Tillståndsstyrd sträckindelning : beskrivning av tillgängliga metoder

(1)

Författare

Fridtjof Thomas

FoU-enhet

Transportekonomi

Projektnummer

92072

Projektnamn

Tillståndsstyrd sträckindelning VV

Uppdragsgivare

Vägverket

VTI notat 7-2003

Tillståndsstyrd sträckindelning

Beskrivning av tillgängliga metoder

(2)

Innehållsförteckning

Sammanfattning 3

1 Inledning 5

2 Problembeskrivning 7

2.1 Det praktiska problemet . . . 7

2.2 Det metodiska problemet . . . 8

2.3 Olika problemformuleringar . . . 10

2.4 Statistiska metoder . . . 11

3 Metoder för tillståndsstyrd sträckindelning 12 3.1 AASHTO-guide (1986) . . . 12

3.1.1 Allmänt . . . 12

3.1.2 Beskrivning av proceduren . . . 12

3.1.3 Exempel . . . 13

3.1.4 Anmärkningar . . . 14

3.2 Rübensam och Schulze (1996) . . . 16

3.2.1 Allmänt . . . 16

3.2.2 Beskrivning av proceduren . . . 17

3.2.3 Exempel . . . 17

3.2.4 Anmärkningar . . . 18

3.3 Bayesiansk metodik (Thomas 2003) . . . 21

3.3.1 Allmänt . . . 21 3.3.2 Beskrivning av proceduren . . . 22 3.3.3 Exempel . . . 23 3.3.4 Anmärkningar . . . 25 3.4 Övriga metoder . . . 26 4 Jämförelse av metoderna 28 4.1 Definition av homogenitet . . . 28 4.2 ‘Kalibrering’ av algoritmerna . . . 29 4.3 Information om brytpunkter . . . 29 4.4 Övriga aspekter . . . 30 5 Slutsatser 31 Referenser 33

(3)

Figurförteckning

1 ‘Perfekt’ mätserie . . . 9

2 Verklig mätserie . . . 10

3 AASHTO (1986) . . . 14

4 AASHTO (1986) med komplettering . . . 15

5 AASHTO (1986) för delserie . . . 16 6 RubSch (1996) . . . 18 7 RubSch (1996): Exempel 2 . . . 19 8 RubSch (1996): Exempel 3 . . . 20 9 RubSch (1996): Exempel 4 . . . 20 10 RubSch (1996) för delserie . . . 21 11 Thomas (2003) . . . 24 12 Thomas (2003) för delserie . . . 25

(4)

Sammanfattning

Vägverket (VV) lagrar i sitt ‘Pavement Management System’ uppgifter avseende trafikmängd, vägbredd, beläggningstyp, osv., om de statliga vägarna. Dessa uppgifter räcker dock inte för att skapa en indelning av hela det statliga vägnätet i så kallade homogena sträckor, där sträckorna är homogena även med avseende på longitudinell ojämnhet och/eller spårdjup.

Det är därför önskvärt att analysera de årligen utförda tillståndsmätningar som registrerar just ojämnhet och spårdjup på de statliga vägarna, och att identifiera vägsträckor som är homogena med avseende på — de för trafikanterna viktiga — egenskaperna ojämnhet och spårdjup direkt utifrån dessa mätserier.

Detta notat beskriver tre metoder som har utvecklats för att identifiera övergångspunkter mellan homogena sträckor, så kallade brytpunkter. Slutsatsen är att ingen av de behandlade metoderna går att använda ‘rakt av’ för att åstadkomma en tillståndsstyrd sträckindelning av hela det statliga vägnätet. AASHTO (1986) ger inga detaljer för det egentliga problemet, nämligen tolkningen av de framräknade kumulativa diﬀerenserna. Algoritmen enligt Rübensam och Schulze (1996) verkar vara svår att ‘kalibrera’ på ett tillfredställande sätt, åtminstone för VV:s mätserier. Metoden enligt Thomas (2003) är inte avsedd att hantera situationer med ett flertal brytpunkter.

En möjlig strategi för en algoritm som åstadkommer en tillståndsstyrd sträckindelning kan dock vara en kombination av olika idéer, där man kombinerar snabbheten med en ‘grov sortering’ av intressanta områden enligt någon metod med exaktheten av metodiken enligt Thomas (2003). Även en metod som använder sig av Thomas (2003) som den grundläggande byggstenen och därutöver inkorporerar vissa heuristiska idéer är för tillfället under utvärdering; detta angreppssätt kommer att avrapporteras på annan plats.

Syftet med detta notat är att beskriva de olika metodernas uppbyggnad, förväntade prestation och begränsningar på ett allsidigt sätt. Läsaren bör dock vara medveten om att en av de tre beskrivna metoderna har utvecklats av författaren till detta notat. Denna metod skiljer sig ifrån de övriga i några mycket grundläggande avseenden, vilket självfallet speglar författarens egna preferenser.

(5)

1 Inledning

Vägverket (VV) lagrar i sitt Pavement Management System (PMS) uppgifter såsom trafikmängd, vägbredd, beläggningstyp, och datum för den senaste beläggningsåtgärden, om de statliga vägarna. Därutöver mäts vägytorna regelbundet med hjälp av speciella mätbilar. Ett stort antal mått som beskriver vägytans tillstånd erhålles med dessa mätbilar (SNRA 1998), men uppgifterna om spårdjupet och vägens longitudinella ojämnhet (uttryckt som IRI — International Roughness Index) är av störst intresse i dagsläget. Dessa uppmätta värden sparas i VV:s PMS som 20-meters värden, vilket innebär att medelvärden sparas för 20 meter långa sektioner av varje väg (körfält). Dessa medelvärden kan relateras till de fysiska vägavsnitten med hjälp av ett referenssystem.

För många praktiska ändamål behöver man identifiera delar av en väg som är homogena med avseende på en rad egenskaper. I VV:s PMS sker därför en så kallad sträckindelning baserad på de uppgifter som finns om trafik, vägbredd, beläggning, datum för senaste åtgärd osv. Sträckorna kallas homogena, men i praktiken är de långt ifrån homogena med avseende på spårdjup eller IRI. Faktorer som variation i vägkroppens konstruktion och vägens underbyggnad beaktas inte i denna sträckindelning, och de ‘homogena’ sträckornas spårdjup eller IRI kan variera kraftigt.

En angelägen förbättring i den nuvarande sträckindelningen är därför att dela in vägen i sträckor som är homogena med avseende på det uppmätta tillståndet för IRI eller spår. En sådan indelning kan självfallet kombineras med ovan nämnda uppgifter om trafik, slitlagrets ålder osv., och bör betraktas som ett komplement till de faktorer som i dagsläget definierar homogena sträckor.

Avsnitt 2 beskriver i en första del det praktiska problem som motiverar en tillståndsstyrd sträckindelning, och i en andra del det metodiska problemet med att identifiera homogena avsnitt i en lång mätserie med mer eller mindre utpräglad ‘slumpmässig’ variation kring tänkta medelvärden. För att ge läsaren en orientering inom området från metodisk utgångspunkt redovisas i avsnitt 2.3 olika frågeställningar i vilka så kallade brytpunktsproblem förekommer, och i avsnitt 2.4 förtydligas vad som menas med statistiska metoder i sammanhanget.

Avsnitt 3 beskriver tre olika metoder som har utvecklats speciellt för att åstadkomma vägsträckor som är homogena med avseende på uppmätta tillstånd. Avsnitt 3.1 beskriver en metodik som föreslås i AASHTO (1986) och som benämns kumulativa diﬀerenser. Avsnitt 3.2 beskriver ett förfarande som Rübensam och Schulze (1996) har utvecklat för att identifiera sammanhängande vägavsnitt (tysk Autobahn) för planering av underhållsåtgärder. Avsnitt 3.3 sammanfattar författarens egen metod (Thomas 2003). Vart och ett av avsnitten innehåller exempel på analysen och ett avsnitt med diverse anmärkningar.

Övriga förfaranden som till och från förekommer i diskussionen kring tillståndsstyrd sträckindelning beskrivs kort i avsnitt 3.4.

(6)

I avsnitt 4 jämförs de tre här närmare beskrivna metoderna med varandra utifrån en rad olika infallsvinklar, såsom definitionerna av vad som betraktas som en homogen sträcka, vilken information man erhåller om brytpunkterna, och vilka krav man har på de analyserade mätserierna. Avsnitt 5 sammanfattar de viktigaste slutsaterna för VV:s problem att åstadkomma en tillståndsstyrd sträckindelning.

(7)

2 Problembeskrivning

2.1 Det praktiska problemet

Mätningar som avser spårdjup eller IRI används dels som ingångsvärden för modeller som beskriver vägens förändring över tiden, dels för att identifiera vägsträckor som måste underhållas p.g.a. att tillåtna gränsvärden redan är överskridna. I det senare fallet är själva mätningarna av intresse, medan de i det första fallet är avsedda att användas i tillståndsförändringsmodeller; se Haas, Hudson och Zaniewski (1994) eller Robinson, Danielson och Snaith (1998) för en beskrivning av sådana modeller.

