NATURVETENSKAP - MATEMATIK - SAMHÄLLE
Självständigt arbete i fördjupningsämnet
Matematik och lärande
15 högskolepoäng, grundnivå
Öppna uppgifter i matematikundervisningen
Open-ended questions in mathematics education
Caroline Sande
Grundlärarexamen med inriktning mot arbete i förskoleklass och årskurs 1–3, 240 högskolepoäng Självständigt arbete 15 hp, 2020-01-20
Examinator: Anna Wernberg Handledare: Helen Hasslöf
Förord
Följande kunskapsöversikt har skrivits individuellt i kursen självständigt arbete på grundnivå i fördjupningsämnet matematik som en del av grundlärarprogrammet vid Malmö Universitet. Syftet med arbetet är att utifrån ett ämnesdidaktiskt område identifiera och formulera en eller flera frågeställningar som har relevans för fördjupningsämnet matematik och den kommande yrkesprofessionen som lärare. Syftet med kunskapsöversikten är också att utveckla förmågan att systematiskt kunna söka och kritiskt granska vetenskapligt och systematiskt insamlad kunskap som är kopplad till det aktuella problemområdet.
Abstract
The following study aims to define what an open-ended question in mathematics education is and investigate what the effects are on the learning process. Firstly, conversations were conducted with teachers that are using this approach in their mathematics education. Then systematic searches for relevant scientific articles were conducted in various databases.
The result shows that there are three main features of open-ended questions; there may be more than one acceptable answer, it requires a higher level of thinking from the person solving the problem compared to closed questions and both the students and the teacher will learn during the process. Moreover, the result indicates that using open-ended questions has positive effects on student’s engagement, contributes to a positive classroom climate, increases the possibility that all students can be involved in the same teaching activity and makes the students’ knowledge visible for both the student and the teacher.
The findings conclude that it requires good planning from the teacher before using this approach in the classroom to enhance the possibilities of the good effects. Furthermore, I discussed what I, as a future teacher, need to think about while using open-ended questions in my classroom. Lastly, I give suggestions on further research about open-ended questions in the early years.
Innehållsförteckning
Förord ... 2
Abstract ... 3
Innehållsförteckning ... 4
1. Inledning och bakgrund ... 5
1.1 Redogörelse av begrepp ... 6
2. Syfte och frågeställning ... 7
3. Metod ... 8
3.1 Konsultation ... 8
3.2 Databaserade sökningar ... 9
3.2.1 Google Scholar... 9
3.2.2 ERIC via EBSCO ... 9
3.2.3 ERC via EBSCO ... 10
3.3 Sammanställning av referenser ... 10
4. Resultat ... 12
4.1 Vad karakteriserar en öppen matematikuppgift? ... 12
4.1.1 En bra öppen fråga ... 13
4.1.2 Hur skapar vi öppna frågor? ... 14
4.1.3 Kan öppna frågor bli för öppna?... 14
4.2 Effekten av att använda öppna uppgifter i undervisningen ... 15
4.2.1 Elevernas engagemang ... 15
4.2.2 Klassrumsklimatet ... 16
4.2.3 En undervisning för alla ... 17
4.2.4 Bedömning ... 17
5. Slutsatser och Diskussion ... 19
5.1 En öppen uppgift ... 19
5.2 Fördelar och nackdelar med arbetssättet... 20
5.3 Betydelse för professionen ... 20
5.4 Metodreflektion ... 21
5.5 Vidare studier ... 22
1. Inledning och bakgrund
I Sverige är skolan en stor del av barns och ungdomars uppväxt. Grundskolan är obligatorisk från förskoleklass upp till årskurs nio. Cirka 95% av Sveriges 4–5 åringar går även i förskola och en stor andel ungdomar läser vidare på gymnasiet i tre års tid (Skolverket, 2017). Under dessa år utvecklar barn och ungdomar en mängd olika matematiska färdigheter. Syftet med matematikundervisningen i den nuvarande läroplanen för grundskolan är att ge eleverna kunskaper om matematiken samt ge eleverna möjligheten att utveckla kunskaper om hur matematiken kan användas som ett hjälpmedel i vardagen (Skolverket, 2019). I den aktuella kursplanen för matematik ska undervisningen bygga på att främja fem följande förmågor;
• formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, • använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
• välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, • föra och följa matematiska resonemang, och
• använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (Skolverket, 2019, s.55)
Trots att barn och ungdomar genomgår en lång och gedigen matematikutbildning resonerar forskare att de har svårt att applicera sina kunskaper i verkligheten (Boaler, 1998). Boaler (1998) beskriver att flera forskningsstudier argumenterar att detta beror på att eleverna endast har en instrumentell förståelse och inte en relationell förståelse. Skemp (2006) redogör att en instrumentell förståelse innebär att individen har kunskaper om hur någonting ska genomföras, till exempel hur man genomför en räkneoperation. En relationell förståelse innebär däremot att individen har en djupare förståelse för ämnesområdet, utöver förståelse hur man genomför en räkneoperation förstår man även vad den innebär och varför man använder sig av den. Vidare resonerar Skemp att undervisning för en instrumentell förståelse är dominerande i klassrummen trots att det finns fler fördelar med att undervisa för en relationell förståelse. När eleverna utvecklar en relationell förståelse kommer de bland annat ihåg kunskapen bättre och blir mer flexibla i sitt tänkande. Något som krävs för att eleverna ska kunna använda sig av kunskaperna i olika sammanhang och förberedas inför livet utanför skolan.
