Finns det ett samband
mellan
huvudräkningsstrategier
och taluppfattning?
En studie om lärares uppfattningar av sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning
KURS: Examensarbete för grundlärare F−3, 15 hp
PROGRAM: Grundlärare med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3 FÖRFATTARE: Sofia Ullergård Pappas
EXAMINATOR: Robert Gunnarsson TERMIN: VT20
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare F−3, 15 hp
School of Education and Communication Grundlärare med inriktning mot arbete i
förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3
VT20
SAMMANFATTNING
___________________________________________________________________________ Sofia Ullergård Pappas
Finns det ett samband mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning?
Antal sidor: 33 ___________________________________________________________________________ Taluppfattning är en central del i matematikundervisningen. Utan en grundläggande taluppfattning blir det svårt att utföra olika räkneoperationer. Olika huvudräkningsstrategier har visat sig ha en positiv inverkan på taluppfattning och taluppfattningen utvecklas ju mer elever får möjlighet att använda huvudräkningsstrategier. Kursplanen i matematik syftar också till att elever genom undervisningen ska få möjlighet att utveckla flera olika strategier och använda dem i vardagliga situationer. Syftet med denna studie är att ge en bild av kopplingen mellan undervisning med huvudräkningsstrategier och taluppfattning för att i ett längre perspektiv är målet att studien ska kunna bidra till att utveckla elevers taluppfattning i årskurserna 1 − 3. Då studien syftar till att ta reda på olika uppfattningar har studien inspirerats av en fenomenografisk ansats. Fem olika lärare intervjuades med kvalitativa semistrukturerade intervjuer. I resultatet presenteras tre olika kategorier som syftar till att besvara studiens forskningsfrågor: ”Vilka olika uppfattningar har
lärare av huvudräkningsstrategier?” och ”Hur uppfattar lärare sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning?”. Kategorierna presenteras utifrån likheter och
skillnader i de uppfattningarna som framkom i det transkriberade materialet. Resultatet visar bland annat att vissa av lärarna i studien anser att undervisning av huvudräkningsstrategier utvecklar taluppfattningen. Undervisningen av huvudräkningsstrategier är ett viktigt moment som ska appliceras ofta. Ytterligare ett resultat som har presenterats är att vissa lärare anser att taluppfattningen utvecklas först, och utan en välutvecklad taluppfattning är det svårt att använda olika huvudräkningsstrategier.
___________________________________________________________________________ Sökord: Taluppfattning, huvudräkningsstrategier, undervisning, lärare
ABSTRACT
___________________________________________________________________________ Sofia Ullergård Pappas
Is there a correlation between mental computation strategies and number sense?
Number of pages: 33 ___________________________________________________________________________ Number sense is a fundamental part in mathematics education. Without a basic knowledge of numbers, different number operations will be hard to execute. Mental computation strategies have shown a positive effect on developing number sense and vice versa. The Swedish curriculum for mathematics aims for the pupils to develop different mental computation strategies and use them in the everyday life.
The purpose of this study is to give a picture of the connection between the teaching of mental computation strategies and number sense. In a longer perspective this study aims to contribute with knowledge about how to develop pupils’ number sense in the grades 1 − 3. This study is inspired with the phenomenographic theory and five teachers where interviewed with qualitative semi−structured interviews.
The different perceptions which are presented in the result under the categories formed by the study’s research questions: “What different perceptions do teachers experience of mental
computation strategies?” and “How do teachers perceive the connection between mental computation strategies and number sense?”.
The categories are presented after the differences and similarities found in the transcribed material. The result has shown among other things that teachers are aware that their teaching about the mental computation strategies develops number sense. It is also presented that teachers found mental computation as an important segment in their classroom. The result has also shown that some teachers finds that number sense should be developed before pupils can successfully use any mental computation strategy.
______________________________________________________________________________ Key words: number sense, mental commutation strategy, teaching, teachers
Innehållsförteckning
1. Inledning 1
2. Bakgrund 1
2.1 Taluppfattning 2
2.2 Huvudräkningsstrategier 3
2.3 Undervisning kring huvudräkningsstrategier och lärares roll 3
2.4 Konsekvenser av att enbart använda skriftliga strategier 5
2.5 Styrdokument 6
2.6 Fenomenografi 7
3. Syfte och frågeställningar 9
4. Metod och material 10
4.1 Val av metod − kvalitativa semistrukturerade intervjuer 10
4.2 Urval och genomförande 11
4.3 Reliabilitet och validitet 13
4.4 Materialanalys 13
4.5 Etiska principer 14
5. Resultat 16
5.1 Lärares uppfattningar av huvudräkningsstrategier 16
5.2 Sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning 18
5.2.1 Lärare uppfattningar av undervisningen om huvudräkningsstrategier 18 5.2.2 Uppfattningar av sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning 21
5.3 Resultatsammanfattning 25
6. Diskussion 26
6.1 Metoddiskussion 26
6.2 Resultatdiskussion 28
6.2.1 Vilka olika uppfattningar erfar lärare av huvudräkningsstrategier 28 6.2.2 Hur uppfattar lärare sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning? 29
6.3 Yrkesrelevans och förslag till fortsatt forskning 32
Referenser 33
Bilagor I
Bilaga 1: Samtyckesblankett I
1
1. Inledning
Taluppfattning och huvudräkningsstrategier är nära kopplade till varandra. För att utveckla elevers taluppfattning är det en god idé att arbeta medvetet med olika huvudräkningsstrategier och för att bli bra på att använda huvudräkningsstrategier måste elever ha en väl utvecklad taluppfattning (Heiberg Solem, Alseth & Nordberg, 2011, s. 203). Den internationella studien Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) syftar till att beskriva och jämföra elevers prestationer inom matematik och naturvetenskap. Enligt TIMSS−studien som publicerades 2015 går det att se att svenska elever presterar sämre i kategorin taluppfattning och aritmetik jämfört med kategorierna geometriska former & mått samt datapresentation (Skolverket, 2016, s. 32). Det kan ses som en indikator på att det generellt sett inte arbetas tillräckligt mycket med taluppfattning i de svenska skolorna. Det kan anses vara oroväckande då taluppfattning ska vara grunden för all användning av tal (Häggblom, 2013, s. 107).
Det är nödvändigt att kunna behärska flera olika strategier då olika uppgifter kräver olika lösningar (Löwing, 2008, s. 107). I vår tidigare litteraturstudie framkom det att många elever ofta väljer en strategi som de känner sig bekväma med, oavsett hur lämpad den är för uppgiften. Det visade sig också att elevers val av strategi är påverkad av vad de blir erbjudna i undervisningen (Gustafsson & Ullergård Pappas, 2019). Det blir därför av intresse att undersöka hur lärare använder huvudräkningsstrategier i sin undervisning samt att se hur de medvetet jobbar med strategier för att utveckla taluppfattning.
Enligt kursplanen för matematik ska elever genom undervisning ges förutsättningen att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder (Skolverket, 2019, s. 54).
Studien är inspirerad av en fenomenografisk ansats och intresset i den här studien är verksamma lärares uppfattningar av huvudräkningsstrategier och kopplingen till taluppfattning. Studien inleds med bakgrund till arbetet med koppling till tidigare forskning kring huvudräkningsstrategier och anknytning till styrdokumentens relevans. Vidare i studien presenteras studiens syfte och metodkapitel. Därefter presenteras resultat som är baserat på att urskilja de intervjuade lärarnas uppfattningar. Studien avslutas med en diskussion och förslag på fortsatt forskning kring området.
2
Kapitlet inleds med en förklaring av begreppet taluppfattning, följt av en förklaring av huvudräkningsstrategier. Vidare beskrivs undervisningen kring huvudräkningsstrategier och lärares roll,konsekvenser av att enbart räkna med skriftliga metoder och en förankring i skolans styrdokument. Kapitlet avslutas med studiens teoretiska anknytning.
2.1 Taluppfattning
I den tidiga matematikundervisningen måste elever få möjlighet att utveckla sin taluppfattning genom att möta matematik i olika sammanhang som tillåter dem att resonera (Barrera−Mora & Reyes−Rodriguez, 2019, s. 76). Trots att det finns externa apparater, som exempelvis miniräknare, som gör exakta uträkningar behöver elever fortfarande ha en god taluppfattning för att kunna göra en rimlighetsbedömning om uträkningen stämmer. Elever kommer få en bättre taluppfattning om de får vara delaktiga i meningsfulla aktiviteter där det krävs att dom tänker och använder tal och där de får göra bedömningar som de möter i sin vardag (Barrera−Mora & Reyes−Rodriguez, 2019, s. 76).
