Analys och prediktion av slitage på hjulprofiler och bromsbelägg på tåg

o h bromsbelägg på tåg

Anders Holst

De ember 2011

SICS Te hni al Report T2011:14

ISSN 1100-3154

Sammanfattning

Vi har somen delav det Vinnova-nansieradeprojektet DUST

un-dersökthurBayesianskstatistiskmodellering o havvikelsedetektionkan

användasförattanalyseraslitagepåhjulprolero hbromsbeläggpåtåg.

Vivisarhurmanmeddennaanalyskanltreradata,upptä kaonormalt

slitage,o hförutsäga närdetärdagsför underhåll.Resultatenvisaratt

de föreslagna metodernafungerar my ketbra för analys av dentyp av

tidsseriedatamedtrendersomdethandlaromhär,o hattdetgårattfå

Enviktigdelavunderhålletpåtågrörhjulen,o hinnefattarsåvälbromsbelägg

somhjulproler.Bromsbeläggenslitsnerunderanvändning,o hmåstebytasut

innandeinte hinnerslitasnedhelt.Självahjulenslitso ksågradvis,o hmåste

regelbundetsvarvasom för att prolen skahållasig inom a eptabla gränser.

Hjulprolenbestårblandannatavenänshöjd,somökarmedtideno hintefår

bliförstor,o h enänsbreddsomminskarmedtideno hharenundre gräns.

Euromaintsomutförunderhållpåtågharinstalleratoptiskmätutrustning

på en plats längs spåret, som när tåget rullar förbi kan mäta såväl

broms-beläggens kvarvarande tjo klek, som hjulproler. Mätningarna kan användas

för att upptä kanär något bromsbelägg eller något hjuls prol börjar närma

sigsina gränsvärdeno h därförmåste servas.Men mätningarnaöppnar o kså

uppför meravan eradanalys,som att tillexempelförutsägahur långtid det

ärkvartillsservi ekommerattbehövas.Ettannatexempelärattupptä kaom

någotbromsbeläggslitssignikantsnabbareellerlångsammareändeandra,o h

alltsåkanbehövajusterastrotsattdetinteärutslitetän.Detsomkompli erar

analysenärattmätningarnaärrelativtfå(deförekommeroregelbundetmen i

medel a2gångerive kan)o hsamtidigtbehäftademedenvissosäkerheto h

enandelrenafelmätningar.Manmåstealltsåförstltrerabortorimligavärden,

o hsenfråndekvarvarandeuppskattaenlutningsågottdetgår.

ViharsomendelavdetVinnova-nansieradeDUST-projektet(Dynamiskt

Underhåll,planering o h S hemaläggningför Tåg)studerat Euromaints

mät-ningaravänshöjd,änsbreddo hbromsbeläggstjo klek.Viharfåttdatafrån

hjulenpå220vagnarfrånX2000-tågunderstörstadelenav2008.Meddessa

da-taharvimedhjälpavBayesianskstatistiskmodelleringo havvikelsedetektion

gjorttresaker:

•

Bortltreringavfelaktigadatapunkter.

•

Detektionavonormaltslitage.

•

Prediktionavnärservi ekommerattbehövas.

Statistisk modellering

Samtligatre mättastorheterkanmodelleraspåsammasätt: Deförändras

hu-vudsakligenlinjärtövertiden(ellerlinjärtiantalfärdkilometerommanskavara

noga,men idennastudieapproximeradesdettamedtiden),menmätningenav

dem ärbehäftadmed en storbruskomponent.Bruset äravtvåtyper:dels ett

vanligtmätfelsomvikanantaärGaussiskt,delsienminoritetavfallenetthelt

slumpmässigtvärde sominte harnågotmed denverkligastorheten attgöra.I

detförstafalletinnebärdetattmätvärdet

y

somfunktionavtiden

t

kanskrivas:

där

δ

är detGaussiskabruset.Detgerfördelningenför

y

-värden:

P (y | t) =

r q

_2π

e

−

q

2

(y−kt−l)

2

där

q

är ettgenomvariansenavbruskomponenten

δ

.

Viharmätningarfrånettstortantalkomponenter,somvaro henharegna

k

i

o h

l

i

.(Visserligen börde varaungefär sammaför olikakomponenter, men eftersomvivilltestaomkomponenternaslitsolikafort,såkanviinteimodellen

antaattdeär lika.)

