Matematisk problemlösning för ett kollaborativt lärande

NATUR–MILJÖ–SAMHÄLLE

Examensarbete i fördjupningsämnet

Matematik

15 högskolepoäng, avancerad nivå

Matematisk problemlösning för ett

kollaborativt lärande

Mathematical problem solving for a collaborative learning

Shpetim Ademi

Mohamed Camara

Ämneslärarexamen med inriktning mot gymnasieskolan, 300 högskolepoäng

Datum för slutseminarium (2018-06-06)

Examinator: Leif Karlsson Handledare: Peter Bengtsson

i

Förord

Vi som skrivit detta arbete heter Shpetim Ademi och Mohamed Camara och våra bidrag till framställningen av arbetet har varit likvärdigt fördelade. Vårt fördjupningsämne i utbildningen är matematik och lärande. Det producerade arbetet har skrivits som ett självständigt arbete för institutionen Natur, miljö och samhälle (NMS) i kursen

Examensarbete på avancerad nivå. Målet med kursen är att formulera en central

frågeställning som i sin tur har relevans för lärarprofessionen och som med hjälp av en översikt av tidigare forskning och en adekvat projektstudie ska utredas. Arbetet har omfattningen 15 högskolepoäng och är en del i ämneslärarutbildningen med inriktning mot gymnasieskolan vid Malmö universitet. Området som arbetet utgår från är matematisk problemlösning i undervisningen. Den matematiska problemlösningsprocessen är en viktig del i den svenska skolan. Därför önskar vi redogöra för vad matematisk problemlösning kan innebära för elevers lärande i matematik samt undersöka vilka strategier som elever och studenter använder när de tillsammans genomgår en matematisk problemlösningsprocess. Med den empiriska undersökningen som stöd önskas centrala framgångsfaktorer vid matematisk problemlösning belysas. Det är av intresse att utreda huruvida erfarenheter av matematisk problemlösning bidrar till att elever och studenter producerar olika lösningsstrategier då de löser matematikproblem i grupp.

Detta arbete innefattar i stora drag utformningen av ett problemområde inom fördjupningsämnet, tidigare forskning och teoretisk förankring som berör problemområdet, metoden för urvalsprocessen och det empiriska projektet samt en avslutande diskussion av projektets resultat. Vi vill passa på att tacka de 24 elever och studenter för deltagandet till detta arbetes projektstudie. Vidare vill vi dessutom tacka ämneslärarstudent Johanna Andersson för hennes stora insats då hon bidragit till skapandet av de problemblad som har används i detta forskningsprojekt. Avslutningsvis riktar vi ett tack till Filbornaskolan i Helsingborg som genom anordnade SI-möten under läsåret 2017/2018 har erbjudit oss möjligheten att förankra våra utkastproblem i ett enkelt pilotprojekt. Under arbetets gång har vi projektledare förvärvat nya och värdefulla kunskaper för vår framtida roll inom lärarprofessionen.

ii

Sammanfattning

Detta arbete utgår från det didaktiska problemområdet matematisk problemlösning i

matematikundervisningen och riktar sig främst till verksamma lärare och lärarstuderande.

Aktuella styrdokument betonar att problemlösning i matematikundervisningen är ett centralt innehåll och en förmåga som elever ska utveckla. Matematisk problemlösning ska som mål och medel stimulera utvecklingen av övriga matematikförmågor och det ömsesidiga samspelet mellan förmågorna och det centrala innehållet bidrar till en komplex och oftast en krävande lärandeprocess för elever och andra matematikstuderande.

Genom kvalitativa och kvantitativa forskningsmetoder samt korresponderande analysmetoder syftar denna projektstudie till att undersöka huruvida matematisk problemlösning i grupp kan bidra till skapandet av olika lösningsstrategier. Med utgång i tidigare forskning och teoretiska ramverk har adekvata analysverktyg utarbetats i syfte att studera spåren av deltagargruppernas matematiska problemlösningsförmåga samt spåren av de kommunikativa processer som synliggörs då deltagarna arbetar med problembladen i grupp.

Analys av det sammanställda resultatet från deltagargruppernas bidrag tyder på att framgångar i matematisk problemlösning i grupp tycks innebära att matematikbegreppen kommuniceras med flera olika uttrycksformer. Arbetet mynnar slutligen ut i förslag på tänkbara undersökningar som skulle kunna fungera som ett komplement till detta arbetes resultat och slutsatser.

Nyckelord: Matematisk problemlösning, problembaserat lärande, heuristiska episoder, flexibla resonemang, uttrycksformer, lösningsstrategier, kollaborativt lärande

iii

Abstract

This report is based on the didactic problem area mathematical problem solving in

mathematics teaching and is targeted primarily at active teachers and teacher students.

Current curriculum and syllabus emphasize that problem solving in mathematics teaching is a central content and an ability that students are to develop. As a goal and a means

mathematical problem solving is to stimulate the development of other mathematical abilities and the mutual interaction between the abilities and the central content contributes to a complex and usually a demanding learning process for mathematics students.

Through qualitative and quantitative research methods and corresponding analytical methods, this project study aims at investigating whether mathematical problem solving in groups can contribute to the creation of different solution strategies. Based on previous

research and theoretical frameworks, adequate analysis tools have been developed to study the traces of the participants' mathematical problem solving abilities and the traces of the

communicative processes that are visualized when the participants work with the problem sheets in groups.

Analysis of the compiled result from the contribution of the participant groups indicates that successes in mathematical problem solving in groups seem to mean that mathematical concepts are communicated with several different forms of expressions. The report finally ends in proposals for possible studies that could serve as a complement to the results and conclusions of this report.

Keywords: mathematical problem solving, problem-based learning, heuristic episodes, flexible reasoning, expressions, solution strategies, collaborative learning

iv

Innehållsförteckning

1. Inledning och bakgrund ... 1

1.1 Syfte och frågeställning ... 2

2. Tidigare forskning och teoretiska ramverk ... 4

2.1 Matematisk problemlösning i skolan – Vad är det? ... 4

2.1.1 Rika och öppna problem i matematikundervisningen ... 7

2.2 Användandet av matematisk problemlösning i skolan ... 9

2.2.1 Olika lösningsstrategier vid matematisk problemlösning ... 11

2.2.2 Matematiklärarens roll vid problembaserat lärande ... 14

2.2.3 Effekter av problembaserat lärande i matematikundervisningen ... 17

3. Metod ... 20

3.1 Metodval och metoddiskussion ... 20

3.2 Urval, genomförande och forskningsetiska överväganden ... 22

3.3 Analysverktyg ... 24

3.3.1 Analysvektyg för analys av producerade lösningsförslag ... 24

3.3.2 Analysverktyg för analys av observationer, enkätsvar och interjvusvar ... 27

4. Resultat och analys ... ..30

4.1 Kvalitativa resultat från projektstudien ... 30

4.1.1 Observationer och intervjusvar ... 30

4.1.2 Kvalitativa enkätsvar ... 33

4.1.3 Analys av observationer, intervjusvar och kvalitativa enkätsvar ... 34

4.2 Kvantitativa resultat från projektstudien ... 36

4.2.1 Resultat av producerade lösningsförslag ... 36

4.2.2 Kvantitativa enkätsvar ... 36

4.2.3 Analys av skriflig bedömning och kvalitativa enkätsvar ... 39

5. Diskussion och framtida forskning ... ..42

6. Referenser ... ..46

1

1. Inledning och bakgrund

Vi har hämtat inspiration från våra erfarenheter och observationer under den verksamhetsförlagda delen av lärarutbildningen (VFU) till att undersöka detta arbetes problemområde; matematisk problemlösning i matematikundervisningen. Under våra iakttagelser av handledares matematikundervisning har vi noterat att matematisk problemlösning enligt oss inte i tillräckligt stor utsträckning tycks tränas. Denna avsaknad av en undervisning som ger eleverna utrymme till problemlösning som både mål och medel för att stimulera utvecklingen av de övriga förmågorna strider mot ämnets syfte. Syftet är enligt skolverket (2011a) att matematikundervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att använda olika strategier för att lösa matematiska problem. Enligt skolverket (2011a)

presenteras matematisk problemlösning i den aktuella kursplanen både som en matematisk förmåga och som ett centralt innehåll. Huvudmålet med att undervisa i matematik via problemlösning är att elever ska utveckla en fördjupad förståelse för matematiska begrepp och metoder (Lester & Lambdin, 2007). Vi har även observerat att många elever har problem med matematikämnet och inte får möjlighet att tillgodogöra sig undervisningen på ett önskvärt sätt. Eleverna visar en motvilja mot matematik och en osäkerhet inför ämnet. De vill ofta inte tala om matematik eller diskutera matematiska texter. Detta leder till att eleverna har en negativ inställning till matematikämnet. Kan en matematikundervisning som stimulerar elevers problemlösningsförmåga utveckla elevers nyfikenhet för ämnet och i förlängningen motverka eventuell osäkerhet och negativ inställning till ämnet?