Taluppfattning definieras som en generell förståelse av tal och hur tal ska användas. Det hör också till att kunna utföra olika räkneoperationer på ett flexibelt sätt samt att kunna göra rimlighetsbedömningar och se hur användbar en strategi är för olika sammanhang. Det innebär också att en individ har en god uppfattning kring tal och relationen mellan tal (Barrera−Mora & Reyes−Rodriguez, 2019, s. 76).
Vidare beskrivs taluppfattning som en fundamental del i den tidiga matematikundervisningen och syftar till att utveckla elevers förståelse av tal (Arias de Sanchez, Gabriel, Anderson & Turnbull, 2018, s. 1). Det innefattar förståelse av hur stort ett tal är, hur det kan delas upp, hur elever kan tänka på flera olika sätt kring tal samt se olika sätt som representerar antal. Det innefattar även att elever ska kunna utveckla flera effektiva sätt att räkna med tal (ibid). En viktig aspekt inom matematikundervisningen är att lärare måste ge elever olika metoder och strategier som hjälper elever att utveckla sitt matematiska resonemang. När elever utvecklar sin förståelse av matematik kan de också utveckla sitt matematiska resonemang (Barrera−Mora & Reyes−Rodriguez, 2019, s. 75).
3
2.2 Huvudräkningsstrategier
Huvudräkning är en mental process som kombinerar förståelsen av tal och räkneoperationer som utförs i hjärnan utan några fysiska hjälpmedel (Csíkos, 2012, s. 179; Yang & Huang, 2014, s. 4). Huvudräkning anses även vara en process för att beräkna ett resultat av en uppställning utan hjälp av ett externt hjälpmedel (Erdem, 2016, s. 1157). Vidare anses huvudräkningsstrategier vara baserade på att hitta genvägar för att lösa en uppgift i stället för att mentalt tänka sig en uppställning i huvudet (ibid, s. 1169). Det är viktigt med huvudräkning för att klara av vardagslivet då det främjar även utvecklingen av det logiska tänkandet (ibid, s. 1158). Olika strategier blir då värdefulla för elever att kunna och det är viktigt att veta hur de ska användas på ett korrekt och flexibelt sätt. Huvudräkning hjälper elever att förstå tal och konceptet inom matematik bättre (Erdem, 2016, s. 1158). En väl utvecklad förståelse av olika huvudräkningsstrategier kan leda till bättre resultat vid uträkningar (Csíkos, 2012, s. 179; Erdem, 2016, s. 1158). Det har visat sig att huvudräkning har en stor påverkan på taluppfattning och att taluppfattning utvecklas samtidigt som elever använder olika huvudräkningsstrategier (Yang & Huang, 2014, s. 3).
Huvudräkningsstrategier är kopplade till elevers taluppfattning. Elever som har en god taluppfattning kan välja strategi på ett enkelt och obegränsat sätt till vad som passar för uppgiften (Beishuizen, Van Putten & Mulken, 1997, s. 88; Lucangeli, Tressoldi, Bendotti, Bonanomi & Siegel, 2003, s. 510; Torbeyns, Verschaffel & Ghesquière, 2006, s. 450). Elever kan känna sig mer bekanta med vissa strategier om de ofta får möta dem i sina matematikböcker eller i konkret material. Elever som får möta strategier i informella sammanhang väljer strategier mer flexibelt och anpassat efter uppgiften, än de elever som lär sig strategier i formella sammanhang (Torbeyns et al., s. 444). Strategier är generaliserbara och hjälper en individ att planera och övervaka hur hen kan lyckas i en uppgift. När det gäller huvudräknings är det bra att ha olika strategier för att på ett så framgångsrikt sätt som möjligt lösa olika uppgifter (Csíkos, 2012, s. 179)
4
Det har visat sig att vissa elever inte tillämpar en huvudräkningsstrategi utifrån de ingående talen i en uppgift, utan använder en strategi som de redan är bekanta med (Csíkos, 2015, s. 123). Elever som har fått lära sig en huvudräkningsstrategi och som känner sig säkra att använda den fortsätter att använda den strategin, oavsett hur lyckad den är för uppgiften då det kräver mindre jobb av eleverna (Beishuizen, 1993, s. 308; Beishuizen al., 1997, s. 100; Csíkos, 2012, s. 183; Csíkos, 2015, s. 123; Rezat, 2011, s. 403; Torbeyns et al., 2006, s. 459). De strategier som lärare väljer att introducera för eleverna i undervisningen kommer de att använda sig av eftersom det är de huvudräkningsstrategierna som elever har tillgång till. Då spelar det ingen roll hur lyckad strategin är för den givna uppgiften. Vidare innebär detta att lärare har en stor påverkan på de huvudräkningsstrategier som elever får tillgång till och sedan tillämpar på olika uppgifter (Beishuizen, 1993, s. 309; Blöte, Klein & Beishuizen., 2000, s. 233; Torbeyns et al., 2006, s. 459; Yang & Huang, 2014, s. 12).
Elever behöver få tillgång till många olika strategier via undervisning för att flexibelt kunna välja den strategi som är mest lämpad för uppgiften. Det kan dock vara svårt att avgöra hur lärare ska planera sin undervisning gällande strategier då en strävan också är att elever ska få upptäcka strategier spontant (Csíkos, 2012, s. 185). Men det är svårt att upptäcka en strategi utan att ha blivit introducerad för den tidigare. Undervisningen av huvudräkningsstrategier kräver därmed utförliga instruktioner och en utvecklad taluppfattning om hur tal är uppbyggda och kan delas upp (Lucangeli et al., 2003, s. 510). Elever ska genom undervisning få lära sig baskunskaper inom matematik i lågstadiet för att ha en god grund att stå på för att vidare utveckla förståelsen för hur de ska använda olika huvudräkningsstrategier (Erdem, 2016, s. 1158).
Det har visat sig effektivt att börja med undervisning om olika huvudräkningsstrategier i de tidiga skolåren. Det är viktigt att eleverna får möjlighet att genom undervisning få utveckla egna strategier och använda dem i de tidiga skolåren för att utveckla taluppfattningen (Blöte et al., 2000, s. 242; Erdem, 2016, s. 1160; Torbeyns et al., 2006, s. 455; Yang & Huang, 2014, s. 14). De elever som utvecklar sitt eget sätt att tänka kring valet av strategier får delge sina tankar i helklass och via diskussioner med sina klasskamrater. Då kan de samtala om hur de kan variera sina val av lösningar (Yang & Huang, 2014, s. 12).
5
Det finns olika faktorer som påverkar valet av strategi hos eleverna. Det beror delvis på lärares attityd om olika strategier men även hur olika strategier introduceras i undervisningen (Blöte et al, 2000, s. 242; Torbeyns et al., 2006, s. 455). Det har visat sig att elever med en god taluppfattning väljer en strategi som de anser är mest lämpad för uppgiften (Blöte et al., 2000, s. 223; Torbeyns et al., 2006, s. 455). Lärare måste ge elever förmågan att utveckla en flexibel attityd till de olika huvudräkningsstrategierna för att fritt kunna välja en strategi som är bäst lämpad för uppgiften. Elever behöver veta hur uppgiften ser ut och de ingående talen för att sedan avgöra vilken huvudräkningsstrategi som passar för uträkningen (Blöte et al., 2000, s. 223). När elever får möjlighet att diskutera sina val av huvudräkningsstrategier utvecklar de fler sätt att tänka och blir mer flexibla i sina val av strategier (Yang & Huang, 2014, s. 5). Vidare väljer elever ofta en strategi baserad på deras tidigare kunskaper kring taloperationer och taluppfattning, då kan diskussioner vara en god ide för att visa på fler hållbara huvudräkningsstrategier. Elever kan vidare också utveckla egna strategier spontant när situationer kräver det. Detta kräver i sin tur en god och utvecklad taluppfattning (ibid, s. 12).