Tillståndsförändringsmodeller bör tillämpas på så kallade homogena sträckor, där ordet ‘homogen’ syftar mot att vissa faktorer, såsom de geologiska förhållandena, klimatet, vägens konstruktion, slitlagrets ålder, trafikmängd och trafiksammansättning osv., är identiska för den sträcka som hanteras som en enhet i tillståndsförändringsmodellen.

Vissa variabler, såsom vägens bredd eller slitlagrets ålder, är kända med stor säkerhet (även om icke-rapporterade underhållsåtgärder förekommer). Trafikmängd och trafiksammansättning mäts visserligen regelbundet, men mätningarna är på objektnivå behäftade med mycket stor osäkerhet och utförs främst i syfte att kunna skatta vissa faktorer (trafikarbete, andel tung trafik osv.) på en aggregerad nivå. Andra variabler av intresse för att skatta nedbrytningen av en väg är normalt okända för underhållsplaneraren, hit hör bl.a. de geologiska faktorerna, om vägavsnittet ligger på bank eller kärning, och nötningsresistensen hos slitlagrets stenmaterial.

Det faktiskt uppmätta tillståndet hos en väg tillför därför väsentlig information om hur vägen har ‘reagerat’ på de historiska påfrestningarna av trafik och klimat, och kan och bör användas för att göra prognoser om det framtida tillståndet. Men det är opraktiskt att använda mätserierna från vägytemätningarna ‘rakt av’ — en bearbetning av serierna är nödvändig.

Varje rapporterad mätpunkt representerar 20 meter av ett körfält. De c:a 7 700 milen asfalterad statlig väg i Sverige representeras således av c:a 8 miljoner mätpunkter (två riktningar för varje väg, dubbla körfält ignorerade) i VV:s PMS, och det är helt enkelt opraktiskt att hantera varje sådan mätpunkt som egen enhet i underhållsplaneringen.

Mätförfarandet tillåter i dagsläget inte att exakt samma 20-meterssträcka identifieras mellan olika år, ty sträckorna identifieras med hjälp av en löpande längd räknad från vissa knutpunkter i vägnätet. Ett par väsentliga karakteristika hos moderna mätbilar är att de kan mäta i hög hastighet och deltager i det vanliga trafikflödet. Detta medför dock att mätserierna kan ha varierande längd beroende bl.a. på mätbilens exakta kurvtagningar samt nödvändiga omkörningar (t.ex. för att undvika stillastående fordon vid vägkanten).

Mätserierna ‘klipps’ därför i efterhand för att ge väglängder referenspunkterna emellan som överensstämmer med referenssystemet. I VV:s PMS är således alla mätserier som säges beskriva samma vägavsnitt lika långa, men detta är alltså ett resultat av en efterbehandling och bör inte

(8)

tolkas som att 20-meterssträckornas ‘placering’ är exakt densamma år efter år. Sträckorna är dock antingen överlappande eller ligger i nära anslutning till varandra. Den relativa ‘förskjutningen’ av en registrerad 20-meterssträcka mellan olika mättillfällen gör således att enskilda 20-meterssträckor kan beskriva helt skilda delar av vägen, men att en längre sekvens av 20-meterssträckor ändå till allra största del är överlappande.

Det är därför önskvärt att gruppera 20-meterssträckor till längre sammanhängande sträckor för att underlätta jämförelser, exempelvis olika år emellan. VV använder sig i dagsläget av ett förfarande som grupperar 20 stycken 20-meterssträckor och representerar varje resulterande 400-meterssträcka med ett medelvärde baserat på ingående 20-meterssträckornas mätvärden. Denna sträckindelning är inte tillståndsstyrd, och man riskerar således att ‘bunta ihop’ delar av en väg som har helt olika tillstånd. Dessutom kommer man att missa många lokala förändringar som råkar infalla inom en sådan 400-meterssträcka, t.ex. en 100 meter lång del av en väg i dåligt skick som är omgiven av väg i bra skick (exempelvis 100 meter skärning med dräneringsproblem). En tillståndsstyrd sträckindelning undviker sådana problem samt åstadkommer betydligt längre sammanhängande sträckor om dessa är homogena med avseende på det uppmätta tillståndet.

Ytterligare ett skäl till varför 20-meterssträckor kan uppvisa stor variation mellan olika mätningar är att vägytans ojämnhet vid mättillfället kan vara en konsekvens av tillfälliga förändringar såsom en lokalt begränsad stark nedsmutsning p.g.a. lera från skogs- eller landbruksmaskiner. Även detta leder till att man med fördel grupperar likartade vägavsnitt i sammanhängande sektioner och utvärderar dessa som en enhet.

Sammantaget kan konstateras att VV:s nuvarande sträckindelning med fördel kompletteras med en indelning som tar hänsyn till själva tillståndsmätningarna. En sådan indelning förutsätter att man kan identifiera delar av mätserierna som är likartade och avgränsa dessa från delar som härrör från en vägyta med andra egenskaper.

2.2 Det metodiska problemet

Det övergripande metodiska problemet för analysen av brytpunkter är att särskilja ‘substantiella’ ändringar i t.ex. medelvärdet av en mätserie från ‘slumpmässiga’ ändringar utan större betydelse. Om förekommande substantiella språng är mycket stora i förhållande till ‘bruset’ i mätserien, är det lätt att identifiera brytpunkterna. Är däremot ‘bruset’ så stort att det kan ligga i samma storleksordning som förekommande språng, så är det avsevärt mycket svårare att identifiera brytpunkter på ett tillförlitligt sätt.

Vi föreställer oss en situation där man har observerat t.ex. IRI på olika delar av en väg med lika stort avstånd i färdriktning mellan mätpunkterna. Då kan situationen se ut som den i figur 1. De första 7 mätpunkterna har ett IRI-värde om 2 mm/m, medan mätpunkterna 8 till 12 har ett IRI-värde om 3 mm/m.

(9)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n 1 2 3 4 IRI

Figur 1: Modell för en ‘perfekt’ mätserie med ett språng någonstans mellan observation 7 och 8.

Är distansen mätpunkterna emellan 20 meter, så täcker de sammanlagt 12 mätningarna 240 meter av vägen. De första 7 mätningarna omfattar de första 140 metrarna av vägen, och mätningarna 8 till 12 omfattar de sista 100 metrarna. Mellan mätning 7 och 8 finns ett språng där IRI-värdet övergår från 2 mm/m till 3 mm/m.

Exakt var övergången sker kan ej fastställas, eftersom det saknas mätvärden mellan observation 7 och 8. (Därmed kan det inte heller fastställas om övergången sker plötsligt eller gradvis mellan observation 7 och 8). Eftersom mätserien inte medger en närmare bestämning av språngets position i vägens längsled är det praktiskt att referera antingen till observation 7 eller till observation 8 som brytpunkt, beroende på om man vill referera till den sista observationen ‘till vänster’ eller till den första observationen ‘till höger’ om språnget i mätserien. Vi väljer här att referera till den sista mätpunkten ‘till vänster’ om språnget som brytpunkt. Således är brytpunkten enligt vår definition den sista observationen innan språnget, dvs. observation 7 i fallet som visas i figur 1.

Lägg märke till att brytpunkten delar vägen i sträckor med samma IRI, så att sträckorna mellan olika brytpunkter är homogena med avseende på IRI. Problemet att dela in vägen i homogena sträckor är således ekvivalent med problemet att identifiera brytpunkter i mätserien, eftersom k brytpunkter på ett entydigt sätt identifierar k + 1 homogena sträckor.

Verkliga mätserier är inte lika tydliga som den i den stiliserade situationen i figur 1. Istället finns det en hel del ‘brus’ med som givetvis försvårar upptäckten av brytpunkter. Figur 2 visar IRI-värden från riksväg 60 mellan Ludvika och Borlänge (data har tillhandahållits av VV).

Ett enkelt linjediagram som det som visas i figur 2 ger en mycket bra överblick över själva mätserien. Det är t.ex. tydligt att det finns en brytpunkt någonstans kring mätpunkt 160. Problemet är dock att det inte alltid är självklart hur en serie skall tolkas. Finns det en brytpunkt kring mätpunkt 50? Svaret på en sådan fråga beror mycket på om den subjektive betraktaren för tillfället koncentrerar sig på mätseriens ‘stora drag’ eller om hon/han ‘scannar av’ mätserien på ett mera detaljerat sätt.

(10)

50 100 150 200 250 n 1 2 3 4 IRI

Figur 2: IRI-värden (20 meter) från riksväg 60 mellan Ludvika och Borlänge. De 250 mätvärdena representerar c:a 5 kilometer av det högra körfältet. man för ögonblicket bortse ifrån att vägen i figur 2 är i mycket bra skick med avseende på IRI. Vilka ‘språng’ i mätserien som är av intresse beror helt och hållet på det konkreta problem man för tillfället står inför. Skulle man t.ex. vilja följa upp en underhållsåtgärd som man vet har omfattat sträckan mellan observation 50 och 100, så kan det mycket väl vara av intresse att detektera små skillnader i IRI.

Bortsett från mycket tydliga situationer är det svårt att bedöma om ett språng beror på ‘bruset’ i mätserien eller om det rimligen föreligger t.ex. ett nivåskifte för IRI-värdena.