Vidare har vi av vår erfarenhet från gymnasietiden och under VFU:n noterat att matematikundervisningen oftast präglas av en traditionell karaktär som mycket sällan främjar ett matematiskt arbetssätt. Med traditionell karaktär menas här en undervisning som till största delen är läromedelsstyrd och uppmuntrar till s.k. tyst räkning d.v.s. att elever individuellt räknar med hjälp av sina matematikböcker (Boaler, 2011). Skolinspektionen (2009) framhåller att s.k. tyst räkning i matematikboken kan öva procedurförmågan, men att eleverna då sällan ges möjligheten att utveckla andra matematikförmågor. Därför menar skolinspektionen (2009) att matematikundervisningen bör kompletteras med andra uppgifter än lärobokens. Enligt skolverket (2011a) ska matematikundervisningen syfta till att utveckla elevers förmåga att arbeta matematiskt och elever förväntas kunna utveckla olika lösningsstrategier vid matematisk problemlösning. Ett matematiskt arbetssätt innefattar fyra faser; (1) formuleringen av en lämplig frågeställning och formuleringen av eventuella hypoteser, (2) översättning från kontextuell formulering till matematisk formulering, (3)

2

beräkningsfasen och (4) översättning från matematisk formulering till kontextuell formulering i samband med en verifieringsfas (Wolfram, 2010). Enligt Lester och Lambdin (2007) kan ett sådant matematiskt arbetssätt innebära att elever utvecklar ett tankesätt som är tillämpbar för godtyckliga matematiska situationer.

Problembaserat lärande (PBL) kan anses vara en alternativ undervisningsmodell till den traditionella undervisningsmodellen. PBL är en pedagogisk inriktning/metod som ämnar ge eleven ansvaret att finna fakta och upptäcka viktiga begrepp genom problemlösning och fallstudier (Medicinska fakulteten, 2017). Arbetssättet innebär i generella drag att eleverna/studenterna i små grupper arbetar med en verklighetsförankrad problemställning med tillgång till en handledare som kan bistå de med vägledning under processen. I matematikundervisningen kräver PBL ett matematiskt arbetssätt. Tanken med PBL bör bygga på människans medfödda nyfikenhet och strävan efter att aktivt söka ny förståelse, som i sin tur kan ge en djupare insikt. Abdullah m.fl. (2010) fann i en studie att elever exponerade av en problembaserad matematikundervisning lär sig arbeta matematiskt mer effektivt än kontrollgruppen på så sätt att de använde Pólyas procedurer mer effektivt.

1.1 Syfte och frågeställning

Genom sammanställning av vetenskaplig forskning och rapporter kring problembaserad undervisning och matematisk problemlösning i skolan kan översikten av tidigare forskning och forskningsprojektet vila på en vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet. Tidigare relevant forskning på området belyser och utreder vad matematisk problemlösning kan innebära för elevers lärande i matematik. Det är av intresse att med hjälp av tidigare forskningsbaserade studier med avseende på elevers lärande belysa och analysera olika strategier som används vid matematisk problemlösning. Vidare är det av intresse att dessutom undersöka de faser som problemlösaren genomgår under den matematiska problemlösningsprocessen i samarbete med andra problemlösare. Dessa faser vid individuellt arbete beskrivna av tidigare forskning har en stor inverkan på de lösningsstrategier som problemlösaren skapar. Kan problemlösaren tänkas genomgå liknande faser i samarbete med andra problemlösare och hur inverkar detta på skapandet av olika lösningsstrategier? Huvudsyftet med studien till detta arbete är att analysera olika lösningsstrategier för matematisk problemlösning i grupp. För att behålla en röd tråd genom hela texten och inte avvika från det relevanta ämnesområdet är avgränsningen av en specifik frågeställning en nödvändighet (Backman, 2008). Den centrala frågeställning som detta arbete utgår från är

3

Vilka bakomliggande faktorer korrelerar med användandet av flera olika lösningsstrategier när en grupp arbetar med matematiska problem? Fokus kommer att ligga på faktorer som har att göra med kommunikativa processer och vi kommer i studien att bortse från sociala faktorer. Matematisk problemlösning är i grunden den komplexa process som eleven genomgår i sitt arbete med en problemställning där den matematik som ska behandlas finns inbäddad (Lester & Lambdin, 2007). Definitionen av vad en sådan problemställning innebär enligt den behandlade forskningen redovisas under 2. Tidigare forskning och teoretiska

ramverk. Med benämningen problembaserad matematikundervisning avses en undervisning

som innehåller aktiviteter som ämnar stimulera problemlösningsförmågan. Exempel på sådana aktiviteter kan vara laborativa inslag och/eller arbete med problemuppgifter d.v.s. ett matematiskt problem som problemlösaren inte kan lösa på rutin eller m.h.a. kända strategier. Med lösningsstrategier avses lösningsmetoder d.v.s. ett tillvägagångssätt för att lösa matematiska problem. Målet för problemlösaren är att finna en eller flera strategier som leder fram till rätt svar på problemställningen. Enligt Björkqvist (2001) finns det ett antal åtgärder, så kallade heuristiska tillvägagångssätt, som kan användas vid problemlösning. Sådana heuristiska tillvägagångssätt kan vara att finna ett mönster, rita en bild, arbeta baklänges eller kunna koppla problemet till tidigare lösta uppgifter. För att kunna identifiera problemet och komma fram till adekvata lösningsmetoder kan det fordras en blandning av dessa tillvägagångssätt. Samtidigt måste problemlösaren kunna koppla dessa åtgärder till tidigare inlärda begrepp.

4

2. Tidigare forskning och teoretiska ramverk

och frågeställning är under detta avsnitt förankrad via relevant och vetenskapligt granskat

forskningsresultat. Vidare är våra resonemang kring dessa resultat och den formulerade frågeställningen grundade på våra egna erfarenheter från exempelvis VFU: n och egna funderingar kring de vetenskapliga texterna.

2.1 Matematisk problemlösning i skolan – Vad är det?

Enligt skolverket (2011a) och skolverket (2011b) är matematisk problemlösning ett centralt begrepp vid behandling av skolans matematik. De matematiska uppgifterna som eleven förväntas lösa är oftast inte av rutin- eller standardkaraktär utan de utgörs specifikt av ett för eleven okänt problem. Taflin (2007) lyfter i sin avhandling fram att problemlösning har en betydelse för utveckling av matematiskt tänkande och hon instämmer med att problemlösaren på förhand inte skall känna till någon lösningsstrategi för att en matematisk uppgift ska uppfattas som ett problem. Hon menar dessutom att problemlösaren måste vilja lösa problemet samt att problemlösaren måste göra en nivå av ansträngning i sitt lösningsförsök för att kunna benämna den matematiska uppgiften som ett matematiskt problem. Klavir och Hershkovitz (2008) bekräftar att det är konventionellt att påstå att problemlösaren bedriver problemlösning då personen inte har omedelbart tillgängliga hjälpmedel till sitt förfogande för att nå en lösning. Artikelförfattarna beskriver på så sätt en relativistisk syn på problemlösningsprocessen där en specifik situation inte kan anses utgöra ett problem för en person (en expert) medan samma situation sannolikt kommer att utgöra ett problem för en annan person (en nybörjare). En expert anses ha en omedelbar möjlighet att snabbt och automatiskt hämta och organisera bekanta och relevanta hjälpmedel för att nå en lösning medan en nybörjare i detta sammanhang saknar vid en viss tidpunkt motsvarande kunskaper.

