Läromedelsanalys: Hur uttrycks de matematiska
förmågorna i två läromedel inom problemlösning
och algebra
Teaching material analysis: How are the mathematical abilities
expressed in two teaching materials in problem solving and algebra
Miranda Halimi och David Holm
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Självständigt arbete 2 för grundlärare F-3
Avancerad nivå 15 hp
Examinator: Jan Olsson
Handledare: Eva-Lena Bjursten
Akademin för utbildning SJÄLVSTÄNDIGT ARBETE 2
kultur och kommunikation Kurskod MAA037 15 hp
Termin 8 År 2021 SAMMANFATTNING
_______________________________________________________ Miranda Halimi, David Holm
Läromedelsanalys: Hur uttrycks de matematiska förmågorna i två läromedel inom problemlösning och algebra.
Teaching material analysis: How are the mathematical abilities expressed in two teaching materials in problem solving and algebra.
Årtal 2021 Antal sidor: 42
_______________________________________________________ Abstract
The purpose of the study is to investigate the extent to which the five mathematical abilities appear in the teaching materials and what opportunities this gives students to develop the five mathematical abilities that the National Agency for Education specifies in the central content and that are required to create good mathematical competence. The five mathematical abilities that are central to the study are the ability to communicate, the problem-solving ability, the ability to reason, the method ability, and the concept ability.
The approaches in the study are both qualitative and quantitative and are based on the socio-cultural perspective and the cognitive developmental psychology.
The result identifies what opportunities two teaching materials give students to develop the abilities, but also whether the teaching material expresses the abilities that are central to the study. The result shows that the teaching aids express all abilities, however, a lesser ability is expressed in both teaching aids, which results in the opportunity to develop the ability for the students being less.
The conclusion suggests that both teaching aids aim to develop the abilities even though they are structured in different ways. We could also conclude that an ability was expressed less and gave less opportunity for students to develop, which was the ability to communicate.
Keywords: Mathematical abilities, teaching aid analysis, teaching materials, textbook, content analysis
Syftet med studien är att undersöka i vilken utsträckning de fem matematiska förmågorna förekommer i läromedlen och vilka möjligheter detta ger eleverna att utveckla de fem matematiska förmågorna som Skolverket specificerar i det centrala innehållet och som krävs för att skapa en god matematisk kompetens. De fem matematiska förmågorna som är centrala i studien är kommunikationsförmågan, problemlösningsförmågan, resonemangsförmågan, metodförmågan och
begreppsförmågan.
Ansatserna i studien är både kvalitativa och kvantitativa och grundar sig i det sociokulturella perspektivet samt den kognitiva utvecklingspsykologin.
Resultatet identifierar vilka möjligheter två läromedel ger eleverna att få utveckla förmågorna men också om läromedlet ger uttryck för de förmågor som är centrala i studien. I resultatet framkommer det att läromedlen ger uttryck för samtliga
förmågor, dock uttrycks en förmåga mindre i båda läromedlen vilket resulterar i att möjligheten att utveckla förmågan för eleverna är mindre.
Slutsatsen antyder på att båda läromedlen syftar till att utveckla förmågorna även fast de är uppbyggda på olika sätt. Vi kunde även dra slutsatsen att en förmåga uttrycktes mindre och gav mindre möjlighet till eleverna att utveckla, vilket var
kommunikationsförmågan.
_______________________________________________________ Nyckelord: Matematiska förmågor, läromedelsanalys, läromedel, lärobok, innehållsanalys
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 1
1.1 Syfte och frågeställningar ... 2
2 Bakgrund ... 3
2.1 Definition av läromedel ... 3
2.2 Definition av lärobok ... 3
2.3 Koppling till styrdokument ... 3
2.4 Det danska Kom-projektet ... 4
2.5 TIMSS 2019 ... 5
2.6 Arbeta för processmålen i läroplanen ... 6
2.7 Vad de matematiska förmågorna innebär ... 6
2.8 Vikten av de fem matematiska förmågorna ... 11
2.9 Lärobokens roll ... 12
3 Teori ... 13
3.1 Sociokulturellt perspektiv ... 13
3.2 Piagets kognitiva teori ... 13
4 Metod ... 15
4.1 Metodologi ... 15
4.2 Urval och avgränsningar...16
4.3 Matematikböckernas utformning ... 17
4.3.1 Mera Favorit Matematik 2A ... 17
4.3.2 Matte Eldorado 2B ... 18
4.4 Datainsamling ... 18
4.5 Databearbetning ...19
4.6 Analysmetod ...19
4.7 Etiska aspekter ... 20
4.8 Validitet och reliabilitet ... 20
5.2 Matte Eldorado 2B ... 22 5.3 Resultat av kategorierna ... 22 5.3.1 Problemlösningsförmågan ... 22 5.3.2 Begreppsförmågan ... 23 5.3.3 Metodförmågan ... 24 5.3.4 Resonemangsförmågan ... 24 5.3.5 Kommunikationsförmågan ... 25 6 Diskussion ... 26 6.1 Metoddiskussion ... 26 6.2 Resultatdiskussion ... 27
6.2.1 Koppling till tidigare forskning ... 31
6.3 Slutsats ... 32
6.3.1 I vilken utsträckning förekommer de fem matematiska förmågorna i läromedlen?... 32
6.3.2 Vilka möjligheter finns för eleverna att utveckla de fem förmågorna i läromedlet? ... 34 7 Avslutning ... 35 7.1 Fortsatt forskning ... 35 Referenser ... 36 Material - Läromedel ... 38 Bilagor ... 39
Bilaga 1 – Analys Mera Favorit Matematik 2A ... 39
Bilaga 2 – Analys Matte Eldorado 2B ...41
1 Inledning
Utbudet av läromedel har ökat i snabb takt under de senaste åren och ansvaret att välja och granska alla läromedel ligger hos lärarna. En undersökning som Stridsman (2014) har gjort visar dock att åtta av tio lärare inte hinner granska det läromedel som används på grund av tidsbrist. Tidigare granskades läromedel av Skolöverstyrelsen och Statens institut för läromedelsinformation, men sedan de lades ner för 30 år sedan har ansvaret legat hos lärarna. I undersökningen framgår det att var fjärde lärare inte hinner med att
kvalitetsgranska, välja och värdera läromedel och 54 % hinner inte med i tillräcklig utsträckning. Värst är det för lärare i grundskolans tidiga år (Stridsman, 2014).
Skolinspektionen har bland annat som uppdrag att kvalitetsgranska skolorna i Sverige där syftet är att bidra till förbättrad måluppfyllelse genom att granska hur skolhuvudmän, rektorer och lärare tar ansvar för undervisningens kvalitet (Skolinspektionen, 2009). År 2009 utfördes också en större kvalitetsgranskning som inriktades mot bland annat undervisningens innehåll, planering och läromedel inom matematikundervisning.
Resultatet visade att många lärare har otillräckliga kunskaper om kursplanen vilket leder till att elever inte får den undervisning som de har rätt till. Vidare så visade resultatet att flertalet elever inte har tillräcklig kunskap om målen i matematik, att det finns stora
skillnader mellan resultaten i prov och slutbetyg samt att undervisningen är starkt styrd av läroboken. Det får konsekvensen att eleverna får små eller inga möjligheter att utveckla sin kompetens i problemlösning, sin förmåga att använda logiska resonemang och sin förmåga att sätta in matematiska problem i sammanhang (Skolinspektionen, 2009).
Läroboken är ett verktyg som lärare använder för att utveckla elevernas förmågor i
matematik (Lundström, 2010, s.38). Dock skriver Lundström (2010) att enbart arbete med lärobokens uppgifter kan vara otillräckliga för att eleverna ska utveckla de fem förmågorna tillräckligt mycket i förhållande till vad styrdokumenten beskriver. Därför är det viktigt att läraren är medveten om vilka mål som finns i styrdokumenten samt hur läroboken kan analyseras och användas för att målen ska uppnås.
Skolinspektionens kvalitetsgranskning kan också kopplas ihop med den studie som Boesen, Lithner och Palm (2018) har gjort kring resultaten för svenska elevers nationella prov. I studien menar författarna att läroplanen syftar till att utveckla elevernas
matematiska förmågor för att de ska uppnå kunskapskraven. Ett sätt som testar hur väl eleverna har nått kunskapskraven är dom nationella proven som utförs i åk 3, 6 och 9 i grundskolan. Boesen et al. (2018) skriver att det är viktigt att undervisningen syftar till att eleverna får en god matematisk kompetens och menar att det därför att viktigt att eleverna får möjlighet att utveckla de matematiska förmågorna. I studien har Boesen et al. (2018) också kommit fram till att de nationella proven har uppgifter som avser att testa samtliga fem matematiska förmågor som finns med i Läroplanen för grundskolan (2018).
