vardagsnära gestaltningar, ett exempel de tar upp är att eleverna ser en halvcirkel som en halva av en hel cirkel. En idé som en av lärarna nämner är att eleverna ska få möjligheten att ta del av flera former som beskriver att helhetens utseende inte är självklar utifrån delens utseende.

Ett annat dilemma som diskuteras är elevernas förståelse för betydelsen av täljaren och nämnaren i ett bråk. Fokus under en lektion var delarnas storlek i ett bråk och att delens placering inom helheten inte har någon betydelse. Uppgiften gick ut på att i grupp storleksordna bråk med samma nämnare. En elevgrupp använde sig av tårta för att konkretisera de olika bråktalen. I diskussionen mellan lärarna uppkommer främst frågan om linjerna som visar 4/4 har någon betydelse för elevens förståelse samt att elevernas egen uppfattning av en tårta kan ställa till problem. En av lärarna menar att eleverna utifrån deras egna erfarenheter vanligtvis delar på tårtan med andra. Under det pågående samtalet kommer det fram till att när man konkretiserar bråk med hjälp av olika material är det till en stor fördel att verkligheten stämmer överens med det vi tänker i teorin. Lösningen som de gemensamt samtalar kring var att istället använda sig av en chokladkaka som redan är indelad i bitar, vilket vanligtvis inte en tårta är (Nagy, 2017).

I artikeln “Fostering mathematical understanding through physical and virtual

manipulatives” presenterar Loong (2014) olika konkreta material som kan vara till hjälp för att

befästa den relationella förståelsen när man arbetar med bland annat begreppet bråk. Loong (2014) lyfter fram följande tre aspekter: matematisk trohet, kognitiv trohet och pedagogisk trohet, som är viktiga att ha i åtanke i valet av konkret material.

Ett vanligt problem när det kommer till att räkna med begreppet bråk är att förstå att alla delar måste vara lika stora som övriga delar. Loong (2014) belyser vikten av att eleverna förstår när man ska dela in en figur i till exempel 1/6 att alla delar måste vara lika stora, det är därför viktigt att eleverna får ta del av många olika former: cirklar, rektanglar, trianglar mm i indelning av bråk. Ett annat ofta förekommande problem uppstår vid addition av bråk. Eleverna betraktar täljaren och nämnaren som en helhet istället för att vara en del av en bråkdel. För att synliggöra detta för eleverna kan man använda sig av lika stora pappersremsor som ska representera en bråkdel och låta eleverna jämföra, som till exempel är 1/2 motsvarar 2/4 (Loong, 2014).

4. 4 Resultat tabell

Titel Författare Forskningsfråga Metod Urval Resultat

Fractions from concrete to

abstract using playdough mathematics Rosemaree Caswell Öka elevernas förståelse för bråk med hjälp av konkret material.

Kvalitativ Elever och lärare på den skolan hon arbetade på. Elever i åldrarna 9– 12 år. Land: Australien • Positivt vid användande av konkret material • Djupare förståelse

The Effect of Using Storytelling Strategy on Students' Performan ce in Fractions Charalambos Lemonidis och Ioanna Kaiaf a

Hur kan berättande bidra till inlärning av bråk hos tredjeklassare? Intervention sstudie 76 elever i årskurs 3. Land: Grekland • Positiv effekt på specifika matematiska färdigheter • Val av berättelse för förståelse Fostering mathematical understanding through physical and virtual manipulatives Esther Yook Kin Loong

Vad har konkret material för betydande roll i din matematiska förståelse av begrep pet bråk? Kvalitativ Elever 8– 12 år. Land: Australien • Befästa den relationella förståelsen • Faktorer för elevernas förståelse • Problem vid addition

av bråk • Matematikundervisning ens konkreta gestaltning – En studie av kommunikationen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar Madeleine Löwing Hur kommunicerar lärarn a med sina elever för att stödja deras lärande samt vilka villkor sätter lärandemiljön för denna kommunikation? Kvalitativ 9 lågstadielär are Land: Sverige • Tydliga mål • Synliggöra samband mellan laborativ undervisning och abstrakt undervisning • Hur material presenteras och utnyttjas Fler bråk i matematikundervisningen – En aktionsforskningsstudie där lärare lär om progression. Caroline Nagy Vilka kvaliteter i undervisning om bråk förhandlas i en stadieövergripande praktikgemenskap? Aktionsfors kningsstudi e Låg och mellanstadi et Land: Sverige • Från helheter till delmängder • Helheter kan ha olika uttrycksformer • Verkligheten stämmer överens me d teorin

The Effect of Concrete-

Pictorial-Abstract Strategy toward St udents' Mathematical Conc eptual Understanding and Mathematical Representati on on Fractions I Made Ari Purwadi I Gusti Putu Sudiarta I Nengah Suparta

Vilka effekter finns av metoden CPA?