Blum och Niss (1991) delar denna relativistiska syn på matematisk problemlösning och menar att ett problem kan betraktas vara en situation som bär med sig en specifik och öppen fråga som i sin tur utmanar någon intellektuellt. Kaur (1997) förklarar denna relativistiska definition på matematiska problem med skillnader i kunskap, erfarenheter, förmåga och intresse och instämmer i att definitionen dessutom är tidsbunden på så sätt att problemlösaren i takt med övning och utveckling av de egna matematiska förmågorna så småningom kan börja betrakta

5

en problemsituation som en enkel rutinövning. Följande citat belyser just denna definition av ett matematiskt problem.

”Ett matematiskt problem kan betraktas som en relation mellan eleven och

problemsituationen.” (Skolverket, 2011c, s.7).

”Ett problem är en uppgift som inte är av standardkaraktär och kan lösas på rutin. ” (Skolverket, 2011d, s. 2).

Cifarelli och Cai (2005) beskriver matematisk problemlösning som en aktiv form av undersökning där problemlösaren på ett undermedvetet plan fullföljer en lösningsstrategi. Artikelförfattarna använder således ett konstruktivistiskt perspektiv på kunskap i deras beskrivning och menar att problemlösaren under processen inte är medveten om den tillämpade lösningsproceduren och att problemlösarens driv är en progression mot ny härledd kunskap genom den egna utforskningen av problemet och utvecklingen av de implementerade strategierna.

Mousoulides m.fl. (2007) betonar att det är viktigt att skilja på aktiviteter med matematisk problemlösning från traditionella aktiviteter med traditionella ordproblem. Den senare aktiviteten presenterar problem som är en förenklad form av dekontextualiserade verklighetsbaserade situationer.

I en studie av Chamberlin (2008) gav en systematiskt utsedd expertpanel sina förslag på många definitioner och vad de anser är komponenter i matematisk problemlösning. Artikelförfattaren skriver om några av deltagarnas kommentarer om att en tillförlitlig definition på matematisk problemlösning är gäckande och om deras argumentation för att en del definitioner kan vara ur tiden. I studien uttryckte några deltagare att matematisk problemlösning kan vara tillförlitlig om användandet av algoritmer inte är den enda process som ingår samt att förekomsten av matematiskt resonemang antyder en frånvaro av slentrianmässighet. Andra deltagare i studien betonade att den konceptuella förståelsen är ytterligare en viktig komponent för karaktären av matematisk problemlösning, vilket innebär att problemuppgiften möjliggör en upptäckande matematik. Vidare lyfter Chamberlin (2008) fram att andra viktiga komponenter är att problemuppgiften kan vara tidskrävande att lösa och kräva multipel iteration.

Nunokawa (2005) introducerar matematisk problemlösning som ett begrepp och representerar det som en konstruktivistisk tankeprocess i form av ett flödesdiagram (se Figur 1.).

6

Matematisk problemlösning är en tankeprocess i vilken en problemlösare försöker reda ut en problemsituation med hjälp av matematiska kunskaper och försöker hämta in ny information om denna problemsituation tills hen kan lösa spänningen eller tvetydigheten. Artikelförfattaren identifierar detta flödesschema som två huvudsakliga faser av matematisk problemlösning där den första fasen innefattar (1) problemlösarens försök till att tillämpa sina matematiska kunskaper genom att utforska problemsituationen, (2) varvid eventuellt ny information om problemsituationen kan erhållas och (3) fortsatt vidare utforskning av problemsituationen genom utnyttjandet av den inhämtade informationen görs då problemsituationens spänning och tvetydighet inte är helt löst. Vidare nämner Nunokawa (2005) i sin beskrivning av den andra fasen att den erhållna informationen emellanåt kommer att integreras med problemlösarens matematiska kunskaper (3′) i form av exempelvis en sats eller formel när problemlösaren har identifierat matematiska begrepp i problemsituationen och genom detta samt via den första fasen finner ny information om just dessa matematiska begrepp. Artikelförfattaren avslutar sin beskrivning av den andra fasen med att nämna att bearbetningen och reflektionen av utarbetade metoder eller bristen på effektiva metoder kan leda till nyskapandet av matematiska metoder och idéer (4). Clarke m.fl. (2007) bekräftar att matematisk problemlösning motsvarar processen att tillämpa tidigare förvärvade kunskaper i nya och okända situationer och tillägger att förmågan att kunna använda matematik för att lösa problem är en viktig anledning till att studera matematik i skolan.

7

2.1.1 Rika och öppna problem i matematikundervisningen

Taflin (2007) definierar begreppet rika problem enligt sju kriterier.

1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer.

2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.

4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer. 5. Problemet ska kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer.

6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare.

7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. (Taflin, 2007, s.11)

Taflin (2007) skiljer på matematiska rutinuppgifter (uppgifter av standardkaraktär), textuppgifter (uppgifter med ett icke-matematiskt språk) och matematiska problem. Hon menar samtidigt att en textuppgift kan vara en rutinuppgift eller ett matematiskt problem. Vidare delar hon in matematiska problem i två kategorier; rika problem och övriga problem. Enligt Taflin (2007) är rika problem inte entydigt definierad i litteraturen och är ett begrepp som endast ett fåtal forskare tillämpar. Med övriga problem menar hon de problem som i en given situation inte uppfyller samtliga kriterier för rika problem. Av detta följer att problemets karaktär är situationsbunden på så sätt att den beror av de förutsättningar som råder i en given situation. Begreppet rika problem har således liksom matematisk problemlösning en relativistisk karaktär i sin betydelse.

Cifarelli och Cai (2005) definierar öppna matematiska problem som en matematisk aktivitet av undersökande karaktär som problemlösaren utvecklar i samband med att någon eller några aspekter av problemformuleringen är ospecificerade. Vidare kan öppna problem kräva att problemlösaren omformulera problemets villkor i syfte att komma vidare i lösningsprocessen. Artikelförfattarna menar att en omformulering krävs då problemformuleringen är ostrukturerad i den mening att problemlösaren upplever att den givna informationen är otillräcklig för att generera en omedelbar lösningsstrategi eller att den innehåller både relevant och irrelevant information som måste beaktas. Antonenko m.fl. (2011) påpekar att erfarna problemlösare som framgångsrikt löser dåligt strukturerade problem av öppen karaktär tenderar att uppvisa starka och organiserade konceptuella kunskaper inom det eller de behandlade områdena. Detta i sin tur kan möjliggöra för dessa problemlösare att initiera problemlösningsprocessen genom att kvalitativt analysera problem i

8

syfte att identifiera problemets huvudsakliga kärna. I samband med detta lyckas den erfarna problemlösaren undvika distraktion från ytliga egenskaper, villkor och fina detaljer som inte kommer att tillämpas förrän i lösningsprocessens slutskede. Enligt Kwon m.fl. (2006) kan problem av öppen karaktär definieras som problem med minst två olika frihetsgrader d.v.s. ett problem som kan ha minst två korrekta svar och minst två korrekta lösningsstrategier. Artikelförfattarna menar att definitionen emellertid varierar mellan olika forskare och att slutna problem i kontrast till öppna problem vanligtvis har en mycket tydlig startprocess och/eller ett tydligt slutmål samt att problem av sluten karaktär inte stimulerar kreativt tänkande. Utifrån detta menar artikelförfattarna att ett problem som antingen är öppen i förhållande till dess introduktionsdel eller till dess huvudmål samt stimulerar till kreativt tänkande, är per definition ett problem av öppen karaktär. Exempelvis kan ett problem med en mycket tydlig introduktionsdel, men som samtidigt är öppen för många olika lösningsmöjligheter enligt definitionen betraktas vara ett öppet problem.