2.4 Konsekvenser av att enbart använda skriftliga strategier
Alternativet till huvudräkning är att lösa matematiska problem med skriftliga strategier. En konsekvent med att enbart använda skriftliga strategier kan vara att elever inte lär sig att resonera när de löser en uppgift vilket kan leda till att det blir svårt att utveckla ett logiskt tänkande (Erdem, 2016, s. 1158). Om elever i lågstadiet enbart får räkna med hjälp av skriftliga räknestrategier kan det spela en negativ roll i deras taluppfattning och utveckling av huvudräkningsstrategier (ibid, s. 1158). Det är därför viktigt att börja tidigt med mental huvudräkning i undervisningen (Erdem, 2016, s. 1160). Vanligtvis i matematikundervisningen läggs det mycket vikt på algoritmräkning, vilket för att huvudräkningsstrategier prioriteras mindre. En konsekvens av detta är att många vuxna världen över har svårt att lösa enkla matematiska uträkningar med hjälp av huvudräkning (Barrera−Mora & Reyes−Rodriguez, 2019, s. 76). Fördelen med skriftlig huvudräkning är att det är lättare att hålla reda på alla tal. Dock visar olika studier på att skriftlig
6
huvudräkning begränsar elevers matematiska tänkande och resonemang om varför de löser en uppgift på ett visst vis (Csíkos, 2012, s. 179; Yang & Huang, 2014, s. 4).
Skriftliga räknestrategier, så som en algoritm, skrivs ofta lodrätt. Fördelen med skriftliga räknestrategier är att de är lättare att lära sig och mer effektiva då de kräver mindre tankekraft. Dessutom står talsorterna grupperande i lodrätta led vilket också kan förenkla räknandet då elever själv inte behöver sortera talen (Yang & Huang, 2014, s. 4). Skriftliga räknestrategier begränsar dock elevers tänkande och logiska resonemang eftersom det finns en risk att räknandet blir mekaniskt och att elever inte behöver tänka eller förstå varför de räknar på ett visst sätt (ibid, s. 4).
2.5 Styrdokument
Enligt kursplanen för matematik ska undervisningen i ämnet syfta till att elever utvecklar kunskaper om matematik och matematikens användning i vardagen. Undervisningen ska också bidra till att elever utvecklar kunskaper för att kunna lösa problem och reflektera över valda strategier och metoder (Skolverket, 2019, s. 54). Elever ska via undervisning ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att tolka vardagliga och matematiska situationer och kunna beskriva dessa med hjälp av matematiska uttryck (ibid). Elever ska också få möjlighet att utveckla förmågan att genom undervisning ”formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder” (Skolverket, 2019, s. 55).
I det centrala innehållet för matematik står det att elever ska få möjlighet att genom undervisning få utveckla ”centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digitala verktyg” samt få utveckla förståelse av ”metodernas användning i olika situationer” (Skolverket, 2019, s. 55). Kommentarmaterialet menar att elever genom undervisning i ämnet matematik ska få möjlighet att skapa förståelse av hur olika räknesätt förhåller sig till varandra samt kunna avgöra vilket räknesätt som är mest effektivt för den givna situationen. Det är därför viktigt att elever får kunskap om centrala metoder som
7
finns när de gör beräkningar med naturliga tal. När elever använder sig av huvudräkning är det viktigt att de ges möjligheten att lära sig olika metoder och hur de kan användas i olika sammanhang (Skolverket, 2017, s. 14). Kommentarmaterial för matematik beskriver att det långsiktiga målet är att elever ska kunna identifiera vilken metod som är bäst lämpad för den givna situationen. Genom väl utvecklade metoder ska det bidra till att elever får goda kunskaper inom ämnet som bidrar till att det matematiska arbetet blir lättare att utföra. En metod ska underlätta tankearbetet för varje uppgift och ge elever genvägar (Skolverket, 2017, s. 8). Styrdokumenten använder begreppen metod och strategi på ett sätt som gör det svårt att särskilja dem. Enligt kommentarmaterialet för matematik innebär centrala metoder att det ska vara en utvecklingsbar metod. Detta betyder att metoden ska vara effektiv i en given situation, men samtidigt så generell att den kan användas i nya situationer (Skolverket, 2017, s. 14). En strategi är enligt kommentarmaterialet ett samlingsbegrepp som beskriver olika verktyg som består av flera tillvägagångssätt för att kunna lösa problem i olika situationer. Strategin kan vara olika effektiv beroende på sammanhanget (Skolverket, 2017, s. 25). Efter att ha läst dessa definitioner anser jag att de används på liknande sätt men att strategier är mer lämpat begrepp för denna studie än metod. Denna studie kommer fortsättningsvis att använda begreppet strategi.
2.6 Fenomenografi
Den teoretiska inriktningen för den här studien är inspirerad av den fenomenografiska ansatsen. Fenomenografi syftar till att ta reda på hur människor uppfattar ett fenomen som de har erfarenhet av i den levda världen (Kroksmark, 2007, s. 6). Denna ansats är en metodologi som är användbar för en kvalitativ analys eftersom det forskaren vill få reda är på uppfattningar. Det är inte intressant att berätta hur något är inom fenomenografi, utan intresserat är att förstå hur fenomenet uppfattas eller framstår (ibid. s. 6). Begreppet uppfattning är centralt inom fenomenografin. En uppfattning innebär att en individ riktar sitt medvetande mot ett speciellt fenomen. Alla individer är olika och därför kan två människor ha olika syn på samma fenomen. Fenomenografin intresse ligger vid varje enskild människa har för uppfattningar och hur dessa uppfattningar är beskaffade (Kroksmark, 2007, s. 9).
En uppfattning är inte detsamma som en åsikt. En åsikt bygger ofta på ett antagande och uppfattningen sägs då vara den oreflekterade grund på vilken åsikten vilar på (Larsson, 1986, s 21). Det är inte en fråga om vad som är sant eller falskt när en forskare studerar
8
uppfattningar, utan frågan är om vad som studeras (Larsson, 1986, s. 12). Uppfattningar av ett fenomen grundas i vilka aspekter av fenomenet som en individ urskiljer. När en individ utskiljer något innebär det att individen väljer att bortse fenomenet från sitt sammanhang. På så vis skapar individen ordning i det som individen möter (Kroksmark, 2007, s. 7). En uppfattning som urskiljs kategoriseras genom olika aspekter och presenterar data efter likheter och skillnader. Det kallas för beskrivningskategorier och beskrivs som en avdelning inom en helhet som har olika utsagor men har en gemensam betydelse. Beskrivningskategorierna beskrivs som innehållsrelaterade vilket innebär att kategorierna är baserade på begreppsligt innehåll. Kategorierna samlas slutligen ihop till en helhet som beskriver hur människor i kollektiv mening uppfattar det studerade fenomenet (Kroksmark, 2007, s. 35).
Olika uppfattningar av ett fenomen skapar det som kallas för utfallsrum. Fenomenografin inriktar sig alltid på att hitta olikheter i djupet av människors uppfattningar (Larsson, 1986, s. 18). Analysen stävar efter att gestalta de olika uppfattningar med likheter och skillnader för att kunna skapa kategorier (Larsson, 1986, s. 20). Kärnan i analysen är jämförelsen mellan olika uppfattningar av fenomenet. Det är viktigt att söka efter likheter och skillnader och jämföra dem. Genom de olika jämförelserna framkommer kategorierna (ibid, s. 31).
Inom fenomenografin talas det om andra ordningens perspektiv som handlar om hur någon har uppfattningar av något. Till skillnad från första ordningens perspektiv som intresserar sig för fakta (Larsson, 1986, s. 12). För denna typ av studie så passar andra ordnings perspektiv.
9
3. Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie är att ge en bild av kopplingen mellan undervisning med huvudräkningsstrategier och taluppfattning. I ett längre perspektiv vill jag naturligtvis att studien ska kunna bidra till att utveckla elevers taluppfattning i årskurserna 1 − 3.
För att uppfylla syftet används följande frågeställningar:
• Vilka olika uppfattningar har lärare av huvudräkningsstrategier?
10
4. Metod och material
Det här kapitlet inleds med en beskrivning av val av metod, beskrivning av urval samt urvalskriterier, genomförande och materialanalys. Vidare följs en beskrivning av begreppen reliabilitet och validitet samt vilka åtgärder som har vidtagits för att nå en hög tillförlitlighet, samt en presentation av de forskningsetiska ställningstaganden som har gjorts i samband med studien.
