Polynomapproximation i det komplexa talplanet

(1)

Institutionen för naturvetenskap och teknik

Polynomapproximation

I det komplexa talplanet

(2)

Örebro universitet

Institutionen för naturvetenskap och teknik

Självständigt arbete för kandidatexamen i matematik, 15 hp

Polynomapproximation

I det komplexa talplanet

Linnea Rousu Juni 2019

Handledare: Johan Andersson Examinator: Marcus Sundhäll

(3)

Sammanfattning

Denna uppsats behandlar polynomapproximation i det komplexa talplanet. Några olika kända satser inom ämnet presenteras. Dessa satser redogör för under vilka förutsättningar en kontinuerlig funktion kan approximeras med något polynom, beroende på funktionens definitionsmängd. Som nya resultat visas att en godtycklig kontinuerlig funktion kan approximeras med något polynom som ej antar ett uppräkneligt antal godtyckligt valda värden, då definitionsmängden är en kompakt mängd utan inre punkter med samman-hängande komplement.

(4)

(5)

Innehåll

1 Inledning 5 2 Bakgrund 6 2.1 Historia . . . 6 2.2 Notation . . . 7 2.3 Definitioner . . . 7 2.3.1 Topologiska begrepp . . . 7 2.3.2 Funktionsbegrepp . . . 7 2.3.3 Måtteori . . . 8 2.4 Kända satser . . . 9 3 Resultat 19

3.1 Approximerande polynom skilt från ett begränsat antal värden 19 3.2 Approximerande polynom skilt från ett oändligt antal värden 23

(6)

(7)

Kapitel 1

Inledning

Denna uppsats behandlar polynomapproximation i det komplexa talplanet. Uppsatsen är skriven för att förstås av någon som har grundläggande kunskap inom reell och komplex analys. För grundläggande definitioner och koncept i ämnet hänvisas läsaren till Classical Complex Analysis [8]. För mer histo-ria inom approximationsteori hänvisas läsaren till History of Approximation Theory [17].

Polynomapproximation är ett viktigt område inom matematiken eftersom vi därigenom kan beskriva avancerade funktioner på en enklare form. För-delarna med polynom är dessutom att de är kontinuerliga, analytiska och integrerbara.

I denna uppsats presenteras några kända satser som beskriver under vilka förutsättningar det existerar ett approximerande polynom till en kontinuer-lig funktion, beroende på funktionens definitionsmängd. Samtkontinuer-liga satser i uppsatsen behandlar polynom som likformigt approximerar en godtycklig kontinuerlig funktion. Den likformiga konvergensen innebär att approxima-tionsfelet kan begränsas över hela definitionsmängden. I de grundläggande universitetskurserna i analys lärs approximation med Taylor- och Laurent-polynom ut. För att kunna approximera en funktion med ett Taylor- eller Laurentpolynom av grad n måste funktionen vara n gånger deriverbar. I de satser som presenteras i uppsatsen så ställs inga krav på funktionens deri-verbarhet då definitionsmängden saknar inre punkter.

Som huvudresultat i denna uppsats ges en sats som säger att en godtyck-lig kontinuergodtyck-lig funktion definierad på en kompakt mängd i det komplexa talplanet utan inre punkter och med sammanhängande komplement kan ap-proximeras med ett polynom. Satsen säger att detta polynom dessutom kan väljas så att det, på definitionsmängden, inte antar ett uppräkneligt antal godtyckligt valda värden. Denna sats kan vara användbar om värdemängden till funktionen som approximeras är skiljd från ett uppräkneligt antal värden och denna egenskap önskas behållas av det approximerande polynomet.

(8)

Kapitel 2

Bakgrund

2.1 Historia

Eftersom det alltid finns något mätfel i uppmätt data och naturen inte in-nehåller några konsistenta relationer mellan olika mängder så har behovet av att approximera förhållandet mellan olika mängder alltid funnits. För att approximationsteorin skulle kunna utvecklas behövdes dock ett sätt att beskriva detta förhållande exakt. Funktionsbegreppet började utvecklas av Euler år 1777 [9], då han ville beskriva relationer mellan olika mängder ab-strakt. Därefter har funktionsbegreppet utvecklats till vad det är idag.

Då approximationsteorin började utvecklas användes först Taylorpoly-nom som approximerande polyTaylorpoly-nom. Problemet med detta tillvägagångssätt är dock att Taylorpolynom endast kan tas fram då funktionen är deriver-bar tillräckligt många gånger. Istället önskades någon form av polynomap-proximation som likformigt approximerar kontinuerliga funktioner. År 1854 började Chebyshev [7] studera problemet med att utforma polynom som lik-formigt approximerar en godtycklig kontinuerlig funktion, utan kravet att funktionen ska vara analytisk. Givet polynomets första koefficient och grad sökte han då efter ett sätt att ta fram det polynom som likformigt approx-imerar en kontinuerlig funktion och skiljer sig så lite från noll som möjligt på intervallet [−1, 1]. Dessa polynom kallas idag Chebyshevpolynomen av första ordningen och definieras rekursivt så att de bildar en följd av ortogo-nala polynom. Därefter fortsatte Chebyshev och hans efterföljare att studera polynomapproximation under olika givna förutsättningar. År 1885 tog Wei-erstrass [19] fram ett generellt bevis för polynomapproximation. Han visade då att en godtycklig kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall kan approximeras med något polynom. Därefter kom Lavrentév [15] fram till att Weierstrass approximationssats går att generalisera till det komplexa talplanet år 1936. Han visade då att en kontinuerlig funktion på en kompakt mängd utan inre punkter och med sammanhängande komplement i det kom-plexa talplanet kan approximeras med ett polynom. Några år senare, 1951

(9)

visade Mergelyan [13] att kontinuerliga funktioner på en kompakt mängd med sammanhängande komplement kan approximeras med polynom, även då mängden har inre punkter om funktionen är analytisk i det inre.

2.2 Notation

I denna uppsats låter vi C beteckna det komplexa talplanet och R den reella tallinjen. Vi låter vidare K ⊂ C beteckna en kompakt mängd och Ω ⊂ C en öppen mängd.

2.3 Definitioner

2.3.1 Topologiska begrepp

Definition 2.3.1. En kurva är en kontinuerlig avbildning från ett intervall till ett n-dimensionellt rum. En kurva är sluten om den har samma start-och slutpunkt.

Definition 2.3.2. En öppen mängd Ω ⊂ C är sammanhängande om den inte kan beskrivas som en union av två disjunkta öppna mängder.

Definition 2.3.3. En mängd X är lokalt sammahängande om det för varje punkt x ∈ X och varje område U runt x finns ett område V runt x sådant att snittet U ∩ V är sammanhängande och ligger i U .

Definition 2.3.4. En mängd K ⊂ C är kompakt om den är sluten och begränsad.

Definition 2.3.5. En mängd A är uppräknelig om det existerar en injektiv avbildning mellan A och de naturliga talen N. En mängd som ej är uppräk-nelig är överuppräkuppräk-nelig.

