Problemlösning med laborativ matematik

Malmö högskola

Examensarbete

10 poäng

Problemlösning med laborativ matematik

En studie av elevernas attityder till, samt förståelse och kunskaper i

skolämnet matematik

Problem solving with concrete mathematics

A survey of student’s attitudes, understanding and knowledge in school subject mathematics

Hanna Al-Mosawi

Lärarexamen 140 poäng Handledare: Helena Mühr Matematik och lärande

Sammanfattning

Arbetet är en studie som syftar till att ta reda på om det finns skillnader i lärares definitioner på vad ett laborativt arbetssätt är samt hur elevers förmågor och attityder påverkas av det arbetssätt de undervisas med. Undersökningen utfördes i två klasser, den ena klassen arbetade mer traditionellt med problemlösning, där eleverna beräknade uppgifterna i sina läroböcker individuellt, medan den andra klassen arbetade med nästan samma innehåll laborativt, där eleverna brukade lösa matematiska problem i små grupper och hade olika typer laborativa material till sin förfogande.

Studien utfördes i slutet av min lärarutbildning. Undersökningen varade i drygt fyra veckor och inleddes med en test för att ta reda på de två gruppernas utgångsläge och kunskaper i problemlösning. Efter den första testen fortsatte de båda grupperna med att arbeta i fyra veckor på vart sitt sätt med problemlösning utifrån de förmågor som undersöktes i detta arbete. Under tiden genomfördes ett antal intervjuer med både lärare och elever som ingick i de två grupperna.

Syftet med elevintervjuerna var att ta reda på vilka attityder de två elevgrupperna hade gentemot matematiken och hur de uppfattade sina egna roller i lärandeprocessen. Studien avslutades med en annan test som hade samma innehåll och ungefär samma svårighetsgrad. Avsikten med denna test var att ta reda på hur elevernas förmågor i problemlösning påverkades av de två arbetssätten.

De tydliga skillnaderna mellan de två elevgrupperna, när det gäller förståelse, kunskaper och attityder gav mig en bekräftelse på vikten av det laborativa arbetssättet i matematikundervisningen. De elever som brukade arbeta laborativt med problemlösning hade en positiv inställning till matematiken och ett aktivt förhållningssätt när det gäller hur de uppfattade sina egna roller i lärandeprocessen. Arbetet gav mig ett stabilt underlag att stå på och arbeta utifrån när jag startar upp som nyutbildad lärare som har ett ansvar för matematikundervisningen.

Nyckelord:

Attityder, elevers och lärares roller, Konstruktivism, laborativ, matematikundervisning, problemlösning.

Innehållsförteckning

2.3ARBETSSÄTT, ARBETSFORM, LABORATIVT ARBETSSÄTT OCH PROBLEMLÖSNING... 12

2.3.1 Arbetsform ... 12

2.3.2 Arbetssätt... 12

2.3.3 Vad är ett laborativt arbetssätt? ... 12

2.3.4 Problem och problemlösning ... 13

2.3.5 Sammanfattning... 14

2.4LABORATIVT ARBETSSÄTT SOM METOD... 15

2.4.1 Sammanfattning... 18

2.5 KONSTRUKTIVISM SOM GRUND FÖR DET LABORATIVA ARBETSSÄTTET... 18

2.5.1 Sammanfattning... 22

2.6PROBLEMLÖSNING I EN KONSTRUKTIVISTISK UNDERVISNING... 22

2.6.1 Lärarens roll ... 23 2.6.2 Elevens roll... 25 2.6.3 Sammanfattning... 26 2.7ATTITYDER... 27 3 METOD... 29 3.1METOD VAL... 29 3.2URVAL... 29 3.2.1 Val av lärare... 29 3.2.2 Val av elever... 30

3.2.3 Kontrollgrupp och experimentgrupp... 30

3.3DATAINSAMLINGSMETOD... 32

3.4PROCEDUR... 33

3.4.1 Lärarintervjuerna... 33

3.4.2 Elevintervjuerna ... 33

3.4.3 Test 1 och test 2 ... 33

3.5DATABEARBETNINGSMETODER... 34

3.6RELIABILITET... 35

4 RESULTAT ... 36

4.1VAD ÄR ETT LABORATIVT ARBETSSÄTT? ... 36

4.1.1 Sammanfattning... 37

4.2 VAD VINNER ELEVERNA GENOM ATT ARBETA LABORATIVT/TRADITIONELLT MED PROBLEMLÖSNING? ... 38

4.2.1 Sammanfattning... 39

4.3 VILKA SVÅRIGHETER HAR DE TVÅ ELEVGRUPPERNA I SAMBAND MED PROBLEMLÖSNING?...40

4.3.1 Sammanfattning... 40

4.4GYNNAR DET LABORATIVA ARBETSSÄTTET ELEVERS FÖRMÅGOR I PROBLEMLÄSNING? .. 42

5 DISKUSSION ... 50

5.1METODDISKUSSION... 50

5.1.1 Giltighet... 50

5.1.2 Tillförlitlighet ... 50

5.2RESULTATDISKUSSION... 52

5.2.1 Skiljer sig lärares definitioner på vad ett laborativt arbetssätt är jämfört med det som står skrivet i litteratur och rådande forskning?... 52

5.2.2 Gynnar det laborativa arbetssättet elevers förmågor i problemlösning?... 54

5.2.3 Påverkar arbetssättet elevers attityder gentemot matematiken? ... 58

5.2.4 Resultatens konsekvenser för arbetet i skolan... 61

5.3FORTSATT FORSKNING... 63

6 TACK ... 64

7 REFERENSLISTA... 65

8 BILAGOR ... 67

BILAGA 1 ELEVERNAS INTERVJUFRÅGOR... 67

BILAGA 2 LÄRARNAS INTERVJUFRÅGOR... 68

BILAGA 3 MEDDELANDE TILL ELEVERNAS FÖRÄLDRAR... 69

BILAGA 4 TEST 1 ... 70

BILAGA 5 TEST 2 ... 71

BILAGA 6 EXEMPEL PÅ ELEVERNAS SVAR (GRUPP A) ... 72

1 Inledning

Under hela utbildningen på Lärarhögskolan har man betonat det laborativa arbetssättets betydelse när det gäller att förse eleverna med en visuell bild, en upplevelse som ger en grogrund för förståelse av matematikens abstraktion. Ute på skolorna har jag upplevt en matematikundervisning som präglas av ett traditionellt arbetssätt som kännetecknas av en tyst räkning ofta utan någon genomgång. De elever som har svårigheter i matematiken kan erbjudas ett antal uppgifter av samma sort som en lösning på problemet.

När eleverna misslyckas med uppgifterna får de använda laborativa material, där det uppfattas som ett ändamål och inte som medel för att främja elevernas förståelse. Under min verksamhetsförlagda tid har jag sett att många elever beräknar och arbetar med problemlösning utan en verklig förståelse för tal och räknesätt de använder. Problemlösning utförs ofta med hjälp av lärarens förklaringar som leder eleven fram till det rätta svaret. I själva verket utför läraren och inte eleven det hela genom att ta över tankearbetet.

I det verkliga livet brukar vi lösa många matematiska problem genom att kommunicera med andra, rita, använda olika föremål och utföra konkreta handlingar. Eftersom eleverna har olika sätt att erhålla kunskap kan den traditionella undervisningen med tyst räkning missgynna de elever som behöver konkreta upplevelser för att lyckas med matematiken. I ett samhälle med höga krav på individerna och med mångfald av tekniska hjälpmedel bör matematikundervisningen inriktas på förståelse av matematiska begrepp. Detta gav mig inspirationer till innehållet i mitt examensarbete.

Genom denna undersökning vill jag ta reda på om det finns skillnader i lärares uppfattningar om innebörden av ett laborativt arbetssätt jämfört med hur detta sätt i undervisningen uppfattas och definieras i litteraturen. Jag vill också studera hur elevers förmågor i problemlösning påverkas av de två arbetssätten, nämligen det laborativa arbetssättet och det traditionella arbetssättet. Dessutom vill jag ta reda på hur elevers attityder gentemot skolämnet matematik påverkas av de två arbetssätten.

1.2 Syfte

Genom detta arbete vill jag ta reda på om det finns skillnader i lärares definitioner på vad ett laborativt arbetssätt är samt att undersöka hur elevers förmågor i problemlösning påverkas av de två arbetssätten. Jag vill också undersöka hur elevers attityder påverkas av det arbetssätt de undervisas med.

1.3 Problemformulering

Med denna undersökning vill jag söka svar på följande frågeställningar:

• Skiljer sig lärares definitioner på vad ett laborativt arbetssätt är jämfort med det som står skrivet i litteraturen?