4.1 Val av metod − kvalitativa semistrukturerade intervjuer
För att besvara frågeställningen i denna studie användes kvalitativa intervjuer för att samla in data. Denna metod ansågs vara lämplig då fenomenografin har använts som teori för arbetet och fenomenografin syftar till att få tillträde till människors uppfattningar främst via språkliga uttryck som tal. Intervjuer är en bra metod för att kartlägga uppfattningar från de olika individerna som medverkar i studien (Kroksmark, 2007, s. 30). Studiens frågeställningar inriktar sig på lärares uppfattningar av huvudräkningsstrategier för att utveckla elevers taluppfattning i årskurserna 1–3. Kvalitativa intervjuer förekommer i samband med kvalitativ forskning (Bryman, 2016, s. 413). Något som kännetecknar en kvalitativ metod är att försöka få ut så mycket information som möjligt från ett begränsat antal personer. Om målgruppen är homogen behövs det inte lika många informanter. En homogen målgrupp innebär att det är en mycket liten variation i centrala kännetecken på deltagarna. Det kan handla om deltagare som exempelvis tillhör samma yrkesgrupp. Då kan ett urval på fem personer räcka (Christoffersen & Johannessen, 2015, s. 53).
Intervjuerna kommer att vara semistrukturerade och följa en intervjuguide som bildar utgångspunkten för intervjun. Semistrukturerade intervjuer passar väl för studier där forskare använder sig av en intervjuguide där den intervjuade har frihet att utforma svaren efter sina ståndpunkter (Bryman, 2016 s. 415).Frågorna som ställs ska vara relativt öppna så att det inte finns färdiga svarsalternativ. Forskaren har mindre påverkan på hur informanterna svarar och de får gå i sin egna riktning. Detta kan göra ett intervjuerna varierar från person till person. Fördelen med detta är att frågorna kan anpassas för att följa samtalet (Bryman, 2016, s. 414).
Det ska dock med fördel finnas en viss standardisering i intervjun vilket innebär att alla intervjuer i denna studie kommer att ha samma frågor att utgå från. Fördelen med en
11
standardisering är att svaren går att jämföra och analysera (Christoffersen & Johannessen, 2015, s. 85). Då det är semistrukturerade intervjuer kommer informanterna fortfarande att kunna utveckla sina svar och följdfrågorna kan bli olika beroende på intervjusvaren. Den som intervjuar kan också avvika från intervjuguiden (Bryman, 2016, s. 415).
Då detta är en fenomenografisk studie som syftar till att ta reda på uppfattningar av huvudräkningsstrategier som utvecklar taluppfattning är intervjuer en lämplig metod. I semistrukturerade intervjuer ligger intresset vid den intervjuades ståndpunkter. Det är dessutom önskvärt i dessa typer av intervjuer att låta intervjun röra sig i olika riktningar då den intervjuade ger sina ståndpunkter kring ämnet (Bryman, 2016, s. 414).
4.2 Urval och genomförande
De lärare som deltog i studien har tillfrågats personligen via mail. Deltagarna valdes ut genom egna kontakter som knöts under de verksamhetsförlagda utbildningsperioderna, samt via rådfrågning av verksamma lärare om rekommendationer gällande lämpliga deltagare utifrån urvalskriterierna för studien. Urvalet har gjorts utifrån bekvämlighets− och målinriktat urval. Ett bekvämlighetsurval innebär att forskaren väljer personer att delta som finns tillgängliga i närheten (Bryman, 2011, s. 194). Valet av informanter är också målinriktat. Då har informanter valts ut på ett strategiskt sätt så att forskaren vet att deltagarna är relevanta för studien (Bryman, 2011, s. 392). Lärare från fem olika skolor och från två olika kommuner valdes ut för att samla in material. Syftet med att välja informanter med olika lång verksamhetstid i yrkeslivet var för att få en spridning av uppfattningar samt för att öka trovärdigheten för studien. Inför de kvalitativa intervjuerna behövde varje intervjuad person uppfylla följande urvalskriterier:
1) Deltagaren ska vara verksamma lärare i årskurserna 1–3. 2) Deltagaren ska undervisa i ämnet matematik.
3) Deltagaren ska ha en lärarlegitimation.
Kriteriet ”verksamma lärare i årskurserna 1–3” ingår i urvalskriterierna är på grund av att kunna säkerhetsställa yrkeskunskaper. Anledningen till att endast lärare som är verksamma inom 1–3 är att det finns ett intresse av att hur lärare för de yngre åldrarna uppfattar huvudräkningsstrategier som utvecklar taluppfattning, då taluppfattning lägger grunden för
12
all matematik. Därför vill studien komma åt den tidiga undervisningen. Kriteriet ”ska undervisa i ämnet matematik” säkerhetsställer deltagarnas relevans till ämnet och didaktiska kunskaper. Det tredje kriteriet för urvalet ”deltagarna ska ha en lärarlegitimation” skapades för att kunna öka trovärdigheten i studien. Dessa kriterier är tillsammans nödvändiga för att säkerhetsställa relevansen i studien och för studiens syfte, att få fram lärares olika uppfattningar av huvudräkningsstrategier för att utveckla taluppfattningen i årskurserna 1–3.
Lärare Årskurs Antal verksamma
år A 2 20 B 3 22 C 2 15 D 3 17 E 1 21
Figur 1: Översikt över respondenter
Vid den andra mailkontakten skickades en samtyckesblankett ut (se bilaga 1). I blanketten fick informanterna information kring deras deltagande och syftet med studien tydliggjordes. Intervjuguiden gavs inte ut i förväg för att lyckas få så spontana svar som möjligt. Dock är det en god idé att förbereda deltagarna på vad intervjuns fokus är (Bryman, 2016, s. 425). Alla intervjuer följde samma intervjuguide (se bilaga 2). En intervjuguide är en bra metod att använda sig av vid semistrukturerade intervjuer då det ger respondenterna möjlighet att ge den information som de själva uppfattar är viktig. Intervjuguiden är utformad efter studiens forskningsfrågor, för att kunna uppfylla studiens syfte (Bryman, 2016, s. 425).
Intervjuerna varade mellan 20–30 minuter. De genomfördes då via telefon det inte mottogs besökare på de utvalda skolorna. Det beror på den rådande situationen orsakad av covid– 19. Telefonintervjuer fungerar bra när det inte finns möjlighet att ha en direkt intervju, där respondent och intervjuare kan ses (Bryman, 2011, s. 210). Intervjuerna spelades in med hjälp av en applikation på en surfplatta och anteckningar fördes för att dokumentera vissa stödord som skulle underlätta vid transkriberingen.
13
4.3 Reliabilitet och validitet
Syftet, frågorna och intervjuguiden är utformade från ett fenomenografiskt perspektiv. Vid insamlingen av data användes intervjuer som spelades in och sedan transkriberades exakt så som de intervjuade uttryckte sig. Detta är ett tillvägagångssätt som bidrar till att reliabilitet blir högre. Reliabilitet innebär att undersökningen ska vara tillförlitligt och trovärdig (Bryman, 2016, s. 49). Tillförlitlighet inom den kvalitativa forskningen har fyra delkriterier vilka är trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet och en möjlighet att styrka och konfirmera (Bryman, 2016, s. 354). Då detta är en studie som undersöker människors uppfattningar av huvudräkningsstrategier och taluppfattning kan studiens tillförlitlighet ifrågasättas. Eftersom det är svårt att säkerhetsställa tillförlitligheten i en kvalitativ studie då det inte går att komma fram till en enda och absolut bild av verkligheten. Däremot kan tillförlitligheten säkerhetsställas genom att säga att det finns fler sätt att se verkligheten på (Bryman, 2016, s. 354).
Validitet i en studie innebär att studien ska vara trovärdig och undersökningen mäter det som den avsett att mäta (Bryman, 2016, s. 50). För att säkerhetsställa att denna studie mäter det som den är avsatt att mäta har endast behöriga lärare i årskurserna 1−3 ombetts delta, de ska undervisa i ämnet matematik samt att de ska ha en lärarlegitimation. Valet av deltagarna i undersökningen är taget från urvalskriterierna, vilket bidrar till att undersökningen får högre validitet. För att säkerhetsställa validiteten för studien har syftet och frågeställningarna varit i fokus under hela studiens gång.
