Institutionen för matematik
Tentamen i Linjär analys Ämneskod M0018M
MAM243 Tentamensdatum 2008-10-23 Totala antalet
uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-14.00
Lärare: Mikael Stenlund Jourhavande
lärare: Mikael Stenlund Tel: 0920-492877
Resultatet meddelas
senast: 15 arbetsdagar efter tentamensdagen Tillåtna hjälpmedel: Beta (Mathematics Handbook).
Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng.
Lule˚a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨or matematik Linj¨ar analys, 7.5hp.
Mikael Stenlund 23:e oktober 2008. Tid: 5h.
Hj¨alpmedel: Beta, mathematics handbook.
L¨osningar skall presenteras p˚a ett s˚adant s¨att att r¨akningar och resonemang blir l¨atta att f¨olja. M¨ark varje l¨osningsblad med namn och personnummer.
1. Ett seriekopplat RLC-n¨at med resistans R = 8· 10−2 [Ω ], induktans L = 15 · 10−3 [H]
(Henry) och kapacitans C = 0.1 [F]. Uppfyller ekvationen di(t)
dt +R
Li(t) + 1 LC
t 0
i(τ ) dτ = u(t), i(0) = 0
d¨ar i(t) ¨ar str¨ommen och u(t) ¨ar insp¨anningen. L¨os ekvationen om u(t) = H(t) d¨ar H(t)
¨
ar Heaviside funktionen. (5p)
2. a) Avg¨or i vilka intervall serien
∞ n=1
xn
√n + 1 ¨ar konvergent eller divergent. (3p) b) ¨Ar f¨oljande serie konvergent eller divergent? Bevisa ditt p˚ast˚aende! (2p)
∞ n=2
1 n(ln(n))2.
3. S¨ok en begr¨ansad l¨osning till
y− 4y+ 13y = δ(t− 2), t ∈ R,
d¨ar δ(t− 2) ¨ar derivatan av Diracs deltafunktion tagen i punkten (t − 2). (5p) 4. L¨os f¨oljande med hj¨alp av Fourierserier
y+ 9y = f (t), f (t) =
|t| − π4, |t| ≤ π2,
0, π2 <|t| ≤ π.
5. L˚at F = (x2y, xz, yz). Ber¨akna fl¨odet av rot F ut genom ytan S:
x2+ y2+ (z− 1)2 = 2, z ≥ 0. (5p)
6. L¨os ett och endast ett av f¨oljande problem A, B eller C.
A a) Definiera begreppet absolutkonvergent serie. (1p)
b) Bevisa att varje absolutkonvergent serie ¨ar konvergent. (4p) B a) Bevisa med hj¨alp av definitionen av distributionsderivatan att
d
dtH(t) = δ(t),
i distributions mening. δ ¨ar Diracfunktionen och H ¨ar Heavisidefunktionen. (2p) b) Bevisa δ ∗ φ = δ ∗ φ = φ f¨or alla testfunktioner φ ∈ D. ∗ ¨ar faltning som anv¨ands i
dubbelsidig Laplacetransform. (2p)
c) Anv¨and r¨akneregler f¨or att r¨akna ut distributionsderivatan av t2H(t− 2).
D¨ar H ¨ar Heavisidefunktionen. F¨orenkla s˚a l˚angt m¨ojligt. (1p) C H¨arled f¨oljande r¨akneregler f¨or Fouriertransformen. F st˚ar f¨or Fouriertransformen.
a)F(f(t))(w) = iwF(f(t))(w) (2p)
b)F(tf(t))(w) = idwd F(f(t))(w) (2p)
c)F(e−atH(t))(w) = a+iw1 , a > 0 (1p)