Lubienski (2000) bekräftar genom en studie av högstadieelevers erfarenheter av matematisk problemlösning i undervisningen att matematiklärare ska utforma en undervisningsmetod som är fixerad kring öppna, kontextualiserade problem i syfte att på ett mer effektivt sätt skapa lärandemöjligheter för samtliga elever. Artikelförfattaren analyserade intervjusvar, enkätsvar, lärares journaler och ljudinspelningar med fokus på skillnader mellan låg- och högpresterande elevers inställning till matematiklärande genom problemlösning. Clarke m.fl. (2007) betonar dessutom genom en australiensisk litteraturstudie där författarna bl.a. hänvisar till Lowrie (2002b) slutsats om att unga barn i samband med ett lämpligt lärarstöd i en strukturerad miljö för problembaserat lärande kan skapa öppna problemformuleringar med varierande komplexitetsnivå. Artikelförfattarna påpekar att en matematisk undersökning kan beskrivas som öppna kontextualiserade problemlösningsuppgifter, genom vilka problemlösaren kan spekulera, testa idéer och argumentera med andra i syfte att försvara det egna lösningsförslaget. Klavir och Hershkovitz (2008) understryker att en viktig aspekt av öppna problem primärt är det faktum att de tenderar att bryta ett didaktiskt kontrakt som förmedlar en falsk uppfattning om att varje matematiskt problem har en korrekt lösning. I en studie lät artikelförfattarna 164 femteklassare lösa ett öppet matematikproblem i klassrum med ordinarie matematiklärare. Ett team från CET (the Center for Educational Technology) distribuerade problemuppgiften digital till de olika klassrummen. Lärarna från dessa klassrum rapporterade observationer om att experimentet med det öppna problemet initierade produktiva diskussioner bland eleverna. I det första stadiet användes villkoren; korrekt lösning, inkorrekt lösning, olämplig lösning och

9

obegriplig lösning vid analys av elevernas lösningar på problemet. Deltagarnas bidrag var totalt 680 lösningsförslag, varav 82% var korrekta, 3% var inkorrekta, 13% var olämpliga och 2% var obegripliga. Förklaringar till de korrekta lösningarna delades upp i fem kategorier baserad på den matematiska kunskap som kan identifieras. Ytterligare ett analysverktyg som har använts är fyra komponenter för kreativitet i lösningarna; (a) fluency, (b) flexibility, (c) elaboration, (d) originality. Exempelvis innebär (a) att eleven kan producera ett stort antal lösningar och (b) att eleven visar en förmåga att använda olika matematiska principer.

Analysen från studien baseras på att matematisk problemlösning är en process som kräver flexibla resonemang, vilket innebär att problemlösaren kan formulera antaganden, generalisera antaganden och har förmågan att kunna motivera samt på olika sätt kunna kommunicera de matematiska tankegångarna. Artikelförfattarna konkluderar att öppna matematikproblem kan användas vid inlärning av olika lösningsstrategier och därmed fördjupa matematiska kunskaper och stimulera utvecklingen av ett kreativt tänkande. Artikelförfattarna rapporterar dessutom att öppna problemformuleringar kan möjliggöra för elever att arbeta med samma problem efter deras individuella förutsättningar.

2.2 Användandet av matematisk problemlösning i skolan

En studie utformad enligt användandet av kvantitativa- och kvalitativa undersökningsmetoder syftade till att identifiera de utmaningar som lärarkandidater möter i samband med att de deltar i matematisk problemlösning (Bal, 2014). Med denna undersökning ämnade man att identifiera de faktorer som bidrar till valet av de representationsformerna som dessa lärarstudenter uppvisar. I studien deltog 100 tredjeårsstudenter från the primary teaching department of Çukurova University under läsårsperioden 2012-2013. Enligt Bal (2014) har idén om olika representationsformer en viktig roll i matematikundervisningen, framförallt för förståelsen av matematiska koncept och tolkningen av dem ur olika perspektiv genom användandet av olika representationsformer. Vidare rapporterar hon med hänvisning till flera av deltagarnas intervjusvar att användandet av olika representationsformer förstärker elevers förståelse för hur elever lär sig att formulera och lösa problem i en matematikkurs. Lubienski (2000) genomförde en pilotstudie i ett utvecklingsprojekt med avseende på en problemcentrerad läroplan (Connected Mathematics Project CMP). Hon spelade en dubbelroll som forskare och pilotlärare i en skola som hade en socioekonomisk blandning av elever. Studien pågick i ett läsår och året innan studien sattes igång hade de deltagande eleverna från årskurs 7 (ca 30 elever) arbetat med ett utdelat material från CMP. Syftet med undersökningen

10

var att undersöka sjundeklassares erfarenheter av en problemcentrerad läroplan och pedagogik. Artikelförfattaren konkluderar utefter deltagarnas erfarenheter att matematikundervisning som fokuserar på problemlösning med en undervisning centrerad kring ett problem kan hjälpa elever att lära sig färdigheter och begrepp inom ett motiverat sammanhang. Lubienski (2000) konkluderar således att matematisk problemlösning numera bör betraktas som ett hjälpmedel för att lära sig matematiska innehåll och processer istället för att betraktas vara ett eget ändamål. Det understryks emellertid med tidigare forskningsstöd att andra faktorer som exempelvis stöttning från lärare (Scaffolding) och redan förvärvade matematikkunskaper är minst lika betydande för elevers fortsatta kunskapsprogression. Eftersom att dessa faktorer även dyker upp i andra undervisningsformer blir det problematiskt att avgöra i vilken omfattning en problembaserad undervisning inverkar stödjande med avseende på elevers lärande i matematik. Vidare problematik kring den problembaserade matematikundervisningen är lärares varierade erfarenheter kring problemlösning. En australiensisk litteraturstudie visar att matematiklärare är i behov av en professionell utveckling i form av konferenser, workshops, samarbete mellan lärargrupper, partnerskap med andra skolor och universitet samt tid och resurser för planering i syfte att stödja och underlätta implementeringen av en problembaserad undervisning (Anderson, 2005). Anderson (2005) rapporterar dessutom att en akademisk mentor eller en erfarnare problemlösare är av betydelse vid implementeringen av en problembaserad undervisning. Mentorns roll är att som stödja och träna matematiklärarens egen problemlösningsförmåga samt att eventuellt utmana matematiklärarens kunskaper, attityd och föreställningar om matematikundervisning. Vidare menar artikelförfattaren att matematiklärare är i behov av en kartläggning av olika problemlösningsmetoder, idéer för relevant undervisningsplanering och användning av en rad olika typproblem och typiska aktiviteter för lärande med hjälp av matematisk problemlösning.

Enligt skolans kursplaner syftar matematisk problemlösning i skolan till att eleven erbjuds uppleva matematikens skönhet och känna den tillfredställelse som lösandet av problemet kan ge (Taflin, 2007). Vidare syftar matematisk problemlösning till att eleven ska utveckla en kreativitet och skapa egna problemformuleringar samt lösa dessa (Skolverket, 2011a; Skolverket, 2011b).

Jones m.fl. (2013) understryker den ökande efterfrågan från arbetsgivare och universitet på att utexaminerade studenter ska ha förmågan att applicera sina kunskaper på problemlösning i varierade och obekanta kontexter samt att dessa aspekter emellertid blir försummade under olika examinationsformer i matematik och i matematikundervisningen. Vidare menar artikelförfattarna att en utmaning med problembaserad undervisning är att

11

problemlösningsstrategier är svårare att definiera och utvärdera än erinrandet av fakta och prestationer under standardförfaranden som utgör de flesta bedömningsinstrument i matematik. Artikelförfattarna argumenterar för en summativ bedömningsform av en mer jämförande karaktär och de konkluderar med statistiska belägg i två studier att bedömningsformen i större utsträckning än traditionella summativa bedömningsformer beaktar elevernas kunskapstillämpning på problemlösning i olika varierande sammanhang. När det istället kommer till att stödja de formativa bedömningsprocesserna i samband med matematisk problemlösning har Gowins V-diagram i många internationella klassrum visat sig vara ett effektivt hjälpmedel (Afamasaga-Fuata'i 2008). Artikelförfattaren betonar även att verktyget framhäver ett matematiskt arbetssätt samt att det med fördel kan följas upp av att problemlösaren tillåts konstruera Novak-typ begreppskartor.