Att kunna styrka och konfirmera innebär att forskaren försöker säkerhetsställa att hen har agerat i god tro. Det betyder att forskaren är tydlig med att personliga värderingar inte har spelat in och påverkat resultatet (Bryman, 2016, s. 355).
4.4 Materialanalys
Bearbetningen av intervjumaterialet innebär att göra en kvalitativ analys inom fenomenografin (Larsson, 1986, s. 20). Arbetet med att gestalta variationer i uppfattningen kräver noggrann läsning och reflektion. Under analysarbetets gång är det av vikt att kritiskt granska de olika kategorier som framkommit, på så vis kan nya kategorier upptäckas. Kärnan i analysen är jämförelsen mellan olika svar där det söks efter likheter och skillnader (Larsson, 1986, s. 31). I ett första skede i analysen transkriberades intervjuerna. Transkriberingarna lästes sedan igenom en åt gången för att få en överblick över det
14
insamlade materialet. Därefter färgmarkerades transkriptionerna i olika färger för att enklare se likheter och olikheter. Det vill säga likheter och skillnader mellan svar från informanterna som besvarar samma forskningsfråga. Transkriberingarna lästes igenom flera gånger eftersom olika saker upptäcks vid olika tillfällen (Larsson, 1986, s. 20). Efter färgkodningen hade totalt sex olika färgkodningar gjorts.
Efter färgkodningen var utförd analyserades det resterande materialet för att se om det var av någon relevans för studiens syfta eller om det kunde besvara någon av forskningsfrågorna. Detta utförde jag för att försäkra mig om att för att något viktigt i materialet missas. Därefter analyserades de olika färgkodningarna och grupperades till olika kategorier som besvarar forskningsfrågorna. Utifrån detta fick jag fram till tre beskrivningskategorier som bildar varsitt kapitel i resultatet.
Ett antagande inom fenomenografin är att erfarenheter konstruerats som en uppfattning hos varje människa. Uppfattningarna består av två aspekter, ett vad och ett hur. Det innebär en skillnad mellan vad som uppfattas hur det uppfattas (Kroksmark, 2007, s. 9). Det betyder att det finns en skillnad av hur respondenten beskriver att hon eller han uppfattar ett fenomen och hur respondenten faktiskt väljer att beskriva det (ibid, s. 9). Jag har även valt att lägga till uppfattningen om hur lärarna beskriver sin undervisning och vad de gör i sin undervisning. Jag väljer att använda begreppet uppfattning, även när de beskriver ett utförande eftersom det syftar till hur lärarna i studien uppfattar att de gör på ett visst sätt.
4.5 Etiska principer
Det finns forskningsetiska principer som har till syfte att ge normer för förhållandet mellan forskare och undersökningsdeltagare. Det finns fyra grundläggande krav vilka är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2002, s. 6). Informationskravet handlar om forskarens skyldighet att meddela deltagarna i studien om deras uppgift i studien samt de villkor som gäller för deltagandet (ibid, s. 7). Detta gjordes via en samtyckesblankett (se bilaga 1). På blanketten framgick att deltagandet är frivilligt och att deltagarna får avbryta sitt deltagande när som helst under studiens gång. Det andra kravet är samtyckeskravet och innebär att deltagaren behöver ge samtycke till forskaren för sin medverkan. Samtycket skedde när deltagarna skrev under samtyckesblanketten. Där informerades också deltagarna att de hade själva
15
rätt att bestämma över sin medverkan och att de hade rätt att avbryta deltagandet i studien (Vetenskapsrådet, 2002, s. 9).
Det tredje kravet är konfidentialitetskravet. Enligt detta krav måste alla uppgifter och material som deltagarna lämnar i undersökningen behandlas med sekretess. Alla personuppgifter måste förvaras och behandlas så att ingen obehörig kan komma åt uppgifterna (Vetenskapsrådet, 2002, s. 12). Detta appliceras i studien på sådant vis att deltagarna har avidentifierats och benämns med bokstäver. Det fjärde kravet som benämns är nyttjandekravet vilket betyder att nyttjandet av informationen som samlats in under studien endast får användas för forskningsändamål. (ibid, s. 14). Detta förmedlades till deltagarna vid början av intervjun.
16
5. Resultat
I detta avsnitt redovisas resultatet av studien genom de skilda uppfattningar som har kunnat urskiljas från det transkriberade materialet. Kategorierna framkom av lärares uppfattningar och visar på likheter och skillnader. Tre kategorier presenterats i resultatet, en kategori till den första forskningsfrågan ”Vilka olika uppfattningar har lärare av huvudräkningsstrategier?” samt två kategorier till den andra forskningsfråga ”Hur uppfattar lärare sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning?”. I varje kategori har 3 − 4 aspekter kunnat urskiljas.
5.1 Lärares uppfattningar av huvudräkningsstrategier
I avsnittet nedan besvaras den första forskningsfrågan ”Vilka olika uppfattningar har lärare av huvudräkningsstrategier?”. Från det transkriberade materialet urskildes tre olika aspekter om hur lärare uppfattar huvudräkningsstrategier vilka är att huvudräkningsstrategier är ett resonemang, huvudräkningsstrategier ska underlätta räknandet och fungera som en genväg samt huvudräkningsstrategier är generaliserbara kunskaper. Dessa aspekter presenteras nedan.
Den första aspekten som urskildes från materialet är att huvudräkningsstrategier uppfattas som ett slags resonemang om hur en individ löser en uppgift. Lärare C förklarar detta på följande sätt:
Lärare C: Det är olika sätt att tänka, olika sätt att komma fram till en lösning. Man kan ta hjälp av tidigare erfarenheter i matematiken för att komma fram till en lösning. Så det är hur man tänker för att komma fram till en lösning […] ett nytt sätt för varje strategi.
Utifrån citatet beskrivs huvudräkningsstrategier som olika resonemang som underlättar uträkningarna för att på ett lyckat sätt lösa en uppgift. Lärare C beskriver att varje huvudräkningsstrategi är ett nytt tankesätt. Elever gynnas av sina tidigare erfarenheter när
17
de använder olika huvudräkningsstrategier för att kunna överföra sina kunskaper i nya sammanhang och på så vis utföra huvudräkningen lättare.
Den andra aspekten som urskildes var att huvudräkningsstrategier ska underlätta räknandet och hitta genvägar i uträkningarna. Lärare C och E beskriver det på följande sätt:
Lärare C: Strategierna är till för att underlätta räknandet så dom behöver olika strategier för att slippa räkna med fingrarna.
Lärare E: De ska ju hitta genvägar med strategierna. Man måste ju kunna räkna utan papper och penna i det vardagliga livet, och ha lite rimlighetstänk.
Från citaten urskilts en uppfattning om att huvudräkningsstrategier handlar om att underlätta räknandet och hitta genvägar som gör att det snabbare att räkna. Att hitta genvägar betyder att det ska vara snabba beräkningar som sker smidigt i huvudet, utan att behöva skriva eller rita talen på ett papper. Genom att använda olika genvägar tas belastningen på arbetsminnet bort och uträkningen kan ske på ett smidigare sätt. Det framkommer även att elever behöver utveckla ett rimlighetstänk för att lyckas tillämpa huvudräkningsstrategier på ett lyckat vis och avgöra om uträkningen stämmer.
Den tredje aspekten urskiljer uppfattningen att huvudräkningsstrategier till viss del handlar om generaliserade kunskaper som underlättar vid uträkningar.
Lärare A: Och har man byggt en fast grund kring talen 0 till 20 så har man en grund som man kan använda sig av generaliseringar där man kan se mönster, tex 3+5 och 3+15 och kunna se det mönstret.
18
Av citatet ovan urskiljs uppfattningen att en huvudräkningsstrategi beskrivs som att kunna se mönster genom att använda sig av generaliserade kunskaper. Det urskiljs att en uppfattning om huvudräkningsstrategier handlar om att kunna överföra kunskaper om hur tal hör ihop och ha en automatiserade kunskaper kring tal för att underlätta räknandet.
5.2 Sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning
I detta avsnitt besvaras den andra forskningsfrågan ”Hur uppfattar lärare sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning?” genom två olika kategorier. Den första kategorien beskriver lärares uppfattningar av vad som anses vara viktigt att fokusera på i undervisningen om huvudräkningsstrategier följt av uppfattningar av sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning.