2.3 Olika problemformuleringar

Problemet med att detektera ändringspunkter i en lång serie av observationer förekommer i många tillämpningar. Det går dock en tydlig skiljelinje mellan det så kallade on-line problemet och det så kallade oﬀ-line problemet. Det sistnämnda analyserar problemet utifrån en retrospektiv hållning, där hela mätserien är känd och man vill veta om, och i så fall var någonstans, en ändring sker i mätserien. Denna situation är den rådande inom PMS-tillämpningen.

On-line problemet däremot har sin utgångspunkt i en ström av inkommande observationer där man vill slå larm när det finns anledning att tro att processen som ger upphov till observationerna har ändrats. Observera att målet inte är att identifiera tidpunkten för ändringen, utan att identifiera situationer där man kan konstatera att en ändring har skett någonstans tidigare i mätserien. Typexemplet på en sådan tillämpning är övervakningen av en pågående produktionsprocess, där man stannar maskinerna för justering om vissa kriterier inte längre är uppfyllda (t.ex. toleranser i den tillverkade produkten). Sådana justeringar är kostsamma och man vill därför undvika ‘felaktiga’ avbrott i produktionsprocessen, samtidigt som man även vill undvika att tillverka allt för många undermåliga produkter. On-line problemet är inte den logiskt korrekta beskrivningen av problemet för PMS-tillämpningen.

Allmänna introduktioner till analys av ändringspunkter utifrån statistiska resonemang ges bl.a. av Zacks (1983) och Bhattacharya (1994).

(11)

2.4 Statistiska metoder

Vi använder här uttrycket statistisk metod i vid bemärkelse och syftar med ‘statistisk’ på förfaranden där mätserien faktiskt påverkar sträckindelningen. En icke-statistisk sträckindelning är t.ex. förfarandet där man alltid sammanför 20 stycken 20-meterssträckor till en 400-meterssträcka, oavsett mätvärdena för de sträckor som ingår i den resulterande 400-meterssträckan. Ett statistiskt förfarande beaktar däremot mätvärdena och tillåter dem att påverka resultatet av sträckindelningen, men behöver inte ha andra egenskaper utöver detta. I synnerhet behöver den inte bygga på övergripande statistiska teorier om tolkning av data.

Utifrån denna definition av statistisk metodik bygger alla tillståndsstyrda sträckindelningar på någon form av statistik metod. En enkel statistisk metod är t.ex. att alltid sätta en gräns om skillnaden mellan successiva mätningar överstiger en viss storlek.

Vi kommer inte att fördjupa oss i problematiken att utvärdera statistiska förfaranden. Ett sätt att åstadkomma förfaranden med goda egenskaper är att explicit modellera mätseriernas egenskaper och härleda ‘optimala’ förfaranden betingade på dessa antaganden. Verkliga mätvärden uppfyller dock aldrig de teoretiska krav man har på mätvärdena för att härleda modeller, och därför bör man på ett eller annat sätt verifiera att förfarandet har goda egenskaper även när verkliga mätserier analyseras.

Den i avsnitt 3.3 beskrivna metoden (som har utvecklats av författaren) bygger explicit på vissa antaganden om mätseriernas struktur, och på väl genomarbetade och övergripande idéer om hur information i data kan tolkas, se Thomas (2001). Metoderna som beskrivs i avsnitt 3.1 och 3.2 saknar däremot en tydlig beskrivning av vilka antaganden som bör vara uppfyllda för att metoderna skall ge tillfredställande resultat.

(12)

3 Metoder för tillståndsstyrd sträckindelning

För alla formler nedan gäller att vi utgår ifrån mätvärden som representerar lika långa delar av en väg. Detta antagande kan mildras, men är inte särskilt restriktivt för VV:s PMS, eftersom mätvärdena rapporteras in som 20-meters värden och avvikande längder egentligen endast förekommer i samband med den sista biten av ett vägavsnitt innan en geografisk referenspunkt påträﬀas.

3.1 AASHTO-guide (1986)

3.1.1 Allmänt

AASHTO-guiden (AASHTO 1986, Appendix J) redovisar ett förfarande som benämns kumulativa diﬀerenser. Mätvärdena kan representera olika långa vägavsnitt, men formlerna nedan är förenklade för det speciella fallet när mätvärdena representerar lika långa vägavsnitt. Det verkar som om författarna till AASHTO (1986) hade mätserier i åtanke där variationen kring ett tänkt medelvärde är relativt liten i förhållande till skillnaderna olika homogena sträckor emellan. Vidare så är man är endast intresserad av nivåändringar i en mätserie.

3.1.2 Beskrivning av proceduren

Låt x1, x2, . . ., xnbeteckna mätvärdena och låt ¯x = _n1

Pn

i=1xi beteckna deras

aritmetiska medelvärde. Låt z0 = 0 och beräkna

zk = k

X

i=1

xi− k ¯x , för alla k = 1, . . . , n. (1)

Denna formel ser lite annorlunda ut i AASHTO (1986), men kan skrivas på detta sätt som gör strukturen tydligare (se nedan). Observera att zn ≡ 0

eftersom ekvation (1) för k = n fås till zn = n X i=1 xi− n · 1 n n X i=1 xi | {z } definition av ¯x = n X i=1 xi− n X i=1 xi = 0

för alla n > 0 och godtyckliga värden på Pn_i=1xi.

Enligt AASHTO-guiden består analysen i att plotta zk vs. k och betrakta

denna serie av fallande och stigande sekvenser. En ändring av serien från fallande till stigande trend eller tvärtom indikerar en brytpunkt i mätserien. Detta kan endast betraktas som en grundregel, och vid en närmare granskning av t.ex. figur 3.4 i AASHTO (1986, sidan III-22) ser man att man där inte strikt följer den postulerade regeln, utan tillåter ‘kortvariga’ ändringar i trenden utan att konstatera en brytpunkt.

AASHTO-guiden beskriver inget exakt sätt att utvärdera den resulterande sekvensen, men denna utvärdering kan ske automatiskt om man kan formulera en entydig regel för när bytet av trenden skall anses som ‘substantiellt’.

(13)

AASHTO-guidens metodik kan beskrivas på följande sätt. Vi föreställer oss en mätserie som kommer från en enda homogen sträcka. Om man successivt summerar alla mätvärden så bidrager varje enskild mätpunkt i genomsnitt med medelvärdet av alla dessa mätvärden; således växer den kumulativa summan med i genomsnitt ¯x för varje mätvärde som tillförs. Detta utgör faktorn k ¯x i ekvation (1) för k = 1, . . . , n och tas som en slags standardisering av tillväxttakten i den kumulativa summan. Om det endast finns en enda homogen sträcka så håller sig den faktiska kumulativa summan Pk

i=1xi väldigt nära den genomsnittliga som ges av k ¯x för alla k = 1, . . . , n.

Men om det finns delar av vägen som ligger ovanför medelvärdet och delar av vägen som ligger nedanför medelvärdet, såsom är fallet när det finns ett flertal homogena sträckor, så finns det områden av k där sekvensen av den faktiska kumulativa summan Pk_i=1xi växer avsevärt snabbare eller långsammare än

sekvensen av den genomsnittliga tillväxten k ¯x. Följaktligen bör det vara möjligt att identifiera övergångspunkterna mellan homogena sträckor genom att identifierar ändringspunkter för trenden i serien z0, z1, . . . , zn, vilket ju

just är diﬀerensen mellan den faktiska summan och den ‘genomsnittliga’ summan (antagligen därav namnet kumulativa diﬀerenser som används i AASHTO-guiden).

3.1.3 Exempel

För resultatet av AASHTO-guidens analys för mätserien från RV60, se figur 3. Sekvensen av de kumulativa diﬀerenserna visas i nedre diagrammet i figur 3, och mätserien som har givit upphov till denna sekvens redovisas i det övre diagrammet i figur 3. Skalan som redovisas för de kumulativa diﬀerenserna är egentligen utan betydelse — det viktiga i denna sekvens är det relativa förloppet.

Det är rätt tydligt att den fallande trenden i början av serien byter till en stigande trend i punkt 161. Men man bör beakta att metodiken i AASHTO (1986) tvingar denna sekvens att börja vid noll och även avsluta vid noll. Det finns även andra områden där en fallande trend avlöses av en stigande trend (t.ex. kring 100, kring 125 eller kring 200) eller tvärtom (t.ex. kring 110, kring 135, eller kring 180). De kumulativa diﬀerenserna kan alltså inte tolkas automatiskt utan att man entydigt definierar vad som bör betraktas som en ‘substantiell’ trendändring.

En sådan definition kan vara följande. Punkten där trenden växlar från fallande till stigande utgör ett lokalt minimum i sekvensen av de kumulativa diﬀerenserna. Punkten där trenden växlar från stigande till fallande utgör istället ett lokalt maximum. Om vi kräver att dessa lokala extremvärden är extremvärden för ett fönster av en viss vidd som är centrerad kring extremvärdet, så kan vi undvika att ‘lokalt begränsade’ trendändringar ger upphov till brytpunkter. Väljer vi t.ex. en fönstervidd om 31 observationer (dvs. ett lokalt extremvärde ger upphov till en brytpunkt om minst 15 observationer till vänster och 15 observationer till höger av detta värde är mindre extremt än själva kandidaten), så erhåller man en sträckindelning som redovisas i figur 4.