Definition 2.3.6. Låt X ⊂ C vara en mängd. En punkt z är en hopnings-punkt till X om varje omgivning till z innehåller minst en annan hopnings-punkt från mängden X.

Definition 2.3.7. En mängd X är tät i C om varje punkt z ∈ X är en hopningspunkt till X.

2.3.2 Funktionsbegrepp

Definition 2.3.8. Låt Ω ⊂ C vara en mängd och låt f : Ω → C vara en funktion. Vi säger att f är kontinuerlig i z0 ∈ Ω om det för varje ε > 0 finns

något δ > 0 sådant att vi för alla z ∈ Ω har

|z − z0| < δ =⇒ |f (z) − f (z0)| < ε.

Funktionen f säges vara kontinuerlig på Ω om f är kontinuerlig i varje punkt z₀∈ Ω.

(10)

Definition 2.3.9. En funktion f är analytisk på en öppen mängd Ω ⊂ C om f är komplext deriverbar för varje punkt z ∈ Ω.

Definition 2.3.10. En följd {f_n(z0)}∞n=1 av funktioner definierade på en

mängd Ω ⊂ C säges konvergera till en funktion f om, det för varje punkt z ∈ Ω och till varje ε > 0 finns ett naturligt tal N sådant att

|f_n(z) − f (z)| < ε,

för alla n ≥ N . Valet av N beror inte enbart på ε utan kan också bero på z ∈ Ω. Om dessutom, för varje ε > 0 det naturliga talet N kan väljas oberoende av z ∈ Ω så säges följden {f_n(z0)}∞n=1 konvergera likformigt mot

f . På sida 30 i Classical Complex Analysis [8] hittas följande exempel som jämför punktvis och likformig konvergens.

Exempel 2.3.1. Låt fn(z) = _nz, z ∈ C. Följden konvergerar mot f (z) = 0

för varje z ∈ C. För likformig konvergens krävs |_nz| < ε, vilket innebär att vi måste hitta något N sådant att n > |z|_ε då n > N . Men när |z| växer så växer N obegränsat. Alltså konvergerar funktionen fn punktvis men inte

likformigt till f (z) = 0 på C.

Definition 2.3.11. En följd {xn} i ett normerat rum kallas för en

Cauchy-följd om det för varje ε > 0 finns något N sådant att ||xm− xn|| < ε för alla

m, n > N.

Definition 2.3.12. Ett normerat rum E säges vara komplett om varje Cauchyföljd i E konvergerar till ett element i E.

2.3.3 Måtteori

Definition 2.3.13. En σ−algebra är en icketom familj M bestående av delmängder av en mängd X sådan att

1. Om A1, A2, · · · ∈ M så har vi ∪∞i=1Ai∈ M.

2. Om A ∈ M så är X \ A ∈ M.

σ−algebror används som definitionsmängd för mått. Delmängderna av M kallas därför mätbara.

Definition 2.3.14. Låt X vara en mängd med σ−algebra M . Ett mått är en funktion µ : M → [0, ∞] sådan att

1. µ(∅) = 0. 2. Om {A_i}∞

i=1 är en följd av parvis disjunkta mängder i M så måste

följande gälla µ ∞ [ i=1 Ai ! = ∞ X i=1 µ(Ai).

Mått är ett sätt att beskriva storleken på en mängd, exempelvis längd, area eller volym.

(11)

2.4 Kända satser

I detta avsnitt presenteras några, sedan tidigare kända, satser inom approx-imationsteori. Dessa satser beskriver när vi, under olika förutsättningar, kan approximera en funktion med ett polynom. Först presenterar vi en sats för polynomapproximation i det reella talplanet.

Sats 2.4.1 (Weierstrass [19]). Låt [a, b] ⊂ R vara ett slutet intervall. Låt f vara en godtycklig kontinuerlig funktion på [a, b]. Då finns det för varje ε > 0 ett polynom p sådant att

|p(x) − f (x)| < ε, x ∈ [a, b].

Weierstrass sats innebär att en godtycklig kontinuerlig funktion definie-rad på ett slutet reellt intervall alltid kan approximeras likformigt med ett polynom. Att approximationen är likformig innebär att approximationsfelet begränsas över hela intervallet.

Nedan bevisas Weierstrass sats genom att Bernsteinpolynom konstrueras. Därefter visas att dessa konvergerar mot en godtycklig kontinuerlig funktion på en kompakt reell mängd. Bernsteinpolynom definieras som en linjärkom-bination av baspolynom, Bn(x) = n X k=0 βkbk,n(x), bk,n = n k xk(1 − x)n−k,

där β_k är koefficienter. Beviset nedan följer till stora delar beviset på sida 30 i Theory of Approximation Theory [1], men vi redovisar här flera steg som utelämnas i [1].

Bevis. Låt f vara en godtycklig kontinuerlig funktion på intervallet [a, b] ⊂ R. Utan inskränkning på allmängiltligheten kan vi välja a = 0, b = 1. Låt

Bn(x) = n X k=0 n k xk(1 − x)n−kf k n , n ≥ 1.

Vi vill visa att det finns någon följd av εn> 0 sådan att limn→∞εn= 0 och

|Bn(x) − f (x)| < εn, x ∈ [0, 1]. Vi har n X k=0 n k xk(1 − x)n−k= 1. (2.1)

Vi sätter in p = x, q = 1 − x i (2.1), vilket ger

n X k=0 n k pkqn−k= (p + q)n. (2.2)

(12)

Vi deriverar båda leden med avseende på p och multiplicerar sedan båda led med p_n, vilket ger

n X k=0 k n n k pkqn−k = p(p + q)n−1. Vi sätter nu in p = x och q = 1 − x, vilket ger

n X k=0 k n n k xk(1 − x)n−k = x. (2.3)

Vi beräknar nu andraderivatan med avseende på p för båda led i (2.2) och får n X k=0 k(k − 1)n k pk−2qn−k= n(n − 1)(p + q)n−2.

Vi multiplicerar sedan båda led med _np22 och delar upp vänsterled i två

sum-mor. Detta ger

n X k=0 k2 n2 n k pkqn−k− 1 n n X k=0 k n n k pkqn−k = n − 1 n p 2_{(p + q)}n−2_.

Vi sätter p = x, q = 1 − x och utnyttjar (2.3), vilket ger

n X k=0 k2 n2 n k xk(1 − x)n−k = 1 nx + 1 − 1 n x2. (2.4)

Likheterna (2.1), (2.3) och (2.4) ger

n X k=0 k n− x 2 n k xk(1 − x)n−k =1 nx + 1 − 1 n x2− x2 ₌ x(1 − x) n . (2.5)

Vi vill nu visa att |f (x) − Bn(x)| < εn. För att göra detta multiplicerar vi

(2.1) med f (x) och subtraherar Bn(x), vilket ger

|f (x) − Bn(x)| = n X k=0 f (x) − f k n n k xk(1 − x)n−k = S1+ S2, (2.6)

där S₁ är summan för de k sådana att |_nk− x| ≤ n−14 och S₂ är summan för

resterande k. Låt ε0_n= max k:|k_n−x|≤n− 14 f (x) − f k n .