2.2.1 Olika lösningsstrategier vid matematisk problemlösning

En kompetens vid matematisk problemlösning är att den som ska lösa problemet förväntas ha en förmåga att tolka problemet och ha kännedom om vad som ska lösas (Skolverket, 2011a; Skolverket, 2011b). Ett argument till varför och hur elever ska lösa matematiska problem i skolan är att elever förväntas lära sig den process som problemlösning innefattar d.v.s. hur elever behandlar ett problem då eleverna på förhand saknar lösningsstrategier (Taflin, 2007). Taflin (2007) menar dessutom att matematisk problemlösning kan synliggöra spåren av kognitiva processer, ge möjlighet till gruppinteraktion och att träna eleverna i att notera samband mellan matematiken och verkligheten. Sakshaug och Wohlhuter (2010) fann i sin studie att elever under problembaserad undervisning föredrar att först arbeta med problemet individuellt för att sedan arbeta i grupp. Under interaktionen med andra elever kunde eleverna förklara sina strategier, jämföra sina lösningsförslag och idéer med andra elevers lösningsförslag och idéer, beskriva sina slutsatser, försvara sina resonemang och lyckades med viss framgång utvärdera om den egna strategin även hade kunnat fungera vid variation av problemformuleringen.

Användandet av olika representationsformer i form av diagram, grafer, tabeller och symboler liksom övergångar mellan dessa är en avgörande faktor vid uttryck av matematiska tankar och relationer (Bal, 2014). Bal (2014) betonar att problemlösningsprocessen bygger på Pólyas (1990) fyra faser/principer som problemlösaren bör genomgå; förståelsefasen, planeringsfasen, tillämpningsfasen och utvärderingsfasen. Som en derivering av Pólyas modell för den heuristiska problemlösningsprocessen hänvisar Artzt och Armour-Thomas

12

(1992) till Schoenfelds episodiska modell. Modellen beskriver matematisk problemlösning i fem heuristiska episoder; (a) avkodning/tolkning, (b) analysering, (c) utforskning, (d) planering/implementering och (e) verifikation. Artikelförfattarna betonar att oerfarna problemlösare kan tendera att genomgå ett fåtal episoder medan erfarna matematiker tenderar att ett flertal gånger återvända till olika heuristiska episoder. Vidare efterfrågas mer forskning om vilka heuristiksekvenser som uppvisas vid arbete med matematikproblem i mindre grupper. Enligt Clarke m.fl. (2007) är problemlösningsprocessen ett matematiskt arbetssätt som kräver att problemlösaren abstraherar allmänna mönster och strukturella egenskaper från matematiska situationer och formulerar hypoteser/konjekturer, generaliseringar och argument i ett naturligt språk och på symbolisk form. Artikelförfattarna beskriver att problemlösaren i denna arbetsprocess väljer, använder och utvecklar matematiska modeller och metoder samtidigt som hen är medveten om problemets givna antaganden och begränsningar, vilket kan innebära att problemlösaren samlar in relevant information, representerar samband i matematiska termer, och testar lämpligheten av de erhållna resultaten. Afamasaga-Fuata'i (2008) föreslår att problemlösaren som en del av sin lösningsprocess kan tillämpa principen om GowinsV-diagram för att få en systematisk guide till att stödja problemlösarens resonemang och gissningar i samband med begrundandet av olika lösningsstrategier. I detta diagram redovisar problemlösaren sin lösningsstrategi i form av en begreppsinriktad sida som innehåller de för problemlösningen relevanta teorier/satser, principer och huvudbegrepp. Vidare består diagrammet en metodinriktad sida som innehåller svaret på huvudfrågan, givna villkor och en tillämpad lösningsmetod baserad på de relevanta begreppen, principerna och de givna villkoren. I artikelförfattarens beskrivning av diagrammet uppdelas de två inriktade sidorna av huvudfrågan och problemformuleringen i en V-liknande förbindelse av tillämpade procedurer och begrepp under ett dynamiskt samspel. Vidare liknar artikelförfattaren principerna bakom konstruktionen av ett V-diagram med att problemlösaren utreder varför ett matematiskt problem är löst på ett specifikt sätt och nämner att diagrammets beståndsdelar i form av delfrågor är i linje med Pólyas (1973) första problemlösningsprincip. Artikelförfattaren nämner att Pólyas (1973) fyra principer tillsammans ger en översikt av den process som problemlösaren genomgår vid slutförandet av ett V-diagram med mer specifika delfrågor.

I en studie fann Sakshaug och Wohlhuter (2010) att matematiklärare i en problembaserad undervisning tenderar att välja problem som innehåller centrala matematiska koncept och engagerande formuleringar. Vidare rapporterar artikelförfattarna att matematiklärare i en sådan undervisning modellerar en problembaserad aktivitet, skapar en verklighetsförankrad

13

kontext och samtidigt inte tillåter att problemet övergår till att bli en rutinövning för de deltagande eleverna. Artikelförfattarna konstaterar exempelvis att matematikläraren genom att endast presentera en strategi eller avslöja central information för lösningsprocessen riskerar att minimera problemlösningsprocessen.

Che m.fl. (2012) frågar i deras studie huruvida olika lösningsprocesser vid matematisk problemlösning kan vara relaterade till kön. Artikelförfattarna rapporterar via olika understudier av kön och dess relation till problemlösningsprocesser att flickor under vissa omständigheter är mer benägna att använda konventionella strategier som är baserade på standardalgoritmer medan pojkar är mer benägna att uppfinna okonventionella strategier. Pojkar kan i större utsträckning än flickor vara mer villiga att under lösningsprocessen begå misstag och försöka med nya ansatser. Nunokawa (2005) diskuterar användandet av nya och okonventionella metoder med att understryka att problemlösaren måste vara förberedd på att förändra eller hitta nya perspektiv på problemsituationen i syfte att underlätta tillämpningen av problemlösarens aktuella kunskaper då problemlösarens på förhand aktuella kunskaper inte är applicerbara på problemsituationen. Det som bl.a. utmärker en framgångsrik problemlösare är att denne tillämpar en strategi baserad på en mycket noggrann planering och kvalitativ analys innan problemlösaren försöker skapa relevanta ekvationer (Kaur, 1997). Kaur (1997) menar dessutom att den framgångsrika problemlösaren har som vana att göra successiva förbättringar under förutsättning att problemet är av tillräckligt utmanande karaktär. Antonenko m.fl. (2011) framhäver att erfarna problemlösare tycks uppvisa starkare och mer generaliserade metakognitiva färdigheter som bl.a. omfattar ett kritiskt förhållningssätt till utvecklingen av den egna lösningen med en kontinuerlig reflektion över om den egna lösningsstrategin fortfarande är potentiellt fruktbar. I denna färdighet ingår dessutom en utvärderingsfärdighet som påvisar förståelsen av vikten att under lösningsprocessen kontinuerligt testa lösningen mot de givna premisserna och att emellanåt använda extremfallsundersökningar i syfte att kontrollera lösningens validitet. Artikelförfattarna nämner även att starka problemlösare tenderar att vara medvetna om fördelarna med att integrera erfarenheterna från varje problemlösning med sina kunskaper samt utnyttja dessa vid konfrontering av nya öppna problem medan oerfarna problemlösare saknar liknande metakognitiva färdigheter och uppvisar samtidigt svårigheter med att utveckla hållbara lösningsprocesser. Kaur (1997) bekräftar att erfarna problemlösare i matematik tenderar att mer frekvent använda metakognitiva processer och tillägger att oerfarna problemlösare i kontrast till erfarna problemlösare oftare tycks fixera vid problemets detaljer istället för vid dess strukturella karaktärsdrag. Vidare uppvisar den oerfarna

14

problemlösaren oftast brister i förståelsen av problemet i termer av grundläggande matematiska koncept. Artikelförfattaren tillägger att den oerfarna problemlösaren dessutom tenderar att inte vara kapabel till eller avstår från att konstruera adekvata representationsformer som stöd till den egna lösningsprocessen. Vidare menar artikelförfattaren att affektiva faktorer som vilja, uthållighet, självförtroende och attityden till det matematiska innehållet i stor utsträckning tycks influera problemlösarens prestationer. Exempelvis tenderar oerfarna problemlösare att vara mer impulsiva och frustrerade i sina lösningsförsök och i samband med detta uppvisar de en bristfällig förståelse för problemet. Anderson (2005) tillägger att de oerfarna problemlösarna dessutom kan möta språkliga hinder på så sätt att det påverkar deras förmåga att tolka och därmed lösa många matematiska problem. Özsoy m.fl. (2015) konkluderar i deras studie att problemlösningsförmågan tycks variera med läsförståelsen. Artikelförfattarna menar att problemformuleringar som är inneslutna i en kontext presenterad i texter tycks kunna vara mer komplicerade och svåra att förstå för elever än problemformuleringar som inte är presenterade i texter. Att lösa problem som är skriftligt formulerade i en kontext kräver en förståelse av det språk som beskriver problemet och den konkreta information som är presenterad. Artikelförfattarna betonar att denna språkliga dechiffrering är en nödvändighet för förståelsen av ett problem och därmed också en avgörande faktor för att möjliggöra att problemlösaren kommer vidare till de övriga faserna i problemlösningsprocessen.