• Gynnar det laborativa arbetssättet elevers förmågor i problemlösning? (se nedan) • Påverkar arbetssättet elevers attityder gentemot matematiken? (se nedan)

När det gäller elevers förmågor i problemlösning kommer jag att undersöka följande förmågor:

1. Förmågan att välja rätt räkneoperation i en uppgift som kräver en räkneoperation. 2. Förmågan att välja rätt räkneoperation i en uppgift som kräver två räkneoperationer. 3. Förmågan att föra med sig en inre bild i sitt abstrakta tänkande.

4. Förmågan att bedöma ett svars rimlighet (det logiska tänkandet). 5. Förmågan att välja för lösningen relevant information.

När det gäller elevers attityder vill jag ta reda på följande punkter: 1. Hur eleven uppfattar sin roll i lärandeprocessen.

2. Elevernas syn på matematiken och vilken nytta de har av skolämnet. 3. Hur eleverna upplever matematiken med de två arbetssätten.

2 Teoretisk bakgrund

2.1 Förankring i styrdokument

Matematikdelegationen (2004) varnar, i sitt betänkande Att lyfta matematiken, för de negativa effekter som den tysta räkningen har när det gäller elevernas förståelse och lust att lära. I sitt betänkande sidan 15 kan man läsa följande: Den växande trenden av tyst räkning i svensk skola är skadlig. För att eleverna skall uppnå en förståelse och hålla lusten att lära vid liv har delegationen framhållit vikten av en matematikundervisning som präglas av variation och kreativitet. I samma sida kan man läsa följande: Variation och kreativitet är nyckelord för att öka

intresset för att lära sig matematik.

Våra styrdokument betonar vikten av ett laborativt arbetssätt som ett naturligt och nödvändigt inslag i matematikundervisningen under alla skolår. I grundskolans kursplaner och betygskriterier (Skolverket 2000b), kursplanen för matematik, kan man läsa följande:

Matematik är en levande mänsklig konstruktion som omfattar skapande, utforskande verksamhet och intuition… Problemlösning har alltid haft en central plats i matematikämnet. Många problem kan lösas i direkt anslutning

till konkreta situationer utan att man behöver använda matematikens uttrycksformer.

Problemlösning i våra skolor handlar ofta om mekanisk räkning, tillrättalagda uppgifter och memorering av färdiga mallar som eleverna blint följer. På sådant sätt finns det inte något utrymme för det logiska tänkandet som betonas i skolans styrdokument. I samma styrdokument står det:

Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven förstår och kan använda logisk resonemang, drar slutsatser och generaliserar samt muntligt och skriftligt förklarar och argumenterar för sitt tänkande.

Skolan skall sträva efter att varje elev • Utveckla nyfikenhet och lust att lära, • Utveckla sitt eget sätt att lära,

• Lär sig arbeta självständigt och tillsammans med andra, • Lär sig använda sina kunskaper som redskap för att - formulera och pröva antaganden och lösa problem, - reflektera över erfarenheter och

- kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden.

När man läser kursplanen för matematik (skolverket, 200b) kan man dra en viktig slutsats gällande matematikundervisningen i grundskolan. Läraren skall kunna hjälpa alla elever att

konstruera och utveckla ett abstrakt tänkande genom att konkretisera eller vardagsanknyta undervisningen. Syftet med detta är att förse eleverna med redskap och förutsättningar så att de kan hantera och lösa vardagsproblem samt att fatta hållbara beslut i de olika valsituationer man ställs inför.

Kursplanen för matematik i grundskolan ger sitt fulla stöd när det gäller att skapa meningsfulla situationer som har sin utgångspunkt i elevernas erfarenhetsvärld. Där ges eleverna möjligheter att diskutera, beskriva och kommunicera för att uppfatta och förstå de abstrakta begreppen. Under ämnets syfte och roll i utbildningen sidan 26 kan man läsa följande:

Utbildning i matematik skall ge eleverna möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem.

Inom ramen för detta syfte framhåller man vikten av att hålla intresset för matematiken vid liv och förse eleverna med tillfällen där de upplever glädje i samband med matematiken. I kursplanen för matematik (skolverket, 2000b) lyfter man fram följande aspekter:

Matematiken är en viktig del av vår kultur… att utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik… att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer… att upptäcka estetiska världen… att uppleva den tillfredsställelse och glädje som ligger i att kunna förstå och lösa problem. (sid.26).

Utifrån dessa mål och riktlinjer skall strävan vara att eleven bl.a.

Utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer,… utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen (Skolverket, 2000b, sid. 26)

2.2 Förankring i litteratur

Alla litteraturer som behandlar undervisning i matematik betonar att lärandet är en aktiv process där både handling och tänkande förenas och integreras. För att eleverna skall utveckla sina matematiska begrepp bör man börja alltid med en konkret handling för att förse eleverna med upplevelser och referensramar.

Malmer och Ekelunds (1997) betonar vikten av det laborativa arbetssättet i problemlösning eftersom det ger upphov till ett kommunikativt inslag som främjar det logiska tänkandet. Malmer skriver i sin bok Kreativ matematik (1990) att uttrycket problemlösning upplevs av

många elever som svårt och invecklat på grund av att eleverna brukar möta sådana problem i sin verbala form och inte som en konkret och verklig handling. Samma mening delar Ma (1999). Hon menar att den matematiska förståelsen uppnås när läraren lyckas göra en koppling mellan manipulationerna och matematikens abstrakta begrepp. På detta sätt kan man främja elevernas begreppsbildning och förstärka det som eleverna redan har.

Rönnberg (2001) ger många förslag som kan förbättra minoritetselevers prestationer i matematiken. Dessa förslag kan i många fall förbättra matematikundervisningen för alla elever. Man konstaterar att förbättringen kan äga rum genom att förändra uppfattningar om matematikämnet, lärandet och lärarrollen. Rönnberg fastställer att man på sådant sätt kan åstadkomma en förskjutning från en undervisning som betonar inlärning av procedurer, till en undervisning som inriktar sig på förståelse av begrepp genom reflektion och kommunikation.

Även Gran (1998) betonar lärarens roll när det gäller elevens lärandeprocess. Genom att arrangera inlärningssituationer, där eleven tar ansvaret för sitt eget lärande, blir eleven medveten om sitt sätt att lära och kan utveckla sitt kunnande. Å andra sida framhåller Kilborn (1979 a) elevens roll i det egna lärandet. Detta har belystas genom en intressant studie inom PUMP- projekt, där det framgår hur hela syftet med matematikundervisningen kan förloras på grund av att läraren brukar ta över elevernas roll i lärandeprocessen genom att lotsa de förbi alla problem i stället för att ge eleverna möjligheter att ta itu och utreda dessa svårigheter. Med elevernas roll i lärandeprocessen menar man de olika handlingar som eleverna utför för att kunna förstå och lösa matematiska uppgifter samt elevernas bearbetning av dessa handlingar. Och det påpekas av Ann Ahlberg, i sin avhandling Att möta matematiska problem. Hon menar att då eleverna arbetar med numeriska beräkningar uträttar de olika handlingar. Om eleverna utför dessa handlingar enskilt och om de inte får en möjlighet att diskutera och reflektera över det de gör, osynliggörs förståelsen som matematikundervisningen bör grundas på.

Författaren (Ahlberg 1992) hänvisar till en studie som utfördes av Carraher & Schliemann (1985), där man undersökte brasilianiska skolungdomar mellan 9 och 15 år, som arbetade med gatuförsäljning och kom fram till att ungdomarna, i de vardagliga handlingssituationerna, kunde lösa matematiska problem som de inte brukade klara av i skolan. Orsaken bakom detta var att ungdomarna använde sig av huvudräkning vilken stod i direkt anslutning till de varor och föremål som involverades i olika problemlösningssituationer. Carraher konstaterar att

skolmatematiken ägnar sig åt manipulationer med inlärda symboler och generella metoder. Med detta menar hon inte att skolmatematiken inte kan erbjuda eleverna viktiga redskap som kan användas i det verkliga livet. Det som hon ifrågasätter är det sätt som matematikundervisningen bedrivs med. Många forskare och didaktiker föreslår att skolmatematiken bör lyfta fram begreppet som en konkret upplevelse i stället för att fokusera färdighetsträning och mekanisk räkning.

2.3 Arbetssätt, arbetsform, laborativt arbetssätt och problemlösning

Denna undersökning inriktar sig på det laborativa arbetssättet som metod vid problemlösning i matematiken. Problemlösning betraktas här som det innehåll eleverna sysslar med under matematikundervisningen. I det här avsnittet kommer jag att ta upp vad arbetssätt, arbetsform, problemlösning samt vad ett laborativt arbetssätt innebär.

2.3.1 Arbetsform

Enligt Emanuelsson (2000) innebär arbetsform hur läraren organiserar sin undervisning rent praktiskt. Eleverna kan arbeta med gemensamma uppgifter enskilt, i grupp eller i par. Det handlar också om hur läraren väljer att handleda sina elever. Läraren kan vända sig till hela klassen eller handleda eleverna i smågrupper, individuellt eller i par. Löwing (2004) delar samma mening. På sidan 84 skriver hon följande: Med arbetsformer menar jag då i huvudsak hur undervisningen organiseras.