Hur fungerar den vid arbete av bråk?

Hur påverkar den elevernas förståelse? Kvantitativ, enkäter. Kvalitativ, observation er, intervjuer och det elever 66 elever i grundskola n. Land: Indonesien • Representa-tioner • Konkret material • “CPA”

producerad e.

Lärares och elevers användande av laborativt material i

bråkundervisningen i skolår 4–6 – Vad görs möjligt för eleverna att erfara?

Cecilia Sveider

Vad görs möjligt för eleverna att erfara genom användning av laborativa material i arbetet med bråk? Variationste orin som teoretiskt ramverk. Kvalitativ metod. Elever årskurs 4– 6 i 9 olika skolor. Land: Sverige • Motiverande och utvecklande undervi sning • Visualisera bråk • Förmågor tränas • Representa-tionsformer • Begränsning med laborativt material • Laborerande och konkretiserande arbetssätt

Portraying Primary Fractio n Teaching:

A Variety of Mathematical Richness, Pedagogic Strate gies,

and Use of Curriculum Material Marieke Thurlings Maaike Koopman Perry den Brok Birgit Pepin Hur ser undervisningskvalité n ut när det gäller det matematiska begreppet bråk? Kvalitativ 24 lärare i årskurs fem Land: Nederlände rna • Varierande arbetssätt för förståelse 4. 5 Analys av resultat

I denna del analyseras de studier som presenterats i föregående avsnitt.

Enligt Caswell (2007) och Purwadi et al. (2019) får eleverna en djupare förståelse för matematiska begrepp vid användning av konkret material. Vidare beskriver Nagy (2017) fördelen vid räkning av bråk som berör helheter till delmängder samt helheters olika uttrycksformer, hur konkretisering av olika material och aktiviteter kan stödja eleverna i deras förståelse. Användningen av konkret material menar Loong (2019) är en fördel när man vill befästa den relationella förståelsen. Hon uppmärksammar vilken betydande roll konkret material har för förståelsen av att ett tal i bråkform består av lika stora delar samt vid addition av bråk.

Om läraren är noggrann vid valet av berättelse kan den bidra till en matematisk förståelse kring bråk. I Lemonidis och Kaiafa (2019) studie är resultatet att berättelsen bidrog till ökad förståelse för färdigheter när det gäller att jämföra bråk med varandra och storleks ordna dem. Laborativt material i undervisningen utvecklar elevers begrepp-, kommunikations-, resonemangsförmågor, samt elevers attityd till matematik (Sveider, 2016).

Sveider (2016) lyfter fram att eleverna behöver möta matematik i olika representationsformer, det laborativa arbetssättet är en sådan. Den matematiska förståelsen blir möjlig eftersom det laborativa materialet gör det möjligt att visualisera bråk. Enligt Purwadi et al. (2019) bidrar det laborativa arbetssättet CPA till att eleverna kan lära sig olika representationsformer av bråk.

Trots att användningen av konkret material visar sig ha flertal positiva effekter för elevernas förståelse inom olika områden när det gäller begreppet bråk vill Nagy (2017) belysa vikten av att konkretiseringen av ett material förhåller sig till verkligheten i konstrast med teorin. Löwing (2016) menar att tydliga mål med undervisningen är något som bidrar till elevernas matematiska förståelse. För att lärandet ska bli meningsfullt behöver sambandet mellan laborativ undervisning och abstrakt undervisning synliggöras, det är därför viktigt att tänka på hur man presenterar och utnyttjar det material som används i undervisningen.

