Matematisk Analys, inriktning Energi och Kemi 180108

Matematisk Analys

7,5 högskolepoäng

Totalt antal poäng på tentamen: 30 poäng.

För att få respektive betyg krävs:

Allmänna anvisningar: Tentamen består av två delar. Del 1 består av korta frågor där endast svar krävs.

För att bli godkänd krävs att minst 6 av 8 frågor är rätt på denna del.

Del 1 ger också följande bonuspoäng som adderas till del 2: 0, 1 eller 2 poäng. Del 2 består av 5 uppgifter där fullständiga lösningar krävs. Varje sådan uppgift ger 5p. Betyg på

examination avser antal poäng på del 2 inklusive eventuella bonuspoäng. Vi kommer bedöma att uppgifter är korrekt genomförda, läsbart utskrivna samt med vettiga förklaringar och

motiveringar. Delar av fullständiga lösningar ger poäng om det är korrekt utförda.

Nästkommande tentamenstillfälle:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Lycka till!

Ansvarig lärare: Telefonnummer:

Del 1 - Endast svar

1. Har funktionen 𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥 några inflexionspunkter i intervallet �−𝜋𝜋

2 , 𝜋𝜋 2�?

I såfall, var finns dessa?

2. Bestäm gränsvärdet lim_{𝑥𝑥→−2}𝑥𝑥2+2𝑥𝑥

𝑥𝑥2₋₄

3. Bestäm en ekvation till den räta linje som tangerar grafen till funktionen 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 i punkten x = 4.

4. Bestäm derivatan till funktionen 𝑦𝑦 = cos(𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥)

5. Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning 2 till funktionen 𝑦𝑦 = 1

(1−𝑥𝑥)2

6. Bestäm gränsvärdet lim_𝑥𝑥→0𝑒𝑒𝑥𝑥−1

𝑥𝑥

𝑥𝑥 −𝑥𝑥_{) 𝑑𝑑𝑥𝑥} 1

Del 2 – Fullständiga lösningar

9. Bestäm nedanstående gränsvärden. a) lim_𝑥𝑥→4 √𝑥𝑥−2

𝑥𝑥2₋₁₆ (2p)

b) lim_{𝑥𝑥→∞}√𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 (3p)

10. Beräkna arean av det begränsade område i första kvadranten som begränsas av graferna till funktionerna 𝑦𝑦 =𝑥𝑥

4, 𝑦𝑦 = 1

𝑥𝑥 och 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥.

Ledning: Skissera de tre kurvorna. (5p)

11. Beräkna den primitiva funktionen ∫�𝑥𝑥√𝑥𝑥 − 2�𝑑𝑑𝑥𝑥 (5p)

12. a) En rektangels area 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 där 𝑥𝑥 och 𝑦𝑦 betecknar rektangelns sidor.

Sidornas längder varierar med tiden, d.v.s. sidornas längder kan skrivas som 𝑥𝑥(𝑡𝑡) respektive 𝑦𝑦(𝑡𝑡).

Teckna ett uttryck för hur arean 𝐴𝐴(𝑡𝑡) varierar med tiden. (2p) b) Hur snabbt förändras rektangelns area om den

ena sidan, 𝑥𝑥 är 10 cm och ökar med 2 cm/s och den andra sidan 𝑦𝑦 är 8 cm och minskar med

3 cm/s? (3p)

𝐴𝐴 = 𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑦𝑦

13. Betrakta funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥 + 3 − 4√𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 ε 𝑹𝑹 a) För vilka värden på x är 𝑓𝑓(𝑥𝑥) inte definierad?

Ledning: Undersök uttrycket under rottecknen. (2p)

b) Är funktionen deriverbar för alla värden på x? Motivera! (2p)