(14)

0 50 100 150 200 250 observation 1 2 3 4 m m /m RV60 - IRI 0 50 100 150 200 250 observation -3 0 -2 5 -2 0 -1 5 -1 0 -5 0 k u m u la ti v a d if fe re n s e r

Metod enligt AASHTO-guide (1986)

Figur 3: Exempel på IRI-värden från en riksväg (övre diagrammet) och den resulterande sekvensen av kumulativa diﬀerenser enligt AASHTO (1986) (nedre diagrammet). Observera att trenden i denna serie upprepade gånger byter från fallande till stigande och tvärtom.

En regel som den här beskrivna tillåter att man automatiserar sträckindelningen. Men sträckindelningen kommer att vara helt beroende av vilken regel som tillämpas, och AASHTO (1986) ger inga förslag på sådana regler.

Figur 5 visar endast en del av mätserien från RV60 omfattande x61, . . . , x120. Observera att de resulterande kumulativa diﬀerenserna ser

annorlunda ut än motsvarande del i figur 4 som kan relateras till delsekvensen x61, . . . , x120; detta är bl.a. ett resultat av att AASHTO (1986) tvingar fram

en sekvens som börjar och slutar i noll. Lägg vidare märke till att den i figur 5 framträdande brytpunkten 93 inte identifieras som brytpunkt i figur 4. 3.1.4 Anmärkningar

Eftersom metodiken i AASHTO (1986) medför att serien av de kumulativa diﬀerenserna, z0, z1, . . . , zn, som första och sista element alltid har noll, dvs.

z0 = zn≡ 0, så tvingar man fram minst en övergång från stigande till fallande

tendens eller vice versa i varje mätserie där åtminstone ett mätvärde avviker från övriga mätvärden.

I praktiken är mätvärderna inte identiska även om sträckan av ingenjören anses vara homogen, och AASHTO-guidens metodik föreslår således alltid minst en tudelning av sträckan i två avsnitt om man inte lyckas ange

(15)

0 50 100 150 200 250 observation 1 2 3 4 m m /m RV60 - IRI 0 50 100 150 200 250 observation -3 0 -2 5 -2 0 -1 5 -1 0 -5 0 k u m u la ti v a d if fe re n s e r

99 108

122 131

161

Figur 4: Sträckindelning enligt AASHTO (1986) med en fönstervidd om 31 observationer, se text. Ju bredare fönstret är, desto färre brytpunkter (allt annat lika).

ytterligare krav på när man skall betrakta en ändring i tendensen från stigande till fallande eller vice versa som substantiell. AASHTO-guiden är i denna bemärkelse ej fullständig, eftersom den inte ge vägledning i denna fråga.

En kompletterande regel som tillåter att man på ett entydigt sätt identifierar ‘substantiella’ trendändringar torde vara betydligt mera invecklad än beräkningarna enligt ekvation (1), eftersom vad som bör utgöra en ‘substantiell’ indikation på en brytpunkt bland annat beror på längden av mätserien n, antalet homogena sträckor, och vad som kan beskrivas som ‘signal to noise ratio’ (förhållandet mellan seriens variabilitet kring en tänkt nivå och språngens storlek). Det är tveksamt om det går att formulera en regel som fungerar tillfredställande för nästan alla praktiskt förekommande situationer utan att vara databeroende. Om regeln tillåts bero på den aktuella mätserien som skall analyseras, så förlorar man självfallet den tilltalande enkelheten i AASHTO-guidens metodik.

Vidare bör beaktas att man utifrån serien z0, . . . , zn lätt kan rekonstruera

serien x1, . . . , xn genom att sätta x0n = zn− zn−1, x0n−1 = zn−1 − zn−2 osv.,

där den erhållna serien x0

1, . . . , x0n är identisk med den ursprungliga mätserien

x1, . . . , xn, bortsett från en möjlig nivåförskjutning av hela mätserien. Detta

förtydligar ytterligare att AASHTO-guidens metodik snarare är ett fiﬃgt sätt att presentera mätserien grafiskt för att underlätta upptäckten av brytpunkter än en analys som tillför någonting mera substantiellt till problemet.

(16)

60 70 80 90 100 110 120 observation 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 m m /m RV60 - IRI 60 70 80 90 100 110 120 observation -5 -4 -3 -2 -1 0 k u m u la ti v a d if fe re n s e r

93

Figur 5: Analys enligt AASHTO (1986) av en del av mätserien från RV60 omfattande x61, . . . , x120.

AASHTO-guidens metodik ger inga indikationer på hur ‘viktig’ en brytpunkt är. Vidare kan placeringen av en brytpunkt ändras om olika (överlappande) delar av en mätserie analyseras. Detta medför i praktiken stora problem, eftersom användaren konfronteras med många olika ‘förslag’ på placeringar av brytpunkter utan att få vägledning i hur viktiga dessa brytpunkter är eller hur de förhåller sig till varandra.

3.2 Rübensam och Schulze (1996)

3.2.1 Allmänt

Rübensam och Schulze (1996) föreslår en metodik för att gruppera vägavsnitt som är i liknande tillstånd och tillräckligt långa för att hanteras som objekt för underhållsåtgärder. Deras arbete är mera omfattande än vad som redovisas nedan; i synnerhet kompletteras den nedan beskrivna proceduren med olika tester av huruvida vissa kriterier är uppfyllda eller ej.

Ett av dessa kriterier är tänkt att avhjälpa problemet med att deras algoritm inte upptäcker ‘smygande’ ändringar i mätseriens nivå.

Rübensam och Schulze (1996) koncentrerar sig på mätserier för tyska Autobahn och det verkar som om mätvärdena ofta representerar c:a 100 meter långa vägavsnitt. Vidare verkar Rübensam och Schulze (1996) i huvudsak vara intresserade av skillnader i nivån hos en mätserie och inte i andra egenskaper såsom mätseriens variabilitet.

(17)

Låt x1, x2, . . ., xn beteckna mätvärdena. Beräkna sedan en utjämnad serie

genom att bygga upp aritmetiska medelvärden av ett mätvärde och dess q grannar till höger och vänster (detta ‘fönster’ är således 2q + 1 mätpunkter brett), dvs. beräkna yi = 1 2q + 1 i+q X j=i−q xj för alla i = q + 1, . . . , n − q. (2)

Därefter beräknas en absolut diﬀerens, som associeras till mätpunkt i, som zi =|yi−d− yi+d| för alla i = d + q + 1, . . . , n − q − d. (3)

Observera att q och d är heltal, och att dessa kan vara olika. Rübensam och Schulze (1996) väljer i ett inledande exempel q = d = 3, men dessa parametrar utgör en del av kalibreringen av algoritmen och bör därför anpassas till VV:s mätserier.

Brytpunkterna identifieras sedan utifrån serien zd+q+1, . . . , zn−q−d (som

således är n − 2 (q + d) element lång) med hjälp av följande teknik. Välj ett kritiskt värde Zkrit och identifiera de delar av serien zd+q+1, . . . , zn−q−d

som överstiger Zkrit. Leta rätt på elementet med det största värdet inom

varje sammanhängande avsnitt som överstiger Zkrit. Detta element indikerar

placeringen av en brytpunkt. Observera att förfarandet kräver mätserier där n _{≥ 2 (d + q) + 1.}

Rübensam och Schulzes (1996) metodik kan beskrivas på följande sätt. Använd först ett glidande medelvärde (symmetriskt sådant) för att jämna till mätserien så att det blir lättare att se det övergripande mönstret. Titta sedan på de absoluta skillnaderna i de utjämnade mätvärdena en bit bort från varandra för att se hur mycket de ändras. Om mätserien ändrar nivå, så kommer detta att slå igenom i den utjämnade serien som relativt stora skillnader i utjämnade värden en bit ifrån varandra. Bestäm sedan vad som skall uppfattas som en stor skillnad (genom att välja Zkrit) och identifiera de

punkter där skillnaderna är som störst (givet att de överhuvudtaget klassas som stora). Utgå ifrån att placeringen av brytpunkten sammanfaller med lokaliseringen av just denna maximala skillnad.

3.2.3 Exempel

Figur 6 visar en analys av 250 IRI-värden från riksväg 60 med q = d = 3 och ett kritiskt värde Zkrit = 1, 0. Den utjämnade serien y4, . . . , y247 visas

som punkterad linje i det övre diagrammet, och serien z7, . . . , z244 i det nedre

diagrammet tillsammans med det kritiska värdet Zkrit som utlöser sökandet

efter lokala maxima.

Observera att den resulterande serien z7, . . . , z244 är förhållandevis lik

själva mätserien, vilket är ett resultat av den relativt måttliga utjämningen med q = d = 3.

(18)

0 50 100 150 200 250 observation 1 2 3 4 m m /m RV60 - IRI 0 50 100 150 200 250 q = 3, d = 3 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 1 .2 a b s o lu t d if fe re n s kritiskt värde: 1,0

Absoluta differenser enligt Rübensam och Schulze (1996)

214

Figur 6: Analys enligt Rübensam och Schulze (1996) med q = d = 3 och Zkrit= 1, 0. VV:s mätserie visas i det övre diagrammet tillsammans med den

utjämnade serien (punkterad linje). Det nedre diagrammet visar förloppet för serien z7, . . . , z244 och det kritiska värde som utlöser sökningen efter det lokala

maximivärdet. I detta fall identifieras endast en brytpunkt, närmare bestämt observation 214.