(13)

Till följd av kontinuitet får vi lim

n→∞ε 0

n= 0. (2.7)

För den första summan S1 får vi då

S1 ≤ ε0n X k:|k n−x|≤n − 1 4 n k xk(1 − x)n−k. Likheten (2.1) ger S1 ≤ ε0n n X k=0 n k xk(1 − x)n−k= ε0_n.

Vi undersöker nu den andra summan. Eftersom f är kontinuerlig på [0, 1] så begränsas f av någon konstant M, det vill säga |f (x)| ≤ M för x ∈ [0, 1]. Eftersom k_n ∈ [0, 1] så har vi även |f (k_n)| ≤ M . Vi får då

S2 ≤ 2M X k:|k_n−x|≥n− 14 n k xk(1 − x)n−k ≤ 2M X k:|k_n−x|≥n− 14 (k − nx)2 (k − nx)2 n k xk(1 − x)n−k . Vi har (k − nx)2= (n(k_n− x))2_≥√_n3 _{för k : |}k n− x| ≥ n −1 4, vilket ger S2≤ 2M X k:|_nk−x|≥n− 14 (k − nx)2 √ n3 n k xk(1 − x)n−k ≤ √2M n3 n X k=0 n2 k n− x 2 n k xk(1 − x)n−k . Av (2.5) får vi S2 ≤ 2M √ n3 |nx(1 − x)| . Eftersom |x(1 − x)| ≤ 1₄ för x ∈ [0, 1] så får vi S2 ≤ M 2√n.

(14)

Låt ε00_n= ₂M√ n, eftersom M är en konstant så får vi lim n→∞ε 00 n= 0. (2.8)

Vi sätter in S1 ≤ ε0n och S2 ≤ ε00n i (2.6), vilket ger

|f (x) − Bn(x)| < ε0n+ ε 00

n= εn, x ∈ [0, 1] (2.9)

där εn = ε0n+ ε00n. Gränsvärdena (2.7) och (2.8) ger limn→∞εn = 0. Detta

innebär att vi för något tillräckligt stort n har εn < ε. Vi sätter in detta i

(2.9), vilket ger

|f (x) − Bn(x)| < ε, x ∈ [a, b].

Vi presenterar nu en generalisering av satsen ovan till det komplexa tal-planet.

Sats 2.4.2 (Mergelyan [13]). Låt K ⊂ C vara en kompakt mängd med sam-manhängande komplement. Låt f vara en godtycklig kontinuerlig funktion på K som är analytisk i det inre. Då finns det för varje ε > 0 ett polynom p sådant att

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K.

För bevis hänvisas till s. 59 i Topics in Complex Analysis [4]. Mergely-ans sats är den direkta utvidgningen av Weierstrass sats (sats 2.4.1) till det komplexa talplanet. Notera att Mergelyans sats kan användas för att bevisa Weierstrass sats, eftersom den reella mängden [a, b] är en kompakt mängd i C med sammanhängande komplement. Därmed är Mergelyans sats starkare än Weierstrass. Kraven som ställs på mängden K och funktionen f är nöd-vändiga för att vi ska kunna approximera funktionen med ett polynom på mängden. Frågan är varför vart och ett av de är nödvändiga, vilket vi reder ut nedan.

Fråga 1. Varför måste funktionen vara kontinuerlig på K?

Svar. Vi vill approximera funktionen med ett polynom, som per definition är kontinuerligt. Om funktionen har någon diskontinuitetspunkt så finns det något område runt diskontinuitetspunkten där polynomet ej konvergerar mot funktionen.

Fråga 2. Vad händer då komplementet ej är sammanhängande?

Svar. Nedan följer ett exempel då en funktion ej kan approximeras likfor-migt med något polynom. En kortfattad version av exemplet finns på [18]. I exemplet används följande proposition.

(15)

Proposition 2.4.1. Låt γ : [a, b] → A vara en kurva på ett område A och låt ε > 0 vara givet. Låt vidare f och g vara två kontinuerliga funktioner på en kompakt mängd K sådana att

|g(z) − f (z)| < ε, z ∈ K Då har vi I γ g(z)dz − I γ f (z)dz < l(γ)ε, z ∈ K där l(γ) är längden av γ.

För bevis hänvisas till s. 214 i Basic complex analysis [10]. Exempel 2.4.1. Låt

f (z) = 1 z.

Kan vi för varje ε > 0 hitta något polynom p som likformigt approximerar f på enhetscirkeln K = {z ∈ C : |z| = 1}, alltså något p sådant att

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K? (2.10) Vi antar att polynomet p uppfyller (2.10) för ε = 0.1. Enligt proposition 2.4.1 så ska då kurvintegralenH Kp(z)dz likformigt approximera H Kf (z)dz, I K p(z)dz − I K f (z)dz < 2π · 0.1, z ∈ K.

Eftersom p är ett polynom så är det analytiskt i |z| < 1, enligt Cauchys sats får vi då

I

K

p(z)dz = 0.

Däremot är funktionen f (z) = _z1 inte analytisk i punkten z = 0 och varia-belbytet z = eit ger I K 1 zdz = I 2π 0 e−itieitdt = 2πi. Vi får alltså I K p(z)dz − I K f (z)dz = 2π > 2π · 0.1.

Så för ε = 0.1 finns det inget polynom p som uppfyller (2.10). Då kom-plementet ej är sammanhängande kan alltså inte en godtycklig kontinuerlig funktion approximeras med ett polynom.

(16)

Svar. Nedan följer ett exempel på en kontinuerlig funktion som inte är ana-lytisk i det inre och som därför inte kan approximeras likformigt med ett polynom.

Exempel 2.4.2. Låt f (z) = ¯z och K = {z ∈ C : |z| ≤ 1}. Funktionen är kontinuerlig på K men ej analytisk i det inre, se [16, Exempel 2, s. 67]. Precis som i exempel 2.4.1 vill vi se om det för varje ε > 0 finns något polynom p sådant att

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K. (2.11) Vi antar därför att polynomet p uppfyller (2.11) för ε = 0.1. Precis som i exempel 2.4.1 så har vi enligt proposition 2.4.1 att kurvintegralenH_∂Kp(z)dz ska approximera H

∂Kf (z)dz likformigt då ∂K är randen till K. Eftersom p

är ett polynom så är det analytiskt i |z| < 1 så vi får, enligt Cauchys sats att

I

∂K

p(z)dz = 0.

Funktionen f (z) = ¯z är ej analytisk i |z| < 1 och variabelbytet z = eit _ger

(precis som för f (z) = 1_z i exempel 2.4.1) I ∂K ¯ zdz = I 2π 0 e−itieitdt = 2πi.

Av samma anledning som i exempel 2.4.1 kan då inte p approximera f . Så-ledes har vi visat att en godtycklig kontinuerlig men ej analytisk funktion inte kan approximeras med ett polynom på en kompakt mängd med sam-manhängande komplement.

Fråga 4. Vad händer då mängden ej är kompakt?

Svar. Nedan följer ett exempel då mängden ej är begränsad och således ej kompakt.