5.2.1 Lärares uppfattningar av undervisningen om huvudräkningsstrategier
För att kunna få svar på forskningsfrågan ”Hur uppfattar lärare sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning?” är det av relevans att först förstå hur lärarna i studien uppfattar att deras undervisning ser ut för att senare förstå hur de uppfattar sambandet mellan undervisningen av huvudräkningsstrategier och taluppfattning. Av det transkriberade materialet urskildes 4 olika aspekter vilka är att lärare känner sig styrda av läromedlet i undervisningen, undervisningen kring strategier är tidigt inriktad, huvudräkningsstrategier introduceras med konkreta hjälpmedel och undervisningen kring strategier ska vara ett återkommande moment. De olika aspekter beskrivs nedan.
Den första aspekten som urskildes från det transkriberade materialet var att Lärare A och C sig styrda av läromedlet de använder när introducerar de strategier i undervisningen.
19
Lärare C: Jag brukar välja det som läromedlet använder sig av för att inte virra till det för eleverna och för att dom ska känna sig bekanta med sättet att räkna. Så känner dom sig trygga med sen när dom jobbar i boken också.
Från citatet beskriver Lärare A och C att undervisningen om huvudräkningsstrategierna ges den tiden som läromedlet avser. Lärare C anser att valet av strategier väljs utifrån läromedlet för att eleverna då är bekanta med det upplägget. Varken Lärare A eller C har huvudräkningsstrategier som ett återkommande moment i undervisningen.
Den andra aspekt som har urskilts är att undervisningen om huvudräkningsstrategier ska ske ett tidigt stadie i undervisningen. Vidare anser lärare C att undervisningen är mest koncentrerad i årskurs 1.
Lärare C: Den är nog mest koncentrerad i ettan. Sen bygger man ju på. Men det är mycket andra strategier, skriftliga strategier, i de andra årskurserna. Man fokuserar mycket på det i ettan för att få med alla på banan, annars är det svårt att komma vidare i utvecklingen.
Citatet ovan beskriver att det är viktigt att elever får möjlighet att träna upp sina färdigheter i huvudräkning i årskurs 1 för att vidare kunna utveckla nya strategier, både skriftliga− och huvudräkningsstrategier i ett senare skede i matematikundervisningen. När elever sedan utvecklar andra förmågor i matematiken kan de bygga vidare på sina redan kända kunskaper om strategier och utveckla nya strategier som passar bättre för nya talområden. Dock läggs det mer fokus på att undervisa om skriftliga metoder i den senare undervisningen.
Den tredje aspekten som urskilts är att huvudräkningsstrategier introduceras med hjälp av konkret material. Lärare E har erfarenheter av att det är bättre att börja med det skriftliga för att sedan kunna översätta strategierna i hjärnan och använda det som en huvudräkningsstrategi.
20
Lärare E: Dock börjar vi med det skriftligt för att det blir mer konkret, men som eleverna senare ska överföra till mental huvudräkning.
Från citatet ovan urskiljs uppfattningen att undervisningen av huvudräkningsstrategierna introduceras genom att visa strategierna visuellt för eleverna genom att antigen rita eller skriva ner uträkningen först. Genom att elever får se en huvudräkningsstrategi visuellt och se hur den ska användas blir det tydligare för dem hur de ska överföra kunskaperna när de räknar utan hjälpmedel.
Den fjärde aspekten som urskildes var uppfattningen att huvudräkningsstrategier ska finnas med matematikundervisningen kontinuerligt och ett återkommande moment. Lärare B, D och E beskriver att de arbetar mycket med olika strategier som ett återkommande moment.
Lärare B: Jag tycker att vi använder det i princip varje lektion. Det är inte nya strategier varje gång men man gör olika huvudräkningsuppgifter. Man drillar bland annat. Då är något man tränar på väldigt mycket för att få det befäst.
Uppfattningen som urskils av citatet är att huvudräkningsstrategier ska finnas med under varje undervisningstillfälle. Lärare B vill ge eleverna mycket tid i undervisningen för att få räkna med och utveckla huvudräkningsstrategier. På så vis kan huvudräkningsstrategierna kunna användas lätt och utan mycket tankekraft. Undervisningen kring huvudräkningsstrategier är därmed en central del i undervisningen. Ytterligare uppfattningar som urskilts är att huvudräkningsstrategier är något som eleverna behöver få öva mycket på för att automatisera olika huvudräkningsstrategier och på ett smidigt sätt välja en strategi som passar för uppgiften. Genom att ge eleverna mycket tid i undervisningen till att få öva och räkna med olika huvudräkningsstrategier så krävs det mindre tankeverksamhet och de kan använda olika huvudräkningsstrategier på ett obegränsat sätt. Vidare beskriver Lärare B:
Lärare B: Man vill ju hitta en strategi som är hållbar i alla lägen, som inte bara funkar här och nu i årskurs tre, utan funkar på högre talområden och vidare ut i livet så att man inte
21 binder sig fast vid någonting som bara funkar här och nu utan en strategi som underlättar räknandet och som är hållbar i större talområden.
Från citatet urskiljs det att huvudräkningsstrategier handlar om att strategier ska vara hållbara i flera sammanhang. Att hitta en strategi som är fungerande oavsett de innefattande talen är en viktig aspekt. Det innebär att strategin är överförbar inom olika talområden och räknesätt. Därför vill Lärare B att undervisningen ska vara öppen och mångsidig så att elever ska kunna utveckla de förmågor som krävs för att kunna räkna obegränsat med huvudräkningsstrategier.
5.2.2 Lärares uppfattningar av sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning
Nedan beskrivs lärarnas uppfattningar av sambandet mellan huvudräkningsstrategier och taluppfattning. Från det transkriberade materialet urskildes fyra aspekter. De fyra aspekterna är huvudräkningsstrategier består av automatiserade kunskaper som kopplas till taluppfattning, huvudräkningsstrategier är generaliserbara kunskaperna visar på ett samband mellan taluppfattning och huvudräkningsstrategier, huvudräkningsstrategier utvecklas i samspel med att taluppfattningen utvecklas och taluppfattningen behöver utvecklas innan elever kan använda huvudräkningsstrategier. De fyra aspekterna beskrivs nedan.
Den första aspekten som urskildes från det transkriberade materialet är att huvudräkningsstrategier är automatiserade kunskaper som kopplas till taluppfattningen. Lärare A och D delar en uppfattning av att huvudräkningsstrategier till viss del består av automatiserade kunskaper av talraden, tiotalskompisarna, hur tal kan delas upp och sambandet mellan tal är viktiga för den grundläggande förståelsen för matematik, vilket är en del av taluppfattningen.
Lärare A: I årskurs 1 försöker man ju bygga upp en stabil grund att stå på med talen 0 till 20 och befästa dem på alla sätt och vis. Det är ju jätteviktigt för man måste ju kunna
22 automatisera talraden, addition och subtraktion och relationen till varandra. Annars kommer man ju inte vidare sen heller och kan inte använda huvudräkning.
Lärare D: Det är också viktigt att dom kan lära tiotalskompisarna. Dom måste vara automatiserade för att klara av huvudräkning.
Av citaten urskiljs det att Lärare A och D anser att automatiserade kunskaper underlättar vid uträkningar och vidare lägger grunden för att kunna använda huvudräkningsstrategier. Lärare D uppfattar att när elever har automatiserat kunskaper om talen har de utvecklat en förmåga hur tal kan delas upp och hör ihop. Dessa kunskaper erfars vara till stor hjälp när elever sedan använder sig av olika huvudräkningsstrategier. Enligt Lärare A behöver elever behöver ha en utvecklad taluppfattning innan de kan räkna med huvudräkningsstrategier på ett lyckat sätt annars kan elever inte komma vidare i sin utveckling.
Den andra aspekten som urskils är att huvudräkningsstrategier är generaliserbara kunskaper. De generaliserbara kunskaperna visar på ett samband mellan taluppfattning och huvudräkningsstrategier. Lärare B och D delar uppfattningen att huvudräkningsstrategier handlar om att kunna se mönster i talen.
Lärare D: Jag tror att när elever kan se mönster går räknandet lättare. När de kan se mönster så dom slipper räkna allt. 8 + 4 är 12, då kan dom se att 18 + 4 är 22, det blir ju en huvudräkningsstrategi.