Under de högskoleförlagda kurserna på lärarutbildningen får vi som studenter ofta höra att vi ska använda oss av varierande arbetsformer i undervisningen och helst undersökande lektionsupplägg. Det är något den nuvarande läroplanen också tydliggör (Skolverket, 2019). På så sätt kommer våra framtida elever ha möjligheten att utveckla en djupare och relationell förståelse kring olika matematiska ämnesområden. Det är också genom en varierad undervisning som engagemang kan väckas och bibehållas (Skolinspektionen, 2018). Dock upplever jag i samtal med andra studenter att detta inte alltid är hur undervisningen ser ut ute på skolorna. Vi upplever att matematikboken har ett stort fokus på många skolor och att det varierar till stor utsträckning hur mycket undersökande lektionsupplägg eleverna får möta beroende på vilken skola de går på. Vid starten av denna termin flyttade jag till Melbourne i Australien och genomförde en del av min verksamhetsförlagda utbildning (VFU) på en kommunal grundskola. När jag kom till skolan visade det sig att de inte utgick ifrån några läroböcker alls i sin matematikundervisning. Istället utgick skolan från den aktuella läroplanen och planerade därefter olika aktiviteter som framförallt baserades på ett undersökande arbetssätt. För inte så länge sedan hade skolan börjat arbetat med att utveckla sin undervisning genom att använda sig av ”open-ended questions”, öppna matematikfrågor för att uppnå en djupare och relationell förståelse hos eleverna. Att använda sig av öppna frågor i undervisningen är inget jag minns från min egen skolgång och inget jag stött på under de VFU perioder jag haft i Sverige. Jag blev därför nyfiken på vad en öppen matematikuppgift innebär och vilken effekt det har på matematikundervisningen. Skulle det vara fördelaktigt att använda detta arbetssätt i min kommande yrkesprofession?
1.1 Redogörelse av begrepp
I denna kunskapsöversikt har jag valt att beskriva arbetssättet på huvudsakligen två olika sätt; öppna frågor och öppna uppgifter. Begreppen frågor och uppgifter är mest förekommande när olika forskare beskriver arbetssättet och jag har därför valt att använda mig av båda begreppen i kombination med varandra. Det innebär att begreppen i följande kunskapsöversikt har samma betydelse.
2. Syfte och frågeställning
Syftet med kunskapsöversikten är att sammanställa forskning och systematiskt insamlad kunskap om vad en öppen matematikuppgift innebär och analysera vilken effekt arbetssättet har på matematikundervisningen. Utifrån syftet har följande frågeställningar behandlats:
- Vad karakteriserar en öppen uppgift i matematikundervisningen? - Hur påverkar öppna uppgifter matematikundervisningen?
3. Metod
Jag valde att dela upp sökprocessen i två delar, först en konsultation och sedan en databaserad sökning. Konsultation innebär att man samtalar och diskuterar med personer som har mer kunskap än en själv inom ett område. På så sätt får man en inblick i ämnesområdet och kan därefter formulera relevanta frågeställningar (Backman, 2016). En databaserad sökning innebär sedan att man med hjälp av olika databaser söker efter relevant forskning inom ämnesområdet. De databaserade sökningarna har genomförts i Google Scholar, ERIC via EBSCO och ERC vid EBSCO. För att avgränsa sökningarna kombinerades flera sökord med hjälp av de booleska operatorerna AND och OR. När AND anges mellan sökord smalnas resultatet av eftersom resultatet ska innehålla alla de sökord som angetts. Vidare när OR används mellan sökord innebär det att något av sökorden ska gå att finna i träffarna.
3.1 Konsultation
Som nämndes i inledningen kom jag i kontakt med arbetssättet på min senaste VFU skola. Jag valde därför att inleda sökprocessen med att samtala om strukturen med lärare och annan personal på skolan. Skolan presenterade cirka ett dussin böcker för mig som handlade om matematikdidaktik och att använda sig av ett undersökande arbetssätt i undervisningen. Efter att ha bläddrat igenom böckerna var de två som var relevanta inom ämnesområdet open-ended questions (Sullivan & Lillburn, 2017; Bolar, 2016). Ur litteraturen valdes även en artikel ut för vidare läsning (Boaler, 1998). För att kvalitetssäkra artikeln söktes den upp i libsearch, där peer reviewed kunde kryssas i. Efter att frågeställningarna formulerats kunde viktiga nyckelord väljas ut för vidare sökning: open-ended, questions, activities och mathematics.
3.2 Databaserade sökningar
3.2.1 Google Scholar
Nästa steg var att påbörja de databaserade systematiska sökningarna. Först genomförde jag en sökning i Google Scholar, eftersom jag ville genomföra en bred sökning. Google Scholar är en sökmotor som söker bland vetenskapliga publikationer och tidskrifter.