Boesen et al. (2018) har kommit fram till att det finns en begränsning i hur mycket förmågorna uttrycks och vilka förmågor eleverna klarar av att visa. Detta beror enligt författarna på brister i undervisningen som medför att eleverna inte fått tillräckliga kunskaper. Bland annat menar de att undervisningen är för läromedelsbunden vilket medför att eleverna inte utvecklar de matematiska förmågorna i den utsträckning som behövs för att uppnå en god matematisk kompetens (Boesen et al. 2018).
Under vår sista period på vår verksamhetsförlagda utbildning så kom vi in i en diskussion som handlade om vad eleverna egentligen förväntas lära sig genom att räkna i
matematikboken. Ett problem som vi upplevde var många av de elever som vi undervisade hade svårt att uttrycka sig matematiskt men också svårt att ibland förstå vissa typer av uppgifter. I vår diskussion hade vi en tanke om att matematikundervisningen bör vara mindre läromedelsbunden och i stället fokusera på praktiska övningar med andra typer av material som till exempel kottar och pinnar eller multibasmaterial i kombination med läromedelsbunden undervisning. Vi kan nu också se att Skolinspektionens rapport (2009) bekräftar att matematikundervisningen är starkt styrd av undervisningen och behöver planeras annorlunda. Under den VFU-period som vi var ute så arbetade eleverna med uppgifter inom områdena problemlösning och algebra. Då vi tyckte att dessa områden var intressanta så har vi valt att fördjupa oss mer inom dem.
Baserat på Skolinspektionens (2009) undersökning, tidigare forskning och lärarnas ansvar att granska läromedel så vill därför göra en läromedelsanalys inom problemlösning och algebra som undersöker hur de matematiska förmågorna uttrycks i två läromedel och vilken möjlighet de valda läromedlen ger eleverna att utveckla de matematiska
förmågorna. Trots att Skolinspektionens granskning gjordes år 2009 så är den fortfarande aktuell då Boesen et al. (2018) visar i sin studie att det fortfarande finns brister i
undervisningen, vilket medför att eleverna har otillräckliga kunskaper. Detta beror på att undervisningen är för läromedelsbunden, vilket leder till att eleverna inte utvecklar de matematiska förmågorna i den utsträckning som krävs för en god matematisk kompetens. Med de fem matematiska förmågorna så menar vi problemlösningsförmågan,
begreppsförmågan, kommunikationsförmågan, resonemangsförmågan och metodförmågan. Dessa fem förmågor är också de som läroplanen för grundskolan
uttrycker. De läromedel vi har valt att analysera är Mera Favorit Matematik 2A och Matte
Eldorado 2B. Som blivande lärare ser vi detta som ytterst viktigt då vi är beroende av att
använda läromedel i vår undervisning för att utbilda våra elever och behöver därför veta att de läromedel vi använder inom matematik ger eleverna den kunskap de behöver för att utveckla de fem matematiska förmågorna och få en god matematisk kompetens.
1.1 Syfte och frågeställningar
Syftet med detta arbete är att undersöka i vilken utsträckning de fem matematiska förmågorna förekommer i läromedlen inom problemlösning och algebra samt vilka
möjligheter detta ger eleverna att utveckla de fem matematiska förmågorna som krävs för en god matematisk kompetens. Studien avgränsas till att undersöka matematikböckerna
Mera Favorit Matematik 2A och Matte Eldorado 2B inom områdena problemlösning och
algebra.
Vi vill därför undersöka följande forskningsfrågor:
• I vilken utsträckning förekommer de fem matematiska förmågorna i läromedlen? • Vilka möjligheter finns för eleverna att utveckla de fem förmågorna i läromedlen?
2 Bakgrund
Denna del är skapad utifrån forskning, böcker och myndighetstexter som är relevanta för studiens undersökning. I avsnitt 2.1 och 2.2 presenteras definitioner av läromedel och lärobok. I avsnitt 2.3 beskrivs de fem matematiska förmågornas koppling och uttryck i styrdokumentet. I avsnitt 2.4 presenteras Det danska KOM- projektet. Avsnitt 2.5 visar elevernas resultat inom matematik i den senast TIMSS- rapporten. I avsnitt 2.6 beskrivs vad forskare anser om att arbeta mot läroplanens processmål. Avsnitt 2.7 inkluderar de fem matematiska förmågornas innebörd där olika forskare och författare ger sin syn. Kapitlet avslutas med avsnitt 2.8 Vikten av de matematiska förmågorna och 2.9 Lärobokens roll.
2.1 Definition av läromedel
Enligt Nationalencyklopedin (2021) definieras läromedel som en resurs för lärande och undervisningen. Det inkluderar allt från läseböcker, övningsböcker och ordböcker. Idag kan läromedlet även finnas tillgängligt genom digitala verktyg. Efter industrisamhället kom läromedlet att bli ett viktigt inslag för den massundervisning som skulle bli och som idag existerar. Läromedel började användas i många ämnen där bland annat matematik var ett av de ämnena enligt Nationalencyklopedin (2021).
2.2 Definition av lärobok
Lärobok är enligt svensk ordbok (2009) ‘’ en bok som ger grundläggande kunskaper i
något ämne och vanligen används vid undervisning’’. Nationalencyklopedin (2021) definierar läroböcker som en variation av läromedel.
2.3 Koppling till styrdokument
I läroplanen beskrivs inte de matematiska förmågorna specifikt. Under kategorin syfte i matematik kan vi se att det resoneras kring de fem matematiska förmågorna i texten. Förmågorna synliggörs inte specifikt utan går att utläsa i texten.
För att koppla de fem förmågorna med de uttryck som ges i läroplanen har vi plockat ut citat ur syftet i ämnet matematik i läroplanen. Problemlösningsförmågan går att utläsa i följande mening i läroplanen:
• ”Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem” (Skolverket, 2019)
Begreppsförmågan går att utläsa i läroplanen i följande mening:
• ”Genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp ” (Skolverket, 2019).
I läroplanen kan vi utläsa metodförmågan i denna mening:
• ”Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna/…/
metoder. Genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska /.../metoder och deras
Resonemangsförmågan uttrycks i läroplanen på följande sätt:
• ”Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera
logiskt och föra matematiska resonemang” (Skolverket, 2019).
Om kommunikationsförmågan beskrivs det i läroplanen på följande sätt:
• ”Eleverna ska genom undervisningen också ges möjlighet att utveckla en
förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang” (Skolverket, 2019 s,54)
Inom områdena, algebra och problemlösning står följande i det centrala innehållet i årskurs 1–3:
Algebra:
• Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse.
• Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas.
• Hur entydiga stegvisa instruktioner kan konstrueras, beskrivas och följas som grund för programmering. Symbolers användning vid stegvisa instruktioner (Skolverket, 2019).
Problemlösning:
• Strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer.
• Matematisk formulering av frågeställningar utifrån enkla vardagliga situationer (Skolverket, 2019).
2.4 Det danska Kom-projektet
KOM-projektet (Kompetenser och lärandet inom Området Matematik) är en dansk studie som startades år 2000 då en kommitté, utsedd av den danska skolmyndigheten ansåg att den danska matematikundervisningen hade brister från grundskolan upp till
universitetsnivå (Niss, 2003). Bristerna bestod bland annat av att en stor del av
matematiklärarna inte hade rätt utbildning för att undervisa i matematik och saknade därför didaktiska och pedagogiska delar i undervisningen. En annan del som brast i det danska systemet var de stora kulturella skillnaderna som fanns inom dansk
matematikutbildning vilket medförde att matematik uppfattades på så olika sätt att det var svårt att se att det var samma ämne man pratade om. På grund av alla brister så blev
elevernas resultat inom matematik svaga och den danska skolmyndigheten beslutade därför att något måste göras för att komma till rätta med problemen. Lösningen blev KOM-projektet där målet var att skapa ett utbildningssystem som strävade efter samma sak, att öka och stärka matematisk kompetens hos alla elever (Niss, 2003).
KOM- projektets kommitté fick i uppdrag att bland annat ta reda på vilka matematiska kompetenser som eleverna behövde utveckla inom olika stadier i utbildningssystemet, säkerställa en hållbar matematikundervisning i hela utbildningssystemet, ta reda på hur matematisk kompetens ska mätas samt att fundera kring hur matematiska läromedel
skulle utformas för att bidra till en god matematisk kompetens hos eleverna. Dessa åtgärder var endast ett fåtal på en lång lista (Niss, 2003).