Exempel 2.4.3. Låt f (z) = sin(z), definierad på den reella tallinjen R. Notera att komplementet C \ R ej är sammanhängande. Kan vi för varje ε > 0 hitta något polynom p sådant att

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ R? (2.12) Vi antar att p(z) = a_nzn+ an−1zn−1+ · · · + a0 uppfyller (2.12) för ε = 0.1

och låter

˜

p(z) = p(z) + p(z)

(17)

Vi har då ˜ p(z) = an+ an 2 zn+ an−1+ an−1 2 zn−1+ · · · + a0+ a0 2 = Re(an)zn+ Re(an−1)zn−1+ · · · + Re(a0).

Polynomet ˜p är alltså sådant att ˜

p(z) = Re(p(z)), z ∈ R. (2.13)

Eftersom funktionen f är reellvärd så måste vi ha

| Re(p(z)) − f (z)| ≤ |p(z) − f (z)| < 0.1, z ∈ R. Enligt (2.13) får vi alltså

|˜p(z) − f (z)| < 0.1, z ∈ R.

Funktionen f (z) antar värdena 1 och −1 oändligt många gånger, vilket in-nebär att det måste finnas oändligt många punkter z∗, z∗∗sådana att

|˜p(z∗) − 1| < 0.1, |˜p(z∗∗) − (−1)| < 0.1 z ∈ R.

Alltså måste ˜p(z) byta tecken oändligt många gånger. Enligt satsen om mel-lanliggande värden måste då p(z) ha oändligt många nollställen på R. Men ett polynom kan endast ha ett ändligt antal nollställen, så därför kan inte ˜p vara ett polynom. Därmed kan inte heller p vara ett polynom.

Vi presenterar nu ett specialfall av Mergelyans sats (sats 2.4.2), då mäng-den saknar inre punkter.

Sats 2.4.3 (Lavrentév [15]). Låt K ⊂ C vara en kompakt mängd med sam-manhängande komplement utan inre punkter. Låt f vara en godtycklig kon-tinuerlig funktion på K. Då finns det för varje ε > 0 ett polynom p sådant att

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K.

Att mängden K saknar inre punkter och har ett sammanhängande kom-plement innebär att det exemplevis kan vara en kurva som inte är sluten eller innehåller några slutna kurvor. Till exempel uppfyller ett slutet reellt intervall, [a, b] ⊂ R kraven för K. Vilket innebär att Weierstrass sats (sats 2.4.1) följer av Lavrentévs sats.

(18)

Figur 2.1: Fyra inramade exempel på kompakta mängder K med samman-hängande komplement utan inre punkter. Notera att den disjunkta unionen av dessa mängder också är en kompakt mängd med sammanhängande kom-plement.

Bevis. Låt ε > 0 vara givet. Då K saknar inre punkter så finns det inget krav på att funktionen ska vara analytisk i det inre, således har vi enligt sats 2.4.2 att det finns något polynom p sådant att

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K.

I figur 2.4 visas fyra olika exempel på hur en kompakt mängd K med sammanhängande komplement utan inre punkter kan se ut. Ett annat in-tressant exempel på en sådan mängd är Cantormängden, se [14, Kapitel 13] eller [6, Kapitel 4.1]. Denna mängd fås genom att först ta bort tredjedelen i mitten av intervallet [0, 1] ⊂ R och sedan ta bort tredjedelen i mitten av de två återstående kompakta delmängderna. Processen fortsätter genom att en tredjedel tas bort från mitten av varje återstående delmängd tills vi har oändligt många kompakta delmängder. På steg n har vi en mängd S_n bestående av 2n slutna intervall av längd ₃1n, Cantormängden C definieras

som C = ∞ \ n=1 Sn.

Delmängden S_n har måttet (2₃)n, vilket har gränsvärdet 0 när n → ∞. Ef-tersom Cantormängden C är snittet av alla delmängder S_n så måste även denna ha måttet 0. Cantormängden har flera intressanta egenskaper. Trots att mängden är totalt osammanhängande (mellan varje par av element finns det ett borttaget intervall) så delar Cantormängden egenskaper med slutna begränsade intervall. Alla punkter som ingår i C är hopningspunkter till C och alla hopningspunkter till C ligger i C, precis som för slutna begränsade intervall. Det finns därför inget öppet reellt intervall där mängden C är tät. Cantormängden är dessutom överuppräknelig. Mängderna K = C + iC och K = [0, 1] + iC är också kompakta mängder utan inre punkter och med sam-manhängande komplement. Även dessa mängder har måttet noll och delar de egenskaper som beskrivs ovan om Cantormängden.

Vi kan även konstruera en mängd med positivt mått på liknande sätt. Vi utgår från det reella intervallet [0, 1] och listar alla rationella tal i

(19)

det-ta intervall. Till exempel kan vi lådet-ta a₁ = 0, a2 = 1, a3 = 1₂, . . . . Sedan

tar vi bort alla tal inom 1₈ från a1, ₁₆1 från a2, . . . , ₂n+21 från an och så

vidare. Vi låter S vara mängden av alla punkter som är kvar efter denna process, denna mängd är ett exempel på en fet Cantormängd (även kallad Smith-Volterra-Cantormängd) se [6, Kapitel 4.1]. När mängden konstrueras på detta sätt får den minst måttet 1₂. Mer generellt så har den feta Cantor-mängden, till skillnad från CantorCantor-mängden, positivt mått. I övrigt har den feta Cantormängden samma egenskaper som beskrivs ovan för Cantormäng-den. Ett annat exempel på en fet Cantormängd ges i [14, uppgift 13.3]. Här konstrueras en fet Cantormängd S genom att utgå från intervallet [0, 1] och sedan ta bort ett intervall i mitten av längd 1₄. Därefter tas intervallen i mitten bort från de två återstående intervallen, den sammanlagda längden av de två intervallen som tas bort är 1₈. Därefter tas de mittersta intervallen bort från de kvarvarande intervallen med den sammanlagda längden ₁₆1 och så vidare. När mängden S konstrueras på detta sätt så blir måttet

µ(S) = 1 −1 4 − 1 8− 1 16− · · · = 1 − ∞ X k=2 1 2k = 1 2.

Även mängderna K = S + iS och K = [0, 1] + iS är kompakta mängder med sammanhängande komplement. Precis som den feta Cantormängden har de positivt mått, vilket innebär att arean av mängderna i det komplexa talplanet är positiv. Mängden K = S + iS delar även de andra ovan be-skrivna egenskaperna med Cantormängden. Mängden K = [0, 1] + iS är inte totalt osammanhängande men delar de övriga egenskaperna med den feta Cantormängden.

Vi presenterar nu en utvidgning av Lavrentévs sats 2.4.3 som säger att det approximerande polynomet, under samma förutsättningar, kan väljas så att det saknar nollställen på definitionsmängden.

Sats 2.4.4 (Andersson [2]). Låt K ⊂ C vara en kompakt mängd utan inre punkter med sammanhängande komplement. Låt f vara en godtycklig konti-nuerlig funktion på K. Då finns det för varje ε > 0 något polynom p som är nollskilt på K sådant att

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K. Beviset nedan följer beviset för sats 1 i Andersson [2].