Det första steget är att bygga en Bayesiansk statistisk modell baseratpå

mätdata,vilket innebärattfrånmätdataskaasigenuppfattningomvärdena

påalla

k

i

o h

l

i

. Denna modell skasen användas för alla tre uppgifterna: att ltrera data, bedöma lutningen hos respektive storhet, o h förutsäganär det

börjarblidagsförservi e.

Huvudiden med Bayesianskstatistik äratt manistället föratt försöka

hit-ta punktskattningar på

k

i

o h

l

i

, beräknar helasannolikhetsfördelningar över dem. Poängen äratt när man har en my ket begränsad mängd träningsdata

somdessutomärbehäftadmedganskamy ketbrus,såblirpunktskattningarna

väldigtosäkra.Genomattiställetgenomhelaberäkningarnatahänsyntillalla

möjligavärdenpåparametrarna(viktat medsina respektivesannolikheter)så

får vi ett betydligt stabilare resultat. Visserligen är resultaten självt en

san-nolikhetsfördelning, o h om osäkerheterna ärstora så kan den ha ganskastor

varians,mendåharviiallafall gjortosäkerhetenexpli it,o h självastorleken

påosäkerhetenkananvändastillattdraanvändbaraslutsatser,somt.exomen

lutningäranmärkningsvärdellerbaraenslumpeekt,ellerhurmy ketmarginal

vibehövernärviplanerarinservi etillfällen.

Sådetförstasteget ärattuttry kamodellen förenlinje,dvs enfördelning

överett

k

o h

l

(o hbrusnivån

q

)givetenvektorYavmätvärdenvid tidpunk-ternaivektornT:

P (k, l, q | Y, T ) ∝ P (k, l, q)P (Y, T | k, l, q)

=

P (k, l, q)

Y

i

P (y

i

| t

i

, k, l, q)

=

q

n/2−1

(2π)

n/2

e

−

1

2

q

P

i

(y

i

−kt

i

−l)

2

Härär

P (k, l, q)

apriori-fördelningenöverparametrarna,somvaltslikformigför

k

and

l

,o hför

q

som

P (q) ∝ 1/q

.

Noteraigenattdennamodellalltså intebara beskriveren endalinjesomi

linjärregression, utan en hel familj avlinjer som alla skulle kunna gå genom

deuppmättapunkternamedolikasannolikhet.Föratt kunnaanvändadenför

att beräkna fördelningen för ett nytt mätvärde

z

vid tidpunkten

s

måste vi integreraöveralla möjligalinjer:

P (z | Y, T, s) =

ˆ

=

Γ(

n−1

2

)

√

πΓ(

n−2

₂

)

·

1

√

nV

·

1



1 +

(x−M)

_nV

2



n−1

2

M

=

P y

i

P t

2

i

− s

P t

i

− P y

i

t

i

(P t

i

− sn)

n

P t

2

i

− (

P t

i

)

2

V

=

(n + 1)(P t

2

i

+ s

2

) − (

P t

i

+ s)

2

n

P t

2

i

− (

P t

i

)

2

·

·

P y

2

i

n

−

(P y

i

)

2

n

2

!

−

P y

i

t

i

/n −

P y

i

P t

i

/n

2

2

P t

2

i

/n − (

P t

i

)

2

/n

2

!

DettaärenStudent-t-fördelningöver

z

,medväntevärde

M

o hvarians

V

.

n

är antaletmätpunkteri

Y

o h

T

.Dettauttry kkanvinuanvändaförattförutsäga varnästamätvärdekommeratthamna.

Filtrering

Detförstaviskaanvändamodellenovantillärattltrerabortorimliga

mätvär-denurtidserierna.Detgårtillsåattmanförstantarattallavärdenärkorrekta

o h tränar modellen baserat på dessa. Därefter testar man alla värden med

modellenförattavgörahuravvikandedeärfrånresten.Devärdensomärmest

avvikandeavallasomliggeröverena eptabeltröskeltasbort.Dettaupprepas

fördekvarvarandevärdena,tillsallaärmindreavvikandeäntröskeln.