2.3.2 Arbetssätt

Enligt samma källa (Emanuelsson 2000) definieras ett arbetssätt som en metod läraren använder sig av för att lära ut olika kunskaper och färdigheter. Det är en övergripande metod med vilken läraren kan uppnå de uppsatta målen i sin undervisning. Som exempel på arbetssätt kan man nämna problembaserat lärande (PBL) och storyline. Enligt Löwing (2004) beskrivs ett arbetssätt som en metodik läraren väljer att undervisa med. Arbetssätten kan vara givna i vissa fall. Det går inte att förse eleverna med konkreta erfarenheter i matematikundervisning om man enbart tränar med symboler och håller sig till det abstrakta tänkandet.

2.3.3 Vad är ett laborativt arbetssätt?

Under min litteraturstudie har jag stött på olika beskrivningar och definitioner på det laborativa arbetssättet. Enligt Malmer (1990) innebär ett laborativt arbetssätt att man utgår

från en konkret och meningsfull situation som är verklighetsbaserad och överför den till ett matematiskt symbolspråk genom att använda olika typer av konkreta material.

Löwing (2004) menar att det laborativa arbetssättet innebär att läraren konkretiserar sin undervisning genom att använda sig av konkreta material för att klargöra det abstrakta tänkandet i matematiken. Man menar inte att själva materialet kan konkretisera ett matematiskt begrepp. Läraren kan, med hjälp av dessa material, lyfta fram och synliggöra en visuell bild av begreppet, där lärare tar hänsyn till elevernas förkunskaper och abstraktionsförmåga. Enligt Häggblom (2000) kan läraren konkretisera sin undervisning på två olika sätt. Detta kan ske genom att arbeta med laborativa material och genom att verklighetsanknyta undervisningen. Däremot menar Kilborn (1989) att undervisningen kan konkretiseras när läraren lyckas koppla de matematiska tankeformerna till elevernas erfarenheter. Vidare menar Kilborn: Ett material i sig kan inte vara konkret i intellektuell mening. Materialet blir konkret först när det bär en tanke. Kilborn (1989, sid. 71).

Å andra sida menar Berggren & Lindroth (2000) att detta sätt i undervisning innebär att eleven löser en konkret situation med hjälp av laborativa material för att kunna diskutera fram generella lösningar och lösningsmetoder. Lindroth (1999) menar att läraren använder ett arbetssätt i sin undervisning, där tyngdpunkten ligger på vissa grundpelare, nämligen fantasi, kommunikation, kreativitet och problemlösning. Det konkreta materialet som läraren använder för att konkretisera sin undervisning skall betraktas som ett medel och inte som ett ändamål. Denna syn på det laborativa arbetssättet har mycket stöd inom olika forskningsområde. I sin avhandling Matematikundervisningens konkreta gestaltning har Madeleine Löwing utfört en undersökning, där hon studerat kommunikationen mellan lärare och elever inom vissa didaktiska ramar. Man har kommit farm till att användningen av laborativa material i matematikundervisningen inte ger någon garanti när det gäller elevernas förståelse om läraren inte tar hänsyn till de ovannämnda grundpelare som det laborativa arbetssättet vilar på och om kommunikationen mellan läraren och eleverna blir ineffektivt.

2.3.4 Problem och problemlösning

I vardagslivet använder vi ofta ordet problem, när vi ställs inför olika svårigheter av personlig karaktär. I nationalencyklopedin definieras ordet problem på två olika sätt: Det är en svårighet som kräver ansträngning för att komma till rätta med. Men det är också en uppgift som kräver tankearbete och analytisk förmåga.

Skoogh (1987) menar att ett matematiskt problem innebär att det finns ett hinder som eleven vill och kan ta sig förbi. Ett matematiskt problem behöver inte vara svårt. Många bra problem kan lösas snabbt och enkelt med hjälp av passande metoder. Enligt samma källa innebär problemlösning att eleven har en tanketröskel att bemästra. Det är inte problemlösning om eleven löser en uppgift med hjälp av en given mall eller modell.

Åkersten (1993) definierar begreppet problem i matematik på följande sätt:

En frågeställning som man vill lösa och som kan lösas med en matematisk modell, som inte är given.(sid. 74). Enligt Ahlberg (1992) innebär matematiska problem de uppgifter som handlar om verkliga händelser och som sedan kan symboliseras med hjälp av det matematiska språket. En annan benämning är aritmetiska problem. Det är de uppgifter som kan lösas med hjälp av de fyra räknesätten, dvs. addition, subtraktion, multiplikation och division.

Unenge (1994) beskriver problemlösning som en metod med vilken man gör problemet hanterbart. Det gäller inte att lösa problemet, utan det syftar till att tyda, förstå vad uppgiften går ut på och formulera problemet innan man sätter igång med lösningen. Magne (2002) menar att problemlösning också innebär att man resonerar logiskt genom att använda sig av språket, där man gör sina tankar hörbara och synliga. På detta sätt hör språket och problemlösningen samman. Det är språkets logiska användning som har en avgörande betydelse i problemlösning.

2.3.5 Sammanfattning

Arbetssätt och arbetsform är två viktiga medel som läraren kan använda sig av för att uppnå de uppsatta målen i sin matematikundervisning. Det ena medlet är en metod som läraren har för att sätta lärandeprocessen igång. Medan det andra medlet står för ett organisatoriskt ändamål. Det laborativa arbetssättet innebär att man utför en konkret handling som tar sin utgångspunkt från verkligheten och som banar den långa vägen mot det abstrakta tänkandet. Det ses också som en metod att konkretisera matematikundervisningen och lyfta fram de abstrakta begreppen i matematiken med hjälp av de visuella bilder som det konkreta materialet kan bjuda på.

Det laborativa arbetssättet använder sig av konkreta material som ett medel medan tyngdpunkten ligger på fantasi, kreativitet, kommunikation och problemlösning.

Problemlösning ses som en metod för att göra problem begripliga och hanterbara. Man ser också på problemlösning som ett medel för att utveckla olika matematiska begrepp. Det handlar om förmågan att ställa frågor och diskutera tillvägagångssätt och strategier som kan lösa olika problem. Språket och dess logiska användning har en stor betydelse i problemlösning.

2.4 Laborativt arbetssätt som metod

Det laborativa arbetssättet ger upphov till kommunikationer, reflektioner, logiskt tänkande och förser eleverna med en ”inre bild” av de abstrakta begreppen. Jan Wydhamn (Nämnaren nummer 2-3, årgång 13, sidan 33) har tagit fram en modell för elevernas lärande i matematik, där han betonar den konkreta situationens roll som en utgångspunkt för lärandet. Modellen kan illustreras med hjälp av följande figur.

Figur 1

Verkligheten Språket Matematiken

Ord Meningar Symboler Begrepp Samband Strukturer Saker Egenskaper Sakförhållanden Händelser

En konkret situation kan eleven hantera. Det ger något som omedelbart kan förstås medan en ordföreställning kan vara totalt obegriplig om eleven saknar förståelse för ordens innebörd eller om orden inte väcker några associationer. Utifrån denna handling kan situationens beskrivning i form av ord, meningar och symboler få en meningsfull betydelse, där symbolerna väcker värdefulla associationer. Språket blir en viktig länk mellan den verklighet som eleverna upplevt, genom den konkreta handlingen, och symbolernas innehåll. Det laborativa arbetssättet ses som en metod med vilken hjälp eleven uppnår ett abstrakt tänkande i matematiken. Löwing (2004) skriver i sin avhandling Matematikundervisningens konkreta gestaltning följande:

Inom grundskolans matematikundervisning spelar just konkretisering en viktig roll. Det gäller således inte att i grundskolan främst frigöra sig från det konkreta ursprunget utan snarare att, för de flesta elever, kunna falla tillbaka på och återförsäkra sitt tänkande i konkreta modeller. Konkretiseringen blir i själva verket, för många elever, just en metod att på en lokal nivå förstå ett matematiskt innehåll för att i nästa steg kunna generalisera det och slutligen abstrahera det till en generellt giltig matematisk modell. (sid. 78)

Malmer (1999) betonar att det laborativa arbetssättet är en förutsättning för förståelse av abstrakta begrepp. En viktig förutsättning för allt detta är att välja de uppgifter som har sin utgångspunkt i den konkreta situationen och upplevs meningsfullt från elevens sida. Med detta menar man de situationer som eleverna har varit med om och upplevt i det vardagliga livet. Dessutom skall dessa uppgifter erbjuda eleverna utmaningar som gör att de reflekterar över sina föreställningar samtidigt som sådana föreställningar blir upptäckta. Malmer (1999) beskriver sex olika inlärningsnivåer i elevernas kunskapsprocess som har sin utgångspunkt i det konstruktivistiska tänkandet. Här utgör det laborativa arbetssättet en start punkt som sätter igång hela processen. Följande figur, som jag konstruerat, beskriver dessa inlärningsnivåer genom en förenklad skiss:

Figur 2 Abstrakt symbol- Språk Matematiska uttryck Första - formulera Representations former Rita bilder, figurer, mönster, osv. Synliggöra Konkret Handlande Laborera med konkret material Göra - pröva Erfarenheter Associationer Känna igen, ha varit med om Tänka - Tala Tillämpning

När och Hur kan den nya kunskapen användas. Problemlösning Generalisera Kommunikation Reflektera, beskriva, förklara, argumentera, diskutera, skapa. Kunskap

Att utgå ifrån konkreta situationer och elevernas erfarenheter, underlättar konstruktionen av matematiska idéer. Erfarenheterna och situationerna fungerar som referensramar som eleverna associerar till. Enligt Malmer (1999) tar det hela sin utgångspunkt i det konkreta handlandet, där eleverna prövar sig fram med hjälp av olika typer laborativa föremål. På detta sätt får eleverna de nödvändiga erfarenheter som utgör en viktig förutsättning för hela processen. Det tredje steget i denna process blir en naturlig fortsättning på elevernas konkreta handlingar som kan redovisas på flera olika sätt. Genom att berätta, rita bilder, figurer, diagram osv. kan de beskriva och synliggöra sina nyvunna kunskaper. På detta sätt fungerar de konkreta föremålen som ett medel med vilket eleverna utför olika handlingar för att åskådliggöra tankegångarna. Heinrich Bauesfeld delar samma mening när det gäller åskådliggörandet av matematiska

begrepp. De laborativa hjälpmedlen, som ska betyda något i sig och förmedla matematisk mening, talar inte. Det innebär att det lärande subjektet måste konstruera deras betydelse under ett handlett tacklande av sakfrågan. Engström (1998, sid. 56).

Med dessa nyvunna kunskaper, som utgör en stabil bas för förståelse, kan eleverna ledas in i det matematiska symbolspråket. I denna fas använder eleven sin förståelse för att översätta de föregående faserna till tal och räknesätt. I den femte fasen tillägnar eleverna en förmåga som innebär att de kan använda denna förståelse för att bedöma när och hur denna kunskap kan användas i problemlösning och i olika sammanhang. Reflekterande samtal blir en viktig förutsättning under denna fas. Denna syn på lärandet bekräftas av Emanuelsson (2000). På sidan 15 står det följande:

Lärandet i matematik är en process där målet är insikt i abstrakta strukturer och relationer. Men för att nå dit vet vi som lärare att man inte enbart kan arbeta och träna med symboler. Man måste tala matematik, anknyta till verkligheten, arbeta laborativt, börja med det konkreta, lära sig tänka.

Malmer (1999) ser på lärandet som en aktiv process där produkten kallas kunskap. För att produkten skall vara verklig måste den byggas på förståelse. På detta sätt uppnår eleverna den sista fasen i lärandeprocessen. Löwing (2004) menar att det traditionella arbetssättet, där man utgår från ett läromedel missgynnar elevernas lärande eftersom detta sätt i undervisningen förbiser lärandeprocessen. Hon menar att:

En nackdel med detta arbetssätt kan vara att eleverna genom detta sätt att arbeta inte får befästa de kunskaper de arbetat med under lektionen; det kan ju dröja flera dagar innan de fullföljer arbetet inom ett nyss påbörjat område. (sid. 193).

Denna uppfattning bekräftas av Engström (1998, sid. 71): Befrämjande för förståelse är förmodligen strävan att låta eleverna beskriva konkreta sakförhållanden matematiskt på så många olika sätt som möjligt och låta dem motivera detta.

Unenge (1994) ger en beskrivning av begripligheten som omfattar olika nivåer när det gäller matematiken. Följande figur visar dessa nivåer.

Figur 3

_Göra

Eleverna löser en matematisk uppgift genom att ”göra något” med de ingående talen eller storheterna

Berätta

Eleven berättar om sin metod ”vad han/hon tänkte”.

Förklara

Eleven beskriver med egna ord hur han/hon gått tillväga när han/hon löste uppgiften.

Argumentera

Eleven argumenterar för sin lösning och motiverar varför han/hon valt just den metoden.

Unenge (1994) betonar att innehållet i matematikundervisningen skall kännas meningsfullt från elevens sida. En viktig förutsättning blir att inlärningssituationen kommer i ett meningsfullt sammanhang. När eleverna arbetar med problemlösning under dessa förutsättningar, börjar det första steget i förståelseprocessen, nämligen att göra något. Genom att eleven klarar nivåerna steg för steg uppnås en kunskap som baseras på förståelse för det matematiska innehållet.

2.4.1 Sammanfattning

I denna del har jag tagit upp strukturen i detta arbetssätt, där de konkreta situationerna betraktas som inkörsport till det abstrakta tänkandet. Det laborativa arbetssättet består av många steg, där en verklig och konkret situation kan översättas till det matematiska symbolspråket. Här har jag också tagit upp olika steg i kunskapsprocessen, där förståelsen uppnås genom en aktiv deltagande från elevens sida.

2.5 Konstruktivism som grund för det laborativa arbetssättet

Enligt den konstruktivistiska teorin har kunskap en personlig karaktär. Det är en individuellt inre konstruktion som utformas med hjälp av individens erfarenheter, men också vid mötet med omgivningens varierande situationer. Med hjälp av konstruktivismen som teori försöker

man hitta en lösning på ett centralt problem inom matematikundervisningen, nämligen elevernas lärande i matematik och hur det kan underlättas. Enligt Häggblom (2000) definierar Kilpatrick (1987) konstruktivismen med hjälp av två hypoteser:

1. Den lärande bygger aktivt upp sin kunskap; den motas inte passivt från omgivningen.

2. Att lära är en adaptivprocess, genom vilken den lärande organiserar sin erfarenhetsbaserade bild av omvärlden; vetande härrör inte från en självständig värld utanför den lärande. Häggblom (2000, sid. 24)

Här talar man om kunskap och lärande som individens egna konstruktionsverk och som kan tillägnas genom individens aktiva insatser. Figur 4 som är hämtad från Wynhamn (2000, sid. 88), kan illustrera lärandeprocessen hos individerna:

Figur 4

Handling

Erfarenhet Reflektion

Lärande Kunskap

Enligt Wyndhamn (2000) betraktas kunskap inom konstruktivismen som relativt beroende på tid och plats. De nya situationer och problem som individen möter i sin omgivning förklaras utifrån individens underliggande begreppsliga strukturer. Lärandet betraktas som en livslång och en pågående process, där känslor, attityder och sociala dimensioner kan verka som drivkrafter. Dessa drivkrafter kan påskynda eller hämma lärandeprocessen. De konstruktivistiska teorier som riktar sina intressen mot lärande och undervisning grundar sig på idéer och tankar från många pionjärer så som, John Dewey, Jean Piaget och Lev Vygotsky.

Jean Piaget (1896-1980)

Piagets teori om lärande och kunskap hämtar sina rötter från en biologisk metafor, där en organism måste anpassa sig till omgivningen under hela sin utveckling. Han menar att individen utvecklar sin kunskap stegvis genom en anpassningsprocess som gör att individen bygger upp sitt lärande med hjälp av interaktioner med sin fysiska miljö. I sin doktorsavhandling Hur tänker du konstaterar Silwa Claesson att Piaget har stor betydelse för utveckling av denna teori. Den konstruktivistiska teorin bygger på Piagets tankar att den enskilde elevens aktivitet leder till lärande genom den jämvikts- och läroprocess som pågår när individen försöker rätta sig efter sin omgivning.

Engström (1998) menar att det hela äger rum genom ett adaptivt beteende, där individens strukturer organiseras. Strukturerna organiseras eller anpassas till omgivningen med hjälp av två adaptiva beteenden:

• Assimilation är den process under vilken nya erfarenheter tolkas med hjälp av ett existerande schema.

• Ackommodation är en omstruktureringsprocess som inleds när det inte går att sortera nya erfarenheter med hjälp av existerande scheman. (Engström 1998, sid. 22).

Enligt Häggblom (2000) anser inte Piaget att den sociala dimensionen har något betydelse för läroprocessen. Det hela bygger på en biologisk grund. Han menar att individen befinner sig i ett kontinuerligt samspel med sin fysiska omgivning. En förutsättning för individens utveckling är att infinna sig i en situation där individens jämvikt rubbas. Detta gör att individen börjar fundera för att återställa sin jämvikt. När utvecklingen går mot högre grad av abstraktion når individen sin högsta nivå i utvecklingsstadierna. På detta sätt kan individen påverka sin omgivning med hjälp av logiska och matematiska strukturer.