Lärare B: Egentligen har jag nog inte tänkt på det som något som är kopplat till varandra, men nu när du säger det har jag tänkt efter. Alltså för att få taluppfattning, för att veta tal som är större måste man ju kunna addition eller tal som är mindre måste man kunna subtraktion. Och ja huvudräkning kommer ju in på taluppfattning om man tänker på tal som ett mönster.
23
Av citatet ovan urskiljs uppfattningen att huvudräkningsstrategier anses som en generaliserbar kunskap att kunna se mönster som vidare kan överföras i nya sammanhang och på så vis utföra huvudräkningen på ett smidigare sätt. Det är också nödvändigt att elever förstår positionerna i de ingående talen för att på ett lyckat sätt kunna applicera kunskaperna om mönster när de räknar med huvudräkningsstrategier. En del av taluppfattningen är att kunna se mönster och förstå positionerna i talet, vilket utvecklar olika huvudräkningsstrategier.
Den tredje aspekten som urskiljs är att uppfattningen att huvudräkningsstrategier utvecklas i samspel med att taluppfattningen utvecklas. Vidare beskriver Lärare B att taluppfattning är något som alltid är centralt i undervisningen utan att det synliggörs i arbetssättet.
Lärare D: Samtidigt tror jag att elever övar sin taluppfattning genom att räkna med huvudräkningsstrategier. De utvecklas lite samtidigt.
Taluppfattning är något som alltid är centralt i undervisningen utan att det synliggörs i arbetssättet. Kopplingen mellan taluppfattning och huvudräkningsstrategier är enligt denna uppfattning att de utvecklas tillsammans. Genom att få öva på att använda olika huvudräkningsstrategier utvecklas taluppfattningen och ju mer taluppfattningen utvecklas ju lättare blir det att använde olika huvudräkningsstrategier på ett lyckat sätt. Det går inte att räkna med något räknesätt utan att förstå hur talen är uppbyggda, vad som är störst och minst, vilket anses vara en del av taluppfattningen. Vidare går det inte heller att utveckla taluppfattningen utan att kunna räkna med addition och subtraktion, oavsett om det är med hjälp av en huvudräkningsstrategi eller med papper och penna. Vidare har Lärare B och D uppfattningen att undervisningen om huvudräkningsstrategier är ett moment som kopplas ihop till olika områden i matematiken.
Lärare B: Det gör man på en gång skulle jag säga. I princip samtidigt som man introducerar ett nytt talområde, de är fler och färre. Och dubbelt. Det sker nog parallellt.
24
Lärare D: Dom måste ju då ha klart för sig talraden, tiotalsövergångarna och att kunna se mönster. Så det lägger jag mycket vikt på vid uppstart. Sen jobbar man ju med strategierna kontinuerligt hela tiden för att utveckla kunskap om talen, och talraden och att kunna se mönster, samtidigt som man arbetar med ett annat område.
Av citaten urskiljs det att huvudräkningsstrategier utvecklas samtidigt som eleverna lär sig kunskaper kring talen. Förståelsen för hur elever ska använda olika huvudräkningsstrategier behöver utvecklas i takt med att eleverna utvecklas och får nya färdigheter i matematiken. Huvudräkningsstrategierna behöver bli mer komplexa ju mer eleverna utvecklar andra förmågor i matematiken. Ju större talområde en elev utvecklar ju mer komplicerat kommer det att bli att hålla reda på talen i huvudet. Därför behöver eleverna nya huvudräkningsstrategier som är mer lämpade för de nya talområdena. Lärarna uppfattade också att det var en god idé att bygga vidare på de strategier som eleverna redan behärskade.
Den fjärde aspekten som urskilts från det transkriberade materialet är uppfattningen att elever behöver utveckla en god taluppfattning innan de kan använda huvudräkningsstrategier på ett lyckat sätt. Lärare A beskriver att elevers arbetsminne inte klarar av att hålla reda på all information i huvudet utan att se talen konkret.
Lärare A: Dessa elevers arbetsminne kan inte hålla så mycket information än. Dom måste ju få se material, fingrar, plockmaterial och tallinjen.
Från citatet ovan urskils uppfattningen att om eleverna inte har en välutvecklad taluppfattning blir det svårt för dem att räkna, oavsett om det är med penna och papper eller med huvudräkning. En uppfattning är att elever har svårt att förstå olika räknesätt utan att få se talen praktiskt. Det har dessutom visat sig svårt att lära elever huvudräkningsstrategier som är abstrakta utan någon form av konkret material. Det är svårt att visa elever tal utan att visa dem med praktiskt eller laborativt material som representerar talen. Det blir därmed viktigt att ha grundläggande kunskaper kring talen innan det är möjligt att förstå hur en strategi går att applicera. Det praktiska materialet hjälper eleverna
25
att se talen och hjälper dem förstå hur talen är uppbyggda för att sedan kunna använda olika strategier. En uppfattning av undervisningen om huvudräkningsstrategier är att den i detta avseende inte påbörjas parallellt med att ett nytt talområde introduceras. Först får elever utveckla kunskaper kring talen innan de börjar räkna med strategier. Lärare A uppfattar att strategierna inte kommer vara begripliga för elever annars.
5.3 Resultatsammanfattning
Sammanfattningsvis uppfattar lärare att huvudräkningsstrategier är ett hjälpmedel för räknandet som ska underlätta olika uträkningar. Undervisningen kring huvudräkningsstrategier är central och är vidare ett moment som kan kopplas ihop till olika områden i matematiken. På så vis utvecklas strategier samtidigt som eleverna lär sig kunskaper kring talen. Användningen av olika strategier ska gå snabbt och beskrivs som ett sätt att hitta genvägar i olika uträkningar. Huvudräkningsstrategier ska ske direkt i huvudet utan externa hjälpmedel. Lärare har även uppfattningen att en huvudräkningsstrategi är att ha vissa automatiserade kunskaper om talen.
Ett flertal lärare är överens att det är en god ide att påbörja undervisningen om strategier med hjälp av konkret material för att synliggöra tal och räknesätt. Vidare ser synen på hur mycket tid det ska läggas på huvudräkningsstrategier olika ut. En uppfattning som framkommer är att undervisningen ska vara som mest koncentrerad i årskurs 1 medan en annan uppfattning är att undervisningen om huvudräkningsstrategier ska pågå hela tiden för att utveckla användbara strategier. Genom att låta undervisningen fokusera mycket på att eleverna får utforska olika huvudräkningsstrategier kan elever mer fritt välja en strategi som är bäst lämpad för uppgiften. Lärare uppfattar dessutom att undervisningen av huvudräkningsstrategier utvecklar taluppfattningen. Elever övar sin taluppfattning genom att använda olika huvudräkningsstrategier. Dock har vissa lärare i studien uppfattningen om att taluppfattningen utvecklas först innan elever kan använda huvudräkningsstrategier på ett korrekt sätt.
26
6. Diskussion
I den första delen av det här avsnittet diskuteras studiens metod och utförande i förhållande till studiens styrkors, svagheter, validitet och reliabilitet. I den andra delen diskuteras delar av resultatet mot tidigare forskning. Avsnittet avlutas med en kort reflektion om vilka behov som kan tänkas för framtida studier.
6.1 Metoddiskussion
Detta är en studie med inspiration från den fenomenografiska ansatsen som beskriver olika människors uppfattningar av ett fenomen. Det ansågs vara en lämplig ansats då syftet med studien var att ta reda på olika lärares uppfattningar. Det går dock inte att göra en fullständig beskrivning av en uppfattning eftersom en människa aldrig kan beskriva hur de uppfattar något i sin helhet (Kroksmark, 2007, s. 5). En fenomenografisk ansats är en kvalitativ metod vilket lämpar sig för studier vars datamaterial utgår från kvalitativa metoder (Larsson, 1986, s. 12). Det kan vidare vara svårt att säkerhetsställa tillförlitligheten i en kvalitativ studie då det inte går att komma fram till en enda och absolut bild av verkligheten. Däremot kan tillförlitligheten förstärkas genom att säga att det finns fler sätt att se verkligheten på (Bryman, 2016, s. 354). I denna studie deltog det fem lärare med olika lång yrkesverksamhet och utifrån dem framkom det några olika uppfattningar. För att stärka trovärdigheten gällande uppfattningar och uppnå ett större djup i studien skulle det behövts fler intervjuer med fler lärare där deras uppfattningar beskrivits. Tiden för denna studie var begränsad och utifrån ramen för arbetet valdes endast fem lärare ut för intervjuer. Metoden att använda semistrukturerade intervjuer bidrog till en djupare förståelse av de berörda lärarnas uppfattningar av huvudräkningsstrategier i matematikundervisningen som utvecklar taluppfattningen. Vid intervjuerna användes det en intervjuguide, vilket anses vara en styrka vid kvalitativa intervjuer. Då studien grundar sig i en fenomenografisk ansats där syftet är att reda på människors uppfattningar av ett fenomen, är intervjuguiden en bra metod att använda sig av för att få reda på olika uppfattningar (Bryman, 2011, s. 415).