För att bedöma huravvikandeett mätvärde

z

är, givet vårmodell, så ska mantittapåhurotroligtdetäratt fåettminstlikaovanligtvärde som

z

.Det innebär att titta på volymen av "svansen" på fördelningen bortanför

z

(o h symmetrisktpåbåda sidoromfördelningen). Använderman att

P (z | Y, T, s)

ärenStudent-tmedväntevärde

M

o hvarians

V

såfårmanattintegralenöver svansarnablir:

¯

A(z) =

Γ(

n−1

2

)

√

πΓ(

n

2

)

nV

(z − M)

2

!

n−2

₂

2

F

1

n − 2

2

,

n − 1

2

,

n

2

, −

nV

(z − M)

2

!

där

2

F

1

ärenhypergeometriskfunktion.Dettauttry kanvändervialltsåföratt bedöma hurosannoliktdetärattett mätvärdehörtillsammalinjesomövriga

mätvärden. Omsannolikheten ärför låg,såsorteras värdetbortsom orimligt.

Nedanhartröskeln

0.000001

använts.

Filtrering av hjulproldata

Figur(1)o h(2) visarmätvärden föränshöjdenförett antal hjulpå ett

an-taltåg.Tidsseriernafördeolikahjulenärutlagdaeftervarandralängsx-axeln.

Inomvarjetidsseriemotsvararx-axelntiden.Figur(1)ärföreltreringav

33.001

-5.90709

0

Attr 1

13285

Figur1:Uppmättavärdenpåänshöjd,föreltrering.

33.001

25.9196

0

Attr 1

13256

0

13285

45.1

18.6

Attr 1

Figur3:Uppmättavärdenpåänsbredd,föreltrering.

0

13282

33.4

29.1

Attr 1

Figur4:Uppmättavärdenpåänsbredd,efterltrering.

trenderalls,men efter såserdet my ket bättre ut. Fortfarande kvarstårdo k

envissbruskomponentpådeuppmättavärdena.

Figur(3)o h(4)visarsammasakföränsbredden.Detserungefärlikadant

utdär.

Notera alltså att det inte är en x övre o h undre gräns som bestämmer

vadsom ltrerasbort, utan gränsernaanpassasdynamiskt till varjelinje, o h

ärolikastoralängsolikapositionerpålinjen.

Slitagehastighet

Medsammamodell kanvio ksåanalyserafördelningen övermöjligalutningar

för lutningen från 0 o h åt det håll man är intresserad av. Fördelningen för

lutningen

k

enbartfås genom att integrerabort

l

o h

q

. Återigen får man en Student-t-fördelning:

P (k | X, T ) =

ˆ

l,q

P (k, l, q | Y, T )

=

Γ(

n−1

2

)

√

πΓ(

n−2

₂

)

·

1

√

nV

′

·

1



1 +

(k−M

_nV

′

′

)

2



n−1

₂

M

′

₌

P y

i

t

i

−

P y

i

P t

i

/n

P t

2

i

− (

P t

i

)

2

/n

V

′

₌

 P

y

2

i

/n−

(

P

y

i

)

2

/n

2

P

_t

₂

i

/n−

(

P

_t

i

)

2

/n

2



−

 P

y

i

t

i

/n−

P

y

i

P

t

i

/n

2

P

_t

₂

i

/n−

(

P

_t

i

)

2

/n

2



2

n

Väntevärdetpålutningenär

M

′

o hvariansenpålutningen

V

′

.Integralenöver svansenblir:

¯

A(k) =

Γ(

n−1

2

)

√

πΓ(

n

2

)

nV

′

(k − M

′

₎

2

!

n−2

₂

2

F

1

n − 2

2

,

n − 1

2

,

n

2

, −

nV

′

(k − M

′

₎

2

!

Ovanståendeuttry k kanvi nu använda omen viss lutning ärrimlig givet

datafören linje.Till exempel kanvitesta hypotesenatt linjeninte lutaralls,

ellerlutaråtandrahålletänmedelvärdetantyder.

Mankan o kså vilja jämföra olikalinjers lutning,för att upptä kasådana

medonormal lutning jämförtmed deandra.Strikt sättskamandåta hänsyn

tillhelafördelningenavmöjligalutningarförvarjelinje,menenenklarelösning

ärattheltenkeltta denförväntadelutningen förvarjelinjeo hlärainienny

avvikelsedetektor.Dåbetraktarviiställetallalinjersolikauppskattadelutningar

k

i

somdragnafrånenGauss-fördelningmedmedelvärde

µ

o hvarians

1/q

:

P (k) =

r q

2π

e

−

q

2

(k−µ)

2

Analogt med tidigare räkningar kanvi då uttry ka förstfördelningen över

parametrarna

µ

o h

q

, därefter sannolikhetsfördelningenför en ny lutning

m

givettidigareobservationeravlutningar

K

,o hslutligenanomalinfördennya lutningen

m

:

P (µ, q | K) ∝ P (µ, q)

Y

i

P (k

i

| µ, q) = q

n/2−1

e

−

q

2

P

i

(k

i

−µ)

2

P (m | K) =

ˆ

µ,q

P (m | µ, q)P (µ, q | K)

10512

11479

33.001

26.5597

Attr 1

10512

11479

33.001

26.5597

Attr 2

Figur5:Flänshöjder,därnågraenligtregressionslinjernaverkarslitasåtfelhåll.

