Komplex analys I, hemuppgifter till vecka 38
1. a) Visa att unionen av ett godtyckligt antal och snittet av ett ¨andligt antal ¨oppna m¨angder ¨ar en ¨oppen m¨angd.
b) Visa att snittet av ett godtyckligt antal och unionen av ett ¨andligt antal slutna m¨angder ¨ar en sluten m¨angd.
2. Har talf¨oljden {zn} = {n 1 − cos(θ/n) + i sin(θ/n)}, d¨ar θ ¨ar ett fixt reellt tal, ett gr¨ansv¨arde d˚a n → ∞ ? (Ledning: Anv¨and Sats 2.2) 3. Visa att om zn → z0 ∈ C och wn → w0 ∈ C d˚a n → ∞, s˚a har
talf¨oljderna {zn+ wn} och {zn· wn} gr¨ansv¨ardena z0+ w0 respektive z0· w0.
4. Unders¨ok om gr¨ansv¨ardet
z→0lim
Im(z2)
|z|
existerar.
5. a) L˚at f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy och z0 = x0+ iy0. Visa att
z→zlim0
f (z) = α+iβ ⇐⇒ ( lim
(x,y)→(x0,y0)u(x, y) = α och lim
(x,y)→(x0,y0)v(x, y) = β).
b) L˚at z = x + iy. Best¨am gr¨ansv¨ardet f¨or uttrycket x2+3yx + ixy, d˚a z → 1 − i.
6. Uttryck funktionen f (z) = f (x + iy) = x2− y + i(2yx) med hj¨alp av z och z.
7. Visa att om funktionen f (z) ¨ar kontinuerlig i punkten z0 s˚a ¨ar ¨aven funktionen f (z) kontinuerlig i z0.
1