2.2.2 Matematiklärarens roll vid problembaserat lärande

Sakshaug och Wohlhuter (2010) frågar hur matematiklärare kan lära sig att undervisa sina elever att tänka, resonera och lösa matematikproblem när de själva lärt sig matematik genom procedurella övningar. Vidare frågar artikelförfattarna hur dessa lärare kan genomföra en innovativ förändring i den egna matematikundervisningen genom matematisk problemlösning. Artikelförfattarna fann i studien att matematiklärare liksom eleverna var individuellt obekväma, men kunde i grupp förstå och lösa problem. Clarke m.fl. (2007) påpekar att matematiklärares egna erfarenheter som elever i matematik och upplevda restriktioner inom lärandekontexter som exempelvis elevernas skolstadium och förståelsenivå, läromedel, bedömningstryck, föräldrarnas förväntningar är faktorer som kan moderera matematiklärarens planer att implementera problemlösningsmetoder i undervisningen. Afamasaga-Fuata'i (2008) föreslår användningen av begreppskartor och V-diagram som två metakognitiva verktyg som kan underlätta implementerandet av problemlösningsmetoder i

15

matematikundervisningen och vara hållbara hjälpmedel vid bedömning av elevers begreppsförståelse, flyt med det matematiska språket och kritiskt tänkande i matematisk problemlösning. Artikelförfattaren menar att dessa verktyg dessutom kan gynna utvecklandet av det matematiska arbetssättet och matematiklärare erbjuds i samband med detta en möjlighet att skapa exemplariska och gynnsamma lärandemiljöer, vara innovativa och kreativa i de sätt som matematikläraren undervisar och bedömer sina elever. Med dessa möjligheter kan matematiklärare leva upp till förväntningar om att utforma uppgifter och problem av utmanande- och utredande karaktär som i sin tur kan engagera och motivera eleverna i deras matematiska lärande. Samtidigt uppger matematiklärare och deras kollegor att de känner en rädsla och osäkerhet vid implementering av problemlösning i deras undervisning samt att de i samband med en sådan undervisning kan uppleva en förlorad kontroll och medvetenhet över elevernas lärande (Anderson, 2005). Artikelförfattaren varnar dessutom för att matematiklärarens brist på förtroende för att helt överlåta det undersökande ansvaret för lärande åt eleverna kan komma att hämma införlivandet av en problembaserad undervisning då problemlösning anses vara en utredningsprocess som gynnar konstruktivistiskt lärande där eleverna uppmuntras arbeta individuellt, samverka och kommunicera i dialog med läraren och andra elever.

I allmänhet är en representationsform ett sätt att visualisera en aktuell situation ur olika perspektiv (Bal, 2014). Bal (2014) menar att lärandet genom olika representationsformer i matematikundervisningen är en del av den process som utformar förståelsen av matematiska begrepp och att lärare därför bör använda dessa inom olika klassrumsaktiviteter och vid problemlösning. Olika australiensiska studier har genererat frågor om vilken typ av lärarstöd som behövs för att hjälpa eleverna att röra sig mellan abstrakta schematiska representationsformer, visuell-taktila aktiviteter och datorsimuleringar (Clarke m.fl., 2007). Artikelförfattarna betonar att matematikläraren i dessa sammanhang bör stödja eleverna på ett sätt som hjälper dem att utveckla förståelse av perspektiv, orientering och djup. Detta kan göras genom manipulering av tredimensionella objekt som en förberedelse inför motsvarande användning av dessa koncept i en virtuell värld. Matematikläraren bör stödja eleverna vid skapandet och användandet av lämpliga diagram i syfte att effektivt representera problemets struktur.

Taflin (2007) betonar att problemlösningsprocessen kan kräva fem olika representationer av matematikbegrepp; fysisk-, numerisk-, retorisk-, estetisk-och symbolisk representation. Lärarens roll under elevens problemlösningsprocess tenderar vara att informera, stötta, ställa och besvara frågor, leta efter intressanta lösningar och leda diskussioner kring

16

elevredovisningar av problemlösningar medan elevens roll i samma situation tenderar vara att lyssna, fråga, jämföra lösningsförslag och skapa egna problemformuleringar. I sin studie fann hon att den bedrivna undervisningen erhöll en större variation och flera olika lösningsförslag till varje problemformulering då läraren tillät eleverna enskilt behandla problemformuleringen, interagera med läraren och klasskamraterna samt lyssna och vara aktiva vid lektionsgenomgången. Sakshaug och Wohlhuter (2010) instämmer i att denna lärarroll är avgörande för elevernas kunskapsutveckling och tillägger att matematiklärare som är benägna att använda strategier som i sin tur befrämjar elevernas matematiska tänkande visar sig vara de lärare som framgångsrikt implementerar en problemlösningsapproach.

Walshaw och Anthony (2008) frågar hur och när matematiklärare i sin undervisning bör inrätta aktiviteter som erbjuder eleverna att aktivt delta i matematiska diskussioner. Artikelförfattarna betonar att en formativ återkoppling från matematikläraren genom att bl.a. hedra elevernas bidrag är en inkluderande pedagogisk strategi samt att lärare som underlättar för elevernas medverkan, lockar fram deras bidrag och inbjuder dem att med ömsesidig respekt uppmärksamt lyssna på varandra, acceptera olika synvinklar och engagera sig i ett utbyte av tankar och perspektiv exemplifierar kännetecken för ett pedagogiskt ledarskap.

Klavir och Hershkovitz (2008) menar att elevernas verbala formuleringar av lösningsstrategier under problemlösningsprocessen möjliggör för den ansvariga läraren att bedöma en lämplig nivå på diskussionerna som förs och nivån på elevernas aktiva kunskaper. Läraren kan i en sådan situation dessutom underlätta och höja nivån på de förda diskussionerna enligt Vygotskijs proximalzonsteori (Vygotsky L.S 1978) som beskriver individens förmåga att med- och utan utomstående hjälp kunna lösa ett problem. Vidare presenterar artikelförfattarna andra analys- och utvärderingsverktyg i form av hänvisning till olika kunskaper, nivåer av komplexitet av matematiskt tänkande och nivåer av kreativt tänkande i dess olika aspekter som exempelvis flyt, flexibilitet, komplexitet och kreativitet. Artikelförfattarna menar att dessa föreslagna didaktiska verktyg tenderar matematiklärare att sakna vid arbete med problem av öppen karaktär och dessa utvärderingsverktyg kan användas för att diskutera elevernas lösningsprocess samt främja elevernas medvetenhet av de inneboende möjligheter som följer med sådana öppna problem. Kwon m.fl. (2006) bekräftar i sin studie att elever som arbetade med öppna problem presterade bättre än kontrollgruppen på samtliga aspekter av kreativt tänkande, vilket inkluderar flyt, komplexitet och originalitet.