10512

11479

33.001

26.5597

Attr 1

10512

11479

33.001

26.5597

Attr 2

10512

11479

33.001

26.5597

Attr 3

10512

11479

33.001

26.5597

Attr 4

Figur6:Samma änshöjdermed sannolikhetsintervallpåslitaget.

=

Γ(

n

2

)

√

_πΓ(

_n−1

2

)

·

1

p(n + 1)V

′′

·

1



1 +

(m−M

_(n+1)V

′′

)

′′

2



n

₂

M

′′

₌

P k

i

n

V

′′

₌

P k

2

i

n

−

(P k

i

)

2

n

2

¯

A(m) =

Γ(

n

2

)

√

πΓ(

n+1

2

)

(n + 1)V

′′

(m − M

′′

₎

2

!

n−1

₂

2

F

1

n − 1

2

,

n

2

,

n + 1

2

, −

(n + 1)V

′′

(m − M

′′

₎

2

!

Meddetta sistauttry kkanvitestaomnågonlutningskiljersigsignikant

frånövrigalutningar.

Test av slitagehastighet av änshöjd

Figur(5)visarendelavänshöjdernafrån gur(2),med regresionslinjer(dvs

väntevärdetför

z

enligtformlernaovan).Flänshöjdenskaalltidökamedtiden, eftersommaterialslitsnedanföränsen.Detstämmero ksåmeddeesta

mät-ningarna,mennågrauppvisarregressionslinjersomverkarminskaistället.

Frå-ganärnuhurdetta skatolkas ärdetnågotkonstigtsomskermed dessa

63200

64779

59.6867

5

Attr 1

Figur7:Mätserieravtjo klekenpåetturvalav9sty kenbromsbelägg.

63200

64779

59.6867

5

Attr 1

63200

64779

59.6867

5

Attr 2

63200

64779

59.6867

5

Attr 1

Figur8:Sammaurvalavbromsbeläggmedregressionslinjerförslitagetutritade.

Demeddetekteratonormalslitagehastighetärrödmarkerade.

ossett sprattsåattvi råkadefånågraförhögamätvärdenibörjano h några

förlågapåslutet?

Förattsvarapåden sistafrågan,omdetverkarrimligtattdethandlarom

en ren bruseekt, så kan vi använda formlerna för att ta reda på hur troligt

detäratt lutningen ärstörreännoll trotsattmätvärdenatenderar nedåt.En

testavdettapåsamtligalinjervisarmy ketriktigtattingenmed säkerhetkan

sägasluta nedåt. Figur (6) visar samma kurvor men dessutom med övre o h

undre gränser inritade (anomali-gränser) enligt hela fördelningen för

z

. Även om kurvorna ifråga börjar nedåt, såvänder övre gränsen uppåt efter ett tag,

vilket visarattdetnnssådanarimligalösningar.

Analysen visaralltså att vi inte kanavfärdahypotesen att det bara ären

bruseekt,dvsdet nnsingenanledningatt troatt dethändernågotkonstigt

med hjulen. Däremot visar det på svagheten med ren regressionsanalys, där

osäkerheteninte framgårlikatydligt.

Onormalt slitage av bromsbelägg

Enintressantfrågaavseendebromsbeläggäromdeslitsolikasnabbt.Förattta

redapådetkanvianvändaavvikelsedetektionenpåslitagehastigheternagenom

63200

64779

59.6867

5

Attr 1

63200

64779

59.6867

5

Attr 2

63200

64779

59.6867

5

Attr 3

63200

64779

59.6867

5

Attr 4

63200

64779

0.227941

0

Attr 6

Figur 9: Samma urval av bromsbelägg,nu med övre o h undre gränser samt

prediktionerutritade.