Sökfrasen som användes var ”öppna AND frågor OR uppgifter AND matematikundervisning”. Sökningen resulterade i 5050 träffar. På grund av det höga antalet träffar begränsade jag sökningen till publikationer efter år 2010, det resulterade i 3560 träffar. Då texterna rankas efter relevans beslutade jag att skumma igenom de tio första sidorna vilket motsvarade 100 texter. Efter att ha skummat igenom sidorna konstaterade jag att majoriteten av publikationerna var examensarbeten, skrivna av lärarstudenter som mig själv. Eftersom kunskapsöversikten huvudsakligen ska grunda sig i vetenskapligt material valde jag att inte gå vidare med några examensarbeten. Men på första sidan valde jag ut en artikel, artikeln valdes ut eftersom den gav en bra överblick av det aktuella problemområdet (Holgersson, 2015).
3.2.2 ERIC via EBSCO
Därefter genomfördes sökningar i ERIC (Education Resources Information Center) via EBSCO, en databas som refererar till bland annat böcker, tidskrifter, rapporter och avhandlingar. Här kunde även publikationerna kvalitetssäkras genom att peer reviewed kryssades i. Materialet valdes att begränsas till publikationer inom de senaste 10 åren.
Sökfrasen ”open-ended AND mathematics”, resulterade i 455 träffar. För att begränsa sökningen adderade jag sökorden ”primary education OR elementary education” vilket resulterade i 143 träffar. För att specificera sökningen mot syftet utökades sökningsfrasen med ”questions OR activities OR approach OR tasks”. Sökningen resulterade i 109 träffar. Jag valde att läsa igenom samtliga titlar, verkade de intressanta till frågeställningarna lästes abstracten och verkade den relevant lästes hela texten. Avslutningsvis resulterade det i att fyra texter valdes ut (Munroe, 2015; Parks 2009; Sullivan, Griffioen, Gray & Powers, 2009; Viseu & Oliveira 2012).
3.2.3 ERC via EBSCO
Eftersom materialet som finns på olika databaser kan skilja sig genomfördes en ytterligare sökning i ERC (Education Research Complete). En databas som också refererar till bl.a. böcker, tidskrifter, rapporter och avhandlingar inom pedagogik. I denna sökningen valde jag att addera ”assessment” som ett sökord på grund av att jag ville hitta en artikel som fokuserade på bedömningsprocessen. Sökfrasen såg ut som följande ”open-ended AND assessment AND mathematics AND primary education OR elementary education” fortfarande med begränsningarna peer reviewed och inget material äldre än tio år. Sökningen resulterade i åtta träffar där en artikel valdes ut (Bragg, 2013).
3.3 Sammanställning av referenser
Författare och årtal Artikelns titel Tidskrift Beskrivning
Boaler, J. (1998).
Open and Closed Mathematics: Student
Experiences and Understandings.
Journal for Research in Mathematics Education,
29(1), 41-62.
En tre års jämförande studie mellan två skolor, där ena skola använde sig
av traditionell undervisning (lärobok
styrd) och den andra använde sig av öppna matematikaktiviteter.
Bragg, L. (2013).
Hide, Map and Seek: Assessing students’ understanding of location and direction. Australian Primary Mathematics Classroom, 18(4), 3-7. Presenterar en öppen uppgift och hur den kan användas vid inledningen
av ett nytt ämnesområde för att se vilka kunskaper eleverna redan har samt
för att få eleverna engagerade i sitt eget
lärande.
Att arbeta med öppna
En sammanställning av stängda- och öppna
matematikundervisningen kan innebära.
Munroe, L. (2015). Approach Framework. The Open-Ended Educational Research, European Journal of 4(3), 97-104.
Beskriver hur två lärare i Japan arbetar med en öppen struktur och vad som krävs från lärare och
elever för att uppnå det mest effektiva lärandet.
Parks, A. N. (2009). Can Teacher Questions Be “Too” Open?.
Teaching Children Mathematics, 15(7),
434-428.
Argumenterar att öppna frågor erbjuder ett flexibelt tänkande hos eleverna men att frågorna
också kan bli för breda.
Sullivan, P., Griffioen, M., Gray, H. & Powers, C.
(2009). Exploring Open-Ended Tasks as Teacher Learning. Australian Primary Mathematics Classroom, 14(2), 4-9.
Två lärare som beskriver var sin lektion där de använde sig av öppna matematikuppgifter och hur de uppfattade det att arbeta med strukturen i
undervisningen.
Viseu, F. & Oliveira, I. B. (2012).
Open-Ended Tasks in the Promotion of Classroom Communication in Mathematics. International Electronic Journal of Elementary Education, 4(2), 287-300.
En årskurs sju lärare som genomför två lektioner
och reflekterar över förhållandet mellan ämnesinnehållet och
kommunikationen. Beskriver hur den
matematiska kommunikationen förändrades när eleverna vande sig vid strukturen.
4. Resultat
Att arbeta med öppna matematikuppgifter i undervisningen växte fram i det japanska klassrummet under 1970-talet (Holgersson, 2015). Öppna matematikfrågor utvecklades när undervisningen gick över från att ha varit lärarcentrerat till en mer elevcentrerad undervisning (Munroe, 2015). Utvecklingen från den traditionella lärarcentrerade undervisningen till den mer öppna elevcentrerade undervisningen går att se i dagens läroplaner då ett större fokus läggs på att eleverna ska kunna reflektera, analysera och tillämpa olika typer av kunskaper.