Piaget anser att tankeutvecklingen hos individen sker i olika stadier, där inlärningen först äger rum när barnet klarat ett visst stadium. Dessa utvecklingsstadier anses vara svåra att tillämpa i undervisningssituationerna. Man menar att det inte går att åtskilja utveckling och inlärning eftersom de ömsesidigt är beroende av varandra. Piagets teorier har fått kritik på grund av att de förbiser individens känslomässiga och sociala utveckling.

Lev Vygotsky (1896-1934)

Vygotsky är grundaren för den andra stora tanken inom konstruktivismen. Han ser på lärandet som ett samspel mellan individen och den sociala omgivning som individen befinner sig i. På detta sätt blir individens utveckling ett resultat av en interaktion mellan individen och sin sociala miljö. Enligt Wyndhamn (2000) sker detta samspel mellan individen och sin yttre miljö med hjälp av verktyg som kan vara abstrakta (begreppsliga, psykologiska) och konkreta (materiella).

En central roll tar kommunikationen och det gemensamma språket utgör en förutsättning för individens intellektuella utveckling. Samtal tilldelas en viktig roll, där individen konstruerar nya kunskaper genom diskussioner och reflektioner över sitt och andras sätt att tänka. Man menar att en ny kunskap konstrueras genom en aktiv interaktion med sin sociala och fysiska omgivning, där individen är engagerad i en meningsfull och relevant situation ur individens

synvinkel. Dessutom skall individen möta utmaningar och svårigheter om hon skall utvecklas och lära sig något. Vygotsky talar om en proximal zon som utgör möjligheten för en elev att utvecklas från den utgångspunkt han har. Med andra ord: Om eleven ska lära sig något, måste han eller hon möta något nytt och krävande. Det måste vara lite svårt. Imesn (1999, sid.286). Säljö (1999) tolkar den proximala

utvecklingszonen som ett utvecklingsområde individen har uppnått. Området styr vad individen kan klara av själv, i förhållande till vad hon kan klara av tillsammans med andra. Man menar att en matematisk kunskap är ett socialt konstrukionsverk.

John Dewey (1859- 1952)

Dewey framhäver vikten av en undervisning som utgår från elevernas erfarenhetsvärld. Han står bakom orden ”learning by doing” och lyfter fram ett laborativt och undersökande arbetssätt i undervisningen, där eleverna genom en aktiv interaktion med läraren, får diskutera reflektera och samtala om olika sätt att tänka och lösa matematiska uppgifter. Däremot menar Dewey, enligt Hartman (1995), att individerna befinner sig i olika utvecklingsnivåer och att det endast är dessa utvecklingsnivåer som skiljer elevens tänkande från lärarens. Han rekommenderar integrationen mellan olika ämnen i undervisningen för att efterlikna elevens erfarenhetsvärld, där det inte finns någon skarp indelning mellan de olika ämnena.

Jerome Bruner (1915-)

Bruner betonar att undervisningen skall anpassas till elevens nivå, erfarenhet och sätt att uppleva världen. Bruner menar, enligt Wyndhamn (2000) att den undervisning som präglas av en stimulerande miljö har en positiv påverkan på elevens utvecklingsmöjligheter. Det viktigaste för eleverna är inte att tillägna sig en massa faktakunskaper, utan att lära sig hur saker och ting hänger ihop och förhåller sig till varandra. Wyndhamn (2000) menar att Bruner har lanserat så kallade spiralprincipen, där olika begrepp i skolans undervisning presenteras med olika svårighetsgrad beroende på elevernas erfarenheter och kunskapsnivåer inom de olika årskurserna.

När det gäller matematikundervisningen ligger tyngdpunkten, enligt Imsen (1999), vid logiken och grundläggande förståelse. För att kunna göra detta måste man genomföra välplanerade laborationstillfällen. På detta sätt har Bruner fullföljt Deweys reformpedagogik ”learning by doing” och utvecklat detta till så kallade ”learning by discovery”. Bruner talar om tre representationsformer:

• Den första är en handlingsmässig form som individen använder sig av och som utgör det första steget i hennes begreppsutveckling.

• Den andra är en föreställningsmässig form som blir en naturlig följd av den konkreta handling som individen utfört. Här skapas en visuell föreställning som blir en grogrund för det abstrakta tänkandet.

• Den symboliska representationsformen utgör det sista steget i individens utveckling, där hon använder sig av ord och symboler för att beskriva, förklara och argumentera. Bruner ger läraren en viktig roll i elevens lärandeprocess. Läraren har som uppgift att skapa stimulerande inlärningsförutsättningar, där eleven får en aktiv roll i lärandeprocessen.

2.5.1 Sammanfattning

Piaget, Vygotsky, Dewey och Bruner ser på lärandet som en aktiv process, där individen konstruerar sina egna subjektiva kunskaper ur de erfarenheter och situationer som individerna varit med om. Bruner delar samma mening med Piaget, där individen konstruerar sitt lärande med hjälp av schema och mentala modeller för att kunna återställa sin jämvikt och anpassa sig till sin omgivning. Vygotsky lägger stor vikt vid samtal och det sociala samspelet, där det talande språket spelar en stor roll i lärandeprocessen. Både Dewey och Bruner har fullföljt Piagets och Vygotskys idéer med betoning på ett laborativt och undersökande förhållningssätt gentemot den omgivning som individerna befinner sig i. Med detta stöd från den konstruktivistiska pedagogiken har det laborativa arbetssättet en pålitlig och stabil grund att stödja sig på.

2.6 Problemlösning i en konstruktivistisk undervisning

En konstruktivistisk undervisning har sina speciella inslag. I det här avsnittet kommer jag att behandla hur arbetet med problemlösning skall ske samt vad läraren och eleven har för roller och uppgifter i en sådan undervisning. Konstruktivismen betraktar problemlösning som en process, eleverna genomgår med tydliga steg som leder till ökad förståelse och förmåga att använda matematiska modeller.

Enligt ett socialkonstruktivistiskt perspektiv främjas elevernas förståelse och förmågor i problemlösning om de arbetar i små grupper, där de diskuterar, löser problem, tar del av varandras lösningsstrategier och bekantar sig med olika tolkningar av problemet. De sociala aktiviteterna har en avgörande betydelse i problemlösning. Grevholm (2001) menar att eleverna kan påverka varandras matematiska uppfattningar. Dessutom lär de sig förhandla när

det gäller tolkningen av matematiska problem och tillvägagångssätt som gruppmedlemmarna väljer. För att eleverna skall utveckla sina förmågor i problemlösning framhåller Unenge/Wyndhamn (1988) vikten av att lösa verkliga problem. Genom denna metod lär eleverna sig på ett meningsfullt sätt att bemästra, förstå och lösa problem.

Mayer (1985) enligt Grevholm (2001) har beskrivit hur läraren bör arbeta för att förbättra undervisning i problemlösning som grundar sig på en konstruktivistisk syn på lärande och använder sig av ett laborativt och undersökande arbetssätt. Hon menar att eleverna skall arbeta i smågrupper, där de ges möjligheter att översätta en matematisk uppgift med hjälp av en konkret handling genom att bl. a hantera laborativa material. De skall uppmuntras att tänka och använda sina erfarenheter och associationer för att kunna översätta problemet till en konkret situation. På detta sätt kan eleverna öva att överföra och översätta konkreta situationer till det matematiska symbolspråket och omvänt. Eleverna skall arbeta med blandade problem så att de väljer ut relevanta och irrelevanta informationer. De skall också rita och omformulera matematiska problem genom att använda egna ord. Språket blir en länk mellan vekligheten och det abstrakta tänkandet. Dessutom skall eleverna strategitränas genom att beskriva, förklara och jämföra sina ställningstaganden. Det sista steget är hanterandet och automatiseringen av algoritmerna.

Att arbeta med problemlösning i smågrupper har en avgörande betydelse när det gäller elevernas förståelse och utveckling i matematiken. Ann Ahlberg hänvisar i sin artikel Att lösa problem i grupp, i boken Problemlösning (Emanuelsson 1991), till en forskning som utfördes 1997 av Barnes och Todd: Målet med samarbetet är att samtalen ska leda till ny förståelse av problemet… eleverna samtalar om olika lösningsstrategier, ställer hypoteser, relaterar alternativa förslag och utvärderar sina prestationer. När eleverna löser problem i grupp blir de medvetna om hur de själva tänker och de kan kontrollera och styra sitt tänkande. (Barnes &Todd sid.87). Dessa färdigheter anses ha en avgörande betydelse om eleverna skall lyckas med problemlösning i matematiken.

2.6.1 Lärarens roll

En konstruktivistisk undervisning tilldelar läraren klara roller och uppgifter. Enligt Carolyn A. Maher i sin artikel som heter kommunikation och konstruktivistisk undervisning i Engström (1998), har den konstruktivistiska läraren 10 centarla uppgifter, där synen på kunskap och lärande som en konstruktion av personlig karaktär blir tydligt.

