Institutionen för matematik
Tentamen i Linjär analys Ämneskod M0018M
MAM243 Tentamensdatum 2011-08-19 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-14.00
Jourhavande lärare: Mikael Stenlund Tel: 0920-492877
Resultatet meddelas senast: Ca 15 arbetsdagar efter tentamensdagen
Tillåtna hjälpmedel: Beta (Mathematics Handbook).
«hjälpmedel»
Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng.
Lule˚a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨or matematik Linj¨ar analys, 7.5hp.
19:e augusti 2011. Tid: 5h.
Hj¨alpmedel: Beta, mathematics handbook.
L¨osningar skall presenteras p˚a ett s˚adant s¨att att r¨akningar och resonemang blir l¨atta att f¨olja. M¨ark varje l¨osningsblad med namn och personnummer.
1. a) Ange st¨orsta m¨ojliga intervall f¨or konvergens av potensserien X1
n=3
xn
n 2
(3p) b) Avg¨or om f¨oljande serie ¨ar konvergent eller divergent
X1 n=1
1
n2+ 1 . (2p)
2. Best¨am med hj¨alp av dubbelsidig Laplace transform en antikausal l¨osning till y00+ y0 2y = 0(t 1).
H¨ogerledet ¨ar derivatan (i distributionsmening) av Diracs delta funktion tagen i punkten t 2. Tips: Anv¨and r¨akneregler f¨or dubbelsidiga Laplacetransformer. (5p) 3. Ett mekanisktsystem best˚aende av en fj¨ader med fj¨aderkonstant k = 2 [kg/s2], en tyngd med massan m =1 [kg] samt en st¨otd¨ampare med d¨ampfaktor c = 2 [kg/s] samt en yttre kraft F (t) [N] som funktion av tiden t. kan modelleras med hj¨alp av f¨oljande di↵erential- ekvation.
y00+ c
my0+ k
my = F (t)
m , y(0) = 1, y0(0) = 2.
L¨os denna med hj¨alp av Laplacetransform och under f¨oruts¨attning att F (t) =
(0, t < 2,
t, t 2, [N].
(5p) 4. Best¨am en allm¨an l¨osning till f¨oljande di↵erentialekvation med hj¨alp av Fourierserier t.ex.
i formen av komplexa exponentialsummor
z00+ 2z0+ 2z = f (t), t 2 R d¨ar f (t) =
(ei⇡t, t2 [0, 1]
0, t2 [ 1, 0] , f (t) = f (t + 2) f¨or alla t2 R och i ¨ar imagin¨ara enheten.
(5p) 5. L¨os f¨oljande ekvation med hj¨alp av Fouriertransform
Z 1
1
y00(t ⌧ )e ⌧2d⌧ = e 12t2, t 2 R.
Svaret kan uttryckas med hj¨alp av en faltningsintegral. (5p) 6. L¨os ett och endast ett av f¨oljande problem A, B eller C.
A Best¨am den allm¨anna l¨osningen till di↵erentialekvationssystemet
˙x = 0
@0 1 1
2 3 1
1 1 1
1 A x.
(5p) B Best¨am en potensseriel¨osning till di↵erentialekvationen
d2y
dt2 + t2dy
dt + 2ty = 0; y(0) = 1, y0(0) = 0.
(5p) C H¨arled f¨oljande r¨akneregler f¨or Fouriertransformen. F st˚ar f¨or Fouriertransformen.
a)F(f(t a))(w) = e iwaF(f(t))(w) (2p)
b)F(tf(t))(w) = idwd F(f(t))(w) (2p)
c)F(e atH(t))(w) = a+iw1 , a > 0 (1p)