Enligt Lampert (1990) uppvisar framgångsrika problemlösare alltid Pólyas moraliska kvalitéer; (1) intellektuellt mod, (2) intellektuell ödmjukhet och (3) förnuftig återhållsamhet. (1) innebär en förberedd inställning på en eventuell revidering av de egna föreställningarna

17

och medvetna gissningarna. (2) innebär att de egna föreställningarna och premisserna på goda grunder alltid skall revideras. (3) innebär att de egna antagandena utan goda grunder inte lätt-sinnigt skall revideras. Vidare rapporterar artikelförfattaren att det finns ett dilemma med erfarenheter som människor bär med sig från skoltiden. Dilemmat innebär att matematikläraren och läromedel i matematik vanligtvis uppfattas som auktoriteter överordnade de föreställningar och idéer som elever och studenter utvecklar. Detta i kontrast till idén om att problembaserade matematikaktiviteter ska sträva mot att förmedla associationer till att matematik är ett ämne öppen för utforskning, kreativitet och nyskapande.

2.2.3 Effekter av problembaserat lärande i matematikundervisningen

Walshaw och Anthony (2008) menar att det finns empiriska och teoretiska belägg som demonstrerar fördelaktiga effekter för elever som deltar i matematiska dialoger. Sådana effekter uppvisas i form av argumentation, förklaringar och försvarandet av matematiska idéer. Denna form av verbala resonemang är någonting som matematiska undervisningsaktiviteter kräver av eleverna. Artikelförfattarna utvecklar påståendet med att hävda att de dagliga aktivitetsprocesserna i matematikundervisningen spelar en betydelsefull roll för hur elever kan komma att uppfatta och lära matematik. Sedermera lyfter artikelförfattarna fram analyser som visar att olika förväntningar på eleverna kan tjäna till att skapa markanta skillnader i elevernas prestationer. Vidare menar de att obligatoriskt deltagande i dessa aktiviteter tenderar att riskera att inskränka elevernas möjligheter till att aktivt delta i de matematiska diskussionerna. Walshaw och Anthony (2008) menar nämligen att många elever under en sådan aktivitetsbaserad matematikundervisning inte är kapabla att fullt ut förklara de egna matematiska idéerna och att en del elever dessutom kan bli illa till mods vid en sådan ansträngning. Efter att ha lyft fram en utvärdering förklarar artikelförfattarna elevernas obekväma beteenden med att eleverna i sådana situationer var osäkra på vad som förväntades av dem när de ombads att förklara sina idéer. Kwon m.fl. (2006) föreslår emellertid att arbetet med problem av öppen karaktär kan råda bot på ett sådant obekvämt beteende eftersom öppna problem tycks kunna ge elever en känsla av prestation och tillfredsställelse. Öppna problem möjliggör även för lågpresterande elever framförandet av egna lösningsförslag inom deras egen förmåga. Denna typ av problem erbjuder dessutom eleverna en chans till att uppleva ett autentiskt matematiskt arbetssätt i samband med att de skapar sina egna problemformuleringar.

18

Enligt Sakshaug och Wohlhuter (2010) beskriver deltagande lärare i deras studie att elever genom deltagande i problembaserad undervisning har utvecklat sin förmåga att använda olika strategier och resonemang samt att arbeta i grupp och kommunicera. Artikelförfattarna beskriver att deltagande lärare från deras studie understryker att problemlösningsprocessen har gjort matematiken mer tillgänglig för de elever som vanligtvis är minst intresserade och minst motiverade att delta p.g.a. tidigare erfarenheter i mer traditionell matematikundervisning. Vidare fann de i studien att lärare tenderade att bli mer övertygade om att använda en problembaserad undervisning när de själva började utveckla sin egen problemlösningsförmåga och i samband med att de kunde observera en kunskapsprogression genom deras problembaserade upptäckter. Jones m.fl. (2013) tillägger dessutom att autentiskt giltiga bedömningar av elevernas matematiska problemlösning kräver att elever utför olika processer såsom exempelvis modellering och problemtolkningar med hjälp av helhetsuppgifter som är relativt ostrukturerade.

Lubienski (2000) fann i sin studie att högpresterande elever i större utsträckning än lågpresterande elever uppvisar en inneboende motivation att lugnt och metodiskt lösa matematiska problem och reflektera kring matematiska koncept. Dessa elever visade ett stort engagemang kring den utmaning som det kontextlösa problemet gav dem. Lubienski (2000) bekräftar i sin studie att de lågpresterande eleverna uppvisade ett större engagemang för aktiviteter som innehåller spel och nöje samt ett för de intressant sammanhang. Dessa lågpresterande elever uppvisade emellertid en passiv inställning till det matematiska problemet och tycktes inte kunna analysera det matematiska innehållet i kontexten. Enligt Clarke m.fl. (2007) kan öppna och komplexa icke-rutinbaserade problemformuleringar generera elevlösningar som är bättre speglade i elevens egen förståelse och elever är då mer benägna att även utveckla en förståelse för den kommande undervisningen.

Av internationella mätningar från bl.a. TIMSS och PISA uppvisade en stor majoritet av de deltagande länderna en signifikant könsskillnad med avseende på prestationer i matematisk problemlösning (Che m.fl., 2012). Che m.fl. (2012) hänvisar till de omfattande internationella studierna som i sin tur understryker att pojkar tendera r att vara framgångsrikare än flickor när det kommer till matematisk problemlösning. Artikelförfattarna menar att studierna bl.a. indikerar att pojkar tycks uppvisa en framgångsrikare spatial förmåga och att de i större utsträckning än flickor lyckas lösa icke-rutinmässiga problem medan flickor uppvisar en större framgång än pojkar i att lösa algoritmberäkningsproblem. Vidare spekulerar artikelförfattarna via olika understudier att det faktum att flickor i förhållande till pojkar tycks underprestera i matematisk

19

problemlösning bl.a. kan bero på en bristande uthållighet under problemlösningsprocessen samt att pojkar vid svårigheter under lösningsprocessen oftast kan bli uppmuntrade av sin lärare att envisas/framhärda medan flickor oftast blir försedda med svar.

20

3. Metod

Under detta avsnitt presenteras valet av olika metodundersökningar som är adekvata för projektstudien samt en beskrivning av urvalsprocessen och processen för deltagande i projektet. Vidare presenteras forskningsetiska aspekter som förankrats via projektet samt en beskrivning av de analysverktyg som tillämpats vid analys av data som projektet har genererat.

3.1 Metodval och metoddiskussion

Enligt Alvehus (2013) syftar empiriska undersökningsmetoder till mer än insamling och bearbetning av data om verkligheten. Syftet är främst att producera perspektiv om verkligheten och metoden blir ett tillvägagångssätt för att distansera resonemang och slutledningar från personliga åsikter och subjektivitet. För att undersöka den formulerade frågeställningen behöver deltagargruppernas lösningsförslag studeras i samband med att de arbetar med matematikproblem. Här kan det vara lämpligt att samla in och utifrån det teoretiska ramverket från tidigare forskning på området analysera deltagarnas skriftliga lösningsförslag. För att möjliggöra en analys och jämförelse av det producerade materialet har metoden innehållsanalys valts som analysmetod. Användningen av metoden innehållsanalys syftar till att vara ett analysverktyg vid studium av det explicita d.v.s. material med uttryckt information (Bryman, 2011). Enligt Bryman (2011) är målet med innehållsanalys att formulera kvantitativa beskrivningar av råmaterialet i termer av de kategorier som är specificerade av regler. De skriftligt producerade lösningsförslagen från deltagargrupperna till detta arbetes projekt är därför adekvat rådata för en innehållsanalys. Till projektet används både kvantitativa- och kvalitativa forskningsstrategier. Bryman (2011) anger i sin beskrivning av de olika forskningsstrategierna att inriktningen för den kvantitativa strategin är att pröva olika teorier medan inriktningen för den kvalitativa strategin är att generera teorier. Till projektet ingår både en kvantitativ- och en kvalitativ innehållsanalys då den ena ensamt inte är tillräckligt för att behandla arbetets huvudsyfte. För den kvantitativa innehållsanalysen mäts eller beräknas förekomsten av specifika inslag i den uttryckta texten utefter på förhand fastställda kategorier (Bryman, 2011). Detta i kontrast till en kvalitativ innehållsanalys som istället innebär att bakomliggande teman i det uttryckta analysmaterialet eftersöks. Liksom en kvantitativ innehållsanalys kan den kvalitativa innehållsanalysen vara baserad på bestämda kategorier, men här kan emellertid nya kategorier tillkomma.