4.1 Vad karakteriserar en öppen matematikuppgift?
För att förstå vad en öppen matematikfråga innebär kan man jämföra det med en stängd. I en stängd matematikfråga finns det endas ett rätt svar och det krävs ofta någon form av beräkning (Holgersson, 2015). En stängd fråga kan också identifieras som en traditionell fråga i matematikundervisningen. Boaler (2016) argumenterar att vid en stängd fråga kommer det alltid finnas elever som inte klarar av dem och elever som inte blir tillräckligt utmanade. Exempel på en stängd och en öppen uppgift med samma matematiska innehåll skulle kunna se ut följande.
Stängd uppgift Öppen uppgift
”Maja köpte presenter. Hon köpte en handboll som kostade 150 kr, tre böcker som kostade 100 kr styck och en chokladask som kostade 50 kr. Vad kostade presenterna
tillsammans?”
Maja köpte presenter för 500 kr. Vad kan hon ha köpt och vad kostade varje present?
Tabell 2: Holgersson (2015, s.2)
En stängd fråga möjliggör inte något nytt lärande för eleven utan testar ifall eleven har förstått ämnesinnehållet. Holgersson (2015, s.3) citerar i sitt arbete en elev som beskriver skillnaden mellan uppbyggnaden av frågorna på följande sätt;
”I den slutna uppgiften visar man ju bara ifall man redan kan den, men när man arbetar med den öppna uppgiften lär man sig nya saker.”
Idag är det stängda frågor som dominerar i undervisningen, smala frågor som kräver att eleverna kommer ihåg saker ur minnet (Boaler, 2016). De stängda frågorna är effektiva i vissa situationer till exempel för att kontrollera vilka kunskaper eleverna besitter. Men de är inte effektiva när det handlar om att utmana elevernas tänkande och ge dem möjligheten att utveckla ett flexibelt tänkande som krävs för att de sedan ska kunna möta oväntade situationer i framtiden.
4.1.1 En bra öppen fråga
En bra öppen fråga innebär att elevernas tänkande utmanas eftersom det inte räcker med att eleverna kommer ihåg fakta ur minnet (Holgersson, 2015; Sullivan & Lillburn, 2017). Det krävs att eleverna reflekterar och analyserar frågeställningen för att lösa den. När en person arbetar med en öppen frågeställning kommer deras metodval och arbetsprocess att synliggöras. Det innebär att läraren får betydelsefull information om vilket kunnande eleven har och eleven kommer ges insyn i sitt eget lärande och ges även möjligheten att lära sig nya saker. Öppna frågor är komplexa problem som utmanar elevernas tänkande vilket innebär att de behöver använda sig av flera olika kunskaper för att lösa problemet. En bra öppen fråga innebär också flera rätta svar. Som presenterades i tabell två kan svaret på en öppen fråga se mycket olika ut. Boaler (2016) beskriver det som att frågorna har ett lågt golv och högt tak. Flera svar ökar möjligheten för att alla elever ska utmanas och delta utefter sin förmåga. En bra öppen fråga ökar därför möjligheterna att inkludera alla elever i undervisningen.
Enligt Sullivan och Lillburn (2017, s.2) karakteriseras en bra öppen fråga genom tre kriterier;
1. They require more than remembering a fact or reproducing a skill.
2. Students can learn by answering the questions, and the teacher learns about each student from the attempt.
4.1.2 Hur skapar vi öppna frågor?
Dagens läromedel är uppbyggda med majoriteten stängda frågor vilket innebär att lärare själva måste veta hur de skapar öppna frågor. Att skapa öppna uppgifter tar längre tid än stängda och det krävs därför mer planering bakom uppgifterna (Boaler, 1998; Sullivan, et al., 2009; Viseu & Oliveira, 2012). Sullivan och Lillburn (2017) redogör för två modeller som förslag på hur man kan skapa en öppen uppgift;
Step 1 Step 2 Step 3
Identify a topic Think of a closed question and write down the answer.
Make up a question that includes (or addresses) the answer.
area 6 cm2 How many triangles can you draw
each with an area of 6 cm2?
Step 1 Step 2 Step 3
Identify a topic Think of a standard question Adapt it to make a good question shape What is a square? How many things can you write
about this square? Tabell 3: Sullivan & Lillburn (2017, s.5–6)
Båda modellerna utgår först från att man ska identifiera ett ämnesområde frågan ska utgå ifrån. Därefter tänker man ut en stängd fråga och avslutningsvis en öppen fråga. Vanligtvis är det lätt att komma på en stängd fråga kring ett ämnesområde, eftersom de är normen i dagens klassrum, de kommer därför mer naturligt (Holgersson, 2015). En stängd fråga kan förslagsvis också tas ur ett befintligt läromedel.
4.1.3 Kan öppna frågor bli för öppna?
Parks (2009) argumenterar att läraren måste tänka igenom sina frågor noga så de inte bli för öppna. Öppna frågor möjliggör för ett flexibelt tänkande hos eleverna men för vissa elever kan det också innebära en förvirring över vart man ska börja någonstans. Frågan ”varför?” som en
till flera olika saker i en elevs uppgift. Det kan innebära att eleven inte vet vad läraren syftar på eller förväntar sig för svar och eleven börjar istället tveka på sin lösning. Det är därför viktigt att läraren specificerar sina öppna frågor för att uppnå ett positivt resultat med arbetssättet.