För att en förståelse ska ske behöver det laborativa materialet utmana en kognitiv tanke, det ska inte gå att läsa av materialet och sedan vara klar. Detta är en begränsning som det laborativa materialet har. Bara för att läraren använder laborativt material får eleverna inte automatiskt med sig en begreppslig förståelse (Sveider, 2016).

För att sammanfatta de resultat som framkommit genom granskning av olika forskningsstudier, synliggörs både möjligheter och utmaningar. Flertal studier tar upp flera positiva effekter för elevens förståelse i användandet av konkret material men det lyfts även fram vilka negativa effekter konkret material kan ha på elevens förståelse. Framförallt är det till stor betydelse att läraren har en tanke bakom sitt val av konkret material för att lärandet ska bli så effektivt som möjligt för eleven. Som lärare blir det därför till stor vikt att tänka igenom sitt material innan det används i undervisningen, vilket är betydande både för elevens matematiska utveckling men även lärarens pedagogiska utveckling.

Kapitel 5: Diskussion

I denna diskussionsdel behandlas resultaten från analysen, de diskuteras för att komma fram till en slutsats kring området som undersökts. Lärdomar framförs och arbetet diskuteras i sin helhet och kopplas till frågeställningarna som arbetet tagit utgångspunkt i.

I resultatdelen lyftes flera olika studier som alla har något perspektiv på laborativ matematik eller laborativ matematik inom bråk. I analysdelen togs de mest relevanta delarna för studien upp och ska nu diskuteras. Det centrala för denna studie är den matematiska förståelsen genom ett laborativt förhållningssätt, vilket flera studier har tagit upp. Det som visat sig och det som studien kommer fram till är att eleverna får möjlighet att bilda sig en djupare förståelse av matematiska begrepp genom laborativa inslag.

Med en laborativ matematikundervisning inom området bråk framgår det i denna studie att eleverna gynnas vid räkning av tal i bråkform när de gäller addition, delar av helhet och jämförelse av olika bråk (Loong, 2014) och (Nagy, 2017). Det laborativa materialet ger möjlighet till att visualisera bråk (Sveider, 2016).

Flera av studierna lyfter en eller flera positiva aspekter med laborativ matematikundervisning, dock framgår det även kritik och saker läraren behöver vara medveten om när hen arbetar med detta arbetssätt. Vid valet av konkret material är det av stor vikt att läraren har ett syfte och tydligt mål med användningen av materialet (Löwing, 2004). Vilket i praktiken innebär att läraren inte ska välja ett material att arbeta med för att hen tänker att det blir kul för eleverna att arbeta med något praktiskt, materialet ska bidra till en kognitiv tankegång.

En annan aspekt som tas upp är betydelsen av hur verkligheten speglas i teorin (Nagy, 2017). Det är viktigt att verkligheten stämmer överens med det som eleverna tänker i teorin, därför har läraren ett stort ansvar att välja ut material som eleverna kan koppla till de abstrakta begreppen. Inledningsvis förklarades begreppet laborativa material enligt Rydstedt och Trygg (2005), det framfördes att laborativa material kan delas upp i vardagliga och pedagogiska material. Denna uppdelning av laborativt material förklarar även Sveider (2016). I Sveiders avhandling tas ett exempel upp från en matematiklektion där både pedagogiskt material och vardagligt material används när läraren undervisar kring bråk. Det framkom att eleverna tappade fokus vid användandet av det vardagliga materialet frukt. En förklaring till detta skulle kunna vara att eleverna associerar det till en vardaglig situation och inte till ett matematiskt sammanhang. Det blir tydligt att läraren bör ha tänkt igenom undervisningens mål och syftet med materialet för att kunna förmedla en matematisk förståelse.

Enligt Läroplanen (Skolverket, 2018) ska eleverna kunna förklara matematiska begrepp, t.ex. bråk, med bl.a. symboler, konkret material eller bilder. I studien av Reeder och Utley (2017) lyfts läraren och lärarens kunskaper inom bråk där författarna menar att lärarna har en begränsad förståelse för användandet av olika representationsformer. Nagy (2017) menar att läraren behöver ha ett syfte bakom valet av material utifrån de

matematiska begrepp som materialet ska representera. Med utgångspunkt

representationsformer. Vilket kan leda till att läraren tar det material som finns eller det som hen är bekväm med, men som egentligen kan inte har en koppling till just det matematiska begrepp som ska läras ut.