Figur 7 visar analysen med q = d = 15, vilken leder till en kraftigare utjämning och en serie z21, . . . , z220 som framhäver brytpunkten i observation

161. Lägg märke till att denna brytpunkt inte hade konstaterats om man hade bibehållit det kritiska värdet Zkrit = 1, 0 från figur 6.

Figur 8 och figur 9 visar resultaten av en analys med q = d = 15 som i figur 7, med de kritiska värdena 0, 242 respektive 0, 28. Detta leder till fem respektive åtta brytpunkter, vilket visar hur känslig algoritmen är för valet av det kritiska värdet. Vidare visar detta exempel att en höjning av det kritiska värdet mycket väl kan medföra en ökning av antalet brytpunkter.

Figur 10 visar en analys av en del av riksväg 60. Lägg märke till att endast den korta serien som redovisas i det nedre diagrammet i figur 10 utgör delen med identifierbara brytpunkter, och att det ‘faller bort’ förhållandevis många observationer till höger och vänster.

3.2.4 Anmärkningar

Rübensam och Schulzes (1996) algoritm beräknar en ny serie genom valet av q och d. Sättet på vilket detta sker garanterar att samma resultat erhålles när endast en delmängd av serien analyseras. Skulle man t.ex. analysera en

(19)

161

Figur 7: Analys enligt Rübensam och Schulze (1996) med q = d = 15 och Zkrit= 0, 5.

lång mätserie x1, . . . , x2000, och sedan delserien x201, . . . , x700, så erhåller man

samma mönster för den resulterande serien som går att räkna fram för båda delarna. Detta medför i sin tur att man kommer att dra samma slutsats angående antalet brytpunkter om man tillämpar samma kritiska värde Zkrit.

Resultatet av analysen verkar vara relativt känsligt för valet av q och d, och det måste beaktas att serien zd+q+1, . . . , zn−q−d som faktiskt utvärderas

endast är n − 2 (q + d) element lång. Detta innebär att ett relativt stort antal observationer ‘går förlorade’, t.ex. förblir hela 60 observationer ‘oanalyserade’ för q = d = 15, och av exempelvis 70 mätvärden kan brytpunkter överhuvudtaget hittas för endast tio värdena i mitten av mätserien. Detta är på något sätt en artefakt från bl.a. det glidande medelvärdet, och problemet kunde mildras genom att mätseriens ändpartier hanterades annorlunda.

Resultatet av analysen enligt Rübensam och Schulze (1996) är mycket beroende på valet av det kritiska värdet Zkrit. I synnerhet kan Zkrit inte

betraktas som en ‘ribba’ där fler och fler brytpunkter sorteras bort när man höjer denna ribba tills endast de mest tydliga brytpunkterna återstår. Detta eftersom antalet brytpunkter inte är en avtagande funktion av ‘ribban’ Zkrit,

något som visades genom ett exempel ovan (figur 8 och 9).

En övergripande kommentar till förfarandet i Rübensam och Schulze (1996) är att ett glidande medelvärde suddar ut exakt den information som är som mest värdefull för detekteringen av en brytpunkt. Ett plötsligt språng i mätserien är som tydligast mellan direkta grannar i mätserien.

(20)

101 131 161 204 214

Figur 8: Analys enligt Rübensam och Schulze (1996) med q = d = 15 och Zkrit= 0, 242. 0 50 100 150 200 250 observation 1 2 3 4 m m /m RV60 - IRI 0 50 100 150 200 250 q = 15, d = 15 0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 a b s o lu t d if fe re n s kritiskt värde: 0,28

8084 101 131 149 161 204 214

Figur 9: Analys enligt Rübensam och Schulze (1996) med q = d = 15 och Zkrit= 0, 28.

(21)

60 80 100 120 observation 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 m m /m RV60 - IRI 60 80 100 120 q = 15, d = 15 0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 a b s o lu t d if fe re n s kritiskt värde: 0,3

84 101

Figur 10: Analys enligt Rübensam och Schulze (1996) för en del av mätningarna från RV60 med q = d = 15 och Zkrit= 0, 3.

Det är således skillnaderna mellan successiva mätvärden som bär på den mest värdefulla informationen för detekteringen av brytpunkter. Just dessa skillnader suddas dock ut i och med att man blandar in fler grannar till höger och vänster om varje område, innan man börjar utvärdera serien med avseende på brytpunkter.

3.3 Bayesiansk metodik (Thomas 2003)

3.3.1 Allmänt

Thomas (2001) har utvecklat en formell inferens om brytpunkter som är baserad på en statistisk modell av VV:s mätserier som även försöker fånga ‘bruset’ i dessa mätserier. Att beskriva ‘bruset’ med hjälp av sannolikhetsteorin betyder ingalunda att man förnekar eventuella kausala orsaker som ger upphov till detta ‘brus’. Snarare använder man sig av sannolikhetsteorin för att beskriva den del av mätserien som man inte kan förklara med hjälp av den tillgängliga informationen.

Om man utgår ifrån en modell som beskriver mätseriens struktur under antagandet att det inte finns någon brytpunkt, samt en modell som beskriver mätseriens struktur under antagandet att det finns en brytpunkt, så kan man jämföra dessa modellers ‘rimlighet’. Vidare kan man jämföra modellerna som placerar brytpunkten på olika ställen i mätserien. På detta sätt kan man få en uppfattning om existensen av en brytpunkt samt den troliga placeringen

(22)

av en brytpunkt, givet att en sådan finns någonstans i mätserien. Förfarandet kan beskrivas med följande tre steg:

1. Formulera en modell som ger upphov till en simultan täthet för observationerna.

2. Beräkna modellens rimlighet betingat på de faktiska observationerna (och modellantaganden).

3. Jämför olika modeller med varandra med hänsyn till de faktiska observationerna.

De modeller som formaliseras är modellen utan brytpunkt samt alla möjliga modeller som placerar exakt en enda brytpunkt i en given mätserie. I varje steg i analysen väljer man endast bland dessa modeller. Om mätserien innehåller ett flertal brytpunkter, så är det fullt möjligt att modellen utan brytpunkt hur som helst är bättre än någon av modellerna som tvingar fram exakt en brytpunkt.

Beteckningen ‘Bayesiansk’ syftar på ett speciellt sätt att härleda statistiska procedurer utifrån en viss grundläggande teori om hur information bör extraheras från mätserier, se t.ex. O’Hagan (1994).

Metodiken som redovisas nedan är en något förenklad version av den som beskrivs i Thomas (2003). Denna förenkling bör inte spela någon roll för praktiska analyser av VV:s mätserier.

Proceduren bygger på vissa antaganden om hur mätserierna ‘är’. Observationerna bör vara normalfördelade betingat på den gemensamma nivån hos den homogena sträckan, men det får förekomma ett beroende mellan successiva mätvärden.1 _{Mätseriens variabilitet kring ett medelvärde får vara}

olika för olika delar av mätserien. Likaså får beroendet mellan successiva mätpunkter vara olika starkt i olika delar av mätserien.

Sträckor anses vara homogena om mätserien uppvisar samma gemensamma nivå och samma variabilitet kring denna nivå, samt samma beroende mätpunkterna sinsemellan. Om så inte är fallet anses en sträcka inte vara homogen. En plötslig ändring av variabiliteten i mätserien indikerar således en brytpunkt, även om mätseriens nivå skulle vara oförändrad.

Låt x1, . . . , xn vara observationer som uppfyller kraven ovan, och låt r

beteckna placeringen av exakt en brytpunkt i mätserien. För den specifika modellen nedan måste det finnas åtminstone 3 observationer till vänster om en möjlig brytpunkt r och 4 till höger om r, dvs. 4 ≤ r ≤ n − 4. Beräkna sedan ¯ x_ht,ri= (r_{− 1)}−1Pr_t=2xt, x¯ht−1,ri = (r− 1)−1Prt=2xt−1, ¯ x_ht,n−ri= (n_{− r − 1)}−1Pn−1_t=r+1xt, ¯xht+1,n−ri = (n− r − 1)−1 Pn−1 t=r+1xt+1, ¯ x_ht,ni= (n_{− 2)}−1Pn−1_t=2 xt, x¯ht−1,ni = (n− 2)−1 Pn−1 t=2 xt−1,

1_{Villkoret är att mätserien från en homogen sträcka måste kunna approximeras med en}

(23)

och R_ht,ri = Pr_t=2¡xt− ¯xht,ri ¢2 , R_ht,n−ri = Pn−1_t=r+1¡xt− ¯xht,n−ri ¢2 , Rht,ni = Pn−1t=2 ¡ xt− ¯xht,ni ¢2 , R_{h(t,t−1),ri} = Pr_t=2¡xt− ¯xht,ri ¢¡ x_t−1_{− ¯x}_ht−1,ri¢, R_{h(t,t+1),n−ri} = Pn−1_t=r+1¡xt− ¯xht,n−ri ¢¡ xt+1− ¯xht+1,n−ri ¢ , R_{h(t,t−1),ni} = Pn−1_t=2¡xt− ¯xht,ni ¢¡ x_t−1_{− ¯x}_ht−1,ni¢, R_ht−1,ri = Pr_t=2¡x_t−1_{− ¯}x_ht−1,ri¢2, Rht+1,n−ri = Pn−1t=r+1 ¡ xt+1− ¯xht+1,n−ri ¢2 , R_ht−1,ni = Pn−1_t=2¡x_t−1_{− ¯x}_ht−1,ni¢2,