4.2 Effekten av att använda öppna uppgifter i undervisningen
4.2.1 Elevernas engagemang
Genom skolan och utbildningen ska eleverna ges möjligheten att utveckla en livslång lust till att lära (Skollag, SFS 2010:800; Skolverket, 2019). Flera forskare argumenterar att det kan eleverna utveckla genom att arbeta med öppna matematikuppgifter (Boaler, 1998; Boaler, 2016; Holgersson, 2015; Munroe, 2015; Sullivan, Griffioen, Gray & Powers, 2009; Viseu & Oliveira, 2012). En av anledningarna är att eleverna ofta uppfattar uppgifterna mer intressanta i jämförelse med de stängda, bland annat eftersom de ofta bygger på verkliga situationer tagna ur elevernas vardag. När frågeställningarna bygger på verkliga problem som är realistiska för eleverna leder det till att uppgifterna känns mer meningsfulla. Majoriteten av eleverna uppfattar de öppna uppgifter också mer intressanta då frågorna är mer utmanande. När eleverna utmanas ökar chanserna för att de engageras i undervisningen och i sitt lärande.
Ett av syftena i Boalers (1998) studie var att undersöka hur elever uppfattar en traditionell läroboksbaserad undervisning samt en matematikundervisning som baserades på öppna matematikfrågor. Resultat visar att eleverna som undervisades utifrån en lärobok uppfattade den som tråkig och enformig medans eleverna som mötte en undervisning som byggde på öppna matematikuppgifter och frågeställningar uppfattade den som intressant och spännande. Däremot visar hennes studie att eleverna får liknande resultat på standardiserade prov.
Öppna uppgifter i undervisningen innebär att elevernas lärande sätts i fokus (Munroe, 2015). Arbetssättet betyder dock inte att alla elever engageras i undervisningen. Som tidigare nämnts kan elever bli exkluderade om frågeställningar är för breda (Parks, 2009). Holgersson (2015) poängterar också att eleverna kan reagera på två olika sätt när arbetssättet introduceras. Antingen känner eleverna en befrielse från den traditionella undervisningen, något som även Boaler (1998) bekräftar. Men eleverna kan också reagera på motsatt sätt, uttrycka en osäkerhet över att de inte
förstår vad meningen är med de öppna frågorna när det inte finns ett tydligt rätt och fel svar (Boaler, 1998; Holgersson, 2015).
4.2.2 Klassrumsklimatet
När alla elever inte känner sig bekväma med att arbeta med öppna frågor i undervisningen krävs det att läraren arbetar med klassrumsmiljön. Läraren behöver skapa en inkluderande, avslappnad arbetsmiljö där eleverna känner sig trygga att dela med sig av sina tankar och åsikter (Boaler, 1998; Munroe, 2015; Skolinspektionen, 2018; Viseu & Oliveira, 2012). Inledningsvis kan det därför vara fördelaktigt att låta eleverna arbeta i grupp. Eleverna ges då också möjligheten att diskutera med varandra i större utsträckning och dela med sig av sina tankar i mindre grupper vilket kan kännas tryggare i jämförelse med en helklassdiskussion (Boaler, 1998; Munroe, 2015). När man arbetar med öppna frågor i grupp kommer eleverna även arbeta med att utveckla flera sociala aspekter såsom att samarbeta, lyssna på varandra och vänta på sin tur.
Efterhand som eleverna vänjer sig vid det öppna arbetssättet menar Holgersson (2015) att de normer som finns i klassrummet kan förändras. Normen i många klassrum är att matematiken endast handlar om rätta och fel svar och att det bara är vissa elever som kan vara bra på matematik. Boaler (2016) argumenterar att dessa normer behöver brytas, att eleverna måste förstå att det är okej att göra fel och att det inte bara är några som kan bli bra på matematik. Eleverna som undervisas i en sådan miljö kommer ha svårt att utveckla en relationell förståelse och kommer ha svårt att effektivt kunna använda sig av matematiken som ett hjälpmedel i vardagen. Munroe (2015) resonerar att genom att fokusera på processen i undervisningen och inte endast resultatet ökar möjligheterna för att normerna kan förändras. Resultatet på en uppgift är fortfarande viktig men utifrån forskning ses processen som minst lika viktig (Boaler, 2016; Holgersson, 2015; Munroe, 2015). När läraren använder öppna uppgifter i undervisningen kommer matematiken öppnas upp och det kommer bidra till fler matematiska diskussioner i undervisningen. Att kommunicera matematik med varandra är nödvändigt för att ha möjligheten att utveckla en djupare förståelse för olika matematiska områden (Viseu & Oliveira, 2012). För att matematiska diskussioner ska förekomma i undervisningen är det också viktigt att
årskurserna visar eleverna redan ett intresse av att resonera över matematiska frågeställningar och det är något läraren bör utnyttja.