I kapitlet forskning inom området togs Andrews och Niclas (2017) artikel upp där gymnasieelever fick beskriva vad dem ansåg var en typisk matematiklektion, majoriteten uppgav genomgång följt av räkning i matematikboken. Med utgångspunkt i Reeder och Utleys perspektiv (2017) skulle en förklaring till detta kunna vara lärarnas brist på olika representationer i undervisningen.

Syftet med studien var att ta reda på hur ett laborativt arbetssätt kan gynna elevers matematiska förståelse för bråk. Slutsatsen som dras är att elevers förståelse för bråk kan bli djupare vid användning av laborativa metoder. Utifrån tidigare studier lyfts det att elevernas förståelse för bråktals delar och helhet, addition av bråk samt jämförelser av bråk kan gynnas av laborativt material. Dock behöver det laborativa materialet ha ett syfte kopplat till det matematiska begreppet för att ett meningsfullt lärande ska ske.

Efter att ha utfört denna forskningsstudie har vi kommit till en insikt kring laborativt material som vi vill dela med oss av både till verksamma lärare samt lärarstudenter. Tidigare såg vi konkret material som ett förtydligande redskap för elevernas förståelse oavsett hur de gestaltades, men under arbetets gång har vi fått en djupare insikt i den laborativa matematikundervisningen. Konkret material är inte alltid tydligt i sig, det kan lika väl vara förvirrade för eleven, materialet behöver kopplas till ett matematiskt begrepp och gå från det konkreta till det abstrakta. Lärdomen som vi tar med oss är att materialet som används i matematikundervisningen ska ha ett syfte för att gynna elevernas matematiska förståelse. Denna lärdom är inte endast för oss utan något som vi anser att lärare, både på låg- mellan- och högstadiet skulle kunna ta till sig och ha användning av i sin matematikundervisning. Inledningsvis beskrev Rydstedt och Trygg (2010) fördelarna med laborativ matematikundervisning, bl.a. hur elevens intresse för matematik kan öka samt bidra till en djupare matematisk förståelse. Därför ser vi det som positivt att använda ett laborativt arbetssätt i alla åldrar.

Vid sökningarna efter studier hittades ett större antal studier som berörde bråk eller ett laborativt arbetssätt. Det var svårare att hitta forskning som studerade både bråk och ett laborativt arbetssätt kombinerat.

De studier som lyftes fram i resultatdelen liknar varandra på det sätt att de alla handlar om laborativ matematikundervisning, dock handlar vissa mer om bråk än andra. I några av texterna tas exempel på arbetssätt och material upp. Medan någon pratar mer generellt om det laborativa arbetssättet och vad lärare behöver tänka på, samt vilken förståelse det arbetssättet kan bidra till.

Kapitel 6: Implikationer inför Examensarbete II

I denna studie tas det upp forskning om elevernas förståelse och hur denna gynnas av ett laborativt arbetssätt. Laborativt material som playdough och berättelser lyfts fram som exempel på hur lärare använt ett laborativt arbetssätt i sin undervisning. Det vi upplever att vi saknar svar på är lärarens roll i det hela. Hur är lärarens inställning till att använda ett laborativt arbetssätt, vad tycker läraren är viktigt att eleven får med sig för kunskaper inom bråk? Detta är frågor som vi hade velat undersöka mer och som vi känner att inte fått svar på i denna studie. Syftet med examensarbete II är att belysa lärarens perspektiv på bråkundervisningen med ett laborativt arbetssätt. Detta mynnar ut till frågeställningen: Vilka utmaningar och möjligheter

ser lärare när det gäller användning av laborativa arbetssätt i bråkundervisning?

Utifrån denna frågeställning kommer vi samla in empiri genom kvalitativa intervjuer där lärare får en chans att säga sin syn. Intervjuerna spela in och transkriberas för att sedan analyseras. Även observationer kommer ske där objektiva fältanteckningar förs. Urvalet av lärare kommer vara låg- och mellanstadielärare på skolor i Halmstad och Falkenberg. Antalet skolor och lärare är ej bestämt. Det teoretiska ramverket skulle kunna utgå ifrån didaktik och matematik där lärarens perspektiv på laborativ matematik kring bråk undersöks.