Observera att indexen hti, hri, hn − ri, osv. i t.ex. ¯xht,ri eller Rht,ri endast är

avsedda att beskriva vilken del av mätserien som används för beräkningarna. Beräkna sedan följande så kallade Bayes-faktorer, Br0, för alla r (där Γ (·)

betecknar gamma-funktionen) Br0= _{4 π}1 q 3 2 ³ n−2 (r−1)(n−r−1) ´_{1/2 Γ}₍r−3 2 )Γ( n−r−3 2 ) Γ₍n−4₂ ₎ R_ht−1,ni √_R ht−1,ri·Rht+1,n−ri × × · R_ht,ni₋(Rh(t,t−1),ni) 2 R_ht−1,ni ¸n−6 2 · R_ht,ri₋ (Rh(t,t−1),ri) 2 R_ht−1,ri ¸r−3 2 · R_ht,n−ri₋ (Rh(t,t+1),n−ri) 2 R_ht+1,n−ri ¸n−r−3 2 . (4)

Sannolikheten för att det finns en brytpunkt någonstans i mätserien erhålles därefter som

p(ändring) =

P

alla rBr0

(n_{− 7) +}P_{alla r}Br0

. (5)

Givet att man finner det lämpligt att placera exakt en brytpunkt någonstans i serien (baserat på p(ändring) ovan), så erhåller man sannolikhetsfördelningen för denna placering genom standardisering av Bayes-faktorerna, dvs. som

p(r) = P Br0

alla r0Br00

. (6)

Ovan givna formler bygger på vissa antaganden som finns redovisade i detalj i Thomas (2003). Antagandena är väsentligen en formalisering av idén att inte tillföra analysen information utöver den som finns i själva mätserierna. 3.3.3 Exempel

De formella kraven som finns på serierna som skall analyseras enligt Thomas (2003) gör att man kan förbättra analysresultaten genom att transformera VV:s mätserier, t.ex. genom att logaritmera dessa mätserier. Figur 11 och

(24)

0 50 100 150 200 250 observation -0 .5 0 .0 0 .5 1 .0 lo g (m m /m ) RV60 - log(IRI) 0 50 100 150 200 250 placeringen av brytpunkten 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 s a n n o lik h e t

Sannolikhetsfördelning för exakt en brytpunkt

161

p(ändring) = 0.95

Figur 11: Analys av den logaritmerade IRI-serien från RV60 enligt Thomas (2003). Som framgår av sannolikhetsfördelningen över alla möjliga placeringar av exakt en brytpunkt (nedre diagrammet) så är observation 161 en stark kandidat för en sådan placering. Sannolikheten att det överhuvudtaget finns en brytpunkt någonstans i serien är beräknad till 0, 95.

figur 12 redovisar sådana logaritmerade värden och de redovisade analyserna bygger på dessa transformerade serierna.2

Figur 11 visar IRI-mätserien från riksväg 60, men i den logaritmerade formen. Som framgår av sannolikhetsfördelningen över alla möjliga placeringar av exakt en brytpunkt (nedra diagrammet) så är observation 161 en stark kandidat för en sådan placering. Sannolikheten att det överhuvudtaget finns en brytpunkt någonstans i serien är beräknad till 0, 95. Figur 12 visar analysen baserad på endast en del av mätserien. Observera att 93 är den mest rimliga placeringen av exakt en brytpunkt, men att stödet för en brytpunkt är mycket svagt med en sannolikhet av endast 0, 07. Det är alltså mycket troligare att det inte finns någon brytpunkt i mätserien än att det finns exakt en.

Det är viktigt att hålla isär dessa två bedömningar: sannolikheten som betecknas som p(ändring) i det nedre diagrammet (0, 07) beskriver rimligheten av att placera exakt en brytpunkt någonstans i mätserien vs. att inte placera någon brytpunkt överhuvudtaget. Sannolikhetsfördelningen som indikerar 93

2_{Alternativt kan man förstås betrakta transformationen som en integrerad del av}

algoritmen, och utvecklingen av en lämplig transformation som en ‘kalibrering’ av förfarandet.

(25)

60 70 80 90 100 110 120 observation -0 .6 -0 .4 -0 .2 -0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 lo g (m m /m ) RV60 - log(IRI) 60 70 80 90 100 110 120 placeringen av brytpunkten 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 0 .2 5 s a n n o lik h e t

Sannolikhetsfördelning för exakt en brytpunkt

93

p(ändring) = 0.07241

Figur 12: Analys enligt Thomas (2003) för en del av mätserien. Observera att 93 är den mest rimliga placeringen av exakt en brytpunkt, men att stödet för en brytpunkt är mycket svagt med en sannolikhet av endast 0, 07. Det är således mycket troligare att det inte finns en brytpunkt i mätserien än att det finns exakt en sådan brytpunkt.

som rimlig kandidat är däremot en så kallad betingad fördelning, där man insisterar på att placera exakt en brytpunkt (man betingar på existensen av exakt en brytpunkt).

3.3.4 Anmärkningar

I längre mätserier finns det så gott som alltid ett flertal brytpunkter. Avser man att använda metodiken enligt Thomas (2003) på sådana mätserier måste man antingen kombinera förfarandet med andra förfaranden som avgränsar områden med troligen högst en brytpunkt, eller så måste man använda förfarandet iterativt på något sätt, så att rimliga resultat erhålles även för långa mätserier.

Som redan nämnts så gynnas analysen av att mätserierna transformeras innan de analyseras enligt Thomas (2003). Statistiska förfaranden för att utvärdera transformationer finns tillgängliga (Atkinson and Cox 1988; Kaskey et al. 1980), och nödvändigheten av att identifiera bra transformationer bör därför inte betraktas som ett stort problem. Identifierar man en lämplig transformation för mätserien finns det härutöver inga parametrar som måste ‘kalibreras’.

(26)

Bortsett från nivåändringarna i mätserien så ger även ändringar i variabiliteten eller ändringar i beroendet mätpunkterna emellan upphov till brytpunkter. Detta är en konsekvens av att alla dessa ändringar tyder på att mätserien ändras och att den således inte beskriver en enda homogen vägsträcka.

Det är upp till användaren att bedöma vilka ändringar som är av intresse för en konkret frågeställning. Är man t.ex. intresserad av att beskriva delar av en väg som inte uppfyller kraven på jämnhet, så är alla nivåändringar i IRI-serien långt under en given kritiskt nivå ointressanta i sammanhanget. Men följer man exempelvis upp en del av en väg efter en underhållsåtgärd, så kan det mycket väl vara så att alla tecken på skillnader till angränsande vägavsnitt är av intresse, även ändringar i t.ex. variabiliteten i mätserien vid bibehållen nivå. En sådan ‘efterbearbetning’ av resultaten kan självfallet ske automatiskt.

3.4 Övriga metoder

Som redan nämnts i avsnitt 2.3, så förekommer problemet med att detektera ändringspunkter i många tillämpningar. I synnerhet är en on-line detektering av någon form av ändring av intresse inom tillverkningsindustrin (produktionskontroll), medicinen (automatiserad övervakning av patienter), militären (“tracking of moving targets”) osv. Ett vanligt tillvägagångssätt är att utvärdera en serie av kumulativa summor av något slag, och sådana metoder går därför under akronymen CUSUM från det engelska “cumulative sums”, se Goel (1982) för en allmän beskrivning av dessa procedurer.

Som redan påpekats i avsnitt 2.3, så är ett sådant on-line perspektiv inte logiskt korrekt för problemet med en tillståndsstyrd sträckindelning. Hur som helst så förekommer CUSUM procedurer i diskussionen och även metodiken beskriven i AASHTO (1986) verkar ha inspirerats av dessa procedurer.

Som en möjlig CUSUM-procedur föreslår Barnard (1959) att observera den kumulativa summan av avvikelserna av en kvantitet från ett externt givet målvärde, xmål, dvs. att observera

k

X

i=1

(xi − xmål) . (7)

Man kan skriva ekvation (1) baserad på AASHTO (1986) som zk= k X i=1 xi− k ¯x = k X i=1 xi− k X i=1 ¯ x = k X i=1 (xi− ¯x) , (8)

vilket påvisar den strukturella likheten mellan ekvation (7) och ekvation (8). Skillnaden är att ett externt givet målvärde, xmål i ekvation (7), ersätts i

AASHTO (1986, Appendix J) med ett databeroende aritmetiskt medelvärde, ¯

x i ekvation (8).