4.2.3 En undervisning för alla
Öppna frågor innebär som tidigare nämnts att det kan finnas flera accepterade svar och att vägen till svaren kan se olika ut (Boaler, 2016; Holgersson, 2015; Munroe, 2015; Sullivan & Lillburn, 2017). När lärare använder sig av breda problemlösningsfrågor innebär det att fler elever har möjligheten att delta i undervisningen. Varje klass består av en heterogen grupp elever, vilket innebär att alla befinner sig på olika kunskapsnivåer samt lär sig bäst på olika sätt. Lärarens uppdrag är att utforma en undervisning som tar hänsyn till alla elevers bakgrund och behov (SFS 2010:800; Skolverket, 2019). Att lyckas med det anses av många vara lärarens svåraste uppgift (Skolverket, 2017). Men genom att använda sig av öppna uppgifter ökar möjligheterna eftersom det finns flera vägar att lösa ett och samma problem. Munroe (2015) redogör för en bra öppen fråga är svår nog för de högpresterande eleverna och tillräckligt enkel för eleverna som behöver mer tid på sig. Läraren måste dock komma ihåg att vissa elever ändå kan behöva stöttning och andra ytterligare utmaningar (Holgersson, 2015; Sullivan et al., 2009). Stöttning kan innebära deluppgifter och utmaningar kan innebära olika typer av följdfrågor.
4.2.4 Bedömning
En stor del av lärarens yrkesprofession handlar om att bedöma vilken kunskap eleverna besitter och vilken ytterligare kunskap eleverna behöver utveckla. En lärare behöver ge eleverna både en formativ- och en summativ bedömning för att föra deras kunskapsutveckling framåt. För att läraren ska kunna genomföra detta krävs det först att bedöma vilken kunskap eleverna redan har (Bragg, 2013).
Enligt Sullivan och Lillburn (2017) är ett av kriterierna för en bra öppen fråga att under tiden eleverna löser uppgiften lär sig både eleven och läraren nya saker. Läraren kommer lära sig vilken kunskap eleven besitter och vilken kunskap eleven ännu inte utvecklat. Bragg (2013) argumenterar därför att öppna matematikuppgifter är ett effektivt arbetssätt att använda sig av vid en introduktion av ett nytt ämnesområde. Det ger läraren en bra inblick i vilken kunskap
öppna uppgifter i inledningen av ett nytt ämnesområde innebär också att läraren inte riskerar att återupprepa information som eleverna redan har kännedom kring. Upprepning av kunskap är bra i en viss utsträckning men kan också leda till att eleverna tappar intresset och inte ser någon mening i att engagera sig.
I arbetet med öppna uppgifter kommer läraren också ges möjligheten att utvärdera olika matematiska förmågor hos eleverna. Öppna frågor öppnar alltid upp för någon form av kommunikation, skriftlig eller muntlig (Munroe, 2015). Det kan ske i form av en helklassdiskussion, gruppdiskussioner eller individuella reflektioner. Det finns alltid något att diskutera eller jämföra vilket innebär att kommunikations- och resonemangsförmågan kommer få möjlighet att utvecklas. I olika former av diskussioner kommer även begrepp att diskuteras och sättas i ett sammanhang. Vidare kommer även metod- och problemlösningsförmågan kunna utvecklas och bedömas. Vid en bra öppen uppgift utmanas elevernas tänkande när de arbetar med frågeställning vilket leder till utveckling av problemlösningsförmågan (Sullivan & Lillburn, 2017). Avslutningsvis kan också den matematiska metodförmågan att kunna utvärderas eftersom läraren vid öppna frågor kan se vilken metod eleven väljer att använda, vilken/vilka hen väljer bort och vilka metoder eleven saknar kunskaper om (Bragg, 2013). Holgersson (2015) argumenterar att fördelen med att använda sig av olika problemlösningsfrågor i undervisningen är att flera olika matematiska förmågor kommer kunna utvecklas och utvärderas på samma gång.
5. Slutsatser och Diskussion
5.1 En öppen uppgift
Utifrån studiens resultat finns det en samsyn mellan forskare om vad som karakteriserar en öppen uppgift (Boaler, 1998; Boaler, 2016; Holgersson 2015; Munroe, 2015; Sullivan & Lillburn, 2017; Sullivan et al., 2009). Det är en uppgift som har flera rätta svar, utmanar elevens tänkande och som elev samt lärare lär sig något av genom arbetsprocessen. Något jag kritiskt frågar mig själv som framtida lärare är hur jag säkerställer att alla eleven utmanas i sitt tänkande och inte tar den ”enkla” vägen? I tabell två presenteras en stängd och en öppen uppgift. I den öppna uppgiften skulle eleverna kunna svara väldigt simpelt, till exempel besluta att Maja köpte en present för 400kr och en annan för 100kr. Utmanas då elevernas tänkande mer än i den stängda uppgiften? Parks (2009) argumenterar ju att öppna frågor kan bli för breda och att de behöver vara tillräckligt specifika för att utveckla matematiska färdigheter. Skulle elevernas tänkande kunna utmanas mer genom att ställa extra krav i uppgiften? Att Maja till exempel måste köpa ett visst antal presenter eller att någon present måste kosta under 50kr och någon över 200kr? Som lärare är det oerhört viktigt att komma ihåg att alla elever är olika, de har olika bakgrund och tidigare erfarenheter, vilket innebär att elevernas tänkande kommer att utmanas i olika utsträckning. Slutsatsen om kriteriet blir därför att alla elever kommer att utmanas på olika sätt i sitt tänkande men det inte räcker med att de endast kommer ihåg en räkneoperation för att lösa uppgiften. Utan det krävs ett ”higher level of thinking” som Sullivan och Lillburn (2017) uttrycker det eller en relationell förståelse som Skemp (2006) förklarar det. Det krävs alltså att eleverna själva avgör vilken räkneoperation som till exempel lämpar sig för att lösa problemet. Utifrån studiens resultat konstaterar jag att det viktigaste för att uppnå en undervisning där eleverna utmanar sig själva och är kreativa i sina lösningar är att ge eleverna tid och uppmuntra dem till att tänka utan för boxen. Jag upplever dock att tid är det som ofta saknas ute på skolorna, att det inte alltid finns tid att reflektera och diskutera olika problem. Utöver tid visar också studiens resultat att det är viktigt att eleverna känner sig trygga i den skolmiljön de befinner sig i och att den uppmuntrar eleverna till att testa nya saker och att det är okej att göra fel ibland.