Bevis. Låt ε > 0 vara givet. Enligt sats 2.4.3 så finns det då något polynom P sådant att |P (z) − f (z)| < ε 2, z ∈ K. Låt P (z) = a m Y k=1 (z − zk).

(20)

Eftersom K saknar inre punkter så finns det talföljder zk,n∈ C \ K (2.14) sådana att z_k,n→ z_k. Låt pn(z) = a m Y k=1 (z − zk,n). (2.15)

Vi ser att samtliga nollställen till pn ligger i komplementet C \ K. Eftersom

koefficienterna till p_n konvergerar till koefficienterna till P så ser vi att p_n konvergerar likformigt till P på K. Det finns alltså något n sådant att

|pn(z) − P (z)| <

ε

2, z ∈ K. Därmed kan vi välja p(z) = p_n(z), triangelolikheten ger då

|p(z) − f (z)| ≤ |p_n(z) − P (z)| + |P (z) − f (z)| < ε 2 +

ε

2 = ε, z ∈ K.

Vi använder det faktum att K saknar inre punkter för att visa att vi kan formulera polynomet pn enligt (2.15) med nollställen zk,n som ligger i

kom-plementet, enligt (2.14). Alltså är avsaknaden av inre punkter till mängden K ett centralt steg i beviset, därmed går det inte att applicera beviset på mängder med inre punkter.

(21)

Kapitel 3

Resultat

3.1 Approximerande polynom skilt från ett

begrän-sat antal värden

I detta avsnitt presenteras några generaliseringar av Andersson sats 2.4.4. Först visar vi att vi, under samma förutsättningar, kan approximera en kon-tinuerlig funktion med ett polynom skilt från ett godtyckligt valt värde på definitionsmängden. Sedan används detta resultat för att visa att det ap-proximerande polynomet kan väljas sådant att det på mängden ej antar två godtyckligt valda värden. Därefter visar vi att det kan väljas skilt från ett ändligt antal värden.

Sats 3.1.1. Låt K ⊂ C vara en kompakt mängd med sammanhängande komplement och utan inre punkter. Låt f vara en godtycklig kontinuerlig funktion på K. Då finns det för varje ε > 0 och a ∈ C något polynom p sådant att p(z) 6= a för z ∈ K och

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K.

Bevis. Låt ε > 0 vara givet och låt g(z) = f (z) − a. Eftersom f är en kontinuerlig funktion så är även g det. Enligt sats 2.4.4 finns det då något polynom ˜p sådant att

˜

p(z) 6= 0, z ∈ K och

|˜p(z) − g(z)| < ε, z ∈ K. Låt p(z) = ˜p(z) + a, vi har då att ˜p(z) 6= 0 ger

p(z) 6= a z ∈ K. Dessutom har vi

(22)

För att bevisa satsen använder vi oss av sats 2.4.4. Vi såg att avsaknaden av inre punkter till K var ett centralt steg i beviset av sats 2.4.4. Av den anledningen kan vi inte applicera beviset på mängder med inre punkter. Fråga 5. Om vi kan approximera en kontinuerlig funktion på mängden K med ett polynom skilt från ett värde som i satsen ovan, kan vi då approximera funktionen med ett polynom som på K är skilt från två värden?

Svar. Svaret är ja, vilket vi kan visa med hjälp av satsen ovan. Vi approx-imerar då funktionen med ett polynom skilt från det ena värdet och sedan approximerar vi detta polynom med ett polynom skilt från det andra värdet. För att detta polynom ska vara skilt från båda värdena så måste avståndet mellan de två polynomen vara mindre än avståndet mellan det första poly-nomet och värdet det polypoly-nomet är skilt från.

Sats 3.1.2. Låt K ⊂ C vara en kompakt mängd med sammanhängande komplement och utan inre punkter. Låt f vara en godtycklig kontinuerlig funktion på K. Då finns det för varje ε > 0 och {a₁, a2} ⊂ C något polynom

p sådant att p(z) /∈ {a1, a2} för z ∈ K och

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K.

Bevis. Låt ε > 0 vara givet. Enligt sats 3.1.1 finns det något polynom ˜p sådant att ˜ p(z) 6= a1, z ∈ K (3.1) och |˜p(z) − f (z)| < ε 2, z ∈ K. (3.2)

Eftersom ˜p(z) − a1 är en kontinuerlig funktion på en kompakt mängd K så

antar |˜p(z) − a1| något minsta värde på K, ˜p(z) 6= a1 ger |˜p(z) − a1| 6= 0. Vi

kan därför låta ε1∈ 0,ε 2 (3.3) vara sådant att

|˜p(z) − a1| > ε1, z ∈ K. (3.4)

Enligt sats 3.1.1 finns det något polynom p sådant att

p(z) 6= a2, z ∈ K (3.5)

och

|p(z) − ˜p(z)| < ε1, z ∈ K. (3.6)

Triangelolikheten tillsammans med (3.4) och (3.6) ger

(23)

Detta innebär att p(z) 6= a₁ för z ∈ K. Tillsammans med (3.5) har vi alltså p(z) /∈ {a₁, a2}, z ∈ K.

Triangelolikheten tillsammans med polynomapproximationen enligt (3.2) och (3.6) och definitionen av ε₁ enligt (3.3) och (3.4) ger

Nedan ges ett exempel på hur vi likformigt kan approximera en kontinu-erlig funktion med ett polynom skilt från två värden.

Exempel 3.1.1. Låt K = [0, 1] och låt f (z) = z2. Approximera f likformigt med ett polynom p sådant att |p(z) − f (z)| < 10−6 och p(z) /∈ {0, 1} för z ∈ K.

Låt p(z) = (z − 10−7· i)2_{. Vi får då}

|p(z) − f (z)| = |2z · 10−14+ 10−28| < 10−6, z ∈ K.

Vi ser att detta polynom endast är reellvärt i punkten z = 0, för z ∈ K och vi har p(0) = −10−14. Alltså har vi p(z) /∈ {0, 1} för z ∈ K.

Fråga 6. Kan vi då, under samma förutsättningar, approximera en funktion med ett polynom skilt från ett godtyckligt men ändligt antal värden? Svar. Svaret på frågan är ja, vilket gör sats 3.1.2 till ett specialfall av sats 3.1.3. Bevisidén för att approximera en funktion med ett polynom skilt från ett ändligt antal värden är liknande som för ett polynom skilt från två värden. I beviset nedan bildas en följd av polynom sådan att avståndet mellan två på varandra följande polynom p_i(z) och pi+1(z) är mindre än avståndet mellan

polynomet p_i(z) och alla i värden pi(z) är skilt från. På detta sätt ökar

antalet värden polynomet är skilt från med ett för varje polynom i följden. Om antalet värden vi vill att polynomet ska undvika är n så konstruerar vi alltså polynomföljden på ett sådant sätt att p_n(z) är skilt från de n värden vi vill undvika och så att pnapproximerar f .