1. Tillhandhåller erfarenheter som eleverna kan använda sig av för att skapa ett effektivt register av visuella och mentala bilder att använda sig av som referensramar vid en förståelsebaserad begreppsbildning.

2. Värderar och bedömer de idéer som eleverna konstruerat genom att studera trovärdigheten (utförandet i modell) och genom att lyssna till hur eleverna förklarar sina modeller.

3. Uppmuntrar eleverna att söka stöd och argumentera för sina idéer.

4. Strävar efter att skapa ett positivt klassrumsklimat, där eleverna vågar uttrycka sina tankar och dela med sig av sina erfarenheter och lösningsstrategier.

5. Erbjuder eleverna olika tillfällen, där de kan tala om och beskriva sina idéer. Dessa tillfällen skall också stödja eleverna för att konstruera nya idéer.

6. Underlättar organisationen och omorganisationen av elevgrupperna, genom att vänja eleverna att arbeta med olika gruppindelningar. På detta sätt kan eleverna ta del av varandras idéer.

7. Uppmuntrar till jämförelser mellan olika föreställningar och tänkesätt. Jämförelserna skall ske mellan elever och elever samt mellan lärare och elever, genom att använda sig av sådana frågor som klargör och bidrar till en förståelse av likheter och olikheter mellan de olika föreställningarna.

8. Tydliggör att det är eleverna som har ansvaret för sitt lärande genom att dra uppmärksamheten till eleverna och de olika tänkesätt som eleverna har.

9. Håller diskussionen öppen så att eleverna ges tillräckligt med tid för att tänka och reflektera över sina matematiska idéer och modeller. På detta sätt skapar läraren tillfällen, där eleverna går tillbaka till sina gamla idéer för att antingen revidera eller utveckla dem.

10. Söker tillfällen att uppmuntra eleverna att göra generaliseringar samt att utvidga sina kunskaper om de ämnen som eleverna arbetar med.

Den konstruktivistiska läraren tar många olika roller vid de olika kommunikationstillfällena med sina elever. Haapasalo (1994) enligt Barbro Grevholm (2001) menar att lärarens funktion har fyra olika nivåer i förhållande till elevernas problemlösande. Eftersom eleverna har olika förutsättningar tilldelas läraren olika roller i ett och samma undervisningstillfälle.

• Om eleven inte har någon föreställning om hur ett matematiskt problem skall hanteras, skall läraren fungera som en modell för det.

• Om eleven har en förståelse för problemlösandets innebörd och vågar ta itu med det som en medlem av en grupp, skall läraren fungerar som ett stöd eller ”protes”.

• Om eleven har en rejäl förståelse och en god föreställning om vad problemlösandet är och vågar använda sig av nya tillvägagångssätt, skall läraren fungera som leverantör som tillhandhåller nya problem.

• Om eleven har en förmåga att välja lämpliga strategier, komma på nya lösningssätt, se möjligheter till variation och generalisering och kan presentera sina val för andra, skall läraren fungera som en befrämjare av kreativitet.

2.6.2 Elevens roll

Med detta arbetssätt har eleven en central och aktiv roll gentemot det egna lärandet. Läraren kan inte lära eleven något, utan det är eleven som lär sig själv. Genom de olika målmedvetna situationer som skapas av läraren kan eleven själv konstruera sin förståelse och begreppsbildning. Malmer (1990, sidan 94) beskriver en organisationsmodell för matematikundervisning. Modellen tydliggör elevens roll i lärandeprocessen. Följande figur visar hur eleven skall konstruera sina kunskaper som en medlem i en grupp men också genom en individuell ansträngning. Figur 5 Samverkan i grupper L E E E E E Samtal Laborationer Lekar Spel Temastudier Lära av varandra Individuell del Individuell planering Kontinuerlig inlärning Ansvar Tabellkunskaper Arbetsrutiner Lära in Lärande Gemensam del Erfarenheter Ordförråd Social samhörighet • Undersöka • Upptäcka • Uppleva Utvärdering Lära ut undervisning

• Bli medveten om de erfarenheter de redan har.

• Öva upp förmågan att med olika sinnen ta till sig nya erfarenheter och reflektera över sitt tänkande. • Erövra nya ord så att de kan lära sig att kommunicera med matematik och att använda logiskt

resonemang.

• I gemenskap med andra vara aktiva, skapande och kreativa. (Malmer 1990, sid. 95).

Enligt Malmer (1990) ger dessa aktiviteter eleverna en liten del av förförståelse som kan vara till hjälp vid senare tillfälle. När det gäller den individuella delen är det av avgörande betydelse att eleverna blir medvetna om sina möjligheter och brister. På detta sätt har eleverna ett ansvar att bearbeta de områden där man har svårigheter eller oklarheter.

2.6.3 Sammanfattning

Att arbeta med problemlösning på ett sätt som leder till ökad förståelse, innebär bl.a. att både lärare och elever blir medvetna om sina roller och uppgifter. Problemlösning innebär inte att eleven löser problem som är tillrättalagda och gör de uträkningar som behövs med hjälp av färdiga mallar och lärarens förklaringar. Eleven skall konstruera, både individuellt och tillsammans med andra, sin egen förståelse i matematiken genom att använda sig av det som hon redan kan och genom att aktivt medverka i olika aktiviteter. För att eleverna skall kunna konstruera en egen förståelse behöver de ett stort inslag av laborativa aktiviteter. Dessutom skall ett stort utrymme ges till gruppdiskussioner så att eleverna får en möjlighet att pröva och jämföra sina uppfattningar med varandra. På detta sätt kan elevens förmåga, att motivera och argumentera för sina idéer, utvecklas och främjas. En viktig förutsättning för allt detta är att läraren skapar en kreativ och trygg miljö, där eleverna kan utbyta och våga komma med nya idéer.

I samband med allt detta är lärarens roll av avgörande betydelse. Läraren har olika roller och uppgifter beroende på elevernas förutsättningar och sätt att tänka. Läraren blir en handledare som tillhandhåller modeller, frågor, utmaningar, skapar situationer där eleven måste tänka och reflektera samt överlåta ansvaret på eleverna.

2.7 Attityder

Det är viktigt att uppmärksamma elevernas känslomässiga förhållande gentemot matematiken. Elevernas erfarenhet av matematikundervisning skapar de attityder som eleverna bär med sig. För att skapa positiva attityder måste matematikundervisningen bli varierande och lustfylld. Detta beskriver skolverket i sin rapport Lusten att lära: För att förstå och se glädje med den abstrakta matematiken behövs konkreta upplevelser och praktiska tillämpningar. Enligt denna rapport har många elever och vuxna känt lusten att lära vid de situationer, där alla sinne är involverade i ett meningsfullt sammanhang. Vidare skriver skolverket:

När barn, ungdomar och vuxna har blivit ombedda att beskriva ett tillfälle då de verkligen känt lust att lära, har många berättat om tillfällen då både kropp och själ har engagerats. Andra talar om aha-upplevelser, då de förstått ett samband eller begripit ett matematikproblem. Gemensamt för alla är att de både känt och tänkt. Lusten beskrivs som en nästan sinnlig glädje som involverar hela individens utveckling, både emotionellt och intellektuellt. Elever i alla skolår framhåller praktiska och estetiska ämnen så snart det handlar om lusten i lärandet.(sid. 5)

Ahlberg (1992) understryker den stora betydelsen av de känslomässiga upplevelser som eleverna bär med sig under olika problemlösningssituationer. Om eleverna har med sig positiva upplevelser, där de lyckats med problemlösning under tidigare undervisningstillfälle, leder detta till ökad självförtroende och positiva förhållningssätt gentemot matematiken i allmänhet och problemlösningen i synnerhet. Vidare skriver hon att:

I motsvarande grad försvagar tidigare misslyckanden elevens tro på sig själv och sin förmåga att lyckas. Elevernas tidigare erfarenhet av problemlösning skapar emotioner och attityder som påverkar problemlösningsprocessen. (Ahlberg 1992, sid. 252-253).