Den statistiska analysen av CUSUM-procedurer består egentligen inte i att visa dessa summor på ett grafiskt sätt, utan istället i att säga någonting

(27)

om rimliga fluktuationer av t.ex. summan definierad i ekvation (7) under antagandet att produktionsprocessen fortfarande levererar produkter som uppfyller målvärdet. Denna kunskap kan sedan användas för att konstruera t.ex. så kallade “V-masks” för diagram i kvalitetskontrollen. Vet vi hur produktionsprocessen uppför sig när alla maskiner är väl kalibrerade, så har vi möjlighet att säga någonting om hur summan enligt ekvation (7) uppför sig när allt är “som det skall”. Utifrån denna kunskap kan man konstruera statistiska test som skall avslöja när det blir orimligt att tro att “allt är som det skall”. Kärnan i proceduren ligger således i att kunna säga någonting vettigt om själva den kumulativa summan.

Betrakta nu summan enligt AASHTO (1986) i ekvation (8). Där har vi dels mätningarna xi men även hela mätseriens medelvärde ¯x. För att kunna

använda AASHTO (1986, Appendix J) på ett automatiserat sätt måste vi kunna säga någonting vettigt om summan definierad i ekvation (8). Detta är ett svårare problem än i on-line detekteringen av avvikelser i väl kontrollerade produktionsprocesser, och AASHTO (1986, Appendix J) för inget resonemang i frågan.

Sammanfattningsvis kan konstateras att metoden i AASHTO (1986) kan tolkas som en “oﬀ-line variant” av en on-line CUSUM procedur från 1959. Men eftersom det inte finns några resultat tillgängliga för hur den i AASHTO (1986, Appendix J) konstruerade summan uppför sig, så kan vi inte konstruera en statistisk procedur med kända egenskaper som baseras på denna summa.

CUSUM-procedurer utgör en central del av den industriella statistiken. Det är därför troligt att man kan konstruera CUSUM-procedurer för problemet att åstadkomma en tillståndsstyrd sträckindelning. Lièvre (1995) beskriver exempelvis en procedur som bygger på kvoten av två summor och ger resultat för hur summan uppför sig under vissa antaganden om mätvärdenas fördelning.

Det bör dock observeras att on-line CUSUM-procedurer aldrig kan vara ‘bäst’, eftersom de bygger på en problemformulering som är logiskt felaktigt i samband med en tillståndsstyrd sträckindelning, se avsnitt 2.3.

Rouillard, Bruscella och Sek (2000) beskriver vägytornas ojämnhet med hjälp av mätserier som ligger mycket närmare mätbilens ‘rådata’ än VV:s IRI-serier. I samband med denna procedur utvecklar Rouillard et al. (2000) ett förfarande för att identifiera vägavsnitt som är likartade med avseende på deras mått på ojämnhet. Delar av detta förfarande kan eventuellt överföras till VV:s mätserier.

(28)

4 Jämförelse av metoderna

Nedan jämförs metoderna enligt AASHTO (1986), Rübensam och Schulze (1996) och Thomas (2003) med avseende på några egenskaper av intresse för en tilltänkt implementering inom VV:s PMS.

Metoden enligt Thomas (2003) måste anses vara färdigutvecklad för en implementering där kortare vägavsnitt studeras ingående och där dessa vägavsnitt plockas fram manuellt av användaren; denna typ av användning är väl dokumenterad för såväl VV:s IRI-mätningar som VV:s spårmätningar. Nedan koncentrerar vi oss således på aspekter av betydelse för en automatiserad indelning av hela det statliga vägnätet.

4.1 Definition av homogenitet

Såväl AASHTO (1986) som Rübensam och Schulze (1996) verkar utgå ifrån situationer där en lång mätserie med konstant variabilitet ändrar nivån i samband med förändringar av vägbanan. Argumentationen i dessa publikationer föranleder misstanken att utgångspunkten för konstruktionen av algoritmerna var idealiserade mätserier som helt saknar variation i mätvärdena (givet en viss nivå). Metoderna förutsätts sedan ‘klara av’ ett visst mått av variation som förekommer i verkliga mätserier.

Metodiken enligt Thomas (2003) har däremot sin utgångspunkt i en beskrivning av mätseriernas statistiska struktur i termer av medelvärde, varians och autokorrelation (dvs. beroendet mätpunkterna sinsemellan). VV:s mätserier för IRI och spår uppvisar betydande ändringar i alla dessa tre egenskaper och det är inte ovanligt att t.ex. variansen ökar markant utan att mätseriens nivå påverkas. Som en konsekvens av detta är alla dessa värden en integrerad del av analysen och en mätserie anses sakna brytpunkt om medelvärde, varians och autokorrelation är oförändrade i hela mätserien.

Det är viktigt att förstå att Thomas (2003) identifierar vägavsnitt som ger upphov till mätserier med samma statistiska egenskaper, och att nivån i en mätserie endast är en sådan egenskap. AASHTO (1986) och Rübensam och Schulze (1996) ignorerar däremot alla egenskaper utöver nivån i mätserien.

En indelning efter Thomas (2003) kräver därför någon slags (enklare) efterbearbetning ifall man önskar ignorera alla ändringar i mätserier utöver ändringar i nivån. Det kan även vara rimligt att koncentrera uppmärksamheten på nivåskillnader som överstiger en viss storlek.

AASHTO (1986) och Rübensam och Schulze (1996) gör däremot ingen distinktion mellan det statistiska problemet att dela in vägen i likartade sträckor och det praktiska problemet att plocka fram endast de skillnader som är av intresse för en viss typ av undersökning/analys. Enligt Thomas (2003) erhåller man en enda statistisk indelning av vägsträckor som kan och bör representeras på olika sätt beroende på den konkreta frågeställningen. En sådan frågeställning är självfallet IRI-nivån och spårdjupet på olika delar av vägnätet, men andra frågeställningar är möjliga.

(29)

4.2 ‘Kalibrering’ av algoritmerna

Innan metoderna kan användas måste de testas på VV:s mätserier för IRI och spår. Detta förutsätter att metoderna enligt AASHTO (1986) och Rübensam och Schulze (1996) ‘kalibreras’ på rätt sätt samt att det hittas en transformation av mätserierna för analysen enligt Thomas (2003).

Eftersom Thomas (2003) ger exakta krav på mätseriernas beskaﬀenhet kan man använda väl utvecklad statistisk metodik för att härleda en bra transformation för mätserierna (Atkinson and Cox 1988; Kaskey et al. 1980). Metodiken i Thomas (2003) har utvecklats utifrån VV:s mätserier och arbetet i Thomas (2001) exemplifieras genomgående med VV:s mätserier. Det bör således inte vara något större problem att identifiera transformationer som fungerar tillfredställande för samtliga VV:s mätserier.3

‘Kalibreringen’ av algoritmerna enligt AASHTO (1986) och Rübensam och Schulze (1996) torde vara ett avsevärt bekymmer. Skälet för detta är att variabiliteten i en mätserie kan skifta mycket mellan olika delar av serien. Exempelvis borde därför det glidande medelvärdet i Rübensam och Schulze (1996) bero av variabiliteten i mätserien och ändras när denna variabilitet ändras. Således blir denna kalibrering databeroende och man behöver utveckla regler för hur kalibreringen skall bero på varje enskild mätserie och antagligen även på mätseriens olika delar. Sådana regler torde vara tämligen invecklade. Författarens egna försök med metodiken från Rübensam och Schulze (1996) tyder på att det med lite ‘trial and error’ går att bestämma värden för q, d och Zkrit, som verkar ger rimliga resultat för en konkret mätserie,

men att samma värden ger mycket märkliga resultat för andra mätserier. Författaren känner inte till att metodiken enligt Rübensam och Schulze (1996) används i praktiken, och har inte stött på någon person som anser sig ha kalibrerat algoritmen på ett tillfredställande sätt för mätserier som liknar dem VV hanterar.

Ett liknande problem med kalibreringen finns för metodiken enligt AASHTO (1986), där det är oklart hur man skall utvärdera den framräknade serien av kumulativa diﬀerenser. AASHTO (1986) presenterar snarare en transformation av mätserien som kan vara till hjälp för en manuell indelning av vägen i homogena sträckor än ett förfarande som lämpar sig för en automatiserad sträckindelning.

4.3 Information om brytpunkter

I detta delavsnitt utgår vi ifrån att alla tre metoder fungerar tillfredsställande, dvs. att man har lyckats att kalibrera algoritmerna (se ovan).

AASHTO (1986) och Rübensam och Schulze (1996) resulterar i en enda indelning av vägen i sammanhängande sträckor. Hur entydig vissa brytpunkters placering är kan inte härledas utifrån dessa algoritmer.

Metoden i Thomas (2003) ger ett mått på de relativa meriterna hos

3_{Även metoderna enligt AASHTO (1986) och Rübensam och Schulze (1996) skulle}

(30)

alternativa placeringar av en brytpunkt (inom ett avgränsat område), men denna information torde inte vara särskild viktig i samband med en automatiserad indelning av hela vägnätet. Men med tanke på att den automatiska indelningen kommer att studeras närmare vid underhållsplaneringen på objektnivå, så kan det vara en fördel att ändå använda sig av i princip samma metod för den automatiska sträckindelningen som för den som används vid en närmare granskning av vissa delar av en väg. Detta p.g.a. att tilliten till den automatiserade sträckindelningen kan ifrågasättas om en närmare granskning av en vägs delområden regelbundet leder till en omvärdering av denna indelning.