Sats 3.1.3. Låt K ⊂ C vara en kompakt mängd med sammanhängande komplement och utan inre punkter. Låt f vara en godtycklig kontinuerlig funktion på K. Då finns det för varje ε > 0 och {a₁, a2, . . . , an} ⊂ C något

polynom p sådant att p(z) /∈ {a1, a2, . . . , an} för z ∈ K och

(24)

Bevis. Låt ε > 0 vara givet. Enligt sats 3.1.1 finns det något polynom p₁ sådant att p1(z) 6= a1, z ∈ K och

|p1(z) − f (z)| <

ε

2, z ∈ K. (3.7)

Eftersom |p1(z) − a1| är en kontinuerlig funktion på en kompakt mängd K så

antar |p₁(z) − a1| något minsta värde på K, p1(z) 6= a1 ger |p1(z) − a1| 6= 0.

Låt ε1∈ 0,ε 2 (3.8) vara sådant att

|p1(z) − a1| > ε1, z ∈ K. (3.9)

För j = 2, 3, . . . , n finns det enligt sats 3.1.1 något polynom pj sådant att

pj(z) 6= aj, z ∈ K (3.10)

och

|p_j(z) − pj−1(z)| <

εj−1

2 , z ∈ K, (3.11)

där εj för 2 ≤ j ≤ n definieras rekursivt så att

εj ∈ 0,εj−1 2 (3.12) och |pj(z) − aj| > εj, z ∈ K. (3.13)

Eftersom |pj(z) − aj| (precis som |p1(z) − a1|) är en kontinuerlig funktion

på en kompakt mängd K så antar |pj(z) − aj| något minsta värde på K.

Att p_j(z) 6= aj enligt (3.10) innebär att |pj(z) − aj| 6= 0. Då εj uppfyller

olikheten (3.13) får vi alltså εj > 0 som i (3.12).

Polynomapproximationen enligt (3.11) och definitionen av εj enligt (3.8),

(3.9), (3.12) och (3.13) ger tillsammans med triangelolikheten

Olikheterna (3.9), (3.13) och (3.14), definitionen av εj enligt (3.8), (3.9),

(3.12) och (3.13) och triangelikheten ger

>εj− εj = 0, z ∈ K

(25)

för alla 1 ≤ j ≤ n. Vilket innebär att

pn(z) 6= aj, 1 ≤ j ≤ n, z ∈ K. (3.16)

Olikheten (3.14) tillsammans med definitionen av p₁enligt (3.7), definitionen av εj enligt (3.8), (3.9), (3.12) och (3.13) och triangelolikheten ger

Eftersom vi har (3.16) och (3.17) så kan vi välja p(z) = pn(z).

När vi konstruerar polynomen i följden {pj}nj=1 så kommer polynomet pj

vara skilt från j värden. Detta ses om vi ersätter polynomet pn i (3.15) med

något polynom p_j definierat enligt (3.7) eller (3.11) och a_j med a_i för i ≤ j. På samma sätt får vi då att olikheterna (3.9), (3.13) och (3.14), definitionen av εj enligt (3.8), (3.9), (3.12) och (3.13) och triangelikheten ger

för alla 1 ≤ j ≤ n. Vilket innebär att

pj(z) 6= ai, 1 ≤ i ≤ j, z ∈ K

för 1 ≤ j ≤ n.

När vi konstruerar det approximerande polynomet p sådant att p(z) 6= ai för i = 1, . . . , n och z ∈ K så låter vi nollställena till funktionerna

p(z) − ai ligga i komplementet. Detta påverkar alltså inte polynomets grad,

utan denna kan låtas vara samma som för ett approximerande polynom utan detta krav. Vi formulerar detta som ett lemma.

Lemma 3.1.1. Låt ˜p(z) vara ett polynom definierat på en kompakt mängd K utan inre punkter. För varje ε > 0 finns det något polynom p av samma grad som ˜p(z) sådant att p(z) 6= a då z ∈ K och

|˜p(z) − p(z)| < ε, z ∈ K.

3.2 Approximerande polynom skilt från ett

oänd-ligt antal värden

Fråga 7. Kan vi även approximera funktioner med polynom skilt från ett oändligt antal värden?

Svar. Nedan visas att detta är sant då mängden av värden som undviks är uppräknelig. Eftersom mängden är uppräknelig så kan vi lista värdena i mängden och sedan låta varje polynom i följden vara skilt från ytterligare ett

(26)

värde jämfört med det föregående, precis som i beviset för sats 3.1.3. Beviset liknar därför till stor del beviset för sats 3.1.3 men vi visar här även att det finns ett polynom p(z) = limj→∞p(z) som på definitionsmängden ej antar

ett uppräkneligt antal värden och approximerar f . I beviset till satsen hänvisar vi till följande sats.

Sats 3.2.1. Låt (X, || · ||_X) vara ett ändligt-dimensionellt normerat vektor-rum. Då är (X, || · ||_X) komplett.

För bevis se Mathonline [12].

Sats 3.2.2. Låt K ⊂ C vara en kompakt mängd med sammanhängande komplement och utan inre punkter och låt A ⊂ C vara en uppräknelig mängd. Låt f vara en godtycklig kontinuerlig funktion på K. Då finns det för varje ε > 0 ett polynom p sådant att p(K) ∩ A = ∅ och

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K.

Bevis. Låt A = {a₁, a2, . . . }. Låt ε > 0 vara givet. Enligt sats 3.1.1 finns det

något polynom p1 sådant att

p1(z) 6= a1, z ∈ K (3.18)

och

|p1(z) − f (z)| <

ε

2, z ∈ K. (3.19)

Låt n vara graden till polynomet p1. Eftersom |p1(z) − a1| är en kontinuerlig

funktion på en kompakt mängd K så antar |p1(z) − a1| något minsta värde

på K. Eftersom p₁(z) är skilt från a1 så har vi att |p1(z) − a1| 6= 0. Vi kan

alltså låta ε1∈ 0,ε 2 (3.20) vara sådant att

|p1(z) − a1| > ε1, z ∈ K. (3.21)

För j = 2, 3, . . . så finns det enligt lemma 3.1.1 något polynom pj av grad

n sådant att pj(z) 6= aj, z ∈ K (3.22) och |pj(z) − pj−1(z)| < εj−1 2 , z ∈ K, (3.23)

där εj för j ≥ 2 definieras rekursivt så att

εj ∈ 0,εj−1 2 (3.24) och |p_j(z) − aj| > εj, z ∈ K. (3.25)

(27)

Eftersom |p_j(z) − aj| (precis som |p1(z) − a1|) är en kontinuerlig funktion

på en kompakt mängd K så antar |pj(z) − aj| något minsta värde på K.

Att pj(z) 6= aj enligt (3.22) innebär att |pj(z) − aj| 6= 0. Då εj uppfyller

olikheten (3.25) får vi alltså ε_j > 0 som i (3.24).

Då polynomen i följden {pj}∞j=1 definieras enligt (3.23) har de grad n.