Den tillsatta kommittén menade att om en individ ska kunna behärska matematik så behöver individen ha en viss form av matematisk kompetens. Med det menas att individen behöver ha förmågan att förstå, bedöma, göra och använda matematik i olika sammanhang och situationer där matematik kan spela en roll (Niss, 2003). I projektet har kommittén därför tagit fram åtta matematiska kompetenser som de menar behövs för att eleverna ska utveckla en god matematisk kompetens. Kompetenserna är indelade i två grupper. Den första gruppen innehåller matematiska kompetenser som handlar om förmågan att ställa och svara på frågor inom matematik. De kompetenser som ingår i den gruppen är
tankegångskompetens, problemhandlingskompetens, modelleringskompetens samt resonemangskompetens. I den andra gruppen ingår kompetenser som har att göra med förmågan att hantera matematiska språk och verktyg. Dessa är representationskompetens, symbol- och formalismkompetens, kommunikationskompetens och hjälpmedelskompetens (Niss, 2003).
De åtta kompetenserna ligger nära varandra och handlar om saker som människor kan utföra. Kompetenserna kan användas på olika sätt inom matematikundervisning. Bland annat som specifikation av en läroplan eller för att nå önskade resultat av elevernas lärande. De kan också användas vid prov för att ta reda på vad eleverna har lärt sig eller användas som stöd för lärare och elever genom att hjälpa dem att klargöra och kontrollera att undervisningen utförs med ett korrekt syfte (Niss, 2003).
När den nya läroplanen 2011 tillträdde så utvecklades också mål i form av förmågor som ska utvecklas hos eleverna. Att läroplanen är uppbyggd av förmågor har sin grund i flertalet undersökningar från bland annat KOM-projektet i Danmark, Skolinspektionens rapporter från de svenska gymnasieskolorna och svenska statens offentliga utredningar angående matematikundervisningen (Skolverket, 2014).
2.5 TIMSS 2019
TIMSS 2019 (Trends in international Mathematics An Science Study) är en internationell jämförande studie som genomförts i 64 länder. Studiens syfte är att undersöka hur elevers kunskaper och attityder gentemot matematik och naturvetenskap är (Skolverket 2020, s.6). TIMSS utförs var fjärde år och har gått från höga resultat år 1995 till stegvis lägre resultat fram till 2011 i matematik och naturvetenskap bland svenska elever. Vid den senaste studien TIMSS 2015 hade resultaten förbättrats men låg fortfarande långt under genomsnittet.
Den senaste rapporten som TIMSS 2019 presenterar visar att resultaten i TIMMS 2015 inte var en tillfällighet då svenska elever har samma resultat som år 2015. De svenska
resultaten i matematik ligger fortfarande under genomsnittet för de EU- och OECD-länder som deltagit i TIMSS 2019. I rapporten framgår också att problemlösning och algebra är två områden där svenska elever visar låga resultat (Skolverket, 2020).
Orsakerna till de låga resultaten beror dels på resursskillnader mellan skolor, en ökad betydelse av elevernas hemresurser, dels att migrationsbakgrund har betydelse för elevernas resultat (Skolverket, 2020).
I en studie som Wiberg och Rolfsman (2019) presenterade så finns det tydliga kopplingar med elevernas prestationer inom matematik i skolan och de låga resultaten i TIMSS. I
studien bekräftar Wiberg och Rolfsman (2019) att elevernas migrationsbakgrund och hemförhållanden är en orsak till elevernas låga resultat. Vidare i studien så menar Wiberg & Rolfsman (2019) att lärarnas kompetens inom ämnet spelar en stor roll för elevernas utveckling inom matematik.
2.6 Arbeta för processmålen i läroplanen
Van Steenbrugge & Ryve (2018) skriver att den nationella läroplanen för matematik i Sverige har under 25 årstid haft ett processmål att skapa en central plats för resonemang, diskussioner och problemlösning. Nationella utvärderingar, Boesen et al. (2014) och Van Steenbrugge & Ryve (2018) har av erfarenheter fått bekräftat att lärare visar att
processmålen inte är vanliga i matematikundervisningen och att lärare behöver utveckla och få konkret stöd för hur tillvägagångsättet kring undervisningen kan bedrivas efter processmålen.
Forskarna menar på att eleverna huvudsakligen arbetar i läroboken vilket resulterar i en läromedelsbunden undervisning. I studien lyfter Van Steenbrugge & Ryve (2018) olika strategier som de har använt i sin studie för att ta reda på lärares reaktioner vad gäller undervisningsmaterial, struktur av undervisningen, diskussioner och resultat av dessa. Av lärarnas svar framkommer det i studien att lärare lägger mer fokus på planering inför lektioner och planerade i mindre utsträckning under och efter lektionen. Lärarna använde lärarhandledningen i större utsträckning och förlitade sig på den. Dock menade lärarna som deltog i studien att det var mycket att läsa och för intensivt för att kunna planera en undervisning.
2.7 Vad de matematiska förmågorna innebär
De matematiska förmågorna beskrivs på olika sätt av olika forskare/författare. Några väljer att kalla förmågorna för kompetenser medan andra väljer att kalla dem för just förmågor. Förmågor skiljer sig också åt hur de tolkas av de forskare/författare som vi har med i studien. Dock kan vissa förmågor kopplas samman med varandra. Några forskare skriver om fem förmågor och andra forskare om sex eller åtta förmågor.
I denna studie kommer vi att använda begreppet förmågor och vi väljer att fokusera på de fem förmågor som läroplanen beskriver (Skolverket, 2019). Det är
problemlösningsförmågan, begreppsförmågan, metodförmågan, resonemangsförmågan
och kommunikationsförmågan. Nedan sammanfattar vi förmågorna efter olika benämningar beroende på forskare och författare.
Lindblom & Wigestam (2016) beskriver fem förmågor som elever utvecklar när de arbetar med matematik. Det är begreppsförmågan, metodförmågan, resonemangsförmågan,
kommunikationsförmågan och problemlösningsförmågan. Forskaren Helenius (2006)
lyfter i sin rapport åtta kompetenser som är en annan benämning för förmågorna. Förmågorna är hämtade från projektet där forskaren även har deltagit.
KOM-projektet är en dansk studie som startades år 2000 då en kommitté, utsedd av den danska skolmyndigheten ansåg att den danska matematikundervisningen hade brister från
grundskolan upp till universitetsnivå (Niss, 2003). “KOM” står för “Kompetenser och lärandet inom Området Matematik”. I detta projekt kom forskarna fram till åtta
kompetenser som de ansåg att eleverna behöver utveckla när de arbetar med matematik. I en studie av Boesen et al. (2014) som är gjord vid Göteborgs Universitet beskriver
Begreppsförmågan / Relationskompetens
Den första förmågan som Lindblom & Wigestam (2016) beskriver är begreppsförmågan. Med denna förmåga menas att eleverna ska använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begreppen. Alla begrepp ska vara matematiska vilket innebär att begreppen inte får kompletteras med synonyma ord. Exempelvis ska ordet addera användas och inte ordet ”plussa”.
För att se sambandet mellan begreppen kan lärare skapa förståelse för eleverna genom att exempelvis förklara att 75% är lika mycket som tre fjärdedelar. Att göra på detta sätt skapar eleverna förståelse för begreppen procent och bråk (Lindblom & Wigestam, 2016).
Relationskompetens är den kompetens som kan kopplas samman med Lindblom &
Wigestems begreppsförmåga. Relationskompetens handlar enligt Boesen et al. (2014) om att hitta en koppling eller en relation mellan två saker. Exempelvis kan det vara kopplingen mellan två olika enheter.
Metodförmågan / Metodkompetens
Nästa förmåga som beskrivs är metodförmågan där eleverna ska utveckla förmågan att använda och välja lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa
rutinuppgifter (Lindblom & Wigestam, 2016). Ett exempel som författarna ger är en elev i årskurs 6 som använder sig av en multiplikationssång för att kunna göra olika beräkningar i multiplikation. När eleven vid ett senare skede skulle lösa en multiplikationsuppgift med flera faktorer möttes eleven av ett hinder. Elevens tidigare metod om
multiplikationssången brast vilket innebar att eleven var tvungen att hitta en annan lämplig metod för att kunna göra beräkningen. Eleven i fråga hade använt
multiplikationssången som en metod vid beräkningar med två termer. När eleven skulle börja räkna med fler termer var inte metoden längre användbar.