21

Vidare ingår det för arbetets forskningsprojekt att projektledarna observerar deltagargruppernas samarbete under problemlösningsprocessen. Projektledarna anordnar således en eller flera handledarträffar med varje deltagargrupp, varvid projektledarna dels antar en observerande roll och objektivt noterar observationer och dels antar projektledarna rollen av att vara instruktörer, diskussionsledare och ordningsledare vid behov. Här kan de olika rollerna misstänkas kunna medföra viss belastning för projektledarna och därför är det lämpligast att en av projektledarna för fältanteckningar under handledningspasset. Observationer beskrivs som ett sätt att kringgå de problem som fabricerad data kan medföra då de oftast belastar andra undersökningsmetoder (Alvehus, 2013). Enligt Backman (2008) täcker observationsfasen samtliga metoder som ger empiriskt stöd relevanta för studiens formulerade hypoteser och frågeställning. Metoden för datainsamling utgör en instrumentell ram som syftar till att ge en hantering och meningsfull bild av det som studeras (Backman, 2008). En möjlig metod för att samla information om deltagarnas bakgrund, erfarenheter, ställningstaganden, förväntningar och utvärdering är enkäter.

Kvalitativa semistrukturerade gruppintervjuer har bedömts vara adekvat för detta forskningsprojekt med avseende på att synliggöra och förtydliga spåren av deltagarnas tankeprocesser i form av enkla resonemang kring problemlösningsprocessen. Genom inspelning av intervjuerna kan projektledarna dokumentera utvecklingen av matematiska resonemang som i de skriftliga lösningsförslagen kanske endast är latent uttryckta. Vidare önskas de faser som deltagarna genomgår under problemlösningsprocessen kartläggas genom intervjuerna. Dessa faser beskrivs under avsnittet 2 Tidigare forskning och teoretiska ramverk för den individuella problemlösaren, men mer forskning efterfrågas och särskilt forskning om problemlösning i grupp. Enligt Bryman (2011) ger kvalitativa intervjuer en möjlighet att nå just fördjupade ståndpunkter och åsikter hos de intervjuade deltagarna. Under sådana betingelser kan deltagarna fritt avvika från frågeställningen och tala fritt i samtalet, vilket påvisar det som deltagarna finner som betydelsefullt och relevant att samtala om. Vidare menar Bryman (2011) att det är av betydelse att intervjuaren inte påverkar deltagarnas svar och åsikter genom att inte leda intervjun mer än nödvändigt. Intervjuaren ska dessutom vara medveten om att intervjusvaren kan vara baserade på respondenternas förväntningar på de intervjusvar som intervjuaren önskar eller samtal som på något sätt ger en positiv framställning av respondenternas prestationer. Alvehus (2013) understryker betydelsen av att undvika observatörseffekten som innebär att observatören inverkar till den grad att observationen blir mindre representativ. Enkätstudien till detta projekt kan med fördel vara en kombination av kvalitativ och kvantitativ karaktär. Enkätfrågorna kan betraktas som

22

förarbetet och/eller som en förlängning av intervjun på så sätt att frågor som projektledarna i viss mening bedömer kunna vara destruktiva för det öppna samtalet under intervjun kan användas som enkätfrågor. Under kvantitativa intervjuer är nämligen frågorna oftast flervalsfrågor och slutna till sin karaktär (Bryman, 2011).

3.2 Urval, genomförande och forskningsetiska överväganden

Urvalet till forskningsprojektet utgör elever och studenter från svenska skolor respektive lärosäten och omfattar 27 deltagare, varav 16 gymnasieelever, 4 komvuxstudenter och 7 är akademiskt utbildade. Under urvalsprocessen söktes deltagare som studerar antingen på gymnasienivå eller på akademisk nivå. Anledningen till avgränsningen av detta urval är att gymnasieelever bedöms ha en vana och relativt lång erfarenhet av matematikstudier på grundläggande nivå. Vidare utgör gymnasieskolan en arena där gruppen elever kan utgöra deltagare som är vana vid att arbeta tillsammans då de kanske studerar på samma skola. Detta är av stor relevans till arbetets syftesformulering som just betonar det kollaborativa lärandet i arbetet med matematisk problemlösning i grupp. Att dessutom göra ett mindre urval av personer som studerar eller har studerat en matematikintensiv utbildning på akademisk nivå kan vara av intresse. Studenter med längre erfarenhet av matematikstudier än gymnasieelever kan nämligen uppvisa flexiblare resonemang och lösningsstrategier i samband med att de kanske är mer exponerade för matematisk problemlösning. Deltagare till projektet har sökts via två gymnasieskolor och den ideella organisationen Mattecentrum. Vi har med tillstånd från Mattecentrums projektledare besökt verksamhetens räknestugor och marknadsfört vår studie för volontärarbetare, elever och studenter. Mattecentrum utgör en arena med den största spridningen av erfarenheter kring matematikstudier eftersom att deltagarna utgör personer som studerar på gymnasienivå, personer som studerar på akademisk nivå och personer som studerar eller har studerat på olika skolor och/eller lärosäten. Flera grupper inom skola och utbildning med olika erfarenheter av matematisk problemlösning blir på så sätt representerade.

Projektets genomförande kan indelas i sex faser som deltagarna förväntas genomgå.

1) Urvalsprocessen. Deltagare har sökts på gymnasieskolor i Malmö och Lund genom kontakt med rektorer och samarbete med lärare då vi tillåtits låna lektionstid för att presentera vårt projekt. Med tillåtelse från rektorer har vi spridit informationen via en affisch (Bilaga A – Affischutkast) och via ett samarbete med projektledaren för den

23

ideella organisationen Mattecentrum har vi dessutom informerat ytterligare deltagare från denna verksamhet.

2) Underskrift för godkänt deltagande och godkännande av villkor (Bilaga B – Godkännande om version 1, Bilaga C – Godkännande om

deltagande-version 2).

3) De personer som har anmält ett intresse för deltagande besvarar enkätfrågor som sedan överlämnas till de ansvariga projektledarna (Bilaga D – Enkätfrågor).

4) De personer som har anmält ett intresse för deltagande får ett dokument med problemblad digitalt utskickade (Bilaga E – Rika problem) samt en mall för poängbedömning (Bilaga F – Kvantiserad poängbedömning). För de personer som ämnar delta i studien uppmanas dokumentera lösningsstrategierna i samband med att deltagarna först individuellt arbetar med delproblemen.

5) En handledarträff (eller flera träffar om så önskas) med de ansvariga projektledarna och andra deltagare. Under träffen sker en gruppindelning av deltagarna och deltagargrupperna uppmanas att utifrån de individuellt framtagna lösningsförslag/idéutkast försöka sammanställa gemensamma lösningsförslag som sedan lämnas in för bedömning. Under handledarträffen agerar de ansvariga projektledarna observatörer och en agerar facilitator vid eventuellt behov samtidigt som den andra projektledaren för observationsanteckningar.

6) Deltagandet avslutas med en kort gruppintervju (ca 20-40 minuter) som främst berör samarbetet inom gruppen under problemlösningen samt en diskussion av de faktorer som kan ha bidragit till skapandet av olika lösningsstrategier. Intervjutillfället utgår från intervjufrågor från bilaga G – Intervjuprotokoll och ljudinspelas i syfte att kunna användas vid transkribering vid ett senare tillfälle.

Till forskningsprojektet bör de forskningsetiska principerna följas. Hänsyn måste tas till individskyddskravet och vetenskapliga metodkrav (Bryman, 2011). Det förra konkretiseras i fyra huvudkrav; (1) informationskravet, (2) samtyckeskravet, (3) konfidentialitetskravet och (4) nyttjandekravet. Till projektstudien har en blankett i två versioner delats ut för godkännande av deltagande med skriftligt angivna villkor och information om forskningsuppgiftens syfte. Till den första versionen anmälde undersökningsdeltagaren sitt deltagande med underskrift och samtycke från ansvarig mentor/lärare skedde muntligt då samtliga elever är över 15 år och ty undersökningen inte är av etisk känslighet. Men mentorn/läraren uppmanades ändå skriva under blanketten för ett skriftligt godkännande av