De attityder som eleverna har gentemot matematiken beror på innehållet i matematikundervisningen. När eleverna inte möter situationer där de ser behovet av matematikkunskaperna, blir det svårt för dem att omsätta sina kunskaper i verkligheten. Enligt Ahlberg (1990) har Wistedt (1990) studerat förhållandet mellan elevernas vardagskunskaper och skolmatematiken. Författaren skriver i sin bok vardagskunskaper och skolmatematik följande:

Skoluppgifterna är ofta konstruerade så att de ska vara lätta att lösa med någon känd algoritm. De är m a o tillämpningsuppgifter snarare än problem i genuin mening. Räkneoperationerna går oftast jämt ut, räknesätten antyds gärna i frågeformuleringen och all numerisk information i uppgiften är tänkt att användas vid lösningen. Verklighetens mångtydiga problem möter man sällan i matematikböckerna. Resultatet blir ett artificiellt

kunnande som eleverna inte förmår överföra till vardagliga situationer eller matematiska sammanhang.(Alberg 1990 sid. 2)

Emanuelsson (2002) menar att en koppling mellan matematikkunskaperna och verkligheten är en förutsättning för att öka elevernas motivationer och intresse för matematik. Vidare skriver författaren: Barn som inte ser något användningsområde för matematiken och som kanske behöver längre tid att lära än andra förlorar kanske lättare intresset och tilltron till sin förmåga än andra barn som inser att de använder matematik på olika sätt i vardagslivet.Emanuelsson, G (2002, sid.39).

Enligt Bo Sjöström, i sin artikel som heter Lära lära i (Gran 1998), påverkar dessa attityder elevernas föreställningar när det gäller både den egna rollen och lärarens roll i matematikundervisningen. För de elever som upplevt en matematikundervisning, där de fungerar som passiva mottagare, förutsätter de att läraren förmedlar, förhör, visar hur man skall gå tillväga och kontrollerar. Om eleverna har sådana förutfattade meningar om den egna rollen upplever de att matematiken är tråkig. Dessutom blir matematiken ett svårt ämne som de inte kan gå vidare med utan lärarens förklaringar.

3 Metod

3. 1 Metod val

Jag har använt mig av en kvalitativ metod som innefattar intervjuer med både elever och lärare. Syftet med detta är att få tillfredställande och uttömmande svar gällande lärarnas uppfattningar av det laborativa arbetssättet och hur elevernas attityder påverkas av det arbetssätt som de undervisas med. Analysen av det insamlade materialet baseras på tolkning och förståelse av insamlade data. Inom den kvalitativa analysen har man som mål att identifiera variationen, strukturen och processen i den undersökta företeelsen eller innebörden. (Starrin & Svensson, 1994, s.21). Med kvalitativt inriktad forskning menar man sådan forskning som använder sig av verbala analysmetoder. (Runa Patel & Bo Bavidson, 1994, sidan12). Det är en metod som lämpar sig för att klargöra hur någon annan tänker. Till skillnad mot enkätmetoden som ger bred men ytlig information har man, med hjälp av denna metod, större chans att erhålla trovärdiga svar.

3.2 Urval

De två grundskolorna och elevgrupperna som deltar i undersökningen måste fylla vissa kriterier. Nedan beskriver jag de viktiga punkter som grupperna måste uppfylla:

• Skolorna skall ligga i samma stadsdel/område.

• Elevgruppen (kontrollgrupp) på den ena skolan undervisas mer traditionellt, där de arbetar med en lärobok och ett individuellt arbete.

• Elevgruppen (experimentgrupp) på den andra skolan undervisas mer laborativt, med eller utan en lärobok.

• Båda grupperna går i samma årskurs och har ungefär samma elevomsättning.

Genom att söka information om olika skolor i ett par stadsdelar har jag lyckats hitta två elevgrupper som uppfyller de ovanstående kriterierna. Lärarna i de två grupperna har ställt upp när det gäller att arbeta med problemlösning utifrån de förmågor som undersöks i detta arbete under 4 veckor. Båda skolorna ligger i samma stadsdel i en stor stad. Orsaken som ligger bakom områdets vall är att begränsa antalet variabler i denna undersökning.

3.2.1 Val av lärare

Mina kriterier för val av lärare är att de har behörigheten att undervissa i åk 5 (enligt skolledningen och lärarnas utbildning). För att ta reda på hur lärarna arbetar med

problemlösning och vilka föreställningar lärarna har när det gäller innebörden av att arbeta laborativt har jag intervjuat 4 lärare, som undervisar i de två elevgrupperna. För att ta reda på mer fakta om det laborativa arbetssättet har jag intervjuat ytterligare två lärare. På detta sätt har jag intervjuat tre lärare från varje skola. Lärarna har varierade yrkeserfarenheter och undervisar vid tillfälle i åk 5. Jag har ordnat dessa intervjuer genom att både ringa och skicka elektroniska brev till de två skolorna. Min tanke var att jag ville ha lärare som arbetar laborativt men också de lärare som inte arbetar med detta arbetssätt eller har arbetat laborativt under enstaka tillfälle. Alla utvalda lärare har deltagit i intervjuerna. Lärarna kommer att benämnas 1, 2, 3, 4, 5, 6.

3.2.2 Val av elever

Jag har intervjuat 24 elever, 12 elever från varje skola. Samtliga elever går i årskurs 5. Min tanke var att jag vill ha elever som undervisas traditionellt samt elever som arbetar laborativt under matematiklektionerna. Detta var ett viktigt kriterium för hur jag valt ut de elever som jag intervjuat för att ta reda på hur de upplever sin matematikundervisning samt hur de ser på den egna rollen i lärandeprocessen.

3.2.3 Kontrollgrupp och experimentgrupp

För att kunna få en bild av de lärare och elever som medverkar i min undersökning har jag inlett arbetet med att observera varje grupp under tre matematiklektioner. De två elevgrupperna utgörs av så kallade kontrollgrupp och experimentgrupp.

Kontrollgruppen undervisas på ett traditionellt sätt. Innan varje nytt kapitel har läraren en genomgång vid tavlan. Därefter arbetar eleverna enskilt med problemlösning under ett antal lektioner. Läraren går runt och hjälper de elever som har svårigheter. Om flera elever har svårigheter inom samma område, tar läraren upp det på tavlan och ger en grundlig förklaring. Eleverna använder papper, penna och en matematik bok. Det förekommer få laborativa moment vid enstaka tillfällen. Kontrollgruppen består av en klass med 32 elever, 17 flickor och 15 pojkar. I fortsättningen kommer jag att kalla denna grupp för grupp A.

Experimentgruppen arbetar mer laborativt med hjälp av strukturellt och ostrukturellt material. Med strukturellt material menar jag centikuber, cuisenaires färgstavar, volymmått, måttband osv. Under ostrukturellt material ingår olika typer muggar, knappar, kapsyler, tändstickor, glasspinnar, tidningar, osv. Eleverna arbetar med problemlösning i par eller i smågrupper, där

de har möjlighet att diskutera, redovisa och ta del av varandras lösningar. Läraren går runt och medverkar i de diskussioner som sker i varje grupp. Dessutom presenterar läraren varje vecka så kallade veckans problem som avslutas med en fråga. Problemen är ofta verklighetsanknutna. Eleverna har tid på sig att tänka och fundera enskilt för att komma på en strategi eller tillvägagångssätt för att lösa problemen.

Hela tiden har eleverna tillgång till de laborativa material som rekommenderas av läraren. I slutet av veckan redovisar eleverna i smågrupper vad de har kommit fram till och hur de har tänkt för att tackla problemet. Experimentgruppen består av en klass med 31 elever, 15 flickor och 16pojkar. I fortsättningen kommer denna grupp att kallas för grupp B. Enligt lärarnas bedömning finns det alla tänkbara nivåer i de båda grupperna när det gäller elevernas matematikkunskaper.

Grupp A använder en matematik bok som läraren följer strikt. Boken heter Matteboken 5A, av Birgitta Rockström. Grupp B använder sig av andra läromedel när de löser problem och kluringar som är hämtade bl.a. från Gudrun Malmers pärm Räkna med kreativitet, pärmen Lilla Utmaningen och Utmaningen, problem och tankenötter i matematik, 1998 av Barbro Grevholm. Dessutom använder de två böcker som är avsedda för arbetet i små grupper. Böckerna heter gemensam problemlösning 1 och gemensam problemlösning 2 av T. Erickson, Almqvist & Wiksell. Problemen består av ledtrådar där varje gruppmedlem får en ledtråd. Gruppmedlemmarna får inte avslöja sina ledtrådar för varandra. Varje gruppmedlem skall sedan berätta för de övriga i gruppen vilken ledtråd man har så att gruppen kan komma fram till en lösning med hjälp av allas ledtrådar. För att få en överblick över de två grupperna redovisar jag nedan antalet elever som deltagit i undersökningen. Två elever från varje grupp deltog inte i min undersökning.

Grupp A 14 pojkar 16 flickor Grupp B 15 pojkar 14 flickor Totalt 59 elever

3.3 Datainsamlingsmetod

För att ta reda på lärarnas syn på det laborativa arbetssättet har jag valt ett frågeområde, där varje lärare berättar om hur han/hon ser på sin egen undervisning. Utifrån lärarnas svar kan jag sedan genom följdfrågor ta reda på deras uppfattningar om det laborativa arbetssättet. Genom följdfrågorna har jag valt att ta reda på lärarnas uppfattningar om de svårigheter som sina elever har i samband med problemlösning så att jag kan stödja mig på dessa uppfattningar när jag diskutera och analysera elevernas svar på testfrågorna. Samtidigt vill jag ta reda på vad lärarna anser att eleverna vinner genom att arbeta på det sätt de gör. På detta sätt kan jag få ytterligare fakta om lärarnas uppfattningar av det laborativa arbetssättet och koppla dessa svar till de attityder som eleverna har gentemot matematiken. (Bilaga 2).