Boesen et al. (2014) benämner metodförmågan som metodkompetens och har samma innebörd. Metodkompetens är en matematisk procedur som kräver matematiska åtgärder av eleverna för att kunna lösa en uppgift. Boesen et al. (2014). Modelleringskompetens innebär att man analyserar och bygger matematiska modeller inom olika områden. Detta är en process där man översätter en situation från ett annat område än matematik till matematiskt språk (Helenius, 2006).
Resonemangsförmågan / Resonemangskompetens
Den tredje metoden är resonemangsförmågan som innebär att eleverna ska föra och följa matematiska resonemang (Lindblom & Wigestam, 2016). Denna förmåga behövs för att eleverna ska kunna motivera hur de har kommit fram till sina lösningar. När eleverna visar att de kan följa ett resonemang visar eleverna på att de kan återge med ord, ifrågasätta och vidareutveckla någon annans resonemang (Lindblom & Wigestam, 2016).
Boesen et al. (2014) benämner Lindblom och Wigestam (2016) resonemangförmåga som resonemangskompetens och menar att eleverna ska välja rätt uttryckliga handlingar för att resonera om de slutsatser och val genom matematiska argument. Författarna nämner även att denna förmåga går i linje med problemlösning- och metodförmågan. Eleverna ska kunna motivera varför slutsatserna är rimliga och sanna, dock behöver inte resonemanget vara rimligt (Boesen et al., 2014)
Resonemangskompetens är den kompetens som enligt Helenius (2006) handlar om att
matematiska beviset. Att kunna göra det och genomföra de olika resonemangen är det som är givande för denna kompetens. De tre sistnämnda kompetenserna kan kopplas samman. Kommunikationsförmågan / Kommunikationskompetens
Lindblom & Wigestam (2016) beskriver den fjärde förmågan som är
kommunikationsförmågan. Den innebär att eleverna ska kunna använda matematikens
uttrycksformer för att kunna samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Eleverna förväntas kunna i tal alternativt skrift visa sin lösning för att kunna visa på att eleverna har utvecklat kommunikationsförmågan. För att kunna skilja på resonemang och kommunikationsförmågan handlar den förstnämnda om hur eleverna använder sig av olika matematiska argument i sina lösningar. Det vill säga hur eleven resonerar kring sitt tänkande och sina idéer om hur eleven löser uppgifter.
Kommunikationsförmågan handlar mer om vilka strategier och hur väl eleverna använder
sig av olika uttrycksformer som exempelvis tal och skrift för att kunna argumentera och redogöra för sina beräkningar (Lindblom & Wigestam, 2016).
Kommunikationskompetens är enligt Helenius (2006) är att sätta sig in i och skapa
förståelse för matematikinnehållet i enskilda elever presentationer och uttrycka sig på olika sätt och nivåer i de olika matematiska situationer och betydelser.
Kommunikationskompetens innebär enligt (Boesen et al., 2014) att eleverna genomgår en
process där de utbyter information mellan varandra genom symboler, tecken eller beteenden. Författarna hävdar att i en kommunikation krävs det en mottagare och avsändare vilka oftast är läraren och eleven men kan också vara läroboken där eleverna inhämtar sina kunskaper (Boesen et al., 2014).
Problemlösningsförmågan / Problemlösningskompetens / Problemhandlingskompetens
Den femte förmågan är problemlösningsförmågan som enligt Lindblom & Wigestam (2016) är den förmåga där eleverna ska kunna formulera och lösa problem med hjälp av matematik. Eleverna ska även kunna värdera valda strategier och metoder. Förmågan handlar till stor del om flexibilitet och användning av olika strategier och kunna identifiera strategierna (Lindblom & Wigestam, 2016). Problemlösning kan också vara ett innehåll exempelvis ‘’Sally ser 38 bilar. Kurre ser 25 bilar färre. Hur många bilar ser Kurre? (Asikainen et.al, 2018).
Boesen et al. (2014) benämner problemlösningsförmågan som problemlösningskompetens.
Problemlösningskompetens beskriver Boesen et al. (2014) som att problemlösning innebär
att eleverna engagerar sig i problemlösningsuppgifter som de inte känner till. Författarna skriver också att det bara finns två matematiska uppgifter, icke-problem och problem. För att det ska vara uppgiften ska definieras som ett problem skriver Boesen et al. (2014) att uppgiften måste vara utmanande eller kräver utforskning.
Problemhandlingskompetens beskriver Helenius (2006) som att eleven ska kunna
formulera och ställa upp olika matematiska problem för att sedan lösa dem. Ett problem skriver Helenius (2006) är en matematisk fråga som kräver en matematisk undersökning som eleven ska besvara. Beroende på elevernas förutsättningar så uppfattas
Förmågor utöver det som framkommer i läroplanen
Representationskompetens bygger på att kunna omvandla abstrakta matematiska enheter
till konkreta mentala bilder. Matematik är abstrakt och består av exempelvis uppgifter, metoder, begrepp och fenomen vilket kan vara svårt att förstå. Boesen et al. (2014) skriver därför att det blir lättare att tänka på något som är mer konkret, en representation som ersätter den abstrakta enheten men som ändå är relevant för den specifika situationen. En representation definieras därför som en konkret mental eller verklig ersättning av en abstrakt matematisk enhet.
Representationskompetens beskriver Helenius (2006) som att eleven ska kunna använda
olika representationer av matematiska objekt, fenomen, problem eller situationer för att kunna påvisa olika representationsformer.
De tre kompetenserna som inte går att koppla samman med andra förmågor eller kompetenser är tankegångskompetensen, hjälpmedelskompetens, symbol- och
formalismkompetens.
Tankegångskompetens handlar om att vara klar över vilka slags frågor som är typiska för
matematik. Eleverna ska också kunna ställa den typen av frågor samt ha inblick i vilka typer av svar de kan förvänta sig. De ska också kunna skilja på olika typer att matematiska utsagor som exempelvis satser, definitioner och förmodanden. Tankegångskompetensen innefattar också att eleverna ska kunna förstå olika begrepps räckvidd och genom att generalisera dessa begrepp kunna utvidga dem till större objekt (Helenius, 2006).
Hjälpmedelskompetens handlar om att ha kännedom om olika matematiska hjälpmedel
och känna till hur de fungerar och hur de ska användas. Exempel på ett matematiskt hjälpmedel är miniräknaren (Helenius, 2006).
Symbol- och formalismkompetens skriver Helenius (2006) är en kompetens som beskriver
att eleverna ska kunna förstå och använda matematikens symbolspråk och formalism. Det innebär att eleverna lägger fokus på att kunna avkoda symbol och formelspråk, översätta mellan symboliskt matematikspråk och naturligt språk samt använda sig av dem själva. Likheter och skillnader
Samtliga förmågor nämns av samtliga författare ovan i studien. Dock benämns
kompetenserna/förmågorna olika. Boesen (2014) och Helenius (2006) benämner dem som kompetenser medan Lindblom & Wigestam (2016) samt läroplanen benämner dem som förmågor. Vi kan se att Boesen (2014) och Helenius (2006) använder sig av fler
kompetenser än vad Lindblom & Wigestam (2016) samt läroplanen gör. Boesen (2014) nämner sex och Helenius (2006) åtta kompetenser.
Som beskrivet ovan finns det likheter med många av de förmågor som de olika författare/forskare lyfter i sina studier. Många av dem kan kopplas samman med de
förmågor som läroplanen uttrycker. Begreppsförmågan kan kopplas samman med Boesen et al. (2014) relationskompetens. Båda författarna utgår från att eleverna ska kunna se en koppling och samband mellan olika begrepp, dock är skillnaden med begreppsförmågan som Lindblom och Wigestam (2016) skriver, att inga synonyma ord får användas.
Exempelvis får ordet ”plus” inte användas utan det är ordet ”addera” som ska användas.
Metodförmågan som Lindblom och Wigestam (2016) skriver om kan kopplas samman
med Helenius (2006) och Boesen et al. (2014) modelleringskompetens. Metodförmågan innebär att eleverna ska ha god förmåga i att använda och välja lämpliga matematiska
metoder för att kunna lösa en beräkning. Detta är också något som Helenius (2006) beskriver att modelleringskompetens syftar till. Skillnaden mellan metodförmågan och
modelleringskompetens är att Helenius (2006) menar att eleverna också ska kunna
översätta en situation från ett matematiskt område till ett matematiskt språk. Boesen (2014) utvecklar detta och menar att eleverna även ska kunna genomgå en matematisk procedur som kräver en matematisk åtgärd för att kunna lösa en uppgift. Samtliga tre författare/forskare uttrycker sig på ett liknande sätt, med vissa små skillnader för hur eleven ska utveckla en god metodförmåga.