Intervjuerna utfördes via telefon med samtliga deltagare. En fördel med telefonintervjuer är att respondenterna inte har visuell kontakt med den som intervjuar och kan därmed inte påverkas av ansiktsuttryck eller gester som annars skulle kunna påverka att deras svar går
27
i en viss riktning som respondenten tror är tillfredställande för studien (Bryman, 2011, s. 208). Telefonintervjuerna kan därför bidra till att stärka tillförlitligheten i studien då förhoppningen är att respondenterna inte blivit påverkade av mig i sina svar. Inför intervjuerna informerades de berörda lärarna enbart om studiens syfte. De fick inte se intervjufrågorna i förväg. Fördelen med att göra på detta vis var att lärarna till viss del kunde förbereda sig och tänka på hur de uppfattade huvudräkningsstrategier och taluppfattning, samt hur de använde dessa i undervisningen, men inte förbereda sig till den grad att samtalet inte skulle bli spontant. Om deltagarna hade kunnat förbereda sig mer hade en risk varit att det inte gick att ställa följdfrågor. Det kan också ses som en nackdel att inte ge ut intervjufrågorna i förväg, om deltagarna hade fått se frågorna hade de å andra sidan haft tid att förbereda sig och kunnat reflektera över sin undervisning. Genom att inte ge intervjuguiden i förväg kan viktigt information blivit utelämnad. Informationen som samtliga lärare delgav kunde besvara studiens forskningsfrågor och därför anses metoden vara tillräcklig för att uppnå studiens syfte. Trots att avsikten med intervjuerna var att jag som intervjuare inte ska ha påverkar informanterna finns det ingen försäkran om att det inte har skett på ett omedvetet sätt. I resultatet framkommer fler uppfattningar från Lärare D och E än från Lärare A. Detta kan bero på att jag som intervjuade utvecklade nya metoder under intervjuernas gång som ledde till mer informationsrika svar. Mina förkunskaper kring huvudräkningsstrategier och taluppfattning har dock medfört att jag har kunnat göra snabba tolkningar av lärarnas svar vilket har gjort det lättare att ställa följdfrågor. Förkunskaperna bidrog även till att jag förstod innehållet i intervjun och respondenternas svar, vilket har underlättat analysarbetet. Det transkriberade materialet lästes sedan flera gånger för att kunna upptäcka nya saker vid varje tillfälle. Detta bidrar till att främja studiens validitet.
Kvalitativa studier kan medföra en svårighet i att generalisera studiens resultat (Bryman, 2011, s. 369). Deltagare från olika skolor valdes därför ut för att bidra till generalisering. Syftet med detta är att fånga olika variation av erfarenhet och uppfattningar. Urvalskriterierna har använts för att hitta lärare som har kunskap kring området och kan uttala sig kring fenomenet i relevans för studiens syfte. Endast en lärare arbetar i en annan kommun vilket kan påverka utfallsutrymmet för studien. Hade fler lärare deltagit från flera kommuner kunde möjligtvis andra uppfattningar kring huvudräkningsstrategier för att utveckla taluppfattningen framkommit.
28
6.2 Resultatdiskussion
Resultatet i studien har visat många likheter gällande lärares uppfattningar, men också på vissa skillnader. Studiens syfte, som är att ge en bild av olika lärares uppfattningar av hur undervisning med huvudräkningsstrategier kan bidra till att utveckla elevers taluppfattning i årskurserna 1−3, har kunnat besvaras genom de genomförda intervjuerna med lärare.
6.2.1 Lärares uppfattningar av huvudräkningsstrategier
Den första forskningsfrågan ”Vilka olika uppfattningar erfar lärare av huvudräkningsstrategier” urskilde olika aspekter. Det har bland annat urskilts från det transkriberade materialet att huvudräkningsstrategier är olika tankesätt. Olika strategier synliggöras med ett resonemang och det krävs att lärare presenterar flera olika huvudräkningsstrategier för sina elever. På så vis kan elever hitta en strategi som passar bra för dem. Enligt Barrera−Mora och Reyes−Rodriguez (2019, s. 75) utvecklar elever sin taluppfattning genom att möta matematik i olika sammanhang som tillåter dem att resonera. Enligt Skolverket (2019, s. 54) ska undervisningen bidra till att elever utvecklar tilltro på sin egna förmåga att använda matematik i olika sammanhang. En uppfattning som urskildes var att lärare har sett att det är svårt att lära elever att använda olika strategier utan att visa de ingående talen visuellt med siffror och tecken eller med hjälp av konkret material. Jag tror att en kombination av att låta elever resonera i olika sammanhang som Barrera−Mora och Reyes−Rodriguez (2019) menar samt att använda konkret material är är ett bra tillvägagångsätt för att utveckla olika strategier. I denna studie talas det enbart om elever på lågstadiet och det kan dröja innan elever utvecklar olika strategier och kan använda dem flexibelt. Dock menar Barrera−Mora och Reyes−Rodriguez (2019) att elever ska utveckla olika strategier i den tidiga matematik undervisningen och att det gynnar taluppfattningen. Jag ställer mig därför något undrande om det undervisas tillräckligt om strategier i den tidiga matematikundervisningen eller om det borde läggas mer fokus på att undervisa om olika huvudräkningsstrategier.
29
Ytterligare en aspekt som har urskilts är att lärare har en uppfattning att generaliserade kunskaper som underlättar uträkningarna. Detta sätt att se på huvudräkningsstrategier överensstämmer med Csíkos (2012) beskrivning av att strategier i vissa fall kan ses som generella metoder som gör det enklare att planera hur en uppgift kan lösas på ett så smidigt sätt som möjligt (s. 179). Huvudräkningsstrategier uppfattades också som att strategierna ska vara att hitta genvägar i olika beräkningar. Denna uppfattning är i enlighet med Erdem (2016, s. 1169) som menar att huvudräkningsstrategier ska baseras på att hitta genvägar och kunna utföras utan några externa hjälpmedel. Dessutom ger kommentarmaterialet för kursplanen i matematik förklaringen av strategier att de ska bidra till att det uträkningar blir lättare att utföra och underlätta tankearbetet genom att hitta genvägar (Skolverket, 2017, s. 8). Lärares uppfattningar, tidigare forskning och skolverkets definition på strategier stämmer väl överens med varandra. Det visar på att lärare arbetar utifrån läroplan och forskning vilket leder till min slutsats att lärare är väl medvetna om sina val vid undervisning för att låta elever utveckla olika matematiska färdigheter.
6.2.2 Hur uppfattar lärare undervisningen om huvudräkningsstrategier?
En intressant uppfattning som dök upp vid analysen var att lärare ansåg att undervisningen om huvudräkningsstrategier ska påbörjas i ett tidigt skede i elevernas skolår. Genom att påbörja undervisningen om de olika strategierna i tidiga skolåren utvecklas taluppfattningen parallellt med att fler strategier utvecklas (Erdem, 2016, s. 1160; Yang & Huang, 2014, s. 14). Däremot var det lärare i studien som hade uppfattningen att det inte krävdes mycket undervisning om huvudräkningsstrategier. Lärares attityd mot olika strategier och hur de olika strategierna introduceras påverkar elevers möjlighet att lära sig (Blöte et al, 2000, s. 242; Torbeyns et al., 2006, s. 455). Därmed drar jag slutsatsen att undervisningen av huvudräkningsstrategier borde ske på ett planerat och genomtänk vis. En uppfattning som urskiljs är dock att undervisningen sker i direkt koppling med det läromedlet som används. Det går att ställa sig frågande till de lärare som anser att elever inte behöver mer undervisning än den tidsram som läromedlet anger. Det kan ha en negativ effekt på matematikutveckling och vidare kan elevers taluppfattning ta skada och ej utvecklas tillräckligt.