För att ta reda på den andra frågeställningen, (Gynnar det laborativa arbetssättet elevers förmågor i problemlösning?), har jag valt att utpröva test 1 och test 2. Jag har tagit del av elevernas diagnoser inom problemlösningsområde. Enligt klassernas lärare är innehållet i båda testerna rimligt att lösa för eleverna i de båda klasserna utgående från elevernas diagnoser.

De båda testerna har samma innehåll. Testerna konstruerats enligt en delstudie inom ARK- projekt av Ekenstam, A och Greger, K. Testerna innehåller 5 frågor och har ungefär samma svårighetsgrad. Frågorna avslöjar elevernas följande förmågor:

1. Förmågan att välja rätt räkneoperation i en uppgift som kräver en räkneoperation. 2. Förmågan att välja rätt räkneoperation i en uppgift som kräver två räkneoperationer. 3. Förmågan att föra med sig en inre bild i sitt abstrakta tänkande.

4. Förmågan att bedöma ett svars rimlighet (det logiska tänkandet)

5. Förmågan att välja för lösningen relevant information. (Bilagor 4 och 5).

Frågorna nr. 1 och 2 kan avslöja elevens förmåga att välja rätt räkneoperation i en uppgift som kräver en räkneoperation respektive två räkneoperationer. Fråga nr. 3 kan avslöja elevens förmåga att föra med sig en inre bild i sitt abstrakta tänkande. Fråga nr. 4 kan avslöja elevens logiska tänkande. Medan fråga nr. 5 avslöjar elevens förmåga att välja relevant information. Denna ordning gäller också för test 2 (Bilaga 5). Med hjälp av test 1 kan jag ta reda på elevernas utgångsläge när det gäller dessa förmågor. För att ta reda på arbetssättets effekt på dessa förmågor har jag utprövat test 2.

För att ta reda på vilka attityder de två elevgrupperna har och om det finns någon skillnad mellan de två gruppernas inställningar gentemot matematiken har jag valt ett frågeområde, där eleverna berättar om hur de upplever matematiken och vilken nytta de har av den. Dessutom kan jag ta reda på de svårigheter eleverna har upplevt i samband med de två testerna för att kunna stödja mig på ytterligare fakta när jag diskuterar och analyserar elevernas svar på test frågorna. Genom att fråga eleverna vad de gör när de möter svårigheter i matematiken kan jag ta reda på de attityder eleverna har när det gäller sina egna roller i lärandeprocessen. På detta sätt kan jag få en bra koppling mellan elevernas och lärarnas svar. (Bilaga 1)

3.4 Procedur

3.4.1 Lärarintervjuerna

Lärarna fick information om mitt undersökningsområde som allmänt. Jag bokade tider som passade både mig och de berörda lärarna så att varken jag eller lärarna kände någon tidspress. För samtliga lärare försäkrade jag att deras anonymitet skulle respekteras. Jag skickade en skriftlig vision på intervjun till varje lärare för att bli säker på att jag inte skrev något som lärarna inte hade menat. Intervjuerna ägde rum på skolorna, där satte vi på en lugn och avskild plats. Varje intervju varade i cirka 35 minuter. Jag kunde styra samtliga samtal genom att använda mig av följdfrågor. Intervjuerna dokumenterades med hjälp av en digital diktafon.

3.4.2 Elevintervjuerna

För att jag skulle kunna intervjua eleverna, skickade jag ett meddelande till elevernas föräldrar i de berörda klasserna (Bilaga 3). Lärarna delade ut det till eleverna för att få föräldrarnas medgivande. Elevintervjuerna skedde under lektionstider, där jag intervjuade eleverna en och en i ett enskilt rum. Under intervjutiden var vi relativt ostörda. De samtliga intervjuerna dokumenterades med hjälp av en digital diktafon. Papper och färgpennor hade samtliga elever tillgång till under alla intervjutillfällen. Dessutom hade jag en kopia på testfrågorna som eleverna gjorde innan intervjutillfällen. Intervjuerna genomfördes som samtal där jag styrde innehållet genom följdfrågorna. Varje intervju varade i 25 minuter. Samliga intervjuerna skedde antingen i början av arbetsdagen eller efter lunchtiden.

3.4.3 Test 1 och test 2

Jag använde mig av test 1 och test 2 för att ta reda på de två arbetssättens betydelse för elevernas förmågor i problemlösning. Detta kunde jag ta reda på genom att analysera

elevernas svar. Test 1 (bilaga 4) gavs till de två grupperna i början av vecka 46 medan test 2 (bilaga 5) gavs vid slutet av veckan 49. Under perioden mellan de två testerna fortsatte eleverna med att arbeta med problemlösning utifrån de förmågor som varit mål för undersökningen. Båda grupperna fick samma test.

För att eleverna inte skulle känna sig stressade av testen berättade jag för dem redan från början att jag inte var ute efter att testa dem, utan jag var intresserad av att veta hur de tänkte och hur de gick tillväga när de löste dessa problem. För att de skulle bli ännu tryggare hade de friheten att inte skriva sina namn på testpappret. Däremot fick de skriva bokstäverna P (pojke) och F (flicka) för att identifiera könstillhörigheten. På detta sätt blev det mycket tydligt att avsikten inte var att testa dem som personer. Jag poängterade att man skulle försöka svara på alla uppgifter även om man inte kände sig säker på sitt val av räknesätt. Jag gjorde det klart för eleverna att man hade tillåtelse att fråga om man fick svårigheter i texternas innehåll.

De båda testerna ägde rum under matematiklektionerna på förmiddags tid och varade i 40 minuter. Eleverna i de båda grupperna arbetade med testerna enskilt. Vid de båda testerna hade eleverna inte några hjälpmedel. Alla elever från båda grupperna medverkade i båda testtillfällen. De elever som har skriv- och lässvårigheter från båda grupperna (två elever från varje grupp) deltog inte vid de två testtillfällena eftersom de var hos speciallärarna. Inte heller deltog de vid de olika intervjutillfällena. Nedan redovisar jag en sammanfattande översikt av tidsperspektivet för genomförandet av undersökningen:

Vecka 46 Test 1 i de båda deltagande klasserna. Vecka 46 Elevintervjuer. (Intervjuer ägde rum efter test 1) Vecka 47 Lärarintervjuer.

Vecka 49 Test 2 i de båda deltagande klasserna och elevintervjuer efter test 2.

3.5 Databearbetningsmetoder

När jag hade transkriberat röstinspelningarna till skrivna text, började mitt analysarbete. Jag läste alla intervjuer ett par gånger för att få en tydlig helhetssyn över hela arbetet. Jag valde att gruppera intervjumaterialet och testmaterialet utifrån svaren på varje fråga. På detta sätt blir det lättare att göra jämförelser mellan de två grupperna.

3.6 Reliabilitet

I en kvalitativ forskning diskuterar man reliabilitet eftersom resultaten byggs på tolkningen av det insamlade materialet. För att man skall kunna avgöra huruvida de resultat som framkommit ur datamaterialet sannerligen är valida och presenterar en trovärdig tolkning, är den lämpligaste möjligheten att någon annan person gör en tolkning av detta material och på ett objektivt sätt kan visa eventuella bristfälliga tolkningar. Dessutom skall man kunna argumentera för de nya tolkningarnas giltighet.

Tyvärr har jag inte haft en sådan möjlighet att en så kallade oberoende medbedömare kontrollerar resultatens reliabilitet vilket kan vara en svår uppgift att genomföra för en person som inte varit med från början. Ett annat sätt att göra detta är att ge en grundlig och klar beskrivning av tillvägagångssättet vid datainsamlingsmaterialet och att redovisa det erhållna resultatet på ett sätt som gör det möjligt för andra läsare att komma fram till en slutsats och att fånga resultatets innebörd. Det kan man bjuda sina läsare på när man presenterar sina resultat på ett sätt, där man visar upp exempel på sina erhållna material så som exempel på elevernas lösningar i de två testerna, fullständiga intervjucitat som visar lärarnas och elevernas uppfattningar och som grundas på de egna erfarenheterna.

Jag anser att dessa aspekter har varit uppfyllda i denna undersökning så att den som läser de redovisade resultaten kan göra jämförelser och dra slutsatser gällande de frågor som undersökningen inriktar sig på. Dessutom har min utförliga och ingående beskrivning gjort undersökningen kommunicerbart så att andra lärarstudenter, forskare och alla intresserade kan reproducera undersökningen för att styrka eller argumentera emot mina resultat.