Resonemangsförmågan innebär enligt Lindblom & Wigestam (2006) att eleverna ska
använda matematikens uttrycksformer för att samtala, argumentera och redogöra för beräkningar vilket kan göras i tal eller i skrift. Helenius (2006) menar att
resonemangsförmågan innebär mer än så och skriver att eleverna även ska skapa
förståelse för matematikens innehåll och uttrycka sig på olika sätt och nivåer beroende på matematiska situationer. Boesen et al. (2014) skriver att kommunikationskompetens är en genomgående process där eleverna ska utbyta information med varandra genom symboler, tecken eller beteende vilket liknar det som Lindblom & Wigestam (2006) skriver om
kommunikationsförmågan. Dock menar Boesen et al. (2014) att det krävs en mottagare
och en avsändare vilket inte Lindblom & Wigestam (2006) nämner. Den sista förmågan som går att koppla samman och är lika varandra är
problemlösningsförmågan enligt Lindblom & Wigestam (2006)
problemhandlingskompetens enligt Boesen et al. (2o14) och problemlösningskompetens
enligt Helenius (2006). Samtliga författare kräver att eleverna ska utveckla kunskaper för att lösa ett matematiskt problem. Skillnaden är att Helenius (2006) och Boesen et al (2014) menar att det ska vara problem som eleverna inte känner till sen innan och att det är
Nedan visas en tabell med en översikt av de förmågor som respektive författare/forskare skriver om.
Tabell 1
Visar en översikt av de förmågor som respektive författare / forskare skriver om. Skolverket Lindblom & Wigestam Helenius &
KOM-projektet
Boesen med flera
Problemlösningsförmåga Problemlösningsförmåga Problemhandlings- kompetens Problemlösnings- kompetens Representations- kompetens Representations- kompetens
Begreppsförmåga Begreppsförmåga Relationskompetens
Resonemangsförmåga Resonemangsförmåga Resonemangs- kompetens
Resonemangs- kompetens
Metodförmåga Metodförmåga Metodkompetens
Modellerings- kompetens
Kommunikationsförmåga Kommunikationsförmåga Kommunikations- kompetens Kommunikations- kompetens Tankegångskompetens Hjälpmedelskompetens Symbol- och formalismkompetens
2.8 Vikten av de fem matematiska förmågorna
Vikten av de fem matematiska förmågorna är enligt Lindblom & Wigestam (2016) grundläggande när lärare planerar sin undervisning. De skriver att planering och undervisning som utgår ifrån de fem förmågorna är en nyckel till framgång. Genom att lärare utgår från de fem förmågorna när de planerar sin undervisning så får de ett tydligt underlag där lärarna kan se hur en förmåga utvecklas över tid. Då de fem förmågorna är kopplade till läroplanen så skriver författarna att det blir lättare att planera undervisning och bedöma eleverna. Beroende på vilken förmåga som eleverna ska öva så kan läraren välja vilka uppgifter som är lämpliga för den specifika förmågan. Genom att också göra eleverna medvetna på vilka förmågor de övar på så får de möjlighet att uppnå
2.9 Lärobokens roll
Lundström (2010) har en uppfattning om att läromedel spelar en viktig roll för både lärare som elever. Men författaren hävdar även att läromedlet bara är en pusselbit av
undervisningen. För att tillämpa goda ämneskunskaper och framgång hos eleverna skriver Lundström (2010) att läroboken behöver kompletteras med andra delar som ny forskning och att våga pröva nya strategier. Lundström (2010) skriver om en av de strategierna som är att elever behöver utvidga kunskaperna genom praktiska problem. Detta resulterar i att lärobokens roll i den praktiska övningen inte är lika stor, dock är läroboken ett stöd för den fortsatta undervisningen. Lundström (2010) har fått med ett elevcitat ”det som är dåligt med undervisning i matematik är att man jobbar för sig själv alldeles för mycket’’.
Skolinspektionen (2009) skriver att läroboken ger mindre möjligheter till problemlösning, föra resonemang och utöka sin begreppsförståelse för att undervisningen är starkt styrd av läroboken. Skolverket (2017) skriver att läromedlet konkretiserar kunskapskraven då eleverna uppfattar läroboken som visualisering och konkretisering av kunskapskraven i läroplanen. Dock hävdar de att de matematiska förmågorna tappas bort då undervisningen är läromedelsbunden. Eleverna tycker också att läromedlet är tydligt konstruerat efter de kunskapskraven som innehållet grundar sig på. Dock tycker eleverna att de matematiska förmågorna inte ges utrymme till att få utveckla då undervisningen styrs av läromedlet och är väldigt läromedelsbunden (Skolverket, 2017).
3
Teori
Teoridelen beskriver vilka teorier vi har utgått ifrån när vi skrivit detta arbete, det
sociokulturella perspektivet samt den kognitiva teorin Vi beskriver vad teorierna handlar om och hur de passar in i denna studie.
3.1 Sociokulturellt perspektiv
Lev Vygotskij beskriver olika sätt att lära sig, där det centrala är i samspel med andra. Lev Semovich Vygotskijs teori och arbete om lärande, utveckling och språk grundar sig i det sociokulturella perspektivet. Teorin grundar sig i frågor om hur individen lär sig och på vilket sätt individen lär sig att utveckla sitt språk men även sitt eget lärande. (Säljö, 2014) En av utgångspunkterna enligt Säljö (2014) är hur människan tillägnar sig samt använder sig av sina fysiska och kognitiva resurser. Det som ligger i fokus i denna teori är samspelet mellan kollektivet och individen.
Säljö (2014) skriver också att människan är en biologisk varelse med olika förutsättningar av dess fysiska och mentala resurser. Avgörande för människans resurser är enligt det sociokulturella perspektivet naturen och den art som människan tillhör.
Termerna redskap och verktyg har en speciell betydelse. Termerna är enligt Vygotskij i Säljö (2014) de språkliga och fysiska resurser som vi behöver för att kunna förstå och agera i den omvärld som vi lever i. Vygotskij (1995) skriver att människan med hjälp av minnet och spårning kan skapa en konstruktion för att kunna tolka nya handlingar. Enligt
Vygotskij (1995) är språket vårt verktyg för att kunna förmedla det vi gör och det vi uppfattar. Säljö (2014) bekräftar detta och skriver att människorna lär sig i samspel med varandra för att utveckla språket som i sin tur utvecklar vår kommunikationsförmåga. Valet av den sociokulturella teorin i studien är gjort för att kunna förklara hur eleverna lär sig och utvecklar sitt lärande i interaktion med andra elever. Teorin nämner verktyg och redskap som några exempel på hur elevernas tillämpar sig kunskaper och utvecklas i sitt lärande. De förmågorna vi valt att använda oss av i studien är de verktyg och redskap som kan användas för att utveckla de matematiska förmågorna.
Den sociokulturella teorin hör ihop med de fem matematiska förmågorna på olika sätt. Vygotskij skriver att eleverna lär sig i samspel med andra och där vi kan koppla in både
kommunikationsförmågan och resonemangsförmågan. Dessa två förmågor handlar om
att kunna uttrycka sig, diskutera, kommunicera och resonera kring matematik. Det kan handla om att kommunicera och resonera i mindre grupper, i helklass eller med läraren. Diskussioner och resonemang kan handla om matematiska metoder, begrepp,
problemlösning eller något annat. På så sätt så kopplas även begreppsförmågan,
metodförmågan och problemlösningsförmågan in i den sociokulturella teorin. Vidare
skriver Vygotskij om hur olika redskap och verktyg har en viktig betydelse för hur vi ska kunna förstå och agera i vår omvärld. Även här kan vi koppla samman metodförmågan och
begreppsförmågan där eleverna behöver ha redskapen, alltså begreppsförmågan och
verktygen, metodförmågan för att kunna förstå uppgifter och kunna lösa dom.
3.2 Piagets kognitiva teori
Den kognitiva teorin lägger mer fokus på hur människan lär sig och utvecklas med hjälp av tänkandet och mentala företeelser. Jean Piaget är den psykolog som ligger till grund för
denna teori. Enligt Piaget hämtar människan in och kodar av informationen med hjälp av våra sinnen där vi processar den i vår hjärna för att vidare lagra den i vårt minne och sedan hämta informationen igen ifrån minnesspåret. Allt görs i samspel med vår omgivning (Säljö, 2018). Kunskapen inom kognitiva teorin beskrivs som mentala modeller, scheman eller kognitiva strukturer som lagras i människans korttidsminne (Säljö, 2018).