äravvikande. Totalt hade vi tillgång till data från 3500 bromsbelägg.I gur

(7)visasmätningarfrån ett litet urvalavdem. Figur(8)visarsammabelägg,

mendärregressionslinjernavisas.Treavbeläggenigurenharav

avvikelsede-tektionenutpekatsmedorimligaslitagehastigheter,tvåförlångsamto henför

snabbt.Deärmarkerademed röttiguren.

Prediktion

Den sistauppgiften somåterståräratt förutsäganärslitagetharnått enviss

nivå. Vi känner redanfördelningen föratt få ett visstmätvärde

z

vid en viss tidpunkt

s

,

P (z | Y, T, s)

. Nu vill vi istället veta fördelningen för tidpunkten

s

då vi når ett visst värde

z

,

P (s | Y, T, z)

, dvs det värde då det är dags att göra underhåll. En enkel observation ger att dessa är approximativt

pro-portionellamot varandra,eftersom derasintegraler ärlikamed varandra(o h

derasequiprobabilitetslinjer ärnästanrakaellerså svagtkurvadeattdetinte

påverkarnämnvärt):sannolikheten att nåett visstvärde föreenvisstidpunkt

ärsammasomsannolikhetenattviddentidpunktenhanåttframtillellerförbi

värdet.Detlättasteärdärförattanvända

P (z | Y, T, s)

förattberäknaettantal värdenpåkurvano hsennormaliseranumeriskt.

Igur(9)visasresultatet.Detärsammabromsbeläggsomigur(8),numed

linjerförminstao hstörstarimligavärdeutritade,o hlängstnerfördelningarna

förnärmanförväntasnåtilldennivån.Justeftersomintegralernaärlika,såkan

denutritademinstagränsenfördetuppmättavärdetanvändasförattbestämma

senastetidpunkt för servi e, vid den risknivå man satt i avvikelsedetektionen

närmanräknadeutgränsen.

Genomatt pådettasätt beräknaenhel sannolikhetsfördelning,iställetför

ettendavärde påprognosensommanfår fråntraditionell linjärregression,så

Viharanalyseratslitagepåhjulprolero hbromsbeläggpåtåggenom

Bayesian-skstatistiskmodelleringo havvikelsedetektion.Viharvisathurmankan

ltr-erabortbrus,detekteraavvikandeslitagehastigheter,o hförutsäganärslitaget

harnått envissnivå.

Attltrera bort orimliga värdenmedhjälp avstatistiskavvikelsedetektion

fungerarbrao h kanhanterarelativtstoramängderorimliga värden(sålänge

de är i minoritet). Det ger o kså ett mer dynamiskt sätt att ltrera bort de

orimligavärdenaänattspe i eraxaövreo hundretröskelvärden.Dels

slip-permanmanuelltspe i eramerellermindregodty kligagränser,delsvarierar

gränsernalängs kurvano hfrån kurvatill kurva,varförman kanfåenmy ket

merpre isbortltrering.

Linjärregression,därmanhittar enendalinjebaseratpåmaximum

likeli-hoodo hettrelativtlitetantalmätvärden,ärväldigtkänsligtförslumpmässiga

uktuationeri data.Genomatt användaBayesiansk statistik,modellerarman

fördelningenöverallamöjligalinjer,vilketgerettbetydligtmerrobustresultat,

o hmankanfåredapåhelasannolikhetsfördelningenavdetmanärintresserad

av.I exemplen ovanvisadeden linjäraregressioneniblandpåresultatsom

lu-taråtfelhåll,o halltsåärheltvärdelöstfört.ex.prediktion.DenBayesianska

analysenvisadedäremotattlutningen inte varentydigutan my ket välkunde

varaåt rätthåll.

Prediktionavnärslitagetnåttenvissnivågero ksåen

sannolikhetsfördel-ning. Förutom att man direkt kan se hur säker prediktionen är, så kan man

självbestämmasigförena eptabelrisknivå.Mankano ksåmatavidare

san-nolikhetsfördelningentill ett följande planeringssteg,som medstokastisk

opti-meringtarhänsyntillriskeno hkostnadenavattintehinnasättainunderhåll

itido hhittar denbästaavvägningen.

Avvikelsedetektionavslitagehastigheterfungeradeo ksåbra,o hly kas

hit-ta såvälför snabbt som för långsamtslitage. Sådantkan vara indikationerpå

attnågotbehöverjusterasinnandetledertillallvarligarefel.

Sammanfattningsvis kan sägasatt Bayesianskstatistik o h

avvikelsedetek-tionärmy ketanvändbaraverktygmedstorttillämpningsområde,blandannat