5.2 Fördelar och nackdelar med arbetssättet
Utifrån studiens resultat finns det flera positiva effekter på matematikundervisningen vid användningen av öppna uppgifter. Arbetssättet ökar elevernas engagemang, bidrar till ett positivt klassrumsklimat, ökar chanserna för att alla elever ska inkluderas i undervisningen och synliggör elevernas kunskaper både för läraren och eleven. Flera forskare argumenterar dock att öppna uppgifterna tar längre tid än stängda, både att planera, genomföra och rätta (Boaler, 1998; Sullivan, et al., 2009; Viseu & Oliveira, 2012). Boalers (1998) studie visar också att när lärare jämför elevers resultat på standardiserade prov när en grupp elever har arbetat med öppna uppgifter och den andra med stängda uppgifter fick de liknade resultat. Hur kommer det sig om det finns så många fler fördelar med att arbeta med öppna frågor istället för stängda i undervisningen? Kan det ha att göra med att de standardiserade proven oftast är uppbyggda av stängda frågor? Utifrån studien analyserar jag ifall det kan ha att göra med hur normen sett ut i den undervisningen studien har genomförts i. Holgersson (2015) och Boaler (2016) diskuterar att normen inom matematikundervisningen har varit och fortfarande är i många klassrum väldigt strikt och att det viktigaste är att svara rätt på olika uppgifter. Vidare argumenterar Boaler (2016) att de stängda frågorna är dominerande i undervisningen. Det innebära att många elever är vana vid att matematikundervisningen som är uppbyggt utav stänga uppgifter. Oftast är det också de stängda frågorna som bygger upp standardiserade prov. Utifrån det drar jag slutsatsen att den norm som förekommit i matematikundervisningen sen innan kan ha påverkat resultatet i Boalers studie. Det tar tid för eleverna att lära känna en ny arbetsmetod och eleverna kan i början också uttrycka en osäkerhet som Holgersson (2015) redogör för. Att förändra normerna i matematikundervisningen tar tid och det krävs framförallt en väl genomförd planering och ett klassrumsklimat som tillåter förändring. Jag är medveten om att denna studie genomfördes för flera år sedan och mycket har hänt inom skolan sedan dess. Det skulle därför vara intressant att se resultatet från en mer nutida studie, något jag dessvärre inte hittat.
5.3 Betydelse för professionen
större utsträckning än de stängda. Uppgifterna går att lösa på flera olika sätt och eleverna kan därför använda sig av olika metoder för att lösa problemen, vilket också möjliggör för fler elever med olika kunskap att delta i samma undervisning. Den öppna uppgiften synliggör heller inte bara processen för läraren utan också för eleven. Eleverna ges då möjligheten till en större insyn i deras eget lärande, vilket är en viktig del för att eleverna ska bli delaktiga i sin egen kunskapsutveckling och medvetna om sitt eget lärande. De öppna frågorna uppmuntrar också eleverna till att ta egna beslut, planera hur de vill lägga upp arbetsprocessen och testa olika matematiska färdigheter (Boaler, 1998).
De öppna frågorna syftar till att eleverna ska testa olika idéer och göra kopplingar till vardagliga situationer (Boaler, 2016; Munroe, 2015; Sullivan et al., 2009). När eleverna känner att de har kontroll över uppgifterna och sitt eget lärande har de möjlighet att utveckla en tilltro till matematiken. Läraren ska därför uppmuntra eleverna att ta egna beslut i undervisningen. När eleverna också ges friheten att diskutera och undersöka olika matematiska problem kan det leda till att eleverna kommer i kontakt med nya områden inom matematiken och formulerar egna frågeställningar (Skemp, 2006; Sullivan et al., 2009). Under arbetsprocessen kommer eleverna utveckla ett flexibelt och kreativt tänkande. Samhället utvecklas hela tiden och dagens elever behöver utveckla kunskaper de kan använda sig av i framtida jobb som kanske ännu inte är uppfunna. Att utveckla en förmåga hos eleverna att vara flexibla och kreativa blir därför oerhört viktig i lärarprofessionen. Professionen handlar om att förbereda eleverna inför livet utanför skolan och inte bara standardiserade prov (Boaler, 2016; Munroe, 2015).