Därmed ingår polynomen pj i ett (n + 1)−dimensionellt polynomrum. Vi

låter detta rum ha normen

||p|| = max

z∈K|p(z)|.

Det är enkelt att visa att detta polynomrum uppfyller definitionen för ett normerat vektorrum. Därmed är rummet enligt sats 3.2.1 komplett. Poly-nomapproximationen enligt (3.23), formuleringen av εj enligt (3.20), (3.21),

(3.24) och (3.25) och triangelolikheten ger ||p_k− p_l|| = max z∈K |pk(z) − pl(z)| ≤ max z∈K |pk(z) − pk−1(z)| + maxz∈K|pk−1(z) − pk−2(z)|+ · · · + max z∈K|pl+1(z) − pl(z)| < εk−1 2 + εk−2 2 + · · · + εl 2 < k−l X j=1 εl 2j < ∞ X j=1 εl 2j = εl (3.26)

då k > l ≥ 1. Därmed är {pj}∞j=1 en Cauchyföljd. Eftersom polynomrummet

är komplett så konvergerar {p_j}∞_j=1 till ett element i rummet, alltså till ett polynom av högst grad n. Låt

p(z) = lim

j→∞pj(z). (3.27)

Från (3.26) får vi

|p(z) − p_j(z)| ≤ εj, j ≥ 1, z ∈ K. (3.28)

För polynomet p definierat enligt (3.27) får vi med hjälp av (3.25), (3.28) och triangelolikheten

för alla aj ∈ A. Att |p(z) − aj| > 0 innebär att

p(z) 6= aj, ∀aj ∈ A, z ∈ K.

Enligt (3.28) har vi |p₁(z) − p(z)| < ε1 för z ∈ K. Genom att använda (3.19),

(28)

Polynomen i följden {p_j}∞

j=1 definieras på ett sådant sätt att polynomet

pj är skilt från j värden. För ett fixt j > 1 får vi nämligen med hjälp av

(3.25), (3.26) och triangelolikheten att

för alla i < j. Att |pj(z) − ai| > 0 innebär att pj(z) 6= ai, tillsammans med

(3.18) och (3.22) har vi alltså

pj(z) 6= a1, a2, . . . , aj, j ≥ 1, z ∈ K.

Eftersom alla mängder med ett begränsat antal värden är uppräkneliga så är sats 3.1.3 ett specialfall av denna sats. I beviset av satsen ovan använder vi oss av sats 3.1.1 (detta gäller även för sats 3.1.2 och 3.1.3). Beviset av sats 3.1.1 bygger på sats 2.4.4. Att mängden K saknar inre punkter är ett centralt steg i beviset av sats 2.4.4. Därmed kan inte beviset för satsen ovan (eller 3.1.2 och 3.1.3) appliceras på mängder K med inre punkter.

Definitionsmängden K för den kontinuerliga funktionen som approxime-ras med ett polynom skilt från ett uppräkneligt antal värden kan se ut som i figur 2.4. Cantormängden C och mängderna K = C + iC och K = [0, 1] + iC (se s.16 och 17) är också sådana definitionsmängder. Även den feta Cantor-mängden S och mängderna K = S + iS och K = [0, 1] + iS uppfyller kraven på definitionsmängden. Cantormängden har måttet noll, medan den feta Cantormängden har positivt mått, vilket innebär att sats 3.2.2 gäller såväl för mängder med mått noll och mängder med positivt mått.

Exempel på uppräkneliga mängder A som ett approximerande polynom enligt sats 3.2.2 kan undvika är mängden av alla heltal Z och de Gaussiska rationella talen Q + Qi, vilket är en tät mängd i C. Ett annat exempel på en uppräknelig mängd är de algebraiska talen, vilket är de tal som kan uttryc-kas som nollställen till något polynom med heltalskoefficienter. Vi kan alltså konstruera ett approximerande polynom som endast antar icke-algebraiska värden, så kallade transcendenta tal på definitionsmängden. Eftersom de transcendenta talen har intressanta egenskaper och studeras inom talteori så formulerar vi detta som ett korollarium.

Korollarium 3.2.1. Låt K ⊂ C vara en kompakt mängd med samman-hängande komplement och utan inre punkter och låt f vara en godtycklig kontinuerlig funktion på K. Då finns det för varje ε > 0 ett polynom p(z) som på K endast antar transcendenta tal sådant att

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K.

Om vi har ett reellvärt polynom definierat på den reella axeln kan vi approximera det med ett polynom som inte antar några reella värden genom att addera en komplex konstant. Detta är ett intressant fall eftersom de reella talen R är överuppräkneliga. Vi formulerar detta som en proposition.

(29)

Proposition 3.2.1. Låt ˜p vara ett reell-värt polynom definierat på R. För varje ε > 0 finns det något polynom p sådant att p(R) ∩ R = ∅ och

|p(x) − ˜p(x)| < ε.

Bevis. Låt polynomet ˜p(x) vara reell-värt på R. Givet ε > 0 välj δ ∈ (0, ε) och låt p(x) = ˜p(x) + δi. Eftersom ˜p(R) är reellt och δ > 0 så får vi att

p(R) ∩ R = ∅. Vi har också att

|p(x) − ˜p(x)| = δ < ε.

När definitionsmängden är ett kompakt reellt intervall kan vi generali-sera denna proposition till en godtycklig reell-värd kontinuerlig funktion. Vi formulerar detta som en ny proposition.

Proposition 3.2.2. Låt f vara en kontinuerlig reell-värd funktion för x ∈ [a, b] ⊂ R. För varje ε > 0 finns det något polynom p sådant att p(x) /∈ R för x ∈ [a, b] och

|p(x) − f (x)| < ε, x ∈ [a, b].

Bevis. Låt ε > 0 vara givet. Enligt sats 2.4.1 så finns det något polynom ˜p sådant att

|˜p(x) − f (x)| < ε

2, x ∈ [a, b]. (3.30)

Eftersom funktionen f är reell-värd så har vi (precis som i exempel 2.4.3) att

| Re(˜p(x)) − f (x)| ≤ |˜p(x) − f (x)| < ε

2, x ∈ [a, b], (3.31) där koefficienterna till polynomet Re(˜p) är realdelarna av koefficienterna till ˜

p. Enligt proposition 3.2.1 så finns det något polynom p sådant att p(x) /∈ R, x ∈ [a, b] ⊂ R

och

|p(x) − Re(˜p(x))| < ε

2, x ∈ [a, b]. (3.32)

Triangelolikheten tillsammans med (3.31) och (3.32) ger

|p(x) − f (x)| ≤ |p(x) − Re(˜p(x))| + | Re(˜p(x)) − f (x)| < ε

2 + ε

(30)

Kapitel 4

Öppna problem

Huvudresultatet i denna uppsats är att en kontinuerlig funktion på en kom-pakt mängd K utan inre punkter och med sammanhängande komplement kan approximeras med ett polynom som på K är skilt från en uppräknelig mängd A, se sats 3.2.2. Det skulle vara intressant att se hur detta resultat kan generaliseras.