Metoden enligt Thomas (2003) kan inte användas rakt av för situationer med flera brytpunkter, utan måste kombineras med ett sätt att identifiera områden i en mätserie som antagligen innehåller högst en brytpunkt. En sådan metod är för tillfället under utvärdering med hittills lovande prestation; detta angreppssätt kommer att avrapporteras på annan plats.

4.4 Övriga aspekter

Det finns några övergripande frågeställningar som måste besvaras innan en automatiserad sträckindelning kan implementeras. En sådan frågeställning är vilka krav man har på mätserierna som skall analyseras. Egentligen skall VV:s mätserier vara ‘fullständiga’ efter att ha passerat en kvalitetskontroll, dvs. det bör inte finnas några ‘missing values’. Författarens erfarenhet är dock att sådana ‘missing values’ förekommer även i mätserierna som är inlagda i VV:s PMS. Det torde vara önskvärt att ersätta enskilda ‘missing values’ med någon form av imputerade värden, medan sammanhängande sekvenser av ‘missing values’ bör flaggas som icke analyserade p.g.a. saknade data.

Mätserierna för såväl IRI som spår uppvisar i praktiken en del ‘outliers’. Detta torde ofta vara verkliga ‘outliers’ i statistisk mening, dvs. observationer som inte härrör från den vanliga vägytan men istället från broskarvar och dyligen. Dessa ‘outliers’ bör identifieras och hanteras innan man använder mätserien för en sträckindelning. Efter att man har erhållit sträckindelningen bör dessa ‘outliers’ kontrolleras och algoritmen bör flagga för de identifierade ‘outliers’.

Många av dessa ‘outliers’ är återkommande i de årliga mätserierna. Det är därför önskvärt att identifiera dessa punkter som är av ett särskilt intresse inom VV:s underhållsarbete.

(31)

5 Slutsatser

För att åstadkomma en tillståndsstyrd sträckindelning av hela det statliga vägnätet krävs en metod som kan hantera långa mätserier med ett stort antal brytpunkter. Två metoder som har utvecklats med detta ändamål i åtanke har beskrivits, närmare bestämt metoden enligt AASHTO (1986) och metoden enligt Rübensam och Schulze (1996).

Den i avsnitt 3.1 beskrivna metoden enligt AASHTO (1986) ger ingen fullständig lösning på problemet, eftersom den inte på ett exakt sätt beskriver hur den framräknade serien av kumulativa diﬀerenser skall tolkas. Just denna tolkning utgör dock det egentliga problemet, och för att automatisera en sträckindelning måste det finnas en exakt beskrivning av hur de kumulativa diﬀerenserna skall tolkas.

Rübensam och Schulze (1996) ger en fullständig algoritm som tar en lång mätserie som ingångsvärde och returnerar exakta avgränsningar sträckorna emellan. Den erhållna lösningen beror av tre parametrar som måste ‘kalibreras’. Denna kalibrering är tänkt att ske med hjälp av verkliga mätserier. En framgångsrik kalibrering förutsätter att man kan bestämma värden för dessa parametrar som ger rimliga resultat för alla mätserier av intresse för VV. Det är tveksamt om en sådan uppsättning av ‘kalibreringsparametrar’ går att identifiera för VV:s mätserier. Vidare har algoritmen vissa egenskaper som verkar vara kontraintuitiva, se avsnitt 3.2 för detaljerna.

Den i avsnitt 3.3 närmare beskrivna metoden enligt Thomas (2003) skiljer sig från de ovan nämnda två metoderna i ett flertal avseenden. Först och främst så är Thomas (2003) inte avsedd att tillämpas för situationer där många brytpunkter förekommer. Algoritmen är ‘lokal’ i den bemärkelsen att endast delavsnitt av en lång mätserie, som rimligen innehåller högst en brytpunkt, bör analyseras.

En annan viktig skillnad mellan Thomas (2003) och AASHTO (1986) respektive Rübensam och Schulze (1996) är att Thomas (2003) explicit utgår ifrån en statistisk modell för mätserierna. Om mätserierna avviker starkt från modellantagandena kan slutsatserna enligt Thomas (2003) bli missvisande. Däremot behövs det utöver ‘giltiga’ mätserier ingen ‘kalibrering’ av algoritmen, eftersom den automatiskt tar hänsyn till olika egenskaper i olika delar av mätserien.

Slutsatsen är att ingen av de beskrivna metoderna går att använda ‘rakt av’ för att åstadkomma en tillståndsstyrd sträckindelning för hela det statliga vägnätet. AASHTO (1986) ger inga detaljer för det egentliga problemet, nämligen tolkningen av de framräknade kumulativa diﬀerenserna. Algoritmen enligt Rübensam och Schulze (1996) verkar vara svår att ‘kalibrera’ på ett tillfredställande sätt, åtminstone för VV:s mätserier. Metoden enligt Thomas (2003) är inte avsedd att hantera situationer med ett flertal brytpunkter.

En möjlig strategi för en algoritm som kan användas för att åstadkomma en tillståndsstyrd sträckindelning kan vara följande. Tänk ut något sätt att snabbt sortera fram områden i en lång mätserie som antagligen innehåller

(32)

högst ett fåtal brytpunkter. Använd Thomas (2003) på ett iterativt sätt för att analysera dessa isolerade områden. Ett sådant förfarande kombinerar snabbheten i en ‘grov sortering’ av intressanta områden med exaktheten i metodiken enligt Thomas (2003).

För tillfället är även en teknik under utvärdering som använder sig av Thomas (2003) som grundläggande byggsten, men som avsöker en mätserie på ett sekventiellt sätt. En sålunda erhållen placering av brytpunkter torde bekräftas av detaljanalyser av manuellt avgränsade områden i ett senare skede, t.ex. i samband med underhållsplaneringen på objektnivå. Denna teknik verkar lovande, men kommer att avrapporteras på annan plats.

(33)

Referenser

AASHTO (1986). AASHTO guide for design of pavement structures. Technical report, American Association of State Highway and Transportation Oﬃcials, Washington, D.C.

Atkinson, A. C. och D. R. Cox (1988). Transformations. S. Kotz och N. L. Johnson (Eds.), Encyclopedia of Statistical Sciences: volume 9, s. 312—318. Wiley.

Barnard, G. A. (1959). Control charts and stochastic processes. Journal of the Royal Statistical Society, Series B 21 (2), 239—271.

Bhattacharya, P. K. (1994). Some aspects of change-point analysis. E. Carlstein, H.-G. Müller, och D. Siegmund (Eds.), Change-point Problems, Volume 23 of IMS Lecture Notes — Monograph Series, s. 28—56. Hayward, California: Institute of Mathematical Statistics.

Goel, A. L. (1982). Cumulative sum control charts. S. Kotz and N. L. Johnson (Eds.), Encyclopedia of Statistical Sciences: volume 2, s. 233—241. Wiley.

Haas, R., W. R. Hudson, och J. Zaniewski (1994). Modern Pavement Management. Malabar, Florida: Krieger.

Kaskey, G., B. Kolman, P. R. Krishnaiah, och L. Steinberg (1980). Transformations to normality. P. R. Krishnaiah (Ed.), Handbook of Statistics — vol. 1: Analysis of Variance, s. 321—341. Amsterdam: North-Holland.

Lièvre, D. (1995?). Automatic processing to divide road data into homogeneous zones — LCPC method. Laboratoire Central des Ponts et Chaussées, France. Tre sidor, http://www.lcpc.fr.

O’Hagan, A. (1994). Kendall’s Advanced Theory of Statistics, Volume 2B: Bayesian Inference. London: Edward Arnold.

Robinson, R., U. Danielson, och M. Snaith (1998). Road Maintenance Management: Concepts and Systems. London: Macmillan.

Rouillard, V., B. Bruscella, och M. Sek (2000). Classification of road surface profiles. Journal of Transportation Engineering 126 (1), 41—45.

Rübensam, J. och F. Schulze (1996). Entwicklung einer Methodik zur zweckmäßigen Zusammenfassung maßnahmebedürftiger Abschnitte der BAB-Betriebsstrecken auf der Grundlage von Zustands- und Bestandsdaten. Forschung Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, Heft 736, Bundesministerium für Verkehr, Abteilung Straßenbau, Bonn-Bad Godesberg, Tyskland.

SNRA (1998). Metodbeskrivning 111 — Bestämning av jämnhet i längdled och tvärled samt tvärfall hos ett vägobjekt med mätbil. Borlänge: Vägverket, Publ 1998:52.

(34)

Thomas, F. (2001). A Bayesian Approach to Retrospective Detection of Change-points in Road Surface Measurements. Ph. D. thesis, Department of Statistics, Stockholm University. ISBN 91-7265-307-8. Thomas, F. (2003). Statistical approach to road segmentation. Journal of

Transportation Engineering 129 (3), i tryck.

Zacks, S. (1983). Survey of classical and Bayesian approaches to the change-point problem: Fixed sample and sequential procedures of testing and estimation. M. H. Rizvi, J. S. Rustagi, och D. Siegmund (Eds.), Recent Advances in Statistics — Papers in Honor of Herman Chernoﬀ on His Sixtieth Birthday, s. 245—269. New York: Academic Press.