Öppna matematikuppgifter kommer garanterat vara en del av min undervisning men kommer också kombineras med andra arbetssätt. För att lyckas som lärare krävs det att jag lägger ner tid på att planera min undervisning, ser till att skapa en miljö där eleverna känner sig trygga i och att jag ger eleverna tillräckligt med tid till att på egen hand undersöka och reflektera för olika saker.
5.4 Metodreflektion
Något jag frågade mig under arbetets gång var varför jag inte kom i kontakt med någon svensk forskning. Är det på grund av att arbetssättet inte är tillräckligt implementerat i den svenska
min VFU i Australien arbetsmetoden som open-ended questions eller open-ended activities. Det resulterade i att open-ended, questions och activities valdes ut som viktiga nyckelord. Under tiden jag arbetade med mina sökord insåg jag att det finns flera synonymer till sökorden questions och activities, tasks och approach adderades därför som sökord. Efter att ha genomfört några sökningar noterade jag också att forskare från olika länder ofta använder sig av olika begrepp för att förklara arbetsmetoden. Skulle det kunna vara så att svenska forskare beskriver arbetssättet med andra nyckelord? Och inte som öppna matematikuppgifter eller öppna matematikfrågor? Hade jag haft mer tid för kunskapsöversikten eller genomfört den igen hade jag lagt mer tid på att undersökt mina sökord och undersökt ifall arbetssättet kan beskrivas på andra sätt än open-ended mathematics/öppen matematik. En teori jag har är att öppna matematikuppgifter kanske kategoriseras in under ett undersökande arbetssätt och har därför inte kommit upp i mina sökningar.
Mina sökningar resulterade i ett stort antal träffar. Men när det systematiska urvalet påbörjades noterade jag dock att det inte fanns speciellt många studier på vilka effekter metoden har på lärandet. Många artiklar angav endast att arbetssättet var fördelaktigt att använda sig av i undervisningen för att öka elevernas engagemang och för att utmana dem med mer komplexa problem, men inte på varför? Eftersom tiden var begränsad och träffarna var oerhört många kan det innebära att betydelsefull forskning för kunskapsöversikten kan ha missats. Jag kände dock aldrig att det fanns en för liten mängd forskning för att svara på mina frågeställningar. Men som tidigare nämndes hade det varit intressant att ta del av någon nyare studie som jämförde effekten av att arbeta med öppna matematikfrågor istället för stängda frågor i undervisningen.
5.5 Vidare studier
Under sökningsprocessen noterade jag att den forskning jag fann främst var genomförd i högstadiet. I vidare studier skulle det därför vara intressant att undersöka vad det innebär att använda sig av öppna frågor i de lägre åldrarna. Frågeställningar som skulle kunna bearbetas skulle kunna se ut som följande; Hur ser lärare i de lägre årskurserna på detta arbetssätt? Finns
6. Referenser
Backman, J. (2016). Rapporter och uppsatser. (Tredje upplagan) Lund: Studentlitteratur.
Boaler, J. (1998). Open and Closed Mathematics: Student Experiences and Understandings.
Journal for Research in Mathematics Education, 29(1), 41–62. doi: 10.2307/749717
Boaler, J. (2016). Mathematical mindsets: unleashing students’ potential through creative math, inspiring
messages, and innovative teaching. San Francisco, CA: Jossey-Bass & Pfeiffer Imprint.
Bragg, L. (2013). Hide, Map and Seek: Assessing students’ understanding of location and direction. Australian Primary Mathematics Classroom, 18(4), 3-7.
Holgersson, I. (2015). Att arbeta med öppna uppgifter. Stockholm: Skolverket.
Munroe, L. (2015). The Open-Ended Approach Framework. European Journal of Educational
Research, 4(3), 97-104. doi: 10.12973/eu-jer.4.3.97
Parks, A. N. (2009). Can Teacher Questions Be ”Too” Open?. Teaching Children Mathematics,
15(7), 424-428.
Skollag. (SFS 2010:800). Från:
https://www.riksdagen.se/sv/dokument-lagar/dokument/svensk-forfattningssamling/skollag-2010800_sfs-2010-800. Skolinspektionen. (2018). Att skapa förutsättningar för delaktighet i undervisningen. Från:
https://www.skolinspektionen.se/globalassets/publikationssok/granskningsrap
porter/kvalitetsgranskningar/2018/delaktighet/delaktighet-i-undervisningen_2018-05-29.pdf
Skolverket. (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad
2019. Från:
https://www.skolverket.se/download/18.6bfaca41169863e6a65d48d/1553968042 333/pdf3975.pdf
Skemp R. (2006). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics
Teaching in the Middle School, 12(2), 88-95.
Sullivan P, & Lillburn, P. (2017). Open-ended Maths Activities: Using ”good” questions to enhance
learning: revised second edition. Australien: Oxford University Press.
Sullivan, P., Griffioen, M., Gray, H., & Powers, C. (2009). Exploring Open-Ended Tasks as Teacher Learning. Australian Primary Mathematics Classroom, 14(2), 4-9.
Viseu, F., & Oliveira, I. B. (2012). Open-ended Tasks in the Promotion of Classroom
Communication in Mathematics. International Electronic Journal of Elementary Education,