Johan Andersson [3] har formulerat en hypotes som säger att det approx-imerande polynomet p i Mergelyans sats (sats 2.4.2) på definitionsmängden K kan väljas nollskilt. Det enda kravet som tillkommer jämfört med sats 2.4.2 är att funktionen f ska vara nollskild i det inre av K.

Hypotes 4.0.1. [3] Antag att K ⊂ C är en kompakt mängd med samman-hängande komplement och att f är en kontinuerlig funktion på K som är analytisk och nollskild i Ko. Då finns det för varje ε > 0 något polynom p som är nollskilt på K och sådant att

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K.

Hypotesen är inte generellt bevisad men Andersson visar att hypote-sen stämmer då det inre av K är en Jordandomän. En Jordandomän är en mängd som omsluts av en Jordankurva, vilket är en sluten kurva som inte innehåller några slutna delkurvor. Krushchev [11] visar också att hypotesen stämmer då definitionsmängden K är lokalt sammanhängande. Om hypotes 4.0.1 stämmer så går det att generalisera hypotesen så att det approximeran-de polynomet på K är skilt från en godtycklig komplex konstant. Troligen går det också att generalisera hypotesen så att det approximerande polyno-met på K är skilt från en godtyckligt vald ändlig mängd. Vi formulerar detta som en hypotes.

Hypotes 4.0.2. Antag att K ⊂ C är en kompakt mängd med samman-hängande komplement och att A ⊂ C är en ändlig mängd. Antag vidare att f är en kontinuerlig funktion på K som är analytisk i Ko och sådan att

(31)

f (Ko) ∩ A = ∅. Då finns det för varje ε > 0 något polynom p sådant att p(K) ∩ A = ∅ och

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K.

Eftersom hypotes 4.0.1 är bevisad då K är en Jordandomän så skulle det vara intressant att se om även hypotes 4.0.2 kan bevisas för detta specialfall, med metoder som används för att bevisa [3, Sats 5]. Frågan är om vi också kan generalisera hypotes 4.0.1 så att det approximerande polynomet är skilt från en uppräknelig mängd. Om hypotes 4.0.2 kan bevisas så kan vi troligen använda en liknande bevisidé för att bevisa detta, så vi formulerar ytterligare en hypotes.

Hypotes 4.0.3. Antag att K ⊂ C är en kompakt mängd med sammanhäng-ande komplement och att A ⊂ C är en uppräknelig mängd. Antag vidare att f är en kontinuerlig funktion på K som är analytisk i Ko och sådan att f (Ko) ∩ A = ∅. Då finns det för varje ε > 0 något polynom p sådant att p(K) ∩ A = ∅ och

|p(z) − f (z)| < ε, z ∈ K.

Precis som för hypotes 4.0.2 så skulle det vara intressant att se om hy-potesen kan bevisas då K är en Jordandomän, med metoder som används för att bevisa [3, Sats 5].

En annan intressant fråga är huruvida vi kan generalisera sats 3.2.2 så att det approximerande polynomet på K inte antar några värden från en överuppräknelig mängd A. Vi visade i proposition 3.2.2 att en kontinuerlig reell-värd funktion f på ett reellt intervall kan approximeras med ett polynom som, på definitionsmängden, ej antar några reella värden. I detta fall undviks alltså den överuppräkneliga mängden R. Generellt har vi däremot inte visat att en kontinuerlig funktion kan approximeras med ett polynom skilt från mängden R. Vi undrar om det finns några överuppräkneliga mängder A där sats 3.2.2 gäller, vi formulerar detta som en fråga.

Fråga 8. Finns det någon överuppräknelig mängd A ⊂ C sådan att en kontinuerlig funktion f på en kompakt mängd K med sammanhängande komplement utan inre punkter likformigt kan approximeras med ett polynom p sådant att p(K) ∩ A = ∅?

(32)

Litteraturförteckning

[1] N.I Achieser,Theory of Approximation, Dover Phoenix Editions, 2003.

[2] J. Andersson, Lavrent’ev´s approximation theorem with nonvanishing polynomials and universality of zeta-functions., New Directions in Value-distribution Theory of Zeta and L-functions: Wurzburg Con-ference, October 6-10, 2008 (Berichte aus der Mathematik), pages 7–10, December 31, 2009, arXiv:1010.0386v1.

[3] J. Andersson, Mergelyan’s approximation theorem with nonvanishing polynomials and universality of zeta-functions., Journal of Approxi-mation theory 167 (2013) 201-210, 2010, arXiv:1010.0850v6.

[4] M. Andersson, Topics in Complex Analysis, Springer, 1997.

[5] S. Bernstein, Démonstration du théorème de Weierstrass fon-dée sur le calcul des probabilités, Communications of the Kharkov Mathematical Society, Volume XIII, 1912/13, (Frans-ka), http://nonagon.org/ExLibris/bernsteins-demonstration-du-theoreme-de-Weierstrass (Engelsk översättning), Hämtad 2019-05-27.

[6] D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integ-ration, Cambridge University Press, 2008.

[7] P.L Chebyshev, Théorie des mécanismes connus sous le nom de pa-rallélogrammes, Mémoires présentes ‘a l’Academie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg par divers savants, 1854.

[8] B. Epstein och L. Hahn, Classical Complex Analysis, Jones and Bart-lett Publishers, 1996.

[9] L. Euler, De proiectione geographica De Lisliana in mappa generali imperii Russici usitat, Acta academiae scientiarum Petropolitanae, 1777.

[10] M. Hoffman, J. Marsden, Basic Complex Analysis, W.H Freeman and Company, 1987.

(33)

[11] S. Krushchev, Mergelyan’s theorem for zero free functions, Inter-national School of Economics, Kazakh-British Technical Univer-sity, Tole bi 59, Almaty 05000, Kazakhstan, Elsevier Inc, 2013, https://doi.org/10.1016/j.jat.2013.01.003, Hämtad 2019-05-27. [12] Mathonline, Finite Dimensional Normed Linear Spaces are Banach

Spaces , http://mathonline.wikidot.com/finite-dimensional-normed-linear-spaces-are-banach-spaces, Hämtad 2019-05-27.

[13] S.N. Mergeleyan, On the representation of functions by series of polynomials on closed sets, Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S.), 78:405–408, 1951.

[14] F. Morgan, Real Analysis, American Mathematical Society, 2005. [15] M.A. Lavrentév’s. Sur les functions d’une variable complexe

représen-tables par des séries de polynomes, Hermann & Cie, 1936, (Franska). [16] E.B Saff, A.D Snider, Fundamentals of Complex Analysis with Appli-cations to Engineering, Science, and Mathematics, Pearson Educa-tion Limited , 2013.

[17] K-G. Steffens, The History of Approximation Theory, Birkhäuser, 2006.

[18] Q. Yuan, Prove that it’s impossible to approximate 1/z with polynomials on an annulus, Stack Exchange,

https://math.stackexchange.com/questions/262384/prove- that-its-impossible-to-approximate-1-z-with-polynomials-on-an-annulus/262386, Hämtad: 2019-05-27.

[19] K.Weierstrass, Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter will-kürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885.