För att människan ska utvecklas och lärandet ska vara funktionellt krävs det enligt den kognitiva teorin repetition för att kunna befästa informationen i människans
långtidsminne (Säljö, 2018). Enligt Piagets teori ligger inte intresset i hur eleverna lär sig utan snarare hur eleverna utvecklas. Piaget såg utvecklingen som en mer grundläggande process för utveckling och vidare för lärandet. Piaget menade att individernas sätt att tänka och agera är beroende på människans erfarenheter. Av erfarenheter menade Piaget att människor upplever en kognitiv konflikt för att kunna nå en balans. För att kunna nå en balans måste människan förändra sättet att se på världen och att tänka enligt Säljö (2018). Ett exempel som lyfts av författaren är om individen har sett att järn sjunker i vatten men får en annan gång se en båt som är uppbyggd av järn som flyter på vatten. Här måste människan genast ackommodera för att skapa förståelse för varför föremålen flyter eller sjunker. (Säljö, 2018).
Enligt Säljö (2018) är Piaget grundtanke att undervisningen och lärandet måste anpassas efter det stadium där barnets tankeförutsättningar är på. Utmanar vi eleverna till att skapa förståelse för ett tänkande i ett annat stadium är det oförmöget för eleverna att förstå kunskaperna. Interaktionen med andra är också en viktig beståndsdel i teorin då det leder till kognitiva konflikter och barnet tvingas ta ställning kring sitt sätt att tänka och sina antagande om hur världen ser ut och fungerar. (Säljö, 2018).
Barnen behöver också samspela med andra och skolan behöver erbjuda olika
undervisningsformer för att stimulera eleverna till eget ansvarstagande genom självstyrda aktiviteter och grupparbeten där samarbete krävs. Undervisningsformer som föreläsningar eller lektioner ses som passiviserande former för förmedling av kunskap. Då skriver Piaget att eleverna ska ges möjlighet till att aktiviteter där barnen får vara aktiva, arbeta med olika typer av frågeställningar för att kunna utforska vår värld. Där föddes bilden om det
självstyrande barnet (Säljö, 2018).
Sammanfattningsvis innebär den kognitiva teorin att människan behöver erfara för att kunna skapa ett antagande och en förståelse för hur den ska tänka och se på saker och vår omvärld. På detta sätt kan den kognitiva teorin framför allt kopplas samman med
begreppsförmågan, resonemangsförmågan och metodförmågan där eleverna behöver
förstå begrepp och resonera kring hur de ska ta sig an uppgiften. Människan behöver också aktivt i interaktion med andra stimuleras och aktiveras för att utvecklas och inhämta
kunskaper. Det krävs då en annorlunda undervisningsform än den traditionella med föreläsningar och som är läromedelsbunden. Anledningen till att använda sig av andra undervisningsformer är för att eleverna ska bli mer självstyrande, ges stimulans för en kognitiv konflikt och vidare anpassning. Genom detta kan vi också koppla samman
kommunikationsförmågan med den kognitiva teorin, där lärarna behöver komplettera den
traditionella undervisningen för att eleverna ska kunna kommunicera och interagera med andra elever och lärare i syfte att utveckla kommunikationsförmågan.
4 Metod
Detta kapitel beskriver den metodologi som studien grundas på. I avsnitt 4.1 Metodologi motiveras och beskrivs de metodologiska urvalen som har gjorts med stöd av relevant litteratur. I avsnitt 4.2 Urval presenteras studiens urval av läromedel samt de
avgränsningar som har gjorts. I avsnitt 4.3 Matematikböckernas utformning presenteras de valda läromedlens uppbyggnad. I avsnitt 4.4 Datainsamling redovisas
tillvägagångssättet för insamlandet av data. I Avsnitt 4.5 Databearbetning redogör vi för hur den insamlade data har tolkats och bearbetats. I Avsnitt 4.6 Analysmetod, presenteras det som ska undersökas. Denna del grundar sig på våra teorier, det sociokulturella
perspektivet samt den kognitiva teorin. Avsnitt 4.7 Etiska aspekter beskrivs de etiska aspekter som vi tagit hänsyn till i vår undersökning. Kapitlet avslutas med avsnitt 4.8 Validitet och reliabilitet som beskriver studiens giltighet och tillförlitlighet.
4.1 Metodologi
Eftersom syftet och med studien är att undersöka i vilken utsträckning de fem matematiska förmågorna förekommer i läromedlen och vilka möjligheter detta ger eleverna att utveckla de fem matematiska förmågorna som krävs för en god matematisk kompetens så har vi valt att använda oss av en innehållsanalys som metod. Då tidigare forskning visar att det finns brister i undervisningen på grund av att den är för läromedelsbunden så möjliggör en innehållsanalys att vi kan göra en djupare analys av de valda läromedlen för att ta reda på i vilken utsträckning de fem matematiska förmågorna förekommer. En innehållsanalys hjälper oss därför att besvara de forskningsfrågor som vi har valt att utforska:
• I vilken utsträckning förekommer de fem matematiska förmågorna i läromedlen? • Vilka möjligheter finns för eleverna att utveckla de fem förmågorna i läromedlen? Innehållsanalys är en metod som används för analys av dokument, texter eller annat tryckt material där forskaren på ett systematisk och replikerbart sätt vill kvantifiera innehållet utifrån kategorier som utformats i förväg (Bryman, 2018). I vårt fall handlar detta om att skapa kategorier utifrån vilka förmågor som eleverna har möjlighet att utveckla inom problemlösning och algebra när de arbetar med Mera Favorit Matematik 2A eller Matte
Eldorado 2B.
En innehållsanalys kan vara både kvalitativ och kvantitativ. Den kvalitativa
innehållsanalysen fokuserar mer på tolkning av innehållet medan den kvantitativa fokuserar på siffror (Bryman, 2018). Vi kommer i denna studie använda oss av
flermetodsforskning där vi har en kvalitativ utgångspunkt och ett kvantitativt resultat (Bryman, 2018). Med kvantitativ menas det att undersökningen baseras på likvärdiga och därmed jämförbara uppgifter om det finns tillräckligt många analysenheter så att
uppgifterna kan uttryckas och analyseras i numeriska värden (Esaiasson et al., 2017). Vidare skriver Esaiasson et al. (2017) att en kvalitativ innehållsanalys är ett mycket
användbart verktyg för att få svar på förekomsten av olika typer av innehållsliga kategorier i ett material. Då vår studie fokuserar på att undersöka vilka förmågor som uttrycks i uppgifterna samt att kategorier skapas efter varje förmåga blir således en kombination av en kvalitativ och kvantitativ studie relevant för oss.
Vidare skriver Bryman (2018) att en innehållsanalys är inriktad på att få en bild av det påtagliga innehållet i temat. Dock krävs det att forskaren tolkar det latenta, eller det
underliggande innehållet för att komma fram till det påtagliga innehållets innebörd. I vår analys görs tolkningar av de uppgifter som de båda läromedlen innehåller för att avgöra vilka förmågor som uttrycks. Vårt resultat presenteras sedan i tabeller och diagram. Ett viktigt steg i en innehållsanalys är kodning. Det finns två huvudsakliga delar vid kodningen som ingår i en innehållsanalys: utformningen av själva kodschemat och kodningsmanualen. Ett korrekt utformat kodschema är en viktig del för att ge oss ett reliabelt resultat (Bryman, 2018).
4.2 Urval och avgränsningar
I denna studie har vi valt ut två läromedel, Mera Favorit Matematik 2A och Matte Eldorado 2B. Båda läromedlen är baserade på den svenska läroplanen för grundskolan,
förskoleklass och fritidshem för 2011. Då de fem matematiska förmågorna som vi valt att
studera hur de uttrycks i läromedlen är kopplade till läroplanens (Skolverket, 2019) bestämmelser, så finner vi det relevant att de läromedel vi valt att analysera också är kopplade dit.
Inom de valda läromedlen, Mera Favorit Matematik 2A och Matte Eldorado 2B så har vi valt att avgränsa studien till problemlösning och algebra. Motiveringen till att vi valde just dessa områden är som vi nämnde i inledningen att det är intressanta områden som tar stor plats inom matematiken samt att vi i den senaste TIMSS- rapporten från 2019 kunde se att elever visar låga resultat inom både algebra och problemlösning (Skolverket, 2020). Det var också inom dessa två områden som eleverna arbetade med när vi var ute på vår senaste verksamhetsförlagda utbildning och som vi upplevde att flera elever hade problem inom, vilket gjorde valet av områden naturligt. I vår avgränsning har vi också valt att inrikta oss på läroböcker som är anpassade till årskurs 2 eftersom vi båda har spenderat mest tid i den årskursen.
Valet av att välja just Mera Favorit Matematik 2A och Matte Eldorado 2B beror på att den VFU-skola som vi har varit på använder sig av Favorit Matematik-böckerna och vi har därför en viss kännedom kring denna lärobok. Dock ville vi fördjupa oss mera i den för att ta reda på vilka förmågor som eleverna utvecklar när de arbetar i boken. Valet av Matte Eldorado 2B har vi gjort efter diskussioner med personal på vår VFU-skola. De menade att den läroboken är den som är mest olik Favorit Matematik i hur den är utformad i form av uppgifter och utseende. Böckerna är också utgivna av olika förlag och skrivna av olika författare. Det är också intressant för oss att se hur författarna har valt att strukturera läroböckerna i form av vilka förmågor som tränas samt i vilken mängd och när det förekommer i boken. Vi har också valt att inrikta oss på läroböcker som är anpassade till årskurs 2 eftersom vi båda har spenderat mest tid i den årskursen.
Bryman (2018) skriver om bekvämlighetsurval som ett sätt att göra urval på.
Bekvämlighetsurval innebär att forskaren väljer personer eller material som för tillfället råkar finnas tillgängligt. Då de läromedel som vi har valt fanns tillgängligt för oss på vår VFU-skola så har vi därför också gjort ett bekvämlighetsurval.
Vi kunde ha valt fler läromedel på samma nivå men det fanns inte tillgängligt och var svåra att få tag i. Då bokförlagen inte heller vill att vi ska använda deras bilder eller uppgifter i studien valde vi att enbart ha två läromedel i studien. Vi kunde även använda oss av lärarhandledningen till respektive läromedel men då krävdes det att vi behövde gå ut på observationer också för att se hur lärare använder sig av lärarhandledningen som ett
komplement för att kunna få starkare data. På grund av rådande situation med coronapandemin så uteblev lärarhandledningen från studien.
4.3 Matematikböckernas utformning
Vi har valt att analysera två olika matematikböcker, Mera Favorit Matematik 2A (Asikainen et.al, 2018) samt Matte Eldorado 2B (Olsson & Forsbäck, 2009).
Matematikböckerna är utgivna av två olika förlag där Mera Favorit Matematik 2A ges ut av Studentlitteratur och Matte Eldorado 2B ges ut av Natur och Kultur. Gemensamt för böckerna är att det finns en lärarhandledning, denna har vi dock valt att inte analysera. 4.3.1 Mera Favorit Matematik 2A
Skaparna av Mera Favorit matematik beskriver läromedlet på följande sätt:
Favorit matematik är ett basläromedel i matematik med en gedigen, välfungerande och tydlig struktur. Materialet kommer från Finland där det är uppskattat för strukturen och de goda resultaten hos eleverna. Materialet är helt anpassat efter Lgr 11.
Tillsammans med skatan Sally och ekorren Kurre får eleverna hjälp att bygga upp en stabil matematisk grund. Det är då matematiken blir en favorit! (Asikainen et. al, 2018)
Precis som författarna skriver så är Mera Favorit Matematik ett finskt läromedel som är publicerat av Studentlitteratur. Materialet finns tillgängligt från förskoleklass till årskurs 9. För årskurserna F-6 finns en A- och en B-bok som är anpassade efter höst- och vårtermin. För årskurs 7–9 finns en bok som är anpassad efter årskurs. Alla böcker finns också i en digital version och det finns också en lärarhandledning till varje bok. För elever som är i behov av extra stöd så finns materialet också anpassat till dessa elever. Materialet innehåller också kopieringsunderlag som går att använda till läxor eller för att arbeta extra.
Mera Favorit Matematik 2A består av fem kapitel:
1. Taluppfattning, addition och subtraktion 2. Addition och subtraktion med tiotalsövergång
3. Skriftlig räknemetod, algoritm i addition och subtraktion, datalogiskt tänkande 4. Multiplikation
5. Division och tal i bråkform
Varje kapitel är uppbyggd på liknande sätt och innehåller 9–10 lektioner där varje lektion är 4 sidor. På de två första sidorna före varje lektion får eleverna räkna uppgifter. Längst ner på sida två finns en träna-ruta där eleverna kan träna på det som varit nytt. Denna ruta går också att använda som läxa. Den tredje sidan består av en öva-sida som innehåller övningar som passar de elever som behöver repetera och befästa ytterligare. Den fjärde sidan kallas för pröva-sidan och innehåller uppgifter för de elever som vill pröva uppgifter som är utformade på ett annat sätt än de andra i kapitlet. Efter varje avslutat kapitel kan eleverna testas med ett summativt test som tillhör läromedlet.
Läroboken är uppbyggd så att svårighetsgraden successivt ökar. Längst ner på sidorna är det också hänvisat till vilket centralt innehåll som eleverna arbetar med samt hänvisning till lektionens mål.
4.3.2 Matte Eldorado 2B
Skaparna av Matte Eldorado 2B beskriver läroboken på följande sätt:
Eldorado grundlägger en god matematisk förståelse på ett sätt som väcker lust för matematik. Eleverna får upptäcka matematiken i en undervisning som synliggör begrepp, strukturer och samband. Varje kapitel är kopplat till lärandemål och följer ett tydligt upplägg som avslutas med problemlösning och repetition. Till grundboken finns häften i två svårighetsnivåer - Bonus blå för elever som behöver träna mer och Bonus röd för elever som behöver extra utmaningar. Eldorado är ett läromedel i matematik med genomtänkt progression och samma författare för FK- åk 6 (Olsson och Forsbäck, 2009).
Matte Eldorado 2B är ett svenskt läromedel som ges ut av förlaget Natur och Kultur.
Materialet finns tillgängligt från förskoleklass till åk 6. Varje årskurs har två böcker, en A och en B- bok som är anpassade efter höst- och vårtermin. Läromedlet finns också i digital version och det finns en lärarhandledning till varje bok. Boken består av 10 kapitel som innehåller olika lektioner. Varje kapitel är 12 sidor och avslutas med en sida repetition av kapitlet och en sida med problemlösningsuppgifter. Längst ner på sidorna står det vilka moment som eleverna övar på. I slutet av boken finns också en utvärdering där eleverna kan fylla i hur de tycker att det är att arbeta med de olika områdena.
4.4 Datainsamling
Som datainsamlingsmetod inför denna studie så valde vi att utföra en innehållsanalys av två läromedel. För att kunna samla in data behövde vi först utforma en kodningsmanual där vi specificerade frågor som gjorde det möjligt för oss att utläsa vilka förmågor som respektive uppgift uttryckte i läromedlen. Frågorna formades utifrån hur läroplanen för
grundskolan, förskoleklass och fritidshem för 2011 uttrycker de fem matematiska
förmågorna. Kodningsmanualen utformades på följande sätt:
• Problemlösningsförmåga – Ges eleven möjlighet till att formulera och lösa en problemlösningsuppgift utan att eleven ges svar på sin lösning?
Exempelvis, är uppgiften formad på det sätt att eleven får formulera och lösa uppgiften utan att finna svaret i texten.
• Begreppsförmåga – Förekommer det begrepp som är centrala inom algebra och problemlösning?
tex. Ekvation, verbala uttryck, kommutativa lagen, addition och subtraktion. • Metodförmåga – Ges eleven möjlighet att få använda olika metoder för att kunna
genomföra problemlösningsfrågor alternativt ett uttryck i algebra?
• Resonemangsförmåga – Får eleven möjlighet att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang?
Tex, Eleven resonerar kring hur hen löser en uppgift som framkommer i boken. Detta kan eleven göra skriftligt eller muntligt.
• Kommunikationsförmåga – Ges eleven möjlighet till att både skriftligt och muntligt samspela med kamrater för att utbyta kunskaper? Till exempel diskutera om
matematiska uttrycksformer och hur de kan användas i matematiska sammanhang inom algebra och problemlösning.
Datainsamlingen kunde sedan påbörjas genom att vi för varje uppgift ställde frågorna från kodningsmanualen. Om frågorna blev besvarade så kunde vi dra slutsatsen att den specifika förmågan uttrycktes. Datainsamlingsmetoden gick till på samma sätt för båda läromedlen och vi har båda samlat in data genom att gå igenom båda böckerna enskilt samt en gång tillsammans för att säkerställa att rätt förmåga uttrycks för respektive uppgift.
4.5 Databearbetning
För att förenkla sammanställningen av datainsamlingen så behövde vi sortera det
insamlade materialet. Vi skapade därför ett kodschema (Bilaga 1) för respektive läromedel och fem kategorier. Kategorierna representerade varje förmåga (1)
Problemlösningsförmåga, (2) Begreppsförmåga, (3) Metodförmåga, (4)
Resonemangsförmåga, och (5) Kommunikationsförmåga. Genom att skapa kategorier så
kunde vi skapa en god struktur under vår analysprocess (Bryman, 2018 s.369).
Kodschemat utformades med sju kolumner där vi angav uppgiftsnummer, sidnummer samt en kolumn för respektive kategori. Med hjälp av vårt kodschema och våra kategorier så kunde vi börja bearbeta den data som samlats in. Detta gjordes genom att vi fyllde i sidnummer, uppgiftsnummer samt vilken förmåga/förmågor som respektive uppgift uttryckte.
Det färdiga kodschemat konverterades sedan till ett stapeldiagram för varje läromedel vilket gav oss en tydlig bild på hur förmågorna uttrycktes i uppgifterna som presenteras i resultatet.
4.6 Analysmetod
I denna studie analyserar vi och tolkar vårt resultat utifrån de definitioner som gjorts av det sociokulturella perspektivet samt Piagets kognitiva teori. I analysen undersöker vi kopplingar i vårt bearbetade material och de teoretiska perspektiv som vår studie är baserade på. Vår analys har gjorts genom att:
• Koppla ihop de matematiska förmågorna med stöd i den sociokulturella teorin. • Sammanföra Vygotskijs syn på verktyg och redskap med läromedel och de
matematiska förmågorna.
• Beskriva hur Vygotskijs teorier om att elever lär sig i samspel med andra hör ihop med de matematiska förmågorna.
• Koppla samman Piagets kognitiva teori som beskriver att elever behöver olika undervisningsformer för att stimuleras och utvecklas.
Genom att vi utgår från våra teorier så kan vi beskriva hur de hör ihop med de fem matematiska förmågorna. Vår analysmetod kopplar vi ihop med analys av resultatet och inte analys av den insamlade data som presenterats.
4.7 Etiska aspekter
Vetenskapliga undersökning kräver god forskningsetik vilket har ställt krav på oss då vi har behövt vara pålästa för varje forskningsartikel vi har valt att använda i vår studie och
genom arbetets gång. Genom hela studien har vi endast analyserat läromedel och har inte använt oss av individer för att kunna slutföra ett resultat i studien Av denna anledning har vi därför uteslutit samtyckeskravet och individskyddskravet vilka Vetenskapsrådet (2002) beskriver. Den etiska aspekt som uppfyller vår studie är nyttjandekravet som
Vetenskapsrådet (2002) skriver om, Den innefattar regeln att tidigare vetenskapliga studier inte får användas för kommersiellt bruk eller andra icke-vetenskapliga syften. Skolverket och därmed läromedel som Matte Eldorado 2B och Mera Favorit Matematik
2A inkluderas i nyttjandekravet. Vi har i samråd med de båda läromedlens förlag,
Studentlitteratur och Natur och kultur fått godkännande att få använda böckerna i studien men inte få publicera innehållet digitalt med bilder från läromedlen.
4.8 Validitet och reliabilitet
Validitet går ut på att bedöma om de slutsatser som genererats i en undersökning hänger ihop eller inte. I kvantitativ forskning används ofta av mätningsvaliditet. Med det menas om undersökningen mäter det som den är avsatt att mäta (Bryman, 2018). Om så är fallet så uppstår frågan om dessa mått står för de begrepp som de förmodas säga något om. I vår studie har vi använt oss av mätningsvaliditet och vi anser att vår studie har en hög validitet eftersom vi har ett genomtänkt och genomarbetat analysverktyg i form av ett kodningsschema. Genom att vi har tydliga kategorier och att det är de fem förmågorna som ska mätas så kan vi säkerställa att det som har varit avsett att mätas har mätts.
Mätningsvaliditeten är relaterad till reliabiliteten. Om ett mått på ett begrepp är instabilt och pendlar mellan olika värden så kan det inte ge ett mått med hög validitet för det som avses att mätas. Bedömningen av mätningsvaliditeten förutsätter därför att måttet är reliabelt (Bryman, 2018).
Reliabilitet handlar om hur resultaten från en undersökning blir samma om
undersökningen utförs på nytt eller om den påverkas av slumpmässiga eller tillfälliga händelser. Det vill säga om undersökningen är tillförlitlig. Reliabilitet är ofta aktuellt inom kvantitativ forskning då forskare ofta är intresserade om ett mått är stabilt eller inte
(Bryman, 2018). Vi har i vår studie analyserat de båda läroböckerna en gång var samt en gång gemensamt och har kommit fram till samma resultat. Vi anser därför att vår studie har en hög reliabilitet.
5 Resultat
I denna del presenterar vi resultaten av den dataanalys som gjorts av de båda läromedlen,
Mera Favorit Matematik 2A och Matte Eldorado 2B. Diagrammen i resultatet är skapade
utifrån det kodschema (Bilaga 2 och 3) för respektive läromedel. De uppgifter som har ett kryss under kolumnen för problemlösningsförmåga är rena problemlösningsuppgifter. De uppgifter som inte har ett kryss i kolumnen för problemlösningsförmåga är således
algebraiska uppgifter.
5.1 Mera Favorit Matematik 2A
I Mera Favorit Matematik 2A så var det 120 uppgifter som berörde områdena
problemlösning eller algebra. I dessa 120 uppgifter så kunde vi utläsa att eleverna har möjlighet till att utveckla minst en förmåga. I flera uppgifter så var det flera förmågor som eleverna hade möjlighet att utveckla. De 120 uppgifterna som vi har analyserat återfinns i Kapitel 1, 2 och 3. Dessa kapitel behandlar Taluppfattning, addition, subtraktion,
tiotalsövergångar, skriftliga räknemetoder, algoritmer samt datalogiskt tänkande. Det var flera förmågor som återkom många gånger. I stapeldiagrammet kan vi se att den vanligaste förekommande förmågan som eleverna har möjlighet att utveckla är metodförmågan som fanns i 63 av uppgifterna. Därefter kunde vi se att resonemangsförmågan (52 gånger) och
begreppsförmågan (49 gånger) också var förmågor som var vanligt förekommande. Problemlösningsförmågan förekom 22 gånger och uppgifter som behandlade denna
förmåga återkom ofta i slutet av varje lektion. Något som är anmärkningsvärt i denna flermetodsanalys är att kommunikationsförmågan endast uttrycks en gång bland 120 uppgifter.
Diagram 1
Visar resultatet för Mera Favorit Matematik 2A. Y-axeln visar antal uppgifter inom problemlösning och algebra (120 stycken) och X-axeln visar de matematiska förmågorna.
5.2 Matte Eldorado 2B
I Matte Eldorado 2B så var det 63 uppgifter som berörde områdena problemlösning eller algebra. I dessa 63 uppgifter så kunde vi utläsa att eleverna har möjlighet till att utveckla minst en förmåga. I flera uppgifter så var det flera förmågor som eleverna hade möjlighet att utveckla. De 63 uppgifterna som framgår finns med i bokens alla 10 kapitel. I
stapeldiagrammet kan vi se att den vanligaste förekommande förmågan som eleverna har möjlighet att utveckla är metodförmågan som fanns i 39 av uppgifterna. Därefter kunde vi se att begreppsförmågan (32 gånger), problemlösningsförmågan (30 gånger) och
resonemangsförmågan (25 gånger) också var förmågor som var vanligt förekommande.
Precis som i Mera Favorit Matematik 2A så är det anmärkningsvärt att
kommunikationsförmågan, även i detta läromedel endast uttrycks två gånger i 63
uppgifter.
Diagram 2
Visar resultatet för Matte Eldorado 2B. Y-axeln visar antal uppgifter inom problemlösning och algebra (63 st) och X-axeln visar de matematiska förmågorna.
5.3 Resultat av kategorierna
De fem kategorierna (1) Problemlösningsförmåga, (2) Begreppsförmåga, (3)
Metodförmåga, (4) Resonemangsförmåga, och (5) Kommunikationsförmåga har använts
för att tolka och besvara forskningsfrågorna utifrån studien definition och utvalda delar av det sociokulturella perspektivet samt den kognitiva teorin.
5.3.1 Problemlösningsförmågan
Resultatet av analysen visar att det finns 22 uppgifter i Mera Favorit Matematik 2A (Diagram 1) som avser att utveckla problemlösningsförmågan hos eleverna. I Matte
